高数指数函数精选(九篇)

第1篇：高数指数函数范文

试题注重立足于课本,考查基本知识、基本公式及同学们的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低．三角化简、求值、恒等式证明、图象、最值、解斜三角形为考查热点．

常见题型：①三角函数的图象与性质；②化简和求值；③三角形中的三角函数；④最值．本文对高考重点、常考题型进一步总结，强化规律，解法定模，便于同学们考试中迅速提取，自如运用．

考点1．三角函数的求值与化简

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．

考点2．解三角形：此类题目考查正弦定理，余弦定理，两角和差的正余弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.

例2 设函数f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域为［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)内角和定理：三角形内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

(4)面积公式：S=12aha=12absinC.

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=π这个特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．

考点3．求三角函数的定义域、值域或最值：此类题目主要有以下几种题型：（1）考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.（2）考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.（3）考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.

例3 已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）当m=0时，求f(x)在区间［π8,3π4］上的取值范围；（2）当tanα=2时，f(α)=35，求m的值．

解：（1）当m=0时，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

从而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函数的最值主要有以下几种类型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，换元去处理；③形如y= asinx+bsin2x的，转化为二次函数去处理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函数的有界性去解决，也可转化为斜率去通过数形结合解决．

考点4．三角函数的图象和性质：此类题目要求同学们在熟练掌握三角函数图象的基础上对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.

例4 已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期为π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上单调递增，在［π6，π2］上单调递减，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值为2，最小值为-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］从而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路.

如果由图象来求正弦曲线y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|

第2篇：高数指数函数范文

那么高考函数试题的难度到底有多大?本刊特做此专题,对2008年全国高考函数考查的内容进行全面界定和分析,以期帮助同学们树立信心,学好函数知识.

一､考查函数的定义及求值问题

例1(陕西卷理科)定义在R上的函数f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,则f(-3)等于()

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

解析 函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,

f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=2+2+2=6.

f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)+2×2×2=6+6+8=20.

又f[4+(-3)]=f(4)+f(-3)+2×4×(-3)=f(1),

f(-3)=f(1)-f(4)+24=2-20+24=6. 故选C.

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数(难). 对于函数求值的考查,一般都涉及到函数的周期性､奇偶性等性质. 具体函数的求值问题要先求出函数解析式,再求解. 而对于抽象函数的求值问题,则先通过递推关系式的变形,利用已知函数值进行求解,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段.

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(山东卷文科)已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 .

解析 f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233,

f(x)=4log2x+233,

f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=(4log22+233)+(4log24+233)+(4log28+233)+…+(4log228+233)=4(1+2+3+…+8)+8×233=2008. 故填2008. (高一,)

二､考查函数定义域问题

例2(安徽卷理科)函数f(x)=的定义域为.

解析由题意得 |x-2|-1≥0,x-1>0,x-1≠1. 解得 x≥3或x≤1,x>1,x≠2. 所以x≥3.故函数的定义域为{x|x≥3}.

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数(易). 函数定义域是高考考查的重点内容,一般情况下,函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合,但实际问题的定义域必须具有实际意义,对含参数的函数定义域必须对字母参数分类讨论. 在一些具体函数综合问题中,函数定义域往往具有隐蔽性,所以在研究这些问题时,必须树立“定义域优先”的原则.

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(1) (湖北卷理科)函数f(x)=ln(+)的定义域为()

A. (-∞,-4]∪[2,+∞) B. (-4,0)∪(0,1)

C. [-4,0)∪(0,1] D. [-4,0)∪(0,1)

解析要使函数f(x)=ln(+)有意义,则

x≠0,+>0,解得-4≤x

函数f(x)=ln(+)的定义域为[-4,0)∪(0,1). 故选D. (高一,)

(2) (江西卷文科)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是()

A. [0,1] B. [0,1)

C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1)

解析因为函数y=f(x)的定义域是[0,2],所以,要使函数g(x)=有意义,必满足:x-1≠0,0≤2x≤2. 解得0≤x

三､考查函数值域(最值)问题

例3(江西卷理科)若函数y=f(x)的定义域是[,3],则函数F(x)= f(x)+的值域是()

A. [,3] B. [2,]

C. [,] D. [3,]

解析因为函数y=f(x)的值域是[,3], 所以≤f(x)≤3. 又因为函数F(x)=f(x)+在区间[,1]上单调递减,在区间[1,3]上单调递增, 所以当f(x)=1时,函数F(x)=f(x)+取得最小值2.

又当f(x)=时,函数F(x)=f(x)+的值为;当f(x)=3时,函数F(x)=f(x)+的值为, 所以函数F(x)=f(x)+的最大值为.

故函数F(x)=f(x)+的值域是[2,].

点评本题要用到高二的知识求解,难度指数(中). 函数值域(最值)问题是高考考查频率很高的内容,几乎每年高考在选择题或填空题中都会涉及到. 求函数最值问题一般需要借助于函数值域的常用方法,此类问题要注意函数定义域在求最值中的制约作用. 利用函数的单调性可以求函数的值域､最大值､最小值,而且可以达到化难为易､化繁为简的效果.

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(1) (重庆卷文科)函数f(x)=的最大值为()

A. B. C. D. 1

解析函数f(x)=的定义域为[0,+∞).

f(x)==≤=, 当且仅当=,即当x=1时上式等号成立.

函数f(x)=的最大值为. 故选B. (高二,)

(2) (重庆卷理科)已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,则的值为()

A. B. C. D.

解析函数y=+的定义域为{x|-3≤x≤1}.

y2=(+)2=4+2

=4+2,

当x=-1时,y2max=4+2=8,

y=2,即M=2.

当x=-3,1时,

y2min=4+2=4+2=4,

ymin=2,即m=2.

==. 故选C. (高一,)

四､考查函数图象问题

例4(全国卷Ⅰ理科)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式

A. (-1,0)∪(1,+∞) B. (-∞,-1)∪(0,1)

C. (-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-1,0)∪(0,1)

解析由题意知=

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 近年来高考试题加强了对数形结合思想的考查,最明显的是高考试卷中函数图象考题明显增多. 要掌握一次函数､二次函数､指数函数､对数函数的图象和性质,在此基础上,理解､掌握常见的图象平移､对称及伸缩变换,通过对图象的识别来考查函数的性质. 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得解题方法的重要工具,通过借助于图形的直观性,以图助算,就可避免繁琐的计算. 因此,以数形结合为切入点,可化难为易.

五､考查求函数解析式问题

例5(上海卷理科)设函数 f(x)是定义在R上的奇函数. 若当x∈ (0,+∞)时, f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .

解析 f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时, f(x)=lgx.

当x∈(-∞,0)时, f(x)=-lg(-x).

f(x)>0, x>0,lgx>0或x0 x>1或-1

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 求函数的解析式,要注意所求解析式的定义域,要在相关定义域下通过化抽象为具体的方法,把问题转化.

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(全国卷Ⅰ理科)若函数y=f(x-1)的图象与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)=()

A. e2x-1 B. e2x C. e2x+1 D. e2x+2

解析 函数y=f(x-1)的图象与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,

函数y=f(x-1)与函数y=ln+1互为反函数, y-1=e2(x-1),

函数y=f(x-1)=e2(x-1), f(x)=e2x. 故选B. (高一,)

六､考查抽象函数的奇偶性问题

例6(重庆卷理科)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x∈R有f(x1+x)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是()

A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数

C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数

解析令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)+1f(0)=-1.

又x1=-x2, 得f(x1-x1)=f(x1)+f(-x1)+1, 即f(0)=f(x1)+f(-x1)+1,

[f(x1)+1]+[f(-x1)+1]=0,即f(x)+1为奇函数. 故选C.

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 此题主要考查函数奇偶性. 我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数,由于这种表现形式的抽象性,使得直接求解思路难寻,但通过赋予恰当的数值,经过运算与推理,不难得出结论.

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(安徽卷理科)若函数f(x)､g(x)分别为R上的奇函数､偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则有()

A. f(2)

C. f(2)

解析 函数f(x)､g(x)分别为R上的奇函数､偶函数, f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=e-x,即f(x)+g(x)=-e-x. 联立f(x)-g(x)=ex,f(x)+g(x)=-e-x, 解得f(x)=(ex-e-x),g(x)=-(e-x+ex). f(2)=(e2-e-2)=, f(3)=(e3-e-3)=, g(0)=-(e-0+e0)=-1. 又因为-1

七､考查函数周期性问题

例7(四川卷理科)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)・f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=()

A. 13 B. 2 C. D.

解析 f(1)=2, f(x)・f(x+2)=13, f(1)・f(1+2)=13,即f(3)=.又 f(x+2)・f(x+4)=13, f(x)=f(x+4),即函数y=f(x)是以4为周期的函数, f(99)=f(4×24+3)=f(3)=. 故选C.

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 本题主要考查函数的周期性知识,同时考查考生的理解和推理能力,求解时应首先判断出是周期函数. 对于函数f(x)而言,若f(x+T)=f(x),则说f(x)的周期为T,一般在三角函数中应用较多.

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(湖北卷文科)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时, f(x)=2x2,则f(7)=()

A. -2 B. 2 C. -98 D. 98

解析 f(x)在R上是奇函数, f(-x)=-f(x). f(x)满足f(x+4)=f(x), f(x)是周期为4的周期函数. 又当x∈(0,2)时, f(x)=2x2, f(7)=f(7-2×4)=f(-1)=-f(1)=-2×12=-2. 故选A. (高一,)

八､考查原函数与反函数的关系问题

例8(陕西卷理科)已知函数f(x)=2x+3, f -1(x)是f(x)的反函数,若mn=16(m,n∈R+),则 f -1(m)+f -1(n)的值为()

A. -2 B. 1 C. 4 D. 10

解析由原函数与其反函数的关系得2x+3・2y+3=16,即2x+3・2y+3=22・22,所以x=y=-1,因此有 f -1(m)+ f -1(n)=-2. 故选A.

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 由于原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域,因此,反函数的定义域不能仅由其解析式来求,而应该是原函数的值域. 此例主要是考查利用原函数与其反函数的关系解题,可以避开求反函数的麻烦,提高解题速度.

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(1) (北京卷文科)函数f(x)=(x-1)2+1(x

A. f -1(x)=1+(x>1) B. f -1(x)=1-(x>1)

C. f -1(x)=1+(x≥1)D. f -1(x)=1-(x≥1)

解析由f(x)=(x-1)2+1(x

f -1(x)=1-. 再由x1, f(x)>1,

f -1(x)=1-(x>1).故选B. (高一,)

(2) (辽宁卷理科)函数y=x+1,x

.

解析当x

当x≥0时,y=ex≥1, x=lny, y=lnx, 反函数为y=lnx,x≥1.

故函数y=x+1,x

九､考查函数单调性问题

例9(广东卷理科)设k∈R,函数f(x)=, x

解析F(x)=f(x)-kx=-kx, x

F′(x)=-k, x

(1) 当x

①当k≤0时,函数F(x)在(-∞,1)上是增函数.

②当k>0时,令F′(x)=0,得x=1-.

函数F′(x)在(-∞,1)上是增函数,

函数F(x)在(-∞,1-)上,F′(x)0.

故函数F(x)在(-∞,1-)上是减函数,在(1-,1)上是增函数.

(2) 当x≥1时,F(x)=--kx, F′(x)=--k.

①当k>0时,F′(x)

②当k≤0时,令F′(x)=0,得x=1+,由于F′(x)在(1,+∞)上为增函数,则在区间(1,1+)上,F′(x)0.

故函数F(x)在(1,1+)上是减函数,在(1+,+∞)上是增函数.

综上可知,当k>0时,函数F(x)在(1,+∞)和(-∞,1-)上是减函数,在(1-,1)上是增函数.

当k≤0时,函数F(x)在(1,1+)上是减函数,函数F(x)在(-∞,1)和(1+,+∞)上是增函数.

点评本题要用到高三的知识才能求解,难度指数. 本题在考查函数单调性的同时,侧重考查分类讨论思想在解题中的灵活应用. 因为要判断函数单调性,就必须先确定参数a的取值情况,就a=0和a≠0分别讨论. 函数单调性是高考热点问题之一,在历年的高考试题中,考查或利用函数单调性的试题屡见不鲜,既可以考查用定义判断函数的单调性,用反例否定函数不是单调函数,求单调区间等问题,又可以考查利用函数的单调性求应用题中的最值问题.

十､考查分段函数问题

例10(天津卷理科)已知函数f(x)=-x+1,x

A. {x|-1≤x≤-1}B. {x|x≤1}

C. {x|x≤-1} D. {x|--1≤x≤-1}

解析当x+1

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 在处理分段函数问题时,要注意每段函数的定义域,然后注意求问题的并集.

十一､考查对数函数问题

例11(天津卷理科)设a>1,若存在一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时a的取值的集合为.

解析由方程logax+logay=c得y=.

