函数概念精选(九篇)

第1篇：函数概念范文

对于高一的学生来讲，初学高中函数时，初中的概念还比较牢固.并且学生在初中接触的都是一次函数、两次函数、反比例函数等对应关系用函数解析式来表示的函数，所以把“对应法则” 等同于函数解析式就一点也不奇怪了。

高中的函数定义明确了联系两个变量的是“对应法则”，提到对应法则往往用函数“解析式”表示，并且提到 “当函数的变量之间的对应关系不适合或难以用解析式刻画时，图或表是有效的表示函数的方法”也就是说，对应法则不仅仅是函数解析式。但并没对“对应法则”进行进一步解读，更没有提到两个函数解析式的形式不同但对应法则相同的例子，所以学生对”对应法则”的理解比较初中提升有限。

在这个问题中，用来表示对应法则的解析式仅仅是形式不同而已，它们都把相同的自变量x对应到相同的函数值y，所以它们都是相同的一种对应法则.也就是说一个对应法则可以有不同的解析式表示形式，比如函数 也和上面的函数是同一函数.但如果把定义域稍作改变，均改为上面的两个函数就不是同一个函数了，对于来讲，它所对应的y不同.这说明这两个解析式代表的对应法则是否相同还与函数的定义域与有关。

总之，如果两个函数定义域相同，相同x的值对应的y相同，我们就认为这两个函数的对应法则相同（即使函数解析式形式不同），这两个函数就是同一个函数。

高中阶段给学生讲清楚“对应法则”与“函数解析式”的联系与区别，无疑会加深高中学生对函数概念中函数概念的本质理解.

其实不仅很多中学生把“对应法则”与“函数解析式”混为一谈，有些数学系毕业的大学生对这两个概念也是模糊的，我们曾用这个问题问过某重点师范大学刚刚毕业的硕士生，她的回答竟然也是“不是同一个函数”，甚至有些教学多年的教师对这个问题的认识也是错误的.实际上，“对应法则”与“函数解析式”没有搞清楚，对函数概念的理解就是不完整的，在后面函数的学习过程中也会引发出问题。

教学中需要通过练习巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，通过从具体到抽象的过程，使学生深入理解函数的实质，避免概念教学的抽象与枯燥，完成函数概念的内化。这方面可以借鉴国外的做法：英国教材由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图像，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。还可以利用其它手段加强对函数理解，比如德国初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。

第2篇：函数概念范文

【关键词】函数；概念；学习障碍；直观教学

函数概念是中学阶段第一次用“数学关系概念定义法”给出的概念，它揭示函数概念本质的方法与之前的数学概念的方法是不一样的，如何理解函数概念之中蕴涵的数学关系是学生建构函数概念的基础，建构函数概念的基础是变量和对应.然而，“变量”，“对应”等词汇，教材并没有给出比较明确具体的定义，这就造成了学生在认知结构上相关知识节点的缺失，导致了学生对于函数概念理解上的障碍。另外，函数概念的表达形式不唯一（前面也谈到有七种之多），每一种表征形式又都可以独立地表示函数概念高一年段是学生一生中思维发展的关键时期和转折时期。在这个阶段，学生的抽象思维从经验型占主导逐步向理论型占主导转变，并且迅速进入理论型发展的关键时期。在这个时期，学生的思维最为活跃，有着明显的个人意识和独立意识，他们独立处理这是一个与其它数学概念不同的地方，有时还需要同时考虑函数概念的几种表示形式，协调好各种表示形式之间的关系，并根据需要在各种表示形式之间进行转换，这也会导致函数概念理解上的障碍。

另外，在函数概念的教学中，要求学生能进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言之间的灵活转换。在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。这就要求学生的思维能在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但学生的思维水平还处于很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念事例联系起来，还不能用辩证思维的思想来理解函数概念。这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的，这又是造成函数概念学习困难的一个重要原因。

如案例，在讲解函数概念所揭示的对应关系必须是“一一对应”或者“多对一”时，我采用了射击手打靶的例子进行比喻，可以是一个人打一次靶，也可以几个人打一次靶，不能一个人同时打出几个靶来，这样就很好的帮助学生理解了“一一对应”和“多对一”的对应关系。借助军训演习中的实例，进行函数概念的直观教学，既起到了化抽象为直观的教学效果，又使得课堂教学变得生动有趣，有效的促使学生实现函数概念过程的内化。

