第1篇：垂直与平行范文
人教版数学四年级上册第四单元“垂直与平行”。
教学目标
1.认识同一个平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识垂线和平行线
2.通过学生自主探究、合作交流，感知平行与垂直的特点，培养学生的空间观念和空间想象能力，以及抽象概括的能力
3.培养学生合作探究意识，感受数学与生活的密切联系
教学重点
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。
教学难点
理解“同一平面内”“不相交”。
教学准备
三角板、磁钉、白纸、塑料棒、直尺。
教学过程
一、复习旧知，引发新知
师：同学们已经认识了直线，谁能说说直线的特点？
生：直线能无限延长。（出示课件演示直线无限延长）
二、画图感知，激发兴趣
1.感知平面
师：大家拿张纸平放桌上摸一摸。我们是不是摸到一个平平的面？（感知平面）
2.学生画图
师：同学们我们现在把纸张轻轻地捧在手中，闭上眼睛，想象一下，这张纸放大，再放大直到无穷。纸张上出现了一条直线，又出现了一条直线，他们将会是怎样的关系？请大家睁开眼，用彩笔把你所想象的两条直线的位置关系画在这张纸上。
三、观察分类，自主探索
1.学生动手画图
师：画完的同学举起来互相看看，相同吗？（不相同）
师：谁把自己画的两条直线展示给大家？
2.作品展示
师：同学们的想象可真丰富，想出了这么多不同的画法，现在我们选几组有代表性的直线来分析。
教师选出几幅有代表性的作品展示在黑板上。
师：你能根据黑板上每幅作品中两条直线的位置关系将他们分类吗？
3.学生上台尝试给作品进行分类，并说出这样分的原因
师：你能根据直线的位置关系把这些作品分类吗？（为了方
便，我们给他们编上序号后，指名上台分）
师：你能说说这样分的原因吗？
师：刚才老师听到一个词“交叉”，两条直线“交叉”了，用数学语言应表述为两条直线“相交”了，我们一起来说一遍“相交”这个词。（板书：相交不相交）
4.引导学生分类
师：大家对他的分法有不同意见吗？
（1）学生质疑，教师引导验证
重点：①对于看似不相交的，这两条直线无限延长后真的会相交吗？
②学生动手验证。
师：这两条直线无限延长后真的相交了，可以和相交的分为一类。
③小结：这种看似相交，实际不相交的情形，在判断的时候，要注意把它延长后再判断。
5.展示课件
师：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种情况，相交和不相交。
四、动手验证，揭示概念
1.平行线
（1）教师指着不相交的一类，质疑：这两条直线是暂时不相交，还是永远不相交？你能用手中的工具验证一下吗？
（2）动手验证。
指名上台量，说出结果。引导学生说出：两端的宽度相同。
（3）揭示平行线的概念。
师：像这种在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。（板书：互相平行）。
师：知道为什么要加“互相”吗？
生：必须有2条或2条以上的直线，才说互相，一条直线不能说互相平行。
①强调：在同一平面内。
（出示模型）师：同学们，这是什么？有几个面？这条直线在哪个面上？这条呢？这两条直线会相交吗？为什么？那么平行吗？看来，平行线必须在同一平面内，并且不相交（板书：在同一平面内）
师：谁能说一说什么是互相平行呢？
②指着黑板上的作品和关键字引导描述。
③出示课件：指名读，齐读。
师：两条直线互相平行必须具备哪些条件？
生1：直线。
生2：同一平面。
生3：不相交。
2.垂线
师：我们已经研究了两条直线不相交的情况，现在我们来研究两条直线相交的情况。
（1）师指着相交的一类，质疑：在同一平面内，两条直线相交形成了什么？（角）都形成了哪些角？
（2）动手验证。
师：太棒了。同学们这么快就判断出这四个角是直角，但是数学很严谨，我们不能凭眼睛就认定是直角。那有什么办法能让我们可以很肯定地说这四个角是直角呢？
生4：（作思考状）对了，可以用上直角三角板。
师：（作好奇状）怎么用上直角三角板？你能给大家演示一
下吗？
学生拿着三角板量角，确定四个角中的一个角是直角。
师：老师发现还有同学举起了小手，他一定还有话要说。那我们请这位同学说说他的想法吧。
生：还可以用量角器量。
师：同学们真不简单！（板书：成直角不成直角）
（3）揭示垂线的概念。
师：像这样的两条直线，我们就说它们互相垂直。（板书：互相垂直）。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
①指着黑板上的作品和关键字引导描述。
师：用自己的语言说说什么是互相垂直（学生试说后指名回答）
②课件出示互相垂直的概念
师：像这种在同一平面内，相交成直角的两条直线叫做互相垂直，两条直线互相垂直必须具备哪些条件呢？
生1：直线。
生2：相交成直角。
生3：同一平面。
3.联系实际，找一找
（1）在教室中找出平行与垂直的例子，交流。
（2）（出示课件）师：你能在操场上找到平行与垂直吗？（学生思考，相互交流。）
（3）生活中的垂直与平行（出示课件）。
五、巩固练习，深化理解
游戏：我说你摆
师：拿出一根绿色的小棒，再拿出两根红色的小棒，把它们都摆成和绿色小棒平行，这两根红色小棒是什么关系？
小结：如果两条直线仅都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（课件演示）
师：拿出一根绿色的小棒，再拿出两根红色的小棒，把它们都摆成和绿色小棒垂直，看看这两根小棒是什么关系？
小结：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