又x∈[a,2a]且a>1,所以y∈[ac-1,ac-1].

对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2],

[ac-1,ac-1][a,a2],即ac-1≥a,ac-1≤a2,

c-1≥loga2a,c-1≤2.

而满足条件的常数c仅有一个,因此有loga2a=2,解得a=2.

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 本题主要考查对数函数的单调性和简单的对数方程的解法,在解题时,一定要注意不同的底,对数函数有不同的单调性. 函数最值是函数的主要内容,它在数学各个分支及实际问题中有着广泛的应用,特别是基本初等函数(二次函数､指数函数､对数函数)的最值问题,多年来一直是常考不衰的热点内容之一.

十二､考查函数图象问题

例12(辽宁卷理科)将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y= 2x+1的图象,则()

A. a=(-1,-1) B. a=(1,-1) C. a=(1,1) D. a=(-1,1)

解析将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位得到函数y=2x+1+1的图象,再向下平移1个单位得到函数y=2x+1的图象,即将函数y=2x+1的图象按向量a=(-1,-1)平移得到函数y=2x+1的图象. 故选A.

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 函数图象类试题,其求解策略是充分挖掘图象信息,运用数形结合思想来解决问题.

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(1) (山东卷理科)函数y=lncosx-

AB CD

解析令y=lnu,u=cosx-

(2) (北京卷文科)如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N. 设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()

A B C D

解析过对角线BD1作平面BB1D1D的垂面,设该垂面与AA1､CC1的交点分别为E､F,则E､F分别为AA1､CC1的中点,所以当动点P在对角线BD1上移动时,M､N则在菱形EBFD1上移动.

设∠D1BF=α(0

y=2xtanα.

当BD

y=2(BD1-x)tanα.

y=2xtanα,0

故函数y=f(x)的图象大致是B. (高二,)

十三､考查指数函数的综合问题

例13(上海卷理科)已知函数f(x)=2x-.

(1) 若f(x)=2,求x的值;

(2) 若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.

解析(1) 当x0, x=log(1+).

(2) 当t∈[1,2]时, 2t(22t-)+m(2t-)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).

22t-1>0, m≥-(22t+1). t∈[1,2], -(1+22t)∈[-17,-5].

故m的取值范围是[-5,+∞).

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 此类问题以函数为依托,综合指数函数､方程､不等式知识设计试题,题型设计新颖,别具一格,知识浑然一体,较好地体现了知识的整体性和综合性,能突出对解决问题的方法及解决问题的能力的考查.

十四､考查绝对值不等式与函数综合问题

例14(海南卷理科)已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|.

(Ⅰ) 作出函数y=f(x)的图象;

(Ⅱ) 解不等式|x-8|-|x-4|>2.

解析(Ⅰ) f(x)=4,x≤4,-2x+12,48.

图象如下:

(Ⅱ) 不等式|x-8|-|x-4|>2,即f(x)>2,由-2x+12=2得x=5.

由函数f(x)图象可知,原不等式的解集为{x|x

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 本题考查了绝对值的意义､分段函数及其图象､函数最值和不等式等知识,考查分类与整合的思想方法和数形结合的解题技巧. 分段函数是自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数. 分段函数不是几个函数,而是一个函数.

十五､考查函数应用问题

例15(江苏卷理科)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A､B及CD的中点P处. AB=20 km,BC=10 km. 为了处理这三家工厂的污水,现要在矩形区域上(含边界),且与A､B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO､BO､PO. 记铺设管道的总长度为y km.

(1) 按下列要求建立函数关系式:

(i) 设∠BAD=θ(rad),将y表示成θ的函数;

(ii) 设OP=x km,将y表示成x的函数;

(2) 请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.

解析(1)延长PO交AB于点Q,则AQ=10 km.

(i) 设∠BAO=θ(rad),则AO=,OQ=10tanθ,

则PO=10-10tanθ. 显然有0≤θ≤,则

y=+10-10tanθ=+10(0≤θ≤).

(ii) 设OA=x km, 则OQ=(10≤x≤10).

所以y=2x+10-(10≤x≤10).

(2) 若选(i),则y′==.

令y′=0,解得θ=. 经进一步研究知,当且仅当θ=时,y取最小值 10+10. 即当∠BAO=时,三条排污管道的总长度最短,最短长度为(10+10) km.

若选(ii),则y′=2+. 令y′=0,解得x=.

经进一步研究知,当且仅当x=时,y取最小值10+10.

故当OA=时,三条排污管道的总长度最短,为(10+10) km.

点评本题要用高三的知识来求解,难度指数. 近几年来,高考试题带动了一大批“以实际问题为背景,以函数模型为载体”的应用题问世,解此类问题,建立函数模型是关键. 函数应用性问题,题源丰富,内容深刻,解法灵活多样,是历年高考应用性问题的一个热点. 解此题,正确理解增长率是关键.

十六､考查三个二次问题

例16(湖北卷理科)已知函数f(x)=x2+2x+a, f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a､b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为 .

解析 f(bx)=(bx)2+2bx+a=9x2-6x+2, b2=9,2b=-6,a=2, b=-3,a=2.

f(ax+b)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x2-8x+5.

又Δ=82-4×4×5=-16

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数为. 二次函数､二次不等式､二次方程是高中数学的重要内容,它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起. 以“三个二次”为载体,综合二次函数､二次不等式､二次方程交叉汇合处为主干,构筑成知识网络型代数推理题,在高考试题出现的频率相当高.

【相关链接】

(湖北卷理科)水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为

V(t)=(-t2+14t-40)e+50,0

解析① 当0

又0

② 当10

又10

综上得0

十七､考查函数与方程问题

例17(上海卷理科)方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的与函数y=的图象交点的横坐标. 若方程x4+ax-4=0的各个实根x,x,…,xk(k≤4)所对应的点(xi,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是.

解析方程x4+ax-4=0的根可看做函数y=x3+a与函数y=的图象交点的横坐标,且交点在y=x的同侧.

函数y=与y=x的交点为(2,2),(-2,-2).

若函数y=x3+a也经过(2,2),即2=23+a,则a=-6,此时y=x3+a与y=图象交点,一个在y=x上,一个在y=x下方.

同理,若函数y=x3+a也经过(-2,-2),即-2=(-2)3+a,则a=6,此时y=x3+a与y=图象交点,一个在y=x上,一个在y=x上方.

