混沌分析精选(九篇)

第1篇：混沌分析范文

一、前言

布雷顿森林体系解体之后，世界各国的汇率出现了巨大的波动。对此，主流的汇率决定理论难以给出有力的解释和较为准确的预测，因而备受质疑。Meese＆Rogoff(1983)的研究得出惊人结果：资本市场汇率决定模型的预测力并不明显胜过随机游走模型。

20世纪90年代，汇率理论探索和研究重心转向微观结构，并且陆续产生了具有微观基础的汇率宏观经济分析方法、汇率决定的微观结构分析、汇率决定的混沌分析方法。其中，汇率决定的混沌分析方法备受学术界关注。目前，经济学领域应用混沌理论进行汇率问题研究的主要成就集中在以下两个方面：

1．通过对现存汇率决定模型的修改和调整，用解析的方法证明汇率中混沌存在的可能性；

2．利用混沌的研究方法对国际主要汇率进行实证检验，来验证混沌在汇率中的存在性。

但是，这些研究没有对汇率的混沌现象给出系统的理论性解释和支撑。因此，本文尝试对汇率混沌现象做一些理论性的解释研究。

二、前提假设

本文选择以下三个假设作为研究的基础：

1．异质易者假设

DeGrauwe等人认为市场交易者是异质性的，可以分为两类：基础分析者和图表分析者。前者主要是根据经济、政治或者其他基本面因素的发展变化，确定汇率未来的一个基本走势，然后，决定自己的投资行为；后者主要根据汇率历史的市场价格和波动趋势的图表变化作为重复的模式，来决定自己的投资行为，也称之为技术分析者或者噪声交易者。

2．分形市场假说

该假说由EdgarE．Peters(1994)提出，主要论点如下：

1)市场是稳定的，因为市场上存在着各种不同投资期限的交易者。足够的流动性可以保证稳定市场中的相关交易持续进行；

2)对基础分析者和图表分析者而言，“新闻”或者说信息集合影响更多地表现为短期，而对长期影响不太大。随着交易者投资期限的延长或者扩展，更长期的基本面分析显得更加重要。因此，价格的变化可能只反映了同一信息对相应投资期限的影响。

3)如果“新闻”的出现使得基础分析者开始怀疑原有的汇率基础值（该值源于对宏观基本因素的分析）的有效性时，长期投资者或者退出市场操作或者改用基于短期信息图表分析进行交易。当所有投资期限都缩短或者趋同于同一水平时，市场就会产生巨大的波动。因为没有中长期投资者为短期投资者提供足够的流动性来稳定市场。

4)价格是短期技术交易与基于经济基础因素分析的长期交易共同作用的结果。因此，短期价格变化的波动性更大，或者说包含了更多的“噪声”。而市场潜在的、长期的趋势反映了因为经济环境变化而变化的预期收益。

该假说认为，针对不同投资期限的交易者，信息的重要程度是不一样的。正因为如此，信息的处理、传播也不是均匀扩散的。在任一时点，价格并没有反映所有已获得的信息，而只是反映了与投资期限相对应的信息的重要性。

3．价格粘性

三、汇率混沌的解释

1．汇率运动的整体描述

所谓混沌，严格地说是决定论混沌(DeterministicChaos)，混沌是决定论系统所表现的随机行为的总称，它的根源在于非线性的相互作用。混沌的重要特性表现为：内随机性、分形维、普适性。

作为影响一国经济对内、对外平衡的重要宏观变量，汇率与其他许多宏观经济变量，如：国民收入、通货膨胀率、利率等有着紧密的联系。M．A．Torkamani等人(2007),雷强、李争争(2009)的研究表明：至少需要9--11个经济变量来描绘汇率时间序列。令：

S=F(Y，e，i，XX，M．……)

汇率运动轨迹完全由这个隐函数所决定，它是一个高维系统，至少具有9个自由度。实证研究表明，该隐函数是非线性的。正是非线性，导致了汇率运动对初始条件和特定参数的取值敏感，从而导致混沌现象的产生。即，初始值的微小差异，导致输出结果的绝大差异，难以确定。在经济活动中，就表现为汇率的巨大波动。

外汇市场是一个耗散结构。它在外界环境不断地进行物质、能量和信息交换的同时，不断进行“新陈代谢”，从而实现自我的稳定和发展。如果没有持续的“新闻”刺激，整个市场将停滞不前。只有当“新闻”所内含的信息不断被更多的市场交易者获取，然后，通过其自主的买卖活动，将信息转化成不同的价格信号，市场才继续活跃着。当然，因为交易者的异质性，信息的获取、技术处理和传播是非均衡的，从而导致了交易者投资期限的长度和力度的差异化。这也为汇率的非线性提供了一个很好的解释。

汇率时间序列表现出看似随机的行为。这是由汇率决定函数中的非线性所致。但是这些随机性依赖于初始条件和参数的特定取值，因而，是局部性的。汇率时间序列整体表现为一种稳定，其稳定的机理在于混沌吸引子的存在。混沌吸引子是相空间的一个子集，所有的邻近的起始点的轨迹最后都会收敛到这里，而且，轨迹进入该区域之后，又将会指数级地分离。所以，混沌吸引子是一个区间，只要时间足够长，该区间最后被所有的轨道所填满。

对于某些特定的参数值，稳定运动和随机性区域共存。对于参数的扰动，在一定范围内，系统可以自动适应（吸收扰动），然后经过一段时间，系统回复先前的运动轨迹。但是，如果参数的扰动过大，超过临界值，那么就有可能从局部性混沌过渡到全局混沌，从而使得整个系统变得不可控制。

2．非线性的诱因：信息的非均匀性

在决定性系统中的混沌是一种看似随机的过程，而混沌是非线性的相互作用所致。DeGrauwe＆Vansanten(1990)对Dornbusch模型引入了不同期限的非线性。短期的，由具有外推式预期(ExtrapolativeExpectation)私人财产拥有者构成，因为他们需要在在本国资产和外国资产之间来回切换借以获利，长期的，则由国际收支组成，具有“J曲线效应”。如图1所示。选取特定的参数值可以发现：系统将出现相当的不稳定性现象。

但是，这些不稳定，只是一个“鞅”调整过程，而不是混沌。原因是，这个系统需要一个来自于系统外部的初始的扰动，如货币政策或者外生的冲击，才可能开始波动。然后，系统从一个稳定的状态移动到另一个稳定的状态。对整个系统而言，即没有任何的耗散，也没有任何物质的逐渐消失，也没有出现“被吸引”到先前的轨迹上，让外部冲击在一段时间之后被系统吸收或遗忘。

如前所述，现将外汇市场视作一个耗散结构。外汇市场的存在依赖于“新闻”。没有持续的信息交换，所有的贸易活动将逐渐停止。市场交易者收集信息，然后对其做出反应，并将其转化为一种价格信号。这对系统内外的其他人将是一个有价值的“新闻”，通过他们的反应，对交易产生了新的刺激，如此反复。

信息的收集和处理是非均匀的。Allen＆Taylor(1990)的研究表明，存在不同的交易群体，他们对信息的获取、对信息源头的辨识、对信息的处理技术也有着巨大差异。典型的技术分析可以区分为：基础分析和图表分析。

对交易者而言，可能会依据自身的偏好同时、交替地使用这两种方式。这些偏好是由交易者自身特质所决定的，如交易者的灵活性、投资期限、流动性和预算约束等。例使，直接参与市场的商业银行有条件使用复杂的分析工具和贸易策略，从微小的汇率差中日复一日，甚至是以小时、分钟为周期地获利，所以他们更愿意采用技术或图表分析。另一方面，非银行交易者面临很强的流动性和预算约束，并且只有较少的工具可以用于套利或者投机。那么，他们更依赖于基础分析和常规的观察。

即使是采用相同技术分析的交易者，也会具有不同的投资期限取向，因为，他们重点关注的经济因素也有着很大的区别。自然地，可以将交易者分为四类：基础一长期、基础一短期、图表一长期、图表一短期。每一类交易者关注的因素如表1所示。

当一个“新闻”来到时，不同类型交易者的反应周期显然是不一致、不同步的。根据不同的交易决策，同一信息产生了不同的价格信号。四组不同的决策通过作用于价格，如果决策相互促进和增强的，将可能导致价格波动的加剧；如果决策是相互抵消和抑制的，价格的波动显然也会受到抑制。因此，依赖于他们相互作用的方式，就可能出现混沌，从而使得汇率变得难以解释和预测。

需要强调的是，有别于“鞅”过程，在混沌出现的过程中，一般情况下，并不需要以特别事件或“冲击”为起点。即使是一个非常平凡的“新闻”的观测和处理以及持续的小的价格信号，在未来也可能导致汇率的巨大波动。这就是内随机属性。

3．走向混沌的路径

信息是价格波动的一种诱因。决定汇率的最终因素还是市场的需求和供给及交易决策。因此，通过对信息与资源配置之间的联系的分析，可对汇率混沌的本质进行更为深刻的认识。

汇率运动与国际贸易、资产组合投资、单纯远期交易、现货套利以及官方的外汇储备有着紧密的联系。在外汇市场上，有三类主要的交易者：非银行、商业银行和央行。菲银行和商业银行的交易决策主要是基于风险／收益的考虑。通常，外贸、资产组合投资、央行外汇干预，面临着相当的流动性和预算约束。而单纯的远期交易和现货套利，基本上没有什么约束，除了交易者必须承担相应的损失。

在外贸中或资产组合投资中，非银行交易者仅仅依赖短期或者长期的基础因素分析。这样的分析一般是免费的或者低成本的。相反，对单纯远期交易，假定交易者具有长期的观点，更愿意为额外的信息付出努力，基于长期的技术分析。套利在银行间市场上是一个高风险的工具，完全基于一种短期图表分析。最后，央行的干预被认为是波动管理或是对汇率偏离一个给定目标的反应函数。

外汇交易发生在银行间市场。每一个非银行交易者需要买卖现汇时，银行充当了非银行交易者的中介。但是，银行对非银行的响应只是他们业务的很小一部分。他们使用自己账户的大部分交易是源于套利。另外，由于掉期交易的存在，一方面，这增加了交易者的灵活性。另一方面，该交易的份额与国际商品和资本市场的发展无关，因此，现货套利与单纯远期交易只能依赖于图表分析，这使技术分析权重额外增加。

银行间市场上的供给与需求并不相等。主要原因是：汇率的变化，或者央行的干预。在清洁浮动汇率中，无需干预的角色。而在完全固定汇率中，央行需要永久地充当私人银行的交易对手。在当前世界范围内有管理的浮动系统中，央行干预只是间或发生。

