反比例函数的应用精选(九篇)

第1篇：反比例函数的应用范文

1结论证明

图1如图1，AC是长方形ABCD的对角线，点P是对角线BD上一动点，过点E分别做AB、AD的平行线段IF、HG，点I、F分别在AD、BC上，点H、G分别在AB、DC上。则图中阴影部分的面积相等即S1=S2。

证明如图，在矩形ABCD中，易知

SABD=SCDB。①

同理在矩形AHGD中，知SPGD=SDIP。②

同理在矩形HBFP中，知SHBP=SFPB。③

①-②-③得：S1=S2。

这是矩形学习中很容易证明的一个结论，但一类有关反比例函数的题目，用矩形的这个结论来解显得极其容易，若对这个结论没掌握好要解这类题目是不容易的，下面我们来一起学习一下这个结论在反比例函数试题中的应用.

2应用举例

图2例1如图2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k1x的图象上。若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）

A。-2B。2C。3D。4

解法1设C（m，n），则B（-2，n），D（m，-2），因BD经过原点，得n1-2=-21m，得mn=4，所以k=4.

解法2由以上结论，易知与两坐标轴围成的一、三限象中两小矩形面积相等，由点A的坐标为（-2，-2）得小矩形面积为4，所以k=4，答案：D.

点评显然，解法一不易想到正比例函数图象上的点B、D坐标满足的关系，从而解不出k的值。若熟悉以上矩形中的结论，便可很容易求出k的值来。

例2如图2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k2+2k+11x的图象上。若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）

A。1B。-3C。4D。1或-3

点评由结论以上，易知k2+2k+1=4，解得：k=1或-3。

答案：D.

第2篇：反比例函数的应用范文

[关键词] 类比法；单元教学；正比例函数；反比例函数

《教师专业标准》中强调，教师应重视学生自主学习、独立思考、自强自立、自由精神的培养. 在数学学习方面，这种自主学习、自主思考的能力，某种程度上表现为“举一反三”“触类旁通”的能力. 而这种能力的形成，要求教师在进行相似知识模块的学习时，不能简单地停留在知识点的传授层面，要适时渗透类比、归纳等推理方法，帮助学生既掌握方法，又整体建构. 本文结合“反比例函数（1）”的学习谈谈这方面的认识.

反比例函数与已学的正比例函数一样，也是一种特殊的函数. 它们在研究内容上是一致的. 这种研究内容的一致性，决定了它们在研究方法上也存在一致性. 因此，我们可以将反比例函数的学习看做是正比例函数学习的进一步延伸和拓展. 我们在进行反比例函数的第一课时学习时，改变了传统的重点研究反比例函数的概念及基本运算的做法，而是借鉴正比例函数学习的经验，运用类比的方法进行单元教学，让学生在类比正比例函数的基础上，整体认识反比例函数的概念、图象、性质、应用，形成一种整体意识，为后续的深入研究做好充分的准备.

为了能顺利地实现正迁移，将正比例函数的学习经验迁移到反比例函数的学习中，我在教学时设置了以下问题. 对于此问题，一方面，通过正比例函数的认识，明确函数一般的研究对象和方法，为用类比的方法研究反比例函数做好必要的铺垫工作；另一方面，通过整体回顾，培养学生的整体意识.

同正比例函数的学习相似，在研究概念的基础上，进一步转入到函数图象的研究中来. 但是如果要学生通过描点法作图一步到位地作出反比例函数的图象，难度比较大. 为此，我在正比例函数图象的基础上，设置问题串引领学生思考，让学生初步感知反比例函数图象分布的区域、基本走势.