由数形结合知,y=x3+a与y=图象交点在y=x的同侧,则a>6或a

点评本题用高一的知识就可以求解,难度指数. 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数若有解析表达式,那么这个表达式就可看做一个方程,这样,许多函数的问题可以用方程的方法来解决. 也就是说,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程 f(x)=0;反之,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函数与方程这种相互转化的关系十分重要.

十八､考查函数的多向综合问题

例18(安徽卷理科)设函数f(x)=(x>0且x≠1).

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 已知2>xa对任意x∈(0,1)成立,求实数a的取值范围.

解析(Ⅰ) f′(x)=-. 若f′(x)=0,则x=.

列表如下:

所以f(x)的单调增区间为(0,),单调减区间为(,1)和(1,+∞).

(Ⅱ) 在2>xa两边取对数,得ln2>alnx. 由于x∈(0,1),所以>. ①

由(Ⅰ)的结果知,当x∈(0,1)时,f(x)≤f()=-e.

为使①式对任意求x∈(0,1)成立,当且仅当>-e,即a>-eln2为所求范围.

点评本题要用高三的知识来求解,难度指数. 本题主要考查导数的概念和计算､利用导数研究函数的单调性､利用单调性求最值以及不等式的性质.

【相关链接】

(辽宁卷理科)设函数f(x)=-lnx+ ln(x+1).

(Ⅰ) 求f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ) 是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.

解析(Ⅰ) f′(x)=--+=-.

当x∈(0,1)时, f′(x)>0,x∈(1,+∞)时, f′(x)

(Ⅱ) (i)当a≤0时,由于

f(x)==>0,

故关于x的不等式 f(x)≥a的解集为(0,+∞).

(ii)当a>0时,由f(x)=+ln(1+)知f(2n)=+ln(1+),其中n为正整数. 且有ln(1+)

又n≥2时, =-log2(e-1),n0>+1,且n0≥2,则f(2)=+ln(1+)0时, 关于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0,+∞).

综合(i)(ii)知,存在a,使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞),且a的取值范围为(-∞,0].

第3篇：高数指数函数范文

一、相关概念

函数y＝f(x)中，函数值是与自变量x的值对应的y值。函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。分式函数是解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

（一）一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=cx+dax+b (a≠0)型

例1求函数y=2－3x2x－1的值域。

解析一：常数分离法。将y=cx+dax+b转化为y=k1+k2ax+b（k1,k2为常数），则y≠k1。y=2－3x2x－1=－32+12(2x－1)，y≠－32。

解析二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。值域为y≠－32（详解略）。

2.y=csinx+dasinx+b (a≠0)型

例2 求函数y=sinx+22－sinx的值域。

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质与y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。13≤y≤3。（详解略）

3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b (a≠0)型

例3 求函数y=3sinx－32cosx+10的值域。

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

［－58，0］（详解略）。

（二）二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化，所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

1.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，x∈[WTHZ]R型

例4 求函数y=3xx2+4的值域。

分析：去分母后，可将方程看做是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。用判别式法，先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式Δ≥0（Δ=f(y)）,即可求出值域。（详解略）

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型

例5 求y=16x2－21x+55－4x（x

分析：因为x

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。这是求一次分式函数的基本方法，利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。这也是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式Δ≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2ab (a、b∈R＋)，在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑不等式法。用不等式法求值域，应注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

第4篇：高数指数函数范文

关键词： 复变函数 解析函数 教法

《复变函数》是高等学校理工科学生的专业必修课，在建设应用型本科高校的背景下，由于复变函数的广泛应用性，这门课程正在被越来越多的高校重视.如何才能教好复变函数课程，已经是摆在教师面前的一个重要课题.我就复变函数中解析函数的教学方法提出自己的看法.

解析函数是复变函数课程中的重要内容，也是学生学习复变函数课程的难点，对解析函数的准确理解有利于学生更好地掌握复变函数的特点.本文重点围绕解析函数的几种等价判别方法，分析解析函数的教学.

1.按照定义理解解析函数

如果复变函数w=f（z）在点z■及z■的某邻域内可导，则称w=f（z）在点z■解析；如果w=f（z）在区域D内每一点都解析，则称w=f（z）在区域D内处处解析.

根据解析函数的定义我们可以知道解析函数与可导函数很类似，但又不完全一样，如果函数在某点解析，那么函数在该点一定是可导的；反过来却不一定成立.从直观上来看，解析函数是一个整体性的概念，可导函数是一个局部性概念，与可导函数相比，解析函数要求更高一些.还要指出的是：对一个区域而言，函数在区域内可导与解析是完全一样的，主要原因在于区域是连通的开集.

教师在教学过程中应该重点讨论函数f（z）=z，g（z）=■和h（z）=|z|■的解析性和可导性，比较它们的不同，通过定义我们可以知道函数f（z）=z在整个复平面上处处解析也处处可导，函数g（z）=■在整个复平面处处不解析也处处不可导，但是函数h（z）=|z|■在z=0可导但不解析，主要原因在于函数h（z）在z=0任一邻域内都有不可导的点，不能满足解析函数的定义.

2.根据柯西—黎曼方程理解解析函数

按照文献[2]中的定理，复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：

（1）u■，u■，v■，v■在D内连续；（2）在D内有u■=v■且u■=-v■.

其中第二条称为柯西—黎曼方程，该定理为我们提供了一种判别复变函数是否解析的方法，对于一个区域内的复变函数只要满足上面条件，就可以说明它是解析的；反过来，解析的复变函数也一定满足上面两条结论.实际上，该定理也可以看成是解析函数的等价定义.

需要指出的是，对于常见的初等函数，如三角函数、对数函数和指数函数等，它们的解析性都是通过上面定理证明.比如对于指数函数f（z）=e■=e■cosx+ie■sinx，经过简单计算可知它的实部和虚部对所有的点都是满足上面两条结论的，因此指数函数在整个复平面上都解析，最后为了方便应用，只要记住这些初等函数在什么的范围解析就可以了.关于初等函数的详细讨论可以参考文献（3）—（4）.下面举例说明如何应用该性质分析复变函数的解析性.

例1：讨论函数f（z）=x■+iy■的解析性.

解：因为函数的实部和虚部分别为u（x，y）=x■，v（x，y）=y■，所以u■=2x，u■=0，v■=0，v■=2y.

从而u■=0=-v■，要u■=2x=v■=2y，必须y=x，故仅在直线y=x上柯西—黎曼方程成立，从而函数f（z）=x■+iy■仅在直线y=x上可微，但在整个z平面上处处不解析.

3.通过柯西积分定理和摩勒拉（Morera）定理理解解析函数

柯西积分定理[2]：如果函数f（z）在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条简单闭曲线，则？蘩■f（z）dz=0.

