函数最值的应用精选(九篇)

第1篇：函数最值的应用范文

关键词：均值不等式 函数 最值 应用

均值不等式是高中数学不等式中的重要内容，均值不等式在求函数最值、解决一些取值范围问题时运用非常广泛，是历年高考考查的重要知识点之一。在实际应用时，我们应因题而宜地进行变换，并注意等号成立的条件，达到解题的目的，变换题目所给函数的形式，利用熟悉知识求解是常用的解题技巧，熟练运用该技巧，对于提高思维的灵活性和严密性大有益处。

一、运用均值不等式时应注意事项

在解决这一类型的题时需要特别注意的是等号成立的条件，特别是遇到一些函数本身就有取值限制范围时，需要根据函数合理存在的限制取值范围再求函数的最值。

二、把所给函数巧妙转化成均值不等式后求最值

这是一种比较难掌握的方法，因此运用此法需要具有扎实的基础知识，敏锐的观察力。下面举两个例子对此法加以介绍。

欲灵活应用此法，需要多练习，并在解题的过程中体会总结规律，达到孰能生巧，总之，遇到此类型的题，最重要的是需配出相应的形式。

三、结语

以上通过几个实例简单介绍了利用均值不等式求最值问题需要注意的一些事项，但对于具体题目，有时可能有多种解题方法，究竟如何求出函数合理的最值，还需要我们在教和学的实践中不断探索和总结。

参考文献：

[1]王影.求函数值域的几种常用方法.解题技巧与方法，2010.

[2]蔓，孙锰.妙用均值不等式求多元函数的最值.高中数学教与学，2010，（4）.

[3]魏福军.用均值不等式求最值须注意的几点.中学生数学，2003，（1）.

[4]徐丽聘.利用均值不等式求最值.求实篇――学习方法总结，2009，（9）.

[5]刘新良，李庆社.十二种求函数值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

[6]高飞，朱传桥.巧用均值不等式球最值.高中数学教与学，2007，（5）.

第2篇：函数最值的应用范文

关键词：高中数学；函数单调性；最值

在高中的数学函数教学中，对于函数单调性的判断十分重要，尤其是求单调区间，利用函数的单调性来研究相应的不等式，利用函数的单调性来求最值十分重要。以下简单地举几个例子来证明利用函数单调性求最值的重要性。

一、利用函数单调性求抽象函数的最值

例题：已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足两个条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）；且当x>0时，有f（x）

对于此函数的解法是：

在区间[-3，3]上任取x1与x2，不妨设x1

根据已知条件得出：f（x2-x1）

可以得到函数f（x）在区间[-3，3]之间是减函数。

因此，得到最大值的公式：f（x）max=f（-3）=6。

最小值的公式是：F（x）min=-6。

根据以上结果我们可以知道，在区间[-3，3]之间，当x=-3时其取最大值为6，当x=3时其取最小值为-6。根据该分析结果我们知道，在条件一定的情况下，类比函数f（x）=ax+b，并且a与b都不等于0，需要算出在区间[-3，3]之间的最大与最小值，要先确定函数在区间上的单调性，然后再进行计算，最终就会得出相应的结果。

但是，需要注意的是，相对于单调性来说其是针对某一个定义域内的一个区间来说的，如果一旦离开了该区间或者离开了相关定义域就不能构成相应的单调性。而对某些函数来说，其整个定义域内的函数只能在定义域内的某个区间形成单调，一些函数根本就没有单调区间，比如常函数。而最后一点需要注意的是，一个函数在相关定义域内的相应区间具有两点，均为增函数或者是减函数，通常情况下是不能认为其在相应的点区间内是增函数还是减函数。

二、利用单调性求对勾函数的最值

对勾函数是高考数学中的重难点之一，这种函数具有很深的内涵，并且这种函数的图像是关于原点对称的，可以将二次函数与反比例函数相互结合得出。

利用对勾函数的性质求解函数的最值与一些均值不等式，其中求值的结果必须进行相应的补充。以上所举的例子无法利用均值定理进行求解，而此时则可以利用函数的单调性进行最值的求解。

根据对勾函数极值求法的规律，可以得出：

f（x）=ax+ （a，b≠0）

当a>0，b>0时，

当x>0时，函数在x= 处取得最小值，最小值y=2 ；当x

当a

当x

当x>0时，函数在x= 处则会取得最大值，最大值y也为相应的负值。

相应的结论：当ab

在高中数学教学中，利用函数的单调性求最值有很多实例，本文只是简单地列举一二进行说明，以此来体现函数在高中数学教学中的重要性。

参考文献：

第3篇：函数最值的应用范文

关键词：定义域;误入歧途;作用与影响;思维品质

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

故函数关系式为：.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：

即：函数关系式为：（）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数在[-2，5]上的最值.

