双曲线的定义精选(九篇)

第1篇：双曲线的定义范文

重点:双曲线的第一、第二定义, 双曲线的标准方程,双曲线的几何性质,轨迹问题等.

难点:a,b,c,e等参数值的求法及其取值范围问题的探讨,直线与双曲线位置关系相关的综合问题.

(1)研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时,首先应考虑用定义来解题. 关注定义中的“绝对值”,若定义中去掉了“绝对值”,则点的轨迹是双曲线的一支,由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的.

(2)研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形(焦点三角形)问题时,在运用定义的同时还会经常用到正、余弦定理.

(3)求双曲线的标准方程.

①定义法:分析题目条件是否满足定义;求出a,b,c;写出方程.

②待定系数法:确定焦点的位置;设出待求方程;确定相关系数;写出方程.

(4)双曲线的几何性质常涉及一些不等关系,例如:双曲线■-■=1中,x≥a或x≤-a,e>1等. 在求与双曲线有关的一些量的范围或与这些量有关的最值时会经常用到这些不等关系.解决双曲线中有关变量的最值与取值范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法. 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.

(5)直线与双曲线. 直线与双曲线位置关系的判断:直线与曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中的变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式Δ,则有:Δ>0?圳直线与双曲线相交于两个点;Δ=0?圳直线与双曲线相交于一个点;Δ

(6)直线与双曲线相交时常见问题的处理方法:①涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,设而不求计算弦长. 直线l被双曲线截得的弦长AB=■或AB=■,其中k是直线l的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直线与双曲线的两个交点A,B的坐标,且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,x1+x2,x1x2可由韦达定理整体给出. ②涉及求平行弦中点的轨迹,求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题时,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.

思索 ①涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的问题,Δ>0是必不可少的条件. ②关于直线与双曲线的某一支的相交问题,不但要考虑Δ>0,还要考虑方程根的取值范围.

建议同学们在复习本节内容时重视以下几个方面:

(1)重视定义在解题中的作用,对于双曲线的两种定义,要在训练的过程中加强理解和掌握.

(2)重视平面几何知识在解题中的作用,解题过程中应借助图形分析条件,寻求最优解法.

第2篇：双曲线的定义范文

在学习圆锥曲线中，首先要抓住定义，只有真正理解和掌握了定义，才能找到解题思路，避免走入死胡同.

一、选择题中定义的利用

例1 椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（ ）.

解 由条件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨设|PF1|>|PF2|），

|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.

又 |F1F2|=4，cos∠F1PF2=13.

答案 A.

分析 直接计算|PF1|，|PF2|，思路混乱，而且计算量较大.如果用椭圆和双曲线的定义，解题过程会大大简化.

例2 F1，F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）.

A圆

B椭圆

C双曲线

D抛物线

解 延长F2P交F1Q的延长线于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，则点M（x0，y0）的轨迹方程为

（x0+c）2+y20=4a2.①

设P点坐标为（x，y），P为F2M中点，

x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.

代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，x2+y2=a2.

分析 仔细作图观察，利用椭圆定义及角平分线，难题就不难了.

二、填空题中定义的利用

例3 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标.

解 设待求点的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得x0+3=9，解得x0=6.代入抛物线方程得y0=±62，所以满足条件的点为（6，-62），（6，62）.

答案 （6，-62），（6，62）.

分析 利用抛物线的定义，转化条件，可以减少运算量.

例4 双曲线的虚轴长为4，离心率e=62，F1，F2分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|=.

解 |AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，

|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.

又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，

2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，

|AB|=82.

分析 此题两次应用双曲线的定义，步骤清楚简单，何乐而不为.

三、解答题中定义的利用

例5 设点F（2，0），动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.

解 由题意，得|PF|=2+d.

当P在y轴右侧时，为|PF|=x+2，

点P在抛物线y2=8x上.

当P在y轴左侧时，|PF|=2-x，

有y=0（x

所求轨迹方程为y2=8x（x≥0）和y=0（x

变式 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时过点（3，0），求动圆圆心M的轨迹方程.

解 由已知，得（x+3）2+y2=4.

设圆心为A，A点坐标为（-3，0），B（3，0），动圆半径为R，

得|MB|=R，|MA|=R+2.

因此|MA|-|MB|=2

故M点轨迹为双曲线的右支，且2a=2，2c=6，

即a=1，c=3，b=22.

因此其方程为x2-y28=1（x≥1）.

例5和变式题都是用定义得出轨迹方程的，从这两道题可以深深体会到定义的重要性.

例6 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹.

解 设椭圆与双曲线的交点P（x，y），得

|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.

即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.

将点P（x，y）代入，得

（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.

