天津市第四十二中学 张鼎言
3. 已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点。
(Ⅰ)若动点M满足-=- - -(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；
(Ⅱ)在x轴上是否存在定点C，使-·■为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
分析：(1)---=1，a2=b2=2→c=2
F1(-2，0). F2(2，0).A(x1，y1).B(x2，y2)，M(x，y)
-=(x 2，y)，-=(x1 2，y1)，
-=(x2 2，y2)，-=(2，0)
x 2=x1 2 x2 2 2=x1 x2 6
x1 x2=x-4
y1 y2=y
若A(x1，y1).B(x2，y2)在---=1上，有---=1，---=1用(四)第四题方法，两式相减-=-而(-，-)恰是AB中点，当AB与x轴不垂直时，-恰是AB直线的斜率。
设N为AB中点，N(-，-)，又kAB=kNF2·■=-(*)
当AB与x轴不垂直时，
-=-=-
把中点N坐标，及kNF2代入(*)式，得出(x-6)2-y2=4。
当AB⊥x轴：x1=x2=2，y1=-y2，
∴x=8，y=0
同样满足(x-6)2-y2=4
分析(2)假设存在C(m，0)，
-g-=(x1-m)(x2-m) y1y2
=x1x2-m(x1 x2) m2 y1y2
A(x1，y1).B(x2，y2)为双曲线与直线y=k(x-2)两交点，m为所求参数.
此时(1)所述方法不适用，理由是出现了x1gx2，y1y2，这是(1)中方法不能实现的，转为过F2的直线方程y=k(x-2)与二次曲线联立(设k存在)
-
→(1-k2)x2 4k2x-(4k2 2)=0
1-k2≠0，反之，k≠±1，过F2的直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点。
x1 x2=-，x1x2=-，
-g-=(1 k2)x1x2-(2k2 m)(x1 x2) 4k2 m2
=- m2
若C(m，0)为定点，-g-的解析式应消去k，这是推导的目标。
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