分类讨论的思想方法精选(九篇)

第1篇：分类讨论的思想方法范文

关键词：分类讨论思维能力学习能力工作能力

分类讨论思想在新旧教材中都有体现，在旧教材中怎样培养学生的分类讨论思想，那么在新教材中仍然适合。在职业中专阶段怎样培养学生的分类讨论能力是数学教学的一个关键，同时也是学生思维能力锻炼的黄金时段，从而也为学习和工作打下坚实的基础。下面来浅谈在职业中专数学教学中怎样培养分类讨论思想和分类讨论思想对学习和工作的作用。

一、什么是分类讨论思想

依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想．“物以类聚，人以群分”，将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。常常能起到简化问题、解决问题的作用。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性，能训练人的思维能力。

二、在职业中专数学教学中怎样培养学生分类讨论思想

我所在的学校是职业中专学校，这里的学生学习基础比较差。他们选择职业中专目标是一方面学习文化知识，一方面学习一点技能，另一方面通过学习来锻炼自己的思维能力。同时希望通过三年的学习自己各方面的能力都有所提高，作为一名数学教师应怎样帮助他们。

大家都知道教师的责任就是教书育人，而我作为一名职业中专的数学教师那么在数学教学中应怎样做呢，这不光是我思考的问题，也是我的同行们值得思考的问题。在数学教学中我个人认为不光是传授好知识就行了，学生会解几道数学问题就可以了，这样的教师没有达到教书育人的目的，也不能帮助职业中专的学生实现他们的目标。我们在教学中可以直接从知识上来帮助他们，但这种方法不好。有句名言：“授之以鱼不如授之以渔”，那应该怎样来帮助他们。我个人认为应该帮助学生提高他们的思维能力，当思维能力提高了他们学习知识的能力和学习技能的能力就会增强，从而把他们的希望就会实现。在数学教学中分类讨论思想方法是很好锻炼学生思维能力的方法，那么在教学中怎样让学生掌握分类讨论思想方法，从而达到锻炼自己的思维能力，下面举例来说明。

在二次函数学习中求函数最值问题中，如果函数的对称轴是变量那么就应该分类讨论，如二次函数f（x）＝ax2－2x＋1（a≠0）在x∈上的最值，大家都知道把对称轴分成三类，对称轴在区间左侧，中间和右侧相应求出最值。如解决含有参数的不等式解集问题都需要进行分类讨论。才开始学生对分类讨论思想方法感觉很难，也不容易掌握。这时教师就应该想尽各种方法让学生慢慢来适应分类讨论思想方法，我在教学中是从简到难，隔三岔五的让学生接触分类讨论问题，还让学生在课后共同讨论或分组讨论分类讨论问题，这样既能提高学习兴趣，又能学到知识，还能锻炼思维能力。在课堂上应多引导学生分析讨论分类讨论问题，课后应多指导学生组织的讨论活动。这应该是培养学生分类讨论思想比较可行的方法，这个方法贵在坚持，我个人认为教师和学生都能做到持之一恒。三年后学生不但各方面的能力都有所提高，尤其是通过分类讨论思想的锻炼思维能力有很大的提高。

三、分类讨论思想对学习能力和工作能力的作用

新课改下职业中专培养的学生是具有终身学习能力的人，同时也应该是工作能力很强的人。有人会说这是“夸大其词”大家可以仔细想想，学习能力强和工作能力强的人都是大脑比较灵活的人，说白了也就是思维能力强。每个人不可能天生就是一个学习和工作能力强的人，必须经过“后天”的培养。在前面已经说过学生在校不光学会了知识，还锻炼了思维能力，而思维能力又是通过分类讨论思想方法来锻炼的，由此可想分类讨论思想对学习能力和工作能力的作用。如对物理学中的受力情况分析，化学实验发生的反应分析等都有很大的帮助。在将来的工作中总会遇到这样或那样的问题，我们也会想各种各样的方法将问题分类解决，这也就体现了分类讨论的思想。虽然从表面看分类讨论思想对学习能力和工作能力没有直接作用，但内在有间接的作用。

总之，在职业中专数学教学中我们要用分类讨论思想来锻炼学生的思维能力，从而达到提高学习能力和将来工作能力。培养具有这样能力的学生是我们职业中专培养的目标，也是适应新时期国家需要的人才。

参考文献

［1］ 中国人民大学书报资料中心编写，《中学数学教与学 》，2008

第2篇：分类讨论的思想方法范文

[关键词] 初中数学；分类讨论；思想方法；教学

在我们初中数学教学中，要求会用分类讨论思想解决问题，因为它能够化繁为简，可以更多地解决一些难以解决的数学问题. 因此，在初中数学教学中渗透分类讨论思想，不仅能升华学生的数学素养，提升自主探究和应用能力，还能优化数学教学效果，推动数学教育事业的发展. 此外，思想方法的学习和应用，还有利于初中数学向高中数学（即由简单到复杂）的过渡.

