高数函数有界性的判断精选(九篇)

第1篇：高数函数有界性的判断范文

【关键词】尖点突变；突变临界点；经济动能；经济势能

【中图分类号】F037 【文献标识码】A 【文章编号】1006―5024(2007 J01―0119―03

【基金项目】国家自然科学基金项目(70433003／G03)、上海市重点学科“系统管理”(T0502)的阶段性成果

【作者简介】罗鄂湘，上海理工大学管理学院副教授，博士生，研究方向为管理科学与工程；钱省三，上海理工大学管理学院教授，博士生导师，研究方向为工业工程、科技管理。(上海200093)

突变理论是比利时数学家雷内・托姆于1972年创立的关于奇点的理论。它是建立于拓扑动力学、微积分、奇点理论及结构稳定性等数学理论之上，专门研究不连续变化的理论。尽管其推导过程十分复杂，但是由于它所提出的七个初等突变模型较为简洁直观，使得突变论在物理学、化学、生物、地理、交通、心理学、经济学、管理学等方面有着广泛的应用，但将其应用于经济波动分析的研究则较少，尤其是在建立突变模型分析状态变量与控制变量之间关系方面的研究就更少。

本文应用突变论中的尖点突变模型，借助于经济分析力学中经济动能与经济势能的概念，分别以经济动能的函数与经济势能的函数为控制变量；并在此基础之上，确定了突变临界点的判断方法，在将其应用于全球集成电路产业的突变预警研究的过程中取得了良好的实验结果。

一、尖点突变模型及机理

突变论对动态系统行为中的突然跳跃(突变现象)进行了分析和分类。托姆证明，对于余维数≤4的系统，有7个不同的稳定结构(万有开折)，即存在7个势函数。具有一个状态变量x和两个控制变量a1、a2的系统的突变被称为尖点突变。

尖点突变的势函数为：　表示了系统的变化是由状态变量x与控制变量a综合作用的结果；

平衡曲面M为：

，表示了状态变量x与控制变量a综合作用后的某一状态；

奇点集s为：　，表示平衡曲面中的突变状态集合。

将M与s式联立求解，得到分歧集B，方程为：

或写作

，

表示当控制变量满足分歧集方程时，系统的状态会发生非连续性突变。此时a1必为负值、a2则可正可负。一般称a1为剖分变量、a2为正则变量。

二、经济分析力学的基本概念

根据经济分析力学，系统状态由经济动能和经济势能所决定，可以认为影响系统状态的两个控制变量a1与a1分别为经济势能的函数和经济动能的函数。从定性上分析，经济势能是指经济系统的投入情况，经济动能是指经济系统的投出情况，当某个经济系统的投入状态超过一定值时，表现为库存的积累，而通常库存积累过多是引发经济突变的重要因素，因此本文将某经济系统中的经济势能的函数作为控制变量a1。

经济动能和经济势能可以通过经济系统时间序列数据推导而得，计算公式如下所示。

设某经济系统M的时间序列为M1，M2，M3，M4，…，M。

经济动能的计算公式为：Ti=:Ti=Mi*V2；

经济势能的计算公式为：Ui=-Fi*Mi

其中v为经济速度，计算公式为：

Vi=d／dtM=Mi-Mi-l

F为经济综合力，计算公式为：Fi：M・Ai+V。；

且Ai为经济加速度，计算公式为：

以上各式中i＝3，4，…，n

三、基于经济动能与经济势能概念的经济突变模型建立

本文设某经济系统的销售额增长率z为状态变量，z值从高到低或从低到高的平滑变化，可视为一般的经济波动现象；而z值突然从高到低或突然从低到高的变化，可视为经济波动的突变现象。

根据尖点突变模型，经济系统的势函数可以写为：

其分歧集方程可写为：

且

建立集成电路产业突变模型如图1所示。

分析：

在F(u)一定的情况下，当F(T)由低到高变化时，z值也会产生由低到高的变化，使该经济系统处于上升的状态；F(T)由高到低时，z值也将产生由高到低的变化，使该经济系统处于衰退状态。

当控制变量F(U)值为正时，F(T)的变化所带来的经济状态Z的变化是光滑性变化。

当控制变量F(u)为负并达到一定的临界值时，F(T)的一个微小的变化所带来的经济状态z的变化就可能产生经济突变。例如经济状态处于M面中的I点，经济动能的一个微小的下降，就可能导致经济系统突跳到J点，即意味着危机的产生，然后该经济系统会沿着曲线w继续走低；如果要恢复到原来的景气状态，就需要更长的时间和更大的动能，使该经济系统从J点沿曲线x到K点后，才可能形成再一次的突跳到L点，而且这时的经济状态要优于以往的经济状态，如I点的状态，这被称为滞后现象。

四、建立突变临界点的判断标准

由于z值从高到低的突变会产生巨大的危害作用，因此本文主要研究z值从高到低的突变现象，提出预测这种破坏性突变的临界点的判断条件。

在尖点突变模型中发现突变临界时刻a1的值为负而a2的值可正可负，那么欲判断某个时刻是否是突变临界时刻，首先需要构造a1的函数式，再进而进行有关的分析。

因此本文建立破坏性突变临界点判断标准的思路是：从历史数据中筛选已发生的破坏性突变临界时刻，通过对这些时刻的a1值与势能u值的分析，构造破坏性突变临界时刻的a1。与势能u之间的函数关系式；并通过该关系式求出历史破坏性突变临界时刻的标准a1值，即；计算(

)，取最大值与最小值之间的区间为破坏性突变临界范围，即为突变临界点的判断标准。

计算步骤如下所示：

步骤一，选出历史突变临界时刻并获得其相应的状

态变量　势能　、控制变量　；

步骤二，分析历史突变时刻的　之间的关系，构造函数　；

步骤三，根据步骤三函数关系计算标准控制变量值　；

步骤四，确定破坏性突变临界点的判断标准：

计算误差

，则突变临界范围的下限为min　，上限为max(　)。 判断某个时刻是否是破坏性突变临界时刻的方法：

首先计算某个时刻的　；

再根据所构造的函数　计算该时刻的标准　值，即　值，并计算(　)；

若该值不在突变临界误差范围之内，则为非突变临界点；若该值在突变临界误差范围之内，则为突变临界点。

五、实证研究

本文从美国半导体协会的网站上收集到从1982年至2004年全球半导体销售额的数据，设全球半导体产业市场销售额年增长率为状态变量z。全球半导体产业的突变临界范围的计算及突变点的判断过程如下所示。

步骤一，根据全球半导体行业的历年来的销售额，选出历史突变临界时刻，并计算其状态变量　、经济势能　；及控制变量　；

根据历史数据选出1984、1995、2000为突变临界点，计算其相应的

，如表l所示。

步骤二，构造经济势能u和控制变量　，之间的函数关系。

分析经济势能U及控制变量　的关系，并经过多次实验，发现它们之间的函数关系为：

指取u值的符号

步骤三，根据函数关系计算　。

据步骤三之函数关系计算　为：(－1．2856，一0．9587。－O．8845)

步骤四，确定破坏性突变临界点的判断标准：

根据误差计算公式计算　为：(0．0126，－0．0829，0．0868)，即突变临界范围的下限为－0．083，上限为0．087。

为了验证提出的突变临界范围的正确性，利用1982年至2005年的全球集成电路产业市场销售额的数据，根据步骤二的函数关系，以及根据误差公式计算全球半导体业自1984年－2005年各期　的误差值，得表2。从表2中可以看到除突变点以外，各时刻的　误差均不在突变临界范围以内，说明了本方法的精确性。

六、结论

第2篇：高数函数有界性的判断范文

例1 已知f（x）=（ + ）x3（a>0且a≠1）.

（1）讨论f（x）的奇偶性.

（2）求a的取值范围，使f（x）>0在定义域上恒成立.

解 （1）由于ax-1≠0，所以ax≠1，即x≠0.所以，函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}.

对于定义域内任意的x，有f（-x）=（ + ）·（-x）3=（ + ）（-x）3=（-1- + ）（-x）3=（ + ）x3= f（x），故函数f（x）是偶函数.

（2）由（1）可知函数f（x）是偶函数，所以只需讨论x>0时的情况即可.

当x>0时，要使f（x）>0，则（ + ）x3>0，即 + >0，也就是 >0，于是可知ax-1>0，即ax>a0.

又x>0，所以a>1.

故当a>1时，f（x）>0在定义域上恒成立.

小结 本题的第一问是先求函数的定义域，再判断其奇偶性；对于第二问中的恒成立问题，我们可借助函数的奇偶性，只需讨论x>0时的情况即可.

二、高考中含有指数的复合函数问题大多数都是以综合题的形式出现，指数函数与其他函数形成复合函数，与方程、不等式、导数等内容形成各类综合问题.因此，学生要努力提高综合能力.分类讨论是常态，导数是工具，建立恰当的函数是关键.在这类问题中，指数函数只是一个考查的载体，其主要目的是考查学生的综合应用能力.

例2 已知函数y = 为奇函数.

（1）确定a的值.

（2）求函数的定义域.

（3）求函数的值域.

（4）讨论函数的单调性.

解 将函数y = 化简为y =a- .

（1）由奇函数的定义，可得f（-x）+ f（x）=0，即a- +a- =0，2a+ =0.a=- .

（2）y =- - ，2x-1≠0.函数y =- - 的定义域为{x|x≠0}.

（3）（方法1：逐步求解法）2x-1≠0，-1

- - > 或- - 或y

（方法2：有界性法）由y=- - ≠- ，可得2x= .

2x>0， >0，解得y> 或y 或y

（4）当x>0时，设0

y1-y2

小结 本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等知识进行解答.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.一般地，函数y= f（u）和函数u=g（x），设函数y= f [g（x）]的定义域为集合A，若在A或A的某个子区间上函数y= f（u）（称外函数）与u=g（x）（称内函数）单调性相同，则复合函数y= f [g（x）]在该区间上递增；若单调性相反，则复合函数y= f [g（x）]在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）.另外，记住以下结论对判断复合函数的单调性很有帮助：①若函数y= f（x）递增（减），则y=- f（x）递减（增）；②若函数y= f（x）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y = 递减（增）；③若函数y= f（x）递增（减），则y = f（x）+k递增（减）.