故所求轨迹为圆心在（5，0），半径为3的圆，除去（2，0）和（8，0）两点；或圆心在（-5，0），半径为3的圆，除去（-2，0）和（-8，0）两点.

第3篇：双曲线的定义范文

【关键词】 数学 探究性学习 双曲线 函数

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-105-01

在数学教学中，我们常常面临着学生在学习上“讲讲都会，做做不对”的通病。如何处理好这个问题，让学生变被动学习为主动学习，是我们教学中要长期思考的主旋律。笔者认为，我们不妨进行“诱导型探究学习”和“发现型探究学习”。

在双曲线习题课的教学中，笔者给出了下面系列问题链：

教师：我们已经学习了圆锥曲线，猜猜反比例函数y=■属于哪类曲线？

学生：好像是双曲线。

教师：如果y=■是双曲线，则y=■的焦点是 和 。

学生：y=■的图像可以看成双曲线x2-y2=1的图像绕原点逆时针旋转■的结果， y=■的焦点应该是F1（-■，-■）和F2（■，■）.

教师：曲线y=■为什么表示双曲线？

学生：证明y=■是双曲线，必须满足曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常数。 双曲线的两个焦点分别为F1（-■，-■）、F2（■，■），设P（x，y）是双曲线上任一点，

PF1-PF2=

■-■

=■-■

= x+■+■-x+■-■=2■

奥苏伯尔提出的“先行组织者”教学策略，就是激活新旧知识的实质性联系，提高已有知识对新知识的有效影响，实施“引导型探究学习”，让学生自己去弄清反比例函数y=■的本质。

在这里，双曲线的定义是学生探究反比例函数y=■是双曲线的“先行组织者”，双曲线x2-y2=1和反比例函数y=■图像的一致性是学生探究反比例函数y=■是双曲线的桥梁，也是学生探究性学习的动力源泉。在课堂教学过程中，通过设置“问题连”，搭建“脚手架”，利用问题的驱动，引导学生自觉地利用双曲线的定义来探究反比例函数y=■的本质，促使知识水平的拓展。这时，我们称为“诱导型探究学习”。

在验证了反比例函数y=■的本质是双曲线后，笔者趁热打铁，给出了下面问题：y=ax+■（a>0，b>0）是教材中不经常见到的一类函数，我们都称它是双沟曲线或耐克曲线。那么，他们是双曲线吗？请大家探讨该函数的图象和性质。

教师：请同学们思考 y=ax+■（a>0，b>0）的定义域、值域；函数的性质（单调性和奇偶性）等等。

学生：可以看出， y=ax+■（a>0，b>0）是奇函数，图象关于原点对称，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），不妨先考察函数在x∈（0，+∞）的图象。当x0时，y=ax+■+∞；当x+∞时，y=ax+■ax，预见在第一象限内图象介于y轴和ax之间。当x∈（0，■）时，可以证明y=ax+■在（0，■）是减函数，当x∈（■，+∞）时， 故y=ax+■在（■，+∞）上是增函数。

学生：利用y=ax+■≥2■基本不等式，即y=ax+■≥2■，此时x= ■，ymin=2■.

教师：猜测y=ax+■（a>0，b>0）的图象是双曲线，它的渐近线是什么呢？

学生：设P（x，y）是函数y=ax+■（a>0，b>0）图象上的任一点，因为函数y=ax+■是奇函数，所以不妨设x>0，点P到直线y=ax的距离为d=■=■■.当x逐渐增大时，d逐渐减小，x无限增大时，d接近于零，这就是说，函数y=ax+■（a>0，b>0）的图象在第一象限内无限接近于直线y=ax，故直线y=ax是函数y=ax+■（a>0，b>0）图象的渐近线。

教师：上述的知识还不能严谨地论证y=ax+■（a>0，b>0）的图象是双曲线，由于知识的限制，这里不再用定义证明。

第4篇：双曲线的定义范文

我们认识一种新事物往往从定义、概念去入手，它是解决数学问题的重要依据和源泉，然而我们往往一目十行，似懂非懂，没有深入，导致了概念性的错误.

1.圆锥曲线第一定义

（1）椭圆：与两定点[F1、F2]距离之和等于常数[2a]，且[2a一定要大于F1F2]. 当常数等于[F1F2]时，轨迹是线段[F1F2]；当常数小于[F1F2]时，没有轨迹.

（2）双曲线：与两定点[F1、F2]距离之差的绝对值等于常数[2a]，且[2a]一定要小于[F1F2]. 当[F1F2]=[2a]时，轨迹是以[F1、F2]为端点的两条射线；当[F1F2>2a]时，则轨迹不存在. 若去掉绝对值，其轨迹表示双曲线的一支.

