圆周率的故事精选(九篇)

第1篇：圆周率的故事范文

1. 数学史与数学教学

数学史主要是对数学的历史、数学的目的以及教育的目的这三个主要方面进行探究，在这三个方面中“教育的目的”是数学史中最为重要的一个方面。因此数学史与数学的教学之间是密不可分的。很好地应用数学史在实践教学中有利于数学教学活动的展开，也有利于获得较好的教学效果。数学教育通过教育活动的实践来研习与总结教学经验，在这个教学过程中就谱写了数学史，同时数学史也很大程度上支持了数学教学以及教育的发展，所以说，数学史占据着数学教育的重要比例，对于数学教学的发展与进步起着至关重要的作用。

2.数学史在小学数学中的现状分析

在当下的数学教育与教学过程中，对于数学史在各个教学环节中的应用还是没有得到应有的重视与发展，数学史在数学教学中的融入进程在推进的节奏上也是相对缓慢的。还有一些数学教师对于数学史融入的教学观念以及在教学理念的理解上存在问题，导致这些数学教师在教学实践过程中对数学史的融入不重视，有的教师在小学数学教学中根本不提数学史，有的数学教师只是形式上在教学活动过程中将数学史的融入一带而过或者过于片面的介绍。另外一方面，小学生由于心智以及身体都在成长的过程中，小学生的年龄较小，在知识面上也相对狭隘，心智也没有发育完全，很多的想法不成熟，在心理上也表现不稳定。小学生的这些明显特征也造成在小学数学教学中将数学史融入到各个教学环节上在实践操作中相对困难。在这个过程中需要数学教师不断研习教学方法，发掘教材中关于数学史的内容，结合小学生的心理与心智发展的阶段特征，在小学数学教学活动过程的各个教学环节中更好地将数学史教育融入进课堂教学中，进而获得更好的教学效果，提高小学生的数学素养。

3.数学史在小学数学教学中的意义与价值

3.1激发小学生学习数学的兴趣

小学生学习的基础数学知识，这些基础数学知识为学生在今后的学习中奠定良好的基础，须要重视小学数学教学。在教学过程中教师灵活地将数学史融入到教学过程中，可以激发学生学习数学的兴趣，获得较为理想的教学效果。例如，在数学知识的学习过程中，教师可以融入一个数学史中的故事，小学生对于故事比较感兴趣，通过故事的讲述也吸引了学生的注意力。

如对于圆周率的学习，圆周率是在数学学习中较为基础的知识，其定义是指圆的周长与直径之间的比例，国际上用“π”这个符号来表示圆周率。接着教师对于圆周率的定义进行介绍后，由于概念比较抽象，学生未必完全明白其中的含义。为了让学生更好地理解圆周率，数学教师可以讲述一个关于圆周率的故事来加深学生对于其概念的理解，通过故事的引入将一些分散注意力的小学生又无形中拉回到数学教学过程中。教师继续与学生分享一个数学史上的故事：我国在古代时的数学水平在世界上是较高的，对于数学水平的衡量可以通过一个国家中的数学家对于圆周率的计算精确程度上看出，我国古代的数学家祖冲之，是世界上第一个较为精确计算出圆周率的数学家，祖冲之几千年前就将圆周率精确计算到了第七位，这在一定程度上代表了我国国家在古代的数学发展水平 。通过这个故事学生不仅了解了圆周率的数学发展史故事，也很大程度上提升了学生的自信心与荣誉感，对于数学的价值以及意义也会有更加深入的认识，也引导一部分学生对于数学发生浓厚的兴趣，甚至励志将来要做一名数学家。所以，小学数学教师在教学中要尽量发挥数学史的价值，挖掘更多的数学史知识，不仅拓展了学生的知识面，也激发了小学生学习数学知识的兴趣。

3.2帮助小学生更好地理解数学知识

在数学教材中还是有很多的数学概念以及理论性较强的知识需要小学生学习与应用，尤其是数学概念都是语言的浓缩与升华，极为精炼与概括，这有利于学生的阅读却不利于小学生在学习数学过程中的理解与应用。数学史中会讲述有关的数学知识或者是数学概念的形成以及发展的过程，数学教师可以在数学教学中融入数学史知识，帮助学生更好地理解数学概念以及其他的理论性数学知识。

例如，三角形知识的学习是学生将来学习几何知识的基础，学生对于三角形角度的认识与理解过程中，对于三角形具有稳定性的理解，由于“稳定性”这个概念相对较为抽象，教师在教学中需要将其形象化。教师可以举例，如老式的凤凰牌自行车有一个三脚架，这个三脚架可以提高自行车的稳定性，在使用过程中更好掌握平衡。生活中很多的三角形物体很难挤压变形，而四边形却很容易变形，学校的推拉长铁门就是无数的四边形组成，推拉中可以伸缩，也说明四边形没有较强的稳定性，然而三角形却可以固定很多物体，具有很强的稳定性。通过人们在生活中对于数学知识的应用的发展历史过程的介绍，可以将很多的数学知识形象化、生活化，列举生活中的例子，其实也是人们数学智慧在生活过程中的演变与发展，也是一种数学应用史，有助于小学生更好的理解数学知识。

3.3培养小学生的数学素养

小学生的数学素养也是其人文素养的重要体现，素质教育过程中很重视对于学生的全面发展与人文素养的培育。数学史在教学中更好地融入进去，学生不仅学习到了数学知识，也拓宽了知识面，积累了很多的人文故事，培养学生的人文精神，这在很大程度上会很好地提高小学生的数学素养。数学素养的提高促进了学生人文素养的提高，让学生在学习过程中学会独立思考问题，分析数学问题以及生活中的数学问题，并且将数学知识应用到生活中。人文素养的提高，可以让学生养成较好的学习态度，培育较好的价值观，促进学生的全面发展与进步。

3.4数学教学发展须要融入数学史

随着素质教育的发展，对于人的全面发展也提出了更高的要求，小学教育是一个人在重要成长阶段的重要教育阶段，也是重要的基础教育阶段。在这个成长与教育阶段，小学生学习的数学知识是基础教育知识，对于小学生后期的学习与提高起着重要的作用。在这个阶段也是学生形成独特的兴趣爱好、价值观以及独特个性的重要阶段，在数学教学中融入数学史的教学，对于小学生的成长也具有重要影响力。在小学数学教学过程中，一般可以通过教学的课程内容、数学概念的学习、数学证明方法的学习以及习题的配置与练习等各个教育与教学的环节中融入数学史的教学内容，让小学数学教学在内容上更加地丰富，也更加充分发挥数学史的意义以及应用的价值。

第2篇：圆周率的故事范文

关键词：小学数学；合作学习；教学策略

小组合作教学，被人们亲切地称赞为“近十几年来最重要和最成功的教学改革！”因此，它的出现有效改善了课堂单一、枯燥的被动式教学局面，使得学生在学习中的主体地位得以凸显，学生在合作中不仅学到了知识，更培养了良好的合作学习能力，开发学生智力等，故而，本文认为，在小学数学教学中引入合作教学十分重要。以下笔者将结合自身实践经验，谈一谈自己的措施和想法。

一、创设故事情境，激发合作兴趣

小学生由于年龄小，天真善良使他们对故事有着强烈的热爱。而为了激发小学生合作学习的兴趣，教师可以在实践中采用描述美丽的童话故事或贴近儿童生活故事的手段，为其设置解决身边数学问题的情境，密切数学与生活的联系。新版的数学教材中提供了大量的情境教学内容，图画精美、生动细腻，非常贴近学生的生活，为我们创设情境提供了生动有趣的素材。因此，数学教师可以积极利用这些教学资源，创设故事情境，激发小学生合作学习的兴趣。

例如，在教学《圆》时，其中本单元的知识就包括“圆的认识”“圆的周长”和“圆的面积”等知识，其中以圆的认识为基础，圆的周长和面积的求解为重点和难点，为了使小学生在学习圆的周长和面积知识时，依然具有很浓的兴趣，教师应当在教学圆的认识时做好铺垫。通过采用讲故事的方法，介绍一些有关圆的历史，圆周率的计算过程等，可以激发小学生学习圆知识的兴趣，总之，创设情境，可以将数学知识融入孩子们的生活，让学生乐于接受。

二、布置合作分工，明确学习责任

合作学习，必然需要有明确的责任分工，否则，小组内的成员都做同一件事，或者都不做同一件事，那又何谈合作学习？因此，要想使小学生在合作中真正有所收获，井然有序，教师就一定要确保学生有明确的学习任务，易言之，教师要向学生说明学习的内容和目标、完成任务的方法，评价的标准等。如此，可以避免小组合作学习的盲目性，充分体现小组合作学习的实效性。

比如，在教学《复式条形统计图》一课时，为了让小学生明确知道统计图的由来，教师可以采用小组合作教学的方式，向学生提出学习任务：请大家以小组为单位，调查一下我们班同学对数学、英语、语文这三门学科的喜爱程度，是非常喜欢、普通喜欢还是讨厌呢？如此，让学生结合为学习小组，明确学习分工，在组长的带领下奔向统计的征途。笔者发现，学生的学习积极性较高，有的负责记录、有的负责采访、有的负责总结和分析等，合作学习的气氛热火朝天，学生学习的主动性被充分调动起来。