1. 提出问题

2. 学生活动

第3篇：反比例函数的应用范文

[关键词] 初中数学；反比例函数；知识构建；数学价值

反比例函数是初中数学继一次函数学习之后的另一重要函数，也是初中数学学习当中的一个难点. 根据我们的教学经验，学生在学习反比例函数时，经常会受一次函数学习的影响，产生一些负迁移，导致在反比例知识构建过程中出现理解困难的情形. 更为重要的是，由于知识教学中出现的困难，我们教师往往在本知识的数学教育价值方面也有所忽略，这就导致本知识在知识构建和价值发掘方面容易出现双损失的情形. 考虑到这一点，笔者决定在这两个方面进行一些更深的挖掘，以让本知识能够在知识构建和数学价值两个方面绽放出更多的光彩.

反比例函数的知识地位与数学价值

反比例函数自身的知识结构一般从四个方面进行描述：一是寻找现实生活中的反比例函数原型；二是数学意义上的反比例函数概念；三是反比例函数的图象与性质；四是利用反比例函数的知识去解决实际生活中的问题. 这四个方面既是一种递进关系，也是一种互相影响的关系. 而从更为宽泛的角度来看，反比例函数知识放在一次函数的学习之后，还具有平面直角坐标系的知识作为基础，因此从知识衔接的角度来看，我们认为本知识的教学应重视与前面知识的联系，在已有知识基础上进行提升. 根据一般经验，在本知识学习之前，我们应做好知识上的铺垫，即帮学生复习巩固函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等知识；同时还要考虑为后面的二次函数、三角函数等埋下知识与方法的种子.

从数学价值的角度来看，反比例函数知识的教育价值在于，要继续跟学生强化函数中的“变化与对应”思想，让学生通过反比例函数概念的学习，去感受数学概念的得出过程. 如教师可以提供多种现实例子，让学生抽象出反比例函数；并学会通过分析综合、类比比较、抽象概括等方法，去体验反比例函数的性质. 具体到教学细节当中，还包括一种新的作图方法，即描点法（在此之前，学生均通过两点确定一条直线的方法去确定一次函数的图象）和对称法. 而在知识应用的过程中，待定系数法则是已有方法的一种体验的深化，可以让学生进一步感受这一方法的应用价值. 在本知识的数学思想中，我们也注重其天然具有的承上启下作用，尤其是本知识学习过程中形成的数学思维方法，对于后面二次函数的学习，如概念形成、图象获得、性质理解等具有重要作用.

当然，在此我们也认识到数学知识与数学价值是无法截然分开的，数学价值隐藏在数学知识学习中，因此本知识的学习以及后续初三阶段的复习，我们都应注意将数学思想渗透于数学知识的学习与复习当中，具体见下面的阐述.

反比例函数的新知学习与复习策略

一个数学知识在初中教学中的重点出现一般有两个机会，一是新知学习时，另一个就是在复习过程（这里的复习主要是指中考复习）中. 我们认为，知识结构的形成与完善，数学思想的体验与领略，也是在这两个过程当中.

我们先来看看新知学习中的反比例函数教学. 我们认为教师在教的方面必须做到如下几点.

1. 认真选择引入的素材，让学生感觉反比例函数学习的必要性

教材上用的是铁路上列车行驶时速度与时间的乘积为定值的例子引入本章学习，用了京沪铁路列车先进例、某住宅小区面积一定的矩形草坪长与宽的关系例、北京市总面积一定下人均占地与人口关系例，以让学生分析后综合出反比例函数. 我们认为这些例子选择得比较好，好在正比例函数的关系清晰、学生容易看得懂. 但在实际教学中还是要注意例子的呈现顺序，比如笔者在教学中首先呈现的就是第二个例子，因为这个例子学生最为熟悉（必要时还可以改成学校球场之类的素材，以让学生消除非数学方面的干扰）.

2. 注意反比例函数概念的得出与理解

3. 引导学生认识反比例函数解析式的外延

而在关注学生“学”的方面，也应当作如下的两点努力：

其一，关注学生的知识基础. 反比例在整个函数知识系统中不是起步性质的，而需前面的知识基础作为支撑. 而从函数的角度来看，这与前面相应知识的学习之间有时间间隔和知识间隔，因此，在学习本知识之前必须同学生复习相关的函数知识，并将那些知识尽量置于具体的问题情境中，这样才能让学生有比较深刻的印象，从而支撑起整个反比例函数知识的学习.