（课件演示）
六、欣赏图片，畅谈收获
师：生活中垂直与平行无处不在，它装点着我们美丽的世界，让我们共同去感受平行与垂直的美，出示生活中蕴含的垂直与
平行。
七、全课总结
1.揭示课题并板书（垂直与平行）
师：今天我们研究了同一平面内两条直线的什么关系呀？（板书：垂直与平行）
2.谈收获
第2篇：垂直与平行范文
【例1】 如图,四面体ABCD中,M、E、F分别为BAC,ACD及ADB的重心．
求证：(1) 平面MEF∥平面BCD；
(2) 求SMEF∶SDBC．
分析 本题考查面面平行的判定以及面面平行的性质。
(1) 根据重心的性质易知应该连接AM,AE,AF,再根据相似比可知MEF的三边分别与DBC的三边平行,进而可得结论；
(2) 因为两个三角形所在的平面互相平行,因此,求两三角形面积之比,实质求这两个三角形对应边之比。
解 (1) 连接AM,AE及AF,分别延长使之交BC、CD、BD于G、H、P三点,由E、F、M分别为三角形的重心,
所以AMAG=AEAH=AFAP=23,所以连接GH、HP、PG，后有ME∥GH,EF∥PH,
可证ME∥平面BCD,EF∥平面BCD,
故平面EFM∥平面BCD．
(2) 由(1)知AMAG=AEAH=23,
即ME=23GH=13BD，
同理可证MF=13CD,EF=13BC,
所以MEF∽DBC,其相似比为1∶3,
所以SMEF∶SDBC=1∶9．
点拨 由于M、E、F分别是三个三角形的重心,从而联想到重心将三角形的三条中线三等分,
由于平行线分线段成比例,由此联想到直线ME∥GH,ME=23GH,进一步可以证明直线ME与平面BCD平行,从而使命题得证。
题型二 面面垂直问题
【例2】 (2011年江苏卷第16题)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.
求证：(1) 直线EF∥平面PCD；
(2) 平面BEF平面PAD．
分析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,
考察空间想象能力和推理论证能力。要证线面平行可在所
求平面内找一条与已知直线平行的直线。要证面面垂直可在其中一个平面内找一条另一平面的垂线。
证明 (1) 在PAD中,因为E、F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD．
又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF∥平面PCD．
(2) 连接DB,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以ABD为正三角形,因为F是AD的中点,所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD．
点拨 由于E、F分别是AP、AD的中点,从而可以证明EF∥PD,由此可以证明EF与平面PCD平行。由平面PAD平面ABCD可以得到直线BF平面PAD,进一步可以证明两个平面垂直。
题型三 面面平行与面面垂直的综合问题
【例3】 如右图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E．
(1) 求证：ABBC=DEEF；
(2) 设AF交β于M,AC∥＼DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当h′h的值是多少时,BEM的面积最大？
分析 本题主要考查面面平行所涉及的综合求解问题,这类问题不仅在平行时存在,同时在垂直时也存在,对同学们综合知识的能力要求比较高。
证明(1) 连接BM、EM、BE.
β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF,
BM∥CF.ABBC=AMMF,
同理,AMMF=DEEF.ABBC=DEEF．
(2) 由(1)知BM∥CF,
BMCF=ABAC=h′h.同理MEAD=h-h′h.
SBEM=12CF•ADh′h1－h′hsin∠BME.
据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=12,即h′h=12时,y=-x2+x有最大值.当h′h=12,即β在α、γ两平面的中间时,SBEM最大．
点拨 要证明线段之比相等,一般可以转化为平行线问题,而求解面积的最值问题,一般可将面积表示为某一变量的函数,利用函数知识求解最值问题。
牛刀小试
1. 如图,在三棱锥PABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,
D、E分别是BC、AC的中点,F为PC上的一点,且PF∶FC=3∶1．
(1) 求证：PABC；
(2) 试在PC上确定一点G,使平面ABG∥平面DEF；
(3) 求三棱锥PABC的体积．
2. 如图,在三棱锥VABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ0
(1) 求证：平面VAB平面VCD；
(2) 试确定角θ的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．
满盈者，不损何为？慎之！慎之！――朱舜水
【参考答案】
1. (1) 在PAC中,PA=3,AC=4,PC=5,
PA2+AC2=PC2,
PAAC，又AB=4,PB=5,PA=3,
在PAB中,同理可得PAAB，
AC∩AB=A,PA平面ABC，
BC平面ABC,
PABC.
