分式方程的解法精选(九篇)

第1篇：分式方程的解法范文

一、教学目标

1.了解分式方程的概念；2.理解解分式方程产生增根的原因；3.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程；4.会检验整式方程的解是不是原分式方程的解.

二、教学重点解分式方程的基本思想和方法.

三、教学难点理解分式方程无解的原因.

四、教学方法分析对比与小组讨论相结合.

五、教学过程

（一）提出问题，复习旧知

由x-5=0解得x=5，这时分母=0，不存在x使方程成立，所以原分式方程无解.

那么这两种方法为什么会出现不同的结果呢？哪一个解得正确？

学生分组讨论后展示.

（四）归纳总结

1.先移项后通分再化简正确；

2.去分母解分式方程简单；3.在去分母时，方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程.应该考虑最简公分母是否为0.若最简公分母不为0，则分式方程中的分式有意义，整式方程的解就是分式方程的解；若最简公分母为0，则分式方程中的分式无意义，原分式方程无解；4.解分式方程必须验根.将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，整式方程的解就是分式方程的解；若最简公分母为0，则原分式方程无解；5.解分式方程的步骤：一化、二解、三检验.

（五）典型例题分析

（六）布置作业

课本第32页习题16.3的第1题中（1）（2）（3）（4）.

六、教学反思

本节课首先复习一元一次方程的解法，并强调解一元一次方程注意的事项；其次利用两种方法解比较简单的分式方程，让学生自主选择解分式方程的方法；最后利用两种方法解分式方程出现的困惑，通过小组讨论，归纳总结解分式方程的步骤，依据分式的值为0的条件，明确了分式方程无解的原因，知道了解分式方程为什么必须检验的原因以及检验的方法.

第2篇：分式方程的解法范文

一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．

（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义．

三、教学步骤

（一）明确目标

学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程．对于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．即可得x1＝2，x2＝-3．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整体感知

所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

1．复习提问

零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

“或”有下列三层含义

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可变形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

教师提问、板书，学生回答．

分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．

得，x＋5＝0或x-3＝0．

x1＝-5，x2＝3．

教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：（一）方程化为一般形式；（二）方程左边因式分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

练习：P．22中1、2．

第一题学生口答，第二题学生笔答，板演．

体会步骤及每一步的依据．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．

x-2＝0或3-x＝0．

x1＝2，x2＝3．

教师板演，学生回答．

此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．

练习P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.

