函数思想精选(九篇)

第1篇：函数思想范文

一、在等比数列中建立恰当的目标函数

在等比数列求和中，通过建立目标函数利用待定系数法使解题过程更加简便，同时避开了繁琐的计算过程.

例1：在等比数列中，前n项和为Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式Sn=■列出关于a1和q的方程组，解出a1和q，但计算繁琐.若考虑到等比数列的前n项和Sn= ■=■-■.qn，设A=-■，则可以考虑建立目标函数 Sn=Aqn-A（A为待定系数），从而优化了解题过程.

解：设 Sn=Aqn-A，则S2=Aq2-2，Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， Aq4-A=15 （2）

列方程组解（1）（2）得，A=1，q=±2

Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

评述：此题如果注意到等比数列前n项和Sn可写成Sn=Aqn-A（A为待定系数）的形式，解题方法显得巧妙一些.通过对这道题的仔细讲解让学生理解函数思想在数列中的应用，在今后解数列题时要巧妙的使用函数方法.

函数的观点解决数列问题，不仅是解决数列问题的重要途径，也是提高数学解题能力的重要一环.用函数思想解数列问题时，不仅要用到函数的形式，更重要的是应用函数的思想方法通过构造函数，借助与函数性质及图像来解决问题，会有事半功倍的效果.

二、利用函数的性质解决等比数列问题

利用函数的单调性解决数列中的问题，会使得一道难题变得更简单.利用函数的一些性质解答数列题中同样如此.所以在解数列题时要思维活跃，多鼓励学生一题多解，不断的去探索数列与函数的异同点.

例2：已知数列a■的通项a■=（n+1）・ （■）■（n∈N*），试问该数列a■有没有最大项？若有求出最大项的项数，若没有说明理由.

解题思路：由于该数列不是直接与等比数列相关的数列，形式看起来比较复杂，但若从函数角度，可利用函数单调性来研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■・■

当n0，即a■n+1>a■

当n=9时，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

当n>9时，a■n+1-a■

故a1a11>a12>…这说明数列a■中存在最大项，为第9项或第10项.

第2篇：函数思想范文

关键词：函数；高中数学；求解思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）02-0203-02

高中数学容量很大，本身课程安排又很紧，如何在有限的时间内快速、准确的求解数学题目，给其它科目腾出更多的时间，是一个值得认真思考的问题。函数存在于高中数学的整个过程，也是高考必考的一个热点，可以用来解决很多实际问题，同时函数求解思想对我们高中生的思维能达到很好的训练。高中数学当中通过构造函数求解的数学问题大概有以下几类，比较数和式子的大小，求极值问题，不等式的证明，方程是求解和讨论参数的取值范围等等。当下，我们对数学认识不够深刻，对用数学思想解决实际问题这种思维模式比较陌生，不太容易和当下的实际生活接轨，适当的培养函数求解思想能增强我们学习的热情，同时可以培养学生的数学兴趣。

1 函数求解思想的介绍

函数求解思想是指在求解某些实际问题时通过构造成数学函数，然后以求解函数思想来解决所要求解的问题。通过构造函数，应用函数的特性求解非函数问题，会转换思考问题的思路，简化题目的难度，值得我们学习和运用。函数求解思想的解题策略实际上是将原本好像是静态的问题放到动态的过程中去考虑和观察，将片面的问题投放到全面的层次上去思考解决。这种求解思想很具有创新性。构造函数在降低解决问题难度的同时还可以塑造我们的数学思维，增强我们数学思维的灵活性，对我们的创新能力有一定的促进作用。

2 函数求解思想在高中数学解题方法中的的应用举例

函数求解思想贯穿于高中数学的各个层面，很多实际问题和几何问题都可以通过构造函数来求解，函数本身的特性和特定的函数以及题目的约束条件会大大的提高解题速度和准确性。本文就以下几个例题对函数求解思想加以阐述和说明。求解例题如下：试着比较0.80.5和0.90.4大小。