解：

当x=1时，

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：

当时，在上最值情况是：

，

.即最大值是中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

函数在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数的值域.

错解：令

故所求的函数值域是.

剖析：经换元后，应有，而函数在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1， +∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数的单调区间.

解：先求定义域：

函数定义域为.

令，知在上时，u为减函数，

在上时， u为增函数。

又.

函数在上是减函数，在上是增函数。

即函数的单调递增区间，单调递减区间是。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数的奇偶性.

解：

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

函数是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

函数是奇函数.

第4篇：函数最值的应用范文

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。

例1：某单位计划建筑-矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为(50一x)米，由题意得：

S=x(50-x)故函数关系式为：S=x(50-x)．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：o

即：函数关系式为：S=x(50-x)(0

在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这-点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、 函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最值．

解：•．•y=x2 -2x-3=(x2 -2x+1)-4=(x-1)2 -4

．•．当x=1时，ymin = -4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。

这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2 十bx+c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：

(1)当-

(2) 当- >p时，f (x)在[p，q]上单调递减函数 f(x)max= f(p),f(x)min=f(q)

(3)当p ≤-≤q时，y=f (x)在[p，q]上最值情况是：f(x)min =f(-)=f(x)max=max{f(p)，f(q) }．即最大值是f(p)，f(q)中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

一2≤1≤5

f(-2)=(-2)2 -2×(-2)-3=-3

f(5)=52 一2×5-3=12

f(x)max=max{f(-2)，f(5)}=f(5)=12

函数y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最小值是-4，最大值是12．

在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、 函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。

例3：求函数y=4x-5+ 的值域．

错解：令t=,则2x=t2+3

y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+)2 +≥

剖析：经换元后，应有t≥o，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函数，所以当t=0时， ymin =1．

故所求的函数值域是[1，+∞)

利用换元法求值域和最值时，必须注意换元后要转化变量的范围，避免以上错误结果的产生。

第5篇：函数最值的应用范文

关键词：平方关系；sin?x+cos?x=1；三角函数最值

三角函数的最值问题是数学运算的重点和难点，其对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求均较高。本文通过对sin?x+cos?x=1平方关系的灵活运用，对三角函数求最值过程中，直接利用平方关系，引进一个或两个参变量求最值的运算方法，以实际例题形式进行了归纳总结。 一、三角函数重要公式应用

在三角函数sin?x+cos?x=1平方关系的背景下，要将其灵活有效的运用，首先要注意在运算时，对几个常见、常用的三角函数进行熟练记忆和后学后用。比如，①二倍角公式： ； 等。②半角公式： ； ； 。以及三角函数中相应的倒数关系、商关系和平方关系等。

二、3种利用平方关系的sin?x+cos?x=1三角函数最值应用

为探讨平方关系背景下利于sin?x+cos?x=1求三角函数最值，笔者特从直接套用、引入单一变量，和引入两个变量3个方面对sin?x+cos?x=1的应用进行了阐述。

1、直接套用sin?x+cos?x=1求三角函数最值

直接利用在sin?x+cos?x=1求三角函数最值即类似于以下的最值问题。例题：设0

解： y=sin = sin .（1+2cos? -1）=2 sin .cos?

= = · （1）

有（1）≤ · （3）

又 sin? +cos? =1（2）

有（1）≤ · = = = .

上述运算中当且仅当 = ，即 =2arctan 时，（1）和（3）等号成立，

y = .

在本题三角函数最大值的计算中，除了相应的三角函数关系式的使用，关键在于将问题利用三项均值不等式转化为较为简单的平方关系，即sin?x+cos?x=1的形式，进而求得最大值。下面，我们研究直接利用平方关系求最小值的转化和计算过程。

例题：设0< < ，0< < ，求y= 的最小值。

解： y= =

= （1）

又 ≤sin

≥ ，即式（1）= ≥

= =5+tan +4cot （2）

0< < ，0< < ，

当且仅当 = ，则 =arctan ，即 =1，tan =2cot 时等号成立。即式（2）≥5+2 =9.

y =9.

