二次函数精选(九篇)

第1篇：二次函数范文

＜0，二次函数图象与x轴无交点；=0，二次函数图象与x轴有一个交点；＞0，二次函数图象与x轴有两个交点。二次函数（quadraticfunction）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

（来源：文章屋网 ）

第2篇：二次函数范文

关键词：二次函数实际应用；面积最大值；和一定差越小积越大

【中图分类号】G633.6

知识要点：二次函数的一般式是y=ax2+bx+c（a≠0），化成顶点式为，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a>0时，函数有最小值，并且当时，y最小值=；当a

问题背景：二次函数的实际应用一直以来就是中考的重难点，在复习阶段也是重点强调的这类问题，例如：长度一定的篱笆围成一面靠墙的矩形，求面积的最大值。奇怪的是，在我讲解此类问题时，每当我列出式子，有一名学生总能很快报出正确答案，起先我以为是他极快的动手计算了，后来发现他一直抬头在看黑板，无暇动手。出于好奇，就问他有什么计算技巧，他告诉我一个结论，下来我们一起论证了这个结论，认为是可行的。

首先，我们来看这样一个问题：“有一根长为40cm的铁丝，将它围成一个矩形，若长和宽均为整数，怎样围才能使面积最大？”

这一问题我们在小学就见过，具体做法是取各种值，然后计算，我们发现当长和宽都为10cm时，即围成一个正方形时面积最大，最大值为100cm2。同时，在取值过程中我们发现：当两个数的和一定时，它们的差值越小乘积越大，即这两个数相等时乘积达到最大值。

对于学生来讲，了解这一做法有以下两点好处：

1、不管是配方法还是顶点式都有一个较复杂配方或计算过程，在这一过程中难免会存在符号或者计算代值上的失误，运用这个方法，只是在解一个一元一次方程，正确率明显高于前者。

第3篇：二次函数范文

关键词 高中数学 二次函数 无可取代

中图分类号：G633.62 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.03.017

Abstract The quadratic function is one of the most important functions of middle school mathematics. It is in the whole stage of high school mathematics. Quadratic function can be seen everywhere， it is more important to image plays a very intuitive role in solving the problem， can be some complex mathematical problems into intuitive mathematics paper map， is the concrete application of a class of high school mathematics with thought. Quadratic function of the omnipresent and can not be replaced in （1） required a monotonicity parity in the domain of the functions and the values inside the embodiment， the roots of the equation and function of zero （2） required five series in arithmetic n series before and in one of the two inequalities and its solution in the dripping in （3） combined with comprehensive problems everywhere in elective in conic and the derivative of the more exciting.

Keywords high school mathematics； quadratic function； no substitution

我来介绍下二次函数在各部分的精彩表现。

首先我们先来看下中学阶段二次函数（）=++（≠0）的主要知识点：①二次函数图像的对称轴：直线=；② 二次函数图像的开口方向：a>0时开口向上：a0两个交点（1，0），（2，0）；当=0时有一个交点（0，0）；当

通过多年的高中数学教学，遇到应用二次函数解题的一些题型，有的题目如果不用二次函数图像学生很少会解出来，若用二次函数图像求解，问题不仅直观，而且显得很简单。

二次函数的图像如图1（下面是>0，

接下来我们看看二次函数在我们高中阶段是如何无处不在的。

1 二次函数在函数性质里面的体现

在函数单调性、最值以及奇偶性中的体现：

人教版必修一在讲函数单调性的新课时候首先是让学生观察二次函（）=图像（图2）。

图像在y轴左侧“下降”，也就是说，在区间（∞，0]上（）随着的增大而减小；图像在y轴的右侧“上升”，也就是说，在区间[0，+∞）上（）随着的增大而减大。从而引出本节课的重点（也是高中阶段函数性质的重点之一）――函数的单调性。

也就是说学生需要对函数（）=的熟知情况下才能顺利的往下学这节课。

（2）如图3所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

二次函数的重要性，我们通过教材的编写就可以很直接的体会。

2二次函数在数列中的体现

等差数列{}的前项和的公式：=+=+（）也就是说等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数

必修5课本第44页例3：已知数列{}的前n项和为=+，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是它的首项和公差分别是什么？

在这里数列的前n项和是一个关于n的二次函数。

接下来就45页的探究：一般地，如果一个数列{}的前项和=++，其中，，为常数，且≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