三、将指数函数、导数与不等式综合在一起，考查判断函数的单调性、求参数的取值范围等问题.解决单调性问题，可将其转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求参数的取值范围问题，可将其转化为不等式的恒成立、能成立或恰成立问题来解答.进一步转化为求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集R）上的恒成立问题，从而达到考查分类与整合、化归与转化等数学思想的目的.

例3 设函数f（x）=xekx（k≠0）.

（1）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程.

（2）求函数f（x）的单调区间.

（3）若函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增，求k的取值范围.

解 （1）据题意可知f ′（x）=（1+kx）ekx，f ′（0）=1，f（0）=0.故曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y=x.

（2）由f ′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=- （k≠0）.

若k>0，则当x∈（-∞，- ）时，f ′（x）0，此时函数f（x）单调递增.

若k0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（- ，+∞）时，f ′（x）

（3）由（2）可知，若k>0，则当且仅当- ≤-1，即k≤1时，函数f（x）在（-1，1）上单调递增；若k

综上可知，函数f（x）在（-1，1）上单调递增时，k的取值范围是[-1，0）∪（0，1].

小结 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查学生综合分析问题与解决问题的能力.

第3篇：高数函数有界性的判断范文

关键词： 模糊理论； 层次分析法； 模糊隶属函数； 证据合成规则

中图分类号： TN710?34； TM76 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）07?0179?04

Circuit breaker state assessment model based on fuzzy theory

and evidence reasoning method

DU Wenyan1， JIANG Wei1， ZHOU Ming2， FAN Rusen3

（1. College of Electronic and Information Engineering， Shanghai University of Electric Power， Shanghai 200090， China；

2. College of Electrical Engineering and Automation， Shandong University of Science and Technology， Qingdao 266590， China；

3. Qingpu Power Supply Company， State Grid Shanghai Electric Power Company， Shanghai 201799， China）

Abstract： A new circuit breaker evaluation model based on fuzzy theory and evidence reasoning method is presented， and performs the comprehensive evaluation according to some characteristics affecting on the circuit breaker state. The analytic hierarchy process is used to determine the constant weight， and transform the weight according to the variable weight principle. And then the membership function is determined with the fuzzy theory to conform each indicator of the circuit breaker， and distribute the basic credibility. On this basis， the synthesis rule method of the evidence reasoning is used to evaluate the circuit breaker state. The validity of the model was verified. The experimental results show that the method can evaluate the state of the circuit breaker correctly， and is more accurate than the method of using the fuzzy theory only.

Keywords： fuzzy theory； analytic hierarchy process； fuzzy membership function； evidence synthesis rule

0 引 言

嗦菲髟诘缌ο低持衅鸨；さ缏返淖饔茫如果发生故障，会严重影响电力系统的安全和稳定。文[1]提出利用模糊的隶属函数和层次分析法构建多因素综合评判模型，但这种方法建立矩阵时过度依赖专家的主观性。文献[2]运用灰色理论对层次分析法中的权重进行优化，有效提高了评估的质量。文献[3]中对于个别因素的突变对综合评判的影响不大，但能严重影响到断路器的状态而提出的一种改进方法。文献[4]采用物元理论中的关联函数确定指标数据和状态等级间的关系，根据物元大小评估状态等级。

一些决策方法已经应用于处理不确定问题，如模糊逻辑、神经网络、灰色理论、证据理论等。自从D?S理论被应用于处理模糊和不确定以来，基于D?S理论的证据推理就能更好地处理这种多属性决策。本文基于模糊理论与证据推理方法提出一个新的断路器评估模型。

1 模糊综合评判与证据理论

模糊综合评判是基于模糊数学的综合评定方法，即把受到多种因素制约的对象用隶属度的理论把定量的各种状态转换为数学上总体的一个状态评价。

证据推理用来处理不确定问题的方法源于证据理论。在处理评估某一方案被多个因素影响的问题时，证据推理法为了能更好地反应初始状态，容许一个方案评价某一因素时有不同级别的评价，最后用证据推理的递归算法对不同级别的评价综合，保留最初信息中的状态，使得评估结果更加有效。

1.1 模糊综合评判

模糊综合评判的最大优点是能把不确定的模糊性对象用数学的方式清楚的表达出来。其一般步骤为：首先进行模糊综合评价指标的构建；然后通过专家经验法或者层次分析法构建好权重向量，在此基础上建立合适的隶属函数从而构造好评价矩阵；最后采用适合的合成因子对其进行合成，并对结果向量进行解释。

本文中计算权数分配使用的是层次分析法：首先构建判断矩阵，判断矩阵是运用专家的知识，针对每一层的指标每两个因素相互比较，比较在评估中哪个因素更重要，在此基础上根据规定的比较值构造判断矩阵；然用Matlab得到最大特征值和相应的特征向量；最后对得到的特征向量进行归一化处理，即得到权数分配。

模糊综合评判中最重要的是确定隶属函数，所谓的隶属函数就是一个模糊集合因素隶属某种状态的程度。隶属函数的确定一般为：制作专家打分调查表，综合多位专家的主观评价，得到因素和等级的总数量和总的专家数量；最后再进行归一化处理得到每个因素的隶属度。

1.2 证据理论

证据推理由于它的不精确性，可以用来处理不确定的信息，属于人工智能范围。

在DS证据理论中，互不相容的基本命题组成识别框架。该框架的子集称为命题。分配给各命题的信任程度即[m]函数也称为基本的概率分配，用[m（A）]反映对命题A的信度大小。表示对命题A的信任程度为信任函数Bel（A），表示对命题A非假的信任程度，也即对A似乎可能成立的不确定性表示为似然函数Pl（A）。

设[]是一个识别框架，或者称为假设空间，在识别框架[]上的基本概率分配为[2][0，1]的函数[m，]称为mass函数。并且满足：

[m（?）=0，]且[A∈m（A）=1]，其中，使得m（A）>0的A称为焦元。

2 模型设计

本文提出一种利用模糊集合确定mass函数的方法：根据模糊综合评判计算出每个子因素的隶属度；然后把隶属度转化为mass函数，在此基础上利用证据推理的合成规则对因素综合。本文提出的模型可以有效的构造出mass函数，并可以取得良好的综合效果。

在断路器的状态评估中难以用准确的数字模型表示断路器的状态，由于故障原因和故障征兆间存在着复杂的模糊性和随机性。模糊综合评判能较好地处理不完全性和不确定性，还能综合多个影响因素，故在断路器的状态评估中应用较多；证据理论是在人们掌握的证据和知识的基础上能对不确定性事件给出不确定性度量和系统的合成公式的一种推理方法。因此本文运用模糊综合评判和证据理论相结合的方法，不仅能有效地处理断路器评估过程中的模糊性，还能在很大程度上提高状态评估的准确率。

2.1 模糊综合评判

影响断路器状态的因素很多，考虑收集的试验数据的完全性，根据文献[1]，因素集定义为：电特性[f1，]机械特性[f2，]绝缘特性[f3]和其他因素[f4。]其中电特性包括接触电阻[x11，]关闭临界电压[x12，]跳闸临界电压[x13，]累计磨损[x14，]累计开断次数[x15；]机械特性包括合闸时间[x21，]分闸时间[x22，]充电时间[x23；]绝缘特性包括绝缘电阻[x31，]SF6气体密度[x32，]绝缘功率因数[x33；]其他因素包括操作环境[x41，]运用数据[x42，]使用年数[x43。]

用层次分析法判断断路器的状态时，即使某些参数偏离正常值导致断路器的性能急剧下降，但是在常权方法中，各因素的权重固定，若参数所占的比重较小，可能整体的评估结果还是正常的，在评估过程中断路器的真实状态不能被正确地反应出来，所以在断路器的状态评估中要应用变权的方法。在状态评判模型中，由于要考虑影响因素的均衡性，所以要对常权系数做出均衡性的调整。本文将均衡函数加入变权综合公式，其变权公式为：

[ωj（x1，x2，…，xn）=ω（0）jxα-1jk=1mω（0）kxα-1k] （1）

式中：[ωj]为第[j]种因素变权后的权重；[ω（0）j]为第[j]种因素的常权权值；[xj]为第[j]种因素的量值。本文中[α=12。]

不失一般性的将评判级分为5等：[Hn=H1，H2，H3，][H4，H5=很好，好，一般，预警，严重预警，]在本文中引入相对损伤的概念用来描述断路器从正常状态到故障状态的程度，所有的输入参数都转化为相对损伤等级指标，其取值范围为0～1。

对于一些指标，其值越大越好，例如绝缘电阻，其相对损伤程度的计算公式为：

[xim=ximo-ximximo-ximn， ximn≤xim≤ximo] （2）

对于一些指标，其值越小越好，比如接触电阻和绝缘功率因数，其相对损伤程度的计算公式为：

[xim=xim-ximoxima-ximo， ximo≤xim≤xima] （3）

式中：[xima]和[ximn]表示商家规定的限度值；[ximo]表示最初的测试值；[xim]为真实的测试值。

对以上处理后的数据采用隶属函数为三角形和半梯形分布，隶属函数如图1所示。

图1 断路器状态评估的隶属函数

其中“很好”的状态隶属函数的公式为：

[μ1（xim）=1， xim≤ab-ximb-a， a≤xim≤b0， other] （4）

“好”状态隶属函数公式为：

[μ2xim=xim-ab-a，a≤xim≤bc-ximc-b， b≤xim≤c0， other] （5）

以此类推可分别得到其余状态的隶属函数，其中[xim]是第[i]个因子中第[m]个指标，[i=1，2，…，L，][m=1，2，…，M，]在图1中，[a=0.1，b=0.3，c=0.5，d=0.7，e=][0.9， f=1.1。]求得权数和隶属函数后，应用模糊算子M行模糊的综合运算，本文采用的模糊算子是加权平均型算法，其公式为：