摩勒拉（Morera）定理[2]：如果函数f（z）在单连通区域D内连续，且对D内任一条简单闭曲线C有？蘩■f（z）dz=0，则f（z）在D内解析.

这两个定理主要通过积分形式判别函数是否解析，虽然柯西积分定理的证明比较麻烦，但是该定理的应用十分广泛，可以极大地简化积分计算，比如应用该定理计算积分？蘩■z■sin■ze■dz时，可以利用函数f（z）=z■sin■ze■在整个复平面上解析的特征判断它的积分的值为0，教师在教学过程中应该与高等数学上的微积分基本定理进行比较，说明该定理在复变函数中的重要性.需要注意的是，当判断函数在某区域内是否解析时，人们很少去用该定理判断，主要原因在于任意闭曲线在实际计算中很难表示.

4.通过共轭调和函数理解解析函数

根据文献[2]共轭调和函数的概念可知，复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件为：在区域D内v（x，y）是u（x，y）的共轭调和函数.需要注意的是，利用该性质不仅可以判断函数的解析性，而且可以构造解析函数.下面我们举例说明解析函数的构造问题.

例2：已知二元函数u（x，y）=x■+xy-y■，能否构造出解析函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y），如果能，请写出函数f（z）的具体形式.

解：对函数u（x，y）求偏导数可得：

u■=2x+y，u■=x-2y，u■=2，u■=-2.

故u■+u■=2-2=0，从而函数u（x，y）在整个z平面上为调和函数，于是利用上面性质，可以判断所求的解析函数f（z）必定存在.下面求该函数的具体值，利用柯西—黎曼方程可得v■=-u■=2y-x，v■=u■=2x+y，从而对函数二元函数v（x，y）微分可得，

dv=v■dx+v■dy=（2y-x）dx+（2x+y）dy

=（2ydx+2xdy）+（-xdx+ydy）

=d（2xy）+d（■（y■-x■））

=d（2xy+■y■-■x■）

所以函数v（x，y）=2xy+■y■-■x■+C（C为任意常数），函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在整个复平面上解析.

解析函数与调和函数具有很多类似的性质，对于解析函数我们有柯西积分公式；而对于调和函数，有与柯西积分公式相似的泊松（Poisson）积分公式.解析函数有平均值定理和极值定理；而调和函数也有类似的结果.通过调和函数去分析解析函数，能够帮助学生更好地掌握解析函数的性质.

调和分析是一种极为复杂的数学分析理论，大部分复变函数书都只是对该方面进行简单介绍，关于该理论的详细情况，教师可以指导学生查看其他书目.

5.通过级数理论理解解析函数

级数也是研究解析函数的一个重要工具，把解析函数表示成级数不仅有理论意义，而且也有重要的实际意义.文献[2]中指出了，函数f（z）在区域D内解析的充要条件是：f（z）在区域D内任一点a可以展成z-a的泰勒级数.

利用泰勒定理，我们得到了级数与解析函数的关系，从而可以通过分析级数的性质去理解解析函数的概念.对于幂级数而言，只要求出其收敛半径，就可以断定它的和函数在收敛圆内处处解析.

参考文献：

[1]陆庆乐.工程数学：复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2010.

第5篇：高数指数函数范文

一、学生分析

根据皮亚杰认知理论，高中阶段的学生虽具备了一定的思维、推理和判断能力，但其思维还停留在由直观的形象思维向抽象的逻辑思维的转变时期。因此本节课是按照通过对指数函数图象和性质的类比得到对数函数的图象和性质。符合一般学生的认知规律。

二、学习环境分析

利用多媒体教室，借助几何画板强大的绘图功能和Power Point直观演示功能，完成对数函数图象和性质的教学目的。

三、教学目标

1. 在了解互为反函数的函数图象间关系的基础之上，掌握由已知函数图象做出反函数图象的方法和技巧。

2. 通过从特殊到一半的归纳，培养学生探索问题的能力。通过经历知识产生的过程，培养学生分析和解决问题的能力。

四、教学重难点

教学重点：围绕对数函数是指数函数的反函数这个中心，使学生在掌握在互为反函数的函数图象的关系基础上探究函数y=logax对于a>0和0

教学难点：运用对数函数的性质来解决数学中的实际问题。

五、教学设计

1. 复习引入

（1） 复习旧知：复习指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象和性质。

（2）指对数互化关系：

利用多媒体的直观性，帮助学生复习指数函数的图象和性质。利用求反函数的方法来求指数函数的反函数――对数函数。

2. 导入新课

（1） 引导学生做出对数函数的图象。由于对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以这两个函数图象关于y=x直线对称。借助几何画板强大的绘制函数图象功能，通过让学生绘制y=ax关于y=x直线对称的曲线就是y=logax的图象，让学生直观地认识到对数函数的性质。借助多媒体，向学生展示对数函数图象的对称变换，引导学生观察不同对数函数的图象，说明对数函数图象的性质。

（2） 让学生选取不同的底数a，利用几何画板在同一直角坐标系中绘制不同的对数函数图象，体会底数a对函数图象性质的影响。在这个过程中培养学生的观察能力、抽象思维能力、创造力和科学探究能力。

（3） 指导学生利用几何画板画出函数y=log3x和y=log1/3x的图象，并引导学生观察这两个图象的相同点和不同点。在这个过程中主要做到：分析图形之间的特征和关系，直观揭示数学本质特征，充分展示多媒体“呈现过程，形成表象”的作用，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。

（4） 练习：比较下列各组中两个值的大小：log0.21.9和log0.22.3；log25和log35；log27和log213。利用几何画板演示，利用对数函数的增减性比较两个对数的大小。练习题不一定局限于教师提供给学生的几道题，也可以让学生自己设计，在学生自己设计的习题中发现问题、解决问题。

第6篇：高数指数函数范文

【关键词】指数函数；教学设计；教学反思；数形结合；分组探究；思维方式

一、对教学几个环节的认识和重构

1.问题引入，得出概念

师：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，3个分裂成8个……一个这样的细胞，分裂x次后，你能求出细胞分裂的个数y与x之间满足的关系式吗？

生：y与x之间的关系式，可以表示为y=2（x∈N*）。

师：有1根长1米的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半……剪了x次后绳子剩余的长度为y米，试写出y与x之间满足的关系式。