求解：这是一个不等式的比较问题，用常规的方法很难求解，若运用函数思想，将其构造成幂函数，，再通过函数的单调性，则可以得出，接才来构造幂函数，同样根据函数的单调性可知，由此可以得出。由该例题可以看出，函数求解思想可以化不可能为可能，原本无法着手的题目通过构造函数可以简单、清晰的求解。转换求解问题的思路，值得我们学习。

再看下一个不等式题目，令e

求解：该题目同上，也不好求解，运用函数思想，构造对数函数，，则导数，令=0，则得出x=e。再通过函数的单调性分析如下：

（1）当0

（2）当e0，在（e，+∞]上是单调递减的。

由于e

再来看一道通过构造函数来求参数的取值范围的题目，如果不等式对满足的所有x都成立，那么求x的取值范围。

求解：该题目若不通过构造函数来求解，则解题过程相当复杂，还的分类讨论。

构造函数，则题目可以转化为使得求解不等式组可得。由构造函数使得题目变得简单易解，这在考场上很有优势，可以节约大量的时间，减少计算量，使我们保持清晰的思维过程。

3 利用函数求解思想解决数学问题

函数求解思想需要大胆的想象，联想找到数学题目和函数的关联，类比，这和敏锐的数学嗅觉是分不开的，这就需要我们平时多思考，多做题目，多积累。深刻理解每一类函数的性质和特点，每一个函数的几何意义，实际意义，以及函数相关的数学定理，推论，只有深刻的洞悉这些函数内在的意义，在解题过程中才会有灵光一现的瞬间，我们在做题中应当刻意的去培养这种数学思维。尤其是在不等式的证明，求最值和比较大小，这时我们应该仔细观察题目中数学式子的模型，做一定的联想和匹配，再应用函数的特性尤其是单调性求解，使得所求解的问题简单化，取得化腐朽为神奇的效果，这也是当下课改以后高考的一个趋势。此外若涉及到求某个参数的取值范围，这种题目十有八九就是要通过函数来解决，因为通过求导，判断函数的单调性，求出函数的零点和极值，这本身也是一个很综合复杂的题目，考察的知识点也比较全面，符合当下课改的要求，更有助于培养我们解决问题的综合能力，在学习和解题过程中需要多加注意和总结。抛物线和一元二次方程的关系，未知数系数所代表的实际意义，以及有解和无解的判断，判别式的合理运用，可以快速的解决一部分选择题，大大减少题目的计算量。此外，不等式的证明类题目，大多数都是通过构造函数做差，证明该函数恒大于零或者恒小于零，这个题目的转化过程值得我们注意和思考。最后，还有一些实际问题也可以通过构造函数来解决，比如二次函数和车灯的激光反射问题，只是在考虑这类问题时，应该严格注意题目中自变量和因变量的取值范围，实际问题往往有实际取值的限制。只要我们善于思考，学习，尝试和总结，函数求解思想一定可以在解题中给我们很大的启发性。

4 结语

函数求解思想是高中数学解题别实用又很常用的一种方法，通过函数求解思想的应用可以更好的帮我们熟悉函数的性质和意义，进一步促进函数的学习，巩固先前的学习效果，挖掘单纯的函数学习背后的意义，其次和实际问题的接轨，可以削减单纯数学学习的枯燥，高效的解题方法除了提高我们学习热情和培养较好的数学思维外，还给其它科目腾出更多的学习空间，这样更有利于我们全面的学习，培养其它的兴趣爱好，全面发展，在高考中占据更有利的位置，函数求解思想触类旁通在物理中也可以借鉴，值得我们思考。将静态的问题通过动态的思想去解决，讲局部的问题通过全面的思想去解决，运用函数的性质和特性，尤其是单调性和O值，最后很好的解决数学问题这本身是一种具有创新性的思维模式，很符合当前的教育愿景，值得学习和思考。

参考文献：

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[4]李刚.函数与方程：辩证与统一的数学艺术[J].中国校外教育，2015，26：116.