[βi（H）=m=1Mωimμi（H）] （6）

式中：[μi（H）]为隶属函数；[ωim]为权数值。

2.2 断路器状态评估中的证据推理

所有的信任程度[βn，i]转变为mass函数[mn，i]，其中[βn，i]代表评估因素[fi]的评估等级为[Hn]的信任程度，证据推理公式为：

[mn，i=mi（Hn）=ωiβn，i， n=1，2，…，L] （7）

[mH.i=mi（H）=1-ωin=1Nβn，i， i=1，2，…，L] （8）

[mH，i=mi（H）=1-ωi， i=1，2，…，L] （9）

[mH，i=mi（H）=ωi（1-n=1Nβn，i）， i=1，2，…，L] （10）

[mH，i=mH，i+mH，i， j=1Lωi=1]

式中：[mn，i]为[fi]的评判等级为[Hn]时的基本信度分配函数；[mH，i]为分配给所有评价等级的信度，分为[mH，i和mH，i，]其中，[mH，i]表示由于其他影响因子的相对权重引起，[mH，i]是由于对[fi]的评价不完全而产生。

然后根据D?S合成法则推倒出能把来自不同证据的基本信任分配函数综合起来的证据递推算法，最后计算出每个评价等级的信度：

[mH，I（i）=mH，i+mH，i， n=1，2，…，L] （11）

[H：mH，I（i+1）=kI（i+1）[mH，I（i）mH，i+1+mH，I（i）mH，i+1+mH，I（i）mH，i+1]][H：mH，I（i+1）=kI（i+1）[mH，I（i）mH，i+1]] [ kI（i+1）=1-n=1N t=1t≠nNmn，I（i）mt，i+1-1， i=1，2，…，L-1] （12）

[Hn： βn=mn，I（L）1-mH，I（L）， n=1，2，…，L] （13）

[H： βH=mn，I（L）1-mH，I（L）， n=1，2，…，L] （14）

式中：[βn]为综合后[fi]对总的评价等级分别为[Hn]时的信度；[βH]为对[fi]评价不完全得到的信度。综合后的评价可用式子[S（y）=Hn，βn，n=1，2，…，N]表示。

3 模型验证

变电站某断路器的测试数据、监测数据和其他因素的记录见表1。其中第一列是记录的评估因素，第二列是初始记录的数据，第三列是2012年12月记录的数据。

先利用层次分析法计算出常权权重，再根据式（1）求得变权权重。变权后的权值为：

[A（f1， f2， f3， f4）=（0.243 1，0.199 5，0.502 9，0.054 5）A（x11，x12，x13，x14，x15）=（0.243 6，0.128 6，0.353 2，0.183 5，0.091 1）A（x21，x22，x23）=（0.216 3，0.648 6，0.135 1）A（x31，x32，x33）=（0.511 2，0.241 6，0.247 2）A（x41，x42，x43）=（0.444 3，0.329 9，0.225 8）]

把不统一的元素数据统一为相对损伤程度，然后根据式（4），式（5）确定隶属度，先确定第3层因素的隶属函数。

根据变权的权值和式（6）得到第3层因素集的评估等级为：

[β（H）=0.698 0 0.302 00000.317 0 0.656 20.027000.201 6 0.753 00.045000.159 4 0.540 50.30000]

然后进行证据推理的计算，根据式（7）～式（10）计算出[mH，i][mH，i，][mH，i，]最后根据式（11）～式（14）求出[βn]最终的评估结果见表3。

由表3可以看出，当只结合了电特性和机械特性时，断路器的状态为很好；当结合了绝缘特性后，状态为好；当结合了环境因素后，状态为好。从2012年的数据计算结果来看，该断路器处于好的状态，结果与该断路器在2012―2014年期间实际工作状态良好，性能稳定的情况相吻合。这个测试证明了所建立的断路器评估模型是可行的、有意义的。

常用的评估算法主要集中在只用单一的模糊综合评判来评估断路器的状态，如文献[1]中的算法，当只用单一的模糊综合评判时，输入表1的数据，利用变权权重，模糊评判矩阵以及式（6）得到的最终评估结果见表4。

从表4中可以看出，虽然断路器最终的状态为好，和表3的最终结果相比较，表3趋于好的状态的信任程度更大，信任程度界限更清晰，结果更准确。

4 结 论

本文主要应用模糊理论和证据推理来评估断路器的状态，由于证据理论要求证据是独立的，不能处理模糊信息，因此先利用模糊理论处理模糊信息的优势，又结合各证据理论处理不确定性的优点，所以能更好地处理这种多属性决策问题。实验表明该方法的有效性，并且验证了本文所提出模型的评估结果比之前单一的采用模糊算法的评估结果更准确，更有效，在实际应用中有更好的应用价值。

参考文献

[1] 李伟.基于模糊综合评判的高压断路器状态评估方法研究[D].重庆：重庆大学，2004.

[2] 国连玉，李可军，梁永亮，等.基于灰色模糊综合评判的高压断路器状态评估[J].电力自动化设备，2014，34（11）：161?167.

[3] 陈伟根，吴娅，刘强.基于突变理论的断路器运行状态模糊综合评判方法[J].高压电器，2007，43（2）：127?130.

[4] LI Xin， QI Hongwei， TENG Yun， et al. Evaluation method of high?voltage circuit breaker running state based on matter element theory and AHP [C]// Proceedings of 2010 International Conference on E?Product E?Service and E?Entertainment. [S.l.]： IEEE， 2010： 1?4.

[5] LIAO R， ZHENG H， GRZYBOWSKI S， et al. An integrated decision?making model for condition assessment of power transformers using fuzzy approach and evidential reasoning [J]. IEEE transactions on power delivery， 2011， 26（2）： 1111?1118.

[6] HENRY A J， NACHLAS J A. An equivalent age model for condition?based maintenance [C]// Proceedings of 2012 IEEE Reliability and Maintainability Symposium. [S.l.]： IEEE， 2012： 1?6.

[7] 陈伟根，李伟，陈新岗.SF6高压断路器状态分析的模糊综合评判方法[J].高压电器，2004，40（5）：361?363.

[8] 陈伟根，魏延芹，廖瑞金.高压断路器运行状态的变权模糊综合评判方法[J].高压电器，2009，45（3）：73?77.

第4篇：高数函数有界性的判断范文

【关键词】线性系统 稳定性 matlab仿真

对于线性系统来说，能够正常完成实际应用的首要条件就是保证系统的稳定性。基于此，当前进行线性系统研究的主要任务就是提升系统的稳定性，并采取一定的措施完成系统稳定性的保护，进而将自动控制理论发展成为一种切实有效的技术。其实，系统自身的结构和参数直接决定了线性系统的稳定性，和后期的相关输入并没有任何关联。传统意义上来说，自动控制系统的复杂性较大，而进行系统稳定性的判别数据计算任务极其繁重，但是在MATLAB出现之后，系统的稳定性分析变的极为简便，而对于复杂性较高的控制系统依然可以借助MATLAB进行基本的分析和设计。

一、控制系统稳定性定义

对于系统稳定性的具体定义可以划分为很多种形式，其中当前容易被人们所接受的有两种，即平衡状态稳定性和运动状态稳定性。但是在线性控制系统中，两种平衡形式是相同的。根据稳定性的相关理论，我们可以对线性控制系统的稳定性作出如下定义：当线性控制系统受到初始扰动的影响时，该系统的过渡过程就会伴随着时间的推移呈现出衰弱的现象，最终趋于零，该种形式的线性系统是以后总渐进式的系统稳定；反之，当线性控制系统受到初始扰动的影响时，系统的过渡过程会伴随着时间的推移呈现出发散的现象，那么将系统称之为不稳定系统。经过上述分析发现，保证线性系统稳定的基本要求是确保闭环传递函数的极点都处于系统的左半S开平面，同时避开虚轴部位。

二、系统稳定性的分析方法概述

受到初始状态的影响，使得系统在受到外界感染作用时必然会随着时间的不断推移呈现出不断减弱的现象，最终受到的影响作用趋向于零，我们将这种系统称之为稳定性系统。在判断线性系统是否具有较好的稳定性时，要求对其结构及相关参数进行综合考虑，和后期的输入并没有任何关系，在实际的工程系统中，我们采用讨论特征根的办法避免对特征方程进行直接求解，并且根据特征根的全部负实部来完成对系统稳定性的判断，上述办法已经得到了数学证明，具有较强的理论作为支撑，具有极强的实用性。然而，伴随着计算机技术的不断发展以及MATLAB语言的出现，常规的工程分析办法已经不能够满足工程建设的基本需求了。而通过进行MATLAB仿真，利用其仿真函数能够直接计算出系统极点的具置，并进一步对控制系统是否具有较好的稳定性进行判断。

三、利用MATLAB进行系统稳定性分析

（一）MATLAB函数实现

在利用MATLAB函数对控制系统的稳定性进行判断时，通常会先将系统函数极点的具体分布情况计算出来，通过分析极点分布位置，查看其是否严格的分布于左半平面，若是，则可以判定系统具有稳定性，若不是，则系统不具有稳定。譬如，在进行系统函数H（s）=（s+2）（s2+2s+2）的稳定性判断时可以借助MATLAB在极短的时间内将零极求出：

num=[1 2]； %系统函数分子的系数矩阵

den=[1 2 2]； %系统函数分母的系数矩阵

[z，p]=tf2zp（num，den） %利用系数矩阵构造系统函数

pzmap（num，den） %显示零极点分布图

MATLAB运行结果如下：

MATLAB运行结果如下：

z=

-2

p=

-1.0000+1.0000i

-1.0000-1.0000i

上述结果可以发现，所求的的系统极点P值的实部全部是负值，而零极点的分布全部位于S面的左半平面，因此可以说明系统是稳定的。

（二）利用MATLAB/SIMULINK动态仿真判定系统稳定性

我们最常用的系统稳定性的判断方法是进行S平面内极点位置的计算，在实际的工作过程中发现，借助MATLAB以及SIMULINK动态仿真技术能够更加直观的反映出系统的稳定性，我们将这种方式称之为系统的动态仿真。譬如，借助模块库中的线性时不变系统模块LTISystem、阶跃信号模块Step、求导运算模块Derivative以及示波器Scope等多种系统构成H（s）=（3s4+2s3+s2+

