一元一次方程组精选(九篇)

第1篇：一元一次方程组范文

一、通过图形来表达信息

例1 图中的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可以看成是各边相等的五边形，白皮可看作是各边相等的六边形.求黑皮和白皮的块数.

分析：从图中我们可以看出黑皮的五条边分别与五块白皮的一条边缝合在一起，而每块白皮有六条边，其中三条边分别和三块黑皮缝合在一起，另外三条边与三块白皮缝合在一起.这样，就可以挖掘出黑皮边数和白皮边数的相等关系，即白皮边数的一半和黑皮的边数相同.

解：设白皮有x块，则它共有6x条边，其中与黑皮缝合在一起的边数为3x条；设黑皮有y块，则它共有5y条边.根据题意，得

x+y=32，

3x=5y.

解此方程组，得x=20，

y=12.

答：白皮有20块，黑皮有12块.

例2 某天，一水果经营户用110元钱从水果批发市场批发了橙子和桂圆共40kg到市场去卖，橙子和桂圆这天的批发价与零售价如下表. 请问：他当天卖完这些橙子和桂圆能赚多少钱？

分析：要解决能赚多少钱的问题，首先要解决橙子和桂圆分别批了多少千克.

解：设批发橙子xkg，桂圆ykg，即该经营户卖完这些水果能净赚（0.8x+y）元.

根据题意，得

x+y=40，

2x+3y=110.

解方程组，得x=10，

y=30.

所以 0.8x+y=0.8×10+30=38（元）.

答：他当天卖完这些水果能赚38元.

二、以卡通对话的形式表达信息

例3 春节过后，小华和小伟把都把自己的压岁钱按一年定期存入银行.已知银行一年定期的年利率为2.25%.她们的对话如下图.根据他们的对话，你能得出他们的存款各是多少吗？

分析：本题中存在着两个相等关系：小华与小伟的存款额相差500元，两个人一年后缴税后利息为45元.

解：设小华存了x元，小伟存了y元.

根据题意，得

x-y=500，

（x+y）·2.25%·（1-20%）=45.

解方程组，得x=1500，

y=1000.

答：小华存了1500元，小伟存了1000元.

例4 下图中两名同学在谈一个两位数，你能根据他们的谈话内容，确定这个两位是多少吗？

分析：通常情况下，表示一个两位数，是把十位数字乘以10，再加上个位数字；若要表示一个三位数，只要再把百位数字乘以100，加上前面的两位数即，更多位数的方法以此类推.

解：设这个两位数十位数字为x，个位数字为y.

根据题意，得x+y=6，

100x+y+10x+y=228.

解这个方程组，得x=2，

y=4.

第2篇：一元一次方程组范文

三元一次方程组的解法对于初中学生来说是一个难点。在一次方程组的解法教学中，首先要让学生明确解一次方程组的“基本思想”是“消元”，“消元”的方法就是“代入法”和“加减法”。代入消元法的关键是从一个方程中找出关系式（即用含一个未知数的代数式表示另一个未知数），再代入另一方程中消去一个未知数，达到消元的目的。加减消元法的关键是变系数，使同一未知数的系数变成相同或互为相反数，然后通过相加或相减消去这个未知数，达到消元的目的。对二元一次方程组的求解，大多数同学经过了大量的练习之后不会感到十分困难，主要是对三元一次方程组往往感到无从下手。现就此问题谈谈自己在教学中的一些体会。

在讲三元一次方程组的解法时，应先让学生了解什么叫做三元一次方程组，掌握解三元一次方程组是化“三元”为“二元”或“一元”的思路。其解题思想是一个“转化”过程，即用代入法、加减法通过“消元”把“三元”转化为“二元”，把未知转化为已知的基本思想。在初中阶段所出现的三元一次方程组可以分成两大类：第一类方程组中至少有一个方程是二元一次方程，最多可以是三个方程中每个方程都只含有两个未知数，而方程组中一共有三个未知数；第二类方程组中的三个方程都含有三个未知数。