三、检验学习成果，营造比赛氛围

为了确保小组合作学习不至于流于形式，空留其表，身为教师的我们应当及时检验学生在学习中的成果，确保每一位学生都能从数学课堂中有所收获，而不是白白浪费时间。检验小组合作学习成果的方式有很多，常用的比如课堂提问、趣味竞赛、解题分析等，尤其以趣味竞赛式教学更能调动学生测试的兴趣，因为学生在竞赛中既可以检验自身学到的数学知识，更能融洽学生关系，享受到合作比赛的乐趣。

比如，教师在教学完有关“圆柱和圆锥的表面积”知识后，可以在课堂上组织合作竞赛，比赛哪一组能够在最短的时间内，将圆锥和圆锥的侧面展开图绘制出来，并且折叠为对应的立体图形，如此，不仅可以加深小学生对立体几何的认识，更能培养和提高小学生的动手操作能力，发散学生思维，增进学生合作交流等，是助力于小学生健康成长的措施。小学生的表现欲望很强，希望通过自身的努力，得到教师和同学的关注和认可，而这种小组比赛的形式，恰恰满足了小学生乐于表现、乐于动手的需要，大大激发了小学生课堂参与度，使传统的单一检验学生学习效率的现状一去不复返，学生学习数学知识的兴趣越来越高。

小组合作教学模式，具有丰富的内涵，有利于调动学生学习的主动性，更促进了教学的多样化，开放、包容的学习氛围，使小组成员间相互激励、相互促进，大大提高了学生的学习效率，为了使小组合作学习有效地融入数学实践中，教师可以采用以上教学策略，如创设故事情境，激发合作兴趣；布置合作分工，明确学习责任；检验学习成果，营造比赛氛围等，这是教育改革的需要，也是实施新课标的需要。

参考文献：

[1]薛正斌.小学数学“自主探究、小组合作”教学模式的探索[J].教育实践与研究，2014（1）.

第3篇：圆周率的故事范文

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．下列事件中，必然事件是()

A．掷一枚硬币，正面朝上

B．任意三条线段可以组成一个三角形

C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数

D．抛出的篮球会下落

【考点】随机事件．

【分析】必然事件是指一定会发生的事件．

【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；

B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故B错误；

C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C错误；

D、抛出的篮球会下落是必然事件．

故选：D．

【点评】本题主要考查的是必然事件和随机事件，掌握随机事件和必然事件的概念是解题的关键．

2．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则()

A．m=±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠±2

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】由一元二次方程的定义可知|m|=2，且m﹣2≠0，从而可求得m的值．

【解答】解：方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，

|m|=2，且m﹣2≠0．

解得：m=﹣2．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

3．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是()

A．y=（x+2）2+2B．y=（x+2）2﹣2C．y=x2+2D．y=x2﹣2

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．

【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），

向下平移2个单位，

纵坐标变为﹣2，

向右平移1个单位，

横坐标变为﹣1+1=0，

平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），

所得到的抛物线是y=x2﹣2．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．

4．如图，在O中，∠C=30°，AB=2，则弧AB的长为()

A．πB．C．D．

【考点】弧长的计算；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理求出圆心角∠AOB，然后根据弧长公式求解即可．

【解答】解：∠C=30°，

根据圆周角定理可知：∠AOB=60°，

AOB是等边三角形，

OA=OB=AB=2，

l==π，

劣弧AB的长为π．

故选D．

【点评】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题关键，难度一般．

5．如图，PA和PB是O的切线，点A和点B是切点，AC是O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是()

A．40°B．60°C．70°D．80°

【考点】切线的性质．

【分析】由PA、PB是O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．

【解答】解：连接OB，

AC是直径，

∠ABC=90°，

PA、PB是O的切线，A、B为切点，

∠OAP=∠OBP=90°，

∠AOB=180°﹣∠P=140°，

由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°，

故选C．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接OB，利用直径对的圆周角是直角来解答．

6．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向旋转一个角度到A1B1C1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于()

A．30°B．60°C．90°D．120°

【考点】旋转的性质．

【专题】计算题．

【分析】先利用邻补角的定义可计算出∠CBC1=120°，然后根据性质的性质得到∠CBC1等于旋转角．

【解答】解：∠ABC=60°，

∠CBC1=180°﹣∠ABC=120°，

三角尺ABC绕B点按顺时针方向旋转一个角度到A1B1C1的位置，

∠CBC1等于旋转角，即旋转角为120°．

故选D．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

7．下列命题中假命题的个数是()

①三点确定一个圆；

②三角形的内心到三边的距离相等；

③相等的圆周角所对的弧相等；

④平分弦的直径垂直于弦；

⑤垂直于半径的直线是圆的切线．

A．4B．3C．2D．1

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：①错误，不在同一条直线上的三点确定一个圆；

②正确，三角形的内心到三边的距离相等；

③错误，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

④错误，如果平分的弦是直径，那么平分弦的直径不垂直于弦；

⑤错误，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．

故选A．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8．如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是()

A．B．C．D．

【考点】列表法与树状图法．

【专题】图表型．

【分析】采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．

【解答】解：列表如下：

共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，

即能让灯泡发光的概率是=．

故选C．

【点评】本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9．ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是()

A．2，5B．1，5C．4，5D．4，10

【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心．

【专题】计算题．

【分析】先利用勾股定理的逆定理得到ABC为直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为计算ABC的内切圆的半径，利用斜边为外接圆的直径计算ABC的外接圆的半径．

【解答】解：62+82=102，

ABC为直角三角形，

ABC的内切圆的半径==2，

ABC的外接圆的半径==5．

故选A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了勾股定理的逆定理．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．

10．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是()

A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】由题意二次函数y=x2+x+m知，函数图象开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，可以推出＜0，从而解出m的范围．

【解答】解：已知二次函数的解析式为：y=x2+x+m，

函数的图象开口向上，

又当x取任意实数时，都有y＞0，

有＜0，

=1﹣4m＜0，

m＞，

故选B．

【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，当函数图象与x轴无交点时，说明方程无根则＜0，若有交点，说明有根则≥0，这一类题目比较常见且难度适中．

11．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是()

A．πB．2πC．3πD．4π

【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．

【分析】作ODAB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC求解．

【解答】解；如图，作ODAB于点D，连接AO，BO，CO，

OD=AO，

∠OAD=30°，

∠AOB=2∠AOD=120°，

同理∠BOC=120°，

∠AOC=120°，

阴影部分的面积=S扇形AOC==3π．

故选C．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

12．如图，AB为O的直径，作弦CDAB，∠OCD的平分线交O于点P，当点C在下半圆上移动时，（不与点A、B重合），下列关于点P描述正确的是()

A．到CD的距离保持不变B．到D点距离保持不变

C．等分D．位置不变

【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】首先连接OP，由∠OCD的平分线交O于点P，易证得CD∥OP，又由弦CDAB，可得OPAB，即可证得点P为的中点不变．

【解答】解：不发生变化．

连接OP，

OP=OC，

∠P=∠OCP，

∠OCP=∠DCP，

∠P=∠DCP，

CD∥OP，

CDAB，

OPAB，

=，

点P为的中点不变．

故选D．

【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

13．二次函数y=x2+2x的顶点坐标为（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．

【考点】二次函数的性质．

【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．

【解答】解：y=x2+2x=（x+1）2﹣1，

二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．

故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法，熟练配方是解题关键．

14．已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为cm．

【考点】正多边形和圆．

【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．

【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OGAB于点G．

在RtAOG中，

OA=2cm，∠AOG=30°，

OG=OA•cos30°=2×=（cm）．

故答案为：．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

15．如图，O是ABC的外接圆，∠B=60°，O的半径为4，则AC的长等于4．

【考点】圆周角定理；垂径定理．

【分析】连接OA，OC，过点O作ODAC于点D，由圆周角定理求出∠AOC的度数，再由垂径定理得出AD=AC，∠AOD=∠AOC，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，进而可得出结论．

【解答】解：连接OA，OC，过点O作ODAC于点D，

∠B=60°，

∠AOC=120°．

ODAC，OA=4，

AD=AC，∠AOD=∠AOC=60°，

AD=OA•sin60°=4×=2，

AC=2AD=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理及直角三角形的性质求解是解答此题的关键．

16．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为108πcm2．

【考点】圆锥的计算．

【分析】首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．

【解答】解：设AO=B0=R，

∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，

=12π，

解得：R=18，

圆锥的侧面积为lR=×12π×18=108π，

故答案为：108π．

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．

17．如图，RtOAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90°，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（，2）．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．

【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．

【解答】解：RtOAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，

4=4a，解得a=1，

抛物线为y=x2，

点A（﹣2，4），

B（﹣2，0），

OB=2，

将RtOAB绕点O顺时针旋转90°，得到OCD，

D点在y轴上，且OD=OB=2，

D（0，2），

DCOD，

DC∥x轴，

P点的纵坐标为2，

代入y=x2，得2=x2，

解得x=±，

P（，2）．

故答案为（，2）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．

18．如图，P是抛物线y=x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的值为6．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．

【解答】解：y=﹣x2+x+2，

当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，

解得x=2或x=﹣1

故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），

C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．

当x=1时，C值=6，．

即四边形OAPB周长的值为6．

故答案是：6．

【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．

三、解答题（共6小题，满分60分）

19．用适当方法解方程：

（1）x2﹣2x﹣3=0

（2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

（2）整理成（x﹣3）2=（5﹣2x）2，然后用直接开平方法求解即可．

【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3=0，

（x﹣3）（x+1）=0

x﹣3=0或x+1=0，

x1=3x2=﹣1；

（2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2．

（x﹣3）2=（5﹣2x）2

x﹣3=±（5﹣2x）

x1=2，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

20．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．

【考点】根的判别式；根与系数的关系．

【分析】（1）因为方程有两个实数根，所以≥0，据此即可求出m的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1代入2（x1+x2）+x1x2+10=0，解关于m的方程即可．