2、在sin?x+cos?x=1引入单一变量求三角函数最值

在三角函数的最值运算中，引入变量往往会让计算变得更加简单，下面我们便以实际例题为例，分析在三角函数中引入一个变量时的最值计算方法。

例题：已知函数y=（sin +2 ）·（cos +2 ），求函数y的最大值和最小值。将函数等式展开，可得y= sin cos +2 sin +2 cos +8

= sin cos +2 （sin + cos ）+8（1）

由式（1）直接求函数y的最大或最小值显然并不明朗。

对此，我们可根据平方关系，即从sin?x+cos?x=1推算得出的（sinx+ cosx） =1+2sinx·cosx， 针对此题，我们可以设d=sin +cos ，则通过计算即可得出，sin cos = ，且d [- ， ].

式（1）即可演变为 ，

整理得 ， d [- ， ]，

当d=- 时，y为最小值，即y = ；

当d= 时，y为最大值，即y = 。

本题求最值的关键在于d的引入，即利用（sinx+cosx） =1+2sinx·cosx，从而将原问题转化成二次函数在闭合区间上的最值问题，达到了将较难问题转为成简单问题进而快速求解的目的。

3、在sin?x+cos?x=1引入两个变量求三角函数最值

例题：求函数y=2sin +cos 的最小值，且 （0， ）。

解：设正参数 >0， >0，

y=2sin + = sin + sin + ≥3 （1）

根据两项和三项均值不等式公式可得：

（1）=3 ·sin ·cos + ≥2 cos ，

y=2sin + cos ≥3 ·sin +2 cos - - ，

为计算简便，可设引入的正参数3 =2 （2），则上式可简化为y=3 - - .

综上得到等号成立的充要条件方程组 联合sin?x+cos?x=1可得出 ，与（2）组成方程组，可解得 ，

即当 = 时，函数y为最小值，y =3 - - = 。

上题是根据不同的指数，巧妙地引入正参数 和 ，如此将相对复杂均值不等式“变成”了简单的平方关系，以确保不等式中的等号成立，进而便于快速求出三角函数的最值。

总结：

三角函数最值的问题是中学数学运算中的重点和难点，要达到融会贯通的目的，需要在牢牢掌握相应三角函数关系式和其内在意义的基础上多作练习，本文仅通过平方关系sin?x+cos?x=1，以及其相应推算出的公式对三角函数求最值的典型问题进行了分析，其效果是显著的，但三角函数最值问题涉及的知识面广，求解方法亦并非一成不变，所以在解题时，应抓住题的内在特征，以最恰当的解题方法尽可能的简化过程，以求事半功倍。

参考文献：

[1] 陆军.三角函数最值问题的八种求解策略[J].廷边教育学院学报

第6篇：函数最值的应用范文

一、区间范围内求二次函数最值

区间范围内的二次函数最值问题是初中函数学习中的难度最大的问题，不仅要求学生熟练地掌握二次函数的性质，还需要学生具备一定的应用技巧.一般情况下，对于一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=这种情况下的解题过程比较简单.而如果限定了x的取值范围，比如当x∈[a，b]时，最值的求解就比较麻烦.针对这种情况，一般需要分情况讨论，并结合二次函数的图象及性质来求解.

1.定轴定区间

定轴定区间是指函数的区间及对称轴均固定，这种题型的求解相对简单，只需根据函数图象即可判断最大最小值.

解析：在闭区间上，二次函数的最值可能出现在闭区间的端点上，也可能出现在函数的顶点上.该二次函数的开口向上，在两个端点以及顶点上均有可能取得.可以根据区间范围以及函数对称轴作出该函数的草图，通过观察草图即可知取最大、最小值的位置.据原方程式知其对称轴为x=1，观察图可知其最小值应在x=1处取得，即ymin=-4；而其最大值则在x=-2处取得，即ymax=5.

2.定轴动区间

定轴动区间是指可以确定函数的对称轴，但其闭区间是不确定的，区间内的函数有变量存在.这类问题主要是考查函数的区间及其对称轴之间的相对位置关系.

解析：此题与例1的不同之处在于函数的区间为变量，不能直接比较区间端点值与对称轴对应值的大小，无法绘制出具体的函数图象，不能进行直接求解.在解题过程中常需要进行分类讨论.根据区间端点与对称轴的距离关系来确定最大、最小值的取值点.