4s+2）/（3s5+5s4+s3+2s2+2s+1）系统。

本系统的输入和输出波形变化如图1所示，由图可知。输出时间的不断增加时受到了输入信号为阶跃信号经过求导获得的冲击信号的影响，但是当时间趋于无穷大时，系统相应也会趋于无穷大，该系统就是不稳定系统，而对于稳定系统和临界系统来说，借助该种方式也能够做出较为准确的判断。通过分析图2我们可以看出，对于阶跃信号来说，其作为一个有界输入，通过在系统中计算后能够得出一个相应的有界输出，并且具有一定的稳定性，说明这负反馈系统是一个稳定系统。

四、结束语

综上所述，MATLAB技术具有清晰高效的系统分析特性，并且所使用的变成较为容易，语言简单，在输入了正确的模型参数之后就能够获取相应的函数。对于高阶系统、多输入多输出系统以及离散系统的复杂分析都可以借助MATLAB完成。

参考文献：

[1]杨丽，肖冬荣.控制系统稳定性判据与MATLAB仿真[J].武汉理工大学学报，2014，（02）.

[2]祁增慧，桂垣等.MATLAB在控制系统分析中的应用实例[J].河北建筑工程学院学报，2005，（02）.

[3]王双红.基于MATLAB的控制系统稳定性分析[J].中原工学院学报，2007，（05）.

第5篇：高数函数有界性的判断范文

关键词：导数 函数的单调性 极值与极值点 最大（小）值 凹凸性及拐点

导数（导函数的简称）是近代数学的基础，是数学教学中最重要的基本概念之一。导数是联系初高等数学的纽带。导数的引出及定义始终贯穿着函数思想，它是一个特殊的函数，并且它在函数的应用中起着非常重要的作用。本文拟就导数在函数的应用谈一点个人的想法和体会。

导数在函数的应用主要有：判断函数的单调性；求函数的极值与极值点；求函数的最大值与最小值；判断函数的凹凸性以及求函数的拐点。

导数是我们学习微积分的基础，它是微积分的核心概念之一，它反映了函数变化的快慢程度，它是一种特殊的极限，导数是求函数单调性、极值与极值点、最大（小）值、凹凸性及拐点等问题的重要工具。

导数（Derivative）是当自变量增量趋于零时函数增量与自变量增量之比值的极限。当一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。函数可导性与函数连续性的概念都描述函数在一点处的状态，导数的大小反映了函数在一点处变化（增大或减小）的快慢。可导的函数一定连续，不连续的函数不一定可导。导数实质上就是一个求极限过程。导数的计算方法也很灵活。[1]

一、用导数判断函数的单调性

函数的单调性是函数的一个重要特性。如果函数y=f（x）在[a，b]上单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线。上面每一点处的切线与x轴正向的夹角都是锐角，此时切线斜率大于零， 即 y=f′（x）>0；反之则有相反的结论。[2]

注：利用导数求函数的单调性的步骤是：

（1）确定函数y=f（x）的定义域.（2）求导数f′（x），解出令f′（x）=0的点（驻点）以及导数不存在的点.（3）驻点及导数不存在得的点将函数f（x）的定义域分成若干个小区间，在每个小区间内判断函数导数f′（x）大于零还是小于零，若f′（x）>0，则函数在该区间内为增函数， 若f′（x）

二、用导数求函数的极值与极值点

判定极值的充分条件

设函数y=f（x）在x0连续，且在x0的某邻域内可导（点x0可除外）.如果在该邻域内

（1）当x< x0时，f′（x）>0；当x> x0时，f′（x） 0，则x0 为f（x）的极小值点.

如果f′（x）在x0的两侧保持同符号，则x0不是f（x）的极值点。

欲求出函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再利用求极值的充分条件来判断这些点是否为极值点。

注：用导数求函数极值的方法和步骤

（1）确定函数y=f（x）的定义域（2）求导数f′（x），解出令f′（x）=0的点（驻点）和f′（x）不存在的点。（3）对每个驻点及导数不存在的点进行检验，判断在每个点的左右侧导数f′（x）的符号如何变化；如果f′（x）的符号是左减右加，则该点为极小值，如果f′（x）的符号是左加右减，则该点为极大值，如果驻点两侧f′（x）的符号是一致的，则该点不是极值点。

三、用导数求函数的最值

由闭区间上连续函数的最大值与最小值定理得知，如果f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必定能取得最大值与最小值。

注：求f（x）在[a，b]内最值的方法：

（1）求出f′（x）在（a，b）内的所有驻点和导数不存在的点的函数值及f（a）与f（b）。（2）比较上述点的函数值的大小，其中最大的值为f（x）在[a，b]上的最大值，而最小的值，即为f（x）在[a，b]上的最小值。

由上述可以看出，最大值和最小值是函数f（x）在区间[a，b]上的整体性质，而极大值和极小值是函数f（x）在某点领域内的局部性质。[3]

四、用导数判定函数的凹凸性及拐点

1.函数的凹凸性的定义

设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导

（1）若对于任意的x0∈（a，b），曲线弧y=f（x）过点（x0，f（x0））的切线总位于曲线弧y=f（x）的下方，则称曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凹的。（2）若对于任意的x0∈（a，b），曲线弧y=f（x）过点（x0，f（x0））的切线总位于曲线弧y=f（x）的上方，则称曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凸的。

2.曲线凹凸性的判定法：

设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，

（1）若在（a，b）内f′′（x）>0， 则曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凹的。

（2）若在（a，b）内f′′（x）

3.曲线的拐点

连续曲线弧上凹弧和凸弧的分界点，称为该曲线弧的拐点。

注：求连续曲线弧y=f（x）的拐点的一般步骤为：

（1）在f（x）所定义的区间内，求出二阶导数f′′（x）等于零的点。

（2）求出二阶导数f′′（x）不存在的点，

（3）判定上述点两侧，f′′（x）是否异号。如果异号，则该点为曲线弧的拐点，如果同号，则该点不是该曲线弧的拐点

总之，在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，要重视数学思想方法的应用，以达到优化解题思维，简化解题过程的目的。更在于方便学生掌握科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。而导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，函数的极值与极值点，函数在某区间上的最值，函数的凹凸性以及拐点问题。

参考文献

[1]刘小兵；《浅谈导数的应用》.

[2]刘文学； 郑素文《经济数学》[M]； 上海交通大学出版社

[3]曹萍芳； 导数在函数中的应用 [J]； 《华夏女工：华夏教育》 2009年第8期

第6篇：高数函数有界性的判断范文

关键词：GDP　股指　分形　标度区

中图分类号：F20　文献标识码：A　文章编号：1007-3973(201})003-135-01

1、引言

本研究应用数理模型――分形理论对1990年以来近二十年的国民经济运行的发展进行评估，利用中国近二十年来GDP与沪市股指的数据，首先通过严格的分形测度，利用双对数曲线证明两指标具有分形的特征，求出分维数和拟合函数方程；对计算出的分维指数进行分析，同时对宏观国民经济未来发展变化趋势做出判断。

2、数据与方法

2.1　数据处理

本文选取GDP和沪市股指作为研究对象，来代表研究时段中国宏观经济发展的基本状态。数据来源于1990年以来的《中国经济统计年鉴》。在获取数据的过程中，对原始数据进行录入、修正等预处理。在地理信息系统软件支持下，对处理后的地形图进行矢量化，提取两指标的特征数据。相关数据处理主要借助Excel2007、SPSS等软件完成。

2.2　数理模型

可以设定一个尺度r(r用位序等表示)及对应的N(r)(用经济总量表示)。显然，改变尺度r，区域经济总量N(r)也会改变，当r由大变小时，N(r)不断增大，满足关系式。

3、分形测定

3.1　分形的判定

为了揭示GDP与沪市股指是否具有分形特征，首先利用双对数坐标图进行直观判断。利用数据，分别做GDP与沪市股指与位序的双对数坐标图，发现点列的线性分布趋势明显。借助最小二乘技术，分别用指数函数、对数函数、二次多项式函数和幂指数模型进行拟合，发现幂函数效果最好，幂指数函数拟合的测定系数均在0.99以上，而其它3种模型的测定系数与它相差较大。如就沪市股指而言，(负)幂指数模型的测定系数高达0.994，而指数函数、对数函数和二次多项式3种模型拟合的测定系数分别只有O.6734，0.5140和0.2523，判定两者具有分形特征。为了进一步确定上述判断，结果表明，历年GDP规模和沪市股指规模均服从式(2)表征的负幂律，即具有分形特征。

3.2　测度结果

在双对数坐标图上，虽然点列整体上具有良好的线性分布趋势，但部分数据点对回归直线稍有偏离。充分说明，分形分布不是从一开始就出现的，当经济现象的分布从无序走向有序，从混沌走向稳定的时候，两者的中间过程才出现分析特征。也就是说，绝大多数情况下，只有当分形测度尺度在一定范围之内，这时才真正出现分数维测度。另一方面，当测度尺度小于或大于一定值时，数据点对回归系数有较大影响，这暗示在此分形出现的边界，在这个范围之外，系统的自相似性开始减弱。可见，国民经济结构也如同其它分形系体一样，只是统计上的分形体，并且自相似结构的出现是有尺度限制的。这个尺度范围就是所谓的无标度区。不过，经济领域各系统的无标度区相对于整个数据分布并不十分突出，本研究给出两种计算结果，一是让全部数据点列进入回归，二是只拟合无标度区的数据点列。