【解答】解：（1）方程有两个实数根，

≥0，

9﹣4×1×（m﹣1）≥0，

解得m≤；

（2）x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1，

又2（x1+x2）+x1x2+10=0，

2×（﹣3）+m﹣1+10=0，

m=﹣3．

【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，直接将两根之和与两根之积用m表示出来是解题的关键．

21．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长．

【考点】圆锥的计算．

【分析】根据题意，运用弧长公式求出AB的长度，即可解决问题．

【解答】解：如图，由题意得：

，而r=2，

AB=6，

由勾股定理得：

AO2=AB2﹣OB2，而AB=6，OB=2，

AO=4．

即该圆锥的高为4．

【点评】该题主要考查了圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．

22．为了落实国家的惠农政策，某地政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系：

Ⅰ型收割机Ⅱ型收割机

投资金额x（万元）x5x24

补贴金额x（万元）y1=kx2y2=ax2+bx2.43.2

（1）分别求出y1和y2的函数解析式；

（2）旺叔准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机．请你设计一个能获得补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的补贴金额．

【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）利用待定系数法直接就可以求出y1与y2的解析式．

（2）设总补贴金额为W万元，购买Ⅰ型收割机a万元，购买Ⅱ型收割机（10﹣a）万元，建立等式就可以求出其值．

【解答】解：（1）设购买Ⅰ型收割机补贴的金额的解析式为：y1=kx，购买Ⅱ型收割机补贴的金额的解析式为y2=ax2+bx，由题意，得

2=5k，或，解得

k=，

，

y1的解析式为：y1=x，y2的函数解析式为：y2=﹣x2+1.6x．

（2）设总补贴金额为W万元，购买Ⅰ型收割机a万元，则购买Ⅱ型收割机（10﹣a）万元，由题意，得

W=a+[﹣（10﹣a）2+1.6（10﹣a）]，

=﹣（a﹣7）2+．

当a=7时，W有值万元，

买Ⅰ型收割机7万元、Ⅱ两型收割机3万元可以获得补贴万元．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用．在求解析式中，待定系数法时常用的方法．二次函数的一般式化顶点式是求最值的常用方法．

23．如图，AC是O的直径，PA切O于点A，点B是O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°．

（1）求证：PB是O的切线；

（2）若O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．

【考点】切线的判定．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）连接OB，证PBOB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证．

（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，运用三角函数求解．

【解答】（1）证明：连接OB．

OA=OB，

∠OBA=∠BAC=30°．

∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°．

PA切O于点A，

OAPA，

∠OAP=90°．

四边形的内角和为360°，

∠OBP=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°．

OBPB．

又点B是O上的一点，

PB是O的切线．

（2）解：连接OP；

PA、PB是O的切线，

PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．

在RtOAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

OP=2OA=2×2=4，

PA=．

PA=PB，∠APB=60°，

PA=PB=AB=2．

（此题解法多样，请评卷老师按解题步骤给分）

【点评】此题考查了切线的判定、切线长定理、三角函数等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

24．如图，抛物线y=x2+bx﹣c与x轴交A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；

（2）点M是线段AC上的点（不与A，C重合），过M作MF∥y轴交抛物线于F，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MF的长；

（3）在（2）的条件下，连接FA、FC，是否存在m，使AFC的面积？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式求出b和c的值即可求出抛物线解析式；再把点C的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC的表达式；

（2）已知点M的横坐标为m，点M又在直线AB上，所以可求出其纵坐标，而点F在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m的代数式表示MF的长；

（3）存在m，使AFC的面积，设直线MF与x轴交于点H，作CEMF于E，由SAFC=MF（AH+CE），可得关于m的二次函数关系式，根据函数的性质即可求出AFC的值．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）带入y=x2+bx﹣c得，

解得：，

解析式为：y=x2﹣2x﹣3，

把x=2带入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，

C（2，﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）带入得

解得：，

直线AC的解析式为y=﹣x﹣1；

（2）点M在直线AC上，

M的坐标为（m，﹣m﹣1）；

点F在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，

F点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），

MF=（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；

（3）存在m，使AFC的面积，理由如下：

设直线MF与x轴交于点H，作CEMF于E，

SAFC=MF（AH+CE）=MF（2+1）=MF，

=（﹣m2+m+2），

=﹣（m﹣）2+≤

第4篇：圆周率的故事范文

一、貌似“确定事件”实为“不确定事件”

图1

例1.如图1所示，在半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长超过该圆内接等边三角形的边长3的概率是多少？

这一事件看起来是一“确定事件”，实际上由于没有明确弦上的某一点在圆内（或圆上）出现的可能性，所以上述事件是“不确定事件”，因而具有多种可能的概率。现给弦上的点加上一定的限制条件，使其变为“确定事件”，满足几何概型的前提条件之一是每个基本事件发生的可能性是一样的，即“等可能性”。于是就有如下的一些可能：

条件1：弦的端点在圆周上均匀分布

任何弦交圆两点，不失一般性，先固定其中一点A在圆周上，以此点为顶点作一等边三角形ABC，如图2所示。显然过A点的弦只有落ABC内，即D点落在弧BC上才满足要求，而D点跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率为1/3。

条件2：弦的中点在直径上均匀分布

弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，如图3所示。因为弦垂直于一条直径，当且仅当它与圆心的距离（图3中的CO）小于1/2时，其长度才大于3，因此所求概率为1/2。

条件3：弦的中点在圆内均匀分布

弦长被其中心唯一确定，当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时，弦长大于3，如图3所示。此小于圆的面积为大圆面积的1/4，因此所求的概率为1/4。

图2 图3 图4

当然，还可以加上其他一些限制条件。从上面的计算结果可以看出，在回答例1中事件的概率时，必须要指明所加的条件，否则就无法回答。

二、貌似“不确定事件”实为“确定事件”

例2.一弹簧振子做振幅为A的简谐运动，试求振子出现在－A/2＜x＜A/2区域内的概率。

如图5所示，弹簧振子在MN之间运动。从学生的答案中，可归纳为下面两种情况：

图5

（1）振子在MN之间按空间均匀分布，此时的概率为1/2。

（2）振子在MN之间按时间均匀分布，此时的概率为1/3。

当把这两种情况公布后，有的学生立即认为，这两种情况都有可能，例2的事件为“不确定事件”。

上述两种情况，是不是都成立？若对简谐运动的过程（振子的位移随时间的变化关系如图6所示）很清楚，就不会有上面情况（1）出现。时间是“均匀流逝的”，弹簧振子在MN之间的运动只能是“在时间上均匀分布”，即情况（2）反映的是实际情况。因此，例2为“确定事件”，概率为“在一个周期内，振子经过－A/2＜x＜A/2的时间t与周期T之比”，如图6所示，可得结果为1/3。