对概念进行分类讨论，养成分

类讨论意识

小学数学虽也涉及分类方法，但仅仅是初步认识，学生并不能真正掌握，而初中数学中的许多概念、公式、函数等都与分类思想保持着密切的联系，所以，教师要在教学中整合课本内容，提炼数学思想，有意识地渗透分类思想，指导学生适时地采用分类方法，以及如何分类讨论，潜移默化地培养学生自主分类讨论的意识，使之成为一种扎根于学生脑海的潜意识. 例如有理数的概念，根据不同的分类标准，可定义以下两种关系：①整数和分数，②正数、负数和零. 再比如，在绝对值意义的教学中，需要考虑a与0的大小关系，可分为三类进行讨论，即a0，a=0，进而化简绝对值. 在数学概念的教学过程中，应帮助学生认清概念的本质和原则，找出关键词，注意概念分类时不可混合标准或越级讨论，还可以采用类比法介绍易混淆的概念. 比如，一元二次方程成立的限定条件是二次项系数不为0，在教学活动中，可让学生分别思考二次项系数为0和不为0时，方程式会呈现怎样的状况. 在此前提条件下，可首先让学生研究一元二次方程式nx2-（n-2）x-2（3n-1）=0中n的范围，然后将题目中“一元二次”限定条件去除，再求解方程式，学生很快便能以n=0和n≠0两种形式进行分类研究. 最后，重点强调分类法的使用，并布置相关练习，加深分类意识. 教学活动与分类讨论思想的有机结合，有助于学生感悟思想方法在教学中所起到的重要作用，将其作为解决问题的思维工具，有助于学生领会分类讨论的规定和要求，灵活应用分类法，更有助于学生思维能力的提升.

在定理与公式中分类，重现分

类探究过程

初中数学的很多解题结果往往取决于题目所设定的条件，而有些定理或公式也只有具备一定的限定条件才能成立. 这时，分类讨论正好可以解决这个问题. 如正、反比例函数是整个初中数学最难的部分，而分类讨论思想的渗透则使得学生能够轻松地掌握函数知识. 例如，对于反比例函数y=（k为常数且k≠0），其图象要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，但具于哪个象限，与k的大小有关，即若k>0，则反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小；若k

创设分类讨论情境，应用分类

讨论思想

教师不但要重视学生分类意识的培养，还要锻炼学生灵活应用分类思想方法的能力，这就要求教师在日常教学活动中应尽可能多地创设分类讨论情境，加深学生对分类讨论方法的印象，帮助其解决实际应用中所涉及的问题，即是一个不断纠正、强化的过程. 这一思想方法在方程问题中得到了充分地应用，例如x+7+x-8=15，要求化简绝对值并解方程. 解决该题的首要任务是考虑如何去掉绝对值符号，使其变成一般的方程式. 而要去掉绝对值符号，就必须分类讨论，于是可以初步得出按x≤-7，-7

在单元小结中提炼分类， 把握

分类讨论思想

单元小结是对整个单元知识点的概括，是对思想方法的提炼，是对所学知识的回顾和反思. 单元小结还是知识点由低层次到高层次、由浅入深、由简单到复杂过渡的桥梁，如果不能把握好这一阶段的学习，那么后续的学习会显得很吃力. 由此可见，单元小结是学生为今后的学习打下夯实基础的有效途径. 然而，很多教师常常草率对待甚至忽略了单元小结，同时，学生对此的态度也显得消极懈怠，机械式地归纳，完全没有认真思考与反思. 因此，教师需要深刻认识到单元小结的好处，应教会学生如何厘清单元重点与难点，教会学生思想方法，教会学生自我反省. 初中数学蕴涵了多种多样的思想方法，同一知识点可以采用多种思想方法来说明和论证，也可以从多项知识点中提炼出同一思想方法. 因此，单元小结时，教师要引导学生从内容和思想方法两方面去考虑，力求完整性、全面性，避免有任何遗漏. 此外，单元小结的形式需要进一步更新，应打破传统的单元结构树状图，添加更多的个性化元素，不要求每一位学生都采用统一的套路和模式，可以适当彰显个性特征，使单元小结从真正意义上体现自己的反思过程，而不是走形式. 在单元复习教学中，应透过整体看部分，以全面的眼光看待分散的知识点，指导学生进一步概括本单元知识点隐含的规律，从而提炼出分类讨论思想. 接着，给学生布置相关的练习，使学生能够准确把握分类思想. 需要注意的是，教师还要教授学生将分类讨论思想与其他数学思想方法有效融合，使之成为解决各类数学难题的有力武器.