解：原式可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：（5x-4）（x＋8）=0．

5x-4＝0或x＋8＝0．

学生练习、板演、评价．教师引导，强化．

练习：解下列关于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．

练习P．22中4．

（四）总结、扩展

1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

四、布置作业

教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（学有余力的学生做）．

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；

（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具体情况具体分析．

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

五、板书设计

12．2用因式分解法解一元二次方程（一）

例1．……例2……

二、因式分解法的步骤

（1）……练习：……

（2）…………

（3）……

（4）……

但要具体情况具体分析

六、作业参考答案

教材P．21中A1

（1）x1=-6，x2=-1

（2）x1=6，x2=-1

（3）y1=15，y2=2

（4）y1=12，y2=-5

（5）x1=1，x2=-11，

（6）x1=-2，x2=14

教材P．21中A2略

（1）解：原式可变为：（5mx-7）（mx-2）＝0

5mx-7=0或mx-b＝0

又m≠0

（2）解：原式可变形为

（2ax＋3b）（5ax-b）＝0

2ax＋3b＝0

或5ax-b＝0

a≠0

教材P．23中B

1．解：（1）由y的值等于0

得x2-2x-3=0

变形为（x-3）（x＋1）＝0

x-3＝0或x+1=0

x1＝3，x2=-1

（2）由y的值等于-4

得x2-2x-3=-4

方程变形为x2-2x＋1=0

（x-1）2=0

解得x1=x2=1

当x=3或x＝-1时，y的值为0

当x=1时，y的值等于-4

教材P．23中B2

证明：x2-7xy＋12y2＝0

（x-3y）（x-4y）=0

第3篇：分式方程的解法范文

一．选择题：（每题3分）1．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）　 A． 1 B． 0 C． ﹣1 D． 2　2．方程x2=2x的解是（）　 A． x=2 B． x1=2，x2=0 C． x1=﹣ ，x2=0 D． x=0　3．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）　 A． 开平方法 B． 配方法 C． 公式法 D． 因式分解法　4．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（）　 A． 9cm2 B． 68cm2 C． 8cm2 D． 64cm2　5．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）　 A． m=±2 B． m=2 C． m=﹣2 D． m≠±2　6．函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）　 A． （1，﹣4） B． （﹣1，2） C． （1，2） D． （0，3）　7．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m等于（）　 A． ﹣6 B． 1 C． ﹣6或1 D． 6　8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（） 　 A． ab＞0，c＞0 B． ab＞0，c＜0 C． ab＜0，c＞0 D． ab＜0，c＜0　9．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）　 A． a＞﹣ B． a≥﹣ C． a≥﹣ 且a≠0 D． a＞ 且a≠0　10．对于抛物线y=﹣ （x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）　 A． 开口向下，顶点坐标（5，3） B． 开口向上，顶点坐标（5，3）　 C． 开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D． 开口向上，顶点坐标（﹣5，3）二、填空题（每题3分）11．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=．　12．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．　13．抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x=．　14．一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的求根公式是：．　15．抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则这条抛物线的解析式为．　16．当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是．　17．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x﹣2=0的根的判别式的值等于4，则m=．　18．目前甲型H1N1流感病毒在全球已有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为．　19．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为．　20．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得．三、解答题21．解方程 （1）（3x+2）2=24（2）x2﹣7x+10=0（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）x2﹣2x﹣399=0．　22．已知a、b、c均为实数，且 +|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．　23．如图1，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图2，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽． 　24．已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．　25．某电脑公司2010年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2012年经营总收入要达到2160万元，且计划从2010年到2012年每年经营总收入的年增长率相同，问2011年预计经营总收入为多少万元？　26．有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米．求鸡场的长和宽． 　27．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为在月内赚取8000元的利润，同时又要使顾客得到实惠．售价应定为每件多少元？ 2014-2015学年黑龙江省伊春市铁力三中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析　一．选择题：（每题3分）1．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）　 A． 1 B． 0 C． ﹣1 D． 2考点： 一元二次方程的解；代数式求值．专题： 计算题．分析： 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值．解答： 解：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1；故选A．点评： 此题应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．　2．方程x2=2x的解是（）　 A． x=2 B． x1=2，x2=0 C． x1=﹣ ，x2=0 D． x=0考点： 解一元二次方程-因式分解法．分析： 把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．解答： 解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选：B．点评： 本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．　3．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）　 A． 开平方法 B． 配方法 C． 公式法 D． 因式分解法考点： 解一元二次方程-因式分解法．分析： 移项后提公因式，即可得出选项．解答： 解：（5x﹣1）2=3（5x﹣1）（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，即用了因式分解法，故选D．点评： 本题考查了对解一元二次方程的解法的应用．　4．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（）　 A． 9cm2 B． 68cm2 C． 8cm2 D． 64cm2考点： 一元二次方程的应用．专题： 几何图形问题．分析： 可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．解答： 解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：x（x﹣2）=48，解得x1=﹣6（舍去），x2=8，那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm2．故选D．点评： 本题考查了一元二次方程应用以及矩形及正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题关键．　5．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）　 A． m=±2 B． m=2 C． m=﹣2 D． m≠±2考点： 一元二次方程的定义．专题： 压轴题．分析： 本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的次数是2；（2）二次项系数不为0．据此即可求解．解答： 解：由一元二次方程的定义可得 ，解得：m=2．故选B．点评： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．　6．函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）　 A． （1，﹣4） B． （﹣1，2） C． （1，2） D． （0，3）考点： 二次函数的性质．分析： 利用配方法化简y=x2﹣2x+3可以得到y=（x﹣1）2+2，由此即可确定顶点的坐标．解答： 解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2，故顶点的坐标是（1，2）．故选C．点评： 考查求抛物线的顶点坐标的方法．　7．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m等于（）　 A． ﹣6 B． 1 C． ﹣6或1 D． 6考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．分析： 利用一元二次方程有相等的实数根，=0，建立关于m的等式，再根据m﹣2≠0，求出m的值．解答： 解：由题意知，=16m2﹣4×（m﹣2）（2m﹣6）=0，且m﹣2≠0m2+5m﹣6=0，m≠2即（m+6）（m﹣1）=0解得：m1=﹣6，m2=1．故选C．点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．　8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（） 　 A． ab＞0，c＞0 B． ab＞0，c＜0 C． ab＜0，c＞0 D． ab＜0，c＜0考点： 二次函数图象与系数的关系．专题： 压轴题．分析： 由抛物线开口方向向下可以得到a＜0，由抛物线对称轴在y轴右侧可以得到﹣ ＞0，可得到ab＜0，由抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，由图知，由该点在x轴上方可以得到c＞0，所以可以作出选择．解答： 解：抛物线开口方向向下，a＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，﹣ ＞0，b＞0，ab＜0，抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，由图知，该点在x轴上方，c＞0．故选C．点评： 考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．　9．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）　 A． a＞﹣ B． a≥﹣ C． a≥﹣ 且a≠0 D． a＞ 且a≠0考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．分析： 在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根的情况下必须满足=b2﹣4ac≥0．解答： 解：依题意列方程组 ，解得a≥﹣ 且a≠0．故选C．点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．　10．对于抛物线y=﹣ （x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）　 A． 开口向下，顶点坐标（5，3） B． 开口向上，顶点坐标（5，3）　 C． 