通过函数的表征形式的教学，可以帮助学生实现对于函数概念本质的理解，在所执教的实验班级特意加强了对于函数表征形式的教学，具体实施分两个阶段进行。

第二阶段，引导学生用不同的表达形式去表示相同的函数。

传统的教学方法，不太关注同一函数不同的表达形式联系教学，这就导致学生在理解函数概念时，往往会用单一函数的表征形式来代替某一类型函数，导致学生无法理解函数的本质。在实验班级的教学中，进行函数关系式的教学时，不拘泥于教材形式，从发展学生的能力入手，让学生体会用多种表征形式去表示同一个函数，教学效果明显。

我们知道，数学概念具有过程和对象的双重属性，所以它既是逻辑分析的对象，概念的教学过程应该又是具有实现背景和丰富寓意的建构过程，展示数学概念的生成过程尤为重要.无需赘言，在现行新课标教材（以人民教育出版社出版的实验教材为例）的编排上，教材内容就充分体现了函数概念具有过程与对象的双重性的这种特点。

笔者在教学中利用计算机辅助教学，很好的达到直观教学的目的。如案例，在函数概念教学中，利用几何画板，就可以帮助学生理解函数的概念，还可以达到如下三种目的：

（1）可以帮助学生理解“对应”与“变化”.复制用word或excel制作的表格，打开“图标”菜单/绘制点/选择粘贴数据，就可以绘制与表中数据对应的点（几个特殊的点），然后再用折线连接这些点.这就可以很好的体现函数值与自变量对应的过程。还可以从整体上直观的认识“函数的变化有一定的趋势”，从而加深学生对于函数关系（对应）及函数变化规律的理解，也为函数单调性等其他函数的性质的学习做了铺垫。

（2）展示轨迹的形成过程。例如，利用几何画板画出函数y=x2+2x的图像。借助坐标轴上的动点A及根据函数关系式绘制函数图像上的一个动点B，通过移动点A来体现关联点B的运动，而后利用轨迹跟踪，很快的画出函数的图象。

（3）利用几何画板的轨迹跟踪功能，可以直观体现函数关系中的因变量与自变量间的对应关系，还可以体现表达式、图像、函数性质间的依赖关系。又如，利用几何画板画出带参数的函数y=ax2+bx+c的图象（以a>0为例），以线段a、b、c的长度值代替函数中各项的系数。通过改变线段的长度，通过动态图像来研究系数a、b、c对于二次函数图象的影响。

有意识培养学生的理论型的抽象思维，充分利用与函数概念相关联的数学概念和数学符号，进行逻辑直观方式的教学，极大帮助了学生对于函数概念本质的理解，促进实验班级的学生对于函数概念的知识建构。如案例，在实验班级实施函数概念教学时，我关注函数概念的结构，从结构入手，利用概念逻辑上的直观进行教学改革实验。首先，抓住函数概念定义中的几个关键词，如“非空数集”、“确定的对应法则f”、“任意一个数x”、“唯一确定的数f（x）”、“f：AB”。其次，从函数概念定义的结构上进行分析，定义包括三个部分：定义域、值域以及对应法则，分析了这三个部分的特征，建立起与初中的函数概念（“变量说”）之间的联系。定义域A是自变量x的集合，值域B是函数值y的集合，它们都是非空数集；对应法则f不但是确定的，而且它能使A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素（唯一的象）与之对应。通过对结构的剖析，使学生明确两个函数，当且仅当定义域、值域、对应法则完全相同时（或者只需要定义域与对应法则完全相同时），这两个函数相同，与究竟用什么字母表示完全无关。

如案例，请解答如下一组求函数的定义域的题目：

1、已知函数f（x+1）的定义域[a，b]，求函数f（x+1）的定义域；

2、己知函数f（x+1）的定义域为[a，b]，求函数f（x）的定义域；

3、已知函数f（x+1）的定义域为[a，b]，求函数f（x-1）的定义域。

简析，此类问题是关于抽象函数的定义域的问题，要想顺利求出本题组的答案，学生必须弄清楚f（x+1）、f（x-1）、f（x）之间的逻辑关系，明白在三个函数中自变量分别是什么？本题组的解答，有助于学生逻辑思维的培养。导致函数概念概念学习障碍的原因，既有函数概念本身的因素，例如函数概念具有高度的抽象性等：也有当前教育评价制度的不完善导致教师和学生急功近利的思想，严重影响了教师的教学方式和学生的学习方式，等等。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：高等教育出版社，2003.1-1