生：y=（）（x∈N*）

这两个都是实际问题，让学生感知到这种函数在实际情境中经常会用到，且和以往学过的函数不同，从而体会学习新知的必要性。虽然从实际背景中抽离出两个数学模型，但是两个函数定义域都是N*，多多少少会给部分学生造成一定误解，好像指数函数定义域只可取，所以可以考虑换一个定义域不是N*的实际例子，比如：

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%，如果经过x年，该物质剩余的质量为y，那么该如何描述这两个变量的关系？

之后，还要说明这两个变量的关系式都是函数表达式，既然是函数，又和以往的不同，那这种函数的一般形式是什么，取个什么名字比较好，那么这些问题就比较自然了。

2.指数函数概念的理解

新课标在知识与技能层面要求学生掌握指数函数的概念，并能根据定义判断一个函数是否为指数函数。因此针对一些学生不太清晰或易错的点要指明。比如判断y=5×3，y=3，y=-3是不是指数函数。通过以上这三个小问题学生就知道了判断一个函数是不是指数函数的标准：经过整理后的形式符合：（1） ax的系数是1；（2）a的指数是x；（3）a大于0且a不等于1。三个例子中，y=3是指数函数。这样就对一些同学的错误认识，即只通过看指数位置是否为自变量来判断是否是指数函数，提前做了规避，加深了对指数函数概念的理解。

3.敌谓岷系贸鲋甘函数性质

新课标在过程与方法层面上要求：（1）通过探讨指数函数的概念，感知数学概念的严谨性和科学性；（2）在学习指数函数过程中体验研究具体函数的过程和方法，如从特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法。但在实际应用数形结合思想来发现性质时，可能会出现一些问题。

在指数函数的性质得出的过程中，不少老师可能会让学生通过几个具体指数函数的图像来研究，因此会列表，描点，连线。但如果仅仅如此，会有学生在作图时出现不标出定点（0，1）的情况，导致在观察图像时总结不出图像过定点的结论，原因是他们在列表时就没想到让x取0。

为了避免这个问题，一方面我们可以通过类比的方法来解决。比如我们在画二次函数图像时，虽然是画草图，但草图上也会标出函数的顶点，以及与坐标轴的交点（若有的话）。由此观察图像，得出指数函数过（0，1）定点。这是从“形”的角度来考虑。

另一方面，我们研究函数的性质可以先从函数解析式出发，从“数”的角度得出此函数会有哪些性质。比如，（1）当x=0时，y=1，所以过（0，1）；（2）奇偶性：定义域是R关于原点对称，但a-x不恒等于 ax，也不恒等于-ax，所以指数函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数。（3）单调性：不妨先考虑x取正整数的情况，此时y=ax 就是x个a相乘，所以a>1和01时，y随着x的增大而增大，y=ax在（-∞，+∞）上是增函数；00，所以值域是（0，+∞）。

当然除了从“数”的角度来分析，还要让学生动手画图（列表，描点，连线），从“形”的角度加以验证。通过实物投影展示学生作图，加以对比分析，总结性质。同时借助几何画板，展示规范作图和当a取不同值时的函数图像，一方面验证指数函数性质，另一方面引导学生发现指数函数其他可研究的内容。

4.比较值的大小

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

除了通过构造指数函数，借助函数单调性来比较值大小外，可能会有学生想到借助作差或作商的方法来比较大小，比如，1.5-1.5=1.5（1-1.5）或者=1.5，不论哪种方法最后还是要借助指数函数的单调性或图像来比较，因为由指数函数y=1.5的单调性可知，1.50.7>1，所以1.5>1.5。由此可以总结，在处理比较值大小的题目时直接借助指数函数的单调性来解决更好。切不可对学生作差或作商的想法直接予以否定，强行中断思路，强行引导到构建指数函数的思路上来。（3）可分别借助y=1.5，y=0.8的图像，观察出两个值的大小，学生会自然发现要和1比较。最后总结：在比较不同底的函数值大小时，要寻求中间数来比较，这个中间数常会考虑1，熟练掌握后可不用画图。总之，在刚接触这类题目时，教师应调动学生学习积极性，让学生畅所欲言，感受思考带来的乐趣，学生通过自主探究，归纳出处理这类问题的最优方案。

经过前面四块内容的改进与重构，下面概述一下这节课整体的教学设计（部分内容已在前面详述，不赘述）。

二、改进后，我的教学设计

1.创设情境

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，3个分裂成8个……一个这样的细胞，分裂x次后，你能求出细胞分裂的个数y与x之间满足的关系式吗？

问题2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%.如果经过x年，该物质剩余的质量为y，那么该如何描述这两个变量的关系？

（1）对于关系式y=2 （x∈N）和y=0.84 （x∈（0，+∞））

让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：

①它们能否构成函数？有什么共同特征？

②是我们学过的哪个函数吗？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

（2）让学生讨论并给出指数函数的定义，同时根据定义，由学生讨论给出a的范围，即a>0且a≠1。

之后，教师可通过让学生写出指数函数式的方式来判断学生是否理解指数函数概念，也可写出一些解析式让学生判断，如计y=5×3x，y=32x，y=-3x。

2.数形结合，分 组探究，归纳指数函数性质

（1）提出问题，集思广益

问题3：你打算如何研究指数函数的性质？

问题4：一般研究函数哪些性质，你打算怎样研究？

设计意图：学生的思路基本会分成两类：一类尝试通过逻辑关系的探究，得出定义域、值域及单调性、奇偶性等，这类学生的逻辑思维能力较强；而另一部分学生则想通过画函数图像的方法去判断，这类学生是以形象思维为主要思维方式。这恰恰也反映了高中生在数学学习上表现的两种典型思维：形象思维和抽象思维。

（2）分组活动，合作学习

按学生思路，将学生分为两组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数性质，一组借助列表、描点、连线的作图方法，通过观察图像研究指数函数性质。

（3）展示交流、逐步完善

教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，先让组一同学的代表从代数角度上台展示其研究成果，其他组员可对其进行补充完善。再让组二同学结合自己画的图像，利用投影仪展示对前面组一同学的结论进行评价，最后教师对两组同学的成果以及表现进行点评，并用几何画板展示不同的指数函数图像，与学生一起从“数”、“形”两个角度对比得出指数函数的性质。当然，还可以抛出问题让学生留作思考：除了定义域、值域、单调性、奇偶性外，你是否还发现了其他的性质？