开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D． 开口向上，顶点坐标（﹣5，3）考点： 二次函数的性质．分析： 二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．抛物线的开口方向有a的符号确定，当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下．解答： 解：抛物线y=﹣ （x﹣5）2+3，a＜0，开口向下，顶点坐标（5，3）．故选：A．点评： 本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现的问题．　二、填空题（每题3分）11．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=　﹣4　．考点： 二次函数的性质．分析： 可直接由对称轴公式﹣ =2，求得b的值．解答： 解：对称轴为x=2，﹣ =2，b=﹣4．点评： 本题难度不大，只要掌握了对称轴公式即可解出．主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系．　12．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为　2　，一次项系数为　﹣3　，常数项为　1　．考点： 一元二次方程的一般形式．分析： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．解答： 解：一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数是2，一次项系数是﹣3，常数项是1．故答案是：2，﹣3，1．点评： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．　13．抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x=　2　．考点： 二次函数的图象．分析： 抛物线过点A（1，0），B（3，0），纵坐标相等，它们是抛物线上的对称点，其对称轴是两点横坐标的平均数．解答： 解：点A（1，0），B（3，0）的纵坐标相等，A、B两点是抛物线上的两个对称点，对称轴是直线x= =2．点评： 解答此题利用二次函数的对称性容易解决．　14．一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的求根公式是：　x= （b2﹣4ac≥0）．　．考点： 解一元二次方程-公式法．专题： 计算题．分析： 利用配方法解方程即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的求根公式．解答： 解：方程两边除以a（a≠0），得x2+ x+ =0，x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，（x+ ）2﹣ ，当b2﹣4ac≥0，原方程有解，x+ =± ，x= ．所以一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的求根公式是：x= （b2﹣4ac≥0）．故答案为：x= （b2﹣4ac≥0）．点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x= （b2﹣4ac≥0）．　15．抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则这条抛物线的解析式为　y=x2﹣2x﹣3　．考点： 待定系数法求二次函数解析式．分析： 抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则这两点的坐标满足解析式，把点的坐标代入解析式就得到一个关于b，c的方程组，就可解得函数的解析式．解答： 解：抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ，解得b=﹣2，c=﹣3，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．　16．当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣2的值是　4　．考点： 代数式求值．专题： 计算题．分析： 根据题意求出x2+3x的值，原式前两项提取3变形后，将x2+3x的值代入计算即可求出值．解答： 解：x2+3x+5=7，即x2+3x=2，原式=3（x2+3x）﹣2=6﹣2=4．故答案为：4．点评： 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　17．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x﹣2=0的根的判别式的值等于4，则m=　 或﹣ 　．考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．分析： 根据根的判别式=b2﹣4ac，把相应的数代入进行计算，即可求出m的值．解答： 解：=（2m﹣1）2﹣4×m×（﹣2）=4m2+4m+1，由题意得：4m2+4m+1=4，（2m+1）2=4，解得：m1= ，m2=﹣ ；故答案为： 或﹣ ．点评： 本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式=b2﹣4ac和找出a，b，c的值是本题的关键．　18．目前甲型H1N1流感病毒在全球已有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为　（1+x）2=81　．考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．专题： 其他问题．分析： 本题可先列出一轮传染的人数，再根据一轮传染的人数写出二轮传染的人数的方程，令其等于81即可．解答： 解：设一轮过后传染的人数为1+x，则二轮传染的人数为：（1+x）（1+x）=（1+x）2=81．故答案为：（1+x）2=81．点评： 本题考查的是一元二次方程的运用，解本题时要注意第二轮传染的人数即为总共传染的人数．　19．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为　6，10，12　．考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题： 计算题；压轴题．分析： 求ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．解答： 解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故ABC的周长是6或10或12．点评： 本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．　20．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得　 x（x﹣1）=45　．考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．分析： 此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x﹣1）解决问题即可．解答： 解：由题意列方程得， x（x﹣1）=45．故答案为： x（x﹣1）=45．点评： 此题主要由x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x﹣1），利用这一基本数量关系类比运用解决问题．　三、解答题21．解方程 （1）（3x+2）2=24（2）x2﹣7x+10=0（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）x2﹣2x﹣399=0．考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．专题： 计算题．分析： （1）利用直接开方法求出解即可；（2）利用因式分解法求出解即可；（3）利用因式分解法求出解即可；（4）利用配方法求出解即可．解答： 解：（1）开方得：3x+2=±2 ，解得：x1= ，x2= ；（2）分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x1=2，x2=5；（3）移项得：（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）=0，解得：x1=﹣ ，x2=1；（4）方程变形得：x2﹣2x=399，配方得：x2﹣2x+1=400，即（x﹣1）2=400，开方得：x﹣1=20或x﹣1=﹣20，解得：x1=21，x2=﹣19．点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．　22．已知a、b、c均为实数，且 +|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．考点： 解一元二次方程-因式分解法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．专题： 计算题．分析： 本题要求出方程ax2+bx+c=0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．解答： 解：根据分析得：a﹣2=0，b+1=0，c+3=0a=2，b=﹣1，c=﹣3方程ax2+bx+c=0即为2x2﹣x﹣3=0x1= ，x2=﹣1．点评： 本题考查了一元二次方程的解法和非负数的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．　23．如图1，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图2，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽． 考点： 一元二次方程的应用．专题： 几何图形问题．分析： 本题可根据地毯的面积为80平方米来列方程，其等量关系式可表示为：（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积．解答： 解：设花边的宽为x米，根据题意得（2x+8）（2x+6）=80，解得x1=1，x2=﹣8，x2=﹣8不合题意，舍去．答：花边的宽为1米．点评： 考查一元二次方程的应用；得到地毯的长与宽的代数式是解决本题的易错点．　24．已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．考点： 待定系数法求二次函数解析式．分析： 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．解答： 解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得 ，解得 ．则抛物线解析式为y=2x2﹣3x+5；由y=2x2﹣3x+5=2（x﹣ ）+ 可知，抛物线对称轴为直线x= ，顶点坐标为（ ， ）．点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y=a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），抛物线与x轴两交点为（x1，0），（x2，0）．　25．某电脑公司2010年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2012年经营总收入要达到2160万元，且计划从2010年到2012年每年经营总收入的年增长率相同，问2011年预计经营总收入为多少万元？考点： 一元二次方程的应用．分析： 增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．本题中a就是2010年的经营收入，b就是2012年的经营收入，从而可求出增长率的值，进而可求2011年预计经营总收入．解答： 解：2010年的经营总收入为600÷40%=1500（万元）．设年增长率为x（x＞0），依题意得，1500（1+x）2=2160，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2，x＞0x2=﹣2.2不合题意，只取x1=0.2．1500（1+x）=1500×1.2=1800（万元）．答：2011年预计经营总收入为1800万元．点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率问题．解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．　26．有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米．求鸡场的长和宽． 考点： 一元二次方程的应用．专题： 几何图形问题．分析： 可设垂直于墙的一边长x米，得到平行于墙的一边的长，根据面积为150列式求得平行于墙的一边的长小于18的值即可．解答： 解：设垂直于墙的一边长x米，则另一边长为（35﹣2x），列方程，得x（35﹣2x）=150，解得x1=10，x2=7.5，当x=10时，35﹣2x=15＜18，符合题意；当x=7.5时，35﹣2x=20＞18，不符合题意，舍去．答：鸡场的长为15米，宽为10米．点评： 考查一元二次方程的应用；得到长方形的边长是解决本题的突破点；舍去不合题意的值是解决本题的易错点．　27．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为在月内赚取8000元的利润，同时又要使顾客得到实惠．售价应定为每件多少元？考点： 一元二次方程的应用．专题： 销售问题．分析： 设售价应定为每件x元，则每件获利（x﹣40）元，月内售量为[500﹣（x﹣50）×10]件，由“月内赚取8000元的利润”作为相等关系列方程得：[500﹣（x﹣50）×10]（x﹣40）=8000，解方程即可得解．解答： 解：设售价应定为每件x元，则每件获利（x﹣40）元，由题意得[500﹣（x﹣50）×10]（x﹣40）=8000．化简得x2﹣140x+4800=0，解得x1=60，x2=80．因为要使顾客得到实惠，所以售价取x=60．答：售价应定为每件60元．点评： 此题的等量关系：月内利润=每件获利×月内售量．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．