4、结论与讨论

本文探讨了GDP总量和股票规模作为分形结构的演化特征，进一步中可推知，国民经济系统最具有分形结构特征。

第一个方面：GDP总量和股指规模分形特征明显。从表2中可以看到，模型的拟合优度R2总体较高，相关系数较高。无标度区点列回归的拟合优度GDP为0.9953，沪市股指为0.999，分维的标准误差分别为0.0345和0.015。作为参照，全部点列回归结果的变化特征与无标度区点列完全一致。据有关学者研究，当维数D的标准误差低于临界值δc=0.04，就可认为事物的分布是分形的。本文两指标全部符合这个标准，GDP的全部点列的分维标准误差为0.035，就低于0.04的临界值。

第二方面：股票市场尽管股票市场也具有分形的特征，但是拟合曲线更有复杂，说明中国股市的人为干扰因素较多，一般认为：西方成熟的股票市场由于受市场规律的支配作用更强，其分布呈现成熟的分析结构。与西方相比，中国股市表现有以下不足。

(1)19年中有8年是跌的。11年是涨的，每年跌的概率是42.1％，涨的概率是57.89％。涨的概率接近6成。

(2)上证指数的波幅总是大于涨跌幅。

(3)波幅最小的是2003年26.17％。1992年是最大的波幅达到388％。19年以来每年平均的波幅达108.83％。

由GDP与股指进行回归分析，探讨两者的因果的关系，回归系数仅为0.895，可见，中国股市的变动较大，其发展并不能很好的表现强劲的中国经济的发展。但是GDP总量对股市具有明显的影响。

第7篇：高数函数有界性的判断范文

审计人员的审计判断最终要表现为一定的成果。这一成果的具体形式就是审计判断绩效。良好的审计判断绩效不仅是高质量审计工作的基础和源泉，还是审计人员和会计师事务所积极追求的目标。同时，审计判断绩效也是衡量审计判断质量和审计工作效率、确定审计人员责任的基础。因此，研究审计判断绩效的影响因素以及审计判断绩效的评价问题就显得十分必要了。

一、审计判断绩效及绩效函数

(一)审计判断绩效的涵义

什么是审计判断绩效(Audit Judgment Performance)?最为典型的当属Libby(1995)对审计判断绩效的定义，他认为：审计判断绩效是审计判断与一定的判断标准相符。显然，此定义是对一个好的判断绩效的定义，并不是对审计判断绩效的一般定义，因为审计判断绩效可能好，也可能差。笔者认为，审计判断绩效是审计判断结果与一定的标准的相符程度。这里所说的标准包括效果性和效率性两个方面，一个绩效好的审计判断要同时满足审计效果和审计效率两方面的要求，既要有质量上的保证成本，又不能过高。修正后的审计判断绩效的定义是符合一般的业绩定义的精神的，是以审计判断的效果性或效率性作为指标或标准来界定审计判断绩效的。然而，在审计实践中，审计判断的效果性和效率性是比较难于确定的，从而也就导致了审计判断绩效的计量是比较困难的。

(二)审计判断绩效函数

在以往的研究中，涉及最多的是审计判断绩效的影响因素问题。比较有代表性的是Einhorn和Hogarth(1981a)以及Libby(1983)提出的等式(1)表示的审计判断绩效及其影响因素函数：

绩效=f(能力，知识，激励，环境) (1)

从等式(1)可以看出，他们认为审计判断绩效受审计人员的能力、知识、激励和环境因素的影响。此后，一些学者进一步研究了知识与绩效及其它影响因素的关系。Bonner(1990)研究了经验和审计判断绩效之间的关系，Frederick(1991)研究了经验和知识之间的关系，Bonner和Lewis(1990)研究了知识和能力与绩效之间的关系。Libby(1995)指出，由于知识被其他三个因素及经验决定，因而绩效与四个影响要素之间的关系是复杂的。知识与其他影响因素的关系可以用以下公式表示：

知识=g(能力，经验，激励，环境) (2)

以此公式为基础，Libby(1995)构建了知识与绩效及其它影响因素的模型，具体模型如图1所示。这一模型被认为是比较完善的模型。大量的研究都是以此模型和审计判断绩效函数为基础的。在上述两个公式中的环境因素都包括了任务的因素。

笔者认为，等式(1)和知识的前因和后果模型基本上勾勒出了审计判断绩效及其影响因素的框架，也与Campbell(1990，1993，1996)提出的绩效行为理论基本上是一致的。但我们也认为Einhorn和Hogarth(1981)、Libby(1983)的绩效函数存在着一些缺陷，主要表现在以下三个方面：一是绩效的影响因素缺乏系统性和脉络，比较零散；二是有些绩效影响因素不恰当；三是对环境因素理解得太窄。从已有的研究来看，大部分集中在第一个因素，对后三个因素，尤其是环境因素研究比较少。

二、审计判断绩效的主体因素

根据认知心理学的观点，审计判断过程可以看作是一个心理过程，因此，审计人员是影响审计判断绩效最为直接的因素。任何一个审计判断的都是针对一定的任务(客体)的判断，因此，审计判断任务就构成了影响审计判断绩效的又一个因素。根据系统论的观点，我们可以把审计人员判断看作一个由审计人员和审计判断任务系统构成的系统。由于系统与其环境之间存在着相互作用的关系，因此，审计判断环境同样会影响审计判断绩效。根据以上论述可以看出，审计判断绩效是审计人员、审计任务和审计环境的函数。审计人员因素也称为审计主体因素，是指由审计人员拥有的并带到工作中去的因素；审计任务因素是指需要审计人员作出审计判断的项目；审计环境因素也称系统因素，是指与审计判断绩效有关的所有的审计判断主体、审计判断项目之外的因素，它们不受审计判断主体的影响。据此，审计判断绩效函数可以表示如图。(图见11期杂志)

根据以上我们对主体因素的界定，影响审计判断的因素是多方面的。Einhorn与Hogarth(1981)、Libby(1983)的绩效函数中的前两个因素知识和能力属于主体因素。但用这两个因素概括影响审计判断绩效的主体因素是不全面的，需要进一步研究。我们认为，审计判断主体因素应包括：性格、陈述性知识、智力技能或经验、努力程度。

(一)性格

性格是个人在现实态度和行为方式中表现出来的稳定的心理特征，是具有核心意义的人格心理特征，是在现实社会生活中，由于客观事物对人的影响以及人对影响的反应而形成的一定的态度体系和与之相应的行为方式。性格最能表征一个人的个性差异。因此，它同样能够表征个体判断绩效方面的差异。许多心理学家从不同的角度对性格进行了分类。如A·培因和T·查理按照理智、意志和情绪哪一种在性格结构中占优势来把性格分为理智型、意志型和情绪型三种。H·A·威特金按照两种对立的信息加工方式把人分为依从型和独立型。

在经济学中，根据人们对风险的态度把人分为风险偏好型、风险中立型和风险厌恶型三种。审计人员在做出审计判断的过程中，不可避免地要承担判断错误的风险，但承担的风险的大小在相当程度上取决于审计人员对待风险的态度。如果一个风险偏好者进行审计判断，其判断结果往往具有很高的风险性，从而进一步把其本身、会计师事务所以及会计信息的使用者置于高风险的境地。风险厌恶者在进行审计判断过程中往往会设法使审计风险降到最低，从而导致审计成本上升、效率下降。应该说以上两者的审计判断绩效都不好，但就两者比较而言，后者的审计判断绩效强于前者。因此，我们认为风险中立者，或者考虑审计效率的风险厌恶者，具有取得良好审计判断绩效的基本素质。

(二)知识、技能、经验、记忆

一般来说，知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和。但对个体来说，知识是指储存在记忆中的信息。显然，这里所说的知识是指个体已经获得的知识。认知心理学家安德森认为，人类的知识有两种：一种是陈述性知识；另一种是程序性知识。陈述性知识是由人们所知道的事实组成，这些知识一般可以用语言进行交流，它可以采取抽象和意象的形式；程序性知识是指人们所知道的如何去作的技能，此类知识很难用语言表达。比如，许多人都会骑自行车，但却讲不清这种知识；许多人能流利地说本族的语言，但却说不清语法规则。在审计判断过程也是如此，有经验的审计人员虽然做出了正确的判断，但却说不清审计判断是如何做出的。因此，程序性知识也就是智力技能，即完成各种智力程序的能力。显然，程序性知识是长期实践逐步积累形成的。审计人员进行审计判断，这两方面的知识都是不可或缺的，审计判断是一项专业性比较强的工作，审计人员从事此项工作必须具备一定的专业知识，无论在哪个国家，要成为胜任的审计人员，就必须首先通过注册会计师资格考试，因此，注册会计师资格考试既是对要成为从事审计业务的人员的基本要求，也是对是否具备从事此项业务的基本知识的检验。同时，审计人员做出正确的审计判断还需要具有程序性知识，也正是这些程序性知识很大程度上导致了审计人员的个体的判断绩效的差异。因此，陈述性知识和程序性知识都影响审计判断绩效，但后者影响更大。

在Einhorn与Hogarth以及Libby绩效函数中，把能力(Ability)作为审计判断绩效的变量。这里所说的能力不是指普通心理学中所说的能力，而是指完成信息编码、检索和分析任务的能力。这一定义是从信息加上角度出发的。从普通心理学的角度看，我们认为，这里所说的能力相当于技能。技能是人在活动中运用有关的知识经验，通过练习而形成稳定的、复杂的动作方式系统，这里的动作是广义的既包括外显的实际操作，也包括了内隐的智力动作。技能按其性质和特点可以分为动作技能和智力技能两类，智力技能是借助于内部语言在头脑中进行动作的方式或智力活动方式，包括感知、记忆、想象、思维，但以抽象思维为其主要成分。因此，Einhorn，Hogarth和Libby绩效函数中的能力应属于智力技能范畴，而智力技能就是程序性知识。