对于第一类方程组的解法可以总结为四个字：“留二消缺”。具体做法是：保留一个二元一次方程，然后看这个二元一次方程中不含有（即缺少）哪个未知数，于是用代入法或加减法从另两个方程中消去这个未知数，从而又得到一个二元一次方程，将其与前面保留的二元一次方程放在一起组成一个二元一次方程组。这样就将一个三元一次方程组变成了一个二元一次方程组。然后解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值后，将这两个未知数的值代入原方程组中即可求出第三个未知数的值。以上这种方法学生较容易掌握，关键是第二类解法。

先根据题型结构情况选择保留方程（2），即“留二”。因为通过（1）和（3）相加就可以把其中的未知数Z去掉，又得到一个关于x和y的方程（4），再把方程（2）与方程（3）乘2，消去未知数z，也得到一个关于x和y的方程（5），把方程（4）与方程（5）组成二元一次方程组，然后解这个二元一次方程组求得x和y的值，再将x和y的值代入方程（1）或方程（2）求出第三个未知数z的值。这样就解得此类三元一次方程组。从以上例题我们就可以看出，对于三元一次方程组的解法也可以总结出四个字:“选二消一”。先确定一个准备消去的未知数，在消元时，要先将题目中的三个方程进行组合，看看这三个方程中消哪个未知数最简便。

解三元一次方程组时应该注意哪些事项呢？首先，解三元一次方程组时，由于方程较多，学生容易出错，因此，应提醒学生注意，在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次。其次，消元时，消要考虑好消去哪一个未知数，开始练习时可以先把要消去的未知数写出来，然后再进行消元。最后还应该向学生指出：对于复杂的方程组，要先通过去分母、去括号、移向、合并同类项等步骤化简各个方程，把方程组化成标准的形式，以便观察选择未知数和方程。三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键。一般来说应先消去系数最简单的未知数。只要学生明确了做题的思路，掌握了解题的方法和技巧，提高了分析问题的能力，三元一次方程组的解法就迎刃而解了。

第3篇：一元一次方程组范文

已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值。

变式练习：若方程组中x和y值相等，求k的值。

2．若方程x﹣y=﹣1的一个解与方程组的解相同，求k的值

变式练习：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=2，求k的值

3．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y=6的解，求k的值。

变式练习：若方程组的解满足x﹣y=2，求m的值

4、若关于x、y的方程组的解满足x+y=1，则k=

．

变式练习：1、方程组的解满足方程3x﹣2y+k=0，k的值

2、已知关于x、y的方程组的解满足x+y=2，求m的值

5、对于方程，求的值

6．

关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。

7．若关于x、y的方程组

的解都是正整数，求整数a的值

课后练习：1、已知x，y满足方程组，求x+y的值。

2、已知是二元一次方程组的解，求m﹣n的值

3、关于x，y的方程组的解满足x+y=6，求m的值。

4、已知方程组的解是二元一次方程x﹣y=1的一个解，那么a的值为多少？

5、若关于x，y的方程组的解满足x﹣y=10，求该方程组的解。

7．

关于x，y的方程组的解满足2x+3y=6，求m的值。

8．

若关于x，y的方程组的解满足x﹣y=10，求m的值。

9．

已知关于x，y的方程组

的解满足方程5x+8y=38时，求m的值。

10．

若方程组的解中x与y的值相等，求k的值。

11．

若方程组的解中x的值与y的值之和等于1，求k的值。

12．

已知方程组，若a≠0，求。

13．

若方程组的解满足x+y=1，求a的值。

14．

如果关于x、y的方程组的解满足x﹣2y=﹣1，求k的值

15．

已知关于x，y的方程组的解适合方程2x+6y=9，求k的值．

16．

若方程组的解x，y满足x+y＜0，求k的取值范围．

17．

当m=

时，关于x、y的方程组有无穷多解．

18．

如果

满足二元一次方程组

，求

19.

第4篇：一元一次方程组范文

一、 诗歌类

例1 周瑜寿类：

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十比个位正小三，个位六倍与寿符.

哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？

【分析】诗的意思是“周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数”.

解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得

x+3=y，6y=10x+y. 解得：x=3，y=6.

答：这个两位数是36，即周瑜活到36岁时病逝.

例2 八戒吃仙果.

三种仙果红紫白，八戒共吃十一对；

白果占紫三分一，紫果正是红二倍.