信息的流动或者资源配置导致了不同长度和力度的投资期限，决定了系统的自由度和长期行为。因此，投资期限的长度依赖于各自交易者的动机和时间期限：基于短期的基础分析者或图表分析者的决策不同于那些长期的技术。投资期限的力度决定于交易者的市场访问和灵活性，以及他们在全部贸易中的份额。对市场直接访问的套利和近乎无限制的灵活性起到了很大的作用。他们能在市场条件下引起很强烈的影响。另一方面，进出口商或者面临高成本、高预算或者流动性约束的私人资金只能说明很小的市场份额。虽然如此，如果其他人没有发现足够的激励而做出反应，仅仅保持原有状态，那么他们的影响可能是决定性的。总之，投资周期中的每一个变化都可能促使汇率走向混沌，或者从混沌状态返回到稳定。

四、结论

第2篇：混沌分析范文

[关键词] 电子商务混沌信息安全

一、引言

近年来，随着计算机技术和网络技术的不断发展，与实物流和资金流相关的信息流趋于多样化，这种多样化反映在信息流上为介质发生了变化。纸介质的契约、商务合同等逐步转变为电子介质和并进行电子传输。当前，我国电子商务普及程度正逐步提高，发展迅速。在电子商务快速发展的同时，其中的安全问题也日益受到人们的重视。如何保证电子商务活动的安全，为之提供行之有效的保障是当今的研究热点之一。从电子商务活动的全过程来看，以下三个方面极为重要：（1）交易双方或多方的身份认证；（2）交易过程中信息的保密；（3）交易完成后参与各方不能对交易的结果进行抵赖。而这些过程均是建立在加密算法基础之上的。当前传统的加密算法如三重DES、AES等大多来自于美国的标准，其中是否存在安全“后门”尚有争议，而且常常受到出口的限制。为此，引入各种新的技术，研究具有我国自主知识产权的加密算法，对促进我国电子商务的发展具有十分重要的意义。

自1989年英国数学家Matthews提出基于混沌的加密技术以来，混沌密码学作为一种新技术正受到各国学者越来越多的重视。现有的研究成果表明混沌和密码学之间有着密切的联系，比如传统的密码算法敏感性依赖于密钥，而混沌映射依赖于初始条件和映射中的参数；传统的加密算法通过加密轮次来达到扰乱和扩散，混沌映射则通过迭代，将初始域扩散到整个相空间。传统加密算法定义在有限集上，而混沌映射定义在实数域内。当前，混沌理论方面的研究正在不断深入，已有不少学者提出了基于混沌的加密算法，这些都使得将混沌技术广泛应用于电子商务安全成为可能。

二、混沌及其特性

1.混沌的定义

混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为。混沌一词由李天岩（Li T Y）和约克（Yorke J A）于1975年首先提出，他们给出了混沌的一种数学定义，即Li-Yorke定义:

设连续自映射，I是R中一个子区间。如果存在不可数集合满足

（1）S不包含周期点

（2)任给，有和。此处表示t重函数关系。

（3）任给及f的任意周期点有则称f在S上是混沌的。

除此之外，关于混沌还有如Smale马蹄、行截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。虽然混沌的定义众多，但迄今为止，还没有公认的普遍适用的数学定义。这主要是因为不使用大量的技术术语不可能定义混沌，且从事不同研究领域的人使用的混沌定义有所不同。

2.混沌特性与信息加密的密切联系

混沌现象是非线性确定性系统中的一种类似随机的过程。人们通过对混沌系统进行的大量研究，认识到它具有一些重要的特性，即高度的不可预测性，伪随机性和对系统参数、初始状态的敏感依赖性。而且这些特性非常适合用于数据加密。

由于混沌系统对初始状态具有敏感依赖性，因此当把两个具有非常细微差别的初始值引入到混沌中时，经过一定阶段的运算后，两者之间的差别会非常大。这满足Shannon提出的，好的加密系统其函数必须复杂且一个小的变化必然导致结果发生很大变化的要求。为此，在设计基于混沌的加密系统时，可将系统参数或初始状态作为密钥。同时，将明文在混沌系统中进行迭代以产生密文，这样能保证密文对密钥（即系统参数和初始状态）的敏感依赖。

混沌系统进行迭代时产生的数值序列虽然来自于确定的系统，但是却具有不可预测性和伪随机性。针对混沌数值序列不可预测的特性，可将混沌系统用于产生流密码。这在一定程度上可以非常方便的实现“一密一钥”。针对数值序列的伪随机性，可将明文序列隐藏于其中，从而实现信息的隐藏或加密。常见的加密方法是将混沌系统迭代产生的数值序列与明文序列进行异或操作，解密时将密文序列与混沌数值序列进行异或。图1为logistic映射：在μ=4，x=0.1234567时迭代产生的混沌序列。图2和图3分别为Lena原图像和利用该混沌序列加密后的图像。虽然上述加密方法非常简单，但是从中仍可看到密码学中的一些特性与混沌系统的特性有着巨大的相似性。

三、混沌技术在电子商务安全中的应用分析

1.可行性分析

电子商务行业的发展迫切需要引入新的技术，构建更加可靠的安全方案。现今，我国电子商务发展迅速，应用的领域日益广泛，已经具有相当的产业规模。无论是从事电子商务的商家还是消费者个人都更加重视交易的安全。同时，由于技术的发展一些原本安全的算法也正面临严峻的挑战，如已有学者找到构造MD5碰撞性的算法。这些情况均极大地促使人们应用新技术，构建可靠的电子商务安全方案。

混沌密码学的发展为混沌技术广泛应用于电子商务奠定了很好的基础。自上世纪80年代开始将混沌应用于信息加密以来，混沌密码学作为一门新兴的学科发展迅速，在该领域内已取得了不少的研究成果，主要有（1）利用混沌同步技术进行信息保密通信；（2）利用混沌迭代产生的伪随机序列来构建对称的序列密码系统和分组密码系统;（3）利用一些特殊的混沌映射如Chebyshevy映射来构建非对称的加密系统;（4）利用混沌映射构建Hash函数、S盒等。身份认证、防止信息窜改，以及数字签名是电子商务中非常重要的过程，它们均是建立在加密算法、hash函数基础之上的。从当前混沌密码学研究的成果来看，以混沌技术为基础，设计各种加密算法和hash函数是完全可行的，并且能最终构建满足电子商务安全需要的方案。

2.需要解决的问题

当前，在电子商务的安全领域内，专门以混沌技术为基础构建的安全方案不多，广泛应用于实际的就更少。这主要是因为，混沌密码学中的许多研究成果并未专门针对电子商务安全的特点进行考虑，部分成果停留于理论研究还未进行实践检验。为此要将混沌技术广泛应用于电子商务安全中，还需要解决下列问题：

（1）进一步研究数字化混沌系统的理论。已有的对混沌系统的理论研究主要是在实域范围内。当将混沌系统用于信息加密时，需要对混沌系统进行数字化，特别是计算机中对混沌系统的数字化只能在有限精度范围内进行。显然，这对混沌系统的特性是有影响的。这种影响究竟有多大，应该怎样处理才能保证信息的安全。这些均是数字化混沌系统理论应该解决的问题。

（2）建立混沌加密算法的评判标准。当前对基于混沌的加密算法的评判，主要还是依据传统密码学的标准，如考察混淆、扩散、密钥空间大小等指标，几乎没有采用针对混沌特点的指标。显然这是不全面的。同时，在评判标准中还应加入一些与电子商务应用相关的指标，如加密速度、实时性等。建立合理全面的加密评判标准是混沌技术广泛应用于电子商务安全的必要条件。

（3）合理的结合混沌加密方案和传统加密方案。虽然随着技术的发展，传统加密方案中部分算法可能需要替换或者加强，但是从整体上看，传统加密方案在完备性、可操作性等方面还是具有很强的优势，且经过实践的检验。因此，不能一味的用混沌加密方案彻底替换传统的加密方案，而应将两者有效结合起来。将两种类型的方案有效的结合起来是混沌技术广泛应用电子商务安全的最为可行的策略。

3.发展趋势

从当前混沌密码学的研究成果来看，在电子商务安全中设计基于混沌的加密算法时主要有如下的趋势：

（1）加密算法由基于简单的混沌系统向复杂混沌系统发展。由于对混沌序列的研究不断深入，当前已有一些混沌序列的预测方法。它们能在一定程度上预测简单混沌系统的序列值，而对于复杂混沌系统则几乎不可能。当前，在设计电子商务安全中的加密算法时，大都趋向于使用复杂的混沌系统，或者将简单的混沌系统增强为多级的混沌系统或复合系统。

（2）使用时空混沌系统设计加密算法。在时空混沌系统中，某点的状态不仅与时间相关，而且还与它在系统中的位置，以及它与邻接点的耦合强度相关。时空混沌系统是一种非常复杂的混沌系统，它在计算机的有限精度范围内也很难出现退化为周期解的情况，因此这种类型的混沌系统正日益受到重视。

(3）使用混沌技术增强传统的加密算法。如使用混沌技术构造变化的S盒能在很到程度上增强传统加密算法的安全强度，同时又能保持传统加密算法已有的优点。这种处理方式正得到越来越多人的认可。

（4）根据电子商务安全的需求，设计自适应的混沌加密算法。在电子商务交易过程中，根据信息安全等级的要求决定信息加密的程度是一种非常好的方法。在混沌加密过程中，可以非常方便的实现这种自适应加密方法。常通过设置迭代次数的多与少来实现加密强度的变化。当迭代次数越多时，序列在相空间的离散度就越高，从中抽取的数值的随机性就越好，因此加密的强度就越高，加密的时间也越长。反之，迭代次数越少，加密强度越低，加密时间也就越短。

第3篇：混沌分析范文

>> 一种基于启发式约简的案例故障特征优化算法 一种基于遗传算法的LVQ神经网络及其在故障诊断中的应用 一种迭代改进的球向量机故障诊断算法 一种基于遗传算法的粗糙集属性约简算法 一种基于EMT技术的故障诊断方法研究 一种基于模糊聚类的故障诊断方法 一种基于Ping命令的网络故障诊断方法 一种改进的基于依赖度的属性约简算法 一种基于rough集的属性约简的改进算法 一种基于粗糙熵的信息系统属性约简算法 一种改进的快速傅里叶变换算法及其在故障诊断中的应用 一种频谱分析的滚动轴承故障诊断系统 基于混沌的模拟电路故障诊断方法 基于TEAMS的雷达故障诊断系统设计 一种基于时频联合特征的风电机组齿轮箱故障诊断方法 一种新的基于属性重要性的粗糙集值约简算法 一种电站故障诊断方法 一种基于混沌调制和双变换域的音频水印算法 一种基于Lorenz系统的混沌数字图像加密算法 一种基于非线性混沌与数据共享的图像流加密算法 常见问题解答 当前所在位置：