根据原函数可知函数图象的对称轴为x=1.当函数的对称轴在区间的左侧时，即t+1

3.定区间动轴

定区间动轴是指函数的区间固定，而其对称轴是变化的，此时二次函数的最值也需要进行讨论.讨论情况与定轴动区间是相似的.

求函数y=x2+2ax+1在区间[-1，2]上的最小值.

解析：根据函数方程可知，该函数的对称轴为x=-a.当函数的对称轴在区间的左侧时，即-a

二、经济类问题中的二次函数最值

二次函数的最大、最小值常会运用到经济类问题中来解决最优化问题.在利用二次函数解经济问题时，应明确.在解最值问题时，同样应注意自变量的具体取值范围.

已知某商场购进了一种商品，每件为30元，在试销过程中发现，该商品日销售量m（件）同单价x（元）之间的关系可用一次函数m=162-3x表示，且该商品的单价在[30，50]区间内.试写出商场卖该商品的日销售利润（y）与单价（x）之间的函数关系式.销售单价定位多少时，商场可获得日最大利润？最大销售利润具体为多少？

解析：该产品的单件销售利润为（x-30）元，则卖出m的总销售利润为y=m（x-30）.

由于m=162-3x，则

y=（x-30）（162-3x）=-3x2+252x-4860，30≤x≤50.

第7篇：函数最值的应用范文

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数

关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

S=x（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x）。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50。

即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。

解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4

当x=1时，y =-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a＞0）在R上适用，而在指定的定义域区间［p，q］上，它的最值应分如下情况：

（1）当- ＜p时，y=f（x）在［p，q］上单调递增函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（2）当- ＞q时，y=f（x）在［p，q］上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）当p≤- ≤q时，y=f（x）在［p，q］上最值情况是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

-2≤1≤5

f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3

f（5）=5 -2×5-3=12

f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

函数y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数y=4x-5+ 的值域。

错解：令t= ，则2x=t +3，

y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。

故所求的函数值域是［ ，+∞）。

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，y =1。

故所求的函数值域是［1，+∞）。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析的能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

［1］王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.

［2］田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.

第8篇：函数最值的应用范文

重点：理解分段函数是一个函数，而不是几个函数；根据要求求分段函数的解析式；了解分段函数的简单性质．

难点：分段函数的图象及实际应用．

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数. 它是一类表达形式特殊的函数． 下面对其性质和解题方法做一些归纳总结．

（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样.

（2）分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；分段函数的最大值是各段最大值中的最大者，最小值是各段最小值中的最小值.

（3）分段函数分段解：求分段函数的函数值时要看清自变量的取值范围对应的是哪一段，再代入对应的关系式求解.

（4）画分段函数图象时一定要注意区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则画成实点，若不包含在内，则画成虚点． 分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线．其中每条线段（射线）代表某一个阶段的情况.

（5）求分段函数的解析式时，一般要求区间端点应不重不漏，在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.

（6）分段函数的性质包括单调性和奇偶性. 若一个分段函数是单调递增的，则其左边一段图象上的任一点都要低于右边图象上的点，单调递减则相反． 分段函数奇偶性的判断要在每一段里分别进行，要注意函数解析式的选择.

（7）分段函数的实际应用主要是求函数的解析式． 在写出解析式后要注意每段的自变量的取值范围，根据实际情况有可能还要取自然数或正整数等．

1. 分段函数的定义域和值域

分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集，在表示每一段函数中x的取值范围时，要确保做到定义域不重不漏，即交集为空集，并集为整个定义域． 值域是其定义域内不同子集上各关系式的值域的并集．

思索 本题考查分段函数值域的求法，及分类讨论的数学思想．把函数g（x）的解析式代入到f（x）的解析式内得到具体的分段函数，同时解出每段函数后面自变量的取值范围，即可得f（x）的值域．

破解 由题意：

2. 分段函数求值

分段函数求值的关键是根据自变量的取值范围确定相应的解析式，然后由内向外逐一分析，代入求值．一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的解析式求值．

思索 本题考查分段函数及求值．解题关键是先求出f（3）的值，然后再把f（3）的值代入函数f（x）相应的解析式中，求出f（f（3））. 分段函数的求值是高考的热点，应予以重视．

3. 分段函数的单调性

分段函数的单调性一定要分段进行考察，并且一般情况下其单调区间不合并.