(2) 如图所示，取PC的中点G,连接AG,BG,
PF∶FC=3∶1,F为GC的中点.
又D、E分别为BC、AC的中点,
AG∥EF,BG∥FD,
又AG∩GB=G,EF∩FD=F,
面ABG∥面DEF,
即PC上的中点G为所求的点.
(3) VPABC=5394．
2. (1) AC=BC=a,ACB是等腰三角形,又D是AB的中点,CDAB,
又VC底面ABC.VCAB.
于是AB平面VCD.
又AB平面VAB,平面VAB平面VCD．
(2) 过点C在平面VCD内作CHVD于H,则由(1)知CH平面VAB.
连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.依题意∠CBH=π6,所以在RtCHD中,CH=22asinθ；
在RtBHC中,CH=asinπ6=a2,sinθ=22.
第3篇：垂直与平行范文
一、运用模型与多媒体
笔者有一个大的六棱柱模型，上面投影面的平行线、垂直线都有，同时为了使坐在后面的同学能看得更清楚，笔者还用CAD画了一个六棱柱。这样学生很容易就能看出投影面的平行线、垂直线的投影及特点是“两平一斜”，投影面的垂直面的投影特点是“两垂一点”等，更易于理解。对于平面的投影的讲解，笔者也利用了该模型。多媒体投影及模型将投影面平行面及垂直面的投影特点反映得非常清楚。
二、直线的投影分析
空间直线与投影面的相对位置有三种：投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。
1.投影面平行线
只平行于一个投影面，与另外两个投影面成倾斜角度的直线，称为投影面平行线。平行于水平面的直线称为水平线，平行于正面的直线称为正平线，平行于侧面的直线称为侧平线。投影面平行线的投影特性见图1。
投影特性：
（1）投影面平行线的三个投影都是直线，其中在与直线平行的投影面上的投影反映线段实长，而且与投影轴倾斜，与投影轴的夹角等于直线对另外两个投影面的实际倾角。
（2）另外两个投影都短于线段实长，且分别平行于相应的投影轴，其到投影轴的距离反映空间线段到线段实长投影所在投影面的真实距离。
直线对投影面所夹的角，即直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H、V、W面的倾角。
2.投影面垂直线
垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。垂直于水平面的直线称为铅垂线，垂直于正面的直线称为正垂线，垂直于侧面的直线称为侧垂线。投影面垂直线的投影特性见图2。
投影特性：
（1）投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影必积聚成为一个点。
（2）另外两个投影都反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。
三、平面的投影分析
平面对投影面的相对位置有三种：投影面的平行面、投影面的垂直面和一般位置面。
1.投影面的平行面
平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于水平面的平面称为水平面，平行于正面的平面称为正平面，平行于侧面的平面称为侧平面。投影面平行面的投影特性见图3。
投影特性：
（1）在与平面平行的投影面上，该平面的投影反映实形。
（2）其余两个投影为水平线段或铅垂线段，都具有积聚性。
2.投影面的垂直面
垂直于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于水平面的平面称为铅垂面，垂直于正面的平面称为正垂面，垂直于侧面的平面称为侧垂面。投影面的投影特性见图4。
投影特性：
（1）在与平面垂直的投影面上，该平面的投影为一倾斜线段，有积聚性，且反映与另两投影面的倾角。
第4篇：垂直与平行范文
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念，发展学生的空间想象能力是本课教学的重点；正确判断同一平面内两条直线之间的位置关系是教学的难点。本课教学尊重学生的认知规律，力求学生通过多种学习方式学习同一平面内两条直线的垂直与平行的空间位置关系知识，引导学生通过观察、讨论、感知生活中垂直与平行的现象；帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线；培养学生的空间概念及空间想象能力，培养学生具有合作探究的学习意识。
一、 创设情景、感知想象
1.前面我们已经学习了直线，那大家还记得直线有什么特征吗？
2.老师这儿有一张白纸，把这张白纸当成一个平面，如果这个平面无限扩大，闭上眼睛想象一下，它会是什么样的？在这个无限大的平面上，出现了一条直线，接着又出现了另一条直线，想一想这两条直线的位置是怎样的？
让学生动手在三张白纸上画，一张白纸上画一种情况，用水彩笔和直尺画。
评析：先让学生回顾旧的知识点并想象在一个大的平面上出现两条直线，这样不仅能让学生感知空间想象，还让学生思考这两条直线有怎样的位置关系；然后让学生动手在白纸上画出具体的直线，使学生能直观地感知两条直线的位置关系。
二、 自主探索，构建新知
1.提出问题
（1） 画好了吗？同桌两人一小组讨论：说一说你所画的两条直线的位置是怎样的？