关键词：混沌遗传算法；粗糙集；雷达故障诊断；知识依赖度；约简

DOI：10.3969/j.issn.1005-5517.2015.8.008

引言

雷达是现代防御系统的关键设备，一旦发生故障，将产生严重的后果。因此，通过智能诊断系统来保证雷达的正常工作，具有非常重要的意义。目前，雷达装备故障自动检测和诊断系统中，用得最多的方法是基于故障树的专家故障诊断系统。系统主要通过雷达装备的设计者和使用者等领域专家，根据装备的工作原理和使用期间的经验，对故障模式、故障类型、故障征兆等进行分析和验证，形成诊断知识，通过各种测试手段实现故障的检测和定位。随着雷达装备的日趋复杂化，需要建立专家系统所需的信息量非常大，因而所获得的专家知识中存在较大的冗余性，这在一定程度上影响了专家系统诊断的准确性和效率。

在处理大量数据和消除冗余信息方面，粗糙集理论有着良好的结果。而遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、自适应搜索算法，它能在复杂而庞大的搜索空间中自适应地搜索，能以较大概率寻找出最优或最准解，且有算法简单、适用、鲁棒性强等优点。

本文提出一种基于知识依赖度为启发信息的改进混沌遗传算法。在该算法中，对随机产生的二进制初始种群用属性核加以限制，在适应度函数中引入了决策属性对条件属性的依赖度，对产生的新一代个体增加修正校验算子。

1 混沌遗传算法

遗传算法中的编码策略和遗传操作对算法起到至关重要的作用，也是实数遗传算法与二进制遗传算法区别最大的地方。

1.1 编码策略

实数编码与二进制编码的方法是相似的，只是每个基因有10种可能取值：O～9。若每个变量用L位十进制数表示，则染色体长度为m*L。实值编码策略不对变量进行编码，而将每个变量当作一位基因直接处理，染色体长度为m。

1.2 混沌优化的过程

令tk+1=μtk（1-tk）（1）

其中，tk表示混沌变量在k次迭代时的值；μ为控制参量，当μ=4时，系统（1）完全处于混沌状态。tk在（O，1）范围内遍历。

混沌优化算法的基本步骤如下：

（1）初始化：对式（1）中tk分别赋予n个具有微小差异的初值f不能为不动点0.25、0.5和0.75）。可以得到n个轨迹不同的混沌变量t（k），k=1，f=f（x*），x*为当前最优解。

（2）用混沌变量进行搜索：

xi（k）=xi+citi（k）一di

（2）

式（2）中，ci、di为常数，其作用是把混沌变量的取值范围变换到相应的优化变量的取值范围。计算性能指标：f（k）=f（x（k）），x（k）=（x1（k1），X2（k），…，xn（k））（3）

（3）若f（k）

1.3 个体优化策略

个体优化策略是用来对种群中的个体进行修复，保证所有个体都是候选约简，使搜索总在可行解空间上进行，并在保证候选约简的条件下，尽可能增加个体适应度值的大小，在遗传算法的交叉变异过程中，或者在新种群形成之后，可以对若干个个体进行局部优化，使其成为局部空间中的最优解。在本算法中，修正和校验策略采用知识重要度和依赖度来做启发式信息指导遗传算法的搜索空间，具体是判断种群个体的依赖度是否为1，然后在决策表的条件属性集中，选择在当前种群之外的条件属性集中知识重要度较高的单个属性，加入到搜索空间中来，为找到合适的、不影响整个决策表原始信息的属性约简做出贡献。

具体优化步骤如下：

步骤1：计算r（R，D），其中R为当前个体表示的属性集，若r（R，D）=1，则转入步骤4，否则重复步骤2和步骤3：

步骤2：在C/R中选择属性a使得SGF（a，R，D）达到最大值，并将其设为ai；

步骤3：将ai对应的基因位由“0”变成“1”，R= Ruai，转入步骤1；

步骤4：若r（R，D）=1，则计算此属性集R中每个属性aj的重要度SGF（aj，R，D），去除重要度为0的属性，得到较优约简；

步骤5：修正过程终止，修改适应度值。

经过以上步骤，就可以从一个初始的个体出发找到该个体所在的空间的局部最优解。保证了解的可行性，使得搜索总在可行解范围内进行，并在保证可行解的条件下尽量增加其适应度值。

2 混沌遗传约简算法的算法描述

基于知识依赖度的混沌遗传算法描述：

输入：经过连续属性离散化后的决策表，条件属性为C，决策属性为D：

输出：属性约简的决策表。

具体步骤如下：

步骤1：计算依赖度r（R，D），计算出决策属性D对条件属性C的依赖度：

步骤2：计算属性核CORE（C），令CORE（C）=φ，对d∈c，若r（c-{a}，D）≠r（c，D） ， 则CORE（C）：CORE（C）u{a}，即属性核CORE（C），若r（C-{a}，D）=r（C，D），则CORE（C）为最小相对约简；

步骤3：产生初始种群，随机产生N个长度为m（条件属性的个数）的二进制串组成初始群体pop（t），对于核中的属性，其对应位取“1”，其它对应位则随机取“O”或“1”，设t=l：

步骤4：计算适应度值，对于种群pop（t）中的每一个染色体popi（t），分别计算出决策属性对每个个体所含的条件属性的依赖度，然后根据设定的适应度函数fi=fitness（popi（t》计算出每个个体的适应度：

步骤5：判断是否满足终止条件，若满足终止条件，则算法停止，否则，转步骤6；

步骤6：选择操作，计算出每个个体被选择的概率，使用排序法+最佳个体保存法，从pop（t）中选择出待配对个体：

步骤7：交叉操作，根据自适应交叉概率Pe。进行交叉操作，采用单点交叉方式，得到一个由新的染色体构成的新的种群pop（t+l）；

步骤8：变异操作，根据自适应变异概率Pm进行变异操作，采用基本位变异方式，生成一个新的种群pop（t+l），其中核中属性的对应位不发生变异：

步骤9：修正校验，对新的种群pop（t+l）进行个体修正策略，转步骤5。

与传统的遗传约简算法相比，本算法在初始化产生二进制种群中，增加了以属性核对种群中的个体进行限制，在交叉变异产生新种群后，增加了一个新的个体修正算子。

3 雷达故障诊断方法描述

3.1 雷达故障诊断决策系统的定义

一个雷达故障诊断决策系统可以用S=（U，A），A=cuD来表示，其中：

（1）U为非空有限集，称故障状态域：

（2）C，D均为非空有限集，分别称为故障征兆属性集合与故障决策属性集合，且C∩D=φ；

（3）对每一个aeC有一个映射a：UVa，这里Va是故障征兆属性的值域。按照上述定义可知，故障状态域的每个实例，对应故障的某个状态，而描述该状态的若干征兆用集合C表示，对每一个状态的故障类型的评价用故障决策属性集合D表示。

3.2 雷达故障诊断过程

首先需要获取雷达故障诊断决策规则，规则的获取根据已知数据样本获得初始的知识表达系统，消除决策信息系统中的重复成员，使其不含有属性及属性值相同的成员。

通过知识约简获取故障诊断规则，建立故障诊断决策规则库，如图1所示，具体方法如下：

（1）提取用于训练的数据变为符合粗糙集理论要求的决策表系统S=（U，A），A=cuD，其中，u={x1，x2，…，Xn）是对象的有限集合，即故障域，C为条件属性集合，即故障征兆属性集合，D为决策属性集合，即故障决策属性集合；

（2）利用领域知识，对条件属性值进行量化处理：

（3）样本相容性检查，删除不相容的样本：

（4）利用知识的充分性理论对样本进行简化，消去样本集中的重复信息：

（5）利用混沌遗传算法求出最小的条件属性集：

（6）根据最小的条件属性集和相应的原始数据，建立故障诊断规则库；

（7）根据故障诊断规则库建立故障诊断决策网络。

运用上述获得的决策规则网络进行故障诊断，对已知的故障问题进行预处理，然后根据得到的故障征兆值在网络中进行匹配，得到故障诊断的决策属性。

3.3 应用实例

首先以某型雷达显示组合的故障为例来说明诊断规则的获取步骤。表1为根据以往运行数据获取的故障诊断决策信息系统。

其中，k为样本个数，U={Xl，X2，X3，X4，X5，X6}，为该显示组合的6个故障样本，每个样本个数为k，A={a，b，c，d，e}表示显示器的5个征兆属性的集合，其中a表示F脉冲，6表示锯齿波脉冲，c表示距离标志信号，d表示速度标志信号，e表示M1标志，表1中数值为O表示有此症状，数值为1说明不含此症状，数值为2说明此症状不稳定。D={g}表示决策属性集，其中g=1，2，3表示某相关插件1、2、3有故障。

按照上所述算法对表1进行约简可以得到如下最小约简结果{a，c，e}，{6，c，e}，{c，d，e}。任选一个约简可得如表2所示的简化决策表。从表2中可以很方便地抽取到3条规则，分别是

规则1：if（a=l and e=0）or（a=land c=0） then g=l；

规则2：if（a=l and c=l and e=0）or（a=Oandc=lande=l）then g=2；

规则3：if（c=l and e=l）or（a=land e=l）theng=3。

获得规则后再分两种情况进行实验，（1）采用所有属性的知识库模型，即传统知识库；（2）基于混沌遗传算法获得的知识库，即遗传约简知识库。以该雷达的自检软件为平台，对3种知识库进行测试，测试样本数为100，其结果如表3所示。

由表3可见，采用传统的知识库进行故障诊断正确率较低，据判样本数较大，诊断速度较慢，这是由于传统的知识库具有冗余的信息且无法判断具有不确定信息的样本：采用遗传约简知识库进行故障诊断具有正确率较高，据判样本数较小，且诊断速度较快的特点，能够满足雷达故障诊断的要求。

4 结论

第4篇：混沌分析范文

关键词：混沌的基本原理 加密算法 性能评估

一、混沌的基本原理

混沌是一种复杂的非线性、非平衡的动力学过程,其特点为: (1)混沌系统的行为是许多有序行为的集合,而每个有序分量在正常条件下,都不起主导作用；(2)混沌看起来似为随机,但都是确定的；(3)混沌系统对初始条件极为敏感,对于两个相同的混沌系统,若使其处于稍异的初态就会迅速变成完全不同的状态。

1963年,美国气象学家洛伦兹(Lorenz)提出混沌理论,认为气候从本质上是不可预测的,最微小的条件改变将会导致巨大的天气变化,这就是著名的“蝴蝶效应”。此后混沌在各个领域都得到了不同程度的运用。20 世纪80 年代开始,短短的二十几年里,混沌动力学得到了广泛的应用和发展。