按照思维活动的规律，渗透合

理的数学思想

第3篇：分类讨论的思想方法范文

一、在概念教学中渗透分类讨论意识

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何进行合理分类.这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，给予强化，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识.

在初中数学教学内容中，许多数学概念的定义，如实数和有理数的分类、绝对值的化简、一元二次方程的概念中对二次项系数的限定、平方根中对于被开方数的限定、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式、两圆的五种位置关系……都渗透着分类讨论的数学思想，对涉及分类讨论思想的问题，教师在讲授时要准确、科学，要让学生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握.

如对于一元二次方程一般式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的规定，教学时，先让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程 kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0 中 k 的限制条件，随后进行了概念的变式，隐去“一元二次”四字，问这是个怎样的方程，并如何求解.学生对概念中关键字词及补充条件的理解后，就能很清晰地对 a=0与a≠0两种情况作分类讨论.

在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类，更要遵循分类的同一性、相称性、互斥性、层次性原则，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，从而在体会分类的完整性和严谨性中训练了思维的条理性和目的性.

二、在运用法则、定理、公式或运算性质时渗透分类讨论思想

初中数学教材中许多定义、定理、公式、运算性质等本身就是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习过程中逐步体会分类讨论的思想.

如七年级上册引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、 零、 负数或将有理数分为整数、 分数.

（责任编辑金铃）让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复、不遗漏，标准不同则分类不同的基本原则.此时可提出问题“ -a 一定是负数吗？”启发学生分 a>0，a=0，a0，a=0，a

引导学生探索推导有理数加法法则的过程，实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程.在学习知识的过程中，学生深深体会到为什么要分类，更要遵循分类的基本原则.

又如九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

在几何证明题中，常常由于图形的形状、位置的不同而要进行分类讨论.此证明过程中为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如下图）去证，要让学生画图、测量、分析、讨论后找到思路，而不能在学生活动之前就给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，学生就无法体会分类证明的目的和优点.

在数学教学中，我们应该重视法则、定理、公式的论证推理过程，揭示分类讨论的化繁为简，化难为易，化分散为系统的本质，使学生进一步增强分类意识，加深对分类讨论的理解和掌握.

三、在解题过程中突出与强化分类讨论的思想

要解好数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路，在解题的过程中，如何让学生学会运用分类讨论的数学思想，是教学的一个很重要的任务.在教学过程中，可让学生通过练习体会分类讨论思想在不同类型的题目中的运用.

1分类讨论思想在函数中的应用

[例1]函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标.

分析：本题中的函数是什么类型的函数并没有确定，所以要根据a的不同取值，分别考虑此函数是一次函数或者二次函数两种情况.

4分类讨论在动态型几何中的应用

[例4]如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E.

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式.

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由.

图1分析：1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到.

2过点M作MNAB，根据对应线段成比例可以求FA的长.

3将∠EDC绕点D旋转的过程中，DCG与DEF保持全等.

4第（3）题，分三种情况讨论PCG为等腰三角形的情况，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标.

第4篇：分类讨论的思想方法范文

关键词：分类讨论思想；初中数学解题中的应用；思考特点与运用方式；解题效果

分类讨论思想是一种重要的数学思想，更是一种重要的解题策略，它不仅体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，也揭示着数学对象之间的内在规律，有助于学生总结和归纳数学知识。更重要的是，在面对诸多数学问题时，科学有效、合理有序的分类讨论思想不仅有利于提高学生数学解题的能力，增加学生解题成功的概率，从而达到调动学生学习数学知识的热情与积极性的目的；也有利于提高学生的创新意识和实践能力，使学生真正认识到数学学科的无限魅力，从而在促进初中数学教学优化与升级的同时，高效推进教育改革的完美转型。