图6

第5篇：圆周率的故事范文

一、选择题（每小题3分，共42分）1．下列各点中，在函数y=﹣ 图象上的是（）　 A． （﹣2，﹣4） B． （2，3） C． （﹣1，6） D． （﹣ ，3）考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 根据反比例函数中k=xy的特点对各选项进行分析即可．解答： 解：A、（﹣2）×（﹣4）=8≠﹣6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、2×3=6≠﹣6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、（﹣1）×6=﹣6，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D、（﹣ ）×3=﹣ ≠﹣6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选C．点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标符合k=xy是解答此题的关键．　2．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）　 A． k＜1 B． k＞1 C． k=1 D． k≥0考点： 根的判别式． 分析： 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b2﹣4ac的值的符号就可以了．解答： 解：关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1，b=2，c=k，=b2﹣4ac=22﹣4×1×k＞0，k＜1，故选：A．点评： 此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．　3．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（） 　 A． 1 B． C． D． 考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题．分析： 根据展开的半圆就是底面周长列出方程．解答： 解：根据题意得： ，解得r= ，故选C．点评： 本题的关键是明白展开的半圆就是底面周长．　4．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（） 　 A． B． C． D． 考点： 解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质． 专题： 计算题．分析： 根据旋转的性质可得AC′=AC，∠BAC′=30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．解答： 解：根据题意，AC′=AC=1，∠B′AB=15°，∠BAC′=45°﹣15°=30°，C′D=AC′tan30°= ，S阴影= AC′•C′D= ×1× = ．故选B． 点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大．　5．已知二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）　 A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定考点： 二次函数图象上点的坐标特征． 分析： 本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．解答： 解：根据题意得：m（m﹣2）=0，m=0或m=2，二次函数的二次项系数不为零，所以m=2．故选C．点评： 此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意．　6．如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径为 ，AC=2，则DC的值是（） 　 A． 2 B． C． 2.5 D． 4考点： 圆周角定理；勾股定理． 分析： 根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD的度数，根据勾股定理计算得到答案．解答： 解：连接CD，AD是O的直径，∠ACD=90°，O的半径为 ，AD=3，DC= = ．故选：B． 点评： 本题考查的是圆周角定理和勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．　7．如图，ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（） 　 A． B． C． D． 考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 先判定四边形C′DCE是菱形，再根据菱形的性质计算．解答： 解：设CD=x，根据C′D∥BC，且有C′D=EC，可得四边形C′DCE是菱形；即RtABC中，AC= =10， ，EB= x；故可得BC=x+ x=8；解得x= ．故选A．点评： 本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．　8．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（）　 A． B． C． D． 考点： 列表法与树状图法；根的判别式． 专题： 压轴题．分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．解答： 解：画树状图得：x2+px+q=0有实数根，=b2﹣4ac=p2﹣4q≥0，共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1）共3种情况，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是： = ．故选A． 点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比．　9．如图，AB是O的直径，AB=2，点C在O上，∠CAB=30°，D为 的中点，点P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值是（） 　 A． 1 B． C． D． 考点： 轴对称-最短路线问题；圆周角定理． 专题： 压轴题．分析： 作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在COD′中根据边角关系即可求解．解答： 解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．又点C在O上，∠CAB=30°，D为 的中点，即 = ，∠BAD′= ∠CAB=15°．∠CAD′=45°．∠COD′=90°．则COD′是等腰直角三角形．OC=OD′= AB=1，CD′= ．故选B． 点评： 本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．　10．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G．若BG=4 ，则CEF的面积是（） 　 A． B． 2 C． 3 D． 4考点： 平行四边形的性质． 分析： 首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在RtABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，证明ABE∽FCE，再分别求出ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．解答： 解：AE平分∠BAD，∠DAE=∠BAE；又四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∠BEA=∠DAE=∠BAE，AB=BE=6，BGAE，垂足为G，AE=2AG．在RtABG中，∠AGB=90°，AB=6，BG=4 ，AG2，AE=2AG=4；SABE= AE•BG= ×4×4 =8 ．BE=6，BC=AD=9，CE=BC﹣BE=9﹣6=3，BE：CE=6：3=2：1．AB∥FC，ABE∽FCE，SABE：SCEF=（BE：CE）2=4：1，则SCEF= SABE=2 ．故选B．点评： 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．　11．已知反比例函数y= （a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y=﹣ax+a的图象不经过（）　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限考点： 一次函数的性质；反比例函数的性质． 分析： 通过反比例函数的性质可以确定a＞0，然后由一次函数的性质即可确定一次函数图象经过的象限．解答： 解：反比例函数y= （a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，a＞0，﹣a＜0，一次函数y=﹣ax+a的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．点评： 本题主要考查了反比例函数图象的性质和一次函数图象的性质．　12．如图，直线l和双曲线 （k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设AOC面积是S1，BOD面积是S2，POE面积是S3，则（） 　 A． S1＜S2＜S3 B． S1＞S2＞S3 C． S1=S2＞S3 D． S1=S2＜S3考点： 反比例函数系数k的几何意义． 分析： 由于点A在y= 上，可知SAOC= k，又由于点P在双曲线的上方，可知SPOE＞ k，而点B在y= 上，可知SBOD= k，进而可比较三个三角形面积的大小解答： 解：如右图，点A在y= 上，SAOC= k，点P在双曲线的上方，SPOE＞ k，点B在y= 上，SBOD= k，S1=S2＜S3．故选；D． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是观察当x不变时，双曲线上y的值与直线AB上y的值大小．　13．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定． 专题： 网格型．分析： 根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．解答： 解：根据题意得：AB= = ，AC= ，BC=2，AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；C、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与ABC相似；D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似．故选C．点评： 此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．　14．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，则下列等式成立的是（） 　 A． b2=ac B． b2=ce C． be=ac D． bd=ae考点： 相似三角形的判定与性质；直角梯形． 分析： 根据∠CDB=∠DBA，∠C=∠BDA=90°，可判定CDB∽DBA，利用对应边成比例，即可判断各选项．解答： 解：CD∥AB，∠CDB=∠DBA，又∠C=∠BDA=90°，CDB∽DBA， = = ，即 = = ，A、b2=ac，成立，故本选项正确；B、b2=ac，不是b2=ce，故本选项错误；C、be=ad，不是be=ac，故本选项错误；D、bd=ec，不是bd=ae，故本选项错误．故选A．点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断CDB∽DBA，注意掌握相似三角形的对应边成比例．　二、填空题（每小题3分，共15分）15．在反比例函数y= 的图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是　k＜2015　．考点： 反比例函数的性质． 分析： 对于函数y= 来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．解答： 解：反比例函数y= 的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，k﹣2015＜0，k＜2015．故答案为：k＜2015．点评： 本题考查反比例函数y= 的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为k＜0．　16．如图，ABC与AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DE=CF；③ADE∽FDB；④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是　①③④　． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 压轴题．分析： 先根据已知条件证明AEF≌ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．解答： 解：在ABC与AEF中AB=AE，BC=EF，∠B=∠EAEF≌ABC，AF=AC，∠AFC=∠C；由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知：ADE∽FDB；∠EAF=∠BAC，∠EAD=∠CAF，由ADE∽FD，B可得∠EAD=∠BFD，∠BFD=∠CAF．综上可知：①③④正确．点评： 本题是一道基础题，但考查的知识点较多，需要根据条件仔细观察图形，认真解答．　17．如图，L1是反比例函数y= 在第一象限内的图象，且过点A（2，1），L2与L1关于x轴对称，那么图象L2的函数解析式为　y= 　（x＞0）． 考点： 待定系数法求反比例函数解析式． 专题： 待定系数法．分析： 把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．解答： 解：y= 过点A（2，1），得它的解析式为y= ，由反比例函数及轴对称的知识，l2的解析式应为y=﹣ ．故答案为：y=﹣ ．点评： 本题考查反比例函数及对称的知识，难度不大．还考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y= ，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．　18．锐角ABC中，BC=6，SABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=　3　，公共部分面积y，y值=　6　． 考点： 二次函数的应用． 专题： 压轴题；动点型．分析： 公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．为正方形时可求出面积的值，为矩形时需求面积表达式再求值．解答： 解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．（1）求公共部分是正方形时的面积，作ADBC于D点，交MN于E点，BC=6，SABC=12，AD=4，MN∥BC， 即 ，解得x=2.4，此时面积y=2.42=5.76．（2）当公共部分是矩形时如图所示：设DE=a，根据 得 = ，所以a=4﹣ x，公共部分的面积y=x（4﹣ x）=﹣ x2+4x，﹣ ＜0，y有值，当x=﹣ =3时，y值= =6．综上所述，当x=3时，公共部分的面积y，值为6． 点评： 此题需分类讨论，综合比较后得结论．　19．如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1，2，3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则ABC的面积是　144　． 考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题．分析： 根据平行可得出三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，设其中一边为一求知数，然后计算出的三角形与最小的三角形的相似比，从而求面积比．解答： 解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，1、2的面积比为4：9，1、3的面积比为4：49，它们边长比为2：3：7，又四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，DM=BG，EM=CH，设DM为2x，BC=（BG+GH+CH）=12x，BC：DM=6：1，SABC：SFDM=36：1，SABC=4×36=144．故答案为：144． 点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．　三、解答题（共63分）20．将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地抽取一张，求P（偶数）；（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数恰好为“68”的概率是多少？考点： 概率公式． 专题： 压轴题．分析： 根据概率的求法，找准两点：1，全部情况的总数；2，符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答： 解：（1）根据题意分析可得：三张卡片，有2张是偶数，故有：P（偶数）= ；（2分）（2）能组成的两位数为：86，76，87，67，68，78，（4分）恰好为“68”的概率为 ．（6分）点评： 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　21．已知图中的曲线函数 （m为常数）图象的一支．（1）求常数m的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为A（2，n），求点A的坐标及反比例函数的解析式． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 计算题；压轴题；待定系数法．分析： （1）曲线函数 （m为常数）图象的一支．在第一象限，则比例系数m﹣5一定大于0，即可求得m的范围；（2）把A的坐标代入正比例函数解析式，即可求得A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式．解答： 解：（1）根据题意得：m﹣5＞0，解得：m＞5；（2）根据题意得：n=4，把（2，4）代入函数 ，得到：4= ；解得：m﹣5=8．则反比例函数的解析式是y= ．点评： 本题考查了反比例函数的性质及与一次函数的交点问题，综合性较强，同学们要熟练掌握．　22．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且当x=﹣1时，y=﹣1，当x=2时，y=5，求y关于x的函数关系式．考点： 待定系数法求反比例函数解析式． 专题： 待定系数法．分析： 首先根据题意，分别表示出应表示出y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．解答： 解：y1与x成正比例，y2与x成反比例，y1=kx，y2= ．y=y1+y2，y=kx+ ，当x=﹣1时，y=﹣1；当x=2时，y=5，﹣1=﹣k﹣m，5=2k+ ，解得k=3，m=﹣2．y=3x﹣ ．点评： 解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的．　23．如图，O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：CBE∽AFB；（2）当 时，求 的值． 考点： 圆周角定理；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题．分析： （1）首先根据三角形的中位线定理证明CD∥BF，从而得到∠ADC=∠F．根据圆周角定理的推论得到∠CBE=∠ADE；可得到∠CBE=∠F．再根据圆周角定理的推论得到∠C=∠A；根据两个角对应相等，证明两个三角形相似；（2）根据（1）中的相似三角形的对应边成比例以及AF=2AD，可求得 的值．解答： （1）证明：AE=EB，AD=DF，ED是ABF的中位线，ED∥BF，∠CEB=∠ABF，又∠C=∠A，CBE∽AFB．（2）解：由（1）知，CBE∽AFB， ，又AF=2AD， ．点评： 本题主要考查三角形中位线定理、平行线的性质、圆周角定理的推论以及相似三角形的性质和判定等知识．　24．（10分）（2014秋•莒南县期末）如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的M与AB交于C，连接CM．（1）求M的半径；（2）若D为OA的中点，求证：CD是M的切线；（3）求线段ON的长． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）由OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB为M的直径，即可得到M的半径．（2）连MD，OC，由OB为M的直径，得∠OCB=90°，则∠OCD=90°，由于D为OA的中点，所以CD= OA=OD，因此可证明MCD≌MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是M的切线；（3）利用∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°证得NOM∽NCD，然后根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．解答： 解：（1）OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，得OB=3，故M的半径为1.5；（2）BM=CM=1.5，∠OBA=∠BCM．连结OC，OB是M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点OD=AD=CD=2，∠OAC=∠ACD，又∠OAC+∠OBA=90°，∠BCM+∠ACD=90°，∠NCD=90°，CD是M的切线．（3）由题得∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，NOM∽NCD， = ，即 = ，NO= ． 点评： 本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了直径所对的圆周角为90度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形全等的判定和性质．　25．（10分）（2014秋•莒南县期末）正方形ABCD边长为2 ，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．（1）证明：ACAF；（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？ 考点： 几何变换综合题． 分析： （1）由已知条件及正方形的性质易证CDE≌ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，进而可得∠CAF=90°，即ACAF；（2）若AD2=AE×AC，再由条件∠CAD=∠EAD=45°，易证EAD∽DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，继而证明四边形AEDF为正方形；（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则DE最小四边形的周长最小，问题得解．解答： 解：（1）四边形ABCD是正方形，∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，∠EDF=90°，∠CDE=∠ADF，在CDE和ADF中， ，CDE≌ADF，∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∠CAF=90°，即ACAF；（2）AD2=AE×AC， ∠CAD=∠EAD=45°，EAD∽DAC，∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，四边形AEDF为正方形（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，则当DE最小时，四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，当DEAC时，E点运动到AC中点位置时，此时DE=2四边形AEDF的周长最小值为8．点评： 本题属于几何变换综合题的考查，用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题．　26．（13分）（2014秋•莒南县期末）已知A（1，2），B（m， ）是双曲线上的点．求：（1）过点A，B的双曲线解析式；（2）过点A，B的直线方程；（3）过点A，B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式；（4）（i）已知n＞0，代数式n+ 由配方法可得n+ =（ ﹣ ）2+4，则代数式n+ 的最小值是　4　．（ii）若P为双曲线AB段上的任意一点，求PAB的面积的值． 考点： 反比例函数综合题． 专题： 综合题．分析： （1）设反比例解析式为y= ，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式即可；（2）把B坐标代入反比例解析式求出m的值确定出B坐标，设直线AB解析式为y=mx+n，把A与B坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线AB解析式；（3）若顶点在x轴上，则该抛物线与x轴有且只有一个交点，设抛物线为y=a（x﹣h）2，把A与B坐标代入求出a与h的值，即可确定出满足题意的抛物线解析式；（4）（i）根据配方的结果，利用非负数的性质求出所求式子的最小值即可；（ii）如图，设P（m， ）为双曲线上AB段的任意一点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，表示出Q坐标，进而表示出PQ的长，表示出S与m的二次函数解析式，利用二次函数性质求出S的值即可．解答： 解：（1）设反比例解析式为y= ，把点A（1，2）代入双曲线y= ，得：2= ，即k=2，则过点A、B的双曲线为y= ；（2）点B（m， ）在双曲线为y= 上，m=4，即B（4， ），设直线AB解析式为y=mx+n，把A与B坐标代入得： ，解得：m=﹣ ，n= ，则过点A、B的直线方程y=﹣ x+ ；（3）设抛物线为y=a（x﹣h）2，把点A、B代入得 ，解得：a= ，h=7或a= ，h=3，则过点A，B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式为y= （x﹣7）2或y= （x﹣3）2；（4）（i）n＞0，n+ =（ ﹣ ）2+4≥4，则代数式n+ 的最小值是4；故答案为：4；（ii）如图，设P（m， ）为双曲线上AB段的任意一点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，则Q（m，﹣ m+ ），PQ=﹣ m+ ﹣ ，S= ﹣ ﹣ = ﹣3（ + ）≤ ﹣3= ，则PAB的面积的值是 ． 点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，非负数的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