第4篇：分式方程的解法范文

微积分是现代数学和古典数学的分水岭，数学的发展和应用自此发生根本性变化.[1]经典的微积分方程建模方法在力学、声学、电磁学、热传输和扩散理论中，甚至在现代量子力学和相对论中取得巨大成功.然而，社会学家、经济学家、物理学家和力学家也发现愈来愈多难以用经典微积分方程建模的所谓“反常”现象[23]，如在扩散和耗散中广泛观察到的幂律现象[34]以及非高斯非马尔科夫过程[56]等.

非线性微分方程模型是描述复杂物理过程的常用方法，已得到充分研究，其基本思路是假设线性力学本构关系或物理定律中的系数是依赖应变变量的.目前，复杂问题的非线性模型愈加复杂，参数很多.例如，岩土力学中的热电化力耦合模型需要四十多个参数，这些参数的物理意义和确定本身就是一个很大的问题.[7]

近年来引起广泛关注的分数阶微积分方法是复杂现象建模的另一个有力的数学工具，在一些领域获得引人注目的成功.[2，4]但是，该方法也有其局限性.首先，非常重要的空间分数阶拉普拉斯算子的定义并不统一，有关数值计算也困难重重[2，8]；其次，分数阶导数阶数的物理解释还不成熟.绝大多数分数阶导数模型都是经验模型或唯象模型.[2，4]

由于实际复杂问题的微分方程模型经常难以建立，因此笔者对这些问题就放弃微分方程建模，直接采用统计模型来描述和分析.[6，9]但是，统计模型不能清晰地描述问题的因果性，物理概念和规律经常不很清楚，结果不精细，一些情况下难以满足实际工程的需要.[5，10]

在微分方程数值模拟方面，目前标准做法是先确定控制方程和边界条件，然后采用某种数值方法做仿真计算.相应的反问题则涉及确定边界条件、控制方程参数和边界形状等，但基本上是先有控制微分方程，然后再求数值解.如上所述，建立复杂问题的微分控制方程并不是一个简单的问题.而且，非线性控制方程和分数阶微分控制方程的数值求解也不是一个容易的任务.例如，边界元法利用微分方程的基本解，能够高效高精度地获得数值解.但是，绝大多数非线性模型的基本解很难找到[11]，而现有的分数阶微积分控制方程的基本解又极为复杂，甚至没有显式表达，也不易得到[2].

为解决仿真这些复杂问题的微积分建模难题，本文提出隐式微积分方程建模方法.基本思路是边界元的逆向思维，即不需要知道微积分控制方程的表达式，而是先确定物理问题微积分方程的基本解或通解，相应的微积分方程存在但不一定能够推出其显式表达式.在数值模拟方面，仅需微积分控制方程的基本解和边界条件就可以进行数值仿真计算，得到模型的数值解，不需要从基本解来推导控制方程.这里“隐式”是指控制方程的显式表达式可以不需要或难以推导出来.在具体实施中可以利用描述一类物理问题的广义基本解或统计分布密度函数.

由于基本解和通解一般可表达为径向基函数，因此本文求解隐式微积分方程模型的主要数值技术是基于径向基函数的配点方法.[12]该类方法以距离为基本变量，不依赖于问题的维数，本质上是无网格无数值积分的方法，编程容易，能够计算高维复杂几何形状问题.

本文考察2类应用实例.首先，考虑多相软物质热传导的幂律行为.，特别是反常扩散行为中快扩散过程的统计建模.本文运用列维密度函数构造反常扩散现象的时间空间隐式微积分方程模型.本文模型比现有模型简单，物理和统计概念清晰.

本文第1节通过多相软物质幂律热传导建模，引进隐式微积分方程建模方法，并采用奇异边界法给出仿真数值结果，然后在第2节给出列维稳态统计分布的隐式微积分方程模型，最后在第3节总结隐式微积分方程建模方法的特点和优势，以及若干有待研究解决的问题.

①证明过程包含在向J Comput Phys投稿的文章“Threedimensional Rieszkernelbased fractional Laplacian equation and its numerical solution”中，作者为陈文和庞国飞1稳态幂律热传导的隐式微积分方程模型分数阶拉普拉斯算子（-Δ）s/2是一种典型的微分积分算子，能够用单参数s（0到2之间任意实数）表征物理力学系统的空间非局部性；作为经典整数阶拉普拉斯算子（s=2）的一般形式，可用于软物质中声波传播的能量耗散[13]、湍流扩散[16]、地下水溶质运移[1819]、分形空间中的电磁场[20]和非局部热传导[2122]等物理力学问题的建模.算子（-Δ）s/2满足傅里叶变换[8]F{（-Δ）s/2u（·）}=ksF{u（·）}（1）式中：k为频域中的波数.利用傅里叶逆变换直接推导算子的显式表达式很困难，现有的二维和三维分数阶拉普拉斯算子的显式定义不统一.[13，2224]文献中常用的向量积分显式定义与式（1）不符，是一个近似定义，算子的数值离散也较为困难.例如，有限元离散的弱形式含有二重向量积分，具有非局部性，生成的刚度矩阵不再是带状稀疏阵，而是满阵.[14，21]总之，目前尚无统一的且易于数值计算的分数阶拉普拉斯算子定义.