经过研究我们发现，当r=0时数列{}是首项=+公差的等差数列。当≠0时，数列从第二项起是等差数列

例 已知等差数列5，4，3的前项和，求使得最大的序号的值。

分析：等差数列的前项和公式可以写成=+（），所以可以看成函数=+（）（∈N*）当=时的函数值，另一方面，容易知道是的图像是一条抛物线上的一些点。因此，我们可以利用二次函数来求的值。

我们可以画出的图像（图4），验证上述的结论

3应用二次函数图像及其方程解决一元二次不等式

一元二次不等式++>0或++0）的解集。我们可以有函数的零点与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与轴相关位置确定一元二次不等式的解集。我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式++>0或++0）的解集。

二次函数在高中必修课本里面真所谓无处不在，以上举出的例题及其原理都必须掌握可见其重要性无可替代。接下来笔者继续介绍二次函数在选修中又是如何体现其的重要性。

4 二次函数在圆锥曲线中的地位

众所周知，圆锥曲线是高考的重点考查对象，那么它考查跟我们二次函数的知识点又有什么联系呢？

分析：这题的第二步联立直线与曲线的方程消元化简后得到一个关于的一元二次方程。接下来根据二次函数方程++=0（≠0）根与系数的关系：+=I6=得到+=，I6=，这一步起到至关重要的作用，若是没有这个接下来题目也就没法往下解答。纵观近几年高考，不管是全国卷还是各省自己命题的试卷只要有考直线与圆锥曲线都离不开应用二次函数根与系数的关系来解答。也就是说，二次函数在平面解析几何中也起到了至关重要的作用。

5 二次函数在导数中的体现

二次函数在导数的题目里面出现也是不容小觑的，无论是应用导数求单调性还是最值的题目里二次函数随可见。可以说二次函数就是桥梁，它把新的知识和旧知识联系在一起。

第4篇：二次函数范文

一般来说，高考所出的题型包括以下三类：

1.求二次函数的解析式

例1 已知二次函数的对称轴为x=-2，截x轴上的弦长为4，且过点（0，-1），求函数的解析式.

解 二次函数的对称轴为x=-2，

设所求函数为f（x）=a（x+2）2+b，

又f（x）截x轴上的弦长为4，

f（x）过点（-2+2，0）.

f（x）又过点（0，-1），

4a+b=0，

2a+b=-1，a=12，

b=-2.

f（x）=12（x+2）2-2.

总结：求二次函数的解析式时，要根据条件选择不同的形式.

2.讨论二次函数的区间根的分布

这类问题的情况比较多，在考试时很少单独出题，数形结合是处理本类题目的重要思想方法.

例2 已知函数f（x）=x2-（2a-1）x+a2-2与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围.

解法一 由题知关于x的方程x2-（2a-1）x+a2-2=0至少有一个非负实根，设根为x1，x2，

则x1x2≤0或Δ≥0

x1x2>0

x1+x2>0，得-2≤a≤94.

解法二 由题知f（0）≤0或f（0）>0

--（2a-1）2>0

Δ≥0，得

-2≤a≤94.

总结：二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.

3.讨论二次函数的区间单调性与最值问题

例3 函数y=x2+bx+c （x∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是（ ）.

A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0

分析 对称轴x=-b2.

函数y=x2+bx+c（x∈[0，+∞）是单调函数，

对称轴x=-b2在区间[0，+∞）的左边，即-b2≤0，得b≥0.

因此选A.

设f（x）=ax2+bx+c=0（a>0），则二次函数在闭区间m，n上的最大、最小值有如下的分布情况：

m<n<-b2a

m<-b2a<n

即-b2a∈[m，n]

-b2a<m<n

图

像f（x）=ax2+bx+c

=0（a>0）

f（x）=ax2+bx+c

=0（a>0）

f（x）=ax2+bx+c

=0（a>0）

最大、

最小值f（x）max=f（m）

f（x）min=f（n）

f（x）max=max{f（n），

f（m）}

f（x）min=f-b2a

f（x）max=f（n）

f（x）min=f（m）

对于开口向下的情况，讨论类似.其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若-b2a∈[m，n]，则

f（x）max=maxf（m），f-b2a，f（n），

f（x）min=minf（m），f-b2a，f（n）.

（2）若-b2am，n，则

f（x）max=maxf（m），f（n），f（x）min=minf（m），f（n）.

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大;反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小.

例4 已知函数y=-sin2x+asinx-a4+12的最大值为2，求a的值.

分析 令t=sinx，问题就转为二次函数的区间最值问题.

解 令t=sinx，t∈[-1，1]，

y=-t-a22+14（a2-a+2），对称轴为t=a2.