例1 （1）已知定点[F1（-3，0），F2（3，0）]且动点[P]满足[PF1+PF2=6]，则动点[P]的轨迹为（ ）

A. 椭圆 B. 双曲线

C. 两条射线 D. 一条线段

（2）若动点[P（x，y）]满足[（x-6）2+y2-][（x+6）2+y2][=8]，则动点[P]的轨迹是（ ）

A. 双曲线 B. 两条射线

C. 双曲线左支 D. 双曲线右支

解析 （1）由椭圆的定义可知，常数[2a]一定要大于[F1F2]时才是椭圆，当常数[2a]等于[F1F2]时，轨迹是线段[F1F2]，故选D.

（2）双曲线方程有两支，当没有绝对值时只表示其中的一支，根据题意故选C.

2.圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的第二定义揭示椭圆、双曲线、抛物线之间的关系，它强调曲线上的点到焦点与到相应准线距离的关系. 我们若理解不透彻，会将焦点与相应准线张冠李戴.

定义：若平面上动点[P]到一个定点的距离与到一条定直线距离之比为一个常数[e]，则：当[0

例2 （1）已知双曲线方程为[3x2-y2=9]，双曲线右支上的点[P]到右焦点的距离为[3]，则点[P]到准线[x=-32]的距离为（ ）

A. [32] B. [23] C. 2 D. [32+3]

（2）已知椭圆方程为[x225+y29=1]，椭圆上一点[M]到左焦点的距离为6，则点[M]到右准线的距离为 .

解析 此题易出错的原因是忽视了右焦点对应右准线，要看清题中所给的焦点和准线是否相应，这需要我们对第二定义的概念要清楚.

（1）根据第二定义，求出点[P]到右准线的距离为[32]，

则点[P]到左准线[x=-32]的距离为[32+3].

（2）根据第二定义，左焦点对应左准线先求出点[M]到左准线的距离[d1=152]，

则点[M]到右准线的距离为[d2=2×254-152=5].

二、忽视变量范围

解决圆锥曲线综合性问题时，要考虑圆锥曲线本身变量的范围，而在进行纯代数运算时往往容易忽视.

例3 已知曲线[C：y=20-x22]与直线[l]：[y=-x+m]仅有一个公共点，求[m]的取值范围.

错解 曲线[C]化简得[x2+4y2=20]，由于曲线[C]与直线[l]只有一个公共点，联立方程得

[y=20-x22y=-x+m][?][5x2-8mx+4m2-20=0][?]

[Δ=0]解得[m=±5].

正解 方程[x2+4y2=20]与原方程[y=20-x22]并不等价，因为[y≥0]，故原曲线[C]表示的是椭圆在[x]轴的上半部分.根据题意画出曲线图象.

由图象可知[m=5或-25≤m

点拨 在方程化简过程中，一定要注意变量的取值范围和等价性，数形结合有助于我们解决此类问题.

三、考虑问题不周全

在解决圆锥曲线有关问题时，首先要对焦点位置进行判断，否则很容易造成经验性错误. 在求解直线与圆锥曲线问题时，要注意对直线与曲线位置进行判断，尤其是特殊情况.

例4 设双曲线的渐近线方程为[y=±32x]，求双曲线的离心率.

错解 由双曲线的渐近线方程[y=±32x]知，

[ba=32][?e=1+b2a2=132].

正解 单单由双曲线的渐近线方程是无法判断焦点位置的，本题出错的原因是同学们的惯性思维和思维不严谨的结果，应分两种情况：

当焦点在[x]轴上时，[e=1+b2a2=132].

当焦点在[y]轴上时，[e=1+（23）2=133].

例5 设点[P（x，y）]在椭圆[4x2+y2=4]上，求[x+y]的最大值和最小值.

错解 [4x2+y2=4，4x2≤4.]

解得[-1≤x≤1，]同理，[-2≤y≤2].

故[-3≤x+y≤3]，最大值为3，最小值为[-3].

正解 方法一： 设[x+y=k]则[y=-x+k]，[k]为直线[y=-x+k]在[y]轴上的截距，

由数形结合可知：当直线与椭圆在第一象限相切时[k]取得最大值，当直线与椭圆在第三象限相切时[k]取得最小值，

故联立方程[4x2+y2=4y=-x+k][?5x2-2kx+k2-4=0].

由于相切时取最大值和最小值，

所以[Δ=（2k）2-4×5×（k2-4）=0]解得[k=±5]，

即最大值为[5]，最小值为[-5].

方法二：[4x2+y2=4x2+y24=1].

设[x=cosα，y=2sinα]，

[x+y=cosα+2sinα][=5sin（α+θ）.]

[-1≤sin（α+θ）≤1，]

[-5≤5sin（α+θ）≤5]，

即[-5≤x+y≤5].

点拨 本题中的[x、y]除了满足[-1≤x≤1]和[-2≤y≤2]以外，还受条件[4x2+y2=4]制约. 做题时要考虑全面，防止范围扩大导致错误.

四、忽略隐含条件

在解决圆锥曲线综合性问题时，一定要善于挖掘题中所给的隐含条件，比如参数变量的范围、圆锥曲线图象特征等.

例6 已知双曲线方程为[x2-y22=1]过点[P（1，1）]能否做一条直线[l]与双曲线交于[A、B]两点，且点[P]为[AB]的中点.

错解 当直线的斜率不存在时，此时直线过点[P]垂直于[x]轴过点[（1，0）]与双曲线只有一个交点，很显然不符合题意.

当直线斜率存在时，设直线方程为[y-1=k（x-1）]联立方程[x2-y22=1]整理得，

[（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0]，

设[A点（x1，y1）， B点（x2，y2）]，

由根与系数的关系得[x1+x2=2k（1-k）2-k2]，

又因为点[P]为[AB]的中点，

所以[2k（1-k）2-k2=2]，解得[k=2]，

故存在这样的直线方程为[y=2x-1].

正解 由题目条件可知直线与曲线交于不同两点，故[Δ>0]；而当[k=2]时，其[Δ

点拨 在解决圆锥曲线问题时，我们定要考虑全面，不能漏解，尤其是有关直线与圆锥曲线问题一定要注意对隐含条件判别式[Δ]的符号的判断.

例7 已知曲线[C：y=x2]与直线[l：x-y+2=0]交于两点[A（xA，yA）]和[B（xB，yB）]，且[xA

（1）若点[Q]是线段[AB]的中点，试求线段[PQ]的中点[M]的轨迹方程；

（2）若曲线[G：x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]与[D]有公共点，试求[a]的最小值.

解析 （1）联立[y=x2]与[y=x+2]得[xA=-1，][xB=2]，

则[AB]中点[Q（12，52）].

设线段[PQ]的中点[M]坐标为[（x，y）]，

则[x=12+s2，y=52+t2，]

即[s=2x-12，][t=2y-52]，又点[P]在曲线[C]上，

[2y-52=（2x-12）2]化简可得[y=x2-x+118].

又点[P]是[L]上的任一点，且不与点[A]和点[B]重合，

则[-1

中点[M]的轨迹方程为

[y=x2-x+118（-14

（2）曲线[G：x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]，

即圆[E：（x-a）2+（y-2）2=4925]，

其圆心坐标为[E（a，2）]，半径[r=75.]

由图可知：

当[0≤a≤2]时，曲线[G：x2-2ax+y2-4y+a2][+5125=0]与[D]有公共点.

当[a

得[-725≤a

第5篇：双曲线的定义范文

【关键词】易错点；限制条件；焦点位置；隐含条件；一个公共点的特殊情况

在学习新教材选修2-1中的圆锥曲线内容时，学生感觉还是比较困难，通过对学生的调查了解，主要有两个方面的问题，一是此部分涉及的计算量比较大；二是有许多易错的地方会使学生不小心掉入陷阱。对于第一个问题，大家的共识是只有做题时养成不“跳步”的习惯、计算时能注意掌握一些解题技巧，就可以解决；对于第二个问题，大家感觉还是比较头疼。为了更好的帮助大家解决这个问题，我们进行了如下的归纳和总结。

一、在对椭圆的学习中，要注意以下易错点：

1、注意椭圆定义的限制条件。

问题1.若方程表示椭圆，求实数k的取值范围。

错解：实数k的取值范围是（5，7）。

正解：且，实数k的取值范围是。

分析：此题要考察的是对椭圆的标准方程的理解，错解中忽略了椭圆的标准方程中的限制条件：a>b>0， 因为当a=b>0是方程表示圆，而不是椭圆。可见，准确的理解椭圆的定义，注意定义中的限制条件，对于避免和减少解题过程的失误，保证解题的正确性很重要。

2、注意椭圆焦点位置的讨论。

问题2.已知椭圆的标准方程为并且焦距为6，求实数m的值。

错解：由椭圆的标准方程知

，

。

正解：

1）当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知

，

；

2）当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，，又；故或。

分析：当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论。可见，涉及圆锥曲线方程的问题，如果没有指明焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情况，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解。

3、注意椭圆的范围的讨论。

问题3.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程。

错解：设椭圆方程为

，

则，，

即.设椭圆上的点到P点距离为d，

则

.

当时，有最大值，从而也有最大值，

，

所求椭圆的标准方程为.

正解：设椭圆方程为，

则，，

即.设椭圆上的点到P点距离为d，

则

.

若，则当时，有最大值，从而d有最大值，于是，从而解得与矛盾。

必有，此时当时，有最大值，从而d也有最大值，，所求椭圆的标准方程为.

分析：在错解中“当时，有最大值”这一步的推理有问题，没有考虑椭圆方程中的取值范围。仔细思考，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，要分类讨论。

二、在对双曲线的学习中，要注意以下易错点：

1.注意双曲线定义的限制条件。

问题1.已知，，动点P满足，当a为3和5时，P点的轨迹分别是（ ）

A.双曲线和一条直线；B. 双曲线和一条射线；C.双曲线的一支和一条直线；D.双曲线的一支和一条射线；

错解：10，当时，，故P点的轨迹为双曲线；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选B.

正解：，而不是，当时，，故P点的轨迹为双曲线的一支；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选D.

分析：错解中忽略了双曲线定义中的限制条件是“差的绝对值”，因此，当时，P点的轨迹为双曲线的右支。大家解题时要注意：当，即时，P点的轨迹是双曲线，其中，取正号时为双曲线的右（上）支，取负号时为双曲线的左（下）支；当时，P点的轨迹是分别以点或为端点的两条射线；当时，P点的轨迹不存在。

注意方程表示双曲线的条件问题。

问题2.若方程表示双曲线，求实数m的取值范围。

错解：。

正解：或

分析：错解中只考虑了双曲线焦点在x轴的情况，忽略了焦点在y轴的情况，与椭圆中类似，在不确定焦点位置时，需要分类讨论。

3、注意双曲线中的隐含条件问题。

问题3.已知P是双曲线上一点，，是双曲线的左右焦点，且，求的值。

错解：，

且，.

正解：10由双曲线的图形可得点P到右焦点的距离.又，且，（舍去）或.

分析：错解中忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于，从而两解中要舍去不满足要求的那个。这是许多学生解题中容易出错的地方。

4、注意双曲线的焦点位置的讨论。

问题4.已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程。

错解：双曲线标准方程为：。

正解：1）当双曲线的焦点在x轴上时，

双曲线标准方程为：；

2）当双曲线的焦点在x轴上时，

双曲线标准方程为：；

故所求双曲线的标准方程为：或

分析：这里错解的原因还是没有弄清双曲线的焦点在哪个轴上，需要注意的是：当焦点在x轴上时，

渐近线方程为：；当焦点在y轴上时，

渐近线方程为：。

5、注意直线与双曲线有一个公共点的特殊情况。

问题5：已知过点P（1，1）的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率的取值。

错解：由题意，则：，

有：

。

正解：由题意，则：，

有：

若，此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；

若，则

综上可知，直线的斜率为。

分析：错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，也是直线和双曲线只有一个公共点的情况；从方程解的情况来看，也没有注意当形如二次方程时若二次项系数不确定时，需要进一步的讨论。

在对抛物线的学习中，要注意以下易错点：

1、注意抛物线定义中的限制条件。

问题1.已知点P到的距离与到直线的距离相等，求点P的轨迹方程。

错解：由抛物线定义知，点P的轨迹为抛物线。焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离，抛物线的方程为.

正解：设点，

依题意有：，此为所求的轨迹方程。

分析：点P到的距离与到直线的距离相等，的确满足抛物线的定义，但是，故此时抛物线的方程不可能是标准方程。这里，要特别注意分析定点和定直线是否处于轴的对称的两侧，若是，则很可能是标准方程；否则，应该用求轨迹方程的定义法来求解。

2、注意弄清抛物线中的字母位置和意义。

问题2.若抛物线的准线方程是，求的值。

错解：准线方程为，.

正解：由.

分析：这里主要的错因是：没有正确的理解抛物线标准方程的形式，应该是等式左端为二次项且系数为1，等式的右端为一次项。大家解题时一定要注意。

注意直线与抛物线有一个公共点的特殊情况。

问题3.求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线的方程。

错解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：

有，

依题意，，故所求直线的方程为：

或。

正解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；

当直线的斜率存在时，

当时，则所求直线方程为：，此时直线与抛物线只有一个公共点；

当时，设直线的方程为：

有，

依题意，，故所求直线的方程为：

或或。

分析：在解题中，考虑直线与抛物线只有一个交点时，一般要注意三种情况：一是当直线的斜率不存在时；二是当直线与抛物线的对称轴平行时；三是当直线与抛物线相切的情况。

总之，在学习圆锥曲线时，要注意以上这些误区，少走弯路，突破易错点，减少失误！

第6篇：双曲线的定义范文

一、定义新的概念

例1 我们 把离心率为[e=5+12]的双曲线[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]称为黄金双曲线，如图.[A1，A2]是双曲线的实轴端点，[B1，B2]是虚轴的端点，[F1，F2]是焦点，过右焦点[F2]且垂直于[x]轴的直线交双曲线于[M，N]两点，给出以下几个说法：①双曲线[x2-2y25+1=1]是黄金双曲线;②若[b2=ac]（[c]是双曲线的半焦距），则该双曲线是黄金双曲线;③若[∠F1B1A2=90°]，则该双曲线是黄金双曲线;④若[∠MON=90°]，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的说法是（ ）

A. ①②④ B. ①②③

C. ②③④ D. ①②③④

解析 对于①，由双曲线[x2-2y25+1=1]可得，离心率[e=1+5+12=5+12]，故该双曲线是黄金双曲线.

对于②，[b2=ac，c2-a2-ac=0]，即[e2-e-1][=0]，又[e>1]，解得[e=5+12]，故该双曲线是黄金双曲线.

对于③，[∠F1B1A2=90°，][B1F12+B1A22][=F1A22，][b2+c2+b2+a2=a+c2]，即[b2=ac]. 由②可知，该双曲线是黄金双曲线.

对于④，[∠MON=90°]，[MNx轴，][MF2=b2a]，且[MOF2]是等腰直角三角形，[c=b2a]，即[b2=ac]，由②可知该双曲线是黄金双曲线.

综上所述，本题应选D.

点拨 本题是一道信息迁移题，阅读并领悟黄金双曲线的实质是解题的关键.本题要求考生在不同的情境下都能熟练求解双曲线的离心率.

二、约定新的运算

例2 设[x1，x2∈R]，定义运算“*”，[x1?x2=][x1+x22][-x1-x22]. 若[x≥0]，则动点[Px，x?aa>0]的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

解析 [x1?x2=x1+x22-x1-x22，]

[x?a=x+a2-x-a2=2ax]，则[Px，2ax].

设[Px1，y1]，即[x1=x，y1=2ax，]消去[x]得，

[y21=4ax1x1≥0，y1≥0].

故点[P]的轨迹为抛物线的一部分，选D.

点拨 本题在新运算的背景下探求动点的轨迹问题，理解新运算的法则是求解的关键，此类题型是高考命题者惯用的拟题手法，平时应加强训练，增强适应性.

三、调配新的组合

例3 已知点[F（-c，0）（c>0）]是双曲线[E：x2a2-y2b2=1]的左焦点，双曲线[E]的离心率为[e]，过[F]且平行于双曲线[E]的渐近线的直线与圆[x2+y2=c2]交于点[P]，且点[P]在抛物线[y2=4cx]上，则[e2]=（ ）

A. [5] B. [5+32]

C. [5+22] D. [5+12]

解析 如图，设抛物线[y2=4cx]的准线为[l]，作[PQl]于[Q]，双曲线[E]的右焦点为[F]，由题意可知，[FF]为圆[x2+y2=c2]的直径.

不妨设[P（xp，yp）]在第一象限，由[y2=4cx，x2+y2=c2]解得，[xp=（5-2）c]，所以[|PQ|=xp+c=（5-1）c].

易知[PFPF]，直线[PF]的方程为[y=ba（x+c）]，即[bx-ay+bc=0]，于是点[F（c，0）]到直线[PF]的距离[|PF|=2bca2+b2=2b].

由抛物线的定义可知，[|PF|=|PQ|.][2b=（5-1）c]，[a2+（5-12c）2=c2]，解得[e2=c2a2=5+12]，故选D.

点拨 本题将直线、圆、双曲线、抛物线组合在一起考查，令人耳目一新，是命题者智慧的结晶. 其中的“招法”可谓是“刀光剑影”，是出活题、考能力的成功之作，占据着“小题压轴”的重要地位.

四、设置新的交汇

例4 在等腰梯形[ABCD]中，[E，F]分别是底边[AB，CD]的中点，把四边形[AEFD]沿直线[EF]折起后所在的平面记为[α，P∈α].设[PB，PC与α]所成的角分别为[θ1，θ2]（[θ1，θ2]均不为零）.若[θ1=θ2]，则点[P]的轨迹为（ ）

A. 直线 B. 圆

C. 椭圆 D. 抛物线

解析 如图，设[B，C]在平面[α]内的射影分别为[M，N]，连接[PM，BM，CN，PN，MN].

根据直线与平面所成角的意义，

[∠BPM=θ1，∠CPN=θ2，又θ1=θ2，]

[tanθ1=tanθ2]，即[BMPM=CNPN?PMPN=BMCN].

又[BM平面α，CN平面α]，[BM//CN]，

又[BE//CF]，[∠MBE=∠NCF].

又[∠BME=∠CNF=90°]，

[ΔBME∽ΔCNF，BMCN=BECF，PMPN=BECF.]

在梯形[EBCF]中，[BE≠CF]，

[BECF]是不等于1的常数，

[PMPN]是不等于1的常数.

由于在平面内到两定点的距离之比等于不为1的常数的点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆），所以点[P]的轨迹为圆.故选B.

点拨 本题主要考查空间直线与平面所成的角的概念与求解、动点的轨迹等问题，是立体几何与解析几何的交汇综合题. 其中还涉及到三角知识、平面几何知识的灵活应用，最后用课本中一道经典例题的结论（阿波罗尼斯圆）“一剑封喉”.

五、建模新的应用

例5 某同 学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中[AC，BD]是过抛物线[Γ]的焦点[F0，1]的两条弦，且[AC?BD=0]，点[E]为[y]轴上一点，记[∠EFA=α]，其中[α]为锐角.如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，则[α=] .

解析 由抛物线[Γ]的焦点[F0，1]得，抛物线[Γ]的方程为[x2=4y].

设[AF=m]，则点[A-msinα，mcosα+1]，

[-msinα2=4mcosα+1]，

即[m2sin2α-4mcosα-4=0]，

解得[m=AF=2cosα+1sin2α].

同理，[BF=21-sinαcos2α，DF=21+sinαcos2α，]

[CF=21-cosαsin2α].

所以“蝴蝶形图案”的面积[S=SΔAFB+SΔCFD]

[=12AF?BF+12CF?DF][=41-sinαcosαsinαcosα2.]

第7篇：双曲线的定义范文

（1）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及其简单性质．

（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．

（3）了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想．

2． 圆锥曲线及其性质的难点

（1）理解并掌握圆锥曲线的基本概念、标准方程及其简单的基本性质．

（2）熟练掌握圆锥曲线的性质及与直线、圆锥曲线的关系，构建良好的知识网络，提高分析、解决问题的能力．

（3）圆锥曲线的概念、性质、方程等基础知识稳中求活，稳中求新，常涉及的有：方程、几何特征值（a，b，c，p，e）、直线与圆锥曲线问题．

1． 圆锥曲线基本量的运算

（1）待定系数法，利用已知条件求标准方程中的相关量．

（2）利用统一定义巧妙求解圆锥曲线的方程、轨迹问题．

2． 圆锥曲线的三种主要方法

（1）定义法

椭圆、双曲线有两种定义：尤其应注意第二定义的应用，常常将焦半径与“点到准线距离”互相转化．

抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明．

（2）韦达定理法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量的过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求”法．

（3）点差法：用于解决弦中点及直线斜率相关问题．

3． 圆锥曲线中的三把向量“金钥匙”

（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的复习原则． 《考纲》对知识点与能力的要求作出了明确规定，所以我们的复习必须围绕《考纲》进行；本章的大多数考题是课本的变式题，所以我们必须高度重视课本中例题与习题．

（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率等有关量的关系． 如果在解题时，我们能灵活运用定义法，就可避免烦琐的推理与运算．

第8篇：双曲线的定义范文

关键词：具体　抽象　离心率　不等关系

我国著名数学家华罗庚指出“从具体到抽象是数学发展的一条重要大道”，当我们面对纷繁的同类型问题时，如果我们不去归纳整理、化具体为抽象、提炼数学模型，而只是一味地机械模仿计算、求解的话，就很难做到对知识的深刻理解，以及对问题本质的把握。我们只有在备考中不断地归纳总结，由具体到抽象，再由抽象到具体，才能在考试中以居高临下的观点看问题，也才能达到“看山不是山，看水不是水，看山还是山，看水还是水”的境界。下面我以对离心率取值范围问题的讨论为例，例说高考备考中如何从具体到抽象，构建数学模型，使高考复习有章可循，少走弯路。

题型一：已知圆锥曲线两焦半径大小关系求离心率的取值范围问题

例1．双曲线■-■=1，（ɑ＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且PF■=2PF■，求双曲线离心率的取值范围。

分析：解决本题的关键在于确定a，b，c，e的不等关系，题目只给了两焦半径的等量关系，难点在于挖掘题目中的隐含条件确定不等关系。一方面我们可通过几何图形定性分析，找到边的不等关系，另一方面，也可通过定量计算，利用双曲线的性质范围由方程过渡到不等式，从而确定不等关系。

解析：方法一：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，又PF■≥AF■=c-ɑ（点A为双曲线和x轴右半轴交点），所以2ɑ≥c-ɑ，即3ɑ≥c，亦即e≤3，又e＞1，故1＜e≤3。