三种仙果各多少？看谁算得快又对？

解：设红果x只，紫果y只，则白果（22-x-y）只，根据题意，得

22-x-y=■y，y=2x.解得：x=6，y=12.

答：红果6只，紫果12只，则白果4只.

下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？

1. 敌军和狗.

一队敌军一队狗，两队并成一队走，

脑袋共有八十个，却有二百条腿走.

请君仔细算一算，多少敌军多少狗？

2. 武大郎卖饼.

武大郎卖饼串满街，甜咸炊饼销得快；

甜三咸二两厘一，咸四甜二两厘二.

各买一张甜咸饼，武大郎饼价该怎卖？

二、 寓言故事类

例3 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗，如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”问驴子和骡子原来所驮货物的袋数分别是多少？

解：设驴子原来所驮货物的袋数是x，骡子原来所驮货物的袋数是y.

由题意得2（x-1）=y+1，x+1=y-1.解得x=5，y=7.

答：驴子原来所驮货物的袋数是5，骡子原来所驮货物的袋数是7.

例4 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中有一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子为整个鸽群的■，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，由题意可列：y-1=■（x+y），x-1=y+1.整理得：2y-x=3，y-x=-2.解之可得x=7，y=5.

答：树上原有7只鸽子，树下原有5只鸽子.

三、 开放类

例5 写出一个解为x=1，y=2的二元一次方程组 .

解：根据x=1，y=2逆向思考，代值反推，可知：x+y=1+2=3，x-y=1-2=-1.故解为x=1，y=2的二元一次方程组可以是x+y=3，x-y=-1.

【点评】值得注意的是，本题容易想到xy=1×2=2，构造出方程x+y=3，xy=2.但它并不是一个二元一次方程组，从而导致错误答案；同时本题的答案众多，结论开放，给了我们很多思考的空间，对培养思维的发散性、严密性、批判性大有裨益.

例6 试着编一道能用二元一次方程组解答的应用题，并使得这个方程组的解是19，20.

【分析】先列出一个解为19，20的方程组，比如x+y=39，4x+8y=236再根据方程组结合实际编一道应用题，只要合理符合要求即可.

【解答】某蔬菜公司收购到某种蔬菜236吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用39天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工？

解：设安排x天精加工，y天粗加工.

根据题意，得x+y=39，4x+8y=236.解之得x=19，y=20.

第5篇：一元一次方程组范文

【关键词】二元一次方程组 巧解 化难为易

大家知道，“代入法”与“加减法”是解二元一次方程组的一般方法。它们的实质都是消元。当同学们熟练地掌握了这两种基本解法之后。就能解决一般的二元一次方程组中的题型，但是对于有些复杂一点的二元一次方程组中的有些题型，同学们处理起来还是有点吃力，根据多年的教学经验，和教学中自己摸索的一些教学方法，同学们在听讲时更容易掌握一点。我来谈谈巧解二元一次方程组部分难题的一些方法。

二元一次方程组的题型我大致把它们分为三类：两个方程，三个方程，四个方程。

两个方程是我们书中最长见的，也是同学们练的最多的，他的基本解法有“代入法”与“加减法”。

代入消元法即：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解。

加减消元法即：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，有些复杂一点的二元一次方程组我们还可以用换元法。

换元法即：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

以上的方法都是传统一点的方法，大部分的老师和学生都能很好掌握，下面就方程组中有些巧妙的方法我来稍做介绍。

一、两个方程

1.整体代入法

例1、解方程组

解：由①得x-y=1③，将③代入②得4-y=5，即y=-1，代入①得x=0，所以原方程组的解为x=0，y=-1。

2.参数法

例2、解方程

解：设3（x-1）=y+5=k，则有

将③和④同时代入②得

解得k=12，再将k=12代入③④得x=5，y=7。

下面重点来介绍三个方程和四个方程的方程组。

为了便于表达二元一次方程我把他们做出了如下定义：一个方程中如果只含有像x，y这样的两个字母我把他们称之为“简单”的方程，下面我都用“简单”表述，对于一个方程中有三个或四个字母的方程我用“难”来定义他们名字。很明显要解出一个方程组的解只要两个“简单”的方程就可以了。