其二，关注学生的知识建构方式. 不同的学生由于知识基础和建构方式不同，往往对于教师的同一个讲法，学生会有不同的理解，在这种情况下，为了保证学生对反比例函数概念、定义、解析式、条件等有符合数学意义的理解，教师在教学过程中必须关注学生的学习过程，即时进行口头询问、知识检测等，以保证学生在新知学习过程中准确把握.

而在本知识的中考复习中，我们认为也必须从巩固知识结构和加深数学理解两个方面进行复习. 其中，巩固知识结构是我们日常教学中比较重视的，此处就不哆嗦了，此处以“数形结合”为例，主要谈谈数学理解的加强.

这是反比例函数复习中常用的经典题目之一，通过这道题，可以帮助学生建立良好的数形结合意识，如果在实际教学中再辅以数学探究，如让学生猜想、验证等，则会收到很好的提升概念认识、强化数学思考的作用.

由此引发的思考

第4篇：反比例函数的应用范文

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.在前面已学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后继学习产生积极影响.

本章教学建议

1.注重数学概念的形成过程和对概念意义的理解，教学中提供直观背景。2.创设学生自主探索与合作交流的环境。教学中，应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通过观察，分析函数的图象，自主地对反比例函数的主要性质作出直观描述。3.经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程。教学时将实际问题置于已有知识背景中，用数学知识重新解释，让学生逐步会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。

反比例函数

一、学生知识状况分析

本节课通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比例函数的概念.通过例题和列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义。由于本节课比较抽象，学生理解起来比较困难，因此，在学习反比例函数概念的过程中，充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，并逐步加深理解.教学中要提供直观背景展现反比例函数的经验来源，在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的某种直观解释或实际意义，在活动中，教师应注意提供思考或研究问题的方向.

二、教学任务分析

教学目标：（一）教学知识点1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解。2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。（二）能力训练要求 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。（三）情感与价值观要求 结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。教学重点：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。教学难点：领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：课堂练习；第四环节：课时小结；第五环节：课后作业。

第一环节：创设问题情境，引入新课

活动目的：给学生设置疑问，激发学生学习兴趣。

活动过程：我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y=kx+b其中k，b为常数且k≠0，正比例函数的表达式为y=kx，其中k为不为零的常数，但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路程为1200 km，某人开车要从A地到B地，汽车的速度v（km/h）和时间t（h）之间的关系式为vt=1200，则t= 中，t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢？这就是本节课我们要揭开的奥秘.

第二环节：新课讲解

活动目的：在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型。

活动过程：引入我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数？

1.复习函数的定义：在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称y是x的函数。能举出实例吗？ （要求学生完成）例如，购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与铅笔数n（个）的关系是y=0.4n，这是一个正比例函数。又如，等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x，y是x的一次函数.等

2.经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式。复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式。问题1：电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U=IR，当U=220 V时。（1）你能用含有R的代数式表示I吗？（2）利用写出的关系式完成下表：

当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？请学生大家交流后回答。答案为（1）能用含有R的代数式表示I.由IR=220，得I= .（2）利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2.从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越小时，I越来越大。（3）变量I是R的函数.由IR=220得I= .当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数。舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼的？请学生互相交流后回答。答案为：根据I= ，当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时，I变大，灯光较亮.所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼。问题2：投影片：（§ 5.1 A）京沪高速公路全长约为1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？经过刚才的例题讲解，学生可以独立完成此题.如有困难再进行交流。答案：由路程等于速度乘以时间可知1262=vt，则有t= .当给定一个v的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数。从上面的两个例题得出关系式：I= 和t= .它们是函数吗？它们是正比例函数吗？是一次函数吗？能否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢？一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。从y= 中可知x作为分母，所以x不能为零。活动效果及注意事项：在教学中，引导学生体会，定义中非零常数K及变量x，y已经不在局限于只取正值而允许取任意非零数值。这里不宜使用“定义域”和“值域”等名词。