（2）有哪个小组想把你所画的直线展示给大家看呢？
展示到黑板上，并标上号：
评析：这一步先让学生独立思考，再在小组中交流，然后选出有代表性的情况，展示到黑板上，其他小组互相补充，使学生经历了一个从个人――小组――全班的逐层递进的过程，同时为学生自主分类提供了丰富的信息资源。
2.观察分类，讲授新课
师：仔细观察这6种情况中两条直线的位置关系，能把它们分类吗？想好后和同桌交流。
学生汇报：生1：1和2、3和5、4和6分三类。
生2：1和2一类，3、4、5、6一类。
在学生说到交叉的分为一类时，告知学生交叉在数学上叫做相交。
板书：相交
针对学生的不同分类，引发学生的争议，在争议中统一意见，大致按相交、不相交分为两类。
板书：不相交
3.提问：4号为什么要放到相交的这一类？
提醒学生直线有什么特征，并让学生进行延长，最后证实4号看起来不相交，延长后会相交，因此4号要归为相交的一类。
评析：这一步让学生在自主探索与交流的过程中达成分类的共识，即相交的一类，不相交的一类。发展了学生的空间想象能力，让学生在自主探索、交流、辨析、求证的过程中顺其自然地发现在同一平面内两条直线的两种位置关系。
4.认识平行线
（1）观察、体会平行线的特点
师：1、2号看起来不相交，会不会延长也相交呢？
先让学生动手延长两条直线看是否会相交，再课件演示两条直线不管怎样延长，永远都不会相交的动态过程。
师：（课件演示）老师展示把1号放在方格子上，发现两条直线之间的距离是怎样的？
生1：两条直线之间的距离处处相等。
小结：像这种位置关系的两条直线在数学上叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
板书：平行线。
（2）平行线的含义
师：为什么要加上“互相”呢？
小结：要说互相平行是因为平行线至少需要2条直线。
师：能说一条直线是平行线吗？
[a][b]
直线a是直线b的平行线
直线b是直线a的平行线
直线a和直线b互相平行
师：同学们，平行的现象在生活中随处可见，请同学们举例说说身边的平行现象吧。
（3）认识垂直
师：两条直线相交会形成什么呢？
生：角。
师：在这些角中有什么角最特殊呢？
生1：因为它们都是十字形的。
生2：它们都有四个直角。
（4）揭示垂直的定义
师：像这样两条直线相交成直角在数学上叫做互相垂直。
大屏幕出示：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
[c][d]
直线c是直线d的垂线
直线d是直线c的垂线
直线c和直线d互相垂直
师：同学们举例身边垂直的现象吗？
小结：今天这节课我们认识了在同一平面内两条直线特殊的位置。关系：垂直与平行（板书课题）
评析：在观察、比较、验证的学习过程中，深刻体验平行与垂直的特征，并通过举例身边的平行与垂直的现象来直接考查学生对平行与垂直的知识点的掌握程度。
（5）课件出示以下长方体：找找长方体中互相平行和互相垂直的现象。（重点让学生理解直线a是平面1的直线，直线b是平面2的直线，虽然它们不相交，但也不能说它们互相平行）
[a][b]
评析：这一步让学生在充分观察、想象、验证、自学提问的学习过程中，深刻体验平行与垂直的特征，深刻理解了同一平面的含义，同时培养了学生科学严谨的学习态度和自学能力，也发展了学生的空间观察。
三、巩固拓展，加深认识
闯关游戏：
第一关：小试牛刀：判断下列各组是否互相平行，互相垂直、相交，还是什么都不是。
第二关：摆一摆
（1）把两根红色小棒都摆成和绿色小棒平行，看一看，这两根红色小棒互相平行吗？
（2）把两根红色小棒都摆成和绿色小棒垂直，看一看这两根红色小棒有什么关系？
第三关：考考你，对的打√，错的打×。
（1）在同一平面内，只要两条直线相交成90°，这两条直线就互相垂直。（ √ ）
（2）两条直线相交，那么这两条直线互相垂直。（ × ）
（3）两条平行线间的距离处处相等。（ √ ）
（4）在同一平面内两条直线不垂直就一定平行。
（ × ）
（5）不相交的两条直线叫做平行线 。（ × ）
评析：本环节的练习主要是让学生加深理解相交、互相平行、互相垂直的特征，并能对今天所学的知识进行自我检测。
四、全课总结
同学们，通过这节课的学习，你们有什么收获？你们觉得自己表现如何？
评析：这样用谈话的方式进行总结，不仅总结了所学的知识、技能，更重要的是给了学生一次评价的机会，让他们通过自评、互评初步学会评价，实现了课堂评价主体的多元化。
[在同一个面内
第5篇：垂直与平行范文
关键词：人教版 四年级 数学 平行 相交 互相平行
一、探究新知：
1、画图感知，研究两条直线的位置关系
1.1使学生猜想在同一个平面上两条直线的位置关系，在一个平面上任意画两条直线有什么特点？这两条直线的位置关系是怎么样的？会有哪几种不同的情况？
1.2使学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系。
2、观察分类，了解平行与垂直的特征
2.1展示各种情况
2.2进行分类
①小组汇报分类情况。
②引导学生分类。
二、场景设计：
1.揭示平行的概念
这几组直线就真的不相交了吗？怎样验证？
在数学上，像这样的两条直线就叫做平行线。（板书：平行线）谁能用自己的话说说什么是平行线？
将这两根小棒想象成两条直线，（摆在同一个平面上），它们平行吗？（摆在不同的平面上）现在呢？为什么？
