第1篇：双曲线范文
我是双曲线
都在无限的延长
我拼命地想靠近你
却永远有一段距离
我渴望与你有交点
最终却只能远远的遥望你
与你的距离越来越近
却仿佛越来越远
永远没有交点
第2篇：双曲线范文
双曲线的通径是过焦点，垂直于实轴的弦，通径有两条，长为2b²/a。
双曲线的定义为平面交截直角圆锥的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e=c/a（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为x=±a²/c（焦点在x轴上）或y=±a²/c（焦点在y轴上）。
（来源：文章屋网 ）
第3篇：双曲线范文
我单手托着下巴，笔端在桌面上发出清脆的敲击声，老师一遍一遍地强调：“双曲线只能无限靠近坐标轴，但永远达不到坐标轴。”
“永远”，“无限接近”，
敲击声戛然而止，笔芯在薄纸上重重地划开一道痕。
当我提起这个反比例定义的时候，你出人意料地沉默着。我推推你也没有反应。一如我笑话你的名字很中性时，你也是顿了很久之后抛下一句：“清风徐来，水波不兴”，你一直都很自豪自己的名字出自这样一个名句吧。
我突然想起了，我们经常一起看动漫电影，其中最让人深有感触那个影片我已经不记得片名了，但片中那个名叫远山的男孩寂寞而疲惫的眼神，还有那个被唤作明里的美好女孩淡然的微笑让我感觉心里某个角落里的楼梯被轻轻踩踏，发出尖锐的嘎吱声。
叫做明里的女孩总是那么温柔而又固执，无论是春季时在东京最美的街道拐角处，对小猫咪打招呼时的天真表现，还是候车厅里不会抱怨，被炉火打亮的?C弱身影，抑或在电车的座位上，不顾时不时的晃动而专心写信的陶醉表情。以至于有关于女孩的点点滴滴，那些珍贵的信件都成了男孩温暖的回忆，也羁绊了男孩一段无望而沉重的思念。
时间并没有改写那些过去，真正累了的是男孩的心，他们彼此的生命里再也没有童话般美好的交集，男孩停了下来，开始麻木地审视自己不停重复如同机械一般的生活，像是回到十三岁那年，并未远去的那些美好，开始一幕幕地回放……
记得最后影片放完的时候我们都还在沉默，回味着这种无奈而苦涩的感觉。突然觉得好心酸，就像突然才明白人生终有悲欢离合，并不都是努力去做了，就什么都可以拥有，挽留，那一种无望的失落感。
这种失落感并不是只存在对影片的看法里，对于梦想这种模糊的东西，你说我对待它的态度总是也一样失落。
我当然不像你，口口声声嚷着要当外交官，那种自信满满，舍我其谁的神情真的很让人佩服，那种不依不饶抓住话题就口水唾沫一起飞的样子让人哭笑不得之余，还夹杂了一份羡慕。
你可能从来都不知道吧，我多希望象你一样，谈到自己的梦想时也有那种不退却的勇气，可是有时候我感觉无阻而迷茫，那些刻意显露着讽刺语气的声音，抑或是我自己对自己的怀疑，让我在闭上眼睛说：“这是我的梦想”时，已经少了坚定的语气。
我无法形容我对梦想所持的态度如同我对那部电影的结局无言以对，用单一的语言无法形容那种渐行渐远的迷茫。但我对他们感觉惋惜的时候，也清楚地明白那种，即将得到却无法触及时慌张的悲凉。
“嘿，你又发什么呆啊，你看练习都丢下去啦。”你无奈地看着我终于转过头，伸手下去拾起练习，上面还工工整整地印着“反比例练习”几个大字。课堂上老师说的话一遍一遍回放着，直到充满了我的心头。
“双曲线只能无限靠近坐标轴，但永远达不到坐标轴……”
我释然地笑笑，自言自语着：“就像双曲线一样啊”