一些研究审计判断的西方学者(比如，Libby，1995等)把经验作了更加广泛的定义，认为经验是包括第一手和第二手与任务相关的能够提供在审计环境中学习的机会的广泛的境况。根据此定义，经验不仅包括亲自参与完成实际审计的境况，也包括复核其他人的工作、收到上级人员的复核评论、收到结果的反馈、与同事讨论其他审计、阅读审计指南和培训。此定义存在以下两个不足之处：一是把经验界定为可提供学习机会的境况是不恰当的，各种提供学习机会的境况只能是为增加经验提供了条件，或者说是积累经验的过程，但不等于是经验本身，经验应该是这一过程形成的结果；二是过于宽泛，包括了学习间接知识和获取直接经验的境况，很难划清知识和经验的界限，也不能体现经验的实践性的特征。因此，我们认为审计人员的经验应界定为：直接通过实践形成的技能，或者说是技能经验的具体表现形式。它通过技能的形式影响审计判断绩效。Marchant(1990)也指出，间接经验形成一般知识，直接经验形成具体知识。依此就可以比较好的解释为什么经验丰富的审计人员能够作出正确的审计判断，因为它们具有比较高的技能，而这些知识又需要长期的审计实践的积累。

被认为与审计判断绩效有关的另一个因素就是记忆。记忆是过去经历事物的反映。记忆与审计判断绩效之间是什么样的关系呢?心理学家Hogarth(1985)指出，一个好的记忆可以被认为是一个好的判断的必要条件但不是充分条件。一些研究人员(Pumlee,1985;Moeckel和Plumlee,1989; Frederick,1991)研究了记忆与审计判断绩效的关系并指出：在完成一个具体任务期间，在收集审计证据的过程中，记忆对决策绩效有着重要的影响。那么，记忆与经验、技能等要素是什么关系?从已有的研究来看，它们是把记忆作为导致不同经验差别的原因来看待的。大量有关记忆的研究是在有经验的审计人员和新手之间进行对比。有的研究(Frederick,1991)表明，经验的审计人员存在着一个图表式的记忆结构，对内部控制优先回应，而新手只能根据线索回应；也有的研究(Choo和Trotman，1991)表明，有经验的审计人员能回忆起更多的与持续经营假设不一致的信息。我们认为，记忆既是形成经验的手段，也是经验的内在形式。

综上所述，可以得出以下结论：审计人员的陈述性知识、智力技能或程序性知识是影响审计判断绩效的直接因素；智力技能是经验的具体表现形式；记忆既是经验的形成手段也是经验的内容。当然，陈述性知识和智力技能也还受其他因素的影响，雇员拥有的知识和技能是个体内部因素(能力和性格等)、个体的外部因素(所受的教育、培训、经历等)的函数。上述各要素之间的关系及其与判断绩效之间的关系如图。(图见11期杂志)

(三)动机和努力程度

动机是激发个体和维持个体进行活动，并导致该活动朝向某一目标的心理倾向或动力。因此，审计人员的判断绩效不可避免地要受其动机的影响。正因如此，一些绩效评价的研究者(Campbelletal,1993)把动机作为影响绩效的直接原因。我们并不否认动机在绩效中的作用，但把它作为影响绩效的直接因素是值得商榷的。

在影响审计判断的绩效的诸多主观因素之外，还有一个因素，那就是审计人员的主观努力程度，努力程度是一个主观性最强的因素。在一项审计判断中，审计人员努力和不努力、努力程度大小都会导致审计判断绩效的不同。努力应该是审计判断绩效的直接影响因素。而审计人员的努力程度来自于审计人员的动机，动机越强努力程度也就越高。一个特别重视个人声誉的审计人员比一个不太重视个人声誉的审计人员的审计判断绩效要好。由此，可以得出以下结论：努力程度是影响审计判断绩效的直接因素，动机通过影响努力程度来影响审计判断绩效。审计人员的动机受需要和激励两个因素的影响。努力程度除直接影响审计判断绩效以外，还影响陈述性知识和智力技能，审计人员的努力程度与其陈述性知识和技能的获得成正向关系。努力程度、动机、需要与审计判断绩效的关系如图。(图见11期杂志)

三、审计判断绩效的任务因素和环境因素

(一)任务因素

我们认为，任务是影响审计判断绩效的主要因素之一。任务的特点不同，对审计判断绩效影响是不一样的。Hogarth(1985)指出，审计判断的正确性是个体特点和任务环境结构的函数。任务对审计判断绩效的影响主要表现在：任务的复杂性、任务的重复性、任务的规范化程度、任务的类型和任务质量等，其中前两项受到了广泛关注。任务的复杂程度对审计判断绩效的影响如表。(表见11期杂志)

从上表可以看出，任务越复杂，其不确定性程度越高，需要的审计人员的判断能力也就越强。因此，比较而言，复杂程度越低，或者说任务的结构化程度越高，越容易取得好的判断绩效。审计人员不断重复的参与同类审计项目有利于积累丰富的审计经验。

(二)环境因素

Libby和Lufut(1993)指出，审计判断的环境因素包括：判断指南和技术辅助工具、多层组织的背景、责任关系、连续的多期的判断任务以及为了得到一个好的绩效的相当程度的货币激励、时间压力等。无疑上述环境因素都会对审计判断绩效产生影响，但这些因素基本上局限于会计师事务所的内部，范围比较窄。事实上，审计人员做出审计判断不仅要受会计师事务所内部的环境因素的影响，而且还受事务所外部环境的影响，比如行业状况和社会环境等。因此，我们认为，环境因素应包括影响审计判断主体和客体的各种环境因素，既包括会计师事务所的内部环境因素，也包括会计师事务所之外的环境因素。内部环境因素包括多层组织背景、责任关系、激励和时间压力、组织文化等；外部环境因素一般包括被审计单位环境因素、社会环境因素等。由于有关环境因素的研究相对较多，这里不再具体展开分析。

第8篇：高数函数有界性的判断范文

审计人员的审计判断最终要表现为一定的成果。这一成果的具体形式就是审计判断绩效。良好的审计判断绩效不仅是高质量审计工作的基础和源泉，还是审计人员和会计师事务所积极追求的目标。同时，审计判断绩效也是衡量审计判断质量和审计工作效率、确定审计人员责任的基础。因此，研究审计判断绩效的影响因素以及审计判断绩效的评价问题就显得十分必要了。

一、审计判断绩效及绩效函数

(一)审计判断绩效的涵义

什么是审计判断绩效(AuditJudgmentPerformance)?最为典型的当属Libby(1995)对审计判断绩效的定义，他认为：审计判断绩效是审计判断与一定的判断标准相符。显然，此定义是对一个好的判断绩效的定义，并不是对审计判断绩效的一般定义，因为审计判断绩效可能好，也可能差。笔者认为，审计判断绩效是审计判断结果与一定的标准的相符程度。这里所说的标准包括效果性和效率性两个方面，一个绩效好的审计判断要同时满足审计效果和审计效率两方面的要求，既要有质量上的保证成本，又不能过高。修正后的审计判断绩效的定义是符合一般的业绩定义的精神的，是以审计判断的效果性或效率性作为指标或标准来界定审计判断绩效的。然而，在审计实践中，审计判断的效果性和效率性是比较难于确定的，从而也就导致了审计判断绩效的计量是比较困难的。

(二)审计判断绩效函数

在以往的研究中，涉及最多的是审计判断绩效的影响因素问题。比较有代表性的是Einhorn和Hogarth(1981a)以及Libby(1983)提出的等式(1)表示的审计判断绩效及其影响因素函数：

绩效=f(能力，知识，激励，环境)(1)

从等式(1)可以看出，他们认为审计判断绩效受审计人员的能力、知识、激励和环境因素的影响。此后，一些学者进一步研究了知识与绩效及其它影响因素的关系。Bonner(1990)研究了经验和审计判断绩效之间的关系，Frederick(1991)研究了经验和知识之间的关系，Bonner和Lewis(1990)研究了知识和能力与绩效之间的关系。Libby(1995)指出，由于知识被其他三个因素及经验决定，因而绩效与四个影响要素之间的关系是复杂的。知识与其他影响因素的关系可以用以下公式表示：

知识=g(能力，经验，激励，环境)(2)

以此公式为基础，Libby(1995)构建了知识与绩效及其它影响因素的模型，具体模型如图1所示。这一模型被认为是比较完善的模型。大量的研究都是以此模型和审计判断绩效函数为基础的。在上述两个公式中的环境因素都包括了任务的因素。

笔者认为，等式(1)和知识的前因和后果模型基本上勾勒出了审计判断绩效及其影响因素的框架，也与Campbell(1990，1993，1996)提出的绩效行为理论基本上是一致的。但我们也认为Einhorn和Hogarth(1981)、Libby(1983)的绩效函数存在着一些缺陷，主要表现在以下三个方面：一是绩效的影响因素缺乏系统性和脉络，比较零散；二是有些绩效影响因素不恰当；三是对环境因素理解得太窄。从已有的研究来看，大部分集中在第一个因素，对后三个因素，尤其是环境因素研究比较少。

二、审计判断绩效的主体因素

根据认知心理学的观点，审计判断过程可以看作是一个心理过程，因此，审计人员是影响审计判断绩效最为直接的因素。任何一个审计判断的都是针对一定的任务(客体)的判断，因此，审计判断任务就构成了影响审计判断绩效的又一个因素。根据系统论的观点，我们可以把审计人员判断看作一个由审计人员和审计判断任务系统构成的系统。由于系统与其环境之间存在着相互作用的关系，因此，审计判断环境同样会影响审计判断绩效。根据以上论述可以看出，审计判断绩效是审计人员、审计任务和审计环境的函数。审计人员因素也称为审计主体因素，是指由审计人员拥有的并带到工作中去的因素；审计任务因素是指需要审计人员作出审计判断的项目；审计环境因素也称系统因素，是指与审计判断绩效有关的所有的审计判断主体、审计判断项目之外的因素，它们不受审计判断主体的影响。据此，审计判断绩效函数可以表示如图。(图见11期杂志)