第6篇：圆周率的故事范文

一、填一填，相信你能行！(每题2分，20分)

1.点A在图上的位置可用（4,6）表示，如果点A向左平移2个单位，其位置应表示为（ , ）, 如果点A向上平移1个单位，其位置表示为（　 ， ）。

2. 27÷（　 ）=（ ）%= （ ）=0.45 =（ ）：（　 ）

3. 一辆汽车 小时行驶了80千米，它的路程与时间的最简整数比是（ ），比值是（　 ）。

4．在一个边长为6厘米的正方形里画一个的圆，这个圆的直径是（　 ），面积是（ ）。

5.新华书店开学初所有图书打九折，小明以9.9元的价钱买了一本《绿山墙的安妮》，这本书的原价（　 ）元，优惠了（ ）元。

6. 500千克菜籽能榨出油340千克，这批菜籽的出油率是（　 ）。

7. 有10吨媒，第一次用去15 ，第二次用去15 吨，还剩下（　 ）吨媒。

8．王妈妈在银行存8000元，按年利率3.6％计算，存满三年应得利息（ ）元。

9.张老师一次稿酬所得时3500元，按照税法规定，超过1600元的部分应该按照20%的税率缴纳个人所得税，张老师应该缴纳的个人所得税是（ ）元。

10.一桶水可装满10碗或12杯，倒入5杯水和3碗水在空桶内，水面高度占桶高度的（　 ）（　 ） 。

二、认真选择。(5分)

1. 20千米比（　 ）少20%

A　 24千米 B 22千米　 C　 25千米　 D 26千米

2．甲数比乙数少 ，甲乙两数的比是（　 ）

A. 5:4　 B 4:3　 C 3:4 D 4:5

3.把20克盐溶解在100克水中，盐和盐水的最简比是( )。

A 20∶100 B C D 20：120

4.为了绿化城市，某街道要栽种一批树苗，这批树苗的成活率是80%～90%，如果要栽活720棵，至少要栽种（ ）棵。

A 1000 B 900　 C 800 D700

5.下图中的六个圆大小一样，若半径是r，则长方形的面积为（ ）。

A 6r2　 B 24r2　 C 12r2 D 20r2

三、明辨是非，判断对错（5分）

1.因为 ×3=1，所以 是倒数。　 （ ）

2.刘师傅做100个零件，合格率是95%，如果再做2个合格零件，那么合格率到

达到97%。　 （ ） 3．因为 35 = 60%，所以 35 米 = 60%米。 ( )

4.大圆的圆周率比小圆的圆周率大。 ( )

5.一种商品，先降价10%，后又涨价10%，商品价格比原来提高了。 （ ）

四、争当神算手（10+12+6+6=34分）

1．直接写出得数

27 ×2＝ 1419 ÷ 719 = × =　 1÷37.5%＝　 12 ×13 ÷12 ×13 =

712 + 12 = ÷ = 500×3%＝　 2.1×27 =　 1÷ - ÷1=

2.用递等式计算下面各题。

15 ＋ 29 × 1.8　 59 × 34 ＋59 × 14

+( - )÷　 ÷[（ - ）× ]

3.解方程。

8 -3.6=5.4 -　 =21　 ＋ =

4．列式计算

（1） 47 的倒数，加上34 与23 的积，和是多少？

（2）一个数的80%等于120的56 ，这个数是多少？

五、动手画一画，算一算（4+6=10分）

1.越野赛跑全程2千米，小红已跑了 千米，请在图上标出小红已跑路程。并说明简要的过程。

2千米

2、请在下图的长方形草地中画一个的半圆形的花坛，并算出这半圆形花坛的的周长和面积。

六、用你学的数学知识解决数学问题。(26分)

1.王老师参加健美运动后，体重从原来60千克减轻到54千克。减轻了百分之几？

2.育才小学六年级有学生180人，六年级的学生人数比五年级多 。六年级有学生多少人？

3.有一个直径是8米的圆形花坛，在它的修一条宽3米的小路，求这条小路的面积是多少？

第7篇：圆周率的故事范文

【关键词】兴趣；情境；创设

随着新课程改革的不断深入，新的课程理念正在逐渐更新着教师的教学观，作为一名数学教师，要做到“目中有人，心中有情，课中有境”.在课堂教学中，尤其应创设真实的问题情境或生动的学习环境，以充分挖掘学生的探索与创新潜能，使学生真正“卷入”教师所预设的有效教学活动中.就目前高中数学教学现状而言，学生在数学上投入的时间、精力、金钱很多，这从学生周末、节假日的课外辅导以数学为主就可看出，然而效果却不尽如人意.在考试压力下的题海战术教学很大程度上忽略了学生与数学环境之间的互动.学生与数学之间缺乏情感，只是被动地在使用背过的、学过的公式、定理解答出一个答案.而数学学习的实质是需要学生与数学环境相互作用的过程.