你摸不着头脑，转过头询问似地望着我：“啊？”
“你不觉得吗，远山和明里就像是一个在双曲线上，一个在XY轴上，他们只能无限靠近，却被时间冲淡了结果，但这样的结局也没什么不好，起码他们拥有彼此最完整清晰的印象，最刻苦铭心的约定，这个世界不是仙女的魔杖，于是就有了不尽人意的一面，但那双曲线的踪迹，是他们最美好的的想念。”
“是啊，每个人都一样，都有自己无法触及的东西，但只要努力走过，就会留下和双曲线一样最刻苦的踪迹。”
第4篇：双曲线范文
【关键词】 数学 探究性学习 双曲线 函数
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-105-01
在数学教学中，我们常常面临着学生在学习上“讲讲都会，做做不对”的通病。如何处理好这个问题，让学生变被动学习为主动学习，是我们教学中要长期思考的主旋律。笔者认为，我们不妨进行“诱导型探究学习”和“发现型探究学习”。
在双曲线习题课的教学中，笔者给出了下面系列问题链：
教师：我们已经学习了圆锥曲线，猜猜反比例函数y=■属于哪类曲线？
学生：好像是双曲线。
教师：如果y=■是双曲线，则y=■的焦点是 和 。
学生：y=■的图像可以看成双曲线x2-y2=1的图像绕原点逆时针旋转■的结果， y=■的焦点应该是F1（-■，-■）和F2（■，■）.
教师：曲线y=■为什么表示双曲线？
学生：证明y=■是双曲线，必须满足曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常数。 双曲线的两个焦点分别为F1（-■，-■）、F2（■，■），设P（x，y）是双曲线上任一点，
PF1-PF2=
■-■
=■-■
= x+■+■-x+■-■=2■
奥苏伯尔提出的“先行组织者”教学策略，就是激活新旧知识的实质性联系，提高已有知识对新知识的有效影响，实施“引导型探究学习”，让学生自己去弄清反比例函数y=■的本质。
在这里，双曲线的定义是学生探究反比例函数y=■是双曲线的“先行组织者”，双曲线x2-y2=1和反比例函数y=■图像的一致性是学生探究反比例函数y=■是双曲线的桥梁，也是学生探究性学习的动力源泉。在课堂教学过程中，通过设置“问题连”，搭建“脚手架”，利用问题的驱动，引导学生自觉地利用双曲线的定义来探究反比例函数y=■的本质，促使知识水平的拓展。这时，我们称为“诱导型探究学习”。
在验证了反比例函数y=■的本质是双曲线后，笔者趁热打铁，给出了下面问题：y=ax+■（a>0，b>0）是教材中不经常见到的一类函数，我们都称它是双沟曲线或耐克曲线。那么，他们是双曲线吗？请大家探讨该函数的图象和性质。
教师：请同学们思考 y=ax+■（a>0，b>0）的定义域、值域；函数的性质（单调性和奇偶性）等等。
学生：可以看出， y=ax+■（a>0，b>0）是奇函数，图象关于原点对称，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），不妨先考察函数在x∈（0，+∞）的图象。当x0时，y=ax+■+∞；当x+∞时，y=ax+■ax，预见在第一象限内图象介于y轴和ax之间。当x∈（0，■）时，可以证明y=ax+■在（0，■）是减函数，当x∈（■，+∞）时， 故y=ax+■在（■，+∞）上是增函数。
学生：利用y=ax+■≥2■基本不等式，即y=ax+■≥2■，此时x= ■，ymin=2■.
