矩阵在数学建模中的应用精选(九篇)

第1篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词： 替换密码 希尔密码 置换矩阵

替换式密码，又名取代加密法，是密码学中按规律把文字加密的一种方式[1]-[5]。在密码学研究领域中，密码破译是其重要内容之一，也是信息安全研究的热点方向之一。本文主要研究单字母替换密文的破译问题。使用矩阵理论[6]，建立了希尔密码[7]破译单字母替换式密码的数学模型，得到了密文中获取正确秘钥方法，进而运用希尔密码，置换密码，概率分析，以及可拓评价法，设计出了一套算法自动破译给定单字母替换式密码，并给出了评价该破译能力的标准。

1.基于希尔算法的单字母替换式密码破译设计

基本假设：

（1）加密矩阵的阶数较小；

（2）破译的明文已获取；

（3）明文的长度在合理的范围之内足够长；

模型或算法中的记号表示如下：

P―明文；Q―暗文；A―加密矩阵；i―个数；

希尔密码是运用基本矩阵论原理的替换密码。每个字母当做26进制数字：A=0，B=1，C=2......一串字母当成n维向量，跟一个n×n的矩阵相乘，再将得出的结果MOD26。

1.2希尔算法

上节中所建立的希尔密码破译单字母替换式密码的数学模型，其本质就是进行矩阵运算，利用英文替换密码的编码的希尔算法进行求解，步骤如下：

Step1：将一串经过单字母替换式方法加密后的暗文中的a-z（或A-Z）进行26进制数编码：a―0，b―1，c―2……x―23，y―24，z―25。英文字母编码组成暗文矩阵。

Step2：通过概率分析将猜测出的加密矩阵经过模逆算法[8]进行模逆运算，然后按照（1）式与Step得到的暗文矩阵经过实矩阵相乘[9]得到P矩阵，即明文矩阵1。

Step3：将破译出的明文矩阵P进行定性评估，如果明文矩阵1不正确，再重新猜测加密矩阵A，并重新操作Step1的操作，直到得到对应的正确加密矩阵所A对应的正确明文P，即明文矩阵n。如果明文矩阵1正确，则直接输出。

2.仿真结果

输入一串字符串，本次仿真以“the banana is very big I very like”27个字母为例作为明文P。假使经过某种加密方式，可以得到暗文“ungnsdgdpagkenvqgeqfjvupgul”，则暗文矩阵Q如图1所示：

3.结语

本文利用希尔算法破译单字母替换式密码。希尔算法与概率分析相结合大大地提高了结果的准确性和可靠性。本文所设计的单字母替换式密码破译模型不仅适用于密码破译，而且可以运用于其他领域，如文件加密等，使用价值高，实用性强。

参考文献：

[1]王昭，段云所，陈钟.数据加密算法的原理与应用[J].网络安全技术与应用，2001（2）：58-64.

[2]秦志光.密码算法的现状和发展研究[J].计算机应用，2004，24（2）：1-4.

[3]许霞.数据加密算法的研究与应用[D].西安建筑科技大学，2009.

[4]张肖，王薇.替换式密码算法及其破译能力的分析[J].科学与财富，2015（27）：242-242.

[5]李振华.替换密码算法在C++中的实现[J].科技广场，2009（3）：157-158.

[6]付丽，丁慧.代数在密码学中的应用[J].通化师范学院学报，2014（2）：29-31.

[7]亓传伟.简便高效的希尔密码[J].电脑编程技巧与维护，2007（9）：77-79.

[8]陈海进.奇数模模逆算法对偶数模的推广[J].计算机应用与软件，2005，05：100-101.

第2篇：矩阵在数学建模中的应用范文

（沈阳理工大学理学院，辽宁沈阳110168）

【摘要】从一个新的视角概括论述了线性代数这门课程的主要内容，同时通过具体实例展现了这门课程的主要研究对象——矩阵的应用及相关知识。以期使学习者对线性代数课程有一个更直观更具体的感受和认识。

关键词 线性代数；矩阵；线性方程组

0引言

线性代数是一门对理工科学生极其重要数学学科。线性代数课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”你是不是觉得这好像是在考大其辞，的确，我们的线性代数教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。没有应用到的内容很容易忘，我现在高数还基本记得，但线性代数已忘了大半。因为高数在很多课程中都有广泛的应用，尤其第二学期开设的大学物理课。所以，如果有时间的话，要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用。如《线性代数》（居余马等编，清华大学出版社）上就有线性代数在“人口模型”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面的应用。也可以试着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理，如老的高中解析几何课本上的转轴公式，它就可以用线性代数中的过渡矩阵来证明。

线性代数课程是大学重要的基础课程之一，它的内容比另一门基础课高等数学要少得多。但是线性代数的知识又有广泛的应用性，它为讨论矩阵运算、线性方程组等问题奠定基础，作为工科学生来说，学习线性代数是今后要以它为工具结合专业知识来解决各种实际问题，学好线性代数也是至关重要的。对于一个实际问题，首先建立数学模型，然后对所建立的数学模型进行分析、评判、修正。对于学生来说，会感觉这是一门逻辑性强、十分抽象的基础学科，常常会感觉枯燥无味。笔者将数年来从事线性代数课程教学工作所积累下来的心得体会略加总结，希望通过本文能激发学生学习这门课程的兴趣及信心。

1矩阵理论的地位及应用举例

纵观整个线性代数教材的内容可以发现，它的实质就是围绕矩阵来讲的。以矩阵为主线，在对矩阵的基本理论的学习的基础上，完成其他相关学习。前面行列式的内容实质是学习矩阵的准备知识。后面的线性方程组、向量组及二次型等内容，可以看做矩阵在数学上的一些应用。

而所谓的矩阵实质上是由来源于某一问题的有关联的数据所组成的矩形数表。在对矩阵定义了一些相关的运算后逐渐形成了矩阵的理论体系，从而也使得矩阵成为对数学研究及应用非常有用的教学工具，而矩阵的理论与方法在许多实际问题中也有着广泛的应用。而矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。矩阵论可分为矩阵方程轮、矩阵分解论和广义矩阵论等。矩阵理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通信、模糊识别等方面都有广泛的应用。随着现代计算机的飞速发展，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

线性方程组是线性代数的重要组成部分，它在许多科学和工程技术领域中有重要的应用。看一个矩阵理论在解线性方程组方面的应用的例子。

解线性方程组是线性代数课程的起源之一，线性代数中几乎所有的内容都和解线性方程组有关，这里的解法是借助了矩阵，利用了矩阵的初等变换这种运算。虽然概念上可能比较陌生，但仔细推敲可以发现实际上还是消元的原理，不过借助矩阵之后使得整个过程很直观明了并且容易操作。

总之，对于线性代数这门课程来讲，就是要把握好矩阵这根筋，用矩阵的思想来思考线性代数的问题。我们如果能把握好这个中心，就很容易将这门课串成一个统一、有序的整体。线性代数内容广泛，行列式、矩阵、线性方程组等只是线性代数的初等部分，线性代数还有更深入的内容，如线性空间、欧式空间、线性变换和线性函数等，以及与其关联的一系列理论。有材料表明，在代数学的所有分支中，线性代数的这些理论按其应用的重要性和广泛性来说是第一位的，很难指出在数学、理论物理等学科的应用中有用不到线性代数的结果和方法的，所以对于学生来说，要重视这门课程的学习。

参考文献

［1］同济大学数学系．线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2007.