（1）当-1≤a2≤1，即-2≤a≤2时，ymax=14（a2-a+2）=2，得a=-2或a=3（舍去）.

（2）当a2>1，即a>2时，函数y=-t-a22+14（a2-a+2）在[-1，1]单调递增，

由ymax=-1+a-14a+12=2，得a=103.

（3）当a2<-1，即a<-2时，函数y=-t-a22+14（a2-a+2）在[-1，1]单调递减，

由ymax=-1-a-14a+12=2，得a=-2（舍去）.

第5篇：二次函数范文

考点1：二次函数的对称轴

函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c的正负将确定抛物线的开口方向；对称轴位置，对称轴两边函数随自变量的变化情况；顶点坐标及与y轴交点的位置，抛物线在坐标平面内平移与顶点式y=a（x-h）2+k的变化关系。这些函数的性质，不仅要记忆而且要理解和会运用。例1：抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（ ）

A.直线x=1 B.直线x=-1

C.直线x=2 D.直线x=-2

另一种方法：可将抛物线配方为y=a（x-h）2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=（x-1）2，所以对称轴为x=1，应选A。

图形的性质、判定、函数的性质，在复习时，要做好基础知识的理解，加强记忆、理解和运用，。在具体问题中，会根据条件判断出图形具有什么特征，可以由这些特征确定求对称轴思路。 考点2：二次函数的最值问题

大家知道，对于二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）（其中h为函数图像顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标）来说，当a>0时，顶点（h，k）为图像的最低点，即当x=h时，y的值最小，最小值为k；当a

解：配方得y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

顶点坐标为（1，-4）

该二次函数的最小值为-4.

另外，如果二次函数在一个实际问题中求最大最小值，除了考虑顶点坐标外，还要考虑自变量的端点值。

考点3：二次函数的平移问题

例3 若抛物线y=a（x-h）2+k向下平移一个单位后，再向左平移3个单位，所得到新抛物线的顶点坐标为（-2，0），且a+h+k=4.求原抛物线的解析式。

解析：抛物线平移，主要抓住顶点的平移，由于平移中a不变，只要变动顶点就行了.对于这类已知平移后的顶点坐标，求原顶点坐标的问题，采用逆推法更易获解。

原抛物线顶点坐标（h，k）向下平移1个单位后为（h，k-1），再向左平移3个单位后为（h-3，k-1）。依题意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2。所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3。

二次函数平移，不改变二次函数的开口方向和大小即二次项系数a不变，只改变顶点的位置，所以先求原抛物线的顶点，通过配方转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其图象可以由y=ax2（a≠0）经过适当的平移得到。

考点4：求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点

在初中二次函数教学中，数形结合思想方法得到进一步渗透并被广泛运用。学生从类似“一元二次方程ax2+bx+c=0的实根和二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的关系”、“二次函数y=ax2+bx+c的图象分布情况与一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c

解：由x=0得y=-3，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，-3）。由y=0，得4x2-11x-3=0可以求得所以抛物线与x轴交点坐标。

考点5：用待定系数法求二次函数的解析式

用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最有效的常规方法，常见的有一般式、顶点式、交点式（或两根式）等方法，选用恰当的方法求二次函数解析式，常能简化计算，达到又快又准的效果。学次函数必须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a（x-x1）（x-x2），顶点式y=a（x-h）2+k。在具体问题中要根据问题中条件，结合二次函数的图象与性质及其它综合知识，选择恰当方法，就可能比较容易的解出二次函数的解析式，达到又快又准的效果。

例5：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于点B（1，0）、C（5，0）两点，求此抛物线的解析式.

思路点拨：由于已知三点，所以本题可以采用一般式求抛物线的解析式.但考虑到已知与x轴交点，所以用交点式更简单.

解：设此抛物线为y=a（x-x1）（x-x2）。（a≠0），则x1=1，x2=5。

第6篇：二次函数范文

二次函数的图象与性质是我们研究的重点,也是利用二次函数解决其他问题的关键点.

1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的确定

(1) a决定开口方向及开口大小.当a>0时,抛物线的开口向上;当a

(2) b和a决定抛物线的对称轴x=- 的位置.当b=0时,对称轴为y轴;当a,b同号时,对称轴在y轴左侧;当a,b异号时,对称轴在y轴右侧.

(3) 抛物线与y轴的交点为(0,c).当c=0时,抛物线经过原点;当c>0时,与y轴交于正半轴;当c

抛物线的顶点坐标是- , .