设计意图：这一环节一方面让学生从两个角度（代数、几何）合作探究，自主得出了指数函数的性质，让学生对新知识理解得更加透彻，掌握得更加扎实，印象更加深刻；另一方面，探究的过程就是学生独立思考，合作学习，并展示自我的过程，这体现了教学中“以学生为主体”的启发性教学原则，发挥了学生学习的主动性，激发了其对数学学习的兴趣，启迪其思考，利于其思维水平的提高。同时，这种探究过程能提高学生语言的表达能力和展示自我的勇气，符合我们本节课对情感态度价值观这一教学目标的要求，同时也为我们以后研究其他函数的性质指明了方向。

3.固训练，提升能力

例1.比较下列各组数中两个值的大小：

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

例2 .（1）已知 3≥3，求实数x的取值范围；

（2）已知0.2

4.课堂小结

（1）本节课我们学到了什么新知识？

（2）回顾我们的研究过程，我们是怎么研究指数函数的。

三、教学反思

（1）本节课的重难点在于如何引导学生研究并归纳出指数函数性质。数形结合的思想方法是高中常用数学方法之一，也反映了高中生的两种思维方式：抽象思维和形象思维。教师在这一环节中，引导学生从“数”和“形”两个角度研究函数，避免了学生一些易犯的错误，让学生知其然，知其所以然，明晰研究和思考的全过程，在实际教学中也取得了很好的教学效果，也为以后如何研究函数指明思路。

（2）交流是教学活动最基本的形式，在这一阶段，教师给学生提供了一个各抒己见、真实表达自己思路、充满对话交流的开放性场景，组织学生讨论、辩论，互相启迪，互相评价。在深化知识点的同时，让学生明白不仅要倾听和理解他人，还要学会正确的表达自己。本节以学生讨论交流为主，教师适时点拨，发现和捕捉学生思维亮点的同时，引发学生更高层次的体验和感悟。

（3）数学教学是数学思维活动的教学，数学学习只有学习者参与思维活动才有效。教师应让学生充分思考，去探索问题，在探索中解决问题，在解决问题中引发更深的新问题。只有不断探索、解决问题，学生的思维能力和创新能力才能得到有效的发展。我们应该坚持关注学生的体验，在课堂上给学生更多思考的时间和空间。

【参考文献】

[1]祝世清.人教A版选修（2-2）：一道习题解答的勘误[J]. 中学数学教学，2008（5）.

[2]高中数学教学参考书（必修1）[M]. 江苏凤凰教育出版社，2012.

第7篇：高数指数函数范文

【关键词】课例研究；指数函数；同课异构；课堂实录

一、研究背景：

《指数函数》这节课出自普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社数学必修一）。指数函数的图象和性质是教学重点，这部分要注重数形结合、几何直观等数学思想方法的渗透。指数函数是高中第一个系统的由图象观察、推导性质的函数。所以这节课对于给学生确立先图象后性质的研究函数的方法至关重要。而教师如何培养学生的这种意识或者说是能力，自然成了我们研究的主题。我们通过研课——上课——反思——再研课——再上课——再反思的思路进行了探索和研究，以期找到一条适合我校学情的教学解决方案。

二、研究主题：

培养学生由函数图象观察、推导函数性质的能力。

三、教学实践：

第一次教学实践：

1.上课班级：高一五班

2.学情分析：我们所面对的学生大多数数学基础薄弱，理解能力、思维能力、运算能力等方面普遍很低。同时相当一部分学生学习信心不足，学习的主观能动性有待加强。基于此我在教学中就要立足实际，适当降低学习内容的难度和深度，对学习任务的完成也要降低标准。实际课堂教学中多关注学生的实时反馈，引导学生学会学习、学会思考，激发学生的求知欲和学习的积极性。

3.教学目标：（略）

4.重点、难点：（略）

5.教学过程设计：

（1）创设情境，导入新知。a举例：由白纸对折事例，创设问题情境，引发学生思考。b呈现本节课的学习目标。

（2）启发诱导，发现新知。a据上一环节教师引导学生归纳出指数函数的定义。b教师要求学生完成相应练习。

（3）深入探究，理解新知。a教师指导学生完成以3和1/3为底的指数函数图象。b教师对学生总结的指数函数的性质进行质疑、补充。

课堂实录：

师：现在我们已经有了具体的函数图象，并进而推测得出a>1和01时是增函数，0

（4）强化训练、巩固新知。a教师讲解例题，并辅导学生完成相应练习题。b教师下发当堂检测题。

（5）小结归纳，拓展新知。教师引导学生总结本节的知识点。

（6）布置作业，内化新知。教室布置课外作业，提出复习要求。

6.课后反思：

在教学实践中，第四环节由于时间问题被临时取消了。只完成了一二三五环节，并且五环节的反馈没有达到预定目标，甚为遗憾。

第二次教学实践：

1.上课班级：高一一班

2.教学过程设计：

（与第一次课基本一致，略）

课堂实录：

师：现在我们已经有了具体的函数图象，而且是具有普遍性质的图象，我们可以用图象获得函数的性质，图象的宽的范围就是定义域，高的范围是值域，图象的变化趋势就是单调性，关注图象与x，y轴的交点以及图象上的特殊点和图象的边界性。那么现在就请结合大屏幕上的图象，填写《问题导学案》上的那个表格。（学生自主或合作填写指数函数图象和性质表格，教师巡视指导）师：好，现在哪位同学把你填写的结果与大家交流一下。生：观察图象宽度知道定义域为R，观察图象高度知道值域为[0，+∞）……师：先打断一下，由刚才这位同学说的值域，我知道函数值可以取到0。大家再观察一下我们刚刚画的以3和1/3为底的指数函数图象，看看是不是这样的？另一位同学：函数值是不能得0的，因为3的任何次幂都不为0，所以值域中不包含0，那个应是左开右闭区间。师：这位同学说的很不错，指数函数的值域中确实不包含0。你再接着说吧。生：观察图象的变化趋势知道a>1时是增函数，01时，x0时函数值都大于1。同样0

3.课后反思：

本节课在第一次上课的基础上进行了一些修正，教师只起到了启发、诱导、点拨的作用，学生才是教学的主体。

四、本次课例研究总结：

掌握函数的图象和性质是我们研究函数的根本，本次的课例研究就是在试图探索出一条画图象——学图象——学性质——用性质的函数学习之路。从最终的效果来看，我们达到了一定的目的，对于如何让学生学会由函数图象观察、推导函数性质有了一定的心得体会。

【参考文献】

[1]韩立福.《新课程有效课堂教学行动策略》.北京：首都师范大学出版社.2006

第8篇：高数指数函数范文

【关键词】定义域；思维能力；创造性

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终，在高考中占着重要的地位，平时教学必需引以重视，真正理解其含义，尤其是定义域。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x）。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围，因为当自变量 取负数或不小于50的数时，S（面积）的值是负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围： 即：函数关系式为：S=x（50-x）（0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若能注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好的严密性。

二、函数的最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值。

解：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化，这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-

（2）当->q时，y=f（x）在[p，q]上单调递减函数f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；

（3）当p≤-≤q时，y=f（x）在[p，q]上最值情况是：

f（x）min=f（-）=，

f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：-2≤1≤5

f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数的单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=log2（x2+2x）的单调区间.