采用隐式微积分建模方法，笔者不考虑分数阶拉普拉斯算子的具体表达形式，而是从其逆算子（分数阶里斯势）出发，直接构造分数阶拉普拉斯算子的基本解.为不失一般性，三维空间中的分数阶里斯势核函数的定义[8]为u*（x，ξ）=1x-ξ3-s （2）式中：x-ξ表示点x与ξ之间的欧氏距离；s为分数阶势的阶数.经典整数阶拉普拉斯算子（s=2）的基本解是分数阶的一个特例，u*（x，ξ）=1x-ξ （3）以式 （2）作为分数阶拉普拉斯算子（-Δ）s/2的基本解.一般物理问题的分数阶拉普拉斯的阶数s是从1到2之间的实数.可以证明，这样定义的分数阶拉普拉斯算子满足傅里叶变换定义.①

复杂介质往往存，x∈ΩR3 （4）式中：u为无量纲化的温度函数；s表征材料的非局部性，刻画幂律特征；Ω为计算区域，如图1所示的圆柱.圆柱长为6，底面半径为1，圆柱的中心与坐标原点重合.在本项研究中，（-Δ）s/2按式（2）的分数阶里斯势基本解定义，因此就用这个问题验证基本解式（2）定义的分数阶拉普拉斯算子的隐式微积分模型.需要强调的是，这里并不需要知道分数阶拉普拉斯算子的显式表达式.

基于里斯势的分数阶拉普拉斯算子基本解表达式（2），采用奇异边界法[2526]可直接求解稳态方程式（4）和相应的边界条件的稳态热传导问题.奇异边界法是一种边界型径向基函数配点法，以基本解作为插值基函数.该方法假设基本解源点奇异时的源点强度因子存在.本文采用基本解积分平均计算源点强度因子.

为验证奇异边界法，先考察整数阶拉普拉斯方程（s=2）的数值解精度.图2给出精确解和数值解在圆柱中轴上的值.随着边界离散点数的增加，数值解逐渐逼近精确解，可见奇异边界法具有较好的收敛性.

一般情况下并不知道分数阶拉普拉斯方程式（4）的精确解，但可以通过指定与整数阶方程相同的边界条件考察分数阶方程的数值解是否逼近于整数阶方程的精确解（当s趋于2时）.先考察圆柱中轴{（x，y，z）|x=0，y=0，-3≤z≤3}上的温度随式（4）中分数拉普拉斯算子阶数s的变化，数值结果见图3.在完全相同的边界条件下，当s趋于2时，隐式分数阶拉普拉斯方程的解单调趋近于整数阶拉普拉斯方程的解.此外，s越小，材料的非局部性越强，中轴的温度越低.

2基于列维统计分布的非稳态反常扩散问题的隐式微积分方程模型扩散现象广泛存在于自然界和工业界中，是极其重要的物质迁移和输运的物理力学过程.越来越多的研究发现，经典的扩散方程并不能很好地描述湍流，如高温高压下等离子体扩散，金融市场变化，高分子动力学，以及软物质的热传导、扩散和电子输运等反常扩散过程.所谓的反常扩散[19，27]是指不符合菲克（Fick）扩散定律的扩散行为，包含慢扩散（subdiffusion）和快扩散（superdiffusion）2种形式，通常表现出长程的时间空间相关性.近年来的研究发现空间分数阶扩散方程能较好描述反常扩散中的快扩散现象；但时间空间非稳态分数阶方程的显式表达式难以得到或不准确，且难以数值计算.

本节考虑用列维统计分布的密度函数构造非稳态空间分数阶反常扩散方程的基本解，进行隐式微积分方程建模.这不同于第1节所涉及的稳态问题.

以上分析表明：高斯分布是整数阶菲克扩散模型的基本解核函数，一维列维分布是一维问题分数阶快扩散模型基本解的核函数.列维稳态统计分布是经典扩散方程和空间分数阶扩散方程基本解核函数的两类特殊情况.因此，可以用列维稳态统计分布的概率密度函数构造多维分数阶时间空间扩散方程的基本解，并用于建立快扩散过程的隐式微积分建模.由n维s稳态列维分布概率密度函数得到的n维空间分数阶扩散方程基本解为G（x，y，t）=H（t）tn/sLx-yt1/s （15）这里列维分布是空间分数阶扩散方程基本解的核函数，深刻揭示多维快扩散过程的统计本质和空间相关性.利用隐式微积分方程模型的基本解式（15），可以用试验或观测数据确定扩散过程所对应的列维统计分布中的稳态指标参数s得到基本解，然后根据可测边界上得到的边界条件值进行数值仿真计算，避免显式表达微积分方程模型的很多困难.

3结论

传统的数学物理方程和数值计算方案一般先根据问题的物理特征和理论采用数学微积分方法建立控制方程和边界条件，然后采用数值方法求解这些偏微分或微分积分方程问题.不同于标准的理论建模和数值仿真方案，本文提出的隐式微积分建模思路是先有问题的基本解，然后直接求解问题.微分控制方程表达式本身不再是必需的环节和对象.

隐式微积分建模的基本解或统计分布可以相当广泛，可极大地推广微积分建模的适用范围.例如，不同于传统的先有微分方程模型再寻找基本解的边界元法，可以直接根据问题的物理特征构造不均匀介质的基本解或通解，甚至可以直接构造非线性问题的基本解，而不用考虑微积分方程的表达形式，可将数学力学建模和数值建模更加紧密地结合起来.

此外，隐式微积分建模方法也将微积分建模与统计模型深刻紧密地结合起来，可由复杂问题的统计分布构造确定性的微分方程模型的基本解，建立确定性模型和随机模型内在联系的桥梁.基本解可以理解为物理场中的影响函数或势函数，由此可建立连续介质的隐式微积分建模与微观尺度的分子动力学和介观尺度的耗散粒子动力学的内在联系.