这两根小棒不在同一个平面上，难怪它们既不相交，也不平行。所以，我们还要给互相平行加上一个条件：“在同一平面内”。
现在，谁能完整地说说，什么是平行线呢？
要判断一组直线是不是平行线，要具备什么条件？我们还可以说，这两条直线互相平行。
小结：在同一平面内，两条直线会出现相交和不相交两种情况。其中，不相交的两条直线叫做平行线。
2.揭示垂直的概念
咱们再来看看两条直线相交的情况。你发现了什么？
这几组两条直线相交有的成直角，有的是锐角，还有的是钝角。
你认为在这几组相交的直线中哪种最特殊？
有一个角是直角的。
怎么证明这几个是直角呢？
像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，谁能用自己的语言说说怎么样才互相垂直？（出示互相垂直的概念）
如图：我们可以说直线a和直线b互相垂直。它们的交点叫做“垂足”。
还可以怎么说？
直线b和直线a互相垂直；直线a是直线b的垂线；也可以说直线b是直线a的垂线。
小结：我们已经探讨了在同一个平面上两条直线的位置关系――平行与垂直。
3.本课小结：
你学会了什么？说给同学们听听。
小结：刚才，我们通过分类活动，认识了在同一个平面内，两条直线不同的位置关系，其中两种比较特殊的是平行与垂直。
三、板书设计：
平行与垂直
两条直线的 不相交---平行
（在同一个平面内）
位置关系 相 交---垂直
四、总结：
本课教材是在学生学习了直线及角的认识的基础上教学的，是认识平行四边形和梯形的基础。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用。如何唤起学生的生活经验，感知生活中的垂直与平行的现象？如何进一步发展学生的空间想象能力，让学生发现在同一平面内两条直线的位置关系并得出结论？本课主要通过预习观察、合作讨论、交流等活动让学生去感知、理解、发现和认识。感知生活中的垂直与平行的现象，初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系，发现同一平面内两条直线的位置关系的不同情况，初步认识垂线和平行线；并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的发展，如对看似不相交而实际相交情况的想象，对两条直线永远不相交的想象等等。围绕这些目标，我在设计教案时努力体现了以下几个特点。
1.创设预习的情境，感受两条直线的位置关系。
本课在设计导入时，从游戏入手，把学生课堂上将要学习的知识延伸到课前，让学生课前仍两支小棒的位置关系，其实学生在生活中把小棒碰掉在地上的现象是经常发生的，让学生根据两支小棒的位置关系来想象两条直线的位置关系也是可能的，但真正去扔小棒得出两条直线的位置关系，发生平行和垂直的机率很小，于是我让学生在桌子上任意画出两支筷子的位置关系，课上根据所画出的两条直线的位置关系来引入。这样设计的原因有两个：一是为了体现数学知识来源于生活的理念，另外也是为了让学生养成操作的习惯。在学生自己确定了想法之后，再在小组中交流。充分利用学生自己的学习能力，在小组中进行整理，选出不同关系的直线进行展示。
2.以分类为主线，通过学生自主学习，合作探究，体会同一平面内两条直线间的位置关系。
在设计教案时我们大胆地让学生以分类为主线，通过小组分类，汇报，再根据学生分类的不同情况，让学生把思维局限在两个种类中，这样学生会出现找不到家的或找错家的情况，抓住这一时机进行梳理分类，通过班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，培养学生初步的问题研究意识。这样学生们也经历了一个从个人──小组──全班的逐层递进的过程。学生把在同一平面内两条直线的位置关系进行分类，具有一定不可预料性，大致设想有三种。
在学生与教师共同参与、积极讨论下达成分类的共识，即相交一类、不相交一类。这样就顺其自然地引出，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说它们互相平行。在这里进一步提出“在同一平面内”，教师利用自制教具进行演示，让学生有一个明确的认识，培养学生的空间想象能力。
从相交后形成的角度来看，让学生找到一种最特殊的情况――相交中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，从而引出互相垂直的概念。
引导学生用工具验证相交后成直角的现象。培养学生科学严谨的学习态度。
使数学生活化，从学生的身边发现数学知识。找到垂直与平行的现象。
培养学生观察的能力，进一步在生活中发现垂直与平行。
3.在知识探究的过程中完成自主学习、合作探究意识与空间想象能力的培养。
3.1学生根据所画的情况找出两种直线的位置关系，体现了自主学习能力的培养。
第6篇：垂直与平行范文
知识是仅把书本和表象，摄入底片的照相机;智慧是洞悉穿刺事物，本质和内核的透视仪。下面小编给大家分享一些高一必修二数学知识，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
高一必修二数学知识11、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.