第3篇：矩阵在数学建模中的应用范文

1.模糊集与隶属函数的概念

论域：论及到的对象全体构成的集合，记为U。

Def.设U为一论域，如果给定了一个映射：[μA：U[0，1]，][xμA（x）∈[0，1]]

则该映射确定了一个模糊集合A，其映射 [μA] 称

为模糊集A 的隶属函数， [μA（x）] 称为[x]对模糊集A 的隶属度，使 [μA（x）=0.5]的点 [x] 称为模糊集A 的过渡点，即是模糊性最大的点。

对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集合。

模糊幂集：论域U上的模糊集合的全体[F（U）={A|μA：U[0，1]}]

注： [F（U）]是一个普通集合。

2.模糊集的表示方法：

对于有限论域[U={x1，x2…xn}]设[A∈F（U）]

（1）Zadeh表示法：[A=1nμA（xi）xi=μA（x1）x1+μA（x2）x2+…+μA（xn）xn] 这里“[μA（xi）xi]”不是分数，“+”也不表示求和，只是符号，它表示点[xi]对模糊集A的隶属度是[μA（xi）]

（2）序偶表示法：[A={（x1，μA（x1）），（x2，μA（x2）），…，（xn，μA（xn））}]

（3）向量表示法：[A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））]如果U为无限论域，设[A∈F（U）]，则[A=UμA（x）x]这里“[]”不是积分号，[μA（x）x]”也不是分数。

3.模糊集的运算

模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。

设模糊集[A，B∈F（U）]，其隶属函数为 [μA（x），μB（x）] .

（1）若对任意 [x∈U]，有 [μB（x）≤μA（x）]，则称A包含 B，记[B?A]

（2）若 [A?B]且 [B?A]，则称A与B相等，记为B=A。

二、隶属函数的确定方法

模糊数学的基本思想是隶属程度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。

1. 模糊统计方法

模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的.

模糊统计实验包含下面四个基本要素

①论域U;②U中的一个固定元素[x0];③U中的一个随机变动的集合[A*]（普通集） ;④U中的一个以[A*]作为弹性边界的模糊集A ，对[A*]的变动起着制约作用，其中[x0∈A*]，或[x0?A*]， 致使[x0]对A 的隶属关系是不确定的。

2. 指派方法

指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经验主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。

3. 其它方法

实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是很多的，主要根据问题的实际意义，具体问题具体分析.

三、模糊关系与模糊矩阵

模糊关系：设U，V为论域，则称乘积空间[U×V]上的一个模糊子集[R～∈F（U×V）]为从U到V的模糊关系。 如果[R～]的隶属函数为[μR～：U×V0，1，（x，y）?μR～（x，y）]，则称隶属度[μR～（x，y）]为 [（x，y）] 关于模糊关系[R～]的相关程度。

模糊矩阵：设矩阵[R=（rij）m×n]，且 [rij∈[0，1]（i=1，2…m;j=1，2…n）]则称R为模糊矩阵。比较特殊的情况有下边两种：

（1） 如果[rij∈{0，1}（i=1，2…m;j=1，2…n）]，则称R为布 尔（Bool）矩阵。

（2） 当m=1，或n=1时，则相应的模糊矩阵为 [R=（r1，r2，…，rn）]或 [R=（r1，r2，…，rm）T]，分别称为模糊行向量和模糊列向量

Def. 若模糊关系[R～∈F（U×U）]，且满足

（1）自反性：[μR～（x，x）=1]

（2）对称性：[μR～（x，y）=μR～（y，x）]

（3）传递性：

（[R～。R～?R～]或[μR～?R～（x，y）=∨z∈U（μR～（x，z）∧μR～（z，y））≤μR～（x，y）]）

则称[R～]是U上的一个模糊等价关系，其隶属度 [μR～（x，y）]表示 的相关程度。

注：当[U={x1，x2，…，xn}]为有限论域时，U上的模糊等价关系可表示为[n×n]阶的模糊等价矩阵[R=（rij）n×n]。

[∨k=1n（rik∧rkj）≤rij;i，j=1，2，…，n]模糊等价矩阵：设论域为[U={x1，x2，…，xn}]，[I]为单位矩阵，如果模糊矩阵[R=（rij）n×n]满足：

（1）自反性：[I≤R（或rii=1，i=1，2，…，n）];

（2）对称性：[RT=R（或rij=rji;i，j=1，2，…，n）];

（3）传递性：[R?R≤R]

（或[∨k=1n（rik∧rkj）≤rij;i，j=1，2，…，n] ）

则称R为模糊等价矩阵。

注：对于满足自反性和对称性的模糊关系与模糊矩阵R，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵。

[λ]截矩阵：设[R=（rij）m×n]为模糊矩阵，对任意的[λ∈0，1]

（1）如果令[rij（λ）=1，rij≥λ，0，rij<λi=1，2，…，m;j=1，2，…，n，]则称[Rλ=（rij（λ））m×n]为R的[λ]截矩阵.

（2）如果令 [rij（λ）=1，rij>λ，0，rij≤λi=1，2，…，m;j=1，2，…，n，]则称[Rλ=（rij（λ））m×n]为R的[λ]强截矩阵.

注：对任意的[λ∈0，1]，[λ]截矩阵都是布尔矩阵.

模糊传递矩阵：设R是[n×n]阶的模糊矩阵，如果满足：[R?R=R2≤R（或∨k=1n（rik∧rkj）≤rij;i，j=1，2，…，n）]则称R为模糊传递矩阵。称包含R的最小的模糊传递矩阵为传递闭包，记为[t（R）]

Th. 对于任意的模糊矩阵[R=（rij）n×n]，则[t（R）=k=1nRk=（∨k=1nr（k）ij）n×n]特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数[k（k≤n）]，使得[t（R）=Rk]，对任意自然数[l>k]都有[Rl=Rk]此时一定为模糊等价矩阵。

四、模糊聚类分析方法

对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法 。然而，在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系，比如植物、微生物、动物之间，温饱型家庭与小康型家庭之间等。对上述事物的分类就应该用模糊数学方法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊聚类分析 。

第一步. 数据标准化。

（1）获取数据： 设论域U=[{x1，x2，…，xn}]为所需分类研究的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即[xi=xi1，xi2，…，xim][（i=1，2，…，n）]于是得到问题的原始数据矩阵为[A=（xij）n×m]

（2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：

（i） 平移――标准差变换.

当原始数据之间具有不同量纲时，应用该方法可以使每个变量的均值为0，标准差化为1，从而消除了量纲的差异影响，即令 [x'ij=xij-xjsj（i=1，2…n;j=1，2…m）]

其中[xj=1ni=1nxij，sj=[1ni=1n（xij-xj）2]12（j=1，2，…，m）]

（ii） 平移――极差变换。

如果经过平移―标准差变换后还有某些[x'ij?[0，1]]，则还需对其进行平移―极差变换，即令[x″ij=x′ij-min1≤i≤n{x′ij}max1≤i≤n{x′ij}-min1≤i≤n{x′ij}（j=1，2，…，m）.]