一、数学分类讨论思想的思想特点与运用方式

1.通过实际讨论，实现思想上的论证

例如，在八年级下册针对一元一次不等式的知识点考核衍生的数学问题：某公司为了扩大经营，决定购进5台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过22万元。

据上述例子总结，可以看出分类讨论思想对于实际问题进行讨论论证的特点是对学生思维谨慎性与比较性的实际锻炼。首先，学生在看到题目时，通过题目的问题提示，即“按该公司要求可以有几种购买方案？”学生可以立即在思想上判断出此题的讨论论证存在多种可能；接着，学生根据题目的要求，对问题进行假设，通过对一元一次不等式的求解，得出假设的可能性结果；最后，根据不等式的求解结果，有针对性地进行分类论证，最终得出符合公司要求的购买方案。在学生运用分类讨论思想解决该问题时，其思想上的分类结果不一定是对的，但是这个思考的步骤却是必要的。

2.通过知识点的性质，实现讨论式论证

这道题针对的是九年级下册第三章“圆”中的部分知识点。依据上面题目中的阐述，AB、CD是圆的两条弦，但是却并没有提到AB与CD在圆内的准确位置，学生在面对这道题时，首先要查觉到这个疑点，随后就自然而然地将思考方式趋向于分类讨论的方法运用上。学生的思考方向有了结果、应该采用的解题方式也有了定向，那么就可以依照上面两图中AB、CD的不同位置分别对AB与CD之间的距离进行求解。这种题目的分类讨论思想运用是有一定条件要求的，比如说AB与CD之所以存在不同位置的疑点，是因为AB、CD这两条线存在于一个圆中，而圆的性质恰巧与AB、CD的位置疑点相互联系，这就为分类讨论思想提供了适时运用的机会。

对于解不等式的问题，分类讨论思想出现在解题过程中的现象非常多，主要原因有两点：第一，不等式本身存在着不定性；第二，不等式中存在的变量较多。因此，学生在解答类似问题时，必须充分运用分类讨论的思路，不仅可以使解答过程更有目的性、更加顺畅，也可以使解题结果更加准确。如上题中，不等式中的变量为k-1，而x自身也是变量，也可以说是不等式变量中的不定变量，学生则主要根据k-1与0之间的关系进行分类讨论。当k-1=0时，变量则主要集中在k本身；当k-1>0或者k-1

数学分类讨论思想是配合初中数学知识点教学的思维方式之一，既是对学生有针对性地理解数学题目中的实际考核要点与难点的锻炼，也是促进学生成功解决数学难题较为有效而方便的思考线路。同时，要注意的是，数学思想是具有很强的灵活性与连接性的，运用分类讨论思想解决了一种类型的数学难题，若遇到类似的问题时，学生可以进行灵活的思想转换；若遇到新的问题时，学生则可以链接相同的数学思想对问题进行验证，查看是否符合解题要求的同时，也提升了对数学问题的思考能力与解决能力。总的来说，分类讨论想不仅仅是一种数学思维方式，更是一种对数学的认知能力，有效地掌握这种思想的特点与应用方法，对学生综合能力的提升与数学教学的优化都是具有十分重要的意义的。

参考文献：

[1]叶锋.初中数学解题教学中分类讨论思想的作用与教学策略[J].新课程：中学，2012（05）.

[2]丁守方.例谈分类讨论思想在解初中教学题中的应用[J].新课程学习：基础教育，2010（10）.

第5篇：分类讨论的思想方法范文

【关键词】初中数学 分类思想 教学渗透 方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0161-02

数学分类思想是一种比较重要的数学思想，也是一种很重要的数学逻辑思维方法，分类思想所应用的范围是具体的，所研究的对象也是具体的。所以要求教师在教学过程中能够设定具体的教学目标和教学方法，在初中生现有特点的基础上进行教学，引导学生掌握数学分类思想，同时也要在讲解数学题时把分类思想渗透到当中。通过这种方法，主要让学生在了解的基础上进行合理的运用。

一、重视教学过程分类思想的渗透，培养学生分类意识

分类行为在人们的日常生活中并不少见，我们会对自己穿的衣服进行季节分类、风格分类，我们也会对自己所用的工具进行分类。生活中的分类思想会方便我们的生活，把分类思想与初中数学相结合也会产生不一样的教学效果。初中生在生活中本身就具有分类思想，数学教师可以利用学生的这一特点，结合学生对分类思想的把握程度把生活中的分类思想迁移到数学教学中来，提高数学课堂的教学效率。