二、混沌在加密算法中的应用

混沌系统由于对初值的敏感性,很小的初值误差就能被系统放大,因此,系统的长期性是不可预测的；又因为混沌序列具有很好的统计特性,所以它可以产生随机数列,这些特性很适合于序列加密技术。信息论的奠基人美国数学家Shannon指出:若能以某种方式产生一随机序列,这一序列由密钥所确定,任何输入值一个微小变化对输出都具有相当大影响,则利用这样的序列就可以进行加密。混沌系统恰恰符合这种要求。

混沌系统的特性使得它在数值分布上不符合概率统计学原理, 得不到一个稳定的概率分布特征；另外, 混沌数集是实数范围, 还可以推广到复数范围。因此, 从理论上讲, 利用混沌原理对数据进行加密,可以防范频率分析攻击、穷举攻击等攻击方法, 使得密码难于分析、破译。

从1992年至今，混沌保密通信经历了四代。混沌掩盖和混沌键控属于第一代混沌保密通信技术，安全性能非常低，实用性大大折扣。混沌调制属于第二代混沌保密通信技术，尽管第二代系统的安全性能比第一代高，但是仍然达不到满意的程度。混沌加密技术属于第三代混沌保密通信，该类方法将混沌和密码学的优点结合起来，具有非常高的安全性能。基于脉冲同步的混沌通信则属于第四代混沌保密通信。

三、混沌加密算法的性能评估

参考美国国家标准与技术协会(NIST)的评判规则LNIST的评判规则大体分为三个部分:安全性、代价和算法实现特性。介绍了一种基于Lorenz系统的混沌加密算法,以此标准分析了其性能,并将其与当前通用加密算法进行比较。

1．安全性分析

首先,混沌系统对初始值和参数非常敏感,可以提供很大的密钥集合,完全满足加密的需要。通过对混沌系统生成的二进制序列进行检验,0和1的分布均匀,游程符合随机数要求,可以认为是随机序列。其次,混沌加密属于流密码,对分组加密的攻击方法是无效的。同时,对选择明文ˆ密文攻击方法,由于混沌的单向性和混沌信号的迭代处理,异或操作后密钥流的推断几乎不可能。

2．代价分析

算法的代价包括时间代价和空间代价。时间代价又分为准备时间和加密时间。通常,加密前的准备时间主要是用来完成生成子密钥,加密时间主要是在子密钥的控制下对明文数据进行变换。混沌加密属于流密码的范畴,它的准备时间非常短;加密时由于只对数据的各个位进行异或操作,其时间主要花费在密钥流的生成操作上,相对于目前流行的分组加密算法,其时间花费也是很少的。空间代价分为算法实现的静止空间和运行态空间。静止空间指算法变成程序后本身所占用的空间,一般表现为执行代码的长度。运行态空间指在加密过程中算法所需要的临时空间。混沌加密算法没有S-box空间,临时变量也比较少,而且,它通过循环产生密钥流,循环过程中需要寄存的变量有限,因此,其运行时占用的空间很少，在空间代价上是比较优秀的。

3．实现特性

混沌加密算法的加密和解密过程是可以重用的,这样其所占用的空间大大缩小。它的软件和硬件实现特性都比较好，已经分别用C++和Java语言实现了该算法,基于该算法的DSP也已经开发设计完成

四、混沌加密算法存在的问题

1．短周期响应

现有的混沌序列的研究对于所生成序列的周期性伪随机性、复杂性、互相关性等的估计是建立在统计分析上，或是通过实验测试给出的，这难以保证其每个实现序列的周期足够大，复杂性足够高，因而不能使人放心地采用它来加密。例如，在自治状态下，输入信号为零时，加密器表现为有限周期响应。不同初始状态对应于不同周期，其周期长度可能很短，这一缺点在某种程度上降低了混沌加密系统的保密性。

2．有限精度效应

混沌序列的生成总是要用有限精度器件来实现的，从而混沌序列生成器可归结为有限自动机来描述。这样，混沌生成器能否超越已有的用有限自动机和布尔逻辑理论所给出的大量研究成果，是一个很值得研究的课题。大多数在有限精度下实现的混沌系统，其性质会与其理论结果大相径庭，从而使许多基于混沌系统的应用无法实现。甚至有学者认为，有限精度效应是目前混沌理论走向应用中出现的一大难题。

3．实现精度与保密性的矛盾

对于分段线性的混沌映射加密系统，相邻的两个状态可能落在同一条直线段上。在数字实现精度很高的情况下，解密者就可利用这个特点，在知道少量的明文--密文对照的情况下轻易地恢复出具有足够精度的密钥。也就是说，它对于选择明文攻击抵抗力很差，从而在这一意义上不具有保密性。

但随着人们对混沌加密技术的不断研究和开发，难题终将会一一化解，混沌加密技术也将会为人们的生活带来宝贵的实用价值。

参考文献

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[2] 刘尚懿，田莹，王丽君．一种基于混沌的加密算法．鞍山科技大学学报第27 卷第5 期．2004 年10 月．

[3] 孙克辉．刘巍，张泰山．一种混沌加密算法的实现．计算机应用．第23 卷第1 期．2003 年1 月．

[4] 孙百瑜，高俊山，吴宏伟．基于置换乱序的混沌加密算法．《自动化技术与应用》．2005 年第24 卷第2 期．

第5篇：混沌分析范文

关键词：水文时间序列分析；日径流时间序列；时间序列长度；混沌识别；饱和关联维数；最大 Lyapunov指数；混沌特性

中图分类号：TV121文献标志码：A文章编号：1672-1683（2017）01-0055-05

Abstract：Chaotic theory is an important means of hydrology time series analysis.In order to get reliable analysis results，it is recommended to make a full use of time series.But the research about how the length of time series affects the identification of chaotic characteristics is rare.In this paper，we carried out a study about the responding effect of the maximum Lyapunov exponent to the length of time series with the use of daily runoff time series of gauged stations named Wulong and Beibei in Yangtze River.The result suggested that short daily runoff time series would affect the result of chaotic identification and make the result unreliable；besides，when the length of daily runoff time series reached 3 000，the chaotic characteristics became stable and reliable，and it saved a lot of computing time at the same time.

Key words：hydrology time series analysis；daily runoff time series；the length of time series；chaotic identification；saturated correlation dimensions；the maximal Lyapunov exponents；chaotic characteristics

流域的搅鞴程的研究方法和手段有很多：基于物理基础的水文模型、随机水文时间序列分析方法、人工神经网络、模糊集、模糊逻辑、模糊神经、遗传算法、以及混沌等[1]。混沌现象存在于诸多研究领域，包括天文学、生物学、化学、生态学、工程学以及物理学等[2]。混沌科学是非线性科学的一个重要分支，同时是解决非线性问题的重要工具。水文现象是一种具有非线性规律的自然现象，以往的研究结果表明水文时间序列中存在混沌现象，因此探究水文序列的混沌特性对深入了解水文规律具有重要意义。关于利用混沌理论进行水文时间序列分析，已经有若干进展。李国良[4]利用混沌理论，系统而全面地对时间序列的混沌分析方法进行了介绍。楼玉[5]建立了腾龙桥站日径流和兰溪站月径流的混沌径流预报模型，模型预报结果良好。牟丽琴[6]等则对汀江流域的月降雨混沌序列进行了混沌识别。袁鹏[7]等证明了四川省6个水文站的月降雨量时间序列可能存在混沌现象。周寅康[8]等对淮河流域的洪涝序列进行了混沌识别，并确定了该时间序列的最大可预报时间长度。但是针对时间序列长度对序列混沌特性识别的影响，研究甚少。此外，在进行相空间重构时，考虑到不同序列长度所需要的计算时长不同，序列的混沌特性随着序列长度的变化的规律也尚不清晰。因此探究时间序列长度与最大Lyapunov指数之间的关系，对合理选择序列长度、混沌识别可靠性及减少计算工作量具有重要意义。

1 混沌识别与最大Lyapunov指数的计算

1.1 混沌识别

混沌是非线性动力系统所特有的一种运动形式，它是既普遍存在又极具复杂性的现象[9]。混沌现象是貌似无序中的有序，是确定的映射中的类随机性[10]。混沌理论在进行时间序列分析时可分为混沌识别和混沌预测。混沌识别先对水文时间序列进行相空间重构，继而在高维空间中识别其混沌特性；混沌预测主要是结合混沌识别与水文预测模型，对水文序列未来可能的变化进行预测。

混沌识别的主要步骤为：（1）相空间重构（自相关函数法确定延迟时间；饱和关联维数法同时确定混沌序列的最小嵌入维数和饱和关联维数）；（2）混沌特性的定量识别（Wolf方法确定序列的最大Lyapunov指数）。

1.2 方法介绍

1.2.1 自相关函数法确定延迟时间

自相关函数描述了序列在第i时刻和第i+τ时刻，运动的相似程度。一般而言，时间间隔τ越小，xi和xi+τ的相似程度越高，r（τ）也就越大。对于时间序列{x1，x2，…，xn}，自相关函数可以表示为：

实际工作中，延迟时间的选取不宜过大和过小[11]，因此应根据自相关函数，选择合适的延迟时间τ。一般选择自相关函数首次经过零点时对应的时间为延迟时间；但当自相关函数首次取零时的延迟时间过大，则可以减小相空间重构的时间移动值，选择自相关函数下降趋于稳定时对应的时间为延迟时间。

1.2.2 Wolf方法计算最大Lyapunov指数

衡量动力系统对初始条件敏感依赖性的一个重要指标就是Lyapunov指数[12]。Lyapunov指数是混沌现象的定性和定量的特征参数，它表现为相点在相空间中的相邻轨道之间以指数形式快速分离或者收敛[13]。假设空间中有两个相点xi和xj，两点间的初始距离为d0=xi-xj，在系统演化τ时段后，两点间的距离为dk=xi+τ-xj+τ，如果dk≈d0eλτ，即两点间距离呈指数分离，其中λ就是最大Lyapunov指数[13]。对于最大Lyapunov指数的计算，常用Wolf方法估计。计算公式如下：

式中：l为向量个数；τ为延迟时间；Di为重构的相空间里两个相点之间的最小欧氏距离；λ为最大Lyapunov指数，其他参数意义同前。当最大Lyapunov指数大于0时，可以判断出序列可能为混沌序列，且最大Lyapunov指数的取值越大，序列的混沌特性越明显。