第二步，建立模糊相似矩阵。

设论域U= [{x1，x2，…，xn}，] [xi=xi1，xi2，…，xim（i=1，2，…，n）] 即数据矩阵为[A=（xij）n×m].如果[xi]与[xj]的相似程度为[rij=R～（xi，xj）（i，j=1，2，…，n）]，则称之为相似系数。

下边为确定相似系数[rij]的多种方法：

①数量积法。②绝对值指数法。③海明距离法。④欧氏距离法。⑤切比雪夫距离法。⑥主观评分法。⑦夹角余弦法。⑧相关系数法。⑨指数相似系数法。⑩最大最小值法。11算术平均值法。12几何平均值法。13绝对值倒数法。

第三步，聚类。

所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信水平[λ∈[0，1]]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。

（1）传递闭包法。

第4篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：解释结构模型；结构主义；数学教学；知识结构

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2013）06-0113-03

所谓学科的基本结构，就是指学科的基本概念和原理之间的那种内在联系并起普遍作用的知识体系。布鲁纳强调了学科知识结构的重要性。从布鲁纳的《教育过程》一书中可知：“不论选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。”基于这一点，数学教师的教学设计必须从目标知识结构和现阶段的学生知识结构出发。所谓目标知识结构也就是说学生的知识构建应该按该结构进行组织，这是我们的教学目标，而学生的知识结构，也就是现阶段中学生实际掌握的知识点所呈现的拓扑结构。

结构主义数学教学的理论基础

首先，结构主义方法最初是由瑞士语言学家索绪尔于20世纪初在语言研究中提出来的，自此以后，许多思想家争相把结构主义方法与其他学科相结合，从而形成一股思潮。作为结构主义教育理论的代表人物布鲁纳就是一个结构主义者，他深受结构主义心理学家皮亚杰的影响。结构主义强调整体性，强调整体优于部分，强调关系等，而这些恰好属于系统科学的范畴。所以，运用系统方法来探讨结构主义教学的优势是显而易见的。

其次，为学生提供最佳理解的知识结构的前提是教师必须对知识领域的基础结构充分了解，只有这样才能合理地设计出适合学生认知水平的教学过程。教师的经验为知识基础结构的理解带来一定的方向性，但是对形而上学主观经验的依赖也会导致对知识基础结构理解的局限。布鲁纳指出了形而上学主观经验带来的局限性：“按照反映知识领域基础结构的方式来设计课程，需要对那个领域有极其根本的理解。没有最干练的学者和科学家的积极参与，这一任务是不能完成的。”这个观点是在1960年出版的《教育过程》（The Process of Education）中首先提出来的，以当时的条件确实缺乏一种量化的、直观的方法去理解知识的基础结构。同理，了解学生的知识结构同样存在局限性，缺乏量化原则。目前，利用结构主义教育理论研究教学的文献很多，但是很少运用一种量化的方法去探讨结构主义教学。

从上面分析可知，探索结构主义教学需要一套量化的、直观的系统方法。而解释结构模型技术提供了这种方法。解释结构模型技术是研究系统结构中最基本和最具特色的方法。通过解释结构模型技术去构建知识的基础结构更具有科学性和合理性，使教学更具效率。

利用解释结构模型技术构建结构主义教学

ISM技术是美国J.N.沃菲尔教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。其基本思想是：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术对要素及其关系等信息进行处理，最后用文字加以解释说明，明确问题的层次和整体结构，提高对问题的认识和理解程度。其基本工作原理如图1所示。其中虚线部分是解释结构模型的核心，理论性较强，计算量较大，需由计算机处理。

本文选择了成人高考复习资料的代数部分进行分析，以此为切入点，探讨利用解释结构模型技术进行结构主义数学教学的方法。利用解释结构模型技术进行结构主义教学共分三个阶段：建立目标知识结构模型阶段、了解学生知识结构模型阶段以及分析学生知识结构中的缺失环节阶段。

（一）构建目标知识结构模型阶段

1.梳理知识点，确定系统结构要素。首先就要梳理知识点，确定结构要素，为理清知识点间的关系提供前提条件。参考2011年成人高等学校招生考试的数学考试大纲确定知识点，并给每个知识点编号，见下页表1。

2.设定二元关系，建立邻接矩阵。首先要强调的是该教学属于复习性质，知识点与知识点的关系不是呈简单的“链状”关系，知识点与知识点之间是相互作用、相互影响的，是呈现网状的拓扑结构。比如，数的认识为集合概念的掌握提供了前提；集合的概念又是函数概念学习的基础；二次函数理解帮助一元二次不等式的求解；不等式的解法为求函数的定义域提供了可能，等等。为形成一个合理的ISM模型，首先就要理清各要素之间的关系，根据成人高考数学的实际情况，再运用解释结构模型的方法建立邻接矩阵。其中邻接矩阵A的元素定义为：（1）当Smi影响Smj时，值为1；（2）当Smi不影响Smj时，值为0。邻接矩阵A见表2。

3.进行区域划分和级位划分，确定可达矩阵。设A为邻接矩阵，M为可达矩阵，I为单位阵，满足布尔运算规则，运用以下公式可求可达矩阵M：（A+I）mk-m1≠（A+I）k=M。但是运用手工的方法进行计算时，计算量较大，这时可通过Matlab计算可达矩阵M。求出可达集R（Smi）、先行集A（Smi），共同集C（Smi）= R（Smi）∩A（Smi），再进行区域划分和级位划分，发现各知识点区域不可分，而级位划分为Lm1={Sm4、Sm7、Sm9、Sm10}，Lm2={Sm6}，Lm3={Sm3、Sm5、Sm8}，Lm4={Sm2}，Lm5={Sm1}。根据级位划分后而得到的可达矩阵为M（L），见表3。

4.提取骨架矩阵。求骨架矩阵过程为：（1）删除强连接要素，由可达矩阵M（L）得到缩减矩阵M’（L）；（2）去掉M’（L）中的越级二元关系，得到新矩阵M’’（L）；（3）最后A’= M’’（L）-I（其中I为单位矩阵）。A’就是要求的骨架矩阵。在本系统中，Sm3、Sm5、Sm8为强连接关系，以Sm3为代表元素，删除Sm5、Sm8所素得到缩减矩阵M’（L）。关键在于第二步，由于缩减矩阵M’（L）的阶数为8，通过手工的方法去掉越级二元关系显得很烦琐。黄志同提供的思路是：“设M是无圈可达阵，我们对M中非对角线上的‘1’元素mij逐一检验，看它是基本元素还是诱导元素。若在M中去掉mmimj （即令mmimj=0）所得之矩阵S仍然属于 [M]mR类，则mmimj是诱导元素，若S不属于[M]mR类，则mmimj是基本元素。”这里所说的“无圈可达阵”就是剔除了强连接要素后得到的缩减矩阵；“诱导元素”就是指所代表的二元关系是越级二元关系；“基本元素”就是指所代表的二元关系是基本二元关系。其程序框图如图2所示。