如何根据复杂问题的物理性质或统计分布构造基本解或通解等影响函数仍是有待深入研究的课题.

致谢：本文的第1节和第2节分别得到博士研究生庞国飞和博士傅卓佳的帮助，在此表示感谢.

参考文献：

[1]莫里斯·克莱因. 古今数学思想[M]. 张理京， 译. 上海： 上海科学技术出版社， 2009： 342383.

[2]陈文， 孙洪广， 李西成， 等. 力学与工程问题的分数阶导数建模[M]. 北京： 科学出版社， 2010： 8285.

第5篇：分式方程的解法范文

例如，学习人教版16.3分式方程时，我是这样整合教学内容的。

（一）从学生数学学习生活实际出发建构分式方程的概念

1.教师提出问题，学生思考、解决

（1）什么数的倒数等于5？（学生由倒数定义心算口答）

（2）什么数与2的差的倒数等于 ？（学生仍然可以心算口答。）

（3）什么数的3倍与2的差的倒数等于这个数的倒数的5倍？（学生笔算：设这个数为x，由题意得 = ）

2.教师引导学生比较、分析新方程与正式方程的区别，揭示新方程的本质特征，概括分式方程的定义。

（二）充分暴露学生的思维过程，探索解分式方程的基本思想和一般步骤

1.学生独立探究方程 = 的解法。

2.全班交流界分式方程 = 的过程及依据。

原方程的解是x=

3.师生共同小结

方程的三种解法依据虽然不同，但都揭示了解分式方程的基本思路————“转化”，即将分式方程转化为整式方程。

（三）分析产生“增根”的原因，推出“验根”的必要，完善求解的步骤

1.学生独立解下列方程 =

2.全班交流讨论

解法一：通分，得 =0

根据分式的值为0的条件，x=1，得出原分式方程无解的结论。

解法二：方程两边同乘以（x-1）（x+1），去分母后，得 x+1=2 x=1 x+1 原方程的解是x=1

3.研究两种解法为什么会产生两种不同的结果，创设思维情境，产生认知冲突，激发学生自主探究、寻求答案的积极主动性。

在这样的状态下，教师稍加点拨和适当的讲解，学生就能自主建立“增根”的概念，理解解分式方程的基本思想、一般方法，以及可能产生增根的原因，并且自觉的调整和总结解分式方程的一般步骤。

第6篇：分式方程的解法范文

关键词：高中数学；换元法；应用

数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解。本文通过几种类型的数学试题分析数学换元法的实际应用，以培养数学教与学过程中的换元思想，提高数学教与学的效益，真正地实施有效教学。

一、换元法概念

在解决数学问题时，依据所需要求解问题的特征，把某个式子作为一个整体，用一个变量去代替它，这就是换元思想，其解题的方法我们称之为换元法。换元的实质是通过映射转移、通过构造元和设元，进行等量代换，将问题转移到新对象的知识背景中去研究，把分散条件联系起来、隐含条件显示出来，或者把生疏的形式变换成熟悉的形式，把非标准型问题标准化、复杂问题简单化，并可使超越式转化为有理式、高次式转化为低次式，从而实现变未知为已知、化繁为简、化难为易、便于理解，提高解题的效率。

二、换元法在高中数学解题中的应用

换元理念渗透到高中数学中，即是体现数学解题中的换元思想。下面，本文就通过换元思想来解决高中数学中的部分具体问题，阐述换元思想方法的方法论意义，表明其对培养与提高学生解题能力的重要作用，以供参考。

例1 三角换元与均值换元的应用。

实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5 （ ①式） ，设S=x2+y2，求■+■的值。（1993年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1，于是进行三角换元，设x=■cosay=■sina，代入①式求S■和S■的值。

【解】设x=■cosay=■sina代入①式得：4S-5S·sinαcosα=5， 解得 S=■。

-1≤sin2α≤1， 3≤8-5sin2α≤13。■≤■≤■。

■+■=■+■=■=■。

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α=■的有界性而求，即解不等式：|■|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x2+y2与三角公式cos2α+sin2α=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。

例2 换元法在方程和方程组中的应用。

换元法在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。

注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元法都可以用。

解方程（x2+2x）2-14（x2+2x）-15=0。

解：设x2+2x=y，则原方程就变成y2-14y-15=0， （y+1）（y-15）=0？圯y1=-1，y2=15。

当y=-1时， x2+2x=-1？圯x2+2x+1=0？圯（x+1）2=0？圯x1=x2=-1；

当y=15时，x2+2x=15？圯x2+2x-15=0？圯（x+5）（x-3）=0？圯x3=3，x4=-5。

即原方程的解为x1=x2=-1，x3=3，x4=-5。

说明：在这个例题中用换元法把高次方程化为低次方程，解方程就容易多了。

三、换元法给我们的启示

换元法作为高中数学中解题的重要方法之一，通过换元方法可以让一些非标准化的问题变得标准化，让复杂的问题变得简单化，对于解题可以起到很好的效果。同时，学生学会通过换元法考虑数学问题，可以有效地提升他们的数学解题效率，培养他们的解题能力，提高解题速度。

参考文献：

[1]张美文.用“和式换元”证明分式不等式：高二、高三[J].数

理天地，2004（4）..