解：先求定义域：x2+2x>0 x>0或x

函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）.

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又f（x）=log2 u在[0，+∞）是增函数.

函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、函数的奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例4：判断函数y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：2∈[-1，3]而-2?[-1，3]

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

函数y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.

若学生能像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性， 如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）函数y=x3，x∈[-1，3]是奇函数.

以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

第9篇：高数指数函数范文

关键词： 高考 函数 奇偶性 教学应用

1.引言

函数是高中数学的重要内容之一，由于具有一定的抽象性，比如：当函数的定义域在一维直线上时，是熟悉的初等函数；当函数的定义域在复数域上时，则是大学数学里的复变函数.由此可见，高中教材里教学的函数概念会有一定的概括性，然而，通过空间直角坐标系的引入，发现高中学习的函数在坐标系上实际表示一条曲线.进而讨论函数性质可以转化为讨论函数图像的特点.奇偶性实际上是图像关于原点或者是y轴的对称性，所以在图形上体现得尤为明显，在研究函数中就有十分重要的地位.

奇函数和偶函数定义：设f（x）的定义域为D，？坌x∈D，都有f（-x）=f（x），称f（x）为偶函数；设f（x）设的定义域为D，？坌x∈D，都有f（-x）=-f（x），称f（x）为奇函数[1].

函数奇偶性的题型及分值情况从上表可以看出，函数奇偶性是近两年来高考数学考查的常考点，这类题目的考点主要考查奇函数和偶函数的定义及其等价形式，还有函数奇偶性与函数其他性质的综合应用，因此学生应熟练掌握奇函数和偶函数的定义及其等价形式，以及函数的其他性质.这样，在解题过程中，就会举一反三，给解题带来简便，在高考中才会有充足的时间解答其他题目.函数奇偶性的问题总体来讲还是较简单的，但是简单的题目更容易丢分，因此考试时切不可粗心大意，下面将以近两年的部分高考题目作为实例，谈谈函数奇偶性在高考中常出现的几种题型.

2.函数奇偶性的应用

2.1直接用定义判断函数的奇偶性

求解这类题目，可以先求出函数的定义域，接下来判断所得出的定义域是否关于原点对称，如果满足，再根据f（x）与f（-x）的关系来确定f（x）的奇偶性；反之，则无奇偶性可言[2].

解：选项A的定义域为[0，+∞）；不满足奇函数的条件，从而不是奇函数；同理，B、C选项均不满足，故答案选D.

小结：当函数为分段函数时，要判断其奇偶性，先分段来看f（x）与f（-x）的关系，当且仅当，所有的区间都满足同样的关系，才可以真正判断其函数的奇偶性，一般对于简单的分段函数来说，尽可能地作出函数的图像，根据图像分析问题，直观明了.比如：2014年湖北―文科卷第9题.

2.2奇偶性在指数函数与对数函数中的应用

高考对指数函数和对数函数知识点的单独考查并不是很多，但最近几年有加强之势.

性质：（1）指数函数y=a=（a>0且a≠1）图像一定过点（0，1）；当a>1时，f（x）在R上单调增；当a∈（0，1）时，f（x）在R上单调减.（2）对数函数y=logx（a>0且a≠1）图像一定过点（1，0），当a>1时，f（x）单调增；反之0

小结：以上两道题主要考查函数奇偶性在指数型函数与对数型函数中的应用，由f（x）与f（-x）的关系进而求出参数，从而得出具体函数解析式，接下来的问题就迎刃而解了.

2.3奇偶性在幂函数中的应用

幂函数是基本初等函数之一，常以简单题型出现在高考试题中，在求解时主要是利用图像、性质及定义判断一个函数是否为幂函数.

幂函数的奇偶性：设指数α=±（是最简分数），有以下几种情形：

（1）当m和n都是奇数，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，y=x是奇函数；

（2）当m是奇数，n是偶数，xx∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，y=x是偶函数；

（3）当m是偶数，n是奇数，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，y=x无奇偶性.

即答案选B.

小结：充分理解函数的奇偶性及其等价的形式是解决以上问题的关键.

2.4奇偶性在抽象函数中的应用

抽象函数，即没有给出具体的表达式的函数，此类题型通常都会给定某一个函数的定义域，进而求与其相关联的抽象函数的自变量的范围[6].解答这类题的方法：观察题目、把数学语言尽可能地转化为函数图像，以形助数，数形结合，进而巧妙、快速地得出答案.

例6.（2014年新课标Ⅱ）[7]已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x-1）>0，则x的是？摇 ？摇？摇.

解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减且f（2）=0，即f（-2）=0，不等式f（x-1）>0？圳f（x-1）>f（2）？圳f（|x-1|）>f（2）所以|x-1|

小结：解题的关键是去掉函数符号“f”前的符号与去掉函数符号“f”[8].

3.结语

高考对函数奇偶性的考查，除了对定义的考查之外，往往会结合函数的其他性质综合考查学生.关于解决函数奇偶性在高考中的应用的这类题目，虽然本身题目并不是很难，但是对思维的缜密性要求比较高：首先要紧扣定义，从定义域是否关于原点对称和f（x）与f（-x）的关系两方面来考虑；其次要充分利用函数奇偶性和函数图像进行分析转化，比如说对于抽象函数来说，一定要尽量把文字转化为图像，这样就会比较直观且容易解答.

参考文献：

[1]涂光明.中文期刊数据库[J].奇、偶函数概念的拓广.株洲师范高等专科学校学报，2001，6（5）：9-10.

[2]王建立.中文期刊数据库[J].函数定义域在解题中的重要作用，2009，（5）：86-88.

[3]曲一线.5年高考3年模拟B版[M].北京：首都师范大学出版社，2015.

[4]王玲.中学生数理化（高一版）[M].幂函数题型展示，2010（7）：32-33.

[5]崔北祥.2011-2015最新五年高考真题汇编.理科数学.合肥：安徽教育出版社，2014.

[6]刘光东.中学数学杂志（高中版）[J].抽象函数试题研究，2014.