数学教师可以在教学过程中渗透分类思想，培养学生的分类意识。比如数学教师在对图形进行讲解时可以引导学生根据图形的相互关系或者图形之间不同的特点进行分类。像三角形就可以依据三角形的形状分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。通过这种分类的方法可以让学生从直观的角度了解到三角形的特点，而且教师也可以引导学生在日常的学习数学的过程中运用分类方法，进行解题。

初中数学教材中的很多定理，法则，公式，习题都在一定程度上体现了数学的分类思想，教师在教学中应该不断的强化学生分类讨论的意识，就一道应用题的不同解法展开讨论，同时总结归纳针对某一种题型的答题技巧。通过这种分类讨论的方法，可以让学生避免出现大的错误，弥补在思考问题时出现的漏洞。

教师在对“有理数”这一章进行讲解时，需要反复的在教学过程中渗透分类思想，让学生能在潜移默化中形成数学分类的思想，增强学生概括能力，帮助学生总结出规律性的答题方法，从而通过渗透这种分类思想，加强学生思维的逻辑性和缜密性。

二、教授不同的分类方法，增强初中生思维缜密性

在传统的教学模式中，初中数学教学在研究数学分类思想上有很多不足。但是随着教育的改革，如何把分类思想运用到初中教学中逐渐成为人们重视的问题，除了要发挥教师的作用之外还需要强调学生的主体地位。教师在教学过程中渗透分类思想的同时也需要引导学生掌握不同的分类方法，帮助学生运用不同的方法来解答数学题。在这里主要的分类方法有三种，一种是根据数学的概念进行分类，第二种是根据数学的法则或者性质来进行分类，第三种是根据数学题型之间的关系进行分类。

例如在数学不等式中，就有关于分类思想的渗透。在（k-1）・x>k・k-1不等式中，是需要对k-1是否大于零进行讨论的，如果不加以讨论，就不能得到争取的答案。因为既可以k-1>0或k-1=0也可以k-1

三、强调在实践中学生的分类讨论，提高学生整体能力

分类讨论是一种重要思想，也是学习中的一种重要逻辑，同样也是解题中的一种重要策略。分类思想对于数学教学来说是重点，同样也是难点。分类讨论的本质是思想的划分，把要讲述的数学问题划分成不同的领域问题，分类研究，总结统一性和差异性，分类求解，然后统一整理。初中数学中的讨论问题往往是学生做题的一大难点，遇到这类问题就无从下手，造成此类题型的正确率偏低，教师要从初中抓起，引导学生建立分类讨论的思想，让学生自觉运用分类思想解决问题。

初中的一些概念往往是分类定义的，所以应用概念做题时，就要进行分类讨论，如：几何问题还有代数问题。初中经常有些题目是开放性的，答案不唯一，学生做这种问题时经常会出现漏解现象，所以要从不同角度进行讨论。还有取值问题，一些题目中在讨论取值中会出现不同而使问题答案不同，要从不同角度讨论问题的取值，缩小取值范围。几何问题同样需要分类讨论，一些文字语言不能表达图像的形状，所以要进行分类讨论。

教师要认真钻研，从实际出发，了解学生真正需要的是哪方面的知识，学生面临分类问题时出现的问题，有目的的进行教学，对学生进行分类思想的渗透。首先要在教材中给学生们指出这些问题，让学生们认识到这些问题，才能很好的避免错误的发生。初中生的分类讨论思想还不是特别强，教师应该理论与实际结合，通过实际的例子来解答问题，使学生了解分类的原因和分类的顺序。同时教师要经常与学生讨论问题，只有通过讨论解决问题学生的记忆才深刻。

总而言之，数学中的分类思想是作为初中生需要了解和掌握的一种数学思想，学生需要在学习过程中依据具体的数学题型总结归纳出分类思想所应用的范围。教师可以在教学过程中渗透分类思想，培养学生分类意识，引导学生进行分类讨论，提高学生整体能力，依据实际情况不断探索从而得出争取的教学途径，激发学生学习数学的积极性和热情，提高学生的学习能力。

参考文献：

[1] 谢丽贞.从分类思想的角度谈初中数学有效教学[J].广西教育A（小教版），2015，1.

第6篇：分类讨论的思想方法范文

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的一种数学策略.