3.做一做。活动目的：前两个问题旨在强化函数和反比例函数的实际意义，在此基础上，第三个问题进一步明确：确定一个反比例函数关系的关键是求得K的值。活动内容：投影片（§ 5.1 B）（1）一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？（2）某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？（3）y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

①写出这个反比例函数的表达式；②根据函数表达式完成上表。活动效果及注意事项：学生加强了对概念的理解，并初步体会函数表达式与函数表格的相互转化。

第三环节：课堂练习

活动目的：巩固反比例函数概念的理解

活动过程：学生自主完成练习1

第四环节：课时小结

活动目的：培养学生总结归纳的能力

活动内容：本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y=yk （k为常数.k≠0），自变量x不能为零.还能根据定义和表达式判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数.

活动效果及注意事项：在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的某种直观解释或实际意义，通过举例，说理，讨论等活动，使学生体验如何用数学眼光来审视某些实际问题

第五环节：课后作业

1、已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6

（1）写出y与x的函数关系式：（2）求当x=4时，y的值。

2、（提高）已知y与成反比例，并且当x=3时，y=4，那么当x=2时，y的值.

第5篇：反比例函数的应用范文

一、反比例函数的基本概念题

例1 （2008年新疆建设兵团）我们学习过反比例函数，例如，当矩形的面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写成a= （S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．

解：三角形的面积S一定时，三角形的底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式为y= （S为常数，S≠0）．

注意：将实际生活中的数学问题抽象成函数关系式时，一要注意题中所给条件的限制，即自变量的取值范围；二要清楚哪个量是自变量，哪个量是常数，哪个量是因变量.

例2 （2008年云南省）函数y= 中，自变量x的取值范围是______．

解：要使反比例函数有意义，必须分母不为0，故x-1≠0，x≠1.

二、确定反比例函数的解析式

例3 （2008年安徽省）函数y= 的图象经过点（1，－2），则k的值为（）.

A．B． - C． 2D． －2

解：将点（1，－2）代入函数y= ，得-2= ，k=-2.故选D.

例4 （2008年襄樊市）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图1所示.当V=10 m3时，气体的密度是（）.

A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3

C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3

解：设反比例函数的解析式为ρ= （V>0）.观察到函数图象上的一个点（5，2），将其代入反比例函数ρ= 中，得k=10.

函数解析式为ρ= （V>0）.将V=10代入ρ= ，得ρ=1，故选D.

注意：（1） 这道题的解题思路是求出函数解析式，然后利用解析式求密度.这道题虽然简单，但这种解题思路应用很广.

（2） 这道题图象只有第一象限一个分支，说明自变量大于零，列解析式时不要忘记注明取值范围.

例5 （2008年宁波市）如图2，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y= 过点A，则k的值是（）.

A． 2 B． -2 C． 4 D． -4

解：由正方形ABOC的边长为2，可知正方形ABOC的面积为4.

又由反比例函数中k的几何意义，可知｜k｜=4.

因为反比例函数的图象在第二象限，所以k

三、反比例函数的性质

例6 （2008年仙桃市）对于反比例函数y= （k≠0），下列说法不正确的是（）.

A. 它的图象分布在第一、三象限?摇?摇?摇B. 点（k，k）在它的图象上

C. 它的图象是中心对称图形?摇?摇?摇D. y随x的增大而增大

解：因k≠0，故k2>0.根据反比例函数的性质，A，B，C成立，故选D.

例7 已知反比例函数y= （a≠0）在每一象限内y的值随x值的增大而减小，则一次函数y=-ax+a的图象不经过（）.