根据以上我们对主体因素的界定，影响审计判断的因素是多方面的。Einhorn与Hogarth(1981)、Libby(1983)的绩效函数中的前两个因素知识和能力属于主体因素。但用这两个因素概括影响审计判断绩效的主体因素是不全面的，需要进一步研究。我们认为，审计判断主体因素应包括：性格、陈述性知识、智力技能或经验、努力程度。

(一)性格

性格是个人在现实态度和行为方式中表现出来的稳定的心理特征，是具有核心意义的人格心理特征，是在现实社会生活中，由于客观事物对人的影响以及人对影响的反应而形成的一定的态度体系和与之相应的行为方式。性格最能表征一个人的个性差异。因此，它同样能够表征个体判断绩效方面的差异。许多心理学家从不同的角度对性格进行了分类。如A·培因和T·查理按照理智、意志和情绪哪一种在性格结构中占优势来把性格分为理智型、意志型和情绪型三种。H·A·威特金按照两种对立的信息加工方式把人分为依从型和独立型。

在经济学中，根据人们对风险的态度把人分为风险偏好型、风险中立型和风险厌恶型三种。审计人员在做出审计判断的过程中，不可避免地要承担判断错误的风险，但承担的风险的大小在相当程度上取决于审计人员对待风险的态度。如果一个风险偏好者进行审计判断，其判断结果往往具有很高的风险性，从而进一步把其本身、会计师事务所以及会计信息的使用者置于高风险的境地。风险厌恶者在进行审计判断过程中往往会设法使审计风险降到最低，从而导致审计成本上升、效率下降。应该说以上两者的审计判断绩效都不好，但就两者比较而言，后者的审计判断绩效强于前者。因此，我们认为风险中立者，或者考虑审计效率的风险厌恶者，具有取得良好审计判断绩效的基本素质。

(二)知识、技能、经验、记忆

一般来说，知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和。但对个体来说，知识是指储存在记忆中的信息。显然，这里所说的知识是指个体已经获得的知识。认知心理学家安德森认为，人类的知识有两种：一种是陈述性知识；另一种是程序性知识。陈述性知识是由人们所知道的事实组成，这些知识一般可以用语言进行交流，它可以采取抽象和意象的形式；程序性知识是指人们所知道的如何去作的技能，此类知识很难用语言表达。比如，许多人都会骑自行车，但却讲不清这种知识；许多人能流利地说本族的语言，但却说不清语法规则。在审计判断过程也是如此，有经验的审计人员虽然做出了正确的判断，但却说不清审计判断是如何做出的。因此，程序性知识也就是智力技能，即完成各种智力程序的能力。显然，程序性知识是长期实践逐步积累形成的。审计人员进行审计判断，这两方面的知识都是不可或缺的，审计判断是一项专业性比较强的工作，审计人员从事此项工作必须具备一定的专业知识，无论在哪个国家，要成为胜任的审计人员，就必须首先通过注册会计师资格考试，因此，注册会计师资格考试既是对要成为从事审计业务的人员的基本要求，也是对是否具备从事此项业务的基本知识的检验。同时，审计人员做出正确的审计判断还需要具有程序性知识，也正是这些程序性知识很大程度上导致了审计人员的个体的判断绩效的差异。因此，陈述性知识和程序性知识都影响审计判断绩效，但后者影响更大。

在Einhorn与Hogarth以及Libby绩效函数中，把能力(Ability)作为审计判断绩效的变量。这里所说的能力不是指普通心理学中所说的能力，而是指完成信息编码、检索和分析任务的能力。这一定义是从信息加上角度出发的。从普通心理学的角度看，我们认为，这里所说的能力相当于技能。技能是人在活动中运用有关的知识经验，通过练习而形成稳定的、复杂的动作方式系统，这里的动作是广义的既包括外显的实际操作，也包括了内隐的智力动作。技能按其性质和特点可以分为动作技能和智力技能两类，智力技能是借助于内部语言在头脑中进行动作的方式或智力活动方式，包括感知、记忆、想象、思维，但以抽象思维为其主要成分。因此，Einhorn，Hogarth和Libby绩效函数中的能力应属于智力技能范畴，而智力技能就是程序性知识。

一些研究审计判断的西方学者(比如，Libby，1995等)把经验作了更加广泛的定义，认为经验是包括第一手和第二手与任务相关的能够提供在审计环境中学习的机会的广泛的境况。根据此定义，经验不仅包括亲自参与完成实际审计的境况，也包括复核其他人的工作、收到上级人员的复核评论、收到结果的反馈、与同事讨论其他审计、阅读审计指南和培训。此定义存在以下两个不足之处：一是把经验界定为可提供学习机会的境况是不恰当的，各种提供学习机会的境况只能是为增加经验提供了条件，或者说是积累经验的过程，但不等于是经验本身，经验应该是这一过程形成的结果；二是过于宽泛，包括了学习间接知识和获取直接经验的境况，很难划清知识和经验的界限，也不能体现经验的实践性的特征。因此，我们认为审计人员的经验应界定为：直接通过实践形成的技能，或者说是技能经验的具体表现形式。它通过技能的形式影响审计判断绩效。Marchant(1990)也指出，间接经验形成一般知识，直接经验形成具体知识。依此就可以比较好的解释为什么经验丰富的审计人员能够作出正确的审计判断，因为它们具有比较高的技能，而这些知识又需要长期的审计实践的积累。

被认为与审计判断绩效有关的另一个因素就是记忆。记忆是过去经历事物的反映。记忆与审计判断绩效之间是什么样的关系呢?心理学家Hogarth(1985)指出，一个好的记忆可以被认为是一个好的判断的必要条件但不是充分条件。一些研究人员(Pumlee,1985;Moeckel和Plumlee,1989;Frederick,1991)研究了记忆与审计判断绩效的关系并指出：在完成一个具体任务期间，在收集审计证据的过程中，记忆对决策绩效有着重要的影响。那么，记忆与经验、技能等要素是什么关系?从已有的研究来看，它们是把记忆作为导致不同经验差别的原因来看待的。大量有关记忆的研究是在有经验的审计人员和新手之间进行对比。有的研究(Frederick,1991)表明，经验的审计人员存在着一个图表式的记忆结构，对内部控制优先回应，而新手只能根据线索回应；也有的研究(Choo和Trotman，1991)表明，有经验的审计人员能回忆起更多的与持续经营假设不一致的信息。我们认为，记忆既是形成经验的手段，也是经验的内在形式。

综上所述，可以得出以下结论：审计人员的陈述性知识、智力技能或程序性知识是影响审计判断绩效的直接因素；智力技能是经验的具体表现形式；记忆既是经验的形成手段也是经验的内容。当然，陈述性知识和智力技能也还受其他因素的影响，雇员拥有的知识和技能是个体内部因素(能力和性格等)、个体的外部因素(所受的教育、培训、经历等)的函数。上述各要素之间的关系及其与判断绩效之间的关系如图。(图见11期杂志)

(三)动机和努力程度

动机是激发个体和维持个体进行活动，并导致该活动朝向某一目标的心理倾向或动力。因此，审计人员的判断绩效不可避免地要受其动机的影响。正因如此，一些绩效评价的研究者(Campbelletal,1993)把动机作为影响绩效的直接原因。我们并不否认动机在绩效中的作用，但把它作为影响绩效的直接因素是值得商榷的。

在影响审计判断的绩效的诸多主观因素之外，还有一个因素，那就是审计人员的主观努力程度，努力程度是一个主观性最强的因素。在一项审计判断中，审计人员努力和不努力、努力程度大小都会导致审计判断绩效的不同。努力应该是审计判断绩效的直接影响因素。而审计人员的努力程度来自于审计人员的动机，动机越强努力程度也就越高。一个特别重视个人声誉的审计人员比一个不太重视个人声誉的审计人员的审计判断绩效要好。由此，可以得出以下结论：努力程度是影响审计判断绩效的直接因素，动机通过影响努力程度来影响审计判断绩效。审计人员的动机受需要和激励两个因素的影响。努力程度除直接影响审计判断绩效以外，还影响陈述性知识和智力技能，审计人员的努力程度与其陈述性知识和技能的获得成正向关系。努力程度、动机、需要与审计判断绩效的关系如图。(图见11期杂志)

三、审计判断绩效的任务因素和环境因素

(一)任务因素

我们认为，任务是影响审计判断绩效的主要因素之一。任务的特点不同，对审计判断绩效影响是不一样的。Hogarth(1985)指出，审计判断的正确性是个体特点和任务环境结构的函数。任务对审计判断绩效的影响主要表现在：任务的复杂性、任务的重复性、任务的规范化程度、任务的类型和任务质量等，其中前两项受到了广泛关注。任务的复杂程度对审计判断绩效的影响如表。(表见11期杂志)

从上表可以看出，任务越复杂，其不确定性程度越高，需要的审计人员的判断能力也就越强。因此，比较而言，复杂程度越低，或者说任务的结构化程度越高，越容易取得好的判断绩效。审计人员不断重复的参与同类审计项目有利于积累丰富的审计经验。

(二)环境因素

Libby和Lufut(1993)指出，审计判断的环境因素包括：判断指南和技术辅助工具、多层组织的背景、责任关系、连续的多期的判断任务以及为了得到一个好的绩效的相当程度的货币激励、时间压力等。无疑上述环境因素都会对审计判断绩效产生影响，但这些因素基本上局限于会计师事务所的内部，范围比较窄。事实上，审计人员做出审计判断不仅要受会计师事务所内部的环境因素的影响，而且还受事务所外部环境的影响，比如行业状况和社会环境等。因此，我们认为，环境因素应包括影响审计判断主体和客体的各种环境因素，既包括会计师事务所的内部环境因素，也包括会计师事务所之外的环境因素。内部环境因素包括多层组织背景、责任关系、激励和时间压力、组织文化等；外部环境因素一般包括被审计单位环境因素、社会环境因素等。由于有关环境因素的研究相对较多，这里不再具体展开分析。

第9篇：高数函数有界性的判断范文

【关键词】 数形结合；函数的极值；导数

众所周知，数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门学科.而数与形是同一事物的两个属性，数无形不直观，形无数难入微，由数思形，由形想数，相互推进，层层深入，易于揭露本质与规律.数形结合的思想便是数学学习的重要思想之一.数形结合思想方法的教学价值和解题功用也早已得到广大数学教学工作者的认可，其理论研究和实践探索也日趋深入.而笔者在教学实际中常常遇到这样的现状：一些能用“数形结合”巧解的题目，在学生自己做题时却想不到用“数形结合”的方法，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到其他类似情景却还是不能主动用数形结合的思想解决问题.究其原因是在平时的课堂中教师更多的只是把它视为解题的手段，只在使用时一带而过，数形结合的教学过程不深入，课堂教学中数形结合思想使用不完善，未能更好地培养学生数形结合的数学意识.