例1 (2008年宿迁市)在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=- (x-1)2的图象是().

解析: 在抛物线y=- (x-1)2中,对称轴为x=1,在y轴右侧,顶点为(1,0).直线y=-x+1与x轴的交点也为(1,0),故应选择D.

例2 (2008年芜湖市)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是().

解析: 解这类题一般用排除法:先根据一个函数的特点,确定a,b的符号,然后根据a,b的符号判断另一个函数是否符合.对于A,根据一次函数的图象,可知a0,可排除A.对于D,根据一次函数的图象,有a>0,但二次函数的图象开口向下,故a

2. 用二次函数的图象判断y=ax2+bx+c中a,b,c的特征

例3 (2008年巴中市)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列说法中不正确的是().

A. b2-4ac>0 B. a>0 C. c>0 D. -

解析: 该抛物线与x轴有两个交点,由此可知b2-4ac>0;图象开口向上,则a>0;与y轴交于正半轴,则c>0.所以A,B,C正确,答案为D.

也可以通过对称轴在y轴右侧直接判断选D.

例4 (2008年天门市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,有下列结论:

① abc>0;② 2a+b

其中正确结论的个数为().

A. 4B. 3C. 2D. 1

解析: 由图可知,该抛物线与x轴有两个交点,开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴的右侧,所以a0,c>0,1>- >0.于是abc

2a+b0,所以a-b+c>0.由a-b+c>0,可得a+c>b>0.故应该选C.

3. 二次函数图象的对称轴与特殊点

抛物线上的特殊点和对称轴对于解题至关重要,有必要深刻理解.

二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化成y=a(x-h)2+k的形式,其中h=- ,k= .对称轴为x=- .抛物线是轴对称图形,抛物线上任意一对对称点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,若y1=y2,则这个抛物线的对称轴是x= .

(1) 当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0)和B(x2,0).

(2) 当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点- ,0在x轴上.

(3) 当b2-4ac

例5 (2008年咸宁市)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点,则m的值为_____.

解析: 由题意可知,一元二次方程2x2+8x+m=0有两个相同的实数根,则b2-4ac=64-8m=0,所以m=8.

4. 二次函数的图象与性质

研究函数图象可以发现,当a>0,图象开口向上时,点到对称轴的距离越远,函数值越大;当a|x2-x0|时,若a>0,则y1>y2;若a

例6 (2008年贵阳市)二次函数y=(x-1)2+2的最小值是().

A. -2B. 2C. -1D. 1

解析: 把二次函数的解析式化为y=(x-h)2+k的形式,当x=h时,其有最值k.本题h=1,k=2,a=1>0,所以最小值为2.答案为B.

例7 (2008年嘉兴市)一函数的图象如图3,给出以下结论:

① 当x=0时,函数值最大;② 当0

其中正确的结论是().

A. ①②B .①③C. ②③D. ①②③

解析: 由图容易看出①错,②③对,所以答案为C.

例8 (2008年威海市)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下列结论正确的是().

A. y1

解析: 点A(1,2)与B(3,2)的纵坐标相同,所以它们是关于对称轴的对称点.显然对称轴是直线x=2.研究点B(3,2),C(5,7)可以发现,对称轴右侧是单调递增的,所以a>0.由|2-(-1)|

5. 二次函数图象的平移

顶点决定抛物线的位置.几个二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向､大小完全相同,只是位置不同.将抛物线y=ax2向上平移k个单位,可以得到抛物线y=ax2+k;将抛物线y=ax2向右平移h个单位,可以得到抛物线y=a(x-h)2;将抛物线y=a(x-h)2向上平移k个单位,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.

二次函数从y=ax2平移到y=ax2+bx+c,只需要通过分析顶点从(0,0)到- , 的变化,就可以确定整个抛物线的平移方式.

例9 (2008年兰州市)在同一坐标平面内,有下列4个函数:

① y=2(x+1)2-1;② y=2x2+3;③ y=-2x2-1;④ y= x2-1.

它们的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换､轴对称变换得到的是_____.(填序号)

解析: 函数④与函数y=2x2+1的二次项系数既不相等(可以通过平移来进行变换),也不互为相反数可以进行关于直线y= 的轴对称变换,所以答案为④.

例10 (2008年荆门市)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则().