(2)棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
(3)棱台：
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.
(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
高一必修二数学知识2(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.
当时,;当时,;当时,不存在.
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(3)直线方程
①点斜式：直线斜率k,且过点
注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式：()直线两点,
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.
⑤一般式：(A,B不全为0)
注意：各式的适用范围特殊的方程如：
(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);
(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(三)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;
(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线不在直线系中.
(6)两直线平行与垂直
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解.
方程组无解;方程组有无数解与重合
(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点
(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.
高一必修二数学知识31、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;
(2)过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
设圆,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
当时两圆外离,此时有公切线四条;
当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当时,两圆内含;当时,为同心圆.
注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
5、空间点、直线、平面的位置关系
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.
应用：判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.
符号语言：
公理2的作用：
①它是判定两个平面相交的方法.
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.
公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.
公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
高一必修二数学知识4①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质：既不平行,又不相交.
③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.
求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aaα
(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;αβ
相交——有一条公共直线.α∩β=b
2、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行面面平行),
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.
(线线平行面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行线线平行)
3、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.
③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.
(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.
4、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为.
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为.②平面的垂线与平面所成的角：规定为.
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.
在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
高一必修二数学知识5解三角形
(1)正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
(2)应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
数列
(1)数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
②了解数列是自变量为正整数的一类函数.
(2)等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念.
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.
③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
第7篇：垂直与平行范文
关键词：小学；数学；教
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）11-311-01
一、自主学习，尝试画图。
第一步，请学生画出两条直线互相平行。第二步，请学生画出两条直线互相垂直。第三步，小组里说一说什么是互相平行，什么是互相垂直，并互相检查你们所画的是不是正确的。第四步，选取组内一个同学的作品，做好向全班同学汇报的准备。
二、交流展示，观察辨析
学生完成学习单内容后，自主完成导学提示单上的内容后，再课堂中引导学生进行交流，选出你认为是互相平行互相垂直的向全班汇报。师：谁来说说两条直线怎样的位置是互相平行？怎样的位置关系是互相垂直？a：学生根据书上的定义准确描述互相平行和互相垂直的定义，并让学生说说你认为哪些词比较重要。b：教师在黑板上出现这两条概念的表述。教师根据学生的想法、所提出的问题进行随机评价，并对白板上学生的作品进行评价整理，归类，会出现两种如下情况：
三、理解互相平行
如何让学生理解互相平行，根据定义抓住平行线的本质特征来判断是否互相平行，学生对其中的不平行的线条生质疑，让学生知道不平行的线条延长后会相交，再根据学生的回答，通过白板先把两条直线延长，然后利用白板中的三角板功能量下两条直线之间的距离相等。小结：通过刚才的学习，我们知道两条直线的位置关系有两种，一种是相交的，一种是不相交的，像这样延长后永不相交的两条直线在数学上叫互相平行，如两条直线分别叫做a、b，记作a∥b，读作a平行于b。（板书）谁能说一说：互相平行需要具备什么条件：一，两条直线，二，永不相交，（三，同一平面，等会儿再得出）
四、理解互相垂直