二、三个方程

三个方程可以分为两种类型：

1.“简单”，“简单”，“难”型。

例3、如果方程组

的解为方程3x+my=8③的一个解，求m。

观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“简单”，“难”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①②解出方程组的解为x=2，y=1，代入方程③就能解得m=2。

例4、若方程组

中x=y③，求k。

观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=3，y=3，代入②解得k=1。

例5、已知二元一次方程2x+y=3①，2x-my=-1②和3x-y=2③有公共解，求m。

观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=1，y=1，代入②得m=3。

例6、若方程组

的解x与y互为相反数③，求a。

我们可以把方程③改写为x+y=0，观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=1，y=-1，代入②得a=2。

2.“难”，“难”，“简单”型。

对于“难”，“难”，“简单”型我们又可以把它们分为四类。

第一类：对于字母x，y他们的系数不是1或-1，但是两个方程的字母k的系数是1或-1，这类题型我们可以想办法先把两个方程利用加减法把k约掉，得到一个“简单”的方程，再和另外一个“简单”的方程组成方程组解出x，y的值，再带入“难”求出k的值。

例7、若关于x、y的二元一次方程组

的解中，x与y的差为7③，求k。

解：②-①得2x+3y=-1④再由③和④组成方程组解得x=4，y=-3，代入①得k=-2。

例8、关于x、y的二元一次方程组

满足x+y=12③，求k的值。

解：②-①得x+2y=2④再由③和④组成方程组解得x=22，y=-10，代入①得k=-1。

第二类：对于字母x，y他们的系数比较简单是1或-1，但是两个方程的字母k的系数比较复杂，这类题型我们可以想办法先把两个方程利用加减法解出x等于几k，y等于几k，再把x等于几k，y等于几k代入“简单”的方程就可求出k的值。

例9、若关于x、y的二元一次方程组

的解也是方程x+2y=15③的解，求k。

解：①+②得x=7k，①-②得y= -2k。把x=7k，y=-2k代入③解得k=5。

例10、如果二元一次方程组

的解是二元一次方程3x-5y-28=2③的一个解，那么k为多少。

解：①+②得x=2.5k，①-②得y= -1.5k。把x=2.5k，y=-1.5k代入③解得k=2。

第三类：对于字母x，y，字母k的系数都比较复杂，这类题型我们既可以用第一类的方法先把两个方程利用加减法把k约掉，得到一个“简单”的方程，再和另外一个“简单”的方程组成方程组解出x，y的值，再带入“难”求出k的值。也可以用第二类的方法利用加减法解出x等于几k，y等于几k，再把x等于几k，y等于几k代入“简单”的方程就可求出k的值。

例11、如果二元一次方程组

的解满足二元一次方程x+y=5③，那么k为多少。

第四类：仔细观察x和y的系数特点，有些题目有捷径可以走。

例如：若方程组

的解满足x+y=0③，求m。

解：①+②得3x+3y=2+2m，即x+y=（2+2m）/3因为x+y=0，所以（2+2m）/3=0，解得m=-1。

三、四个方程

例12：已知方程组

和方程组

的解相同，求（2a+b）2013的值。

分析：我们观察①②③④这四个方程，可知道①③这两个方程为“简单”，②④这两个方程为“难”，因此解题的时候可以先由两个“简单”的方程组成方程组求出x和y的值，再代入两个“难”的方程就能解出a和b的值了

解：由①③组成方程组得

解得x=2，y=-6，代入②④得

解得a=1，b=-1。所以（2a+b）2013=1

例13；已知方程组

和方程组

有相同的解，求a、b的值。

分析：很明显本题①④为“简单”，②③为“难”。

解：由①④组成方程组得

解得x=3，y=-1，代入②③得

解得a=1，b=2。

第6篇：一元一次方程组范文

实际问题与二元一次方程组

同步测试题

班级：_____________姓名：_____________

一、选择题

（本题共计

8

小题

，每题

3

分

，共计24分

，

）

1.

一套《少儿百科全书》总价为270元，张老师只用20元和50元两种面值的人民币正好全额付清了书款，则他可能的付款方式一共有（

）

A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

2.

小王只用2元和5元的两种货币支付一件价格为27元的物品，他付款的方式有（

）

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

3.

