天津市第四十二中学 张鼎言
由|-|⊥|-|：x1x2 y1y2
=-=0
3m2=2b2(k2 1) (*)
lOD：y=--x
-
x2 y2=- -
=-=-
由(*) 3g-=2b2
x2 y2=-gb2
若k→∞→|x1|=|y1|
由原方程- -=1
x12=-b2，D(x1，0)在轨迹上
若k=0
- -=1，y22=-b2，D(0，y2)
∴D也在轨迹上
注：本题(Ⅱ)是过两点的直线与椭圆相交，设直线方程一般不用二点式，而采用y=kx m形式。这是涉及两个参数k、m，消参的过程就是把几何条件(这里是|-|⊥|-|)变成等量关系，通过等量关系(这里是3m2=2b2(k2 1))减少参数个数。
2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线。
(Ⅰ)当且仅当x1 x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。
解：(Ⅰ)x2=-y，F(0，-)，准线方程y=--
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，l垂直平分AB且过焦点F，
∴|FA|=|FB|
由抛物线定义：|FA|=y1-(--)=|FB|=y2-(--)
∴y1=y2，2x12=2x22，2(x1 x2)(x1-x2)=0，
∵A、B是两个不同点，∴x1≠x2
∴x1 x2=0是所求结论。
(Ⅱ) l：y=2x b，求b的范围？
这里直线l与抛物线没有直接的关系，因此l必须借助直线lAB，l是线段AB垂直平分线，把l与lAB连接起来，由lAB与抛物线关系，再回到直线l上来。
lAB：y=--x m，且过(-，-)
-
△=- 8m>0，m>--
x1 x2=--，-=--，
y1 y2=--(x1 x2) 2m，-=- m
又(-，-)在直线上，- m=-- b，
b=m ->-- -=-
注：本题难点是由l转化为lAB，反过来再由lAB回到l上来。本例提示了一条有普遍意义的规律，有关系较远的两个“元素”之间的关系，转化为关系较近的“元素”之间的关系，再回到原来“元素”之间的关系。
3. 双曲线C与椭圆- -=1有相同的焦点，直线y=-x为C的一条渐近线。
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0，4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)。当-=λ1-=λ2-，且λ1 λ2=--时，求Q点的坐标。
解：(Ⅰ)由- -=1→c=2， 又-=-
∴双曲线C的方程为x2--=1
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