根据这一思想编写出求骨架矩阵的Matlab程序，并求出骨架矩阵A’，见表4。

5.绘制多级递阶有向图D（A’）。根据求出的骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图D（A’），见图3。

显然，知识点应该按目标知识结构模型提供的拓扑结构进行构建的。

（二）了解学生的知识结构模型阶段

如何做到了解学生的知识结构？殷文辉提供了测试学生知识空间的方法。但知识结构不等同于知识空间。高纯和王睿智认为：“知识结构（Q，K）中，当K中的所有元素满足对并运算封闭时，称该知识结构为一个知识空间。”本文讨论的重点是知识结构，而非知识空间。虽然如此，殷文辉提供的思路对于我们了解学生的知识结构还是相当有益处的。他提供的基本思想是知识点之间的二元关系可以通过回答题目来确定，如果被测试者回答正确，则说明被测试者掌握该二元关系；如果被测试者回答错误，则说明被测试者没有掌握该二元关系。但是，他没有详细说明如何确定知识点之间层级关系，作者把该工作归为由该领域的教师或课程专家来确定。其实，在级位划分时已经确定了知识点之间的层级关系。

结合殷文辉提供的思路，再由解释结构模型技术确定的知识点之间的二元关系进行设计题目，就可以测试出学生对各知识点二元关系的掌握情况。假设学生对各知识点之间的二元关系掌握情况用矩阵SA来表示，其中邻接矩阵SA的元素定义为：（1）当学生掌握Smi到Smj的二元关系时，值为1；（2）当学生没有掌握Smi到Smj的二元关系或知识点Smi不影响Smj时，值为0。见表5。

根据反映学生所掌握知识点之间的二元关系矩阵SA，绘出多级递阶有向图D（SA）如图4所示。

（三）分析学生知识结构中的缺失环节阶段

目前，我们得到两个结构模型：一个是目标知识结构模型，即图3，一个是反映学生实际的知识结构模型，即图4。我们把这两个模型进行对比，就可以发现学生知识结构中缺失了哪部分的环节。从上面的例子可发现，学生在第一级区域中，知识点S4和S7没有掌握好，在第二级区域中知识点S6没有掌握好，显然知识点S7的缺失是由知识点S6的缺失所造成的。

结论

了解了学生知识结构中的缺失环节，教师就可以以此为根据进行课程设计，更好地构建学生的认知结构，提高教学效率。通过解释结构模型技术实现的结构主义教学，确实比以往的结构主义教学更具科学性、合理性，更符合量化原则，更能贴近教学的实际需要。本人以数学教学为切入点，介绍解释结构模型技术在结构主义教学中的应用，这有助于教师安排教学计划、课堂设计，更使学生的知识结构呈层次化、条理化和系统化发展。

通过解释结构模型技术实现的结构主义数学教学共经历三个阶段：建立目标知识结构模型阶段、了解学生知识结构模型阶段以及分析学生知识结构中的缺失环节阶段。在建立目标知识结构模型阶段中，反映要素之间逻辑关系的邻接矩阵是通过讨论、调查来确定的，因此邻接矩阵的主观依赖性比较强。在了解学生知识结构模型阶段中，有一个环节是“由解释结构模型技术确定的二元关系进行设计题目，就可以测试出学生对各知识点之间的二元关系的掌握情况”。由此，题目的设计也带来较强的主观性。这就为解释结构模型技术在结构主义教学中的推广带来一定的不明朗因素。

参考文献：

[1]（美）布鲁纳.布鲁纳教育论著选[M]. 北京：人民教育出版社，1989：41.

[2]汪应洛.系统工程[M].北京：机械工业出版社，2008：40-54.

[3]金桂，刘德荫.数学（文史财经类）[M].北京：北京教育出版社，2008.

[4]黄志同.解释结构模型中的级划分和骨架阵[J].华东工程学院学报，1982（4）：93-102.

[5]殷文辉.学生知识结构测试系统的设计与开发[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2009.

[6]高纯，王睿智.知识空间理论析取模型下最小技能集的生成[J].计算机科学与探索，2010（12）：1109-1114.

[7]毛琦，马冠中，宦强.解释结构模型（ISM）法在教材分析中的应用实例研究[J].物理教师，2010，31（4）：5-7.

[8]何刚.博士学位论文评价系统的解释结构模型研究[J].黑龙江高教研究，2010（6）：55-56.

[9]丁旭.利用解释结构模型构建网络学习对象模型[J].福建电脑，2010（2）：173.

第5篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：综合评价模型；层次分析法；线性加权法

奖学金评定是高校学生管理中的一项重要内容，合理的评定分配能够激励学生的全面发展，帮助经济困难学生通过努力学习获得资助以顺利完成学业。

评定的主要依据是学生的年度综合考评成绩名次，综合考虑学生的成绩、学纪律以及学生家庭困难程度。

为了使奖学金的评定更加的公平、合理，也为了简化综合奖学金评定的程序，进而建立了一个关于奖学金评定的评价模型，本文采用建立综合评价模型的常用方法――层次分析法。在对各影响因子量化的前提下，得出最终奖学金评定的量化公式。

1 模型建立

⑴将学习成成绩、智育成绩、德育成绩、体育成绩作为四个影响学生的奖学金的评定因素，将对其每一个因素量化，得到各自的权重系数分别

然后计算总成绩

Xi各门课程的成绩。

⑵运用乘幂法计算权重及判断矩阵的最大特征值的步骤

对于n阶判断矩阵A

⑶判断矩阵有效性检验

由于主观判断与客观理想之间存在偏差，因此需要对各比较判断矩阵进行一致性检验，检验构造的判断矩阵求出的特征向量（权值）是否合理。用一致性比例CR作为判断依据，CR越小，表明判断矩阵的一致性越好，权重可接受性越强。计算公式为CR=CI/RI，其中CI=（λmax-n）/（n-1）（n为判断矩阵阶数），RI为判断矩阵的平均随机一致性指标，其值参见层次分析法（AHP）的平均随机一致性指标值。

⑷运用层次分析法计算出各影响因素的权重

根据目前我国高等教育的培养目标，学习成绩，智育成绩，德育成绩，体育成绩在参评综合奖学金的过程中，重要性依次递减，由此我们建立判断矩阵：

根据乘幂法，采用Matlab编程求解各判断矩阵的权向量wi及最大特征值λmi，计算结果如下为：学习成绩w1=0.563812769，智育成绩w2=0.263378357，德育成绩w3=0.117786382，体育成绩w4=0.055022492。由以上计算结果可得：

由于判断矩阵的一致性比例为0.043296

2 模型的检验和应用

根据某学院的16个班级的659名学生的年度综合考评数据应用以上模型，将奖学金的名额按汉顶顿（Q原理）[2]分配到各班的情况分析如下：

pi是i班的人数，ni是该班分的得奖学金名额。

把名额按汉顶顿分原理分配到班级可以使每一个班级按比例拥有一定的名额，班级之间也先对来说公平以些，但是不能更好的激励学生的竞争意识。

3 总结

该模型能将学生学习成绩、智育成绩、德育成绩、体育成绩考虑成影响学生奖学金评定的四个因素，相对于只考虑综合考评公平公正程度高很多，分配方式用汉丁顿分配原理，使名额分配更加合理。采用Q原理来分配名额相对公平，各班不论综合成绩高低，都会得到一定的名额，进而更好的激励学生朝多方向发展。

[参考文献]

[1]周品，何正风，等，编著.MATLAB数值分析.北京：机械工业出版社 2009.1.