已知甲数的60%加乙数的80%等于这两个数的和的72%，若设甲数为x，乙数为y，则下列方程中符合题意的是（

）

A.60%x+80%y=x+72%y

B.60%x+80%y=60%x+y

C.60%x+80%y=72%(x+y)

D.60%x+80%y=x+y

4.

甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，则甲、乙二人的平均速度各是(

)

A.3千米/时，4千米/时

B.4千米/时，2千米/时

C.2千米/时，4千米/时

D.4千米/时，3千米/时

5.

汽车从甲地驶往乙地，若速度为45千米/时，则要迟到30分钟；若速度为50千米/时，则可提前30分钟到达，则甲、乙两地相距（

）

A.500千米

B.480千米

C.450千米

D.420千米

6.

在少年杯数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，主办方计划用200元钱购买A，B，C三种奖品，A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案(

)

A.12种

B.15种

C.16种

D.14种

7.

八年级1班生活委员小华去为班级购买两种单价分别为8元和10元的盆栽，共有100元，若小华将100元恰好用完，共有几种购买方案(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

8.

如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2023根火柴，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建的正三角形的个数是(

)

A.229

B.281

C.287

D.293

二、填空题

（本题共计

8

小题

，每题

3

分

，共计24分

，

）

9.

小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．

10.

一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9，如果交换十位与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，这个两位数是_________.

11.

解古算题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48．则甲带了________钱．

12.

学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有________种．

13.

秋天到了，花溪区高坡乡美景如画，其中露营基地吸引了不少露营爱好者，露营基地为了接待30名露营爱好者，需要搭建可容纳3人或2人的帐篷若干，若所搭建的帐篷恰好能容纳这30名露营爱好者，则不同的搭建方案有________种．

14.

某工厂去年的利润（总产值-总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值为________万元，总支出是________万元．

15.

甲、乙两拖拉机厂，按计划每月各生产拖拉机a台，由于两厂实行技术改革，结果本月甲厂完成计划的110%，乙厂比计划增产6%，则本月甲厂生产拖拉机________台，乙厂生产拖拉机________台．

16.

陕北的放羊娃隔着沟唱着信天游，比他们养的羊数.一个唱到：“你羊没有我羊多，你若给我一只羊，我的是你的两倍”，另一个随声唱到：“你要给我一只养，咱俩的羊儿一样多”.听了他们的对唱，你能知道他们各有多少只羊吗？答：________.

三、解答题

（本题共计

7

小题

，共计72分

，

）

17.某服装店现有布料26米，需裁成男士和女士的两种中式服装，已知男士每套用料2.4米，女士每套用料2米，则各裁多少件恰好把布用完？

18.

目前节能灯在城市已基本普及，今年云南省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划用3800元购进节能灯120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）

售价（元/只）

甲型

25

30

乙型

45

60

(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？

(2)全部售完120只节能灯后，该商场获利润多少元？

19.

小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数分别是多少？

20.

某工厂去年的利润（总收入-总支出）为300万元，今年总收入比去年增加20%，总支出比去年减少10%，今年的利润为420万元，今年的总收入、总支出各是多少万元？

21.

李华家到学校的路是一段平路和一段下坡路．已知李华在平路骑自行车的速度为240米/分钟，在下坡路骑自行车的速度为320米/分钟，在上坡路骑自行车的速度为160米/分钟，若李华从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．请问李华家与学校的距离是多少？（不考虑其他因素）

22.

在鞍山外环公路改建工程中，某路段长5280米，现准备甲、乙两个工程队拟在20天内（含20天）合作完成，已知两个工程队各有20名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．

第7篇：一元一次方程组范文

例1 求二元一次方程x+3y=7的正整数解.

【分析】二元一次方程（组）的每一个解，都是一对命运共同体，需用大括号联立起来，彼此分割不得.我们利用枚举法可以发现，一元二次方程的解有无数多个，所以一元二次方程也被称作不定方程.我们可以通过限制属性――正整数解得到有限个解.

【答案】[x=4，y=1，]或[x=1，y=2.]

【延伸】要求一元二次方程4x+3y=32的正整数解，先确定哪个值更简便呢？若两个值不相上下，有没有更佳途径？在这里我们可以先用含其中一个字母的代数式表示另一个字母，有两种途径：①y=[323]-[43x]；②x=8-[34y]，从而求出对应的值.我们可以发现途径②更简便，因为若x是正整数，y必须是4的倍数，这样，y可以从4开始代入求值，尝试3次即可，而且计算方便.