2 实例研究

本文以长江流域的武隆站和北碚站历年逐日径流时间序列为例，对时间序列长度与水文序列的混沌特性进行研究。为了进行相似水文背景下的研究，选取两个水文站1951年-2012年的日平均流量序列作为研究对象。

2.1 自相关函数法确定延迟时间

根据以上所介绍的自相关函数法，利用已有的日径流资料绘制出给定时间移动值τ下的自相关函数。在实际计算和绘图过程中，为防止延迟时间选择的不合理，分别采用τ=1 000与τ=100绘制了两组自相关函数曲线，以便于对比分析。结果表明，两个水文站在τ=1 000时自相关函数曲线首次经过零点时所对应的延迟时间均在80～100之间，明显偏大，因此不予考虑。从而主要取τ=100时自相关曲线变化趋于平缓所对应的时间，作为序列相空间重构的延迟时间。两个站日径流时间序列的自相关曲线见图1、图2。计算结果表明，武隆站日径流时间序列的延迟时间τ0为10，北碚站日径流时间序列的延迟时间τ0为4。

2.2 饱和关联维数法确定日径流时间序列的嵌入维数和饱和关联维数

实例研究中，根据以上所介绍的饱和关联维数法，取不同的嵌入维数m对原序列进行相空间重构，得出对应维数下的饱和关联维数D2（m），最后建立嵌入维数m与饱和关联维数D2（m）之间的关系曲线，取曲线达到稳定时对应的嵌入维数和饱和关联维数。图3和图4中的（a）图，自上而下为m取2，3，…，12时对应的饱和关联维数曲线，（b）图为饱和关联维数随嵌入维数变化曲线。

图3、图4对应的计算结果见表2。从表2可以得出，两个水文站的关联维数在有限的数据长度下，随着嵌入维数的升高，均表现出了趋于饱和的现象，因此两个水文站的水文时间序列可能为混沌序列。

王文等[14]指出，在进行混沌分析也不一定需要数千、数万个点的时间序列，在维数不高的情况下，有500个点左右的长度基本满足要求。由于研究对象为日径流时间序列，且混沌识别时的嵌入维数均较高，因此序列长度（记为L）应尽量长。以往研究已证明水文现象普遍具有混沌特性。但是当L在100以内时，时间序列并不表现出混沌特性（如北碚站的最大Lyapunov指数为-123.8）。因此，使用较少的时间序列进行混沌识别和预测缺乏准确性、可靠性。

在实际计算过程中，当L从100增加到6 000的过程中，计算时间由不到1 s增加到20 min以上（1 200 s），计算时间随着计算长度的增加呈近似指数的增长。而随着L的增加，时间序列的混沌特性逐渐达到稳定，从而选择合适的L不仅可以保证结果的可靠性，而且可以大大缩短计算时间。

根据不同时间步长所获得的最大Lyapunov指数（简称Lyapunov），绘制Lyapunov与L相关曲线图（见图5）。其中，图中的曲线为局部二阶多项式回归所对应的趋势线。从图5中可以看出在L较小时，样本对总体的代表性较差，因此曲线波动较大。之后，随着L的增加，武隆站的Lyapunov先是表现出明显的减小趋势，随后趋于稳定；北碚站的Lyapunov随着L增加，曲线始终波动较为平缓，最终达到稳定，Lyapunov的取值也趋于稳定。对Lyapunov进行滑动平均的均值，并绘制相关曲线，见图6。

由图6（a）图和（b）可知，当L=3 000时，时间序列的Lyapunov基本达到稳定。

为了比较时间序列混沌特性的强弱，对所选取的两个水文站的Lyapunov序列稳定前后的统计特性进行了分析，结果见表2。从表2可以看出武隆站的Lyapunov大于北碚站的，换而言之，武隆站日搅魇奔湫蛄械幕煦缣匦愿强。此外，武隆站的Lyapunov序列随时间序列长度的波动相对较小，混沌特性变化较小，而北碚站的Lyapunov随时间长度的波动较大，混沌特性波动较小。

王亦农[15]指出“水文水资源系统具有产生混沌的基本条件―对初始条件的敏感性和内在的随机性。对于同一水文系统，不同的边界条件会产生完全不同的水文过程。” 换而言之，对于同一场暴雨过程，由于两个站点的位置不同，二者的水文过程也大相径庭。借此，对以上结果（武隆站的Lyapunov指数大于北碚站）进行分析可知，武隆站对初值的敏感性更强，内在的随机性也更强。影响时间序列混沌特性的因素众多，若从水文站点所在流域特征来说，嘉陵江流域的集水面积相对乌江更大，调蓄能力较强，其对初始条件的敏感性相对于乌江更弱。从而武隆站日径流时间序列的Lyapunov指数较大，因此混沌特性相对较强，而北碚站则较弱。

4 结论

通过对实例中的武隆站和北碚站1951年-2012年日平均流量资料序列进行混沌分析和相应的计算结果可以得到如下结论。

（1）从混沌特征角度。（a）饱和关联维数随着嵌入维数的升高呈现出趋于饱和的现象；（b）最大Lyapunov指数均大于0，体现了序列对初值具有很强的敏感性。因此这两个序列具有混沌序列的基本特征，从而两个时间序列可能为混沌序列。

（2）从最大Lyapunov指数的统计特性角度。（a）武隆站日径流时间序列的最大Lyapunov指数较大，因此混沌特性相对较强，而北碚站则较弱；（b）武隆站日径流时间序列的混沌特性随时间序列长度的增加波动较大，北碚站的变化较小；

（3）从序列长度角度。日径流时间序列长度过小时样本的混沌分析结果的可靠性降低，从而在资料长度允许条件下，尽量使用较长的时间序列；对于长度较长的序列，进行混沌分析时并非长度越长越好，资料长度过长往往计算需要较长的计算时间，甚至超出计算内存。从实例研究的结果来看，当序列长度达到3 000左右时，序列的混沌特性达到稳定，且结果可靠、计算时间相对较少。从而，选择合适的序列长度可以在减少工作量的同时，得到代表性较好而稳定的结果。

参考文献（References）：

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第6篇：混沌分析范文

关键词：多用户混沌通信；扩频码；误码率；正交混沌序列；施密特正交化

0 引言

随着计算机技术、信息技术和通信技术的快速发展，信息的保密性越来越受到人们的重视与关注。1990年，Pecora等[1]对混沌同步的研究使混沌理论应用于通信系统成为可能[2]。混沌作为一种非线性动力系统所特有的现象，近年来已成为各学科领域关注的一个研究热点问题，被应用在信息安全中。由于混沌信号对初值非常敏感，具有随机行为，良好的相关特性以及非周期、连续宽带频谱、类噪声等特性[3]，使得它可以代替传统的载波应用于保密通信系统中对信号进行扩频传输[4]。为了有效地利用通带带宽和混沌信号的频谱，已有学者提出了多用户混沌通信系统，设计出了基于差分混沌键控（Differential Chaos Shift Keying， DCSK）的多址通信[5-6]等。但在实际的多用户混沌通信系统中，由于混沌扩频序列的准正交性，会产生同信道干扰问题，而且同一信道内存在很多通信用户，随着通信用户数目的增多不同用户信号间的相互干扰也会加强，同时限制了用户传递信息的数量。为了解决以上问题，文献[7]利用沃尔什（Walsh）正交函数作载波应用于非相干多用户通信系统中以便消除用户间的相互干扰；文献[8]根据施密特（Schmidt）正交化产生混沌载波的思想提出混沌正交调制通信系统，并以Logistic映射为例验证该系统的误码率（Bit Error Rate，BER）性能优于混沌键控（Chaos Shift Keying， CSK）和正交混沌键控（Quadrature Chaos Shift Keying， QCSK）混沌通信系统。但是上述方法只限于传统的特殊函数和经典的混沌映射信号，且都以曲线图的方式来直观进行比较，并没有对系统的BER作定量分析，不能完全满足多用户混沌通信系统中数据传输的可靠性要求。为了进一步解决以上多用户混沌通信中存在的问题，以BER作为刻画多用户混沌通信系统性能的重要指标，寻找适合多用户混沌通信需要的正交混沌载波信号，本文提出了将不同混沌信号利用Schmidt正交化原理产生其对应的正交混沌载波，并将其应用于多用户混沌通信系统中传播信息比特。

1 混沌通信系统

1.1 混沌扩频通信系统

混沌不仅具有高度的伪随机性，而且还具有确定性、冲激式的自相关特性以及对其初始值高度的敏感性[9-10]。为了提高扩频通信质量，本文将不同混沌信号引入扩频通信系统，所得到的混沌扩频通信系统如图1所示。

1.2 多用户混沌通信系统

在多用户混沌扩频通信系统中，每个用户都使用与之相对应的异于其他用户的扩频码对自己所发送的信息进行扩频，其扩频码不同于扩频通信系统中的m序列、gold序列等，它采用不同的混沌信号作为扩频码。经过扩频后的数据通过脉冲成形滤波器后通过衰落信道同时到达接收端，在接收端利用其相应的扩频码分别对不同的用户信息数据进行相关解扩，恢复各个用户的原始信息。其原理如图2所示。其中：用户n是第n个信道的发送端所发的原始数据信号，与其下面的扩频码一一对应，扩频码保持混沌序列的非周期性，并从其中依次截取固定位数（如N）的码段分配给每个信息比特。至于单用户混沌扩频通信系统，就是将多用户混沌扩频通信系统中的多个用户及其对应扩频码都变为一个用户及其扩频码，将用户信息数据作为信源，其具体扩频过程如图1所示，本文不再赘述。

由上述不同正交混沌序列的相关性测试曲线可以看出，与单用户混沌序列相关性测试曲线明显不同，尤其是自相关性曲线，有多个冲激脉冲。其原因在于本文所应用于多用户混沌通信系统的正交混沌序列，其内部是由多个两两相互正交的部分（行或列）正交混沌序列组成，而每一个部分正交混沌序列相当于一个单用户通信的完整的混沌序列。因此，本文的正交混沌序列相关性曲线中，自相关性曲线中所产生的多个冲激脉冲和互相关性曲线的多波动是合理的。

4.2 均值和方差

概率论中，均值和方差是用来描述随机变量分布特点的两种最常用的数字特征。

均值又称为期望，是随机变量最基本的数字特征之一，它反映了随机变量平均取值的大小。而方差则用来度量随机变量和均值之间的偏离程度，方差越大，表明偏离程度越大，说明随机变量的取值越分散；反之，方差越小，表明偏离程度越小，说明随机变量的取值越集中。

为了对正交混沌序列的互相关性作进一步的定量分析，本文在仿真测试Logistic映射及其改进映射以及相空间混沌信号所产生正交混沌序列的互相关特性时，对其描述互相关特性曲线特征的均值和方差也作了测试，其测试结果如表2所示。