[2]姜启源，谢金星，叶俊，编.数学模型3版.北京：高等教育出版社，2003.8.

第6篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词 部分线性模型；正则矩阵；最小二乘；补偿

中图分类号O212 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2012）78-0112-02

0 引言

部分线性模型又称之为半参数模型，通常由两部分函数组成，一是能够参数化建模的函数模型（通常是线性模型），二是非参数模型。部分线性模型由Engle（1986）研究电力需求和气候条件之间关系时提出的[1]。部分线性模型一经提出，立刻展示了它强大的生命力，在统计学界得到了充分的肯定和研究[2-4]。因为相比线性模型它更能表述客观真实的实际情况。对于已知特征并能建模的部分，采用参数模型表述，如，其中是待估参数，是模型结构矩阵。对于未知特征不能参数化描述的部分，采用非参数模型描述，如。相对传统的线性模型，用来刻画未知模型或者不确定性误差影响部分。因此，部分线性模型要比线性模型更准确反映真实状态。部分线性模型的求解方法和结构特性一直是统计学界探求的重要方向，本文将研究基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计方法及其性质。

1 基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计方法及性质

1.1 基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计原理及方法

简记部分线性模型为

其中是模型结构矩阵，是待估参数，为i.i.d.随机误差，且，是定义在闭区间上的未知函数。

误差方程可记为

由于法方程系数矩阵奇异，因此方程的解不唯一。

采用补偿最小二乘准则对极值方程进行修改，

根据非参数模型的特征，选择相应的正定矩阵作为正规化矩阵R，组成二次型。二次型刻画非参数分量的光滑性度量。当光滑性程度超高时，模型就变为一般的常值误差估计模型；当光滑性为0时，非参数分量值等价与观测数据，此时非参数量在模型中占的比重在100%，参数值对模型没有任何贡献，显然不符合实际情况。因此，合理选择二次型具有重要意义。

对方程（3）采用拉格朗日条件极值方法，构造函数：

当矩阵R为正定矩阵时，式（4）的系数矩阵是正定可逆矩阵。因此有唯一解。则有，

则基于正则矩阵补偿的部分线性模型估计值为：

1.2 基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计性质

性质1 补偿最小二乘中参数统计量的偏差为

证明：

性质 2 补偿最小二乘中非参数统计量为的有偏估计。

证明：

即有，因为满足列满秩，故假设错误。所以为的有偏估计。

定理 [5]：当满足一定条件时，在MSE准则下，补偿最小二乘估计精度要优于经典最小二乘估计精度。

2 结论

部分线性模型求解方法主要包括基于最小二乘的偏残差估计、三角级数估计、偏核光滑估计、分块多项式估计、小波估计、以及本文研究的正则矩阵补偿的估计方法。事实上，几种方法的原理是一致的，都是假设部分线性模型的非参数部分在闭区间上是二次连续的，因此，基于维尔斯特拉斯定理，一定能够用有限个参数进行无限逼近。从而将非参数问题巧妙地转换为参数问题。本文研究的基于正则矩阵的补偿方法，也是利用该原理进行计算的。

参考文献

[1]Engle，R.E.，Granger，C.W.J.et al.Semiparametric estimates of the relation between weather and electricity sales[J].JASA.，1986，81：310-320.

[2]Bickel，P.J.，Klaasen， C.A.J.，et al.Efficient and adaptive estimation in semi-parametric models[M]. Baltimore： John Hopkins Univ.Press， 1993.

[3]Heckman， N.E.Spline smoothing in a partly linear model[J].J R.Statist.Sec.B， 48：244-249 ，1986.

第7篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：代数 应用 线性 矩阵

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）08（b）-0203-02

线性代数作为数学分支之一，是一门重要的学科。在线性代数的研究中，对矩阵所实施的研究最多，矩阵为一个数表，该数表能变换，形成为新数表，简而言之就是若抽象出某一种变化规律，可借助于代数理论知识来对所研究的这一数表实施变换，以此获得所需结论。近年来，随着社会经济发展速度的加快，科学技术水平的提高，线形代数中矩阵的应用领域也变得更为广泛，本文就线性代数中矩阵的应用进行详细地阐述。

1 矩阵在量纲化分析法中的应用

大部分物理量均有量纲，其主要分为两种，即基本量纲与导出量纲，其中基本量纲有社会长度L、时间T以及质量M，其他量均为导出量。基于量纲一致这一原则，等号两端的各变量能构建一个相应的线性方程组，经矩阵变换来解决各量之间所存关系。比如勾股定理证明，假设某RT斜边长是c，两直角边长各为a和b，在此如果选面积s，斜边c，两锐角a和β为需研究变量，则必定有以下关系，即，该公式中所存量纲有四个，其中有三个为基本量纲，则必然有一个量为无量纲，把上述量纲列成为矩阵，所获矩阵图形如，其中每一列表示一个变量量纲数据。基于该矩阵，所获解线性方程为，综合上述方程可得解，即x11为2，x21为0，x31为0，因此，可得关系式，该公式中λ表示唯一需明确的无量纲量，从该公式可知RT面积和斜边c平方之间成比例。

在此，于该三角形斜边做一高，把其划分为两个形似三角形，其面积各为s1与s2，此时，原RT的边长a和b则是两个相似小三角形的斜边。通过上述内容可知所获原理和结论相似，则有s1=λa2与s2=λb2，因s1+s2=s，对此，基于此，可证明勾股定理，即为。由于量纲分析在运算上所涉及到的内容仅有代数，对此，若进行的试验十分昂贵，一般在实验前，人们倾向于事先在不同的假设下构建若干的相似模型，接着择优选择来进行实验。从侧面上来讲，这种方法对于部分常数还起到一定的压缩或者恢复的作用。

2 矩阵在生产总值和城乡人口流动分析中的应用

2.1 生产总值

3 结语

综上所述，经线性代数中矩阵在不同领域中应用案例的分析可知，矩阵所具潜能非常的大，伴随着信息技术水平的提高，网络技术的进步，矩阵的应用也会更加深入。由于各学科间、各行业之间的交叉变得越来越频繁，且界限也变得越来越模糊，在这种形势下，数学这门学科所具基础性也更为明显，对此，在学科研究与行业研究中融入数学，不仅可使研究更加具有说服力，同时还可使研究变得更为简洁，获得更为合理且科学的研究成果。

参考文献

[1] 侯祥林，张宁，徐厚生，等.基于动态设计变量优化方法的代数黎卡提方程算法与应用[J].沈阳建筑大学学报：自然科学版，2010，26（3）：609-612.

[2] 黄玉梅，彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报：自然科学版，2009，45（Z1）：123-125.