A. b=3,c=7B. b=6,c=3C. b=-9,c=-5D. b=-9,c=21

第7篇：二次函数范文

一、设一般式

已知二次函数的图像上的三个点时，通常设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c．

例1已知二次函数的图像经过（1，2），（3，0），（－2，20）三点，求二次函数的解析式．

解析设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将三个已知点的坐标分别代入所设解析式，得[2=a+b+c,0=9a+3b+c,20=4a-2b+c.],解得[a=1,b=-5,c=6.],所以所求二次函数的解析式为y＝x2－5x＋6．

说明二次函数的图像经过原点时，可直接设解析式为y＝ax2＋bx；若二次函数的图像的对称轴是y轴，则可设解析式为y＝ax2＋c．

二、设交点式

已知抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0）、（x2，0），以及抛物线上另一点的坐标时，通常设抛物线的解析式为y＝a（x－x1）（x－x2）．

例2 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－1/2、3/2，与y轴交点的纵坐标是－5，求抛物线的解析式．

解析由题设知抛物线与x轴的两个交点的坐标为（－1/2，0）和（3/2，0），与y轴的交点坐标为（0，－5）．由此，可设所求抛物线的解析式为y＝a（x＋1/2）（x－3/2）．把x＝0，y＝－5代入其中，得－5＝a（0＋1/2）（0－3/2）．解得a＝20/3．所以所求解析式为y＝20/3（x＋1/2）（x－3/2），即y＝20/3x2－20/3x＋5．

说明本题求出三个点的坐标后，虽然也可设一般式求解，但设交点式求解更为方便．由于抛物线与x轴两交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以此种设法也称为设两根式．

三、设顶点式

已知抛物线的顶点坐标（h，k）时，通常设抛物线的解析式为y＝a（x－h）2＋k．

例3一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式．

解析由抛物线经过（0，0）和（12，0）两点这个条件可知，抛物线的对称轴为x＝6，又因为抛物线的最高点的纵坐标是3，所以抛物线的顶点坐标为（6，3）．因而可设抛物线的解析式为y＝a（x－6）2＋3，把x＝0，y＝0代入其中，得0＝a（0－6）2＋3，解得a＝－1/12．所以所求解析式为y＝－1/12（x－6）2＋3，即y＝－1/12x2＋x．

说明此题在确定了顶点坐标为（6，3）后，也可设一般式或交点式求解，有兴趣者可试一试．

四、设对称点式

已知抛物线上的两个对称点（x1，m）和（x2，m）时，可设抛物线的解析式为y＝a（x－x1）（x－x2）＋m．

例4已知二次函数的图像经过（－1，3），（1，3）和（2，6）三点，求二次函数的解析式．

解析因为点（－1，3），（1，3）为抛物线上关于y轴对称的两点，所以可设所求二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－1）＋3，将点（2，6）代入其中，得6＝a（2＋1）(2－1）＋3，解得a＝1．所以所求二次函数的解析式为y＝（x＋1）(x－1）＋3，即y＝x2＋2．

第8篇：二次函数范文

19题：（1）如下图，第n个图形中有多少个小正方形？你是如何计算的？（2）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9，…，1+3+5+7+9+…+（2n-1）

20题：（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？以此类推第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数

（3）如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？

21题：（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？以此类推第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数。（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？

这是几道根据图形摆放特点探求规律的题。授课教师的基本功较扎实，语言简练，表达清晰。通过观察图形摆放规律，19题和20题解决得比较轻松，但解答21题时，再通过观察图形摆放规律得出变量m和n的关系，不但让中等生望而生畏，就连一些平时数学学得不错的优秀生也眉头紧皱，大伤脑筋，反应较慢的学生更不知从何下手。授课教师见此情景，引导学生这样观察，那样思考，也只有少数学生明白了其中的“奥妙”，而大多数学生仍是一头雾水。课后，我和授课老师交流了一下，在解答21题时，我们能不能换一种思路，利用二次函数探求这样的规律题。为了降低难度，在学生完成（2）填表后，再设置一个问题（3），根据上表的数据，把n作为横坐标，把m作为纵坐标，在平面坐标系中描出相应的各点（n，m），其中1≤n≤5，猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？ 分析：根据表格提供的数据，猜想m是n的二次函数，设m=an2+bn+c，则它的图象经过（1，1）（2，7）（3，19），所以

1=a+b+c 7=4a+2b+c19=9a+3b+ca=3 b=-3c=1

第9篇：二次函数范文

    高考对二次函数的考查主要体现在两个方面:一是对二次函数的图像和性质本身的考查,包括二次函数的单调性、最值、图像的对称性等;二是对二次函数与其他知识交汇问题的考查,包括二次函数与导数、函数零点、不等式等知识的交汇.