思索 分段函数单调递增，则其每段都要单调递增，而且图象中左边一段的最高点不能高于其右边一段的最低点，这一点容易忽略，要引起注意． 由此，本题应该受到三个条件的限制：指数式函数递增，直线式函数递增，并且满足前面的最值条件．

4. 分段函数的奇偶性

判断分段函数的奇偶性必须对每一段的奇偶性进行单独讨论，由函数奇偶性的定义，得出奇偶性的结论． 也可以用作图的方法利用对称性观察判断．

思索 对分段函数的奇偶性进行判断，要遵照奇偶函数的定义，对自变量分段的每一个区间进行考察．在分段进行判断的时候一定要注意－x所对应的函数解析式是哪一段，不能弄混．

5. 分段函数与方程的根

思索 本题考查分段函数图象的交点问题，解题的关键是要利用图象来解决. 先把原函数中的绝对值符号去掉，将其改成分段函数，画出图象. 函数g（x）的图象绕着定点（0，－2）旋转，当它们有两个交点时k的取值范围即为所求．

通过以上的归纳可以看到，分段函数能有效考查学生的阅读理解、分类讨论、发散思维、数形结合等多种能力，能为学生更灵活地运用数学知识分析问题、解决问题留下一个探索、创新的广阔思维空间. 因此，在复习教学中应对分段函数引起高度重视． 那么，应怎样加强对分段函数的认识呢？

（1）做到：在理解定义的基础上多认识、多识记.

（2）明白：对于一个函数来说，对应法则可以由一个解析式来表示，也可以由几个解析式来表示；函数的图象既可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、几段曲线或线段；分段函数的图象是由一些线段或曲线段构成的.

（3）牢记：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

第9篇：函数最值的应用范文

（2）分段函数是指自变量在不同的范围内，其对应法则也不同的函数． 常常考查求函数值、求函数解析式、求反函数、求函数最值.

2. 函数的图象和性质

（1）理解函数单调性的定义，掌握判断函数单调性的方法.

（2）了解函数的奇偶性，掌握奇、偶函数的性质.

（3）了解函数的周期性.

（4）掌握常见函数图象的基本作法，掌握函数图象的平移、对称、翻折和伸缩变换.

注意：（1）判断函数的单调性，常常有图象法、定义法、复合函数法、导数法，但如果是在解答题中证明或判断函数单调性时，则只能用定义法和导数法.

（2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域关于原点是否对称.

（3）若函数f（x）是奇函数并且在x=0处有定义，则f（0）=0，这条性质切记.

（4）识记以下重要结论：①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；②若函数在其定义域上存在反函数，则原函数和反函数在各自的定义域内具有相同的单调性；③函数f（x）的图象关于直线x=a对称?圳f（a+x）=f（a－x）?圳f（2a－x）= f（x）；④函数f（x）的图象关于点（a，b）对称?圳f（a+x）+f（a－x）=2b?圳f（2a－x）+f（x）=2b.

3. 几种常见的函数

（1）掌握二次函数、三次函数的图象和性质.

（2）掌握幂的运算，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（3）掌握对数的概念及其运算性质， 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.

（4）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 能够用二分法求相应方程的近似解（仅限新课程地区）.?摇

（5）能够熟练处理常见抽象函数的定义域、解析式、函数值和单调性等.

注意：（1）处理函数的有关问题，一定要形成“定义域优先”的原则.

（2）指数函数和对数函数是典型的超越函数，且互为反函数. 在实际试题中，往往是与指数函数或对数函数有关的复合函数，要注意复合函数的单调性判断规律，即“同增异减”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重点，要能利用二次函数图象来寻求充要条件，常常是抓端点值、对称轴和判别式.

（4）抽象函数的常见处理方法有特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、联想类比转化法等. 记住以下常见抽象函数模型所对应的具体函数，这对我们解题有帮助.

4. 导数的运算

（1）理解导数的几何意义.

（2）求复合函数的导数请注意：要能正确拆分复合函数，即要明确该复合函数由哪些基本函数复合而成，适当选取中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导；求导时，应由外及里，逐层求导．

（3）导数的运算、函数与导数的应用交汇，以考查导数的应用（单调性、极值、最值、方程根的情况）为主，同时考查导数的计算．

5. 导数的应用

（1）了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．