作为一种重要的数学思想，数形结合不仅是解题的工具，可以上升为一种数学意识，甚至是一种科学意识.如何使学生在学习的过程中掌握和运用这种思想？这就需要教师在新课的教学中有意识、有目的地结合数学知识，把融合在知识、技能之中的数形结合思想方法提炼出来，再通过训练逐步渗透，在“渗透―积累―重复―内化”的过程中转化为学生的数学思想素养，提高学生的数学能力.笔者在区级公开课中开设了本节内容的新课教学，得到了专家的指导，在教学实践后对这个问题有了一些肤浅的看法，现形成以下观点就教于方家.

1.“形”中觅“数”，在变化中实现概念的发展

人教版普通高中课程标准实验教科书《数学・选修2-2》第1.3.2节“函数的极值与导数”给出了如下三个函数图像：

观察1：图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像.

图138

观察2和观察3：图1.39和图1.310，函数y=f（x）在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？函数y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？

图139 图1310

如何运用教材中的上述情境才能达到较好的教学效果呢？下面请看课堂实录片段.

教师：通过上节课的学习，导数和函数单调性有什么关系？

学生1：函数单调递增，导数大于零；函数单调递减，导数小于零.

教师：大家观察图1.3.8，回答这样一些问题.

（教师展示问题）（1）在点t=a附近的图像有什么特点？（2）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？（3）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h（t）在t=a处的导数是多少呢？

学生2：在t=a左边的图像单调递增，导数大于零，右边的图像单调递减，导数小于零，在t=a处导数等于零.

教师：你是如何判断在t=a处导数等于零呢？

学生2回答预习过.其他有同学补充导数有大于零的有小于零的，中间肯定是等于零.

教师：很好.那对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？那我们再来观察分析函数f（x）=2x3-6x2+7在x=0，x=2附近的函数值分别与f（0），f（2）的关系.在这两个点附近的导数符号有什么规律？

学生3：f（0）比周围的函数值大，f（2）比周围的函数值小.当x0时导数小于零，x2时导数大于零，在x=0和x=2时导数等于零.

教师：很好.（同时利用几何画板动态演示图形，并用具体的数字对学生回答证明）

教师：大家再观察1.3.9图所表示的y=f（x）的图像，想一想函数y=f（x）在a，b点的函数值与这些点附近的函数 值有什么关系？函数y=f（x）在a，b点的导数值是多少？在a，b点附近，y=f（x）的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢？

学生归纳：函数f（t）在a点处h′（a）=0，在t=a附近，当t0；当t>a时，函数单调递减，f′（x）

教师：那对于有这样性质的点我们给它们一个总的名称吧――引出概念.（学生一起学习概念）

教师：那大家再思考一下函数的极值点唯一吗？极大值一定大于极小值吗？

教师展示图1.3.10，通过图像学生能得到统一的答案.

分析：数学中每一个概念都有其原始的直观的模型，都有其来龙去脉，教科书给出了大量的函数图像，让学生观察图像，直观感受函数在某些点（极值点）的函数值与附近点函数值大小之间的关系，并直观感受函数在这些点的导数值以及在这些点附近函数的增减情况.从图像上看非常直观，学生有“眼见为实”的感受，为学生自我探索函数的极值与导数的关系搭好了桥梁.同时以图1.3.10为例进行了具体说明.在此基础上，给出了函数的极大值和极小值概念，学生对函数极值的概念能有清晰图像的记忆和理解.

2.“数”中思“形”，在探究中实现知识的发展

作为导数在研究函数中的应用的第二节课，本节课的重点应放在求三次函数的单调区间以及极值.那么如何自然地建构出其解决的步骤呢？下面请看教学片段.

教师：那我们现在一起总结函数极值的特点.

（教师再次通过图形和表格图像对函数极值的特点进行了回顾，表格图像得到了学生的认同，也为后面求三次函数极值打下了伏笔，引导学生可以用表格图像来确定函数的极大值和极小值）

练习：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数的图像经过点（1，0）和（2，0），如图所示，则下列说法不正确的是（）.

A.当x=1时取得极大值B.当x=2时取得极小值

C.当x=1.5时取得极大值D.函数有两个极值点

解析 略.

提炼：通过导函数的图像求极值点时，根据极值的定义先看导函数与x轴的交点，再由此点左右导数的正负来判断极大值点还是极小值点.

例1 求函数f（x）= 1[]3 x3-4x+4的极值.

解析 略.

师生一起完成例1的解答，在解决问题的过程中体会作出表格更清楚地判断极大值点或极小值点的便利.同时学生根据计算作出三次函数的草图.

分析：例题教学除了有强化概念理解、完善认知结构的功能外，更为重要的是能从中提炼出解决问题的一般方法.为了突破求函数极值的难点，在例1学习前先表格图像再次总结了函数极值的概念，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且判断极大值还是极小值，合理过渡，同时又设置了一个用导数图像求函数的极值的练习，利用数形结合思想的优势使得学生的思维实际化、具体化，有意识地运用和揭示了数形结合的思想，化解了难点，帮助学生更加准确、快速地解决问题.

3.数形结合，在拓展中实现方法的发展

知识的应用和适度引申更是数学课堂的一个重要环节，能更好地帮助学生理解知识的内涵及外延.本节课设置了例2来强化概念的理解，在数形结合思想的使用中更深地感受到其方法之巧妙，问题的某些数量特征往往能给人们有关构建图形的提示，反过来，利用图形的结构特征又能够帮助人们找到解决问题的思路.

例2 若关于x的方程x3+4x2+5x+2=k有三个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.

学生思考了2分钟后，基本上都比较迷茫，不知解决出路在哪里.

教师：大家觉得有点无从下手是吗？

众生：是.

教师：那以往我们都是用什么办法来解决根的个数问题的？

学生：用判别式，但是这里是三次函数没有判别式.

教师：哦.那我们只能把判别式的方法先暂时搁置一旁.对于三次函数我们能做什么呢？

学生：刚刚学会求三次函数极值和作出草图.

教师：那草图能帮我们解决这个问题吗？

学生：求函数图像交点的个数.

教师：很好.

分析：用函数的图像讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法，可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.加深数形结合的思想的理解和运用.而对于不熟悉的函数的图形可以通过求函数的极值勾勒函数图像，以数解形，感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性.教学中紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力.只有这样，数形结合才能不断深化提高.

4.提炼升华，在反思中实现思想的发展

在课堂小结中，学生一起提炼本节课的主要思想，不足之处教师补充，实现思想的突破与发展.

教师：回顾本节课的主要内容及研究思想，我们首先通过观察大量的图像发现了一些点有着共同的特殊性质，实现了概念的生成；同时求函数极值可以画函数的大致图形来研究函数的更多性质，这些都是数形结合的思想.最后一道含参数问题，本来很棘手的问题在用了数形结合的方法后迎刃而解.以后同学们见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就要考虑它的代数关系，找出问题的关键.在思考和解决问题的过程中，数和形两个方面往往不能截然分开.尤其是一些较为复杂的问题，需要两个方面的互相转化，相互利用.

分析：加强数学思想方法的教学可以让学生从简单盲目的学习转化到有意义的学习状态，缩短学生在学习中盲目探索的过程.数形结合则是具体与抽象、感知与思维的结合，是发展形象思维与抽象思维并使之相互转化的有力“杠杆” 教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养，在数学教学中真正实现素质教育.

5.数学教学中渗透“数形结合”思维的思考

数形结合的思想堪称数学界的经典思维，但是仅凭复习时数形结合方法的专题学习还太片面，数学教学是数学思维的教学.思维始于问题，设计适宜的问题、好的问题、能引起学生积极思维的问题，是有效地培养学生数学思维的 前提.如在新课的知识发现过程的呈现中，教师的一些启发性思考问题是适宜的，如“大家观察图1.3.8，选择什么工具可以量化图形的变化？”“能否通过图像在点A附近导数符号的变化来探究点A处导数值？”“这是偶然还是可以推广的结论？”等等.问题的设置一定是符合学生的思维发展特点，有一定的引导性和思维量，同时也有适当的启发性，启发性可以“由远及近”“由弱及强”逐步给出.

课堂教学注重学生的“数形结合”思维培养当然要关注学生的思维过程，关注学生对问题是怎么样思考的，设身处地地了解学生的思维障碍在哪里.首先要给学生表达的机会，不但让他们表达自己的思维结果，还要表达思维过程，可以用书面表达，也可以直接口头表达.其次，教师对学生的表达可进行追问，以进一步挖掘学生的思维过程，或者将问题通过图形呈现让学生来量化，或将问题以代数呈现让学生通过图像来形象化，变换的形式来深入学生的思维活动，推向高潮，从而更好地提高思维层次，发展思维，让“数形结合”的思想在学生的头脑中逐渐生根发芽，自由地将此思想运用到平时的学习或生活中.

【参考文献】

[1]曹才翰，张建跃.数学教育心理学.北京师范大学出版，2006.

[2]朱效东.浅析“数形结合” 在数学教学中的应用.2004.