二、代入加减哪家好，方便才是真的好

例2 用代入消元法解方程组[2x+3y=50，x-y=-5.]

【分析】二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，求方程组的解的本质是化“二元”为“一元”，最常见的方法有代入消元法或加减消元法.使用代入法时，从方程组中选择一个字母系数比较简单的方程先进行变形，用含有x（或y）的代数式去表示y（或x），即变成y=ax+b或x=ay+b的形式，然后将其代入另一个方程中，消去一个元，得到关于另一个元的一元一次方程.这里需注意，不能代入原方程中.

【答案】[x=7，y=12.]

例3 解方程组[3x+5y=25，①4x+3y=15. ②]

【分析】通过尝试我们不难发现代入法固然可以使用，但计算较繁琐.我们可以用①×3，②×5，将①②转化成含相同字母系数的两个方程，然后再将两个新的方程相减，消去y.

【答案】[x=0，y=5.]

【点评】解方程组时，应先观察未知数的系数的特c，如果未知数系数中有1或-1，可以优先采用代入消元法；如果同一未知数系数绝对值相等，可以采用加减消元法，但这只能解决少部分的方程组.更多的时候需要我们开动脑筋，通过对方程进行变形，从而转化为我们熟悉的局面，如果出现同未知数的系数成倍数关系或较复杂的情形时，宜用加减消元法.解方程组时万变不离其宗的是将“多元”转为“一元”，达到化生为熟的目的.

三、二元一次方程组，解决问题的法宝

例4 上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体.日前，某通信公司推出消费优惠新招――“定制套餐”.消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.

小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600-500）=87元.

（1）甲定制了600MB的月流量，话费48元；乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a，b的值.（注：1GB=1024MB）

（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB的月流量.二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m的值.

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找出题目中所包含的等量关系，列出符合题意的方程.列方程时需注意“阶梯”，不要重复计费.

【答案】（1）a=0.15，b=0.05；（2）m的值是0.08.

【点评】对于相对复杂的问题，同学们可以用列表或示意图帮助自己厘清问题中已知量和未知量之间的数量关系，从而有效地列出方程组解决问题.

第8篇：一元一次方程组范文

关键词：虚拟手术；碰撞检测；边界元模型

中图分类号：TP391.9 文献标识码：A

1 引言

虚拟手术是虚拟现实技术在医学领域的重要应用。在虚拟手术系统的研发方面，世界各国都已经取得了很大的进展，但系统的实时性与真实感之间的矛盾仍然是研究中存在的主要问题。总体看说，虚拟手术技术已经得到了比较广泛的应用，目前许多研究机构逐渐退出了比较成熟的虚拟手术系统，但是由于某些相关技术难点有待解决，以及开发成本较高等问题，使得大多数虚拟手术系统只是应用于教学、演示等方面，难以满足临床应用的需求。

碰撞检测是虚拟手术中的一项关键技术，存在于虚拟手术的整个过程。虚拟手术中所涉及到的研究对象大体可分为刚体组织和软件组织两类。骨骼、医疗器械等在手术中不产生弹性形变的物体属于刚体组织，除骨骼之外的大部分人体器官，如血管、肌肉、内脏等可产生弹性形变的属于软体组织。由于人体器官组织比较复杂，软体组织的形变计算不但会影响虚拟手术的真实感，而且还制约着系统的实时性。目前虚拟手术仿真模型的建模主要包括质点弹簧建模法和有限元建模法两种方法。质点弹簧模型容易实现，但是变形精度比较差，计算模型不很稳定容易产生较大误差。有限元法可以精确地模拟具有物理意义的物体形变，但求解过程非常复杂，很难达到手术仿真的实时性的要求。

2 基于线弹性理论的边界元模型

针对人体组织的材料特性，本文提出了基于线弹性理论的边界元模型。首先对整个场景空间进行剖分，在剖分网格中构建层次包围盒，包围盒相交时再进行精确相交检测。碰撞引起组织形变时，在几何模型的边界上构建线弹性积分方程，求解结果的离散量反映了碰撞单元区域的形变量。该算法计算精度高、速度快，能够很好的解决虚拟手术中真实感和实时性之间的矛盾。