[2] 郑毓信、梁贯成.认知科学建构主义与数学教育[M].上海：上海教育出版社，2002.12～76

第3篇：函数概念范文

学生在初中阶段已经学习了函数的概念。“在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量。”学生对函数的概念已经有了初步的认识，明确了对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应。高中数学中“函数的概念”是在学习了集合之后，用集合语言进行刻画的。在初中的基础上，只需指明A，B为两个非空数集，按照某种对应法则，集合A中任意一个元素x，在集合B中有唯一确定的元素y与之对应，那么就称f：AB为从集合A到B的一个函数。在函数的三要素的学习中，定义域和值域学生不难理解，但是对应法则是一个比较抽象的概念，学生很难把握。我首先从有具体解析式的函数入手，让学生知道函数解析式就是一种对应法则。对于用列表法和图象法形式的函数，这一点我们需要举例说明。另外的一个重点是求函数的定义域和已知函数求函数值。初中和高中在表示函数上也有很大的区别。例如以y=x2，在高中我们通常写成f（x）=x2的形式。这两种写法的实质是相同的，都表明对应法则为平方。但第二种写法有很大的优越性，主要有以下两点：其一，第二种在写法上更加简洁，如求x=5的函数值只需写成f（5）即可。第二，对于有些函数很难写出具体的表达式，用初中的表达式的形式就无法解决，而在高中我们可以写成f（x）的形式，其中f即为对应法则。

二、三维目标

1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数y=f（x）的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括的能力；启发学生应用函数模型来解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识。

2.掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，以激发学生学习的热情。

三、教学重点

用集合与对应的语言来刻画函数。

四、教学难点

符号“y=f（x）”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一的理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值。

五、教学过程

1.导入新课：利用人教版必修一教材1.2.1《函数的概念》一节上的三个引例进行导入，这三个函数的实例，首先反映了数学源于生活，在解决以上三个实例的过程中激发学生学习数学的热情。引例一主要是用解析法来研究函数，引例二是用图象来研究函数，引例三是用表格的形式来研究函数。以上正好是我们研究函数的三种方法。在解决以上三题的过程中启发学生指出自变量x的取值范围，对应法则及函数值y的取值范围，为我们引出函数的概念作好铺垫，以上这三点也正好是函数的三要素。

接下来让学生思考：“以上三个实例有哪些共同特征”。让学生相互交流的情况下到出函数的概念，从而培养学生的探究能力，归纳总结能力。所以得到函数的概念：

设A和B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，使A的任何一个x，在B中都有唯一确定的f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A。x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值对应的y值叫做函数值。函数值的集合fxx∈A叫做函数的值域。

概念讲完后,让学生一起对概念进行解读，找关键词，紧接着来一个巩固练习，目的加深学会对概念的理解

2.知识理解：判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数。

练习2：已知f（x）=x2+x+1，求f（x+3），变式题：已知f（x）=6x-3，求ffx的值。

这两个练习是对例1的进一步巩固和加深，突出函数中定义域和对应法则的重要性。进一步提高学生的运算能力，及“整体”的数学思想。

最后是本节课的小结；一个概念，二种语言，三个要素。

六、四项注意

1.已知函数均指由定义域到值域的函数；

2.函数问题首先看定义域；

3.f（x）含对x的一种操作规定；

第4篇：函数概念范文

关键词：函数；对应；映射；数形结合

1要把握函数的实质

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

2加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。

3将映射概念下放

就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

第5篇：函数概念范文

1 函数内容处理方式的新要求

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称课程标准）仍将函数的基础知识安排在高中起始年级，但在内容要求和处理方式上都发生了比较大的变化。如何在继承传统教材优势的基础上，在展现函数概念的概括过程、揭示函数概念的本质、加强函数的应用以及适当使用信息技术帮助学生理解函数概念等问题上锐意创新，以突破函数概念这个难点，这是新教材的新要求。

2 函数学习背景的新要求

以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上。学生既要面对同时出现的几个抽象概念：对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系。实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难。新要求是从具体实例进入知识的学习，从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，这样更加有利于学生建立函数概念、理解函数概念内涵。