5.3 系统在Rayleigh衰落信道下的误码率

在Rayleigh衰落信道下的实验仿真测试中，其多用户混沌通信系统的设计思路与在AWGN信道下的系统设计过程基本相似，下面不再赘述。不同的是加入了衰落信道，引入了衰落信道参数，即在发射端输出的信号需要通过Rayleigh衰落信道后才能抵达接收端被接收。此时在接收端接收到的信号是发射端经Rayleigh衰落后的信号，对该信号加入AWGN，并进行理想信道估计，然后通过脉冲成形滤波器进行滤波并降采样，最后利用正交混沌序列扩频码进行相应的各用户数据解扩，并统计其误码率。其中：衰落信道参数中fd为多普勒频移，t为每种信噪比下的符号传输时间，所设计的衰落信道为h=rayleigh（fd，t）。

5.3.1 Logistic及其改进误码率测试分析

在多用户通信中，将Logistic映射及其改进映射所产生正交混沌序列作为扩频码在Rayleigh衰落信道下应用于多用户混沌通信系统中，其系统平均误码率结果如表5所示。

由表5可知，Logistic及其改进映射中第2种改进Logistic映射所产生正交混沌序列的自相关和互相关特性相对最好，且其均值与方差的波动性相对最小，所以其误码率均值相对较小；而第1种改进Logistic映射所产生正交混沌序列的自相关特性相对最差，且其均值与方差的波动性都相对偏大，所以其误码率均值相对较大（如表1、2）。

5.3.2 相空间序列误码率测试分析

在多用户通信中，将相空间混沌信号所产生正交混沌序列作为扩频码在Rayleigh衰落信道下应用于多用户混沌通信系统中，其系统平均误码率结果如表6所示。

由表6可知，相空间混沌信号中空时正交混沌序列的自相关和互相关特性最好，且其方差的波动性相对最小（如表1、2），所以其误码率均值相对较小；而低维正交混沌序列与高维正交混沌序列的误码率大小与其相关特性出现差异，其原因是由Rayleigh衰落信道对信号的衰减所引起的。总体来说，将上述正交混沌序列在不同信道下应用于多用户混沌通信系统中，其误码率大小与其相对应的相关特性基本保持一致。

比较上述不同正交混沌序列在AWGN信道和Rayleigh衰落信道下应用于多用户混沌通信系统中的误码率，实验结果表明，在Rayleigh衰落信道下的误码率基本上小于在AWGN信道下的误码率，且在AWGN信道下的误码率大小与其相对应的相关特性性能一致，而在Rayleigh衰落信道下的误码率大小与其相对应的相关特性性能基本上一致。说明信道的不同对正交混沌序列应用于多用户混沌通信系统中的误码率大小有一定影响，尤其是Rayleigh衰落信道对多用户混沌通信系统的误码率影响更为明显。

第7篇：混沌分析范文

关键词：小波变换;加密算法;正弦映射;混沌加密

中图分类号：TN309 文献标识码：B 文章编号：1004373X(2008)1508403

Image-scrambling Encryption Algorithm Based on Discrete Wavelet Transform

MU Xiuchun1,ZHANG Na2

(1.College of Electric and Information Engineering,Heilongjiang Institute of Science and Technology,Harbin,150027,China;

2.Daqing High-tech Industrial Development Zone,Daqing,163000,China)

Abstract：Based on two-dimension wavelet transformation,an image encryption algorithm is proposed.This method decomposes the image information,then using SIN chaos mapping,and bringing image encryption to access.To decryption,it first inverses mapping the coefficient,two dimension wavelet re-discompose,realizes the decryption of the original image.The result shows that this algorithm is effective.

Keywords：wavelet transformation;cryptography;Sin mapping;chaotic encryption

1 引 言

图像信息安全问题有着极为广泛的含义，考虑其安全算法时，必须考虑其特殊性:数据的冗余性，对大数据量数据加密的可实现性，能否经受住常见的数据有损压缩、格式变换等操作。混沌动力学系统具有伪随机型、确定性和对初始条件与系统参数的极端敏感性，因此，利用它可以构造非常好的信息加密系统［1］。另外，采用混沌动力学模型构造的加密系统可以在多媒体信息受到某些信号处理后，仍然可以较好地解出信息［2］。而在混沌加密之前，对图像数据进行小波变换，变换后得到的小波系数中如果有一个发生改变，就会通过小波变换的逆运算体现在所有的像素点中，这样的加密效果会更好。

混沌现象是非线性动态系统中出现的确定性的伪随机过程。这种过程是非周期的、不收敛、但有界，并且它对初始条件和外部参数有极其敏感的依赖性，即初始条件的微小差异会随着时间的推移，以李雅普诺夫指数规律相互分离，最终变成运动轨迹或特性完全不同的两条轨迹。混沌是一种特殊的动力学系统，可以提供数量众多、非相关、类随机、易于产生和再生的信号，并且只要一个映射公式和初始值就可以产生混沌序列，不必存储各个序列点的值。将混沌系统作为伪随机序列发生器，其中混沌系统由离散混沌系统或经过离散化的连续混沌系统构成。混沌系统产生的伪随机序列与明文进行异或操作，得到输出即为密文。这种应用混沌进行加密算法最先由英国数学家Matthews于1989年提出。1990年，美国海军实验室的Pecora和Carroll首次提出了基于混沌同步概念的混沌保密通信理论，并实验观察到了混沌同步，是混沌用于保密通信的开端。

基于变换域的图像加密算法，是近几年才提出的一种新的图像加密方法。小波分析是一种时域―频域分析，介于纯时域的方波分析和纯频域的传统Fourier分析之间，同时具有时域和频域的良好局部化性质，而且随着信号不同，频率成分在时间(空间)域取样的疏密自动调节，可达到效率高、质量佳的效果。小波变换用于图像处理是小波变换应用效果比较突出的领域之一，由于图像是二维信号，因此需要用二维小波变换。

2 二维小波分析

小波变换(Wavelet Transform，WT)是广泛应用于图像和语音分析等众多领域的一种数学工具，小波变换具有良好的时-频(或空-频)局部特性，并且还具有多分辨分析的优点，享有数学显微镜的美誉。它特别适合于变换域的图像处理，如图像的压缩、去噪、加密和分割等。

设V3j(j∈Z)是L2(R2)的一个可分离多分辨分析：V3j=VjVj，其中Vj(j∈Z)是L2(R)的一个多分辨分析，其尺度函数为φ，小波函数为Ψ。φ(x,y)=φ(x)φ(y)是其相应的二维尺度函数，Ψ(x)是与尺度函数对应的一维标准正交小波。定义三个“二维小波”：Ψ1(x,y)=φ(x)Ψ(y)

Ψ2(x,y)=Ψ(x)φ(y)

Ψ3(x,y)=Ψ(x)Ψ(y) 则其正交平移系

2-jΨ1(2-jx-m,2-jy-n)

2-jΨ2(2-jx-m,2-jy-n)

2-jΨ3(2-jx-m,2-jy-n),(m,n)∈Z2 分别是L2(R2)内的标准正交基。

设f(x,y)∈V3j为原始图像，其二维小波分解为:

Ajf=Aj+1f+D1j+1f+D2j+1f+D3j+1f

=∑∞m=-∞∑∞n=-∞Cj+1(m,n)φj+1(m,n)+

∑∞m=-∞∑∞n=-∞Dij+1(m,n)φj+1(m,n) (i=1,2,3)

利用尺度函数和小波函数的正交性，可得:Cj+1(m,n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞h(k-2m)h(l-2n)Cj(k,l)

D1j+11(m,n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞h(k-2m)g(l-2n)Cj(k,l)

D2j+11(m,n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞g(k-2m)h(l-2n)Cj(k,l)

D3j+11(m,n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞g(k-2m)g(l-2n)Cj(k,l) 令Hr和Hc分别为用尺度滤波器系数对阵列{Ck,l}(k,l)∈Z2的行和列作用的算子，Gr和Gc分别为用小波滤波器系数对行和列作用的算子，则二维Mallat分解算法为:Cj+1=HrHcCj

D1j+1=HrGcCj

D2j+1=GrHcCj

D3j+1=GrGcCj j=0,1,…,J其重构算法为：

Cj=H*rH*cCj+1+H*rG*cD1j+1+G*rH*cD2j+1+

G*rG*cD3j+1

3 变换域图像加密的评价标准

图像加密的安全性是评价一个图像加密系统的最核心的标准。除此以外，在变换域的图像加密中，均方误差(MSE)或者峰值信噪比(PSNR)是评价图像加密的一项重要指标，其中均方误差定义为：MSE=∑M-1x=0∑N-1y=0(f(x,y)-(x,y))2M×N 对尺寸大小为M×N，量化级为0～255的原始图像f(x,y)，其峰值信噪比定义如下：PSNR(dB)=10log102552MSE其中，f(x,y)和(x,y)分别表示原始图像和解密图像。

4 基于小波变换的图像置乱加密算法

基于小波变换的图像置乱加密算法属于基于变换域的图像加密算法范畴，是近几年才提出的一种新的图像加密方法。它充分考虑到图像信息数据的特殊性：数据的冗余性;对大数据量数据加密的可实现性：能否经受住常见的数据有损压缩、格式变换等操作。由于该方法考虑到图像数据的压缩等操作对加密数据流的影响，符合现在流行的图像编码方案，因此具备较强的适应性，具备广阔的应用前景。如文献\采用混沌序列实现基于DCT变换域的置乱算法取得较好的效果。同样在混沌加密之前，对图像数据进行小波变换，变换后得到的小波系数中如果有一个发生改变，就会通过小波变换的逆运算体现在所有的像素点中，这样的加密效果就比只用混沌序列加密好得多。文献［5］已经开始在此领域内开展了一些工作，他们利用混沌猫映射对小波变换域系数进行置乱处理，取得较好的加密效果。文献［6］证明基于广义猫映射的图像加密算法在已知图像攻击下是不安全的。本文设计了一种基于小波变换与混沌相结合的图像加密算法。

4.1 图像的小波分析

图像经小波变换分解后，不仅使时-频两域的信息有效的分离，而且时-频两域信息一一对应。利用这一特性，对小波分解后的四个子图作相同的置乱，可以明显改进解密图像的信噪比。

图1 图像的小波分解4.2 基于正弦映射的图像置乱方法

图像置乱算法的设计通常是寻找一个映射关系T，使xn+1

yn+1=Txn

yn。

然而一个好的图像置乱算法还应具有图像置乱效果要好、图像置乱效率要高以及密钥空间要大等特点。按照传统图像置乱算法的设计思路要寻找到同时满足上述条件的置乱变换是非常困难的。本文利用混沌系统的初值敏感性，参数敏感性和类随机性的特点，提出了一种基于正弦映射的图像置乱算法，它能达到图像置乱效果好，效率高且密钥空间大的目的。