[5]张静.论高中数学“函数思想”的教学及意义[J].教育教学论坛，2010，34：131.

[6]刘静.函数的学习困难与课程设计[J].课程.教材.教法，2006，04：45-48.

[7]章建跃.普通高中数学课程标准教材的研究与编写[J].课程.教材.教法，2005，01：45-50.

第3篇：函数思想范文

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点.我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决.

1.三角中的函数思想

三角函数也是一种特殊的函数，它除了具有一般的函数性质外，还有其特殊之处，因此运用函数思想来解题会使学生在加深理解的同时，培养与提高其创新思想.

例1若cos2θ+2msinθ-2m-2

解析本题为恒成立问题，从函数思想出发，则转化为二次函数f（x）=x2-2mx+2m+1=（x-m）2+2m+1-m2 在-1≤x≤1下求m的范围问题.

2.向量中的函数思想

向量作为数学中的一种工具，有其重要性.它的方向、模与数量积等很容易被迁移到函数问题的情景之中，这样在加深向量理解的同时，也对函数思想的应用进一步深化.

例2已知向量i=（1，0），j=（0，1），函数f（x）=ax4+bx2+c（a≠0）的图像在y轴上的截距为1，在x=2处切线的方向向量为（a-c）i-12bj，并且函数当x=1时取得极值.（1）求f（x）解析式；（2）求f（x）单调递增区间；（3）求f（x）极值.

解析本题为综合题，它融合了向量、导数等多方面知识，而（1）的解决是问题的关键.它要求出f（x）的解析式，需三个条件，在这三个条件中，第二个条件较为复杂，它使导数与向量达到完美的结合，因为（a-c）i-12bj=（a-c，-12b），所以切线的斜率为 -12b1a-1，从而f′（2）=-12b1a-1，实现了向量与函数的转化.

3.解析几何中的函数思想

解析几何的特点就是用代数的方法研究几何问题，因此代数中方法可以迁移至解析几何中，而函数思想作为代数中一种常用的思想，在解析中自然有其展示的空间，使得问题简化.

例3已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积最小值是.

解析对此题我们为明确圆在坐标系中的位置，可把圆配方：（x-1）2+（y -1）2=1，如图.

如设|PC|=d，由题意可列出SPACB关于PC=d函数式：SPACB=2，SAPC=2×112×1×|PA|=|PC|2-1=d2-1，求函数的最小值得之.

4.复数中的函数思想

复数作为数集的完备形式，其中心是：建立复平面上的点与向量的一一对应关系，使得代数形式与三角形式结合在一起，其辐角最值的问题很容易转化为函数问题.

例4设z=3cosθ+2sinθ，求函数y=θ-argz （0

解析本题要求角的最大值，只需求角的某一个三角函数即可.

tan（argz）=2sinθ13cosθ=213tanθ，

tany=tan（θ-argz）=tanθ-213tanθ11+213tann2θ=1131tanθ+2tanθ.

第4篇：函数思想范文

一、在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想

小学数学教学进入到高年级，学生们开始接触到越来越多的几何部分，对于图形的理解与认识以及对于数字和图形的结合，这方面教学内容是综合性较强以及难度比较大的，也是很多学生在学习时存有障碍的地方。想要帮助学生加深对于“空间与图形”的认识，可以在教学过程中适当地引入函数的思想进行辅助。

在学生学习了长方形与正方形的周长和面积的计算后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上可以设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？学生经过研究后会发现：长方形可以得到不同的四种：长7cm，宽1cm；长6cm，宽2cm；长5cm，宽3cm；长4cm，宽4cm，而正方形只能得到一种：长4cm，宽4cm，其中面积最大的是正方形。学生在研究过程中会体会到：想要算出最大的面积唯一的方式就是将所有可以找到的长方形都列举出来，在组成不同的长方形时，它的长在不断减小，随之宽在不断增大，这个过程就将“静态”的学习变为“动态”的思考了，而这种由“静”到“动”的变化也就是函数的本质。由此看来，是函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“生动”了起来，而函数的思想也慢慢渗透到学生的思维中去了。