下面，举例说明分类讨论思想在高中数学解题中的应用. 一、选定适当的分类标准对所研究的问题进行分类

进行分类讨论时，首要解决的是：对谁分类，即分类对象是什么？其标准是什么？对于一道数学题目，首先认真审题，研究要分类讨论的对象，分类的对错好坏确定题目解法的最终结果，直接影响解题的成败. 分类时尤其要注意不能有重复，更不能有遗漏，分类标准也应当一致.

例1 一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）.

A. x + y - 7 = 0 B. 2x - 5y = 0

C. x + y - 7 = 0或2x - 5y = 0

D. x + y - 7 = 0或2x + 5y = 0

分析 此题需要确定直线方程的形式可否写成截距式，所以需要分类讨论截距是否为0，否则会漏解.

二、讨论时应注意每个分类的前提条件，综合作答时，也要注意每个分类讨论的条件

分类的目的是为了化繁为简，再逐一讨论解答每一类问题，而讨论时应紧扣分类这个前提，此时，相当于给问题增设了题设条件，因而，使问题得到解决. 较复杂的题目会出现多级分类，讨论时应逐级进行，不能越级，书写时条理要清晰.

例2 已知集合A = {x|x2 = 1}，B = {x|ax = 1}，若B？哿A，求实数a 的取值集合.

分析 由于A = {-1，1}，所以分两种情况讨论.

解 （1）B = ？准，此时a = 0；

三、分类讨论思想是一种解题策略

分类讨论是一种重要的数学思想，也是解决数学问题常常用到的一方法，但对于大多数学生来说是觉得很繁琐又是很难掌握的，这需要教师在教学过程中有耐心，循序渐进地养成良好的分类讨论意识，从而达到培养学生思维的严密性和灵活性的最终目的. 但是高中数学中的数学思想不是只有这一种，在实际解题过程中如果能结合利用数形结合的思想、函数与方程思想、化归的思想等解题思想方法就可以避免麻烦的分类讨论，或者简化分类讨论的对象，从而更加准确、快速地解决问题. 所以在教学中一定避免让学生机械记忆，盲目套用，在解题过程中要引导学生选择正确的解题思路，向学生介绍一些探索问题的方向和方法.

例3 实数k为何值时，方程kx2 + 2|x| + k = 0有实数解？

第7篇：分类讨论的思想方法范文

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性、条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力的提升。

一、把握时机，把分类思想渗透于日常教学中

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等。我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类、绝对值的意义、不等式的性质等，都是渗透分类思想的好机会。

例如：讲授完“负数、有理数”的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法。如可分为：

有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数 有理数正有理数正整数正分数零负有理数负整数负分数

又如：两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不能互相交叉。

二、思维的严密是解决分类思想的基础

所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的特征，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一小类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：

1.根据数学的概念进行分类

例1：化简：|a+3|+|a-2|

分析：这是按绝对值的意义进行分类，分别以a＜-3、-3≤a＜2和a≥2三种情况来讨论，教会学生注意区分界点的无缝特征。

2.根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

例2：解关于x的不等式：ax+3＞2x+a

分析：通过移项，不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0、a－2＝0、a－2＜0三种情况分别解不等式。

3.根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：相离、相切、相交。在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部、角的外部三种不同的情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。

三、引导探索，循序渐进地提高

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题。只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误以致丢失题目的关键部分。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、严密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：一是涉及代数式或函数方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例3：已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m是实数）。如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：切入点应选在是何种函数的讨论上，不同的函数会有不同结局。

解：当m=l时函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当m≠1时，函数就是一个二次函数y=(m-1)x2+(m-2）x-1

因而当Δ=(m-2)2+4(m-1)=0时，函数与x轴有唯一交点，所以此时m=0。

第8篇：分类讨论的思想方法范文

关键词：分类讨论 应用解题

一、引言

《九年义务教育数学课程标准》明确提出 ：要在教学中渗透数学思想 。这是我们中学数学阶段加强数学方面素质教育的一项重要的措施，而“分类讨论”思想是中学数学教学中的一个重要的数学思想和重要的解题策略。“大纲”中“分类讨论思想”在初中数学占有相当重要的地位。“大纲”里有具体的要求：“分类讨论”简言之就是先分类，后讨论。我们在阅读大纲和教材会发现，初中数学对分类讨论本着先易后难、循序渐进的原则，把“分类讨论思想”分成两个层次，即“分类思想”和“讨论思想”。所以我们在教学中渗透“分类讨论思想”，对培养学生思维的条理性、缜密性，提高学生分析问题和解决问题的能力有十分关键的作用。