既然情境教学能够引起学生好奇、好动、好问的心理特征，使他们乐于学，那么该运用什么样的手法创设情境呢？笔者认为主要有以下几种：

一、创设实物和实验情境，激发学生兴趣

如上“椭圆”第一课时，教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，让学生观察有关椭圆的实物模型，如圆的直观图、圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生对椭圆有一个直观的了解.为了强调椭圆的定义，教师事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆.画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才的两名学生按同样的要求作图.学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义.

二、创设故事情境，激发学生兴趣

故事，大家都非常喜欢.因为故事的情节引人入胜，能够引起人们的注意力，故事里充满了令人们向往的东西.而且学生通常能从故事的寓意里得到感悟和引发思考，从而激发学习数学的兴趣.如上“等比数列求和”时，这样导入新课：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了房地产老总.可好景不长，八戒便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找师傅唐僧和师兄悟空帮忙.唐僧和悟空一口答应：“行！”唐僧和悟空都答应每天投资100万元，但唐僧要求第一天10万元利息，以后每天比前天增加20万元利息，连续还30天.悟空的条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍，连续30天.八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元……哇，发财了，向悟空借比向师傅借合算……” 心里越想越美，故决定向悟空借.此时问题出现了，假如你是八戒地产公司的总参谋，请你帮八戒分析一下，究竟向谁借合算？要是向悟空借，八戒能够吸纳多少资金，又该返还悟空多少钱呢？八戒是赚还是赔呢？（事实上八戒要还悟空10亿元）此问题的提出，立马就会使同学们产生极大的兴趣去进行换算，这样一来无形之中既复习了等差数列求和，又把等比数列的意义以及求和方法教授给了学生.通过这样的一种方法，能够极大程度地调动学生的学习兴趣，进而对所学的知识也产生一种兴趣，趣味性数学情景的教学有助于学生学习兴趣的提高.

三、创设悬念情境，激发学生兴趣

悬念设置于课始，可以激发学生强烈的求知欲；悬念设置于课尾，则具有“欲知后事如何，且听下回分解”的魅力.悬念是牵制学生思维的线，学生好动、好奇、好胜，教师应抓住学生的心理特点设置悬念.比如在上“指数函数”这一章节的时候，我讲了一个百万富翁破产的故事：一个叫杰米的百万富翁，一天他碰到了一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍，杰米非常高兴，他同意订立这样的合同.如果是你们，你们是否愿意订立这样的合同？学生刚开始都很高兴地说愿意，看到我笑后又想想可能有什么不对的地方，于是齐声说不要这样的合约.那么到底谁更为合算？能否用我们的数学知识来进行探讨？此时学生的兴致达到极点，并由此发现其实际为一个“指数爆炸”的现象.

四、创设生活情境， 使数学生活化

认知最牢靠、最根深蒂固的部分就是生活中经常接触和经常使用的知识，有些已经进入了我们的潜意识.如果能把新知识巧妙地融入生活情境中，那将会是学生非常欢迎的，一旦接受也会被牢固掌握.例如，在上“圆”这一章节时，教师问：车轮为什么要做成圆的啊？教师同时把古代、现代的车轮投影出来.有同学想搞一下创新，把它做成三角形、正方形等，大家说行不行？这时，学生就七嘴八舌讨论起来：圆的才能动啊！三角形、正方形的车轮转动时一高一低啊！圆形到地面的距离才处处相等，人才能平稳地坐在车上啊！因为圆每一点到中心的距离相等，这样才不颠簸.这样，经过大家的讨论，自然地得出圆的定义：“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.”学生的学习兴趣被教师调动起来了，这节课的效果自然就好了.又如在引入“两个平面垂直的判定定理”时，教师提出：建造一座大楼，怎样才能使墙面与地面垂直呢？学生很快会联想到建筑工人常常用一端系着铅锤的细绳让其垂直地面，并以这根绳子为参照，看看所砌的墙是否经过这条细绳.然后问：为什么若墙面经过这条绳子，所砌的墙就与地面垂直呢？还可以引导学生观察教室门板与地面的位置关系：它们是否垂直？转动门扇是否还与地面保持垂直？奇怪吗？为什么？到底隐藏着数学上的什么奥秘？由这些亲切真实的情景，导出两个平面垂直的判定定理就水到渠成了.

五、创设信息型情境，让信息技术走进数学

著名数学家华罗庚说过：“人们对数学早就产生了枯燥乏味、神秘难懂的印象，成因之一是脱离实际.”因此，我们可充分地利用现代教学媒体，创设丰富、直观、生动、有趣的生活情境，改善认知环境，化抽象为具体，有利于学生对知识的理解和掌握.如进行函数y=Asin（ax+b）的图像教学，可通过一定的编程程序，在计算机屏幕上展现由y=sinx的图像经变化相位、周期、振幅等得到y=Asin（ax+b）图像的动态变化过程，同时可以针对学生的认知误区，通过画面图像的闪烁和不同色彩，清楚的表示相位，周期的顺序所带来的不同.又如在讲解“数学归纳法”时，可以先用多媒体演示“多米诺骨牌”效应（或实物演示实验），通过这一问题情境的创设可以使学生很快地理解并掌握数学归纳法的定义与本质.

六、利用数学史话创设问题情境，激发学生的学习兴趣

教师在讲到几何概型时，可引入我国古代数学家祖冲之早在一千五百多年前就算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间的例子，让学生再做一回小“祖冲之”：数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4608颗，他们所测得的圆周率为 3.3，教师可在课堂上用课件模拟，然后引导学生，怎样才能更接近π呢？这样就会对几何概型产生了极大的兴趣，急切想知老师是如何求出来的，几何概型的概念就在不自觉中掌握了.

兴趣是最好的老师.创设情境是一种发现问题、积极探求的心理取向.数学课上的情境创设应该为学生学习数学服务，应该让学生用数学的眼光关注情境，情境应是数学知识和技能学习的支撑，是数学思维发展的土壤. 数学课堂情境创设也是一门学问、一种艺术，只要大家运用智慧、结合实际，就一定能激发学生的学习兴趣，进而提高课堂教学效率.

【参考文献】

[1]秘立方.素质教育（教师教育）[J].2011（3）.

[2]潘振嵘. 课堂教学中创设问题情景的尝试[J].数学通讯，2003（11）.

[3]吕金城.浅谈课堂兴趣激励与高等数学教学革新[J].教育与职业，2006（5）.

[4]王道岭.新课程背景下如何创设数学教学的问题情境[J].数学学习与研究，2009（13）.

第8篇：圆周率的故事范文

天文学真的很重要。在漫长的古代，从有文字记载开始就一直在研究天文，其中最重要的一件事情是制订历法和确定四季的变化，就是要确定一年有多少天、季节是如何更替的。这有啥研究的？最冷的时候就是冬天，小树小草发芽时春天就来了，到热得受不了时绝对是夏天，再凉快时就是秋天到了……即使没有现在这么精确的日历，大约算一下也差不了太多，能有啥了不得的？如果你们真这么想就大错特错了，精确的历法是极其重要的，最基本的一条就是要确定播种的时间。

最早的人类和动物们一样，常常不知道下一顿饱饭什么时候到来。从有人学会种庄稼开始，这个问题才一定程度地得到了解决。总结一段时期的播种收获规律后，最有经验的那个人就成为大家的指挥员，负责告诉大家什么时候做什么农事。但气温、雨水这些事情总是有变化的，仅仅靠经验，一次失误就可能造成一群族人饿死甚至一个部族的覆灭。时间越准确，农作物的收获就越有保障。于是，通过天文研究，年月日和二十四节气的确定就发挥了巨大作用。

当然农耕只是天文研究的服务对象之一，牧、渔、猎和躲避自然灾害等等方面也都迫切地需要天文学作出指导。既然如此，祖冲之这些科学家们研究天文也就罢了，还那么醉心于数学、执着地精确计算圆周率做什么呢？

圆周率是指平面上圆的周长与直径之比，也就是周长除以直径的值。作为一个非常重要的常数，圆周率最早用于解决有关圆的计算问题。比如制作车轮的时候，可以事先根据车轮大小计算出所需的木料（最早的车轮是木头做的）――这个时候的圆周率不用那么精确就足够使用了。但在天文学的研究和计算中，圆周率成为一个无法忽视却又难以确定的重要参数，它的精确度直接决定研究成果的准确性。对圆周率的依赖程度，决定了好多天文学家同时也必须深入研究数学――祖冲之就是其中最重要的人物之一。

圆周率不是祖冲之发现的，祖冲之的贡献是把圆周率精确到小数点后七位（这个纪录一千多年后才被一位阿拉伯数学家打破）。这一成就受到中外科学界的极大认可：1964年，为了纪念祖冲之对中国和世界科学文化作出的伟大贡献，中国紫金山天文台将发现的一颗小行星命名为“祖冲之星”；1967年，也是为了纪念这位伟大的古代科学家，国际天文学家联合会把月球上的一座环形山命名为“祖冲之环形山”。

在中国古代，最早提出并确定圆周率的是两本书籍：《周髀算经》和《九章算术》。两本书中都提出了径一周三的古率，也就是说，它们把圆的周长确定为直径的三倍，确定圆周率为3。《周髀算经》大约成书于商末周初，是中国最古老的天文学和数学著作。唐朝初年把它确定为国立最高学府（国子监）的教材之一。它在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。《九章算术》是中国古代第一部数学专著，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。它的贡献是最先阐述了分数和负数的运算。