通过书本上的定义抓住垂线的本质特征来判断是否互相垂直，学生对不相互垂直的线条产生质疑，在质疑中概括出互相垂直的本质属性。小结：像这样两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，读作a垂直于b。师：谁也来说一说：互相垂直需要具备什么条件？（一两条直线，二相交成直角， 三同一平面，等会儿再得出）
五、理解同一平面
引导学生质疑：（1）先让学生说说为什么互相平行和互相垂直这两条直线要在同一平面内。（2）出示一个只有4个面的长方形纸盒，前面和后面各画了一条直线a和b，再展开（如右图）：让学生去想象平面和直线分别是无线延伸和延长的，不管直线怎么延长，它们都分别在自己的平面内，而互相平行的前提是在同一平面内。（3）再次深化“互相平行”和“互相垂直”，通过设计5个问题的过程进行深化凸显概念的本质。如：①如何去找到直线a的平行线，能找到几条？②与a平行的这两条平行线是否也互相平行。③选取与a平行的两条直线，要让直线a与直线b互相垂直，应该怎么办？④两条直线是不是互相垂直了呢？（再次用三角板去验证）⑤如果让直线a继续转下去，还会发生情况。（出现重合情况）⑥让其中一条直线平移，会出现什么情况。
六、教学设计反思效果
1、运用翻转课堂，提高自学能力
教师提前创建视频，运用翻转课堂教学模式，学生在课前或家中观看学习视频中的内容，完成老师导学提示单中的问题，回到课堂上师生面对面交流和完成作业的这样一种教学形态。垂直与平行这节课的内容基本上以陈述性内容为主，更要注重引导学生自主、有效的学习，本节课先通过让学生自己想象两条直线的位置并画下来，再通过交流、分类，在分类中引导学生概括出“互相平行”和“互相垂直”的本质属性。数学的学习就是思维不断激烈碰撞的过程，也是师生互动、生生互动共同发展的过程，根据学生的知识起点，让他们通过充分的交流和再创造“跳一跳”摘到果子，促进他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解数学，使数学的课堂充满生命和活力。
第8篇：垂直与平行范文
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行(或垂直) 线面平行(或垂直) ；面面平行(或垂直)，而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ；线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。平行或垂直关系的证明(除少数命题外)，大多可以利用上述相互转化关系去证明。
例1 如图，设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形折成二面角 。求证：平面 ∥平面 。
解法一(纵向转化)：
AE∥DF，AE 平面 ，
AE∥平面 。
同理， ∥平面 ，
又AE∩ ＝E，
平面 ∥平面 。
解法二(横向转化)：
AE∥EF， EF，且AE∩ ＝E，
EF平面 。
同理，EF平面 。
平面 ∥平面 。
评注：“要证线面平行，先要找线线平行或面面平行”作为思维模式，而用平行四边形或三角形内平行截割来找线线平行是平面几何中的规律。“要证线面垂直，先证线线垂直”，“要证线线垂直，先证线面垂直”是立几中解题的两句口诀和两个解题“模式”，其中线面垂直的关系是线线垂直、面面垂直的纽带。
二、降维转化
由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题、多面体和旋转体的侧面积公式的推导(除球面和球冠外)、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题等等。其实，立体几何中的三种角(线线角、线面角、二面角)和四种距离(线线距、点面距、线面距、面面距)从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。
例2 如图，设正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过 作与侧棱 、 都相交的截面 ，求这个截面周长的最小值。
解：沿侧棱SA将三棱锥的侧面展开(如图)，
求 周长最小值问题就转化成了求 、 两点间的最短距离。
设 ，则由余弦定理得 ，
所以 ，可求得 ，
即所求截面周长的最小值为 。
评注：把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法。又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的有平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
三、割补转化
“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。如教材中斜棱柱侧面积公式的推导，就是通过割补法转化为直棱柱后进行的。
例3 三棱锥 中，已知 ， 、 的公垂线段 ，求证：三棱锥 的体积 。
解法1：如图1，连结AD、PD，
解法2：如图2，以三棱锥 的底面为底面，
侧棱PA为侧棱，补成三棱柱 ，
连结EC、EB，则易证AP平面EBC，
解法3： 如图3，将 补成平行四边形 ，
可利用 ，
评注：割\补转化是解决立体几何问题常用的方法之一，对同一几何体既可进行合理分割，又可实施有效的添补。
四、等积转化
“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”(或称等积变换)是以面积、体积(尤其是四面体的体积)作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。
例4 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积。
略解：易证四边形EBFD1是菱形，连结A1C1、EC1、AC1、AD1，则
VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF- A1ED1=2VC1- A1ED1=2VE- A1C1D1=VA-A1C1D1= V正方体AC1＝ a3
五、抽象向具体转化
立体几何的许多抽象的定理、结论源自具体的生活实际，源自平面几何，要学会联想实际模型，借助可取的具体之材来建立空间想象。
例5 A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是900、900、600。求球O夹在二面角B－AO－C间部分的体积。
略解：此题难点在于空间想象，比较抽象。可以如此读题：条件即∠AOB＝∠AOC＝900，∠BOC＝600，然后给出如图，则可想象此题意即为用刀沿600二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，答案是 。
问题就变得直观具体多了。
例6 三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成600角，求此直线与另外一条直线所成的角。
略解：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，
于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与
同一顶点上的三条棱所成的角分别是600、600、α，
第9篇：垂直与平行范文
一、证垂直: 三垂线定理是证明垂直关系的基础.
例1 (2009年北京宣武)如图1,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,
∠BCD=60°, 点E是BC边的中点, AC与DE交于点O, PO平面ABCD.
求证: PDBC.
分析: PD是底面的斜线, BC是底面内的一条直线. 根据三垂线定理,
只要证明PD在底面内的射影垂直于BC.
在菱形ABCD中, 连接DB, 则BCD是等边三角形.
因为点E是BC边的中点, 所以 DEBC. 因为 PO平面ABCD, 所以 OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.
根据三垂线定理 PDBC.