对整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，采用八叉树表示法存储。在剖分网格中构建层次包围盒。相对于单纯的层次包围盒技术，该方法构建的层次树规模更小，计算量更少。然后针对人体组织的材料特性，构建基于线弹性理论的边界元模型。碰撞引起组织形变时，在几何模型的边界上构建线弹性积分方程。方程组通过离散化之后只有边界上的节点存在未知量，有利于加快计算速度，提高计算效率。基于边界元模型的碰撞检测算法在保证系统真实感的前提下，可有效减少冗余检测次数，降低计算复杂度，提高碰撞检测的速度，满足虚拟手术的实时性。

2.1 空间剖分

整个虚拟手术场景递归的分割成若干个网格单元。采用八叉树表示法进行存储，八叉树的根节点定义为包含整个场景空间的立方体，立方体相互垂直的三条边分别与坐标系的x，y，z轴平行。用平行于坐标平面的三个面将立方体平均分割为8个小立方体，生成8个子节点，分割过程递归进行，直至达到指定的剖分层数为止，树的每个叶节点都包含有限个基本的几何元素。

在八叉树的叶节点上，对于包含的几何元素建立层次包围盒（Bounding Volume Hierarchy，BVH），即包围盒层次树。层次树向下逐层分裂，直到每个叶节点表示一个基本几何元素。相对于单纯的层次包围盒技术，使用层次包围盒与空间剖分相结合的方法构建的层次树规模小，计算量少，能够有效的进行碰撞检测。如图1所示。

碰撞检测算法从八叉树的根节点开始，如果两个几何元素分别属于两个不同的节点则元素不会相交，如果两个几何元素属于同一节点，则需要递归到下一级节点进行检查。直到两个基本几何元素属于同一叶节点，则计算各自所在的包围盒是否相交。包围盒不相交则两个几何元素一定不相交；包围盒相交，则需要进行精确相交检测，以判断两个几何元素是否相交。

2.2 边界元模型

针对虚拟手术仿真系统的要求，尤其是对于人体组织碰撞变形的仿真，采用基于线弹性理论的边界元法模型。线弹性物体具有线性相关的力学特性，在方向不变的力的作用下，物体的运动轨迹为直线。在几何方程的应变与位移的关系方面，在物理方程的应力与应变的关系方面，在变形前状态的平衡方程方面都体现出了线性的关系。因此线弹性模型经常被应用于实时性要求较高的虚拟手术系统中。

边界元法（Boundary Element Method，

BEM）又称为边界积分方程法，是继有限元法之后发展起来的一种工程数值计算方法。有限元法的基本思想是在连续体域内划分单元，而边界元法的基本思想是用边界上的积分方程来代替问题的控制方程，利用边界上的有限个单元对积分方程进行离散求解。离散化之后的方程组的未知量只出现在沿边界的节点上，从而降低了待求解方程的维数，减少了计算量。另外，问题的基本解具有解析与离散相结合的特点，能够提高计算精度。

3 研究方案

首先获取医学数据，进行人体组织模型的重建，在保证真实感的前提下对表面模型进行简化，建立符合要求的几何建模，对于人体组织模型中的刚体组织和软体组织进行不同方式的建模，针对软体组织建立基于边界元的模型，便于进行碰撞检测和弹性形变的处理。

整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，用八叉树表示法存储网格单元，在网格单元构建包围盒层次树，层次树的每个节点构建包围盒。碰撞检测算法执行时从树的根节点开始，当两几何元素属于同一网格单元时，进一步对包围盒进行检查。如果两个基本几何元素所在的包围盒相交，则需要进行精确相交检测。

碰撞响应用于处理组织碰撞后引起的形变问题，采用基于线弹性理论的边界元模型，首先将连续的求解区域离散化为有限个组合体，每个组合体包含按一定方式相互联结在一起的多个单元。在每个区域内部构建线弹性模型。单元区域的控制方程由边界上的积分方程表示，引入位移边界条件和力边界条件，得到关于位移的方程组，利用边界上的有限个单元对积分方程进行离散求解解决组织形变问题，经离散化后的方程组只在沿模型边界上的节点含有未知量。求解结果反映了碰撞单元区域的形变量，重新建立线弹性积分方程表示形变后的几何模型。