A． 第一象限 B． 第二象限

C． 第三象限 D． 第四象限

解：由反比例函数在每一象限内y的值随x值的增大而减小，可知a>0，则-a

注意：反比例函数图象的位置、k值的正负、函数的增减性（在每一象限内），这三者的关系是：其中一个确定，其他两个也确定；k>0?圳图象在一、三象限?圳减函数；k

四、反比例函数的实际应用

例8 （2008年杭州市）为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y= （a为常数），如图3所示．根据图中提供的信息，解答下列问题.

（1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围.

（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

解：（1） 将点P3， 代入y= ，解得a= .则y= .

将y=1代入y= ，得t= .反比例函数的解析式为y= t≥ .

将 ，1代入y=kt，得k= .所求正比例函数为y= t0≤t< .

第6篇：反比例函数的应用范文

1.知识技能

（1）理解反比例函数的概念。

（2）结合问题条件，得出反比例函数的表达式。

（3）根据反比例函数的特征，判断一个函数是否是反比例函数。

2.过程与方法

探索现实生活中数量间的反比例关系的过程，培养学生的自主探索能力。

3.情感态度与价值观

学生经历知识的探究和生成过程，充分认识到反比例函数是描绘现实生活中数量关系的一种数学模型，学生在探究中体会收获新知的快乐，从而激发他们积极参与、大胆实践的精神。

二、教学重点

理解反比例函数的概念。

三、教学难点

体会反比例函数是实际生活中描述数量之间关系的一种模型，给我们解决现实问题提供了便利。

四、教学过程

1.生活数学

写出下列生活问题中变量之间的函数关系式。

（1）一辆汽车从南京开往上海。若行驶的速度是70（km/h），那么这辆汽车通过的路程s（km）与时间t（h）之间存在的关系是？

（2）一个银行为本县社会福利厂提供了30万元的无息贷款，该社会福利厂的年平均还款额y（万元）与还款年限x（年）之间存在的关系是？

设计意图：从生活入手，营造轻松的学习氛围，体现数学的生活化，用数学符号建立等量关系，反映数学问题中的数量关系，培养学生的建模思想。

2.观察交流

在上述问题中所列出的关系式中，你对这些函数关系式熟悉吗？

3.探索活动

其余的是函数表达式吗？

利用关系式t=―完成下表并回答问题：

随着速度的变化，①v越大时，t越___；反之，v越小时，t越____。②对v的每一个值，都有______一个t值与它对应。③时间t是速度v的函数吗？为什么？④v与t的积是一个____ 值（即为300）。

设计意图：引导学生回忆函数的定义，通过探索、交流，类比得出其余的是函数表达式，既渗透了数学的“类比”思想又突破了难点。

定义：一般的，形如y=―（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。

注意：反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

4.例题讲解

判断下列关系式，思考y和x之间是否是反比例关系？如果是，指出k的值。

① y=―；② y=-―；③ y=-x+1；④ xy=1； ⑤ y=― ；⑥ y=3x-1。

结合刚才的事例，总结反比例函数的三种不同形式的表达方式。

y=―，（k为常数，k≠0）。

xy=k，（k为常数，k≠0）。

xy=kx-1，（k为常数，k≠0）。

设计意图：通过识别反比例函数式，使学生加深对反比例函数的定义的理解。

5.巩固练习

（1）下列表格中给出的是变量y随x变化的对应关系，其中有一个是反比例函数，请将其找出来。

设计意图：设置此题，体现比较隐晦的反比例函数关系，突破了难点。同时强化了本节课的重点和难点。

（2）已知函数y=3xm-7是正比例函数，则m= _______。

变式：已知函数y=3xm-7是反比例函数，则m=________。

若函数y=（m-3）x-1是反比例函数，则m=________。

若函数y=（k+1）xk -2是反比例函数，求m的值。

设计意图：使学生更加牢固地掌握反比例函数的概念，有效地培养了学生一题多变的学习习惯，有利于培养学生的发散性思维。

（3）函数表达式可以表示怎样的实际问题中变量之间的关系？你能举出这样的实例吗？小组内互相交流。

设计意图：本题既有利于培养学生的发散性思维，还很好地把数学和德育结合起来，对学生进行了一次成功的思想教育。

6.小结与思考

（1）数学知识。

（2）数学思想方法：建模思想、类比思想、转化思想。

7.作业

第7篇：反比例函数的应用范文

一、注重“类比教学” 

不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学，可称为“类比教学”.在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由“学会”到“会学”，真正实现“教是为了不教”的目的.有经验的老师都会发现，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。因此采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。是一种既经济又实效的教学方法。下面我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。 

首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。但是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。匆匆给出概念，然后应用。等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数又感到力不从心，学生接受起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。造成这种困扰的原因是因为忽视正比例函数的基础作用，我们应该借助正比例函数这个最简单的函数载体，把函数研究经典流程完整呈现，正所谓“麻雀虽小，五脏俱全”。再学习其他函数时，在此基础上类比学习，循序渐进，螺旋上升。例如： 

《正比例函数》教学流程 

（一）环节一：概念的建立 

通过对问题的处理用函数y=200x来反映汽车的行程与时间的对应规律引入新课。学生自觉思考教师提问，共同得出每个问题的函数关系式。引导学生观察以上函数关系式的特点得出正比例函数的描述定义及解析式特点。 

（二）环节二：函数图象 

这个环节是教学的重点，由学生先动手按“列表——描点——连线”的过程画函数y=2x和y=-2x的图象，相互交流比较然后教师利用多媒体展示画函数图象的过程并通过比较使学生正确掌握画函数图象的方法。 

（三）环节三：探究函数性质 

让学生观察函数图象并引导学生通过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情况，经过的象限及自变量变化时函数值的变化规律。这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。 

（四）环节四：概念的归纳 

将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。 

二、注重“数形结合”的教学 

数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。 

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。在借助图象研究函数的过程中，我们需要注意以下几点原则： 

（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。 

（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。 

（3）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。 

第8篇：反比例函数的应用范文

一、关于反比例函数图像生成的教学情境

二、反比例函数图像生成的教学反思

1. 反比例函数图像为什么是平滑的曲线

反比例函数的图像是双曲线，跟我们所学习的正比例函数的图像是有很大区别的. 这是反比例函数的图像教学中的难点. 反比例函数的图像必须要用平滑的曲线连接起来，而不能用折线连接起来. 教师在课堂中也没有做一些具体的解释和说明，也就是说，课堂中对这个难点的突破还没有到位. 对于这样一种现象，我认为在课堂中要对反比例函数图像为什么是平滑的曲线这一教学难点进行具体的解释和说明，教师可以用一些具体的反比例函数的图形进行教学，从较少的描点到更多的描点，让学生们观察和体会反比例函数由折线变成平滑曲线的过程.

在这个逐渐变化的图像中，学生们可以看到描点的个数和曲线的变化，点数越来越多时，所描出来的曲线也是越来越光滑的. 教师可以明确：平时画反比例函数的图像，是通过较少的点来画出函数的图像，可以取一些特殊的点，再用平滑的曲线把所取的点连起来.

2. 对反比例函数的图像分布在一、三或二、四象限的思考

对于这个问题，我在教学中试着问过学生，为什么反比例函数的图像分布在一、三或二、四象限，学生们的回答各不相同.

学生1：在一、三象限，y随x的增大而减少；在二、四象限，y随x的增大而增大.

学生2：k > 0时，图像正好在一、三象限时；k < 0时，图像正好在二、四象限.

学生3：直接从图像上看出的.

……

学生们的这些回答都是非常表象的，几乎都是根据图像来思考的，实际上，这样并没有回答反比例函数的图像分布在一、三或二、四象限这个问题. 我认为通过观察图像去研究反比例函数的图像特征这样的思路是不科学的，教师在上课过程中也是从描点出发，从图像出发再研究性质. 我认为还要从解析式的角度去研究反比例函数，如果缺少了让学生从图像研究性质后再从解析式的角度研究函数图像的性质这一环节，这样就会失去了对学生思维能力培养的机会，对函数图像“既要从数到形，又要从形到数”这两方面的研究也是不全面的.

3. 对反比例函数图像与正比例函数图像之间迁移关系的思考

我们学习知识是要循序渐进，先从简单的再到难的，这样所学的知识就可以运用到新学的知识中去，旧知识可以促进新知识的理解，这样就形成了知识的正迁移. 但在函数教学时，先学的正比例函数与反比例函数有很大区别，函数图像上也相差很多，正比例函数的图像形式对反比例函数的图像的学习和掌握造成了负迁移，因为正比例函数只需要描两个点，而反比例函数是由多个点连接而成的. 这种情况下，并不是正比例函数就不能促进反比例函数的学习，只要老师把两种函数的联系和区别清晰地表示出来，形成对比，也能让学生区分清楚并牢牢记住.

总之，反比例函数的图像是学生第一次接触的曲线形式的函数图像，在学习函数的时候一定要结合函数的解析式和图像，并清楚不同类型的函数之间的区别与联系. 这样才能在对比中把知识掌握得更牢固，曲线图像的函数在今后的学习中还会遇到，如二次函数抛物线，以及高中阶段学习的指数函数、对数函数和三角函数等. 因此，学习好反比例函数可以为今后的函数学习打下基础.

【参考文献】

[1]徐卫东.函数及其图像[J].中学数学教学参考，2011（1）.

第9篇：反比例函数的应用范文

一、先求出数值，再比较大小

若A（－，y1），B（－，y2），C（3，y3）为反比例函数y=图像上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

解析 本题的函数关系式已知，且A、B、C三个点的横坐标均给出，只需代入解析式求出相应的函数值再比较大小即可。

将A（－，y1）、B（－，y2）、C（3，y3）三点的坐标分别代入y=，得y1=－6，y2=－12，y3=1，显然y2＜y1＜y3，故答案选D。

点评 在函数值可以求出时，可以将点的坐标直接代入函数关系式，先计算后直接比较。

二、利用反比例函数的性质比较

若A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（-1，y3）三点都在函数y=-的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A.y1＞y2＞y3 B.y1＜y2＜y3 C.y1=y2=y3 D.y1＜y3＜y2

解析 对于反比例函数y=（k≠0）：当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。

因为A、B、C三点在同一个象限内，且-3＜-2＜-1，所以，y1＜y2＜y3。故答案选B。

已知函数y=-图像上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下式正确的是（ ）

A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2

解析 因为y=-的图像在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。又因为x1＞x2＞0＞x3，所以点（x1，y1）、点（x2，y2）在第四象限，0＞y1＞y2。

点（x3，y3）在第二象限，y3＞0。所以y3＞y1＞y2。故答案选A。

点评 反比例函数的图像是双曲线，y随x值的变化而变化的前提是x在曲线上或在每个象限内。

三、利用图像比较

如图1是三个反比例函数y=、y=、y=在x轴上方的图像，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（ ）

A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k2＞k1

C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k1＞k2

解析 由反比例函数y=的图像和性质可估算k1＜0，k2＞0，k3＞0，在x轴上任取一值x0，且x0＞0，x0为定值，则有y2=，y3=且y2＜y3，如图1，所以k3＞k2，故答案选B。

在函数y=（k＞0）的图像上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（ ）

A．y1＜0＜y2 B．y3＜0＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2

解析 由题意画出y=（k＞0）的草图（如图2），再根据x1＜x2＜0＜x3的条件，找出y1、y2、y3，显然y2＜y1＜y3，故答案选C。

点评 当函数值不可求时，就只能根据反比例函数图像的性质采用数形结合的方法来比较函数值的大小。

四、大小比较的逆问题

已知A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y=的图像上，当x1＜0＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）

A.m＞0 B.m＜0 C.m＜ D.m＞