    一、二次函数在给定区间上的最值问题

    例1 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,求a的值.

    解 函数f(x)=-x2+2ax+1-a =-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.

    ①当a<0时,f(x)在[0,1]上递减. fmax(x)= f(0)=1-a =2.a =-1.

    ②当0≤a≤1时,f(x)在[0,a)上递增,在[a,1]上递减. fmax(x)= f(a)=a2-a+1=2.a = (舍去).

    ③当a>1时,f(x)在[0,1]上递增. fmax(x)= f(1)=a.a =2.

    综上可知,a=-1或a=2.

    小结 影响二次函数在给定区间上的最值的因素有抛物线的开口方向、对称轴的位置以及给定的区间,同学们在求解时要注意数形结合思想的运用.如果抛物线的开口方向、对称轴的位置或给定的区间不确定,就需要进行分类讨论.

    二、二次函数图像的应用

    例2 设函数f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若y= f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),请证明下列结论:

    当a<0时,x1+x2>0,y1+ y2<0;当a>0时,x1+x2<0,y1+ y2>0.

    证明 (证法1)令 =ax2+bx,则1=ax3+bx2(x≠0).设F(x)=ax3+bx2,则F′(x)=3ax2+2bx.令F′(x)=3ax2+2bx=0,则x=- .要使y= f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点,只需F(- )=a(- )3+b(- )2=1,整理得4b3=27a2,于是可取a=±2,b=3来研究.当a=2,b=3时,2x3+3x2=1,解得x1=-1,x2= ,此时y1=-1,y2=2,则x1+x2<0,y1+ y2>0;当a=-2,b=3时,-2x3+3x2=1,解得x1=1,x2=- ,此时y1=1,y2=-2,则x1+x2>0,y1+ y2<0.

    (证法2)令f(x)= g(x),得 =ax+b.设y′= ,y′′=ax+b,不妨设x10时,如图1所示.此时|x1|> |x2|,即-x1>x2>0,此时x1+x2<0,y2= >- =-y1,即y1+ y2>0.同理,由图2经过推理可得当a<0时,x1+x2>0,y1+ y2<0.

    小结 对二次函数图像的运用,同学们应主要从两个方面来考虑:一是定性分析,确定图像的上升(下降)趋势;二是定量计算,将图像交点个数等问题转化为数量关系问题来处理.

    三、三个“二次”的交汇问题

    例3 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)< c的解集为(m,m+6),求实数c的值.

    解 由于f(x)的值域为[0,+∞),所以f(x)的图像与x轴有且只有一个公共点.于是有Δ=a2-4b=0,即b= .所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+ =(x+ )2.

    由f(x)=(x+ )2  由于不等式f(x)  小结 本题利用判别式,结合图像将二次函数的值域转化为系数a,b的关系,再通过配方,得到一元二次不等式的解集.函数图像和判别式是联系二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的纽带,当三者之间的关系需要转化时,要结合图像,利用判别式来处理.

    四、二次函数与导数的交汇问题

    例4 已知函数f(x)= x3+ (1-a)x2-3ax+1,a>0.

    (1)证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤ f (x)≤1.

    (2)设(1)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.

    (1)证明:由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a =3(x+1)·(x-a),且a>0,所以f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.

    又f(0)=1,f(a)=- a3- a2+1= (1-a)(a+2)2-1,所以

    当f(a)≥-1时,取p=a,此时,当x∈[0,p]时,有-1≤ f (x)≤1成立.

    当f(a)<-1时,由于f(0)+1=2>0,f(a)+1<0,所以存在p∈(0,a),使得f(p)+1=0.此时,当x∈[0,p]时,有-1≤f(x)≤1成立.

    综上可知,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤ f(x)≤1.

    (2)解:由(1)可知f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(a).

    当0a的实根,即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以g(a)= .

    又g(a)在(0,1]上单调递增,故gmax(a)=g(1)= .

    当a>1时,f(a)<-1.由于f(0)=1,f (1)= (1-a)-1<-1,所以[0,p]?奂[0,1].此时,g(a)≤1.

    综上所述,g(a)的最大值为 .

    小结 本题的第一问对三次函数求导后,得到的导函数是二次函数,该二次函数的正负决定三次函数的单调性;本题的第二问确定g(a)的解析式主要是通过求二次方程的根进行的,而研究g(a)的性质则主要是通过对二次函数性质的分析进行的.

    (作者单位:山东青岛市黄岛区五中)

    (责任编校/周峰)

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