数列的极限精选(九篇)

第1篇：数列的极限范文

关键词 数列极限；施笃兹法；级数求和

一、引言

极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。公元前5世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形（正方形、正六边形）出发，把每边所对的圆弧二等分，联结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤足够多次时，所得圆内接正多边形面积与圆面积之差将小于任何给定的限度。在我国古代，朴素的、直观的极限思想也有记载。例如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子・天下》中载有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元3世纪我国数学家刘徽创立的割圆术，其中都包含了深刻的极限思想。极限是现代数学分析奠基的基本概念，函数的连续性、导数、积分以及无穷级数的和等都是用极限来定义的。可见，研究数列极限是十分有意义的。在数学分析中介绍了很多求数列极限的方法，常见的有：定义法、数列求和法、定积分定义法、单调有界原理、同限夹挤定理等。上述方法在求常见的数列极限时比较有效，但遇到一些特殊的数列就很难求出、甚至无从下手。为此我们介绍三种特殊的求极限的方法主要有施笃兹法、比值法、级数求和法。这些方法对于求一些特殊的数列极限有很重要的作用。

二、数列极限的三种求法

1.施笃兹法

施笃兹法被称为求数列极限的洛必达法则，对一些不能用上述洛必达法则方法求的数列极限如■■，有时可用下面施笃兹法。

命题1（施笃兹法）给定数列Tn可以写成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，则■=■■。

例1 求■■

解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■

显然z■∞，z■>z■满足施笃兹定理，从而有

■■=■■=1

2.比值法

一般来说，n次根式的数列极限■■比较难求，我们通过下面的命题2将一些n次根式的数列极限转化为较为简单的比值数列极限■■来处理，能起到很好效果。

命题2 设an>0若■■=l，则■■=l

例2 求■■

解令a■=■，

由于■■=■■・■=1

由命题2有■■=■■=l

3.级数求和法

当被求数列的极限中的数列是n项和构成时，一般考虑先求和再求极限，但有时数列的，项和比较难求如x■=1-■+■-……+（-1）■■我们可把它作为幂级数在某点的值，通过幂级数和的方法，例如对幂级数求导、积分等方法来求数列的n项和，这样可以很方便求出n项和数列的极限，甚至是一些较为复杂的n项和数列的极限。

有时还可以用泰勒展式求数列的极限。

例3 求■（1-1-■+■-……+（-1）■■）

解作幂级数s（x）=■（-1）■■，显然我们要求的数列即为幂级数s（x）在x=1处的值，又易知级数的收敛区间为（-1，+1】所以s（x）在x=1处的值有意义.，下面求幂级数s（x），

两边求导则有s（x）=■（-1）■■=■，

两边积分有s（x）=■■dt=1n（1+x），

所以■（1-1-■+■-……+（-1）■■）=■（-1）■|x=1=s（1）=ln2

例4 求■（1+1+■+■……+■）

解 因为ex的泰勒展式为e■=1+x+■+……+■+……

而ex在x=1时，e■=1+1+■+■……+■+……

所以■（1+1+■+■……+■）=■■=e■=e

参考文献：

[1]李大华.大学数学2000题第2版[M].湖北武汉，华中科技大学出版社，2001

[2]李成章，黄玉民.数学分析第4版（上）[M].天津，科学出版社，1999

[3]刘玉链，付沛仁.数学分析讲义[M].吉林长春，高等教育出版社，2003

[4]华东师大数学系.数学分析第3版（上）[M].上海，高等教育出版社，2001

第2篇：数列的极限范文

关键词： 数列极限 定积分 Stloz公式 微分中值定理 放缩法

数学分析主要的研究对象是函数，而极限是研究数学分析的主要工具，并贯穿于整个数学分析内容始终，所以正确理解极限思想是学好数学分析的关键所在.数列极限是最基本的极限知识，熟练掌握数列极限的解题方法是基础.下面对一道经典数列极限考研试题进行剖析，并给出该题的多种不同解法.

这道极限题是全国许多高校的硕士研究生入学考试数学分析试题，有试卷根据考试的年份取一个特定的自然数，事实上，这里P可以是大于零的任意实数.下面给出具体解法.