在近几年来的中考试题中都把“分类讨论”思想方法列为重要的思想方法来考查，小到填空题、选择题，大到压轴题非常容易见到它，有些学生稍不留神就会因“考虑不周”而遗漏可能的答案，导致失分较多，从而体现出其重要的位置，所以我们在平时的教与学中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想就得有所渗透和训练。

二、分类讨论的步骤

通常采用的步骤为：

1.首先我们要知道研究对象的取值范围是多少；

2.我们要进行正确的详细的分类：

（1）先按通常规律下的标准进行分类；

（2）应按答案不重复，不遗漏的原则进行分类；

3.逐步讨论加以解决；

4.归纳，作出结论。

三、分类讨论思想是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通

1.在几何三角形中的应用

例：①等腰三角形的两边为7、6，则三角形的周长为 ；

②三角形有一个角是80°，而且有两个角相等，则另外两个角是 。分析：①等腰三角形的性质决定我们解决问题前，必须明确所给的边的定义，这里哪条边是“腰”不明确，而且还要考虑三条线段构成三角形的前提，因此分类讨论的必要性已经具备。对于“角”的不明确，是顶角还是底角，是分类讨论的典型习题。

2.在绝对值中的应用

绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，我们要清楚这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。绝对值的分类讨论的同时，需考虑范围内有意义的问题，所以在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此，则这样的解不是方程的解“应舍去”。

3.在方程中的应用

例：关于x的方程（m-4）x2-（2m-1）x+m=0，当m为何值时，方程有实根？

解：当m-4=0，即m=4时，原方程化为-7x+4=0，此时方程有且只有一个实数根，为x=4/7。

当m-4≠0，即m≠4时，原方程为一元二次方程，

其中，即m≥-1/12 且m≠4时，方程有两个实根。

分析：此题对未知数最高次系数须“分类讨论”。方程有实根，即方程有两个实根或一个实根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以结果为综合结果。

4. 在函数中的应用

例：当m=____时，函数y=（m+5）x 2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。

解：当（m+5）x 2m-1是一次项时， 2m-1=1；m=1，整理为y=13x-3。

当（m+5）x 2m-1是常数项时， 2m-1=0；m=1/2，整理为y=7x+5/2。

m+5=0； m= -5，整理为y=7x-3。

分析：讨论（m+5）x 2m-1可能是一次项或常数项，通过不同的m的值，可以得出不同的结论。

。

5. 在图形的位置变化下的应用

例：如图：形如量角器的半圆O的直径DE=12 cm，形如ABC，∠ABC=300，BC=12 cm，半圆O以2 cm /秒的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动的时间为t秒，当t=0时，半圆O在ABC的左侧，OC=8 cm。当t为何值时，ABC的一边所在的直线和半圆O所在圆相切。

分析：（1）如图，当点E与点C重合时，AC垂直于DE，OC=OE=6 cm，所以半圆O所在的圆与AC相切。此时O点运动了2 cm，t=1 秒 。

（2）如图，当点O运动到点C时，过点O作OF垂直于AB于F ，在直角FOB中，∠FBO=300，OB=12 cm，所以OF=6 cm，即OF等于半圆O的半径。所以AB与半圆O所在的圆相切，此时是O运动了8 cm，运动时间：t=8/2=4 秒。

（3）如图：当点O运动到BC中点时AC垂直于OD， OC=OD=6 cm， 所以AC与半圆O所在的圆相切，此时是O运动了14 cm，运动时间：t=14/2=7 秒。

（4）如图：当点O运动到B点的右侧，且OB=12 cm时，过点O作OQ垂直于直线AB于Q， 在直角BOQ中，∠OBQ=300， BO=12 cm，所以OQ=6 cm，即OQ=半圆O的半径，所以直线AB与半圆O所在的圆相切， 此时是O运动了32 cm，

运动时间：t=32/2=16 秒。

总之， t=1或7或16时 ，相切。

四、小结

当然，分类的思想随处可见，我们以上的举例虽然并不能把所有初中数学关于分类讨论思想的问题都一一列举出来，但“分类讨论”思想的重要性是不容小觑的。一方面我们利用分类讨论思想，可使我们的解题思路由复杂变简单，步骤当然就简化了；而另一方面是我们在教学当中，不仅可以使学生的兴趣更加浓厚，同时又可以加深这种数学思想方法的渗透。