第8篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：多体系统； Modelica； 笛卡尔方法

中图分类号：TP391.9 文献标志码：A

Multi-body system expression in Modelica based on

Cartesian method

WANG Qi， ZHOU Fanli， CHEN Liping

(School of Mechanical Science and Engineering, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China）

Abstract： As it is complicated to create multi-body models in Modelica and the created model is not intuitive, based on the research of converting physical model of multi-body system to mathematical model and then to Modelica presentation, the 3D visual modeling and simulation of multi-body system are implemented in multi-domain physical system modeling and simulation tool MWorks by following the Cartesian method and using multi-body dynamics modeling software InteDyna as the modeling front-end. An example of double pendulum demonstrates the validity of the method.

Key words： multi-body system; Modelica; Cartesian method

0 引 言

机电产品日趋复杂，大多由机械、电子、液压和控制等不同领域的零部件组成，通常要求进行多领域的协同仿真.机械多体动力学仿真是机电产品仿真的重要内容，MSC Adams是目前世界上应用最广泛的多体动力学仿真软件之一，但MSC Adams仅局限于机械多体领域.如要进行系统级仿真，需与电子、液压和控制等其他领域的软件一起进行联合仿真.鉴于联合仿真成本高、难度大且不具备通用性，工业界开发出一种能进行多领域统一建模和协同仿真的技术――Modelica建模仿真技术［1］.Modelica是一种面向对象、基于方程、采用层次化组件模型并具有可重用性的物理建模语言，它能以统一的方式对不同领域的模型进行表述，实现多领域统一建模仿真的目的.

Modelica基于领域模型库实现对不同领域建模和仿真的支持，机械库是Modelica最重要的模型库之一.目前，基于Modelica的多体建模方法主要有：（1）基于Modelica标准多体库［2］；（2）基于MapleSim自定义多体库［3］.这2种方法基于不同的多体表示方法，前者基于超定连接图机制［2］，后者基于线性图表示［4］，但二者的建模流程和操作基本一致，都通过在二维平面上拖放组件，然后连接组件端口创建模型，即示意图建模.用第1种方法创建的空间曲柄滑块模型见图1(a).这2种建模方法都不够直观，无法直接反映机构三维空间构型，且建模过程要求用户计算所有部件端点的位置，建模过程繁复、效率较低.此外，这些建模方式也不便于导入MSC Adams等主流多体软件的模型.为能直观、高效地创建Modelica多体模型，本文提出一种新的建模方式：将支持运动学建模的三维几何软件或多体软件作为前端，得到多体系统的物理模型，然后应用多体系统笛卡尔表示方法，将多体系统的物理模型转为数学模型并表示为Modelica，实现与其他领域组件的统一建模.该方式既可有效地进行三维多体可视化建模，又可充分利用Modelica的多领域统一建模能力.空间曲柄滑块机构在此方式下的模型见图1(b).

（a）基于Modelica标准多体库的模型

（b）基于InteDyna的模型

图 1 2种建模方式下的空间曲柄滑块模型

Fig.1 [WB]Models of spatial crank-slider based on

two different modeling methods

本文以全面兼容MSC Adams的多体动力学建模软件InteDyna［5］为前端，多领域建模仿真软件MWorks［6］为实现平台，重点分析基于笛卡尔方法［7］实现多体系统从物理模型到Modelica表示的关键问题，并给出一个完整示例.

1 多体系统Modelica表示

多体系统物理模型通常由一套固定的要素组成，包括标架、部件、运动副、驱动、外力和外力矩等，这些要素的连接关系构成多体系统的拓扑构型.根据多体动力学的不同数学表示方法，由多体拓扑构型可以生成具有固定结构的数学模型.本文先介绍多体系统笛卡尔方法，再详细论述如何基于该方法实现多体系统物理模型到Modelica表示的映射.

1.1 多体系统笛卡尔方法

多体系统一般有2种数学建模方法：拉格朗日方法和笛卡尔方法.拉格朗日方法方程个数少，易转化为常微分方程组，但方程呈严重非线性，在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模；笛卡尔方法方程个数较多，但系数矩阵呈稀疏状，且可基于有限约束类型进行符号计算，适合计算机自动建模.由于本文的目标是实现物理模型向Modelica表示的自动转换，故采用笛卡尔方法.

在笛卡尔方法中，每个部件的位置由其质心位置表示，每个部件的姿态由固接在部件上且原点与质心重合的局部坐标系（即质心坐标系）的姿态表示.质心的位置由3个变量表示，质心坐标系的姿态由4个变量表示，即欧拉四元素，这7个变量合称为该部件的广义坐标.

1.2 多体系统物理模型Modelica表示

基于笛卡尔方法的多体系统Modelica表示的主要任务是按照多体拓扑构型，将物理模型转换为数学模型(见式(1))，然后再将数学模型按Modelica规范列写为Modelica文本.

1.2.1 物理模型转换为数学模型

转换的关键在于如何由多体拓扑构型自动生成式（1）中的各个元素矩阵.

(1)质量矩阵.从每个部件中获取质量，根据定义生成.

(2)惯性张量矩阵.由于部件中的惯性张量矩阵相对于惯性坐标系定义，而笛卡尔方法需相对于质心坐标系定义的惯性张量矩阵，如果部件的惯性坐标系与质心坐标系重合，则部件的惯性张量矩阵即为所需；若不重合，则需进行转化.在获得每个部件的惯性张量矩阵后，可根据定义生成数学模型的惯性张量矩阵.

(3)运动约束方程矩阵.约束分为位置约束和驱动约束.位置约束根据物理模型的运动副要素生成，在定义运动副时，会将2个标架（即I Marker和J Marker）分别固接于运动副连接的2个部件，通过约束这2个标架的相对运动约束部件的相对运动.驱动约束根据物理模型的驱动要素生成，驱动都基于运动副定义，并规定某个自由度的运动规律.位置约束和驱动约束都由若干基本约束方程组成，驱动约束还需在方程中加上自定义的驱动表达式.4种基本约束方程见表1.以移动副和移动驱动为例，二者的约束方程集合见表2.在获取物理模型所有运动副和驱动对应的约束方程集合后，将这些约束方程依次排列，可得数学模型的约束方程集合.表 1 4种基本约束方程

(5)力矩阵和力矩矩阵.获取系统定义的重力加速度，结合部件质量即可获得部件所受重力.对于单作用力、力元、单作用力矩和力矩力元，它们的作用点和作用方向可从定义它们的标架中获取，结合它们的力大小表达式，可知它们对部件产生的力和力矩.将单个部件受到的所有外力（力矩）进行叠加，可得单个部件所受的合外力（力矩），根据定义可求得数学模型的力（力矩）矩阵.

(6)其余矩阵.其余矩阵与多体物理模型没有直接关系，可根据多体系统笛卡尔方法直接生成.

1.2.2 数学模型转换为Modelica表示

在获得数学模型后，需将其转换为Modelica文本.多体系统数学模型的Modelica文本分为3部分：（1）广义坐标初值区；（2）元素矩阵区；（3）系统方程组区.广义坐标初值区用于表示全部部件在初始时刻的广义坐标值；元素矩阵区用于表示上述所有的元素矩阵；系统方程组区用于表示式（1）.

2 应用示例

以双摆为例，以本文实现的系统所创建的模型见图2(a).该模型的拓扑结构见图3，其数学模型为式（1）.