[2]王悦琴.用换元：数形结合法求三角函数最值[J].甘肃教

第7篇：分式方程的解法范文

关键词：函数；方程不等式；高中数学；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）01-0125

一、相关概念解析

函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题，进而解决问题的目的。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，用数学语言把问题转化为数学模型――方程、方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

不等式是研究数量关系的有力工具，在数学的各分支中，凡涉及数量关系的地方，无一不与不等式知识发生着联系。对某些不等的是问题，通过观察其结构上的特点，利用函数与方程思想可获得巧妙解决。

函数与方程、不等式是通过函数值大于零、等于零、小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，又是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数相等与不等过程中的基本数学思想。不等式与函数、方程的关系十分密切，因为有些不等式的一边就是函数的解析式，所以我们通常不等式、方程问题转化为函数问题，这样就可以利用函数的图像性质来处理不等式、方程的问题。

二、函数思想在研究方程的根、函数零点中的应用

通过以下例题分析理解函数与方程思想在解题中的重要作用。

例：（2011年陕西选择题）求函数f（x）=-cosx在[0，+∞）内零点个数的问题。

将零点个数问题转化为方程=cosx在[0，+∞）内的根的问题，进一步转化为研究函数y=与y=cosx的图像交点问题，而这两个函数图像是高中学生熟悉的，画出图像片刻就解决了，这里显然将函数问题与方程问题相互转化给解题带来方便。

三、用方程思想解决函数问题

在求函数数解析式问题中也会用到方程组的思想解决问题。如下例中就是方程组思想的应用。

例：若f（x）满足2f（x）+f=3x，则f（2）=（ ）

该题利用构造方程的方法解题。用代替原方程中的x即可得到的方程组即可解决这个函数求解析式求值问题。当然，也可以解具体化的关于f（2），f

的方程组解题，但还是体现了方程组的思想方法。

虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但它们又是密切相关的。对与函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函数问题可以转化为方程问题来求解，如求函数的值域问题；方程问题亦可以转化为函数问题来求解，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点。这种紧密的关系为函数方程思想的应用，为高考题的解决提供了很多转化方向，突出高考试题的灵活性，更体现了数学思想是解决数学问题的灵魂。

四、用函数的思想解决有关不等式的问题

将不等式问题转换为函数问题解题利用函数图像数形结合解决不等式问题也是函数思想的重要体现。

从几种解析方法的比较中，不难看出解法一、二，通过变量分离构造新函数，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题解，只是一种是用换元法，一种转化为熟悉的对勾函数来求最值。解法三直接构造函数，判断为二次函数，利用二次函数根的分布，结合二次函数图像直接得到不等式解决，但解法三显然难度较大，不如转化为函数求最值简单解法一较好，但这三种做法都体现了用函数思想解不等式问题。只有最后一种解法用到了特值法及不等式性质，但只是技巧性的解决小题适用。解决不等式问题我们要灵活把握，具体问题具体分析，本着化繁为简的原则选择合适的数学思想进行解题。

第8篇：分式方程的解法范文

【关键词】数学化归思想教学策略

“问题是数学的心脏”,数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分,化归是解决数学问题的最基本的手段之一,几乎所有问题的解决都离不开化归。化归思想的实质就是将一个新问题进行变形,使其转化为另一个已经解决的问题,从而使原来的问题得到解决。化归思想包含三个要素:化归的对象、化归的目标和化归的途径。要正确运用化归思想,就要认清化归的对象,明确要化归的目标,选择恰当的化归途径。从化归的方向上来看,化归的方向大致可以分为两种。

一、化“未知”为“已知”

前苏联数学家雅诺夫思卡娅说:“解题――就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”在初中数学中,有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的,也就是将新知识向已知知识点或知识块转化,从而使问题得到解决。在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。即将复杂的方程(组)通过各种途径转化为简单的方程(组),最后归结为一元一次方程或一元二次方程。这种化归过程可以概括为“高次方程低次化,无理方程有理化,分式方程整式化,多元方程组一元化”。

例如,一元二次方程的四种基本解法:

1.形如(x+m)2=n(n≥0)的方程转化为两个一次方程:x+m=±n,进而得解x1,2=m+±n,此为开平方。2.如果将方程通过配方恒等变形,一边化为含未知数的完全平方式,另一边为非负的常数,则其后的求解可由思路1完成,此为配方法。3.如果方程一边为零,一边能分解成两个一次因式之积,就可以得到两个因式分别为零的一次方程,它们的解都是原方程的解,此为因式分解法。4.如果以上三条思路受阻,便可把方程整理为一般形式,直接利用公式求解。

分析4种方法,不难发现,开平方法,它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程,即由(x+m)2=n(n≥0)转化为x+m=±n,完成了由“二次”向“一次”的转化。方法2中的“配方”则是方程的恒等变形,把问题转化为“可开方”,并未“降次转化”,但已为“二次”向“一次”转化创造了条件,配方法的实质就是转化为开平方来解决的。方法3因式分解法,依据是“若干个因式之积为零时,则其中至少有一个因式为零”,据此,也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法,对一般的一元二次方程,通过配方,转化为开平方求得一般结论,即求根公式。公式法以强调结论,实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题,而公式的得到则是化归思想的典型体现。

二、化“一般”为“特殊”

先解决特殊条件、特殊情况的问题,然后,通过恰当的化归途径把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决,这也是解决新问题获得新知识的一种重要的化归方向。初中教材中有许多一般性问题是用特殊化法解决的,如圆周角定理的证明,先证明圆心在圆周角一条边上这种特殊情况,然后,把这种证明思路应用到圆心在角的内部、外部的非特殊情况证明上,最后进行归纳,使问题得以解决。

例如,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,两个正方形的边长相等,那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,是否变化,若变化请说明理由,若不变请求出。分析:一般情况下,两个正方形重叠部分是一个四边形,不易确定其面积的大小。不妨将绕O旋转的正方形置于特殊位置,此时,易得重叠部分(AOB)的面积是正方形ABCD面积四分之一的,余下的问题就是证明在一般情形下,重叠四边形OEAF的面积等于OAB面积。用割补法,证OAE≌ODF即可。

此题的解决都是先解决特殊条件、特殊情况下的问题,然后,通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决,这也是顺利解决某些问题的一种重要的化归方向,它在获得新知识解决新问题的过程中时常发挥着意想不到的作用。

那么,在日常教学中如何更好地渗透和落实化归思想呢?