方法二：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，PF■=4ɑ，由P为双曲线右支上一动点，由三角形边的关系得PF■+PF■≥F■F■，当且仅当P与A重合时取“=”　即4ɑ+2ɑ≥2c，即3ɑ≥c，亦即e≤3，又e>1故1＜e≤3。

方法三：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，由双曲线的第二定义得PF■=ex0-ɑ，所以2ɑ=ex0-ɑ，又由双曲线的范围x0≥ɑ得e≤3，又e＞1，故1＜e≤3。

下面我们探讨当两个焦半径边的数量关系由具体过渡到抽象时，离心率的变化情况。

变式一：若将条件PF■=2PF■改为PF■＝？酌PF■，（？酌＞1）结果又会怎样呢？

解析：方法同上，结合焦三角形，利用双曲线定义及边数量的关系，易得离心率的范围是1＜e≤■。

若将圆锥曲线类型改变，其他条件不变，离心率的变化范围又会怎样呢？

变式二：在变式一的前提下，若将条件双曲线■-■=1，（ɑ＞0，b＞0）改为椭圆■＋■=1，（ɑ＞b＞0）结果又会怎样呢？

解析：类比双曲线离心率范围问题求法，可得椭圆■＋■=1，（ɑ＞b＞0）当PF■＝？酌PF■时离心率的范围为■＜e＜1。

题型二：已知圆锥曲线两焦半径夹角关系求离心率的取值范围问题

例2．椭圆G：■＋■=1，（ɑ＞b＞0）的两焦点为F1（-c，0），F2（c，0），椭圆上存在点M使■·■＝0。求椭圆离心率e的取值范围。

分析：一方面可回归椭圆定义，借助焦三角形，建立边的等量关系，再利用均值不等式，将等量关系过渡到不等量关系，得到离心率的范围。另一方面，可以将存在性的问题转化为方程组有解的问题，进而建立了不等关系。另外，还可以从运动变化的角度，考查动点在整个运动变化过程中角的变化情况，从而确定范围，再借助三角函数变换将角的不等关系转化为边的不等关系，进而得到离心率的取值范围。

解析：方法一.由题意得，焦三角形MF1F2为直角三角形，MF■2＋MF■2＝F1F22，设MF■＝m，MF■＝n，则m2＋n2＝（2c）2①；又由椭圆的定义得MF■＋MF■＝2ɑ，即m＋n＝2ɑ②，将②平方得m2＋n2+2mn＝（2a）2③。③-①得2mn=4（a2-c2），即mn＝2b2。由均值不等式可得，即mn≤（■）2，即2b2≤a2。由于e2=■=■=1-■≥1-■=1-■=■，又由0＜e＜1，可得椭圆的离心率为■≤e＜1。

方法二：设点M（x，y），椭圆上存在点M使■·■＝0，可转化为方程■＋■=1，（ɑ＞b＞0）①与方程x2＋y2=c2②组成的方程组有解，联立①②整理得（ɑ2-b2）x2=ɑ2（c2-b2）③，由ɑ＞b＞0，得a2-b2＞0，所以③式有解只需c2-b2≥0，即c2≥b2，再由e2=■=■≥■=■，又0＜e＜1，可得椭圆的离心率为■≤e＜1。

方法三：当点M在椭圆上运动时，∠F1MF2的大小在不断地变化，当点M运动到椭圆的上下顶点时，∠F1MF2达到最大值，不妨设为角θ，若椭圆上存在点M使■·■＝0，即存在角∠F1MF2=90°，所以，只需θ≥90°，转化到FBO中即■≥45°，则tan■≥tan45°，则■≥1即c2≥b2，再由e2=■=■≥■=■，又0＜e＜1，可得椭圆的离心率■≤e＜1。

接下来我们继续探讨当两个焦半径所成角的大小关系由具体过渡到抽象时，离心率的变化情况。

变式：若将条件■·■＝0改为（■，■）=？琢结果又会怎样呢？

解析：完全类比上面问题的解析方法，可得当（■，■）=？琢时离心率的取值范围是■≤e＜1或■≤e＜1。

离心率取值范围问题是高考的高频考点，又是高考的难点，而解决此类问题的关键在于根据题目条件，挖掘隐含条件，确定a、b、c、e的不等关系。常用的方法：（1）借助平面几何知识对图形进行定性分析。（2）运用坐标法转化成代数运算，借助圆锥曲线的性质求解。另外，在分析问题时要注意运用运动变化的观点考虑问题，研究变化规律，寻找引起离心率变化的决定性因素。

第9篇：双曲线的定义范文

设直线y=kx+b与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=√(1+k²)[(X1+X2)²-4X1X2]。

在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的半实轴。

（来源：文章屋网 ）