二、利用数目关系，在解决实际题目中渗透函数思想

函数思想在小学数学教学中的很多方面都能得以体现，当学生的学习进入一定阶段后学生会接触到越来越多的数目关系，而这其中就隐含着函数思想，教学过程中教师要善用各种教学题材，对于各种能够体现函数思想的教学内容及教学板块都要充分加以利用，让学生多接触函数，多运用函数思想，这种思维模式才会在学生的思想意识中得以渗透。

通过小学阶段的学习，学生已经逐步掌握了很多的数目关系，如：单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度之间的关系；工作量、工作效率和工作时间之间的关系等等。教学过程中不难发现，当这些数目关系中的某一种量固定后，另外两种量产生定性的变化，这个过程也就构成了函数。

以简单的解题过程为例，我们可以通过将固定的题目改编成开放性的题目，例如让学生给一个不完整的题目自行补充相应的条件来辅助其思考。以下面的题目为例：操场上有150名学生排队做操，请想想学生可以站成几排？这个题目条件很简单，整个题目也让人觉得抽象，然而正是这种开放性的题目能够很好地引入函数的思想。学生们想要找到答案就必须先做有效的分析，通过逻辑思考后学生会发现：可以站几排是随着每排人数的变化而变化的，而每排的人数也会有一定限制，最少不能少于1人，最多也不会超过150人。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域的思想。从这个题目的设置我们不难看出，这种开放性的题目不仅仅是简单的形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。而学生对于这个问题的思考过程必然会有函数的思想渗透其中，这样，函数意识也就在他们脑海中一点点加强了。

三、在与其他的数学思想方法的结合中渗透函数思想

数形结合为几何学的研究提供了新的方法，使很多几何题目变得简单直观，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对于形的认识由静态发展到动态，这才是“数形结合”思想的本质所在。数形结合的思想基础是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，它可以使代数题目几何化、几何题目代数化。而函数思想虽然侧重于研究代数题目，但有时将函数思想与数形结合的思想交叉起来，可以使抽象的函数关系更具体直观，便于学生理解。

以不同图形间的周长比较为例，周长同为20cm的长方形、正方形及圆形，学生经过思考后会发现正方形及圆形在周长固定的前提下通常只有一种，那是因为正方形和圆形的周长都是由唯一的一个因素决定，边长及半径分别能够确定一个正方形和圆的周长。但对于长方形而言答案就可以有很多，这是因为决定长方形周长的因素为两个：长和宽，长的变化会导致宽也发生变化，两者间是相互制约的，而这种变化间的相互制约关系正是函数中的变量和因变量的思想，学生体会到两者间的变化制约关系也就是无形中对于函数思想的体会。函数思想不仅在数形结合中有很多的应用，在小学数学教学中的其他思想方法上都能找到体现，教师要善于挖掘教材内容，让函数思想在学生心里更深入。

第5篇：函数思想范文

高考对函数与方程思想的考查，通常以选择题和填空题的形式考查函数与方程思想的简单应用，而在解答题中，则从更深层次，在知识网络的交汇处，从思想与相关能力综合的角度进行考查．

1．函数与方程思想在解析几何中的应用

例1 直线y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于两点，求k的取值范围．

分析：本题题意简单明了，是将解析几何问题转化为代数问题解决．

解：将直线方程代入双曲线方程得到(1－k2)x2－2kx－2=0 （*），

在(－∞,－1］上有两相异实数根，即得到1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0(x1+1)+(x2+1)

1

这种方法固然可行，但如果我们注意到一个逻辑关系，方程（*）如果有负根，则必定在(－∞,－1］内（这是因为直线和双曲线的左支交于两点），因此就只需方程（*）有两负根即可．

则有1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0x1+x2=2k1－k20 ，

而以上四个不等式则可以通过观察得到解，则有1

点评：解析几何的本质就是用方程来研究曲线，理所当然就应该运用方程思想来解决解析几何问题.