点评: 本题利用射影ODBC, 根据三垂线定理得到斜线PDBC. 这是证明两线垂直常用的方法.
例2 (2008年全国卷Ⅱ) 如图2, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB=4, 点E在C1C上, 且C1E=3EC, 证明: A1C平面BED .
分析: 要证A1C平面BED, 只要证明A1C垂直于平面BED内的两条相交直线. 连结AC交BD于F, 则BDAC, 由三垂线定理知, BDA1C. 连结EF交A1C于G, 在平面A1CA内, 由于
AA1FC=ACCE=22
. 故RtA1AC∽RtFCE, ∠AA1C=∠CFE, ∠CFE与∠FCA1互余, 于是A1CEF, A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直, 所以 A1C平面BED .
点评: 本题利用三垂线定理证明BD垂直于平面BED内的直线A1C, 这说明: 线线垂直是线面垂直的基础. 同样, 由A1C平面BED, 且A1C平面A1CA, 得平面A1CA平面BED.
故线面垂直又是面面垂直的基础. 因此, 三垂线定理是证明垂直的基础.
二、求空间角: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
例3 (2005年天津卷) 如图3, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠A1AB=
∠A1AC, AB=AC,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°, E是棱B1C1的中点. 求A1A与底面ABC所成的角.
分析: 先把A1A与底面所成的角转化为平面角. 过A1作A1H平面ABC于H, 连结AH, 并延长交BC于G, 连结EG, 于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角. 因为∠A1AB=∠A1AC, 所以AG为∠BAC的平分线.又AB=AC, 则AGBC, 且G为BC中点. 因此，由三垂线定理, 得A1ABC. 因为A1A∥B1B, 且EG∥B1B,所以EGBC, 于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角, 即∠AGE=120°.由于四边形A1AGE为平行四边形, 得∠A1AG=60°. 所以, A1A与底面ABC所成的角为60°.
点评:为了找出斜线与平面所成角, 二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到A1ABC. 这是找空间角常用的方法. 所以三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
例4 (2010年湖北卷) 如图4,在四面体ABOC中, OCOA, OCOB,
∠AOB=120°, 且OA=OB=OC=1.(Ⅰ)设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ,
证明:PQOA; (Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
分析: (Ⅰ) 为了构造与OA垂直的平面, 在平面OAB内作ONOA交AB于N, 连结CN. 由OAOC,OAON, 得OA平面ONC, 从而OACN. 利用三角形的边角关系及AB=3AQ, 可得Q为AN中点, 所以PQ∥CN, 即可证明PQOA.
(Ⅱ)为了找出二面角O-AC-B的平面角, 连结PN、PO, 由OCOA,OCOB得OC平面AOB, 从而OCON, 又OAON,所以 ON平面AOC, OP是NP在平面AOC内的射影, 而ACOP, 根据三垂线定理知ACNP, 所以∠OPN为二面角O-AC-B的平面角. 解三个直角三角形COA,AON,PON, 分别求得:
OP=22
,ON=33,PN=
306
,所以cos∠OPN=
OPPN
=155.
点评: 为了找出二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到ACNP. 本例同样说明: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
三、求轨迹
例5 (2007年北京崇文)如图5, P是正四面体V-ABC的面VBC上一点,点P到平面ABC的距离与到点V的距离相等, 则动点P的轨迹为. 其轨迹的离心率为.
分析: 设正四面体的棱长为2, 取AB中点E, 连结VE,CE,则∠VEC是二面角V-AB-C的平面角
VE=CE=3, 所以
cos∠VEC=3+3-4
2×3×3
=13,
sin∠VEC=223
.在平面ABC内, 过P的射影D作DFBC于F, 连结PF, 根据三垂线定理知BCPF, 所以 ∠PFD是二面角V-BC-A的平面角. ∠PFD=∠VEC.
由此可得:
sin∠PFD=
PDPF
=223
,所以PVPF=223.
这就说明: 在平面VBC内, 动点P到定点V的距离和它到定直线BC的距离之比, 是一个小于1的正数. 根据椭圆的第二定义, 动点P的轨迹是椭圆的一部分, 其轨迹的离心率为
223
点评:在某些求轨迹的问题中, 也离不开三垂线定理.
练习:
1.四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC底面ABCD, 已知∠ABC=45°, AB=2, BC=22,SA=SB=3. 证明: SABC .
2.在三棱锥P-ABC中, PA=PB, PAPB, ABBC, ∠BAC=30°, 平面PAB平面ABC. 求二面角P-AC-B的大小.
3.四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形, 其对角线AC=2, BD=
2. CF底面ABCD, CF=2.求二面角B-AF-D 的大小.
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3, 点M在棱AB上, 且AM=1, 点P是平面ABCD上的动点, 且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为9, 则动点P的轨迹是什么图形? 该图形与线段BC有没有交点? 若有, 指出是哪一点; 若没有, 说明理由.
答案: