等比数列教案精选(九篇)

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第1篇：等比数列教案范文

关键词：高中数学；数列章节；问题教学

数列章节是高中数学知识结构体系的重要构建要素，是高考数学试题命题的重要环节，也是学生学习能力技能培养的重要载体。数列是刻画离散现象的数学模型，是高中数学的重要内容，数列章节问题案例以其多变的形式和灵活的求解方法而备受高考试题命题者的关注，历年都是高考命题的热点。当前，技能型学习人才已成为新课改下能力培养的目标和归宿。近年来，本人在数列章节问题案例教学活动中，通过自身的教学和学生的解答活动，深刻认识到数列章节问题案例教学对高中新课改能力培养目标要求进行了有效实施，生动表现出了问题案例教学对学生能力培养所起的促进和提升作用。本人现结合数列问题案例教学实践体会，简要论述利用数列问题案例培养学生能力发展方面的策略和体会。

一、利用数列问题案例探究性，鼓励学生开展合作探究活动

常言道，千里之行，始于足下。学生进行问题案例解答活动，就是学生之间互助合作进行问题探究、分析、解答的过程。合作探究能力的培养，对高中生有效探索解题要领和方法，具有显著的推动和促进作用。高中数学教师在数列问题案例教学中，要善于利用数列问题案例在展现知识要点要义上的概括作用，设置具有探究合作特性的问题案例，让学生在群体合作中，开展问题探索分析活动，实现互助合作探究问题能力的有效提升。

如在“等比数列的前n项和”问题课教学中，教师根据“等比数列的前n项和公式、性质以及与函数的关系”等内容，设置了“已知等比数列{an}的前n项和为2，其后为2n项的和为12，求再后面3n项的和”问题案例，引导学生开展合作探究问题活动，学生组成小组合作探析问题活动时，认识到该问题是考查学生等比数列的性质以及求和公式的应用。此时，学生之间结合问题条件，共同讨论问题案例解题方法，通过集体探讨认为，由已知条件，利用等比数列的性质，根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程，解出a1和q关于n的表达式。此时，学生进行问题案例解题活动。学生在集体合作的探究问题过程中，探究问题能力得到了锻炼，探究效能得到了提升，实现了学生合作意识和探究能力的双提升。

二、体现数列问题案例发散性，引导学生开展创新思维活动

发散性是数学问题案例的根本特性之一，数列章节问题案例同样具有此种特性。高中数学教师可以将发散性数列问题作为学生思维灵活性、全面性特性培养的重要抓手，鼓励和引导学生找寻解题不同“突破口”，实现学生创新思维活动效能的提升和进步。

如在“等差数列的通项公式”问题课教学中，教师根据“等差数列的通项公式”教学重难点，将该节教学内容考查知识点融入渗透到“若数列{an}是等差数列，且a15=33，a45=153，求a60”问题案例中，引导学生开展问题解答活动。在该问题解答中，教师采用“小组探究”的形式，让学生组成学习小组开展问题探究分析活动，学生认识到，该问题是关于“等差数列的性质的灵活运用”的问题案例。此时，教师要求学生结合等差数列的性质进行该问题案例思路的探析，在探析过程中，有的学生提出，可先利用a1和d求得通项公式，再求a60，有的学生提出可以利用等差数列通项公式的变形公式an=am+（n-m）d求得d，也有的学生提出可以利用等差数列中等距离求出各项组成的新数列仍为等差数列的性质求a60。此时，教师让学生进行解题活动。最后，教师对学生创新思维活动进行肯定性评价。这一过程中，教师通过学生合作探析发散问题的不同解题思路及方法，思维活动更加灵活，思维活动更加全面，有效提升学生思维创新能力。

三、放大数列问题案例综合性，开展综合辨析活动

笔者在数列章节知识体系的研析和问题案例的教学实践中，可以看出，数列章节知识点与函数、方程以及不等式等章节知识内容存在密切联系。同时，数列命题也已逐步与函数、方程、不等式以及几何等知识综合，以内涵丰富、思想深刻的综合性问题形式出现，成为培养学生数学综合运用能力的有效抓手和综合性解题技能培养的重要载体。

如在数列章节复习课问题教学中，教师设置了“已知数列{an}是等差数列，且a1=50，d=-0.6，（1）从第几项开始有an＜0，（2）求此数列的前n项和的最大值”问题。通过对该数列问题案例的分析，可以看出此案例是要运用到不等式以及二次函数等知识内容的综合练习题。如在（1）解题时实质上是解一个不等式，但要注意n∈N，（2）实际上是研究Sn随n的变化规律，通过分析发现，由于等差数列中的Sn是关于n的二次函数，可用二次函数的方法求最值。学生对该类形式新颖、构思巧妙的综合性问题进行解答时，能够对学生函数与方程思想策略的有效运用起到促进作用。高中数学教师在实际教学中要善于运用综合性问题案例开展有效教学，提升学生学习思想和素养。

第2篇：等比数列教案范文

一、链接生活，生动导入

数学的众多知识都是来源于生活，生活是生动的，数学是抽象的，可以说数学是生活实际的模型化。在实际的教学中，我们可以返璞归真，将知识还原到生活中，通过知识链接生活，生动导入课堂。

必修五第二章开启了数列的教学，数列就开始进入学生的视线。数列的概念比较简单，但是变式复杂，有着多种多样的变式。这时候就需要抓住本源，从根本处理解知识。在引入等差数列概念时，我选用了一个生活实例。王老板开了一家饭店，随着事业的发展，他面临一项投资的选择。方案一：一次性投Y5万元，6年后收益12万元。方案二：一次性投资7万元，第二年收益1万元，以后每年收益比前一年多0.5万元。比较两种方案。这一案例提出之后，引起了学生的积极讨论，学生身临其境，仿佛自己就是饭店老板一样，都兴致勃勃地想管理自己的“财富”。第一种方案的收益很明显，利润所得即为收益-投资=10-5=7万元，这就作为一个比较标准，与方案二进行对比，关键要看方案二的收益模型。首先看6年后的收益，每年累计求和为1+1.5+2+2.5+3+3.5= 13.5万元。那么6年之后所得利润=13.5-7=6.5万元，6.5万元小于方案一中的7万元。从相同的投资期来比较的话，方案一所得利润更大。但是如果将方案二的投资期再延长一年，二者所得的利润就相当了。如果再延长一年，方案二将超过方案一。方案二的增长模型就是一个等差数列，虽然起点低，增长慢，但是一直有增长，最终会取得一个数值很大的结果。

通过这样一个贴近现实的例子，就生动地引出了等差数列的概念，并且隐含地带出了数列求和的意义与需要。只将数列变成一列数字，其概念是晦涩难懂的，各种公式也将变成一种单纯的数字符号，求和、变换等也将变得失去实际的意义。

二、自主归纳，深化意识

数列中最为重要的可以说就是求和公式了。但是如果公式只是要求学生进行背诵的话，容易造成遗忘，对学生自身的思维能力的提高也没有积极的影响。因此，作为教师要善于“让权”，引导学生自主总结归纳公式。

等差数列的公式比较简单，适合学生自己去探索。在推导等差数列的前n项和的时候，我引入了一个经典的加法给学生启示思路。题目是“1+2+3+…+98+99=？”这道题目我们在小学就曾经破解了。题目的解答是采取巧妙的方式，加法式中共有99项，第一个数与最后一个数相加的和是100，第二个数与倒数第二个数相加是100，以此类推。那么整个式子就可以归结为49个100相加，再加上一个50，结果即为4950。那么这种思想就可以延伸到等差数列求和当中，学生以此为启发探究等差数列的前n项和。我们记数列前n项和为Sn，首项为a1，公差为d。学生经过1到99加和的启发，将前n项和相加分为了奇数项数和偶数项数两种。对于偶数项数，正好分为 n个首末项相加的和，用符号表示即为Sn= n×（a1+an）= n（a1+a1+ （n-1）d）=na1+ n（n-1）d。对于奇数项数，则会多出来一项，这项是第

项。此时的求和则是Sn= （n-1）×（a1+an）+a（1+n）/2= （n-1）（a1+a1+ （n-1）d）+a1+ d=na1+ n（n-1）d，这时候学生就会发现虽然进行了分类讨论，结果却能统一，经过自身的推导，结论掌握的程度要超过教师讲解。

数列的求和公式往往是能统一成相同形式的，但是数列的种类越积越多，仅仅凭借背诵记忆是很容易混淆的。正因为这样，让学生自己进行推导，掌握的知识就更加牢固，正所谓“授人以鱼不如授人以渔”。

三、多元交流，引导反思

一个“1”再加一个“1”，结果是“2”；但是一种思想“加”另一种思想，结果可能就是很多种思想。所以说，学习中的交流是必不可少的，课堂上的交流不仅只是教师与学生之间，更应该普及在学生与学生之间。

以一道例题的讨论为例。题干如下：已知等差数列的前5项和S5=10，前10项和为S10=30，求数列的前15项和S15。学生大多数采用的是先求数列的公差，然后求出首项，进而得出通项公式。有了通项公式，整个数列就相当于已知了，代入所求的前15项和的要求，问题即可解决。一般到了这里，问题就算结束了，但是此题还有更巧妙的解法，我没有点破，只是让学生各自结组讨论。很快就有小组发现了，已知与所求的角标有着特殊的联系，5，10，15构成了一组等差数列。该小组提出这一发现后，其他小组有意识地将结果进行横向比较，回顾刚才的运算结果S15=60，大家发现S5，S10-S5，S15-S10也是呈等差数列分布的。一石激起千层浪，规律就这样被发现了，进而又有其他小组借助这两个小组的“科研发现”，找到了这种理论的依据，即为S5，S10-S5，S15-S10的意义是第一个5项和，第二个五项和，第三个五项和这样分布的，这样也构成了一个“大”的等差数列。

如果按照常规的解法，恐怕整个班级都要用同样的传统解法来解数列求和的题目。“众人拾柴火焰高”，通过学生的多元交流，新的规律就可以被发现，新的方法就会被传播，可以引发学生自我的反思与提高。

第3篇：等比数列教案范文

学案“引导式”教学模式是以教师指导下的学生自己的学习、概括、探究、总结的教学方法。它把教师的教与学生的学紧密地结合为一体，充分体现教师“导”的技能，强调教师的巧妙点拨、指导，真正体现教师的主导作用。

新课改实施以来，我迷茫过、努力过，从学习杜郎口、洋思等先进的教育理念，到将理念与课堂教学相结合，一步步走过来，紧跟课改步伐，颇有成就感。但就是三个月前的一节课改变了我。

现把这节课的落实过程记录如下：

第一节课：发学案（数列的通项公式的求法）。首先，学生依据学案要求仔细研读教材，独立思考问题。其次，教师让学生在学习小组内研讨疑难问题，一对一帮教，“兵教兵”互助教学，让学生在讨论中解疑，在合作中提高学习能力。最后，学生找出有问题的题目。教师在自主课上的主要任务是发现学生存在的问题，重视对学生认知、情感、意志的良好习惯的培养，并对某个小组或个人进行适当指导。

课堂实录：

教师：上课。学生起立。

教师：今天我们共同学习：数列的通项公式的求法。并板书。

教师：我了解到大家不会的题目很多，但是不要着急，我们一块来解决。这节课我们首先来看：

・含an，sn的式子求通项型，an+1=Aan+B型――这两种类型。并板书。

・含an、sn的式子求通项

1.S1=1，Sn+1=3Sn+2，求an. 2.a1=1，Sn=4an+2，求an

师：那位同学给大家展示？

生A：根据题意，容易求得：a1=1，a2=4，a3=12，a4=36，…发现：从第二项起，构成等比数列。从而，得到：an=1，n=14・3■，n≥2 。

生B：你用了归纳法，能不能证明一下。

师：B同学说的很对。A同学解题过程中使用的不完全归纳法，需要用数学归纳法证明，但是，文科没有学习数学归纳法的内容。A同学的结果是对的，但是用这种方法得到的结果有可能是错的。那位同学有别的解法？

生C：S■=3S■+2，

S■=3S■+2

两式联立，得：S■-S■=3S■-3S■

a■=3a■，

■=3。下面的不会了。

师：D能不能解释一下？

生D到讲台，与C共同解决。但是未能解决。

生B：等比数列，公比是3，a■=1・3■=3■。

师：S■=3S■+2，（n∈N*），如何去掉S■呢？由于S■=a■+a■+a■+…+a■+a■，S■=a■+a■+a■+…a■，S■=3S■+2，（n≥2），联立后得到的结论中都有条件：n≥2，所以■=3（n≥2），即■=■=■=…，说明数列a■从第二项起，构成等比数列。

a■=1，n=14・3■，n≥2。含a■s■的式子求通项时，一般利用a■=S■，■，S■-S■，n≥2，消去式子中的S■，得到递推公式，然后求通项公式。现在练习第2题。

生C走上讲台：S■=4a■+2（n≥2），与S■=4a■+2联立，得a■=4（a■-a■）（n≥2），3a■=4a■（n≥2），a■=■a■（n≥2），

a■是首项为a■，公比为■的等比数列。a■=1・（■）■，a■=（■）■同学鼓掌。

生C：老师，是不是只要碰到含a■，S■的关系式，就是利用a■=S■，n=1S■-S■，n≥2消去S■？

师：想得到通项公式（a■的表达式），就消去S■，如果要得到S■的表达式（前n项和公式），就要消去a■。比如，此题如果求S■，因为已知S■=1，S■=3S■+2，这就是下一种类型a■=Aa■+B的问题。大家一块来看下面的问题：

・a■=Aa■+B型

1.a■=2，a■=2a■+3，求a■。2.a■=2，a■=■a■+1，求a■。

师：哪位同学以其中一题为例讲解这种类型？

生E：讲第2题：a■=2，a■=■a■+1，求a■。a■=■a■+1，两边都减去2，得a■-2=■a■-1，a■-2=■（a■-2），■=■，a■是首项为a■，公比为■的等比数列，a■=1・（■）■=（■）■。（简洁、清楚）掌声（全班学生鼓掌）。

师：学会的请举手。有一半同学举手。

师：这道题中，为什么要在等式两边都减去2？

师：生E？

生E：我一个一个试，试出来的。

师：不知道这个数是多少，我们可以用待定系数法。设a■+m=■（a■+m），a■=■a■+■m-m，a■=■a■-■m，由已知a■=■a■+1，得m=-2，a■-2=■（a■-2），■=■，a■-2得是首项为a■-2=-1，公比为■的等比数列。a■-2=（a■-2）・（■）■，a■=2-（■）■.

生F：为什么？

师：关键是理解好数列a■-2，第一项a■-2，第10项a■-2，…■=■，说明从第2项起，数列a■-2的任一项a■-2与它的前一项a■-2的比值是同一个常数■，那么，a■-2是首项为a■-2=-1，公比为■的等比数列。同学们，请做第1题。哪位同学愿意上来做？

生G：a■+m=2（a■+m）+2，a■=■a■+m+2，m=0，…

生H：设的不对。应该为a■+m=2（a■+m），a■=2a■+2m-m，原来的2=2m-m.，就不能再出现。

生I：对，如果按照G的计算方法，m只能等于0.

生H：m=3.a■+3=2（a■+3），■=2，a■+3是首项为a■+3=5，公比为2的等比数列。a■+3=5・2■，a■=5・2■-3.

师：（很高兴地）留点时间，大家想想。

师：那位同学对这类题的解法有看法？

生I：a■=Aa■+B型，可设a■+m=A（a■+m）.其中A不能变。

全班鼓掌。

下课铃响。

第4篇：等比数列教案范文

【关键词】高中数学；有效教学

课堂是教师知识传授的“主阵地”，学生技能锤炼的“主渠道”。传统理念下的数学教学，将学生解答问题、提高学习成绩作为唯一追求目标，忽视学生学习能力方面的培养，同时，加之高考升学压力的影响，部分教师在此方面表现得尤为显著。当前，新实施的高中数学课程标准指出，注重学生主体内在特性的激发，重视学生探究合作创新能力的培养，善于利用现有教学资源，使学生在高中数学教学活动中，学习技能和学习素养得到“双提升”。近年来，本人根据新课标要求，结合教学纲要目标，就开展高中数学课堂教学有效策略进行了探索和实践，本人现从“三个结合”方面开展有效教学活动，进行简要论述。

一、坚持教学内容设置与学生学习实际相结合，实现学生学习效能整体进步

学生个体之间在学习方法、学习能力以及智力发展等方面存在差距，致使学生在解题水平和学习效能上表现出差异性。新实施的高中数学课程标准则将“人人获得发展和进步，人人掌握必需的数学知识”作为有效教学的根本要求，倡导“整体性教学目标”教学模式。这就要求，高中数学教师在课堂教学中，要坚持“为了一切学生发展”理念，在教学目标、新知传授、教学方法中，渗透整体性教学理念，将教学内容与学生实际进行有效结合，使每一学生类型都能找准“定位”，参与探究，掌握知识。

如在“任意角三角函数”教学活动时，教师将教学准备作为有效教学的重要条件和基础，在制定“1.理解任意角的三角函数的定义；2.会求任意角的三角函数值；3.体会类比，数形结合的思想”教学目标基础上，针对不同类型学生学习实际，将“理解任意角的三角函数的定义”作为课堂教学重点，将“从函数的角度理解三角函数”作为新知教学的难点。在上述教学活动中，教师通过设置具有“一一对应”特性的教学内容，很好体现了“因材施教”的教学原则，这样，教师在内容选择和新知传授上，能够有所侧重，有的放矢，学生在学习新知和掌握新知上，能够找准“坐标”，锻炼实践。

二、坚持问题教学过程与解题方法传授相结合，实现学生探究方法有效掌握

问题：设等比数列{an}的公比为q ，前n项和为Sn ，是否存在常数C，使数列{Sn+c}也成等比数列？若存在，求出常数C ；若不存在，请说明理由。

分析:该问题是一道数列方面的数学问题案例，并且是具有开放性的数学问题案例。在进行该类型问题案例解答时，其一般方法是从假设存在入手, 结合等比数列相关概念、性质等内容，逐步深化解题进程，同时，要注意等比数列 n 项求和公式中公比的分类,公比q=1的情形。

解题过程：设存在常数C，使数列{Sn+c}成等比数列。

(Sn+c) (Sn+2+c)=( Sn+1+c)2

Sn.Sn+2-S2n+1=c(2Sn+1-Sn-Sn+2)

当q=1时, Sn=na1代入上式得

a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca1[(a(n+1)-n-(n+2)] 即a12=0

但a1≠0, 于是不存在常数 C，使{Sn+c}成等比数列。

当q≠1时，Sn=■， 代 入 上 式 得

■(1-q2)=■(1-q)2，c=■

综上可知，存在常数c=a1/(q-1),使{Sn+c}成等比数列。

总结提升：这是条件探索性开放型的问题案例，该类问题大致可分为条件未知，需要探注和条件不足，要求寻求充分条件两种。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。

上述解题过程中，教师发挥学生主体能动性，将探究解题方法作为学生进行问题解答的重要任务，使问题解答过程变为探寻问题解法过程，实现了问题解答过程与揭发要领传授的有效融合，切实提升了学生探究实践的学习能力。

因此，高中数学教师要将问题解法传授作为开展有效教学活动的重要内容，借助数学问题在知识要义方面的精辟性和学生能力培养上的发展性，发挥主体能动特性，引导和指导学生进行探究解答活动，使学生在掌握有效解题方法基础上，探究实践能力获得显著提升。

三、坚持新知巩固练习与解题评价辨析相结合，实现学生思维素养良性提升

学生是教学活动的参与者和学习活动的主人，其主体性不仅仅表现在解题方法传授环节上，还表现在对解题过程及解题方法的辨析中。这就要求，高中数学教师要善于抓住学生在学习新知、问题解答等方面表现出的“症结”，针对学生解题过程、解题方法以及解题思路等方面的不足，利用学生自主反思能动性，借助评价教学指导作用，创设问题辨析评价环节，让学生开展问题解答评价活动，使学生在问题评价中，新知得到复习巩固，不足得到认清改正，达到提升思考分析水平，形成良好思维素养的目标。

问题：已知有一个有穷的等比数列，它的首项为1，并且项数为偶数，现在知道这个等比数列奇数项的和为85，偶数项的和为170，试求出这个数列的公比和项数。

这是一道关于等比数列方面的问题案例，教师在教学活动中采用巩固性教学原则，将知识巩固与问题辨析有效结合，学生分析如下：

设等比数列为{an}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q。

解题过程略。

此时，教师引导学生开展问题辨析活动，学生根据解题经验，结合各自问题解题过程，通过辨析、反思活动，认识到：“运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论。有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的”。此时，教师与学生共同巩固新知，让学生领会解答该类型问题解答方法，然后，再要求学生反思，针对性的进行补正。

第5篇：等比数列教案范文

自然思维――根据自我认知，合情推测，想当然地、顺其自然地思维.

直觉思维――根据知识经验，自觉和直接的思想方式.直觉思维往往表现为潜意识、下意识和无意识的，是非逻辑思维的一种思维形式.[1]在教学中如何关注学生主动性思维的培养，本文以人民教育出版社高中课程标准实验教材《数学》必修五数列部分内容和课堂教学案例来作为尝试.

一、求通项公式两种教学设计的对比

在介绍等差数列通项公式时，根据教材给出的方法，常见的教学设计是：

教师问：由等差数列的定义，前后两项之间的关系是什么？

学生写出：a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.

教师再问：各项如何用a1，d来表示？

学生写出：a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，…

教师请学生填空得到通项公式an=a1+（n-1）d.

然后教师进一步说明这种方法的意义是由个例归纳出一般，是一种合情推理（合理猜想），关于其证明涉及以后的数学归纳法.

据笔者了解，当前大多数教师基本采用这一方法，并且制作了相应的课件.笔者认为，这样的教学方式，只是一种启发引导式的思维培养，看似学生参与了，实质上还是停留在学生由教师主导下被启发引导的一种思维方式，还没有充分体现出让教学的主体――学生自主学习[2]，或者说主动性思维的层面.

笔者的教学方案是：

教师设问：等差数列是一种有规律的数列，这个规律是什么？他的通项公式如何探究？

学生讨论后答：规律就是定义，通项公式可以从项与项之间的关系来推测.

教师要求：

那么请大家进行自主探求.

学生们讨论后基本上有两种方案.

（1）由定义得a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.

a2=a1+d，a3=aa+2d，a4=a1+3d，…，推测得an=a1+（n-1）d.

（2）由a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，把以上各式相加得an-a1=（n-1）d，an=a1+（n-1）d.

教师小结：这两种方法都很好，各有特点.

方法一反映了归纳推理、合情猜想的思维，但是归纳猜想的结论是否正确，需要严格的演绎证明.关于这个证明，今后的证明方法中专门会介绍数学归纳法.

方法二是一种很好和有用的推理证明思想――“累加法”.凡是相加可消去中间项的都可以尝试这种方法.

这样的教学方案，在体现学生主动性思维上显然比第一种方案要好，它注重了学生的自然思维和直觉思维.只要我们有意识，这种教学设计可以在其他内容上继续尝试.

二、求前n项和两种教学设计的对比

在介绍等差数列的前项和时，大部分教师参照教材一开始给出的高斯思想进行提示，并且再把这个思想与求和结合起来.其实许多学生，尤其是初中学过和课前预习过的学生，他们的思维就只停留在高斯的思维引导下，而缺失了自觉主动创新思维的意识，只感受到了高斯的“聪明”，而没有意识去尝试这种“聪明”思维自己能否产生和如何产生.这样被动的思维培养其实只是一种形式而已，这样的思维过程也很不“顺其自然”.如果意识到主动性思维的培养，可以设计这样的教学方案.

教师不作任何提示，直接让学生尝试求和. 学生思考后，基本能够自然地利用通项把每一项的第一个相加，第二个概括在一起得到：Sn=na1+[1+2+…+（n-1）]d. 到了这里，学生们就能自然而主动地想到求Sn就是求1+2+…+（n-1）.关于自然数求和，有的学生就回忆起了高斯方法.更可喜的是，即使没有想到高斯，从1+2+…+（n-2）+（n-1）的形式看，大多数学生也想到了1+（n-1）=2+（n-2）=…，也就是说“与首末等距离的两项之和相等”，这样就得到了Sn.

如果是1+2+…+n呢，显然也成立.

到此，再请学生们看高斯的思维，学生们就会自信地感到自己和高斯一样可以创造性地思维，就会增加学习的主动性和兴趣.

教学至此，教师只要提一句：等差数列有否这个性质？

几乎全体学生都能得到等差数列有这样重要的性质：“与首末等距离的两项之和相等.”即a1+an=a2+an-1=….从而自然想到Sn的求法是Sn=a1+a2+…an，Sn=an+an-1+…+a1，2Sn=n（a1+an），Sn==na1+d.

三、通过习题检验两种设计的效果

至此，求和已完成，接下来是巩固和拓展.

教师小结重要的两点：

1.数列的问题往往要从项着手分析，同学们想到的“拆项法”很重要和有用，比如把每项拆成两个甚至多个，分别将第一个，第二个…合并求和.再比如拆成两个后有可能前后有关联，请学生做课本P47习题4.

对于习题4，本来有许多学生是陌生和困难的，但由于有了前面的思维基础，大多数学生这时能很自然地得到：

Sn=++…+=（-）+（-）+…+（-）=1-.

教师进一步提出求Sn=++…+. Sn=+++…+.

并提醒学生注意不同的细节.

教师更进一步提出对于等差数列{an}，求Sn=++…+.

从具体课堂效果来看，学生会顺利解决并自主总结出方法――拆项相消法.

2.等差数列的重要性质：“与首末等距离的两项和相等.”即a1+an=a2+an-1=at+an-t+1，这是很有用的性质，利用它可以灵活、快速、准确地解题.在具体问题中，要注意的是如果n是奇数，则中间是一项；如果n是偶数，则中间是两项.

进一步请学生应用练习：在等差数列{an}中，（1）已知a7，求S13；（2）已知a5，a11，求a8，S15；（3）已知S21，求a7+a15.

通过以上练习，学生体会到了用此性质的快捷，激发了主动学习兴趣和求知欲，再次感悟了数学的奥妙和乐趣.

这样的教学设计方案所反映的思维过程完全体现了学生的主动性思维，自然而流畅，而且在思维过程中可以得到有用的重要方法，为后续学习提供基础.

四、在等比数列教学中的应用

在等差数列中有了这样的思维，在接下来的等比数列通项公式教学设计中就可以更自然地让学生主动性地思维.

等比数列通项公式（课本P50）仍然是用探究的方法让学生由前n项的个例归纳猜测的，也没要求给予推理证明.笔者的教学设计改进为：

教师设问：等差数列和等比数列的区别和联系是什么？如何用这种联系和等差数列的通项公式探究方法来得到等比数列的通项公式？

学生讨论后，基本上能明确“差”和“比”的关系，从而除了由个例归纳猜测外，还很自然地由等差数列的“累加法”得到了等比数列的“累乘法”.

由=q，=q，…，=8，各式相乘得到：=qn-1，an=a1qn-1.

趁着学生对两种数列关系的兴趣，教师可进一步让学生回忆等差数列前n项和中有一个什么重要性质，等比数列中相应的性质又是什么.

几乎所有的学生都能主动自觉地意识到“等比数列中与首末等距离的两项的积相等”.即a1an=a2an-1=…=atan-t+1.

然后给出相应的练习让学生体会其重要应用和巩固掌握.

从以上的一些教学设计可以认识到，教材的处理和课堂教学设计对学生主体的学习兴趣、主动性思维培养和知识的主动牢固的掌握运用是非常重要和有意义的.作为数学教师，在这些方面应予以更加重视和加强.只要我们在教学实践上有这样的意识，我们的教学主体――学生的数学思维就会更自觉、自然而有创新，学习数学就会更主动积极而有兴趣.

参考文献：

第6篇：等比数列教案范文

一、引导学生学习数学基础概念

数学概念知识，是学生必须要掌握的数学基础知识.学生只有了解了一个数学新概念，才能了解这一数学知识可以应用在哪个数学领域中，它的性质是什么、演变出来的公式是什么……在数学教学中，教师要重视数学概念的教学，帮助学生打下良好的数学基础.例如，在讲“等比数列”时，教师可以引导学生填写下表，同时引导学生思考等比数例概念.学生总结出等比数列的概念后，教师提出几个拓展问题：假设现在数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，那么{an+bn}是不是等比数列？那么数列{pan+qbn}（p、q为常数）是等比数列吗？为什么？这样，教师引导学生通过表格看数学问题，让学生从体验案例的角度理解等比数列的概念；当学生结合数学体验初步整理出等比数列的概念后，教师再通过提问引导学生完善数学概念，避免数学概念总结出现漏洞.这是经典的数学概念教学案例，取得了良好的教学效果.因此，在数学概念教学中，教师不能直接告诉学生要学习的数学概念是什么，而要为学生创设情境、引导学生体验数学案例、从数学案例中抽象出数学知识、引导学生验证学习的成果.教师只有这样开展数学概念教学，才能让学生深入理解数学概念知识.

anbnan・bn（an・bn）

是否等

比数列例3×23n-5×2n-1-10×43n-1是自选1自选2二、培养学生学习数学知识的能力

学生掌握数学概念知识后，需要应用学习的新知识来解决数学问题.有些学生表示，虽然学过很多数学知识，可是在解决数学问题时常常不知道从哪个角度来解决数学问题.实际上，这是教师没有引导学生掌握数学思想的缘故.在高中数学教学中，教师要强化数学思想的训练，培养学生学习数学知识的能力.例如，在讲“函数”时，教师可以引导学生学习一道数学例题：求函数y=3+2-3x的值域.有的学生应用数形结合的思想先画函数图象，再解数学习题.教师引导学生思考：能不能根据这道数学题的特征运用更简单的方法解数学习题呢？在教师的引导下，学生把这道题与算术平方根的特性结合起来，认为算术平方根有双重非负性.如果结合这一特性来看待这道数学问题，就能把数学问题变得简单.于是学生再次解这道习题：由已知可得2-3x≥0，从而可得：3+2-3x≥3，于是函数的值域为[3，+∞）.这就是类比推理思维的应用.做这道习题后，学生了解到：遇到数学问题时，要仔细观察数学问题的特征，尽可能地找出最简单的解题方法.

三、促使学生尝试拓展数学知识

第7篇：等比数列教案范文

一、提出的问题，要考虑学生的认知基础

问题的提出，要考虑学生的认知基础，这是最基础性的建议，也是最直接的提问技巧．试想，教师向高中生提问一个大学数学的题，或者向高中生提出一个小学数学的问题，该是多么荒谬．有效的提问，需要建立在学生固有的认知基础之上．只有做到这一点，提问才能顺利进行下去．在高中数学教学中，教师要详细了解学生的认知程度，分析学情，再结合教学内容精心设计问题．例如，在讲“条件概率”时，我分析学生掌握知识的情况，提出这样的问题:什么是古典概型?什么是基本条件?对于古典概型，任何事件的概率计算公式是什么?这些问题都是学生学过的，通过简单回顾就能回答．这些问题作为新课导入，起到过渡的作用．紧接着，对学生进行提问:在利用概率公式时，需要计算出基本事件的个数，可以利用哪些知识进行计算?学生思考之后回答:计数原理知识．提出这些问题的目的就是为了对旧知识进行巩固，从而自然地引出新知识．这节课提出的问题都是基于学生已有的数学认识，使学生通过简单的思考便能回答出来．有了这些基础知识的回顾，课堂气氛变得更加活跃，开展新课教学更加方便．

二、提出的问题，要能将学生带入问题情境中

创设适合学生的良好的问题情境，是高中数学教学中的有效教学手段之一．在适当的教学情境下，学生的学习神经能得到放松，学习热情和动力也能被有效调动．在课堂提问时，教师需要注意这一点，问题的设计尽量满足这些要求，将学生快速带入问题情境中，激发学生学习数学的兴趣，促使学生主动探究和学习数学知识，从而使学生爱上数学，并体会到学习数学的乐趣．例如，在讲“离散型随机变量”时，我提出这样的问题:根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0．25，有大洪水的概率为0．01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案:方案1:运走设备，搬运费为3800元;方案2:建保护围墙，建筑费为2000元，但是只能用于防小洪水;方案3:不采取措施．哪种方案比较好?学生热烈讨论起来．我继续提出问题:如果你是决策者，你会选择哪个方案呢?依据是什么?这两个问题引得学生纷纷发言．有的学生建议采取方案1，有的学生更看重方案2，有的学生觉得方案3也不错．在对这几个方案的讨论中，我引导学生对每个方案的损失进行分析．这样的问题，快速将学生带入问题情境中．此时我引入离散型随机变量的概念和内容，使学生接受起来更加便捷．在教学过程中，引导学生对数学知识产生学习兴趣是提问的关键．因此，在设计问题时，教师要考虑到学生学习的兴趣和热情．

三、提出的问题，要有利于培养学生的自学能力

第8篇：等比数列教案范文

关键词：高中数学；类比思想；运用原则

在目前的高考卷中频频出现类比的开放性题型，所以教师在教学过程中，要积极引导学生运用类比的方法来学习并研究问题，促使学生形成积极进行类比推理的思维习惯。在高中数学教学中应用类比思想，不仅能够突出问题的实质，提高教学质量，而且有助于培养学生的想象力、创造力，最终提高学生发现问题、认识问题和解决问题的能力。所以本文将对应用思想在高中数学教学中的应用进行初步探讨。

一、类比思想对于高中数学教学的意义

1.能够促进学生由浅入深，由直观到抽象地学习新知识

数学中的众多概念、知识点之间有很多类似的地方，所以在新知识点的讲授过程中，恰当地运用类比的方法能够让学生易于理解和掌握。譬如，在高中立体几何学习阶段，教师可以让学生探索空间中的点面线是否具有与平面中类似抑或相同的关系。举例如下：平行公理（若直线a//b，b//c，那么a//c）在平面与空间中都成立；而在平面中成立的命题“如果直线ab，bc，则a//c”拓展到空间中则不一定成立。运用类比的方法可以让学生直接了解二者的不同，这对于学生抓住事物的本质具有事半功倍的效果。

2.在教学中贯通类比思想，能够充分调动学生的学习积极性

我们都知道，类比是获取知识的重要手段之一，它能够让学生在面对新知识时产生一种似曾相识的感觉，却又无法完全抓住和理解它，在这样的挑战下，易于激发学生的求知欲望，提高其学习积极性。

3.获得新知识，巩固旧知识

在高中数学教学中融入类比思想，能够让学生通过已学知识引出新的知识点，同时能够让学生在对新知识学习的过程中巩固了旧的知识点，达到相互促进的效果。

4.促进学生发散思维的形成

当学生拥有了一定的类比意识时，在遇到新问题的情境下，一定会主动找寻原有知识点，并将二者进行比较，以获得二者的相同之处以及内在联系。在长时间这样的思维方式影响下，可以有效地促进学生发散性思维的形成。

二、高中数学应用类比思想教学探究

1.适合高中数学教学的类比类型

（1）结构性类比

所谓结构性类比，是指将两个不同事物联系在一起，建立某种对应关系，之后通过二者内在的对应关系来建立类比关系。例如，在学习数列概念时，我们可以按照如下的方法来。

首先给学生讲解等差数列的定义：2an=an-1+an+1（n≥2）；讲解数列通项公式：an=am+（n-m）d；并对数列性质进行举例，等差数列连续n项的和所构成的数列依然是一个等差数列。

随后运用类比的方法，将减法类比到除法，加法类比到乘法，乘法类比到乘方，如此便可以使学生得到等比数列的类比概念。首先等比数列的定义：a2n=an-1an+1（n≥2）；数列通项公式：an=amqnm；数列性质举例：等比数列连续n项的积所构成的数列依然是一个等比数列。

这种运用类比思想的教学设计，能够让学生快速掌握所学知识点，并能够巩固之前所学的知识，同时引导学生对数学知识的内在本质联系进行研究。

（2）问题解法类比

通过新旧知识之间的类比，可以把不熟悉的知识转化为熟悉的；可以把复杂的知识点转化为简单的；可以把抽象的知识转化为具体的；还可以把特殊的转为一般的、具有共性的，最终找出分析问题的新思路、新途径、新方法，提高学生的解题能力。

当然，引导学生运用类比的方法来解决问题，首先这个问题就必须要蕴含一定的类比性的设计。在面对这样的问题时，学生可以运用类比思想将不同的解题方案进行比较，分析各种方案的利与弊，最终选择一种合适的、具有普遍性的此类题的解题方案。在教学过程中，教师适当地引入一些具有类比性设计的问题可以培养学生运用类比方法的习惯，促进学生思维能力的开拓以及教学效果的更好实现。

2.高中数学教学中类比思想的运用原则

（1）必须要注意练习的连续性与变化性

在教学过程中，教师必须要注意使用类比思想的连续性和变化性。连续性是促使学生掌握类比思想的前提，变化性是促使学生深刻理解并学会灵活运用类比方法的根本保证。持续的练习能够让学生对类比思想产生全面的认知，而不断变化着的练习则能让学生深刻掌握类比思想的精髓并灵活运用。

（2）灵活运用类比思想的启发性

在教学过程中，教师要充分利用类比思想的启发性，促使学生通过解题信息的猎取，提高对类比的使用技能。类比思想具有很强大的启发性。所以，将类比思想的启发性运用到极致，对于提高学生的分析能力、解决问题的能力具有非常明显的效果。

第9篇：等比数列教案范文

克服内容抽象、形式化给学习带来的困难的数学学习（教学）方式。本刊2014年第11期中学教育教学版刊登

的《从感官到思维的体验》和2015年第1期课堂观察版刊登的《通过“实验型学习”建立数学概念》，都呈现了上海市金汇高级中学的蒋云鹏老师关于“实验型学习”的思考与探索。文章登出后受到很多读者的欢迎，很多读者觉得“实验型学习”这一提法内涵丰富、启发性强，不仅仅是简单的CAI。因此，从本期开始，我们会在“专题研究”栏目中陆续呈现一些这方面的研究成果，以蒋云鹏老师的典型案例研究为主

。当然，也希望广大读者踊跃来稿，积极参与研究、讨论。

蒋云鹏

（上海市金汇高级中学，201103）

一、函数教学中的主要困难及其成因

函数作为整个数学学科的核心内容，在教学设计和实施中，

主要存在以下几个

难以把握或解决的问题：第一，函数概念的建立和形成比较困难，学生所学习的函数知识往往比较肤浅、零散，没有达到和抓住本质；第二，

缺乏对函数各种表达方式的价值分析及优势比较，特别是忽视函数对应值列表的过程；第三，函数图像的产生过程缺失或冗长。

上述困难从表面上看，都是由于教学时间不够所导致的；

但实际上，

都是因为忽视了“实验型学习”的基本思路，或没掌握“实验型学习”的主要策略。

传统的函数教学，一般都是先给出某类

函数的

具体定义（解析式），再绘制其大致图像，然后根据图像说明其性质，

此后大部分时间则用于解题。在这样的教学中，可感实例的呈现多数比较匮乏，对应值列表常常作为绘制图像的一个步骤被一带而过，绘制图像的过程往往比较粗糙。

有些教师认为，这些内容并不重要，只要讲解一下，无需太多的体验与感悟，

也没有必要花时间理解与巩固；多数教师则是出于无奈，只能把函数的意义、列表、绘图这些核心内容

讲解得“半生不熟”。

“实验型学习”的突出特点是：呈现大量的事实材料和现象，使学习主体

通过视觉感受对应数值的计算、变化、联系以及数值转化成点的动态变化，体会那些解释不清或难以言表的“演绎”，从而经历学习的全部过程，并产生真实的深度体验；

同时，将大量的精确计算、描点这类没有思维含量的操作交由计算机在几秒钟内完成，从而留出时间用于对大量现象进行观察、思考和分析。

因而“实验型学习”能有效地解决上述困难。

二、函数教学的典型案例

【案例1】函数概念起始课

课始，教师提问：“谁知道自己家汽车的耗油量？这个数量是怎样测试出来的？”学生议论并大致回答后，教师出示表1，并说明：“表中是某辆车在从上海驶往南京的过程中记录下来的数据，你能知道该车的用油量吗？你能填写表中的空格吗？”学生尝试填写后，教师写出关系式y=12/100x，并让学生写出汽车行驶120千米、270千米时的用油量。学生尝试计算后，教师总结道：“用油量y随着汽车行驶路程x的变化而变化，对于每一个x的值，都能找到一个确定的y的值与之对应，这种一个变量x的变化确定另一个变量y的变化的关系，

称为函数关系。”

接着，教师举例道：“再比如，一条线段的长度r的变化确定了以此线段为半径的圆的面积S的变化。”然后，教师打开几何画板，作出一个圆；随着教师拖动圆的半径，计算机自动呈现了不同的半径值，并计算出不同的半径值对应的圆的面积值，同时生成了对应值表（如图1）。由此，教师总结道：“同样，S与r的关系也称为函数关系，我们称r为自变量，S是r的函数。”

此后，教师又举例道：“再比如，某天某地的气温T随时间t的变化而变化，正方体的体积随棱长的变化而变化……”然后，教师再请学生举例说明自己所知道的函数关系……

【案例2】二次函数概念起始课

……在介绍了二次函数的定义后，教师提问：“如何画出函数y=x2的图像？”学生回答：“列表、描点、连线。”然后，教师要求学生在事先准备好的学习单（其中列有表2）上进行填表、描点、连线。