2．函数与方程思想在数列中的应用

例2 已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，使得Sn达到最大值的n是 ．

分析：可先求出通项公式，并得到Sn是关于n的一元二次函数表达式，结合二次函数求解．

解：先求通项公式，由a1+a3+a5=105，得到a3=35，由a2+a4+a6=99，得a4=33．

故an=a4+(n－4)(－2)=41－2n，

Sn=－n2+40n，Sn是一个关于n的二次函数，当n=20时，取得最大值．

点评：数列本质上是函数.

本题在求出通项公式的基础上，构建了Sn关于n的函数．函数思想不仅仅是使用函数的方法研究和解决函数问题，更重要的是构建函数关系，用函数的方法，

解决与函数有关的其它问题．

3．函数与方程思想在不等式中的应用

例3 若关于x的方程4x+a•2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围．

分析：本题是关于x的方程，若把2x看作一个变量，则问题变为二次方程在某区间上有解，即根的分布问题，为求a的范围，可以根据二次方程根的分布，解不等式组，也可以分离参数．

解法1：令t=2x(t>0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，问题转化为方程在(0,+∞)上有实数解，求a的取值范围．

则有由a2－4(a+1)≥0－a+Δ2>0 ，解得a≤2-22，

解法2：令t=2x(t>0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，变形得

a=-1+t21+t

=-(t2－1)+2t+1

=-［（t-1）+2t+1］

=［（t+1）+2t+1-2］

≤-（22-2）=2-22．

点评：解法1的思路是换元后转化为一元二次方程在区间(0,+∞)上有实数解，求参数a的取值范围；

解法2是换元后运用分离参数法把参数a作为t的函数，求函数的值域，这种方法的实质都是解不等式，求参数范围．

4．函数与方程思想在立体几何中的应用

例4 正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0

分析：由于点M、N分别在异面直线AC和BF上移动，MN的最小值则可以理解为AC、BF之间的距离，当然也要注意到AC和BF是线段而不是直线，MN的最小值未必是异面直线AC和BF之间的距离．

解：构建MN的目标函数，用代数方法解决如下：

过M作MOAB于O点，连结ON，由题设可得到，

则由MOBC=AMAC=AOAB=2－a2，

所以MO=2－a2，

又FNFB=2－a2=AOAB，

ON∥AF，则ON=a2，

则在直角三角形MON中，

MN=（2-a2）2+（a2）2

=(a－22)2+12，

当且仅当a=22时，

线段MN取到最小值为22．

点评：求立体几何中的最值问题，不妨将该问题转化为函数求最值问题．

5．函数与方程思想在三角中的应用

例5 求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最值(0

分析：遇到sinx+cosx与sinxcosx相关的问题，常采用换元法，再将问题转化为二次函数问题，用sinx+cosx表示sinxcosx．

解：令sinx+cosx=t，则有t∈［－2，2］，

sinxcosx=t2－12，

则y=12(t+a)2+a2－12，

由0

知道－2≤－a

当t=－a时，ymin=a2－12，

当t=2时，ymax=a2+2a+12．

点评：本题的关键是抓住sinx+cosx与sinxcosx的联系，转化为一元二次函数问题．

6．函数与方程思想在二项式定理中的应用

例6 设(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= ．

分析：本式为二项展开式的偶数项系数之和，而不是偶数项二项式系数之和，可通过赋值法求解．

解：令f(x)=(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

则令x=1可以得到f(1)=(2－1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1

令x=－1可以得到f(-1)=(2+1)5=a0－a1+a2－a3+a4－a5=35

两式相减再除以2得到a1+a3+a5=－121．

点评：通过赋值法解决方程问题，则赋予了二项式更丰富的内涵．

7．函数与方程思想在概率统计中的应用

例7 某电器商经过多年的经验发现，本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下：

ξ123……12

P112112112……112

设每售出一台冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保管费用100元.

（1）若电器商月初购入x台电冰箱，则其月收益的期望值是多少？

（2）电器商每月初购多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？

分析：本题是利用概率的知识来解决的实际问题，同样可转化为函数的问题求解．

解：（1）设x为月初电器商购进的冰箱台数，只需考虑1≤x≤12的情形，

此时电器商每月的收益

y=300x(ξ≥x)300ξ－100(x－ξ)（ξ

则Eξ=300x(px+px+1+…+p12)+［300－100(x－1)］p1+［2×300－100(x－2)］p2 +…+［300(x－1)－100］px－1

=300x(12－x+1)•112+112［300×x(x－1)2－100×(x－1)x2］

=253(－2x2+38x)．

（2）x∈N，

x=9或10时收益最大．

点评：概率中的很多问题可以结合函数与方程思想解决．

第6篇：函数思想范文

一、数形结合的思想

总结：在判断三角函数性质的题目中，运用数形结合的思想解决，更容易让学生形象化、具体化、生动化，进而让学生理解、掌握.

二、换元的思想

总结：在三角函数式中，若同时含有sinα±cosα与sinαcosα，则可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题解决.

三、分类讨论的思想

总结：在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题，以及三角函数最值等问题也要注意讨论.

四、化归与转化的思想

总结：本题从“角”“名”“形”不同的角度，将三角函数式进行转化，使问题得以解决，化归与转化的思想普遍应用于三角函数式的化简、求值和证明中.

五、方程的思想

第7篇：函数思想范文

【关键词】：数列；渗透；函数思想

[Abstract]: sequence is one of the high school mathematics is difficult to grasp the contents of middle school students. In the process of teaching, how to guide students to study the series of problems use function, problems are more innovative and comprehensive can make one column, which can effectively cultivate students' thinking quality and innovative consciousness. This paper tries to solve the series of problems by the said, should make full use of relevant knowledge function, to the function concept, image, as the link bridge between nature, function and series, reveal the inner link between them, so as to effectively solve the series of problems. It is a good practice of effective teaching.

[keyword]: series; permeability; function

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

在人教A版（必修5）课本中第29页写道：“数列可以看成是以正整数集（或它的有限子集｛1，2，…，n}）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。”即数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。

一、数列通项公式、求和公式与函数关系

通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导学生充分认识，和n的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通项公式、求和公式与函数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系发展的眼光学习数学。在教学实践过程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n

项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例1：等差数列中，，则

分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如下），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例2:等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。

例3：等差数列和等比数列首项均为1，且公差不等于1，公比，则集合{(n,an)|}一定含有元素

分析：等差数列，由于首项为1，即，所以它的图像是必过（1，1）的一条直线，而等比数列首项为1，公比为q，，故，它表示指数函数图像向右平移一个单位得到，必过（1，1），所以此集合中必定含有元素（1，1）。

二、构建函数，揭示数列本质

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而学会构建函数，一方面体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。在构建函数之后，我们需要利用函数的概念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。在数列学习中渗透函数思想，不仅可以进一步巩固函数知识，而且可以拓宽学生解决数列问题的视野。

1、构造具体函数，成功“转化”

例4:递增数列，对任意正整数n，恒成立，求

分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。

构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得

例5：数列通项,前30项中最大项和最小项分别是(C)

ABCD

分析:构造特殊函数，将数列通项整理，“脱去外衣”（分离常数），得.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像（如图）。根据函数图像特点,判断出答案应选(C).

2、构造抽象函数，成功“突围”

例6：已知数列满足，，则

分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期性。

令，则

那么函数满足①，则②，①+②，得，则，即函数周期为12

…+…+=…-…-=0

所以……=……+===

3、数列应用题中构造函数，成功“解决”

数列知识本身就是来源于实际问题，又被广泛应用于实际问题，带有情境的数列问题，不仅可以考察学生的综合能力，而且可以考察学生解决实际问题的能力。

例6：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为

其中

问题是该人在A公司比在B公司工资每月高出部分的最大值

故需要比较和

可设

所以问题转化为研究函数最大值

因为当时

即

所以当时，单调递增，而当时，单调递减，因而当时，有最大值（计算器算出）。

第8篇：函数思想范文

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）22—0088—01

函数教学是初中代数教学中最重要、最基本的内容，初中代数中所涉及的几乎所有大的知识点，如方程、不等式等都可在函数的观点下把它们统一 起来.而且在中考中，函数是必考的重点内容之一，形式多、变化大、分值高，考试的压轴题是函数题的也不在少数.因此，函数在中学数学教学起着重要的、不可替代的纽带作用.在推导函数的性质或在解决函数的实际问题中，数形结合思想更给学生今后的学习、发展提供了一个强有力的工具，使学生受益终身.

一、由已知图象推导出未知图形

例1 已知二次函数y=ax2 +bx+c （a≠0）的图象（如右图），则直线y=ax+b与双曲线y=在同一坐标系中的大致位置是（ ）

分析：①由已知图形知，抛物线开口向上，故a>0；②由抛物线顶点在y轴右侧，a，b异号，故b

二、由已知草图推导出函数关系式

例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象（如右图），下列判断错误的是（ ）

A a

B a0

C b>0，b2-4ac>0

D 点（ab，ac）在第四象限

分析：图形中虽然没有任何文字说明及直接的数量关系，但仔细观察，却不难发现图形中隐藏着大量的有用信息.

①抛物线开口向下，故a

②抛物线的顶点在y轴左侧，则a，b同号，故b

③抛物线与y轴交于正半轴，故c>0；

④抛物线与x轴有两个交点， Δ= b2-4ac>0；

⑤由①②③显然得到ab>0， ac

三、由函数解析式判断函数的大致图象

例3当k

第9篇：函数思想范文

关键词：高中数学；函数教学；数学思想方法

在新课程教育理念指导下，广大高中数学教师也在不断探索、优化自身教育理念与方式。在教学中渗透数学思想方法具有重要的意义，不仅可以让学生对所学函数知识有更透彻的理解，也能够进一步拓展、锻炼学生的创新思维与综合学习能力。因此，对于数学思想方法的渗透研究，广大高中数学教师应在透彻理解、掌握的基础上，给予进一步研究。

一、高中数学教学现状分析

高中数学可以说是一个学习难度级别相对较高的阶段，不仅是指所讲授的内容更加复杂丰富，采用的方法更加灵活多样，对学生的理解接受水平也提出了更高要求，且对其未来的学习发展也有着至关重要的的影响。但是，就目前来看，在升学压力下，很多教师对于新课程教育理念采取的都是一种理解但不采纳的态度，大多都依旧沿用着传统授课模式，不仅存在诸多弊端，学生也一直处于被动机械的学习状态，很难获得理想学习效果。另外，在授课中，教师也未重视起思想方法的传授，只是一味的让学生按照自己的思想、安排来完成相应学习任务，学生机会很少真正⒂肫渲校久而久之，学生不仅会一味理解不透彻而失去学习兴趣与信心，也会产生厌烦抵制的情绪。

二、数学思想方法在高中数学函数教学中的渗透

1.注重数形结合思想方法的渗透

在高中数学教学中，特别是函数知识传授中，数形结合思想方法往往都是渗透最显著的一种。这种思想方法不仅能够通过更直观的方式，在平面、空间上呈现出原本较为抽象的数量关系，也能够在思考、解决问题中，将抽象、形象思维有机结合在一起，帮助学生更轻松、快速的认识掌握函数知识中存在的一些规律，并将某项特定的值推算出来。在函数教学中，函数图像往往都是与其知识相对应的，且在思考、解决函数问题过程中也强调学生应绘制相应图形来讲该项函数的关系呈现出来，从而更直观的说明、表达其函数的变化规律，以此来将原本复杂、抽象的数据进行简化处理，真正实现形象与抽象思维的有机整合。