前面这两本书的作者都已无法考证，真正有名有姓、比较准确地算出圆周率的第一个人是东汉的张衡（就是那个发明浑天仪和地动仪的天文学家）。张衡推算出的圆周率值为3.162，虽然以我们现代人看来，他在小数点后第二位就搞错了，但在当时的情况下其实已经是极其难得的了。

直到魏晋时期的著名数学家刘徽，才计算出我们现在可以将就使用的圆周率数值3.14。而祖冲之给出了极为惊人的答案：圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，分数是355/113或22/7。看看现在的圆周率值3.141592653589……让举世震惊一点都不奇怪啊！再想想那个时候没有计算器更没有电脑，甚至连算盘和阿拉伯数字都没有，计算起来是多么艰难啊！能做到这事儿的人，绝对既有学问又有毅力。

据说祖冲之很小的时候就喜欢听爷爷给他讲科学家的故事，他尤其喜欢东汉的张衡，立志要成为一名天文学家。要成为天文学家必须学好数学，因此他求家人给他找了数学老师。一天晚上，祖冲之躺在床上想白天老师说的“圆周是直径的三倍”似乎不对。第二天一早，他就拿了一段妈妈做鞋子的绳子，跑到村头的路旁，等待过往的车辆。直到来了一辆马车，祖冲之请求驾车的老人停车，用绳子量了车轮的直径和周L，他发现车轮的直径不到周长的三分之一。这个发现让他十分兴奋，因此更加不断地努力学习数学，长大后又研究了刘徽的“割圆术”，终于在圆周率的计算上得到了巨大的突破。

他之所以能有如此惊人的成就，与他有理想、有志气、勤学习、善思考这些优秀品质是分不开的。

第9篇：圆周率的故事范文

关键词：归类 教学 数学 思维 能力

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）02-0279-03

新课改有效地改变了传统教学束缚学生思维发展的旧模式，致力于打造关注学生学习的高效新课堂，为了让学生学得高效，教师需提高自身的专业素质，探索有效的教学方法――“归类“教学，培养学生的数学思维能力。针对目前学生的现状，笔者从课堂教学的一道改编题来具体分析：

【习题呈现】：

抛物线 与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C.点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q.若一块含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，则点P的坐标为 。

在给予学生充分的思考后，全班只有个别学生答对了这道题，而且方法比较复杂：通过设两个未知数、用三角形相似、整体代入等，计算过程还带有一定的技巧性。学生思考如下：

如左图所示，过点D作x轴的平行线交抛物线对称轴于点F，交直线PQ于点G，易证FCD∽GDE若DCE=30°，则 ，所以GDE与FCD的相似比为 ，

故 。设GE=a，DG=b，则DF= ，CF= ，所以BF= ，

CQ= 。因为BFD∽BCQ，所以 ，即 ，化简得： 。所以点P的横坐标为 ，将其代入到抛物线的解析式中可得纵坐标为 ;若∠DEC=30°，解法与上述方法一致。再根据图形的对称性可得到对称轴左边的还有符合条件的两个P点。

【分析】为什么只有个别学生会解这道题？而且学生的方法并不是解这类题目最简便、最有效的。笔者分析主要有三个原因：一、学生对知识点不熟悉，不能对相关知识点产生联想。二、缺乏知识综合运用能力和推理演绎能力。三、缺乏数学思维能力，平时不注重总结归纳。针对上述学生存在的问题，作为老师应该有意识地对知识点、运用数学方法加以引导。如：1、让学生回忆圆内接四边形的对角的数量关系;2、观察本题中四边形DCQE相对两个内角的数量关系;3、从而得出D、C、Q、E四点共圆。所以，这道题又有新解法：

如右图所示，因为四边形CQED的内角和为360°，已知∠CDE=∠CQE=90°，所以∠CQE+∠CDE=180°.由CE弦所对两侧的圆周角之和等于180°，可得C、D、E、Q四点共圆. 根据同弧所对的圆周角相等，所以∠CQD=∠CED. 因为CDE是含有30°角的直角三角形，且∠CDE=90°，所以∠CED=30°或∠DCE=30°.①当∠CED=30°时，则∠CQD=30°，在直角BCQ中，由已知可得BC=5，所以CQ= . 故P点横坐标为 ，因为P点在抛物线上，其坐标满足抛物线解析式，把 代入解析式可得纵坐标为 ，

所以P点坐标为（ ， ）;②当∠DCE=30°时，则∠CQD=∠CED=60°，解法与上同，此时P2（ ， ）.由图形的对称性，当点P在对称轴左侧时，P2（ ， ）;（ ， ）。综上所述，满足条件的P点坐标为（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）。

讲解完后，学生恍然大悟，都觉得利用辅助圆解题很方便。事实上有些题目看似与圆无关，但用共圆的方法解决能够避开繁琐计算，取得最简便、最有效的方法。因此，必须让学生掌握这类题目的解法。可是什么时候要用到共圆呢？最有效的方法就是运用“归类”教学法，举一反三，以提高学生的数学思维能力，让学生触类旁通做到解一题会一类，真正地提高课堂效率，减轻学生负担。十多年的教学经验告诉笔者，归类教学对于提升数学学习效率效果显著，但因为时间和精力的原因，很多时候还是就题论题，所以我希望通过“归类共圆”的数学方法展开，谈谈我对归类教学的看法。

一、归类教学，关注选题的针对性，提高学生逆向思维的能力

设计选题前必须充分考虑预选习题能否加深学生对概念的理解和掌握，或是对错误认识的纠正，还是对基本解题技能的进一步熟练等。这就要求教师在选题时要有针对性、目的性。要非常了解学生对知识点的掌握程度，哪些地方掌握得好，哪些地方还存在问题。比如圆的内容，所选的题目最好看似与圆无关，而是让学生提炼出共圆的方法。也就是说，看似无圆，但事实上隐含着圆，而这个隐身圆就需要学生们去发现。举例来说：

1.解决有关直角问题

例1：点A、B是平面直角坐标系内的两个点，且A（2，4），B（6，2），P是x轴上一点，且ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有几个（ ）

（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

【解析】：ABP为直角三角形，根据直角顶点分类讨论. 易知满足∠PAB=90°的点P有1个;满足∠PBA=90°的点P有1个;根据直径所对的圆周角是90°，满足∠APB=90°的点P在以AB为直径的圆上. 因此，只须判断圆与x轴的位置关系. 由已知A（2，4）、B（6，2）易得圆的半径r=，

圆心到x轴的距离d=3.由d<r可知圆与x轴相交. 所以满足∠APB=90°的点P有2个. 综上所述，满足条件的P点共有4个。

【说明】：由上题的启发，学生容易联想到圆，而且圆中很重要的结论“直径所对的圆周角是90°”，从而点P在以AB为直径的圆上。因此很自然得转化为判断直线与圆的位置关系。

2.解决有关锐角问题

例2：如图，向正方形ABCD内投一点M，如果正方形内每一点投中的可能性均相同，则使∠AMB为锐角的概率是多少。

【解析】：因为∠AMB为锐角，即∠AMB<90°，易知使∠AMB=90°的点M在以AB为直径的圆上.因为小于圆周角的点在圆外，所以所有满足条件的点M构成的图形面积为正方形的面积减去半圆的面积。假设正方形边长为1，则正方形面积为1，半圆面积为 ，所以P= 。

【说明】：由“直径所对圆周角等于90°”，结合圆外角和圆周角的大小关系，学生还是可以通过辅助圆来解决问题。

3.解决有关钝角问题

例3：如图，正方形ABCD的中心为O，P为正方形内一点，若∠OPB=45°，求∠APO的度数。

【解析】：因为O是正方形ABCD的中心，连结OB后，∠AOB=90°，且∠OAB=45°与已知∠OPB=45°相等，可以利用共圆的方法，构造以AB为直径的圆，易得∠APB=90°，所以∠APO=90°+45°=135°。

【说明】：由“90度的圆周角所对的弦是直径”和“直径所对圆周角等于90°”可以很容易的解出此题。

这些例题可以让学生归纳总结出异侧共圆的情形：

除上面这个常见的“共圆”类型外，还有另外一种类型，笔者称它为同侧共圆：

二、归类教学，关注选题的层次性，提高学生逻辑思维能力

习题的选择难度要适中，要有梯度。若一开始就太难，容易使学生产生畏惧情绪，做而生烦;若都很容易，太过于浅，又会让学生产生松懈怠慢心理，也不利于个性思维品质的培养。因此，设计的问题一定要由浅入深、层层递进。比如：刚开始笔者先出示这样两个问题：

1.题设中有公共端点的等线段

例4：如图，在ABC内有一点P且PA=PB=PC，若∠PBC=50°∠PBA=30°，则∠APC的大小是（ ）

（A）140°（B）160°（C）80° （D） 120°

【解析】：因为PA=PB=PC，所以点A、B、C在以P为圆心、PA长为半径的圆上. ∠ABC=50°+30°=80°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍关系，∠APC=2∠ABC=160°。