结语

本文提出了基于空间剖分的包围盒层次树算法和基于线性弹性理论的边界元模型。将整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，采用八叉树表示法存储。在剖分网格中构建层次包围盒。在几何模型的边界上进行单元剖分，构建线弹性积分方程，组织形变时通过边界上的有限个单元对方程进行求解，求解的离散结果反映了碰撞单元区域的形变量。基于线弹性理论的边界元模型计算精度高、速度快，能够更好的解决虚拟手术系统真实感和实时性之间的矛盾。

第9篇：一元一次方程组范文

学校：古田中学七年级数学备课组

三维目标

知识与技能：掌握用二元一次方程（组）解决实际问题的步骤，会通过列二元一次方程（组）解决简单实际问题。

过程与方法：通过阅读实际问题，理解题意，准确找出问题中数量间的关系，从而列二元一次方程（组）解决有关方案优化的问题。

情感、态度与价值观：使学生认识到学好数学的重要性，激发学生学习数学的积极性。培养学生简单的数学建模思想。

教学重点：列二元一次方程（组）解决有关方案优化的问题

教学难点：列二元一次方程（组）解决有关方案优化的问题

教学过程：

一、知识的回顾

1、二元一次方程的定义

2、一个二元一次方程的解有几个？

3、下列二元一次方程有几个解？

（1）2x+3y=12

（2）2x+3y=12

(x,y均为正整数）

（3）2x+3y=12

(x,y均为自然数）

4、列方程（组）解决实际问题的步骤

二、课题引入

教材P90

拓广探索中有这样一个问题：

把一根长7米的钢管截成2米长和1米长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？

思考：如何用学过的数学知识去解决这个问题？

这就是我们今天要学习的内容-------二元一次方程方案设计

例1．为传承中华文化，学习六艺技能，某中学组织初二年级学生到孔学堂研学旅行．已知大型客车每辆能坐60人，中型客车每辆能坐45人，现该校有初二年级学生375人．根据题目提供的信息解决下列问题：

(1)这次研学旅行需要大、中型客车各几辆才能使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满？

(2)若大型客车租金为1500元/辆，中型客车租金为1200元/辆，请帮该校设计一种最划算的租车方案．

变式练习：1.随着奥运会成功召开，福娃系列商品也随之热销．一天小林在商场看到一件奥运吉祥物的纪念品，标价为每件33元，他的身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张，他买了一件这种商品．

若无需找零钱，则小林付款方式有哪几种（指付出2元和5元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？

2．晴晴在某商店购买商品若干次(每次、两种商品都购买)，其中第一、二两次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品、同时打折，三次购买商品、的数量和费用如表所示：

购买商品的数量/个

购买商品的数量/个

购买总费用/元

第一次购物

6

5

980

第二次购物

3

7

940

第三次购物

9

8

912

（1）求商品、的标价；

（2）若商品、的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？

（3）在（2）的条件下，若晴晴第四次购物共花去了480元，则晴晴有哪几种购买方案？

三、二元一次方程组的方案优化

例2.一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）

车型

甲

乙

丙

汽车运载量（吨/辆）

汽车运费（元/辆）

（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？

（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知他们的总辆数为辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？

（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？

变式练习：为了丰富同学们的知识，拓展阅读视野，学习图书馆购买了一些科技、文学、历史等书籍，进行组合搭配成、、三种套型书籍，发放给各班级的图书角供同学们阅读，已知各套型的规格与价格如下表：

套型

套型

套型

规格（本/套）

12

9

7

价格（元/套）

200

150

120

（1）已知搭配、两种套型书籍共15套，需购买书籍的花费是2120元，问、两种套型各多少套？

（2）若图书馆用来搭配的书籍共有2100本，现将其搭配成、两种套型书籍，这两种套型的总价为30750元，求搭配后剩余多少本书？

（3）若图书馆用来搭配的书籍共有122本，现将其搭配成、、三种套型书籍共13套，且没有剩余，请求出所有搭配的方案．

四、课堂小结：

1、如何列二元一次方程（组）解决实际问题