比如：在例如，（cos θ一cos +3）2+（sin θ一sin 一2）2的最值（0，a R）就可以利用距离函数模型来解决。在此过程中通过有效渗透数形结合思想方法，不仅可以帮助学生降低学习难度，也能够加深其理解与印象，从整体上提高授课效果。

2.重视学生互相转换能力的培养

在高中数学学习中，学生若总是采用一种方法来思考、解决各项数学问题，不仅难以获得理想学习效果，有时还会在某些方面增加解题难度。而传统教学理念长期影响下形成的后遗症之一，就是学生在思考、解决问题中不懂得灵活变通，对相应问题的思考也不够深入，不懂得通过灵活转换所学知识来简便解决相应问题。而函数、方程思想方法作为两种最基本的数学思想方法，其在实践教学中的渗透，教师应做出深入探究。

比如：在讲解“函数的应用”的相关知识点时，就涉及到了函数、方程之间的关系这一内容，而其中两者的相互转换也是教学重难点奶奶。对此，在实际授课中，教师就可以通过函数构造出与之相对应的方程表达式，如，将y=f（x）这一函数合理转化为f（x）-y=0这一方程表达式，通过这两者之间的巧妙转换，不仅可以适当降低该题目的解答难度，学生也可以在此基础上，对函数因变量改变而产生的变化规律进行计算，或者是从函数图像中总结出方程中未知数相应的变化规律。

函数思想主要指的是结合变化、运动等变化规律来进行函数关系的建立，并以图像形式来进行表达。而方程思想则主要是指数学问题变量、质量是等量的关系。由此可见，函数、方程学习中，函数与方程思想的相互转换运用，不仅将二者的优势充分结合发挥，也能够帮助学生积累更多适合的问题解决思路与方式，进一步增强学生的计算能力。

3.分类讨论思想方法的渗透研究

分类讨论思想其实简单来讲，就是实现“化整为零、积零为整”的一种思想方法。在研究、解决某些数学问题过程中，在所给对象无法做出统一研究时，其教师就可以引导学生对结合数学对象本质属性的异同特点，合理划分问题对象的类别，在此基础上再进行深入讨论与妥善解决。而在函数教学中，函数性质、定义与公式限制方面引发的一系列分类讨论，以及问题中的变量，或者是一些参数需要作出进一步讨论的都需要进行分类。由此可见，分类思想的渗透是不可忽视的，在函数教学中，教师应进行循序渐进的渗透，以此来进一步拓展学生思维能力。

4.化归与类比思想方法的渗透

化归、类比思想其实就是将原本抽象、复杂的的数学问题，合理转化成学生比较熟悉且具体、简单的问题，以此来减低学生解答难度，可以说高中函数知识学习中，所有问题的解决都与化归、类比思想有着密切来信。其中应用比较广泛的转化方法有：一是，类比法，主要是通过类比推理、对问题结论作出猜测来为转化提供一定便捷；二是，等价转化法，是指将原本比较复杂的问题，合理转化成一个等价的且解决起来比较便捷的数学问题，以此是实现转化目的；三是，换元法，主要是指通过“换元”将一些不标准的不等式、函数转化成解决起来更容易的基本问题等等。总之，为了进一步锻炼、提升学生在解决函数问题中的应变能力，进一步拓展其数学思维，教师应充分重视、加强类比与化归思想方法的渗透。

三、结语

综上所述，广大高中数学教师在设计、组织函数教学活动过程中，应正确认识到加强数学思想方法的渗透，对增强授课效果、提升高中生整体数学素养等方面的重要性。在教学实践中，教师应结合实际授课条件，以及学生不同阶段的认知、发展需求，为学生传授更恰当的数学思想方法，帮助学生更透彻的掌握、更熟练灵活的运用所学知识，更全面锻炼、发展学生数学思维。

参考文献：

[1] 游保平.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].新课程・中旬，2013，（10）：109-109.