教师：猜测y=ax+■（a>0，b>0）的图象是双曲线，它的渐近线是什么呢？
学生：设P（x，y）是函数y=ax+■（a>0，b>0）图象上的任一点，因为函数y=ax+■是奇函数，所以不妨设x>0，点P到直线y=ax的距离为d=■=■■.当x逐渐增大时，d逐渐减小，x无限增大时，d接近于零，这就是说，函数y=ax+■（a>0，b>0）的图象在第一象限内无限接近于直线y=ax，故直线y=ax是函数y=ax+■（a>0，b>0）图象的渐近线。
教师：上述的知识还不能严谨地论证y=ax+■（a>0，b>0）的图象是双曲线，由于知识的限制，这里不再用定义证明。
第5篇：双曲线范文
例1（江苏省徐州市中考试题）如图，已知A（n，－2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求AOC的面积；
（3）求不等式kx+b-＜ 0的解集(直接写出答案)．
分析：（1）要求反比例函数的解析式，应找一对x和y的值，或对应的双曲线上一个点的坐标；要求一次函数的解析式，应找两对x和y的值，或对应的直线上两个点的坐标．（2）观察到OC在y轴上，要求AOC的面积，应把OC看成底边，先确定OC的长及点A到y轴的距离．（3）要求不等式kx+b-＜ 0的解集，只需求出使kx+b＜的x的值． 其实质就是确定哪些x的值，使一次函数的对应值小于反比例函数的对应值．
解：（1）由点A（n，－2），B（1，4）都在反比例函数的图象上，则有-2=，4=．
解之，m＝4，n＝－2．
所以反比例函数的关系式为y=．
又，一次函数的图象经过点A（－2，－2）和点B（1，4），则有 -2k+b=-2,k+b=4.
解之，k＝2，b＝2.
一次函数的关系式为y=2x+2．
（2）在y=2x+2中，当x＝0时，y＝2．
点C的坐标为（0，2），OC＝2．
点A的坐标为（－2，－2），
点A到y轴的距离为2．
AOC中，OC边上的高为2．
AOC的面积＝×2×2＝2．
（3）注意到点A的横坐标为－2，点B的横坐标为1，
符合要求的解集为x＜－2，或0＜x＜1．
例2（山东省济宁市中考试题）如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA＋PB最小．
分析：（1）要求反比例函数的解析式，应先确定A点的坐标，或求出A点的横坐标和纵坐标的乘积值．（2）要求符合要求的点P，应先把点P的位置找出来． 注意到点A和点B都是位于第一象限内的定点，需将PA＋PB转化． 可设点C是点A关于x轴的对称点，那么PA＋PB＝PC＋PB． 要使PA＋PB最小，则点P应为BC与x轴的交点，其最小值等于线段BC的长．
解：（1）设点A的坐标为（a、b），则b=，得k=ab．
OAM的面积为1，且AMx轴于M，
OM•AM=1.
OM＝a，AM＝b，
ab＝2，k＝2．
反比例函数的解析式为y=．
（2）设点C是点A关于x轴的对称点，那么PA＋PB＝PC＋PB． 要使PA＋PB最小，则点P应为BC与x轴的交点．
点A（a、b）是正比例函数和反比例函数的交点，且在第一象限，
b＝a，且b=，得a＝2，b＝1．
点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（2，－1）．
点B的横坐标为1，且它在反比例函数y=的图象上，
点B的坐标为（1，2）．
设直线BC的解析式为y=mx+n，则有m+n=2，2m+n=-1.
解之，m＝－3，n＝5．
直线BC的解析式为y=-3x+5．
y＝0时，x＝，
点P的坐标为（0，）．
例3（河北省中考试题）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y=(x＞0）的图象与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
分析：（1）由于点D和E的坐标已知，则其解析式易求．注意到点M的纵坐标与点B的纵坐标相同，且点M在直线DE上，则点M的坐标可以确定．（2）要判断点N是否在反比例函数y=的图象上，只需将该点的坐标代入这个函数的解析式中，若使得解析式成立，则在其图象上．否则，不在．（3）写出m的取值范围时，要注意这个m的值介于使双曲线通过点M和点N时对应的m值及通过点B时对应的m值之间．
解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b． 由点D、E的坐标分别为（0，3）、（6，0），得b=3，6k+b=0.
解之，k=-，b＝3．
直线DE的解析式为y=-x+3.
四边形OABC是长方形，点M在AB边上，
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同，为2．
点M在直线DE上，
当y＝2时，有-x+3＝2，得x＝2．
点M的坐标为（2，2）．
（2）由反比例函数y=(x＞0）的图象经过点M（2，2），得m＝4．
反比例函数的解析式为y=．
点N在BC边上，且BCx轴，
点N的横坐标与点B的横坐标相同，为4．
点N在直线DE上，
当x＝4时，有y=-×4+3＝1．
点N的坐标为（4，1）．
1=，
点N在反比例函数y=的图象上．
第6篇：双曲线范文
一、一个教学实验
对教材第106页例2的教学，笔者在所任教的两个班做了这样一个实验：在甲班按教材上的解法向学生讲解，不到10分时间完成该题的讲解；在乙班提前两天布置了这样一道作业题：
解方程组
学生对此方程组的解法有下列6种：
解法1：
由①×＋②，得a2＝16。
把a2＝16代入①，得b2＝9（下略）。
解法2：
由①－②，得－＝0，
即a2＝。
把a2＝代入①，得b2＝9，把b2＝9代入a2＝，得a2＝16（下略）。
解法3：
由①，得32b2－9a2＝a2b2。 ③
由②，得400b2－81a2＝16a2b2。④
由③×16－④，得16b2－9a2＝0，即a2＝（下略）。
解法4：
由①，得＝。
把＝代入②，得－＝1，即a2＝16（下略）。
解法5：令m＝a2，n＝b2，
则原方程组化为
（下略）。
解法6：令x＝，y＝，则原方程组化为
解这个方程组，得
即a2＝16，b2＝9（下略）。
当讲到教材第106页例2时，与学生一起列出方程组
学生看到这个方程组后，联想到两天前所做的作业，他们议论纷纷，有的学生的解法与教材一致，有的学生的解法与教材不一致。 笔者用投影仪显示作业中6种不同的解法，学生认真分析6种不同的解法。──通过一个简单的问题调动了他们学习数学的积极性。笔者没有就此罢休，及时提出对例题解法有没有值得改进的地方，教室一下子就安静下来了，大家都在积极思考着这个问题。过了一会儿，有的学生就抬起头看着老师，这说明他们已经找到了答案。学生受教材中方程组的启发，认为此题可以直接设所求双曲线方程为my2－nx2＝1（m＞0，n＞0），这样设计计算量较小。其实当椭圆或双曲线中心在原点且对称轴为坐标轴时，设为Ax2＋by2＝1的形式计算量更小。在乙班完成这一例题的讲解用的时间是甲班的2倍，而乙班课堂气氛和学习效果是甲班所不能比的。
在甲班的教学基本上照本宣科，仅用了待定系数法和换元法；而在乙班，除了用待定系数法和换元法，还用了整体代换思想、加减消元法、消常数法等数学思想方法，更可贵的是，学生受教材解题过程的启示，认为直接设my2－nx2＝1（m＞0，n＞0）可使计算量减小。
通过这一实验，可以得到一些有益的启示：1． 可不时将后学内容置前。将学生还没有学到但可以解决的局部问题置前，让他们自己解决，这样做可以充分调动学生的学习积极性，避免教材和教师的局限性，还可以培养学生的创造性思维能力，学生对某些问题的解决，往往可以超出教师的想象。2． 要充分重视教材中例题的教学。当前高中数学教学有一种不良倾向，认为教材中的例习题太容易，而高考题目太难，于是在上新课时，对教材例题讲解不够重视，而是草草了事，然后补充大量较难例题占用课堂时间。其实这样做不可取，教材例题是教材编者精心挑选的，是数学题目的精品，如果不好好利用它们，实在是巨大浪费。对教材例题不深入钻研就不知道它的价值。3． 学生自己能够解决的问题要坚决让学生自己解决。由于学生解决问题的途径多而且有些十分巧妙，如果教师代替学生来解决问题，往往会淹没学生很多好的解法。一定要相信学生是聪明的。
二、双曲线渐近方程的证明改进
对于双曲线渐近方程的证明，教材采用的是间接法，也可以直接证明。
先取双曲线在第一象限内的部分，这一部分的方程可写为
y＝（x＞a）。
设M（m＞a）是它上面的点，由点到直线距离公式，可得M到直线y＝x的距离
d＝
＝。
当x逐渐增大时，m逐渐增大，m＋逐渐增大，当m无限增大，m＋无限增大，d接近于0，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON。
在其他象限内，也可以证明类似的情况。我们把两条直线y＝±x叫做双曲线的渐近线。
三、一个例题教学设计的改进
例 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图1），它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m，选择适当的坐标，求出此双曲线的方程（精确到1 m）（教材第111页例2）。
解：如图2建立直角坐标系xOy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合。这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且｜CC′｜＝13×2，｜BB′｜＝25×2。
设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），令点C的坐标为（13，y1），点B的坐标为（25，y2），因为点B、C在双曲线上，所以－＝1，－＝1。
又y1＞0，y2＜0，所以y1＝b，y2＝b。
而y1－y2＝55，所以b＝55，
即b＝≈25。
从而所求双曲线方程为－＝1。
第7篇：双曲线范文
关键词：等角；视角；焦半径
圆锥曲线本身含有丰富的几何性质，本文将给出圆锥曲线中的几个等角定理.
圆的切线性质：过圆O外一点P引圆的两条切线PQ、PR，Q、R为切点，则点O关于PQ、PR的视角相等，P点关于OQ、OR的视角相等.
■
图1
类比得到以下定理，
定理1：（1）过椭圆外一点P作椭圆的两条切线PQ、PR，Q、R为切点，则点P关于QF1，RF2的视角相等；F1（F2）关于PQ、PR的视角相等，其中F1，F2为椭圆焦点.
（2）若PQ、PR是双曲线的两条切线，Q、R为切点，F1，F2为双曲线的焦点. 则①若R、Q在双曲线同支上，则P关于QF1，RF2的视角互补；F1（F2）关于PQ、PR的视角相等；②若R、Q在双曲线的异支上，则P关于QF1，RF2的视角相等；F1（F2）关于PQ、PR的视角互补.
（1）证明：设F1关于PQ的对称点为F′1，F2关于PR的对称点为F′2. 由椭圆性质可知F′1，Q，F2三点共线，F′2，R，F1三点共线，则F′1F2=F1F′2=2k. 因为PF′1=PF1，PF′2=PF2，
所以PF′1F2？艿PF1F′2，
所以∠F′1PF2=∠F1PF′2，
所以∠F′1PF1=∠F2PF′2.
再由对称性可知∠F1PQ=■∠F′1PF1，∠F2PR=■∠F2PF′2，
所以∠QPF■=∠F■PR，即P对F■Q，F■R视角相等.
再由对称性得∠F2F′1P=∠QF1P，∠F1F′2P=∠PF2R，∠PF′1F2=∠PF1F′2，∠F1F′2P=∠F′1F2P，即∠QF1P=∠PF1R，∠PF2R=∠QF2P，
即F1，F2对PQ、PR的视角相等.
同理可以证明双曲线的情形.
定理2：过圆锥曲线准线l上任一点K作直线和圆锥曲线相交于A、B两点，设圆锥曲线焦点为F，则两条焦半径FA、FB与KF所夹的角相等（B、F、A三点不共线）.
■
图3
证明：过A作AA′l于A′，BB′l于B′，延长BF至C，则由圆锥曲线定义可得
■=■=e，AA′//BB′？圯■=■，所以■=■.
由外角平分线性质得∠KFA=∠KFC，又由∠KFC=∠BFD，所以∠AFK=∠BFD，故命题成立.
以下是此命题的逆命题，也为真命题.
定理3：若以圆锥曲线的一个焦点F出发的焦半径FA、FB与过F的直线l所夹的角相等，且AB与l的交点是AB的外分点，则l与AB交于圆锥曲线准线上.
■
图4
■
图5
证明：设AB交准线l′于点K，则由定理2可知KF与FA、FB所成角相等，显然AB与KF的交点K是AB的外分点；
又l与FA、FB所成角相等，且AB与l的交点是AB的外分点，故l与KF重合；
故命题成立.
推论1：若PQ为有心圆锥曲线上任两点（连线不过任一焦点），设点F对应准线为l，且QF、QP分别交l于M、R，则FM平分∠QFP的外角（证明略）.
例1 （舟山市2012年第二次模拟考）已知椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F，右准线为l，一条过原点的直线交椭圆于P、Q两点（P在第三象限），交l于R点，P、F两点的连线交l于M，则有（ ）
A. ∠MFR>∠QFR
B. ∠MFR=∠QFR
C. ∠MFR
D. ∠MFR与∠QFR的大小不确定
由推论1可知选B.
在定理2与3中，若A、B两点重合于A，则就成了圆锥曲线的切线，此时KFFA，同时过F与AF垂直的直线与过A点的切线交于准线上一点.
于是得到推论2：过圆锥曲线的准线l上一点K作圆锥曲线的两条切线KA、KB，则AB过对应焦点F，且与KF垂直.（证明略）
例2 （2006年北京海淀区4月）椭圆■+■=1（a>b>0）的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于点P. 若点D满足■=■，■=λ■（λ≠0）
（1）求椭圆离心率；
（2）若椭圆长轴等于4，Q为椭圆右准线l上异于点A的任意一点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与椭圆的另一个交点分别为M，N，求证：MN与x轴交于定点.
解：（1）略.
（2）易得椭圆方程为■+y2=1.
设F为椭圆右焦点，延长QF至E，连结MF交椭圆于M′，则
由定理2可知∠A1FE=∠MFQ.
又∠A1FE=∠QFA2，∠MFQ=∠EFM′，
所以∠EFM′=∠QFA2，
则由定理3可知M′，A2，Q在一直线上，所以M′与N点重合，
所以F即为MN与x轴的交点，
所以MN与x轴交于定点F（■，0）.
第8篇：双曲线范文
常州市田家炳中学来我们学校高三交流，笔者开了一节展示课，上完这节课后我觉得受益匪浅，现在跟大家一起交流一下自己的感受。
总在椭圆的内部则椭圆的离心率的范围是（0，22）
设计意图：由练习1，2可知，欲求离心率，可求ba ；已知离心率，可以求ba 。第3，4题本题浅显学生容易上手，目的是引出本节课重点： 构建基本量的齐次方程、齐次不等式求离心率的值和范围。以上习题通过学生的详细解答来理出下面知识点，一方面让学生掌握本节课的基本知识，另一方面把本节课的核心问题以简单题的形式引出，让学生由浅入深的形成本节课的学习目标。
2相关基础知识回顾
1椭圆离心率：
变式练习1：如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过ABED四点，则该双曲线的离心率为
变式练习2：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0） 的两个焦点F1，F2 ，P是椭圆上点，若三角形OPF2为正三角形，则该椭圆离心率为 3-1
思想方法体会：（1）构造焦点三角形直接利用双曲线，椭圆的定义来求离心率。
（2）通过多题一解，让学生学会灵活转化：化难为易，化陌生为熟悉。
设计意图：虽然以上题目都是同一题目，由于所教班是文科生，他们的弱点恰恰就是对题目的灵活转化，所以把以上题目以题组的形式，让其体会解题宗旨。事实上在上本节课时变式练习2只有半数人想到，通过引导学生解答后其他人都是恍然大悟，希望他们真的有所"悟"。
第9篇：双曲线范文
最近，笔者利用几何画板，以双曲线为研究对象，探究了双曲线焦点三角形“五心”的轨迹，得到了以下几个有趣的轨迹方程。
焦点三角形的定义：双曲线上一点(顶点除外)与其两个焦点组成的三角形叫做焦点三角形。
图1
探究1：重心轨迹方程
结论1设点G为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的重心，则点G的轨迹方程为x2(a3)2－y2(b3)2=1(y≠0)。
证明：设点P坐标为P(x0,y0)，则有y0≠0(否则不能成为三角形)，双曲线左右焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0)，ΔPF1F2重心坐标为G(x,y)。
由重心坐标公式，有x=x0+(－c)+c3=x03，y=y0+0+03=y03，即x0=3x，y0=3y。代入双曲线方程，可得(3x)2a2－(3y)2b2=1，化简可得x2(a3)2－y2(b3)2=1，又因为y0≠0，所以y≠0。于是其重心G的轨迹方程为x2(a3)2－y2(b3)2=1(y≠0)，即以原双曲线的实轴长的13为实轴，以原双曲线的虚轴长的13为虚轴的双曲线(顶点除外)。
图2探究2：外心的轨迹方程
结论2设点E为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的外心，则点E的轨迹方程为x=0。
证明：设点P坐标为P(x0,y0)，其中y0≠0，因为点E在F1F2的垂直平分线上，所以可设E(0,y1)。因为PF2的垂直平分线的方程为y－y02=－x0－cy0(x－x0+c2)，而点E在其上，因此y1=x20－c22y0+y02。因为点P在双曲线上，所以x20a2－y20b2=1，所以y1=c2y02b2－b22y0。由于y0∈(－∞,0)∪(0,+∞)，所以y1∈R。因此点E的轨迹方程为x=0。
图3探究3：内心的轨迹方程
结论3设点I为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的内心，则有：
(1)当P在双曲线右支时，点I的轨迹为x=a(|y|<b,y≠0)；
(2)当P在双曲线左支时，点I的轨迹为x=－a(|y|<b,y≠0)。
证明：(1)当P在双曲线右支时，如图3，设I与PF1、PF2、F1F2分别相切于点A、B、C，则有|F1A|=|F1C|，|PA|=|PB|，|F2B|=|F2C|。因为P在双曲线右支，所以|PF1|－|PF2|=2a，即|F1A|－|F2B|=2a，即|F1C|－|F2C|=2a。设C(x′,0)，则有x′－(－c)－(c－x′)=2a，化简，有x′=a。从而知I总与x轴相切于点C(a,0)，又因为ICx轴，故点I的轨迹方程为x=a。设I的纵坐标为y，∠PF1F2=α，则有|y|c+a=tanα2<1－acbc=c－ab，所以|y|<b且y≠0。综上所述，点I的轨迹为x=a(|y|<b,y≠0)。
(2)仿照(1)的证明可证得：当P在双曲线左支时，I总与x轴相切于点C(－a,0)，点I的轨迹为x=－a(|y|<b,y≠0)。
探究4：旁心的轨迹方程
结论4设N为双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的焦点三角形ΔPF1F2的旁心，则有：(1)若P在双曲线的右支，点N在∠PF1F2的平分线上，
图4延长PN交x轴于M，则有|PN|∶|NM|=1∶e，且点N的轨迹方程为x2c2－y2(eb1+e)2=1(y≠0,x>c)(其中e为双曲线的离心率)；
(2)若P在双曲线的左支，点N在∠PF2F1的平分线上，延长PN交x轴于M，则有|PN|∶|NM|=1∶e，且点N的轨迹方程为x2c2－y2(eb1+e)2=1(y≠0,x<－c)(其中e为双曲线的离心率)。