填表、描点都进行得很顺利，但是，在连线时部分学生将所描的点按顺序用直尺连成了折线。教师看到后纠正说：“我们在学习反比例函数时曾强调过，要用光滑的曲线连线，画成几条线段的都是错误的，请同学们更正并牢记。”接着，教师打开几何画板，利用“绘制新函数”功能，直接绘制出y=x2的图像，让学生对照。

三、解决函数教学中主要困难的思路和策略

（一）通过大量的实验渐进地建构函数的意义

函数概念形成的关键是将研究的对象由静止、不变的现象转移到运动、变化的现象上，将注意力由单个常量的大小转移到两个变量的关系上。由于学生在之前的学习中长期面对的是独立不变的量（常数），缺乏观察变化情况、思考联系情况的经历和体验，因此，要实现这种转变是比较困难的。

案例1的设计者正是基于这种考虑，在引入函数概念时，运用了“实验型学习”的基本思路和策略：不急于下准确定义，而是通过学生已熟知的、经历过的（耗油量）问题，或当场看得到的、能经历的（圆的半径与面积）现象，让学生通过想象或感官去体验两个变量的关系；而且不惜举出大量的例子（包括学生自己举例）来说明这种关系，目的就是让学生增加一些经历，加深一些体验，产生“变量成对”的印象，为概念的形成奠定基础。

此外，案例1的设计者在这节函数概念起始课中，自始至终都没有给函数下精确的定义，而力求使学生在经过对大量的实例的观察、思考后，在所归纳出的“描述性定义”的辅助下，大致形成对函数意义的初步认识，即意识到：（1）两个变量之间会有确定的关系，一个变量会随另一个变量的变化而变化；（2）由于变量表示的事物有特定的意义，所以变量有一定的限制范围；(3)两个变量的对应值可以利用表格列出；(4)其中的规律可以利用代数式表达，从而简化和精准。

这种通过大量的实验（丰富直接的感官体验引发的思维活动）渐进地构建新概念的意义的做法，因符合学生本身的经验基础和认知习惯而显得自然，因在大量的可感事实的基础上获得认识而显得合理，是解决函数概念教学困难的有效思路和策略。

（二）突出对应值列表的过程，认清各种表示方式的价值和优势

对应情况（值）列表是一般人实际生活、工作和研究中最常用、最习惯的方法，也是最直接、最容易理解的函数表达形式。学生在学习函数时出现的概念模糊、思路狭隘、方法呆板等问题，往往都与忽视对应值列表的过程有关。很多学生在学习函数很长时间后，

仍然不知道各种函数的图像从何而来，而仅仅记住了它们的样子，导致了因果关系混乱。而且，很多学生在后面学习数列时，也不会列出项数与其对应值的表格以从中找到规律，甚至连“数列也是函数”“用函数方法研究数列问题”都需要专门花时间来教学。这些显然都是忽视函数对应值列表的过程而造成的恶果。

案例1的设计者正是基于这种考虑，每举一个例子后，都进行了对应值列表（实验）——其中有些数据是间接知道的，有些数据是借助计算机直接测量、计算出来的。这给学生的感觉是，他们看到的都是事实，没有强加的成分。最关键的是，对应值列表清晰地反映出变量变化的规律——如增还是减（单调性）、有无对称特点（奇偶性）、有无重复特点（周期性）等，都一目了然。对列表中数据的观察、分析充分了，图像的轮廓也就自然地在头脑中形成了；而经过分析、归纳发现的图像，无须强记，就会牢牢地固着在记忆中。这种主动的发现，比记住图像后反过来“利用图像说明性质”，学习效果要好得多。同时，

从思想方法的角度看，各种函数的部分特殊（自变量取正整数）对应值列表过程，实际上就是各种数列的研究过程。此过程处理得好，数列的学习就会容易得多，方法就会通透得多。

实际上，“实验型学习”能使函数对应值列表自然、高效地实现，并让学生自主地进行观察、分析，因而，特别有利于学生认清函数各种表达方式（列表、图像、解析式）之间的关系，并感受到对应值列表在实际研究中的必要性和优势。

（三）优化绘制图像的过程

如何描绘图像，一组对应变量由数转化为点体现了什么思想，图像为什么是“光滑的曲线”而非折线等，都是函数教学中极为重要的问题，事关整个函数思想和方法的形成。而这些问题在二次函数的教学中尤为突出，因为二次函数是初等数学的基础与核心内容，也是初中生第一次比较系统地借助函数图像研究函数性质的内容。

案例2的设计者似乎也注意到了这些问题，但其具体的做法有以下几点不妥：（1）在绘制图像前，没有让学生明白图像的意义，把握操作的过程。事先列表并规定了5个特殊的自变量值，忽视了学生的思考动因，限制了学生的思考空间。如果让学生自己取值，他们未必会只取这5个值，也未必会取得这么均匀、对称；而只有出现多种取值情况，才能比较、反衬出以上取值方法的合理性。（2）纠正学生错误的方法不妥，问题

的关键出在讲解反比例函数时，只“强调”了要用光滑的曲线连线，而没有解释为什么。“讲了多次，仍记不住”是许多教师共同的烦恼；而学生之所以总是记不住，就是因为他们总是不知道“为什么”，却要勉强地“记住”。（3）利用几何画板直接绘制出y=x2的图像，与在黑板上手绘图像、利用挂图或PPT等展示图像都一样，没有呈现实验的过程，只是告知预设的结果，使学生没有思考的机会，更没有质疑的余地，被动接受，当然难学难记。

结合上述分析，可以对案例2作如下改进和优化：首先，利用几何画板设置自变量x，计算出y=x2，然后，顺次选取

x、x2，列出动态表格。这里，教师可以通过键盘任意输入不同的x的值，x2的对应值将自动生成在动态表格中（如果硬件条件许可，学生可以在自己的移动终端上进行这些及以下操作）。当感觉表格中的数据够了时，就可以利用“绘制表格数据”功能将表格中的所有点（x，x2）绘制在坐标系中。此时可让学生观察点的分布情况，并尝试说出（或画出）函数的图像。如果出现折线图，教师则只需让

意见不同的学生相互讨论，引导学生自主发现、自主质疑、自主建构。