正弦映射的图像置乱算法的意义在于其置乱矩阵T由正弦映射产生。输入系统参数μ和初始值x0，采用正弦混沌映射xn+1=f(μ,xn)=μsin(πxn),n=0,1,2,…。迭代K+L次得到混沌序列xi,i=0,1,…,K+L-1，为保证混沌系统的初值敏感性和参数敏感性，舍弃混沌系统的前L次迭代数据。因此，剩余混沌序列可用xj,j=0,1,…,K-1表示。则置乱矩阵T中(x,y)处的元素t(x,y)的值可由t(x,y)=\,k=x×M+y得到。其中\表示取整操作，由正弦混沌映射xk∈(0,1］可知，置乱矩阵T的元素t(x,y)∈{0,1,2,…,K-1}。因此，可用t(x,y)表示图像的位置信息。

4.3 算法设计

根据混沌的参数敏感性、初始值敏感性特点，本文设计的算法步骤如图2所示。

图2 基于小波变换的图像加密原理图步骤1 图像预处理：设原始图像为f0(x,y)，对f0(x,y)进行如下式的预处理得到f1(x,y)：

f1(x,y)=(f0(x,y)+g1(x,y)・x+

g2(x,y)・y)mod L

其中，g1(x,y)和g2(x,y)是正弦混沌系统迭代并作取整得到的两幅混沌图像。L为图像的灰度级，对灰度图像取L=256。原始图像经此预处理后可使f1(x,y)接近于随机图像。

步骤2 对图像f1(x,y)进行小波变换得到图像f2(x,y)，f2(x,y)由4个子图像组成。

步骤3 对f2(x,y)的四个子图像均采用混沌变换置乱处理得到f3(x,y)，f3(x,y)也是由4个子图像组成。

步骤4 对f3(x,y)进行小波逆变换，得到加密图像f4(x,y)。

图像解密过程是加密的逆过程。首先根据密钥生成逆置乱序列和解密模板，对加密图像进行列、行逆置乱，再恢复小波系数，然后根据小波系数重构图像，达到解密图像的目的。

5 实验结果及分析

用本文算法对Lena图像(尺寸为256×256，灰度级L=256)进行加密，实验结果如图3所示。其中g1(x,y)和g2(x,y)分别是在x01=0.6,μ1=0.98和x02=0.5,μ2=0.99的条件下由正弦混沌系统得到的；预处理图像进行一阶小波变换，小波分解后的四个子图均采用相同的密钥进行混沌变换，混沌变换中采用正弦映射，其系统参数μ=0.999，初始值x0=0.7。在小波变换域的图像加密算法中，由于混沌变换改变了小波系数的位置，会使解密图像质量有所降低。若同样用峰值信噪比对解密图像和原始图像的一致性进行客观评价，可得到解密图像与原始图像的峰值信噪比PSNR=60.139 4，由此可知，客观评价与主观评价结果是一致，且性能很好。

图3 基于小波变换的图像加密结果由正弦混沌系统的敏感性测试结果可知，必须正确输入所有密钥，即正弦混沌系统的初始值x0,x01,x02和系统参数μ,μ1,μ2才能正确解密图像。因此，本文提出的图像加密算法总的密钥空间非常大，可达1084，非授权者用穷举法破密在有限的时间内是很难破密成功，分析表明本文算法具有很高的安全性。

6 结 语

基于小波变换域的图像加密是一种重要而有效的图像方法。本文对基于小波变换的图像加密算法进行了研究，该算法主要利用混沌变换对小波分解系数进行相同的置乱混沌变换。这种做法的最大优点是保证解密图像有很高的峰值信噪比(PSNR=60.139 4)，该方法取得了较好的实验结果。

参 考 文 献

［1］Scharinger J.Fast Encryption of Image Datas Using Chaotic Kolmogorov Flows ［A］.Proceeding of the International Society for Optical Engineering［C］.San Jose,California,1997,3022:278-289.

［2］Boccaletti S,Grebogi C,Lai Y-C,et al.The Control of Chaos:Theory and Applications［R］.Physics Report,2000,329:103-197.

［3］易开祥,孙鑫,石教英.一种基于混沌序列的图像加密算法［J］.计算机辅助设计与图形学学报,2002,12(9):672-676.

［4］孙鑫,易开祥,孙优贤.基于混沌系统的图像加密算法［J］.计算机辅助设计与图形学学报,2002,14(2):41-42.

［5］单华宁,王执栓,王国清.一种基于小波变换的混沌图像加密方法［J］.计算机应用,2003,23(6):199-201.

［6］郭建胜,金晨辉.对基于广义猫映射的一个图像加密系统的已知图像攻击［J］.通信学报,2005,26(2):131-135.

［7］冯明库,薛迎雷.一种复合混沌序列的图像加密方案的研究\.现代电子技术,2006,29(19):58-60.

第8篇：混沌分析范文

1引言

非线性系统的性能是复杂多变的。长期以来,人们对非线性电路中的平衡状态和周期振荡状态研究较为充分,取得了许多有用的结果。直到40多年前的一次重要模拟结果出现后,使非线性领域的研究进入了新纪元。1963年,美国麻省理工学院著名的气象学家洛伦兹(E.N.Lorenz)在研究一个气象学模型时,发现了异常的情况。洛伦兹经过长时间反复地在计算机上试验,其结果都是一样与经典认识不同。它的特点是响应一直出现类似随机的振荡,状态轨迹在一个区域内永不重复地运动着,这一现象后来被称之为混沌[1][2]。

混沌是非线性动力系统在一定参数条件下产生的对初始条件具有敏感依赖性的随机运动。混沌运动的根本原因是运动方程的非线性;混沌运动具有内在随机性,对初值非常敏感,若两次运动的初值有微小差别,长时间后两次运动会出现较大的、无法预知的偏差。混沌现象是自然界的普遍现象,也是非线性系统所特有的复杂状态。

2混沌电路

2.1电路理论分析

混沌现象在非线性电路中也普遍存在,电路呈现混沌现象,原则上应考虑两个条件[3][4]:

(1)二阶或二阶以上的强制系统;三阶或三阶以上的自治系统;

(2)至少有一个非线性器件。

图1所示的三阶自治电路由四个线性元件(两个电容、一个电感、一个线性电阻)和一个非线性电阻所组成。

2.2构造非线性电阻电路

非线性电阻的部分可以用运算放大器做成负阻抗电路,且当大于某一电压值时,运算放大器开始饱和,将两个这样的运算放大器并联,就可以得到伏安曲线为图2的非线性电阻,完成的电路如图3所示。

3EWB仿真分析

用EWB(ElectronicsWorkbench)软件对图3电路进行计算机模拟仿真分析。这里取C1=0.3474uF,C2=0.0155uF,L1=11.0534mH,R1=13.9596Ω,R2=218Ω,R3=374.1Ω,R4=2.19kΩ,R5=3.0811kΩ,R6=18.596kΩ,R7=21.7kΩ,代入非线性电阻的分段线性特性方程中。通过改变不同的W1的值,可得不同的状态轨迹,W1=1.14kΩ处的状态轨迹如图4所示,C2、C1两端的电压时域波形分别如图5、图6所示。

结果显示,电路中电容电压和电感电流出现类似噪声的无规则振荡,它是一种有界的稳态过程,其状态平面上的轨迹按某种内在规律永不重复地穿来穿去,这种类似“蝴蝶”形状的图形称为混沌吸引子。混沌吸引子又称奇怪吸引子,它是混沌运动有的,具有复杂的拉伸、折叠和伸缩的结构,使得按指数规律发散的系统保持在有限的空间内,即一切位于吸引子之外的运动都向吸引子靠拢,对应着稳定的方向;而一切到达吸引子内部的运动都相互排斥,对应着不稳定的方向。

在计算机模拟分析时,如果改变一下初始状态,其响应将发生重大变化,这是因为混沌运动对初始状态非常敏感。

4硬件电路调试

按图3电路制成印刷电路板,考虑到元器件参数的标称值,实际电路中取C1=0.33uF,C2=0.015uF,L1=10mH,R1=5.1Ω,R2=220Ω,R3=390Ω,R4=2.2kΩ,R5=3kΩ,R6=18kΩ,R7=22kΩ,固定电压正负5V。将输出端信号S2-OUT、S1-OUT分别接到示波器的CH1、CH2探头,工作方式选择X-Y方式。将W1调到最小,示波器屏上可观察到一条直线,调节W1,直线变成椭圆,到某一位置,增大示波器的倍率,反向微调W1,可见曲线开始作倍周期变化,曲线由一周期增至二周期,由二周期增至四周期,……,直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线,这是一个单涡旋吸引子集。继续微调W1,单吸引子突然变成了双吸引子,只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃,这就是混沌吸引子,它的特点是整体上的稳定性和局部上的不稳定性同时存在。微调W1使其在1.1kΩ左右时,电路进入混沌状态,用示波器观察到的实际特性与计算机分析的结果非常接近。

利用这个电路,还可以观察到周期性窗口。仔细调节W1,原先的混沌吸引子突然出现了一个三周期图像,继续微调W1,又出现了混沌吸引子,这一现象称为出现了周期性窗口。

以上结果表明,在非线性电路中出现这种特性的混沌振荡具有深刻的理论价值,它改变了人们许多传统认识。经典理论主要是以线性、对称、可逆、有序、稳定为基础,产生了非常规律性的结果。而现论却以非线性、非对称、不可逆、无序、不稳定为特征,演化出了非常奇特的运动机理,混沌就是这类典型代表。

5结束语

混沌现象不仅存在于电路中,在地震、气象、机械、化学、控制、生理等领域中都会出现,混沌现象的研究和应用已经形成了一门新的科学,研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科,并且对这些学科的发展产生了深远的影响。混沌包含的物理内容非常广泛,研究这些内容更需要深入的数学理论,如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等。目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面。

参考文献

[1]E.N.洛伦兹.混沌的本质[M].北京:气象出版社,1997.

[2]詹姆斯•格莱克.混沌开创新科学[M].上海:上海译文出版社,1990.