【说明】：已知条件与圆的联系很明显，“到一个定点的距离等于定长的点在以这个定点为圆心、定长为半径的圆上”几乎所有的学生都容易想到，这也是圆的定义。

2.一条线段同侧的两个角成倍半关系

例5：如图，若CA=CB，∠ACB=2∠ADB. BC与AD交于点E，且CB=10，CE=6，则AE・DE=（ ）

（A） 32 （B） 48 （C）64 （D）68

【解析】：∠ACB和∠ADB在线段AB同侧，且∠ACB=2∠ADB，CA=CB，根据同弧所对圆心角等于圆周角的两倍可知点A、B、D在以点C为圆心，CA长为半径的圆上. 延长BC交圆于点F，连结AF，那么有∠AFB=∠ADB、∠FAD=∠DBF，故FAE∽DBE，所以 。由已知CB=10，CE=6易得BE=4，EF=16，故AE・DE=BE・EF=4×16=64。

【说明】：由上一例题得到启发，学生容易联想到“同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍”。因此∠ACB为圆心角，∠ADB为圆周角，故可以构造以C圆心，CA长为半径的圆。

3.一条线段同侧的张角不变

例6：如图，平面直角坐标系中，直线

与直线x=3，于点P，点A是直线x=3与x轴的交点.将直线OP绕着点O、直线AP绕着点A以相同的速度逆时针方向旋转.旋转过程中，两条直线交点始终为P，当直线OP与y轴正半轴重合时，两条直线同时停止转动.整个旋转过程中，点P所经过的路线长为 。

【解析】：由旋转的性质可得∠OPA始终为60°，过点O、A、P三点作圆，因为∠OAP=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可得OP为该圆的直径.当直线OP与y轴正半轴重合时，旋转过的角度为60°，故点P所走过的弧长所对的圆心角为120°，根据弧长公式可得： 。

【说明】：本题中∠OPA始终为60°角这个结论很多学生并不能得出，需要作出旋转后的某个点P，与旋转前的图形比较得到。因此这是一个难点，也就要求学生要学会综合运用，要有较强的分析问题的能力。但可以肯定的是，这样的问题如果学生能自己解决，那一定能够提高他的自信心和学数学的兴趣。

三、归类教学，关注题目的可变性，培养学生探究猜想的思维能力

题目的变式、引申可以有以下几类：1、题目背景、结论不变，变换部分条件;2、题目背景、条件不变，变换结论;3、改变题目背景以及结论，但知识点或方法不变。应用到“归类”教学，我们可以尝试解决问题：

1.求两个共斜边直角三角形在公共边异侧时的重心距离

例7：我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这个点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请解答下列问题：将两块三角尺按如图方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=12， 点E，F分别是 和

的重心，求EF的长。

【解析】：因为∠B=∠D=90°，所以A，B，C，D 四点在AC为直径的圆上，如右图所示，记圆心为点O，连接OD，OB，DB，EF，由重心的性质可知，

，所以EF= DB，即问题转化为求DB的长度。作ANDB，有同弧所对的圆周角相等可知∠ACB=∠ADB=45°，AD= AC=6，在Rt

中由勾股可得DN= ，由已知易得∠NAB=60°，在Rt 中由30度角三边关系可得BN= ，所以DB= + ，从而EF= + 。

以例7为原型，笔者对题目做适当变形，使例题八符合背景不变，条件改变，求结论。重置条件后，可以让学生动动脑子，稍稍转下弯，看学生有没有真正掌握。这样学生才不会松懈怠慢，也能时时体验成功的快乐。变式如下：

2.求两个共斜边直角三角形在公共边同侧时的重心距离

例8：将两块三角尺按如图方式拼好，其中∠B=∠D= 90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=12，点E，F分别是 和

的重心，求EF的长。

解析：因为∠B=∠D=90°，所以A，B，C，D 四点在AC为直径的圆上，如图所示，记圆心为点O，连接OD，OB，DB，EF，由重心的性质可知， ，所以EF= DB，即问题转化为求DB的长度。作AN DB，因为∠ACB+∠ADB=180°，∠ADN+∠ADB=180°，所以∠ADN=∠ACB=45°，有同弧所对的圆周角相等可∠NBD=∠ACD=30°，又因为AD= AC=6，在Rt 中由勾股可得DN= ，在Rt 中由勾股可得BN= ，所以DB= ，从而EF= 。

例8是在例七基础上的变式，他们既有联系，又有区别，形别而神同，主要是为了让学生体会辅助圆解题的便捷，让学生在以后的解题中能想到这种方法――添加辅助圆。

四、归类教学，关注题型的发散性，培养综合分析能力

上述例题图形简单，涉及的条件、结论也比较单一，学生比较容易掌握。当孩子自己归纳出辅助圆的方法后，就可以应用在比较复杂的题目中。所以接下来的练习会选择的图形比较复杂多样，问题也都各不相同，而且也基本涵盖了用辅助圆解决的题目特点。

1.解决有关等腰三角形问题

例9：如图，矩形ABCD中，AB=2，BC= ，

点E是折线段A―D―C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）。

（A） 5个 （B） 4个 （C） 3个 （D）2个

【解析】：一个P点对应着一个E点，一个E点对应着一个P点，所以只须找出有几个符合条件的点P. 根据折叠的性质可得BP=BA，所以点P一定在以B为圆心、BA长为半径的B上.又因为点E折线段A―D―C上，故点P在如图所示的半圆上. 因为BP=2、

BC= 要使PCB为等腰三角形只可能PB=PC、CB=CP两种情况. PB=PC时，点P在线段BC的中垂线上，该线与B有2个交点，所以存在2个P点使PB=PC;当CB=CP时，点P一定在以C为圆心、CB长为半径的C上，C与B有2个交点，故存在2个P点使CB=CP. 综上所述，共有4个满足题意的点P，所以点E的位置有4个。

【说明】：在找等腰三角形时往往需要对顶点进行分类，当已知的两点构成的线段为腰时都可以通过圆的方法找第三个点。

2.解决有关折叠问题

例10：如图，直角梯形纸片ABCD，ADAB， AD=CD=2，AB=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 。

【解析】：根据折叠的性质可知EP=EA，所以点P一定在以E为圆心、EA长为半径的圆上. 因为点P要在直角梯形ABCD内部，故点P落在梯形内的圆弧上. 当点E越靠近B点时，圆的半径越大，所以圆弧上的点离点D越近，当E点在B点时半径最大，圆弧离点D最近. 而在圆弧上的所有点中又有一个点离点D最近，易知该点就是直线BD与圆的交点，如图所示即为P’.因为AD=2、AB=4，所以由勾股定理得BD= ，DP’=BD-BP’= . 故PD的最小值为 。

【说明】：折叠时对应边的长度始终相等，且到折痕的某个端点的距离相等。故可以构造折叠前后的两个对应点共圆。

3.解决有关旋转问题

例11：如图，在锐角ABC中，AB=8，BC=10，∠ACB=45°，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 .点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段长度EP1的最大值与最小值。

【解析】：根据旋转的性质，点P1在以B为圆心、BP长为半径的圆上.圆上与点E最近、最远的两个点便是直线BE与圆的两个交点. 易知当

时.如图所示，在以B为圆心、BP长为半径的圆上，与点E最近的是M点，所以EP1的最小值即为EM的长. 因为已知AB=8，BC=10，∠ACB=45°，易知EM=BM-BE= ;当EP1的长度最大时，半径BP要最大，即点P在以C点为圆心，以BC为半径的圆上，如图所示，与点E最远的是N点，易知EN=EB+BN=4+10=14， 综上所述，EP1长度的最大值是14，最小值是 。

【说明】：任何图形的旋转最终都是点关于点的旋转。因为一个点绕着另一个点旋转的过程中始终保持着距离不变，所以旋转得到的所有点共圆，该圆的圆心就是旋转中心、半径就是这两个点之间的距离。所以许多旋转的问题可以通过添加辅助圆来解决。

4.解决有关特殊角问题

例12：在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，求点C的坐标。

【解析】：如图所示，取AB中点E，作EPBA，且EP= AB=5，易知PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB= 。以点P为圆心，PA长为半径作P，与y轴的正半轴交于点C，因为∠BCA为P的圆周角，所以∠BCA=

∠BPA=45°，则点C即为所求。过点P作PFy轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，在RtPFC中，PF=1，PC= ，由勾股定理得CF=7，所以OC=OF+CF=5+7=12。所以点C坐标为（0，12）。根据圆的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，-12）。综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，-12）。

【说明】：本题的突破口应该是∠BCA=45°这个条件，45°是一个特殊角，从这个角度入手我们可以构造直角三角形，而直角三角形又可以到圆中去找，这样就想到了构造辅助圆的方法。在数轴上一个数据就能确定一个点的位置，在平面直角坐标系中要两个数据才能确定一个点的位置，在本题中圆和弦的交点恰好就是所求的点C，转化到运用几何的知识解决，自然而然，事半功倍。

我们都知道数学能力有两个方面，一是运算能力，一是思维能力。运算能力是一种基础能力，强调记忆、熟练度（复杂运算需要一些技巧），思维能力才是一种高级能力，强调借助抽象的数字符号、概念进行思考与推理。由本文例题可以看出，原题图中都没有圆，当解题时添上辅助圆后，问题就迎刃而解，让学生们体会辅助圆的妙用，做到题中无圆，心中有圆。作为一线数学教师，在平时的课堂中应用“归类”教学法引导学生对知识的内在联系有更深一步的理解，侧重思维训练，让学生真正做到解一题会一类，掌握数学学习方法。既培养学生的数学思维能力，又提高课堂效率，于“归类教学”中寻实效，是走向轻负高效的一条可行之路，一条快捷之路，也是一条必由之路。

参考文献

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