3 函数思想方法应用的新要求

函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。因此，函数在现实世界中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念具体化。如新增加的“不同函数模型的增长”和“二分法”，前者通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型反映实际问题中变量间的依赖关系；后者充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决方程近似解问题的方法之一，通过二分法的学习，能使学生加深对函数概念本质的理解，学会用函数的观点看待和解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。

4 函数概念理解的新要求

函数概念并非直接给出，而是从背景实例出发采用归纳式的教材组织形式引入。在分析典型实例的共同特征的基础上概括出函数定义后，通过讨论函数的表示、基本性质初步理解函数。它们分别是从函数的表现形式和变化规律两个方面丰富对函数概念的认识。以三类基本初等函数为载体巩固函数概念，在学习了函数定义、基本性质之后，从一般概念的讨论进入到具体函数的学习。指数函数、对数函数和幂函数的概念及其性质都是一般函数概念及性质的具体化。以一类具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。从应用的角度再一次巩固并提升对函数的理解。对一个概念真正理解的一个判断标准就是看看是否可以运用概念解决问题。教材最后安排函数的应用，包括二分法、不同函数模型的增长差异以及建立函数模型解决实际问题，就是期望学生能在“用”的过程中提高对函数概念的理解。

5 函数概念难点突破的新要求

函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终，同时它也是教与学的一个难点，对于形成函数这样抽象的概念，应该让学生充分经历概括的过程。教材选择了三个有一定代表性的实例，先运用集合与对应的语言详细地分析前两个实例中变量间的依赖关系，给学生以如何分析函数关系的示范，然后要求学生仿照着自己给出第三个实例的分析，最后通过“思考”提出问题，引导学生概括三个实例的共同属性，建立函数的概念。在这样一个从具体（背景实例）到抽象（函数定义）的过程中，学生通过自己的思考从分析单个实例上升到概括一类实例具有的共同特征，更能理解概念内涵。

6 函数概念学习中使用信息技术的新要求

第6篇：函数概念范文

关键词：初中数学；函数概念；三种关系

初中阶段的函数教学具有承上启下的作用，是高中函数学习的基础，如果教学失败，直接对学生今后在高中阶段的函数学习产生负页影响，甚至影响到今后的进一步学习。所以，初中阶段的函数教学不可松懈，一定要慎重对待。就实际教学而言，初中阶段的函数教学一定要处理好几个概念关系，具体如下。

一、具体与抽象的关系

人认识事物都是从感性认知开始的，然后逐步升华到理性认知，理性的认知过程才是把握事物本质的过程。数学概念就是人们长期以来对事物现象形成的高度抽象认知的结果，函数更是如此。所以，函数的学习需要高度抽象的理性逻辑思维，这对理性思维尚不很发达的初中生来说，的确是有一些难度的。但一般而言，初中阶段的函数是基础性的，并不太难，并且考虑了与小学数学知识的衔接，所以，只要教师稍加引导，就会使问题迎刃而解的。

根据初中教材的一般编排规律，在引入函数知识前，已经作了许多函数知识铺垫，比如关于量与量之间的依存关系，学习函数前学生应当已有所认知并且可能很熟悉。初中数学教师完全可以在学生已有的有关量的知识基础之上，引导学生建构关于函数的知识结构，使学生在已有的数量关系知识基础上理解新的函数知识。

一般而言，在具体教学中，教师不宜直接向学生抛出抽象的函数定义，而要从具体的函数实例说起，引导学生从函数实例中抽象离析出变量、常量等，进而寻找各变量常量之间存在的数学关系，再根据关系建立数学表达式，进而使学生理解相关概念。最终学生会理解，对于一个变量X，含有X的代数式，如3X就是关于X的函数。

一切抽象的知识都是从具体的直观的感性经验开始的，因此，初中数学教师在教学抽象的函数概念时，也要尽可能引导学生从感性经验入手，从具体的实例如下，引导其一步步深入理解，最终完全掌握抽象的函数概念。

二、准确性与通俗性的关系

函数本来是高度抽象的概念，其定义应当时具有严密逻辑性的表达。但考虑到初中学生本身的认知水平，一般初中教材都采取描述法来界定，也主张教师用描述性的表达来界定函数之类的抽象概念。描述法界定的好处是通俗易懂，但也容易失去准确性。这就要求初中数学教师在界定概念时，必须力图做到通俗性的同时确保准确性。现行九年义务教育初中阶段某数学教材中这样定义函数：“设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。”该定义突出了“对应”二字，体现了准确性；不把对应关系看作函数，而把变量y看成一个函数，这恰好是为了便于学生理解而所作的处理，因为变是y是具体的，而对应关系是抽象的，前者易理解，后者难消化。