第9篇：混沌分析范文

关键词: 混沌序列; 置乱; 彩色图像; 像素置换

中图分类号:TN309 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)14-0053-03

New Color Image Encryption Algorithm Based on Chaos Sequences

MU Xiu-chun, ZI Hong

(College of Electric and Information Engineering, Heilongjiang Institute of Science and Technology, Harbin 150027, China)

Abstract: A color image encryption algorithm based on the chaos sequences is proposed, which generates two chaos sequences by 2D Logistic chaos system, scrambles the position of color images by two coding sequences produced by ranking the two chaos sequences, and then carries out the scrambling operation in which the R,G,B values of pixel points of the scrambled color images are shuffled by the ranking of three chaos sequences produced by 3D Lorenz chaos system to realize the color encryption. The experimental results show that this algorithm has a large key space, high security and good conficentialty.

Keywords: chaos sequence; scrambling; color image; pixel replacement

随着互联网和多媒体技术的不断发展,图像加密技术越来越受到人们的重视。传统的图像加密技术是┮恢知基于像素置乱的加密算法,一般密钥和算法不能有效的分开,因此研究图像加密技术有着广阔的前景。近年来兴起的新型混沌加密方式为图像加密提供了一种新的有效的途径,但在目前的研究中,许多图像加密方法多数采用一维混沌系统[1-2],其安全性不高;有些研究直接使用高维混沌系统[3-4],其效率又太低;此外,加密方法也大都集中在灰度图像的加密[5-7],涉及彩色图像的加密方法有限。为此,本文提出了一种基于混沌序列的彩色图像加密算法。该算法中首先对应用二维Logistic混沌系统产生两个实值混沌序列,进行像素置乱预处理,然后根据三维Lorenz混沌序列随机修改置乱后彩色图像的像素点的R,G,B分量值。实验表明,本文出的算法具有密钥空间大、安全性高和保密性好的特点。

1 基于二维Logistic混沌序列的图像置乱算法

Logistic混沌系统是一种常见的混沌动力系统,基于一维Logistic混沌序列进行加密是一种较简单的混沌加密,其安全性难以保障,且可以证明二维Logistic混沌系统产生的混沌序列具有更安全的加密效果。┒维Logistic混沌系统的动力学方程为:

xn+1=μ λ1xn(1-xn)+γyn

yn+1=μ λ2yn(1-yn)+γxn (1)

式中:x0,y0为系统初值,通常取值为x0=0.10,y0=0.11;μ,λ1,λ2,γ为系统的控制参数,通常取μ=4,其他参数的取值分4种情况进入混沌状态。本文选取初值x0=0.10,y0=0.11,μ=4,λ1=λ2=0.89,γ=0.1作为密钥产生的2个序列x,y来实现图像像素位置的置乱,图像置乱即对图像中各像素点的位置进行改变。置乱算法的主要步骤如下:

步骤1 利用式(1)的Logistic系统产生的实值混沌序列x,选取序列的前M个元素构成序列{x1,x2,…,xM},将{x1,x2,…,xM}按由小到大排序生成新的有序序列{x1′,x2′,…,xM′},因为在一定长度范围内,混沌序列值不重复,故实值序列{x1,x2,…,xM}中的M个值不重复,排序后原序列中的每一个xi在新的序列中都有惟一的一个位置编号,确定混沌实值序列{x1,x2,…,xM}中的每一个xi在新的有序序列{x1′,x2′,…,xM′}中的位置编号,生成一个新的编号序列{l1,l2,…,lM},其中li为集合{1,2,…,M}中的一个值;

步骤2 利用式(1)的Logistic系统产生的另一实值混沌序列y,选取序列的前N个元素构成序列{y1,y2,…,yN},将其与步骤1中混沌序列x进行类似的处理,得到其位置编号序列{k1,k2,…,kM},其中ki为集合{1,2,…,N}中的一个值;

步骤3 对图像进行置乱。将原始图像的(x,y)置乱到点(lx,ky);

步骤4 重复步骤3,直到原始图像的每一点都被置乱,I1Ь褪侵寐液蟮耐枷瘛

对图像完成置乱设计后,破坏了原图像相邻像素点的相关性,但是各像素值并没有改变,图像的加密效果不太理想,需要对置乱后的图像像素值的R,G,B分量进行改变,以提高图像的加密效果。

2 基于三维Lorenz混沌序列的图像像素值置换算法

Lorenz系统是一个经典的三维混沌系统,以Lorenz系统生成加密混沌序列具有结构复杂、系统变量的实数值序列不可预测的特点,系统的3个初值和3个参数都可以作为生成加密混沌序列的种子密钥,加密算法的密钥空间大大高于低维混沌系统。Lorenz系统的动力学方程为:

dx/dt=σ(y-x)

dy/dt=rx-zx-y

dz/dt=xy-bz (2)

式中:Е,r,b为系统参数,典型值分别为σ=10,r=28,b=8/3。在σ和b保持不变,r>24.74时,系统进入混沌状态[8]。

算法中使用Lorenz混沌系统对经过置乱变换后的彩色图像进行像素值置换加密。其中系统参数取值分别为σ=10,r=28,b=8/3;初值分别为x0=1.184 0,y0=1.362 7,z0=1.251 9,采用四阶Runge-kutta算法解微分方程(2),积分步长为0.001。文献[9]中提到了将彩色图像分解成3个基色图像的方法,在此对这种方法进行改进,采用一种新的方法来实现像素的置换。本文的方法主要是对每个像素点分解后的3个基色像素值之间进行交换,交换的方法是由三维Lorenz混沌系统所产生的3个混沌序列中的对应数字的大小比较来引导的。通过像素值间的交换,使合成后的像素值发生了改变,从而实现了加密后的图像的颜色发生混乱,使加密图像在视觉上发生了色彩的变化,达到了加密的效果。由混沌序列的随机性和对初值的高度敏感性可知3个混沌序列中xi,yi,zi的大小关系也是随机的,由它们的大小关系进行的3个基色像素值的交换顺序也是随机的,且像素值的交换完全依赖于混沌系统产生的混沌序列,这就很大地提高了加密的安全性。

置换算法的主要步骤如下:

步骤1 将经过置乱后的彩色图像分成R,G,B┤基色图像,分别用矩阵 R 1,G 1,B 1表示。

步骤2 将 R 1中的元素进行重新连接,即将 R 1的第i+1行连接到第i行的后面i=2,3,…,M,形成长度为M×N的序列RL{r11,r12,…,r1n,r21,…,rM×N};将 G 1和 B 1中的元素也进行类似的连接,形成序列GL{g11,g12,…,g1n,g21,…,gM×N}和BL{b11,b12,…,b1n,b21,…,bM×N}。

步骤3 由式(1)的三维Lorenz混沌系统产生3个长度为M×N的实值混沌序列X{x1,x2,…,xM×N},Y{y1,y2,…,yM×N}和Z{z1,z2,…,zM×N},作为比较序列。

步骤4 将比较序列X,Y,Z中的每一个元素{xi,yi,zi}与RL,GL,BL中的每一个元素{ri,gi,bi}一一对应;比较xi,yi,zi的大小,排出xi,yi,zi的大小关系,以其大小顺序为指导交换ri,gi,bi的值。其中ri中存放xi,yi,zi中最大者所对应的ri,gi,bi的值;gi中存放xi,yi,zi中次大者所对应的ri,gi,bi的值;bi中存放xi,yi,zi中最小者所对应的ri,gi,bi的值,这样就使3个基色分量的值发生的变化。

步骤5 将交换后的RL,GL,BL序列还原回矩阵形式 R 2,G 2,B 2。以RL为例,R 2(i,j)=RL[ (i-1)M+j] 。

步骤6 将置换后的三基色图像合成彩色图像,此时图像中各点的颜色成分均发生了变化,从而实现了图像颜色上的加密。

图像解密是加密的逆过程,只用利用相同的混沌系统生成相同的密钥序列,先对密文图像的像素值反置换,再对反置换后的图像的像素值进行按位反置乱,即可得到解密图像。

3 实验结果与分析

3.1 加密效果

利用Matlab 7.0为平台,对256×256的彩色Lenna图像进行仿真实验(M=256,N=256),得出的实验结果如图1所示。

由图1(c)可知,加密图像完全看不出原始明文图像的轮廓,正确解密图像与明文图像没有差别,算法不会造成图像的失真,因此加密效果良好。

3.2 直方图分析

原始图像和密文图像的像素值分布直方图对比如图2。可见原始图像的像素值分布数目是不均匀的,而密文图像的像素在R平面,G平面和B平面分布基本均匀,这表明密文的像素值在[0,255]范围内取值概率均等,密文的统计特征完全不同于明文的统计特征,明文的统计特征被扩散到了密文的均匀分布中,大大降低了明文的相关性,说明该加密算法具有良好的抵抗统计分析攻击的能力。

图1 加密效果

图2 加密前后R,G,B分量的直方图

3.3 相关性分析

为了检验明文图像和密文图像相邻像素的相关性,引入相邻像素的相关系数[9],用如下公式定量计算相邻像素的相关系数:

E(x)=1N∑Ni=1xi,D(x)=1N∑Ni=1[xi-E(x)]2

cov(x,y)=1N∑Ni=1[xi-E(x)][yi-E(y)]

γxy=cov(x,y)D(x)D(y)

式中:x和y分别表示图像中相邻2个像素的像素值;γxy为图像相邻2个像素的相关系数。图3描述了水平方向明文图像和密文图像的R分量的相邻像素的相关性。表1列出了按水平、垂直、对角3个方向的三基色图像的相关系数。由结果可知,原始明文图像的相邻像素是高度相关的,相关系数接近于1,而密文图像的相邻像素的相关系数接近于0,相邻像素基本不相关,明文的统计特征已扩散到随机的密文中。

图3 加密前后相邻像素相关性分析

表1 明文和密文相邻像素相关性

像素关系明文图像密文图像

R平面G平面B平面R平面G平面B平面

水平相关系数0.946 00.946 60.904 70.045 30.038 10.038 4

垂直相关系数0.972 00.972 90.946 30.186 00.180 00.179 0

对角相关系数0.921 20.923 60.867 70.007 4-0.016 9-0.019 6

4 结 语

本文利用2种混沌系统产生的混沌序列作为媒介,对彩色图像进行基于混沌序列的置乱和置换操作,使图像进行了双重加密。该算法具有以下特点: (1) 安全性高。像素点的位置置乱和3个基色像素值的置换都是采用了混沌系统产生的混沌序列,构造混沌序列的共需5个初值,提高了算法的安全性,克服了一般混沌系统不能抵御相空间重构攻击的特点。

(2) 保密性好。由于对图像先后采用置乱和像素置换的双重保密方法,使图像的隐藏效果极佳。置乱打破了相邻像素的相关性,使攻击者在未知密钥的情况下,难以进行破解。由于对三基色分别置乱,混淆了彩色图像每一像素R,G,B三元素,使加密图像在视觉上发生了色彩变化,图像更难读懂。

参考文献

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