模型对应的Modelica代码如下：

广义坐标初值区

Real r［6］(start = {1, 0, 0, 3, 0, 0});

Real dr［3］(start = {0, 0, 0, 0, 0, 0});

Real p［4］(start = {1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0});

Real dp［4］(start = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0});

…

//元素矩阵区

Real M［6,6］ = diagonal({1, 1, 1, 1, 1, 1});

Real J［6,6］ = diagonal({1, 1, 1, 1, 1, 1});

Real F［6］ = {0, -10, 0, 0, -10, 0};

Real N［6］ = {0, 0, 0, 0, 0, 0};

…

//系统方程组区

dr = der(r);

ddr = der(dr);

dp = der(p);

ddp = der(dp);

M * ddr + phirt * lambda = F;

4 * Gt * JPie * G * ddp + phipt * lambda +

phippt * lambdap = 2 * Gt * N + 8 *

der(Gt) * JPie * der(G) * p;

…

上述代码在MWorks 2.1中的求解结果见图4.图4中曲线表示杆1质心的y坐标随时间的变化情况.图2(b)为针对同一双摆基于Modelica标准多体库搭建的模型，其求解结果见图5.图5中曲线表示杆1末端的y坐标随时间的变化情况.由于杆1的质心在其几何中心，故图5中点的纵坐标应为图4中相应点的2倍.可知，2个模型的求解结果几乎完全相同.

3 结 论

本文给出的方法与基于Modelica标准多体库的建模方式相比更加直观、有效，且生成的方程规模小.以双摆示例，基于Modelica标准多体库所建模型的变量和方程数为1 885，而本文所建模型为298.虽然本文的实现以InteDyna为前端，但研究的方法适合所有支持运动学建模的三维几何软件或多体软件，均可作为前端实现多体模型到Modelica表示的转换.

多体系统求解一般存在违约问题.［8］本文给出的方法将多体模型转为Modelica模型，Modelica平台(如MWorks)可直接处理高阶DAE问题，因而可避免直接处理违约问题.另外，在多体求解中常见的问题是冗余约束处理和初始装配问题［8］，采用基于Modelica模型库的建模难以直接处理，而本文给出的方法可通过数值方法方便地处理.将多体模型转为Modelica表示后，可作为独立的Modelica模型与其他领域模型连接，方便实现多领域统一建模.

参考文献：

［1］ FRITZSON P. Principles of object-oriented modeling and simulation with Modelica 2.1［M］. New York: Wiley-IEEE Press, 2003: 19-71.

［2］ OTTER M, ELMQVIST H, MATTSSON S E. The new Modelica multibody library［C］ // Peter Fritzson. Proc 3rd Int Modelica Conf, Linkping, Sweden, 2003: 311-330.

［3］ 何正大, 许玫, 杨访. 用MapleSim进行多领域混合建模仿真分析［J］. 电脑知识与技术, 2009, 5(36): 10305-10307.

[KG*2]HE Zhengda, XU Mei, YANG Fang. Multi-domain modeling simulation and analysis using MapleSim［J］. Comput Knowledge & Technol, 2009, 5(36): 10305-10307.

［4］ 朴明伟. 面向结构的多刚体动力学系统线图［J］. 系统仿真学报, 2003, 15(10): 1402-1404.

[KG*2]PIAO Mingwei. Structure-oriented linear graph for rigid multi-body dynamical system［J］. J Syst Simulation, 2003, 15(10): 1402-1404.

［5］ 王波兴, 胡臻, 夏鸿建, 等. 动力学仿真中的子系统建模技术研究［J］. 计算机集成制造系统, 2007, 13(3): 478-483.

[KG*2]WANG Boxing, HU Zhen, XIA Hongjian, et al. Subsystem modeling technology in dynamics simulation［J］. Comput Integrated Manufacturing Systems, 2007, 13(3): 478-483.

［6］ ZHOU Fanli，CHEN Liping，WU Yizhong, et al. MWorks: a modern IDE for modeling and simulation of multi-domain physical systems based on Modelica［C］ // The Modelica Association. Proc 5th Int Modelica Conf, Vienna, Austria, 2006: 725-731.

第9篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：层次分析法 目标市场占用率 民用飞机

中图分类号：F253 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）03（b）-0252-05

Primary Study on Establishing Target Marketing Shares by the Analytic Hierarchy Process

Li Lin1 Luo Qinhan2

（AC Shanghai Aircraft Design and Research Institute， Shanghai， 201210，China；2.National Aero-Technology Import & Export Corporation， Beijing， 100000，China）

Abstrac：The analytic hierarchy process is a sort of decision-making approach to solve multi-objective problems， with relevant influence factors divided into objectives， standards and schemes for detailed qualitative and quantitative analysis. Thus， it process the metric of high rational logic and easily application. This paper is to give a overall introduction of the analytic hierarchy process and its operating steps. Based on that， we make a primary study on establishing target marketing shares by the above-mentioned approaches with a simulative case.

Key Words：The Analytic Hierarchy Process； Target Marketing Shares； Civil aircraft

层次分析法（AHP，The analytic hierarchy process）是一种应对复杂、模糊问题时，综合网络系统理论和多目标综合评价方法，对决策相关元素按照层次分解形成树状评级结构，通过逐级评判与汇总做出决策结论的决策分析方法。20世纪70年代，美国运筹学家托马斯・萨蒂（T.L.Saaty）在美国国防部研究课题“根据各工业部门对国家福利的贡献大小执行电力分配”中正式提出。

面临复杂问题决策，层次分析法能深入分析问题的本质、影响因素和内在关系，并以此为基础定量化和数学化开展决策，使多目标、多准则或无结构特性的复杂决策过程清晰，特别适用于决策结果难于直接准确计量的情形。为此，我们试图将层次分析法应用于民用飞机目标市场占有率的测试。

1 层次分析法的定义

社会问题、经济问题和科学管理领域问题通常是一个由众多因素构成，相互关联、相互制约的复杂数据系统，往往还伴随定量数据缺失的问题。系统分析这类问题即需对问题包含相关元素进行相应数量化处理，层次分析法即提供了一个复杂决策问题的思维和判断过程。以假期旅游为例，在旅游目的地A、B、C之间做选择。首先你会依据该次出游的目的和约束，确立一定的准则指标及其权重情况，如你更看重旅游目的地的景色、费用、居住环境，还是饮食、旅途条件等？其后，你会依据如上准则指标去反复比较权衡3个候选目的地的优越比重，如景色方面A最好、B次之，费用方面B最低、C次之，居住条件方面C最优、B次之等。最后，你将综合两级层次的比较判断结果，确立最佳的旅游目的地。

由以上举例说明可见：层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将决策目标分解为多个子目标或准则，再逐级分解为多指标（或准则、约束），通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序作为目标（多指标、多方案）优化决策结论的系统方法。

2 层次分析法的步骤

层次分析法建模由以下4个步骤组成。

2.1 建立递阶层次结构模型

建立递阶层次结构模型是将问题条理化、层次化的过程，是将复杂问题降解为决策问题的组成元素，继而根据元素属性及关系建一个层次分明、反映问题本质和特点的结构模型。模型中，上一层次的元素作为准则，对下一层次有关元素构成支配关系。大致可划分为以下三类层次。

（1）最高层：确定分析问题的预定目标或理想结果，称之为目标层，通常有且仅有一个元素。

（2）中间层：涵盖实现目标所涉及的中间环节，包括所需考虑的准则、子准则，通常由若干个层次组成，也称准则层。

（3）最底层：包括实现目标可选的各种措施和方案，故也称措施层或方案层。

递阶层次结构的层级数与决策问题复杂程度及分析要求详尽程度密切相关，通常不做强制限定。但支配元素过多会造成元素两两比较的困难，一般主张各层次各元素支配元素不超过9个，元素过多（多于9个）时应深入分解成子准则层。

2.2 构造出各层次中的所有判断矩阵

层次结构直观反映了因素间关系，但准则层中各准则在目标衡量过程中所占比重不尽相同，且存在的最大困难是某些因子的比重不易定量化，在此情形下，萨蒂建议建立成对比较矩阵通过因子的两两比较确定，即每次提取同一上级支配元素下两个因子进行影响程度成对比较。同一上级支配元素下全部因子的两两比较结果以矩阵形式表示，称其为支配元素的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。两两比较过程中，两元素互为比较基础，故判断矩阵表现为正互反性，即两两比较的结果以对角线元素（对角线为元素的自比较，故其取值为1）对称，且互成倒数关系，即。

成对比较过程中，萨蒂通过实验方法证明不同标度的判断结果中1～9的比较尺度最为合适，标度的具体含义见表1。

2.3 层次权向量计算及一致性检验

成对比较判断矩阵在一定程度上有效排除了其他因素之间的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别，但全部比较结果综合时却难以保证判断的一致性，故必须通过各成对比较阵的最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即构成某支配元素下因子的层次权向量；若不通过，则需重新构造成对比较阵。

如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵的元素还应当满足：

（1）

其中，式（1）中均为判断矩阵A中两成对元素的比较值，式（1）表示如若元素的两两成对比较完全一致，即判断矩阵中成对比较值存在可传导性。满足关系式（1）的判断矩阵即一致矩阵。而通常判断矩阵完全满足式（1）是不可能的，因此一致性检验显得尤为重要。一致性检验主要用于检验判断矩阵是否存在严重的非一致现象，以致其不能为我们所接受。

判断矩阵A一致性检验的步骤：

（1）计算衡量判断矩阵A（n>1阶方阵）不一致程度的指标CI：

CI

CI越小，一致性越大。其中，为判断矩阵A的最大特征根，n为判断矩阵A的阶数。

（2）查找检验判断矩阵A的平均随机一致性指标RI。

考虑到一致性偏离可能源于随机因素，故做一致性检验时必须考察平均随机一致性指标RI。其中RI只与矩阵阶数 n 有关，详细取值参见表2。

（3）计算判断矩阵A的随机一致性比率CR。

判断方法：当CR

2.4 组合权向量的计算

步骤（3）计算所得的是一组因子对其上一层支配元素的权向量，但最终需要计算的是最下一层因子对总目标的组合权向量，故须对权向量自上而下实施逐级加权汇总。

3 层次分析法在市场占有率目标确定中的应用

假设某航空制造类企业预开发一类250-300座的双通道宽体客机CJ828，应用层次分析法，其市场占有率目标的确立过程如下所述。

3.1 确定市场现有或潜在的竞争机型

表3描述了从20世纪80年代以来投入运营的主要机型的情况。考虑到级别相似、投入运营时间和先进性指标，选取波音公司的Boeing787和空中客车公司的Airbus350作为CJ828的主要竞争机型，见表3。

3.2 构建竞争递阶层次结构模型

通常界定商用飞机竞争性的指标是多样化的，该文从航空运营、客户体验及环保要求来加以考虑，选取商用飞机安全性、舒适性、经济性及环保性等四大性能表现作为商用飞机竞争的准则层指标，可以将其竞争递阶层次结构模型建立如图1。

3.3 求解竞争递阶结构模型的层次权向量计算及一致性检验

x取10位模拟设计师对各级竞争递阶结构判断矩阵的右上角以1～9的比较尺度进行因素比较打分，并求取简单算术平均值，按照求得正互反的左下角矩阵元素，完成判断矩阵的构造，再采用前文介绍的层次分析法求解。

以准则层要素的层次分析法应用为例，得到判断矩阵的权向量及一致性检验情况如下：

（1）构造判断矩阵A。

（2）判断矩阵A的阶数n=4，利用matlab计算求解得到判断矩阵A的最大特征根，利用公式求取判断矩阵A的不一致程度指标CI：

查找表2可知，判断矩阵A的阶数n=4时平均随机一致性指标RI=0.90。计算判断矩阵A的随机一致性比率，即可断定判断矩阵符合一致性检验要求。

（3）计算最大特征根对应特征向量，经归一化处理后得到准则层权向量，即可理解为双通道宽体客机这种机型在客户选购过程，安全性因素占38.15%、舒适性因素占20.20%、经济性因素占27.97%、环保性因素占13.68%。

重复以上步骤求解单个准则下各方案判断矩阵的一致性和权向量，结果明细见表4～表8，摘录权向量信息：

①竞争机型安全性权重：Boeing-777（32.83%）、Airbus-330（36.29%）、CJ828（30.88%）；

②竞争机型舒适性权重：Boeing-777（28.96%）、Airbus-330（33.63%）、CJ828（37.41%）；

③竞争机型经济性权重：Boeing-777（34.23%）、Airbus-330（30.22%）、CJ828（35.55%）；

④竞争机型环保性权重：Boeing-777（35.13%）、Airbus-330（30.14%）、CJ828（34.73%）。

注：为避免判断的不一致现象，判断矩阵在调研过程中做微量修正确认，数据均已通过一致性检验。

3.4 确定模拟机型的目标市场占有率

综合竞争机型的层次分析测算结果，见表9。模拟设计的双通道宽体客机CJ828将强化安全性、舒适性、经济性和环保性等性能品质，重点突出舒适性和经济性两大突出亮点，可将目标市场占有率初步设定为34.04%。

4 结语

通过建立商业飞机竞争指标，应用层次分析法，该航空制造类企业预开发一类250-300座的双通道宽体客机CJ828与主流竞争机型Boeing-777和Airbus-330进行对比分析机型之间的安全性、舒适性、经济性和环保性，综合评估测算，初步确立其目标市场占有率在34.04%，且在市场竞争中主要优势体现在舒适性和经济性方面。

参考文献

[1] 吴殿廷，李东方.层次分析法的不足及其改进的途径[J].北京师范大学学报：自然科学版，2004（2）：66-67.

[2] 陈国华，陶诏灵.基于战略的流程选择层次分析法研究[J].运筹与管理，2003（2）：78-79.

[3] 叶珍.基于AHP的模糊综合评价方法研究及应用[D].华南理工大学，2010.

[4] 吴祈宗，李有文.层次分析法中矩阵的判断一致性研究[J].北京理工大学学报，1999（4）：113-115.

[5] 王光玲.基于AHP的企业文化建设评价体系分析[J].生产力研究，2006（7）：165-166.

[6] 朱皓珏.我国上市公司财务竞争力研究[D].南京财经大学，2010.