1.利用定积分的定义

定积分的定义法主要是在求数列极限中有着重要的应用，是利用极限定义一种特殊的极限——和式极限，这种极限比一般的极限的条件要高得多.其适用范围是：首先，一般要求被求极限的数列是一个和式极限或者可以化为和式极限的形式；其次，这个和式极限能化成黎曼和式极限.

2.利用Stloz定理

2.1利用微分中值定理

微分中值定理的结论只是一个存在性结果，不具有普遍性，而极限要求得出的是一个“大势所趋”普遍性的结论，因此利用微分中值定理求极限要求导函数的极限必须存在，如文献[3].相应的还有用导数定义求极限，与前面利用定积分定义求极限一样，一般只能用于求极限值，而不能用于证明极限存在.这些都需要学习者充分理解极限的概念，才能辨别求极限值和证明极限存在二者之间的差别和联系.此时（*）有，

2.2利用放缩法

放缩法是求极限的一个最基本的方法，先通过放缩被求极限，将其转化为比较简洁或者已知的极限，再求原式的极限，如迫敛性定理.这种方法看似简单，但在实际操作中一定要把握好放缩的“度”.

一般来说，利用放缩法证明极限是比较常用的方法，目标明确，便于控制放缩的“度”.而在用其求极限时，一定要小心谨慎，最好是能先猜出问题的答案，这样就转化为用放缩法求或证明极限.将数列极限转化看成更一般的函数，利用海涅定理得出该问题对应一般函数的极限.针对填空和选择题，海涅定理不失为求数列极限的一个良策.对于（*）式，我们可以先转化为一般函数极限，多次用洛必达法即可得出正确答案.

3.积分判别法

参考文献：

[1]淮乃存.利用定积分定义求数列极限[J].陕西师范大学学报，2003，4（31）：30-33.

[2]欧阳光中，姚允龙.数学分析（上册）[M].上海：复旦大学出版社，1991，（10）：32-35.

第3篇：数列的极限范文

关键词：函数列 正则性 级数 极限

中图分类号：D11 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0246-02

数学分析是近代数学的基础，是大学应用数学、信息计算科学和统计分析等专业的学生的必修课，也是现代科学技术中应用最广泛的一门课程。数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限的概念是数学分析中的重要概念，极限的存在性和求极限问题是极限理论的基本问题。在数学分析教材中，作者详细介绍了数列极限、函数的极限、数列极限的存在性及其求法以及函数极限的存在性及其求法等，见文献[1]。在该文中，通过引进正则函数列的概念，给出求数学分析中一些典型级数的极限的一种新方法。

1 正则函数列

在这一部分中，我们引进正则函数列的定义，并且给出函数列为正则的充分必要条件。

定义1：设是定义上的函数列，

（1）

是可求和的数项级数，其部分和为并且作级数

（2）

若对于每个，级数（2）是可求和的，其普通和为，并且当时，向量值函数收敛于，则称级数（1）按函数列是广义求和的，称为级数（1）关于函数列的广义和。

定义2：设由函数列如上给出一个广义求和法，若每个可求和的数项级数也是按函数列是广义求和的，而且广义和等于普通和，则称函数列是正则的。

根据文献[2]，可以得到以下结论：

定理1：设是定义在上的函数列。若函数列是正则的，则

（1）;

（2）;

反之，若函数列除了满足（1），（2）以外还满足

（3）对任意，存在常数，使≤，则函数列是正则的。

定理2：设是定义在上的函数列。若函数列是广义的，则

（1）;

（2）;

反之，若函数列除了满足（1），（2）以外还满足

（3）对任意，存在常数，使≤，则函数列是正则的。

2 数学分析中一些典型级数的极限

在这一部分中，我们用函数列的正则性来讨论数学分析中的一些典型级数的极限。

例1：设，都是数列，并且满足

;

（2）;

（3）当时，级数收敛，当时，级数发散，则级数当时收敛，并且。

证明：由条件（2）与（3）可证，当时，

级数收敛。根据级数的乘法规则，我们有

=

如果令，则，

又令，，，则满足

（1）;

（2）;

（3）对任意，

因此，根据定理1，函数列是正则的，

从而

故。

例2：若，则证明

。

证明：的幂级数展开为，若令，则满足

（1）;

（2）;

（3）对任意，

因此，由定理2，函数列是正则的，即

故，

运用函数列的正则性，我们可以讨论类似的很多问题，在这里我们不再一一举例说明。

参考文献

第4篇：数列的极限范文

[关键词]极限 函数 计算方法

[中图分类号]O151[文献标识码]A[文章编号]1009-5349(2010)06-0042-02

一、利用定义求极限

极限定义:

说明:1. 中的ε也可以是ε的常数倍ε•M;

2.由可知是有界数列(因为在

的外部仅有N项,在这有限项中必有M和m,从而是有界的);

3.的几何意义及否定叙述:除了 外的有限项N外,所有下标大于N的项都落在领域内;

否定叙述:

,有

小结:利用定义证明极限就必须注意,N和X的关键作用,只有当n>N或x>X时,才有估计式 或

,因而产生了利用定义证明极限的分段估值法。

二、利用定理求极限

柯西收敛准则:数列{ ｝收敛的充要条件是:对

,总存在某一个自然数N,使得:当n,m>N时,都要

小结:柯西收敛准则所反映的事实:“收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近。以至它们之间的差的绝对值可小于任何预先所给的正数。”斯笃兹定理是解决 与型极限的重要工具,适用于离散情形。

三、洛必达法则

1.,2..

f(x),g(x)在点a的某空心领域内可导,且

,且 则:

f(x),g(x)在 内可导,且, ,

则:

3.类似有单侧极限的不定式的洛必达法则

小结:洛必达法则是数学分析中解决 与 型极限的重要工具,适用于连续情形。

四、利用泰勒公式求极限

常用的泰勒公式有:

小结:这种方法是利用泰勒公式将函数展开后直接代入或经过变换后代入要求的极限式中,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限。

五、利用两边夹法则求极限

定理1.对于数列{xn｝、{yn｝、{zn｝,如果存在某一自然数N1,使当n>N时,有xn≤yn≤zn,并且

则 。

定理2.如果对于点x0的某一领域内的一切x ,但x0本身可以除以(或对于绝对值大于某一正数的一切x )有不等式

g(x )≤f(x )≤h(x )成立,而且 ,

则。

小结:这一方法也称为夹逼法,它是利用不等式的极限定理来计算极限运用这一法则,不仅可判定数列或函数的极限存在性,而且能求得其极限值,使用两边夹法则求数列和函数的极限,关键在于把xn或f(x )适当放大或缩小,所谓适当放大与缩小是指:放大缩小后,保证所选的数列{yn｝与{zn｝或所选的函数g(x )与h(x )有相同的极限。

六、利用数列的递推关系求极限

1.利用递推关系求出通项公式,然后求极限。这是基本的方法,它把极限存在性与极限求值问题一起来解决。

2.如果数列极限存在设为A,则根据递推公式求出A。令数列的第n项记为,于是利用无穷小和极限的关系,只须证明 ,便可推知数列的极限确实存在并且等于A。

七、级数法

我们知道,如果级数收敛,则 ,这个条件叫做级数收敛的必要条件。当数列极限不易求出,如果可以把这数列的通项看成是某级数的通项,而对此数列的收敛性的判别又比较容易时,则由级数收敛的必要条件就立即求得数列的极限。又如,对于数列{xn｝,有

(其中设x0=0),于是,求 的问题就转化为求级数

的和了。

小结:这是一种应用级数理论中某些结论求极限的方法。

八、无穷小代换法

用等价无穷小量替代法化简,必须记牢下述等价无穷小量:当 时:

sinx～x , tanx～x , arcsinx～x , arctanx～x-1～x ,

ln(1+x)～x , 1-cosx～,～x

小结:运用此法时必须注意:加减项的无穷小量不能用等价无穷小量代换,必须是两个无穷小量之比的形式或无穷小量作为极限式中的乘积因子,且代换后的极限存在,才能使用等价无穷小量代换法。

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].1997.

[2]胡适耕.大学数学解题艺术.湖南大学出版社.

[3]曹敏谦.数学分析习题集题解.上海交通大学应用数学系.

第5篇：数列的极限范文

而今，针对上述情况，我把传统性极限定义进行重新设计，开门见山的突出解不等式|f（x）-A|

欢迎各大学教师用我这个定义在课堂上试验一下。

详细内容请看如下：

1.对于0

例1：求数x到点2之距离小于3但x≠2的数集。①用绝对值符号表示；②写出区间来；③画在数轴上。

例2：|x|>5，在数轴上画出这个数集来。

例3：x>4或x

例4：已知数列f（n）={}， n∈n+ ，求f（n）与数据3之距离小于的有几项？是哪几项？f（60）到数3之距离是否小于？

例5：已知数列f（n）={}，问数列f（n）与9之距离小于有几项，有哪些项；对于以上，要求学生熟练的掌握。

2.梁齐天数列极限的定义

2.1引入梁齐天数列极限的定义

（1）数列f（n）={3-} n∈N+ a1=2.9， a2=2.99， a3=2.999，a4=2.9999，a5=2.99999，a6=2.999999……，变化趋势是逐渐增大，无限制趋近于3，但不等于3，极大限制是3。

（2）数列f（n）={3+}，n∈N+ a1=3.1， a2=3.01， a3=3.001，a4=3.0001，a5=3.00001，a6=3.000001变化趋势是逐渐减小、无限制逼近于3，但就是不等于3，极小限制是3。

（3）数列f（n）={}，a1=2， a2=3.5， a3=2.67，

a4=3.33， a5=2.8， a6=3.17变化趋势为时而大于3，时而小于3，这时你就不能说它的极大（极小）限制是3了，但是它与前面两个数列有一个共同点是：就是f（n）也是越来越接近于3，并且无限制地趋近于数3的。

再接着看本题的答案：

我们可以再令L=、、……；代入到n>[]里去，就是n>，n>，n>……，分母的分数母子一颠倒，摇身一变便成了n>1000， n>10000， n>1000000，……了。

这就是说从第一千项起、第一万项起、第一百万项起……以后，所有一切的项都有|-3|

也就是说从第一千项起、第一万项起、第一百万项起……以后所有各项，所有的一切项都统统地有序地被逼近到直线y=3上、下身旁，但是就不能触碰落到直线Y=3上，

（因为若触碰并躺在直线y=3上，便有|-3|=0，||=0，=0，=0，1=0，这是

天大的矛盾，所以f（n）不能触落在直线y=3上）。数列f（n）之这些项被逼近在以直线y=3上、下旁，被逼近在一个以直线y=3为中轴线、向上、向下各延伸L个单位，总宽为2L，长度为足够长的长方形、条带形里，被覆盖、被关闭在宽度为2L，宽度无限制地变窄的条形长带里，f（n）被有序地，无限制地被逼近在直线y=3之上、下方，但又不能触碰到直线y=3，就这样被极其严格的限制着，这是一个非常奇怪而有趣的景象，取这话前面的那个“极”字，取这句话后面的那个“限”字，故名曰“极限”，因而数3就是数列f（n）之极限。

这上这种景象，若换成直线y=9，从前段的例5可知其没有这景象。

现在得出梁齐天数列极限定义如下：

已知数列f（n），n∈N+，又已知一个常数A，若对于对于任意小的正数L都能从f（n）与数A的距离|f（n）-A|小于L的不等式|f（n）-A|

f（n）的极限是A，就称数列f（n）收敛于A，若A不存在，则称f（n）发散，或称无极限。

（4）极限的特点：其一是f（n）无限制地接近，趋近于极限A；其二f（n）就是不等于极限A（除去常数列等）。

（5）“某正整数”

例如：|f（n）-A|

例题：求证：|lin |= n∈N+ ，

证明：令L为任意小正数，|f（n）-|

|-|

L是任意小的正数，所以是个大于2的正数，例如取L=，便有-2=10-2=8，所以是正数，n>[]，所以n>“某正整数”符合定义，lim= （n+∞ ）

（5）解题目的一个技巧：

前面在解到

2.2已知常数A，求证f（n）之极限是A，不外乎下面几个步骤：

第1：认定常数A是已知的；L是自己设的任意小的正数。

第2：写出不等式|f（n）-A|

第3：解这个不等式|f（n）-A|

第4：解出f（ n）定义域的子区间特定类型的解，“某正整数”

第5：|f（n）-A|若不存在解的例子，就是出现矛盾的式子，例如分母为0，偶次根号下是负数，项数n

还有一些f（n）明眼一看便知其无解，例如f（n）=sin，

当n0时，f（n）时而等于+1，时而等于-1，所以可以判定f（n）无极限。

3.当xX0时，梁齐天f（x）极限定义

我们用下面一个f（x）来讨论

Y= f（x）= ，x≠2，这个函数在x=2时，分

母为0，f（x）无意义，但在去掉x=2时的区域内都有意义，我们只研究在以x=2为中心，一个去掉x=2这点为空中心的邻近小区域内研究，这个以x=2为空中心的小区域叫做点x=2的一个去心邻域，即是以x=2为空中心的区间，那解出或存在什么类型的解呢？我们知道数列f（n），n∈N+ ，f（n）定义域是0

设函数在f（x）在点X0的某去心邻域内有定义，又已知常数A，对于任意给定的正数L（不论它多么小），都能从f（x）与A的距离的不等式

例题1、求证：lim=10（（x2）

证明：使用定义，令L是一任意小的正数，写出不等式如下：

中的那个f（x）定义域里以x0为空中心的一个子区间解，上述解的对应f（x）的值无限制地趋近于10，符合极限定义，

所以lim=10（x2）

例题2、证明lim ≠21，（x1）

证：令L为任意小的正数，

|-21|

集，即是全部之解，不再有其它之类的解了，更不存在f（x）的去心邻域里以x0=1为空中心的子集合做为解了，即是不存在0

限定义，它是不符合的，所以lim ≠21（x1）

例2、定义中的|f（x）-A|

从上面的例子可以看到，|f（x）-A|

国际上的教科书里，上面的L多用希腊字母“ε”表示。

4.当x∞时梁齐天f（x）之极限

例如：f（x）=（当x∞）；极限显然是0。

我们知道x+2=0，x=-2时f（x）无意义，为了方便起见，我们可以人为地把它的定义域修饰为一个关于原点0为对称的一个美丽的定义域，而不影响讨论当x∞时f（x）之极限。例如可令定义域为x>5或x5，其f（x）与数0之距离小于ε，|f（x）-0|5的一个真子集，即为|x|>“某正数”>5……因此得到定义如下：

设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义，又已知一个常数A，对于任意给定的正数ε（不论它怎么小），都能从f（x）与A之距离小于ε的不等式|f（x）-A|“某正数”之类型的解，那么常数A就叫做函数f（x）当x∞时的极限，记为lim f（x）=A或f（x）A（当x∞）。对于其他类型之极限皆可仿照上面讨论之。

5.附注说明：由上可知，使用梁齐天极限定义证明某数是f（x）之极限皆是很顺利的，就是在证明复杂的问题也是很得心应手的。例如在证明函数极限与数列极限的关系之有关定理时，即是：如果极限lim f（x）（xx0）存在，{xn}为函数f（x）的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足xn≠x0 （nN+），那么相应的函数值数列{f（xn）}必收敛，且lim f（xn），（ n+∞）= lim f（x），（xx0）。详见同济大学《高等数学》第六版上册P37。

证明：设lim f（x）=A，所以对于任意给定的正数ε>0，总能从不等式|f（x）-A|

又因lim xn=x0，（ n+∞），任意给定一个ε’>0，不妨就设ε’=δ。所以|xn-x0|

又因为{xn：0

{ yn： yn= f（xn） } { y： y= f（x） }……④

由于①②③④，所以|f（xn）-A|

笔者还有个不成熟的想法，就是到了以后适当的时候，是否可以把此定义上升为定理？因学生习惯用判定定理去解决问题，此事以后再说。

第6篇：数列的极限范文

关键词：极限概念；思想方法；数列；函数

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）10-0198-02

极限概念是高等数学体系的基础，极限概念还体现了一些很重要的哲学思想和数学思想.极限概念是学生学习高等数学所面临的第一道关，此时的学生正处于从初等数学向高等数学过渡的阶段.学生的辩证思维还没有建立起来，所以学习时很难掌握极限概念的本质，难以从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变.怎么准确理解和掌握极限概念及其思想方法呢？本文从极限学习的角度出发，有针对性地给出了极限概念学习的指导.

一、了解极限发展的历史，激发兴趣

人类历史上极限概念从萌芽、产生、发展到完善经历了漫长曲折的演变历程.在我国《庄子・天下篇》中记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；刘徽的《九章算术注》中也有记载，这些都是极限思想的雏形.在西方极限的萌芽则体现在芝诺悖论上，这些虽是哲学命题，但却对极限思想的发展产生了至深至远的影响.

17世纪英国的牛顿和法国的莱布尼兹创立了微积分.在建立微积分的过程中必然要涉及极限概念，最初的极限概念是十分含糊不清的，并且在某些关键处常常不能自圆其说，引起18世纪许多人对微积分的攻击.英国哲学家伯克莱嘲笑“无穷小瞬‘o’是消失的量的幽灵”.他还说牛顿的无穷小一会儿是零，一会儿又不是零，简直是“瞪着眼睛说瞎话”.这些攻击引发了第二次数学危机.在此阶段并没有把极限概念作为微积分的基础概念，反而认为无穷小和无穷大是问题的关键，把无穷小作为微积分的基础概念.连大名鼎鼎的牛顿都是用无穷小来定义极限，他称无穷小为瞬“o”.

到19世纪，极限概念才第一次比较完整地被法国数学家柯西在《分析教程》中提出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫所有其他值的极限值.”柯西的定义摆脱了长期以来的几何说明，并引入“lim”来表示极限.但他的定义中还保留着“无限趋近”、“要多小就多小”等描述性词语，并没有达到彻底严密化的程度.

直到德国数学家魏尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，这个定义借助不等式，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.叙述中只是用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了直观描述性痕迹，给微积分提供了严格的理论基础，这个定义至今仍在使用.

二、从直观上感性认识数列极限的描述性定义

前面提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是一尺的棰，每天取前一天剩下的一半，则永远也取不完.每天取下的长度为：■，■，■，…，■…可以看成是一个无穷数列，通项为x■=■.当项数N越来越大，没有终止，即无限增大时，■越来越无限地变小，并且越来越接近常数0.这样我们就得到了数列极限的描述性定义：给定数列{a■}，如果当项数无限增大时，x■无限接近于一个常数a，那么我们就称为趋于无穷大时数列的极限，记为：■x■=a

三、从描述性定义到“ε-N”语言定义

在描述性定义中，“当项数n无限增大”和“x■无限接近于一个常数a”都是描述性词语，如何把他们用数学的语言即“ε-N”语言表述出来呢？问题的关键是如何用数学的语言表达出两个无限过程，即x■与常数a的无限接近和项数的无限增大.

1.x■无限接近于一个常a.首先解决用什么量来度量x■与a的接近程度.两个事物距离大则远离，距离小则接近，所以x■与a的接近程度用x■与a的距离|x■-a|来描述.其次要解决如何保证x■与a的接近程度是无限接近.两个事物所谓无限接近即他们的距离可以达到任意的小，要想多小都可以.我们采用任给一个正数ε（ε要想多小都可以），只要|x■-a|比ε还小，即|x■-a|0，|x■-a|

2.项数n无限增大.数列的一般项x■与a的接近程度是有前提条件的，并不是要求数列的所有项都满足？坌ε>0，|x■-a|

■x■=a？圳？坌ε>0，？埚正整数N，当n>N时，|x■-a|

四、“ε-N”语言定义的理解

在理解“ε-N”语言定义时，关键是理解ε和n这两个量.

1.ε的理解。定义中的■具有任意性又有确定性，它深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一.所谓任意性是指在描述x■与a的接近程度时，它可以任意取值，要多小都可以.正是因为ε的任意性才能刻画出x■与a的无限接近.ε既然具有任意性，那又如何去理解它的确定性呢？所谓确定性是相对于求满足条件|x■-a|

2.N的理解.对N的理解要把握住两点，即N的存在性和不唯一性.首先的存在性通过找到一个正整数N来说明，找N的依据是当n>N时，|x■-a|

除了ε和N这两个关键量的理解外，“ε-N”语言定义的理解还可以借助于图形解释：在数轴上标出a、数列的项x■，…x■，x■…和区间（a-ε，a+ε）（见图1）.从图中看到当n>N时，所有的项都在区间（a-ε，a+ε）内，即|x■-a|

五、函数极限概念的“ε-δ”语言定义

数列作为特殊的函数研究其极限时，项数n只有无限增大这一种变化趋势，但函数自变量的变化趋势就复杂得多了.自变量的变化趋势有两大类共6种情况：xx■：xx■■、xx■■；x∞：x+∞、x-∞.其中xx■时，函数极限的描述性定义为：当自变量x无限趋近于常数x■时，函数值f（x）无限趋近于一个常数A.和数列极限一样，我们用来刻画无限趋近于一个常数.剩下的问题是如何来刻画自变量X无限趋近于常数x■？我们用一个正数δ（一般很小）来刻画X与x■的距离，然后要求0

■f（x）=A？圳？坌ε>0，？埚δ>0，当0

这个定义中有两点要特别注意：其一是函数f（x）在x■处有没有定义不做要求，即f（x■）可能存在也可能不存在，f（x■）存在与否并不影响极限.其二是定义中两个“无限趋近于”是有区别的，对x无限趋近于x■而言，要求x≠x■.而f（x）无限趋近于A时，f（x）可以不等于A，也可以等于A，甚至恒等于A.

函数在xx■时的极限定义的图形解释见图2，从图中可直观地看到当自变量X的取值进入区间（x■-δ，x■+δ）（x■除外）时，对应的函数值f（x）介于y=A-ε到y=A+ε的带形区域内，即0

函数极限的其他定义不再一一赘述，大家只要掌握了实质即可，实质是：自变量有一个无限变化趋势，相应的函数值无限趋近于一个常数.函数、数列的极限定义形式可以统一为？坌ε>0，当自变量变化达到某个程度时|f（x）-A|

六、掌握极限的思想方法

极限的思想方法是近代数学的一种重要的思想，是高等数学区别于初等数学的标志之一.用极限的思想方法分析问题、解决问题时，先构造一个与未知量有关的变量，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算求出未知量.

极限概念的学习是一个不断持续螺旋上升的过程.由于知识的局限性，往往很难把概念一次性地理解透彻，必须在学习一个阶段之后，借助于新的知识的学习反过来进一步加强对极限概念的理解，进而真正掌握并运用它所包含的极限思想方法去分析问题、解决问题.

第7篇：数列的极限范文

【关键词】END随机序列 滑动平均 极限定理

随机序列部分和的几乎必然极限性质作为概率极限理论中一个重要的问题，近来的一段时间，许多学者对独立及各类混合序列部分和的渐进性质进行了大量而卓有成效的研究。如Victor M.Kruglov 证明了两两独立随机序列在期望存在情况下的大数定律，我国的一些研究者将大数定律推广到混合序列的运用。

END（Extended Negatively Dependent）序列，即为广ND（NegativelyDependent）序列，它在某些特殊情形下蕴含了独立序列，NA（Negatively Association）序列和NOD（Negatively Orthant Dependent）序列。这篇文章主要依据将随机变量强大数定律推广到END序列滑动平均的情形。滑动平均指形如：

四、结语

在概率极限理论中的一个较为严重的问题为随机序列部分和的几乎必然极限性质，目前，国内外的重要学者均对其进行相应的、大量的较为展业的研究，并取得较为卓越的成就。伴随着这一卓越成就的出现，我国的相关重要学者业也将这一随机序列同一些相应的定律推广应用到实际实践中来，为相应的工程以及其他相关的工作提供较有意义的帮助，推动该工作的顺利进行，节省大量不必要的时间以及资源等。例如，近几年我国对END随机序列滑动平均的极限定理的研究有限，这方面的参考文献很少，而且与其有关联的大多是关于随机序列滑动平均的若干强偏差定理的研究，随着科学技术及高等数学的不断发展，我们应该加强对END随机序列滑动平均的极限定理的研究，以其为实际工作做出引导作用。

第8篇：数列的极限范文

1.知识范围

(1)数列极限的概念

数列数列极限的定义

(2)数列极限的性质

性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理

(3)函数极限的概念

函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义

(4)函数极限的性质

性四则运算法则夹通定理

(5)无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶

(6)两个重要极限

2.要求

(1)理解极限的概念(对极限定义中“”、“”、“”等形式的描述不作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。

(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

(三)连续

1.知识范围

(1)函数连续的概念

函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类

(2)函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性

(3)闭区间上连续函数的性质

有界性定理值与最小值定理介值定理(包括零点定理)

(4)初等函数的连续性

2.要求

(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。

(2)会求函数的间断点及确定其类型。

第9篇：数列的极限范文

【关键词】分离因式 变元替换 洛比达法则 无穷小等价替换

1.分离因式并求解其极限。

注意:在使用洛比达法则的时候要注意分离因式,先将具有非零极限的因子提到极限号外面,及时求解其极限,再对余下未定式求极限。

例1.

解:原式=

2.先作变元替换,再用洛比达法则求解。

注意:当直接就利用洛比达法则求解比较困难时,可以考虑是否可以先利用变量替换后再来利用洛比达法则求解。

例2.求解:

分析:可以令,进而简化求解过程。若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。

小结:若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。

3.以及型未定式必须先转换成了或者型未定式求解。

例3.求解:

小结:当遇到以及型未定式时,一般要进行分子分母有理化才可以构造出或者型未定式,以便直接利用洛比达法则求解。

4.先取对数,再利用洛比达法则求解。

例4.求解

注意:对于型未定式,它们为幂指函数的极限,常常利用此方法求解。

解:令,则

对于与型的数列极限不能直接利用洛比达法则但是可以间接的使用洛比达法则进行求解。

例5.求解:

解:因为:

小结:解的是一个数列时,因为数列是没有导数的,不能直接使用洛比达法则。但是由数列极限和函数极限的关系我们可以知道:离散变量n的极限可以作为连续变量x的极限,其所求的值也就是数列极限的值。

6.多次使用洛比达法则求解。

注意:只要被球函数满足洛比达法则的使用条件,就可以连续多次使用洛比达法则,直到求出极限或者得出不符合洛比达法则条件的情况为止。

例6.求解:其中)

解:因为n可以为自然数也可以为非自然数,所以需要讨论n的情况

(1)当n为自然数时,则因为,有:

(2)当n为非自然数时,因,对于有:

,又由(1)可知:

则由夹逼准则可得:

综合上述可得:其中)=0

小结:一般当时,有以下结论:

这些结论在求解型时可以直接利用。

7.结合使用无穷小等价替换求解。

例7.求解极限:

解:原式=

小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。

8.利用重要极限简化求解。

注意:

例8.设具有一阶连续导数,并且,求解

9.在使用洛比达法则之前要整理化简所要求的极限表达式,使得对数函数、反三角函数成为分子和式中的单独一项。

例9.讨论下列函数在点处的连续性:

为了求得,则可以先将的表达式恒等变形使得对数函数成为分子和式的单独一项:

因为:,故:在点处的连续性。

小结:使对数函数、反三角函数成为分子和式中的单独一项也是求解极限的一种比较常见的方法,但是必须注意的就是把对数函数、反三角函数变成为分子和式中的单独一项往往是有一定的技巧的。

10.及时调整解题的方向,或者寻求别的方法。注意:当使用洛比达法则时,如果越求越难,就应该及时调整解题的方向,或者寻求别的方法;如果极限下的函数出现循环,或者极限不存在,这时就不能再使用此法则,但是并不意味元极限不存在,只能说明该法则对此极限不可用。

例10.求解:

解:如果多次使用洛比达法则便会得到下列式子:

这样便出现了死循环,因而此题不能使用洛比达法则进行求解,事实上用其他方法求解容易得到:

参考文献

1 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003

2 陆军良.高等数学证明300例分析[M].北京航天航空大学出版社,1989

3 同济大学数学系.高等数学.下册[M].北京高等教育出版社,2007