在我们的教材里，我们不仅渗透了分类讨论思想，也让学生在掌握这种思想方法的同时，可以与我们数学的其他思想方法进行综合的学习和使用，使我们学生的思维更开阔更积极。

所以，在我们当前的中学数学教学中，强调重视学生思维能力和探索精神的培养，发散思维训练自然是它的核心内容。研究开放性问题和分类讨论问题又是发散思维训练的主要内容，我们在这方面应该高度重视，并有所作为，我相信会使学生们在他们的认知层次上会得到极大的提高，收到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]数学课程标准解读.北京师范大学出版社

第9篇：分类讨论的思想方法范文

    一、 加强课堂渗透,基本树立分类讨论思想

    分类讨论的思想并不是数学这门课程所独有的思想,在学生的其他课程甚至是生活实际中其实都有所提及。而教师在数学课堂中所要做的就是帮助学生们理解什么是分类讨论思想,分类讨论思想在数学中有什么作用,所以,在实际的课堂教学中必须加强课堂的渗透。首先是数学概念中分类思想的渗透,其次就是在数学定理和数学公式等中的渗透,还有就是在解决数学习题中出现多种结果后的渗透,最后就是当某些数学问题中出现变量参数后需要对参数进行讨论中的渗透。教师通过在数学课堂中的渗透,可以帮助学生对分类讨论形成基本的认识,为以后深入学习分类讨论思想打下坚实的基础。

    首先以苏教版七年级下册中的“有理数”这一章节为例,在这一章内教师首先要讲的肯定是有理数的概念,而有理数的概念中其实就可以对分类讨论思想进行渗透了。有理数就是整数和分数的统称,在课堂中教师可以通过提问的方式让学生不看书自己概括有理数,在这个时候大部分学生肯定以为正整数和负整数的综合就是有理数,教师在此时就可以提出问题:分数算不算有理数呢?当分数的融入,决定有理数的概念需要分类为整数和分数进行讨论,于是教师就可以在此时提及分类讨论思想,通过学生们在概念归纳上的错误帮助他们对分类讨论思想形成深刻的印象。

    二、提升课堂运用,全面深化分类讨论思想

    当学生对分类讨论的思想基本形成认识和理解后,教师就可以在实际的课堂当中进行反复的运用,通过不同方面和不同内容的多次运用,全面的对分类讨论思想进行深化。这其中就包括了分类讨论的基本定义,在数学学习中何时需要进行分类,如何进行分类讨论,如何保证分类的全面性等问题的深化教学。在课堂中可以摆出一个复杂概念或问题,然后引导学生进行解答,在其中对分类讨论思想进行全面的剖析。首先是将复杂或概括性强的问题进行分解,分解出一个个简单的小问题,然后对小问题进行解答,最后将解答结果进行综合得出最终结果。在这一过程中,分类讨论的方法得到了充分的运用,教师在从旁进行指导,提高分类的周密性和全面性,分类讨论的思想就可以在学生中得到全面的深化。

    例如在苏教版七年级上册中的“用字母表示数”章节学习中,教师可以在课堂中提出一个简单的绝对值问题。例如:|A|-1>2这一问题,首先可以整理为|A|>3,然后教师就可以引导学生对这一问题进行分解成两种情况:A为正数和A为负数,然后对两种情况进行分别解答。当A为正数时A>3,当A为负数时A<-3,最后综合得出结果A>3或A<-3。在这个问题的解答只要教师能够对其中分类讨论思想的运用和注意事项进行详细的解释,学生就能够很好的对分类讨论的思想进行深化理解。

    三、 加强习题设计,实现学生分类讨论运用

    习题的合理设计是实现学生分类讨论思想完全掌握的最重要的一点。目前我国推行的素质化教育中提到的重要的一点就是加强学生的自主学习能力,通过学生的自主学习,自主发现数学中的各种公式和思想。所以,对于学生分类讨论思想的养成这一点上,教师就可以加强课后习题的设计,通过有效的习题,让学生在解答的过程中自主发现分类讨论的方法和过程,并不断的通过习题强化分类讨论思想,最终实现这种思想的熟悉运用和培养出学生缜密的学习思维和严谨的学习态度。在代数习题中,教师可以多添加变量参数以实现分类讨论的应用,在几何习题中,教师可以多添加不确定图形让学生发散思维和加强分类讨论的运用。