一、拥有扎实的基础知识、完整的知识结构是实现化归的必要条件

注重概念、公式、法则等基本数学知识的教学,是寻求化归目标的基础。从某种意义上说,中学数学教学实际上是数学模型的教学,建立数学模型是实现问题的规范化和程序化,运用模型的过程即是转化与化归的过程。

系统的知识结构,是发现化归方向的前提。在平时教学中,教师帮助学生完善知识结构,如做好单元小结,制作知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图,知识之间的相互联系、依存关系一目了然,为问题的转化提供了准确的方向。

数学方法的积累,为探求化归途径带来便利。学困生之所以拿到基本题没有思路,其根本原因是其知识结构残缺不全,平时不注重数学方法的积累。

二、树立化归意识,提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体,它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透,我们在研究数学问题的过程中,常需要利用这些联系对问题进行适当转化,使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化,首先须明确转化的一般原理,掌握基本的化归思想和方法,并通过典型的问题加以巩固和练习。因此,在平时的教学中,注重引导学生通过观察、分析,由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法,通过转化,建立条件和结论之间的桥梁,从而找到解题的思路和方法。要求学生掌握基本的化归方法,初中阶段常用的化归方法有恒等变换法,具体包括分解法、配方法、待定系数法等:其次是映射反演法,具体包括换元法、坐标法等。

三、善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法,不断总结化归法的一般原理

把化归思想方法的教学融于各个环节之中,让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。

在概念形成过程中渗透化归思想;在定理、公式的探究过程中深化化归思想;在问题解决过程中领悟化归思想;在知识的归纳总结过程中概括化归思想。

化归思想贯穿整个初中数学,让学生在学习的过程中要有意识地体会这种科学的思维方法,有利于在解决问题的过程中,保持思维通畅、运用方法恰当,从而达到事半功倍的效果。

参考文献:

[1]顾泠沅.数学思想方法[M].北京:中央广播电视大学出版社,2004.

第9篇：分式方程的解法范文

关键词：一元二次不等式 因式分解 数形结合

一元二次不等式及其解法不仅仅是对一类不等式进行求解，更是对模块一中有关函数内容的一种延续和上升，还是解决其他数学问题的一种重要工具.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的解法的延续和深化，对已学习过的集合、函数知识的巩固和运用具有重要的作用，也与数列、三角函数、线性规划、直线与圆锥曲线，以及导数等内容密切相关.许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用.本文对解一元二次不等式的方法作探讨，以抛砖引玉.

一、因式分解法

这种解法的优点是思路简单，容易理解，同学也易于接受，因式分解法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下：

（1）先将一元二次不等式进行标准化为：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＞0）；

（2）如果ax+bx+c＞0在实数范围内能被因式分解，就可把它分解成为：a（x-x）（x-x）＞0（＜0）（其中a＞0），从而得到ax+bx+c＞0（＜0）的等价的不等式组，由不等式组的解而得到不等式的解；

（3）如果ax+bx+c＞0在实数围内不能被因式分解，则ax+bx+c＞0（＜0）的解只有两种可能：一是一切实数，二是空集.

注：分式不等式＞0?圳f（x）＞0g（x）＞0或f（x）＜0g（x）＜0；

分式不等式≥0?圳f（x）≥0g（x）≥0或f（x）≤0g（x）≤0.

二、数形结合法

数形结合思想，可以直观明了问题，降低难度，易掌握少出错，数形结合法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下：

（1）观察二次系数的符号；

（2）弄清楚方程ax+bx+c=0的根的判别式与0的大小关系，判定实根的个数；

（3）若方程y=ax+bx+c有两个不相等的实数根x和x，比较两者的大小；

（4）依据二次函数的图像写出解集（表1）.

表1 一元二次不等式图像与解集对照表

注：对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再进行运算.

三、区间符号分析法

区间符号分析法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下：

（1）先将一元二次不等式进行标准化为：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＜0）；

（2）如果一元二次方程ax+bx+c=0有两个解，求出一元二次方程的两个解x，x，这样x，x两个数把实数轴分成三段：（-∞，x），（x，x），（x，+∞）；

（3）在区间（x，x）中随便找一个数β，计算aβ+bβ+c的值，由aβ+bβ+c的值的符号而选择符合的区间.

四、方程法

对基础较差的学生来说方程法是一种简单有效的好方法.应用方程法求解一元二次不等式的主要步骤如下.

（1）方程ax+bx+c=0的根的判别式与0的大小关系；

（2）当≥0，a与所求解的是同号时，则结果是用“或”；反之，a与所求解的是异号时，则结果是夹中间；

3）当≥0时，a与所求解的是同号时，则结果是R（全体实数）；反之，a与所求解的是异号时，则结果是?（空集）.

下面我们分别利用四种方法求一元二次不等式2x+3x-2≤0的解集.

方法一（因式分解法）：

原不等式等价的不等式组为2x-1≤0x+2≥0或2x-1≥0x+2≤0，由此可得：x≤x≥-2或x≥x≤-2，所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

方法二（数形结合法）：

求得2x+3x-2=0的两个根分别为和-2，而a=2＞0，所以图像的开口朝上（如图1），即不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

方法三（区间符号分析法）：

求得2x+3x-2=0的两个根分别为和-2，这两个根把实数轴分成三段：（-∞，-2），（-2，），（，+∞）.

（图2）

在区间（-2，）中随便找一个数0，即2×0+3×0-2=-2＜0，得不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

方法四（方程法）：

求得2x+3x-2=0的两个根分别为和-2，因为a=2＞0而求的是“”异号，所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

由上可知，在不等式的教学或复习中要有意识地注意方法的选择，在解决不等式类的习题中要确定好观察角度，对代数表达式的几何意义要具有主观感知，灵活地有潜意识地恰当运用方法，这样不仅了解并体会了数学思想方法的奥妙，而且提高了解题速度，同时优化了解题过程.

参考文献：

［1］刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧［J］.数学教学通讯，2004，（3）.