有的老师在教学函数概念时，过于强调函数三要素，即“定义域、对应法则、值域”三要素。不过事实上，这三要素虽然是函数确实该具备的，但并不能揭示函数的本质。要想使学生准确理解，还必须揭示其本质属性。这需要从定义中析取。“在一个变化过程中”，强调函数的动态存在性；“有两个变量”强调函数体现的是两个变量之间的依存关系；“对于x的每一个值，Y都有唯一的值与它对应”强调两个变量之间的对应关系。从这三个方面的分析来看，函数本质上不是什么具体的变量，而是变量之间存在的一种对应关系。这样的抽象性的概念，要想理解准确，还真得从通俗性入手。

三、历史性与逻辑性的关系

一般而言，概念教学都有必要讲清概念的来龙去脉，这是历史性的体现。函数概念教学也如此，应当让学生了解函数概念的产生和发展的大致过程，使知识具有历史感，并有助于学生深化理解。逻辑性主要指共时平面上对函数概念的抽象界定，这样的逻辑性界定很直接地抛出概念定义，很省事儿，但不省力。因为直接面对抽象的函数概念，学生一时半会儿并不能理解。如果从此前的代数知识讲起，引导学生步步深入，体验函数关系如何从代数中生成并发展起来，体验完毕后，对函数就会有一个较为深刻的认知体会。这样以旧知识促进新知识的理解消化，也很符合建构主义理论。建构主义认为，人的大脑是建构性的，而不是直接的接收器或刺激反应器。人在接受信息过程中，会有主观能动性的参与，即人会对所接收到的信息进行加工，进而创造出新的信息体系。这个加工过程是复杂的，往往是新信息和旧信息均有涉及的一种建构性处理，经过这种加工，大脑中会建构起新的认知体系来。所以，人的学习应当是建构的，而不是接受的。函数概念教学中，教师也不能忽略大脑认知上的这种特点，所以也要根据建构的特性来组织教学。因此，逻辑性的函数定义固然省事儿，可以直截了当地告诉学生所学的内容，但由于缺乏既有知识作为基础，大脑中很难真正建构。只有从代数开始，以代数的知识作为基础，逐步引入函数，学生才可能在代数知识基础之上建构函数知识，实现对函数概念的准确理解。

综上，初中函数概念教学要处理好三种关系，一是抽象与具体的关系，即要从具体实例出发而理解抽象概念；二是准确性与通俗性的关系，即要以通俗的语言引导学生准确理解高度抽象的概念；三是历史性与逻辑性的关系，即要尽可能以历史的方法，讲明函数的来龙去脉，使学生建构性地理解逻辑层面的函数概念。处理好了这三种关系，初中函数教学就能化难为易，化繁为简，使学生学得有味，教师教得有劲。函数问题概念如能迎刃而解，其他数学问题的解决也就不再是什么难题。因此，初中数学教师一定要在函数概念教学上多下功夫，多结合实际认真探索，积极大胆地创新，在处理好以上三个关系的前提下，寻找最适切的教学方法，推动教学的良性发展。

参考文献：

[1]任子朝.数学思维结构的成分、建构与发展（续）.数学通讯，1993，8

[2]严成志.理科教学中培养学生形象思维能力的研究.中学教研，1993.7

第7篇：函数概念范文

关键词：函数；函数概念；函数思想方法

Teaching strategy on junior middle school function concept

Xinjiang KuChe county experimental middle school teachers Fu Liya

Abstract: function concept is one of the key concepts of junior middle school mathematics, function is full of the middle school mathematics thought content. the final purpose of the function mainly included comprehen and master, and in the learning process function penetration of thought method can deepen understanding of the concept of function.

Keywords: functions; Function concept; Function thought method

一、背景：

义务教育阶段的数学课程将致力于使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能．函数是中学数学中的核心内容，以函数思想来贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学质量．在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中，函数思想方法具有其它思想方法所不及的指导作用．因此，我们的数学教学应大力加强对函数思想方法的进一步研究，并努力将函数思想方法渗透到一切可能的教学内容中去.

函数在我们生活，生产的方方面面都有体现，或者说，我们的生活离不开函数．函数与每个人都息息相关，如，一个人的身高、体重等都是时间（年龄）的函数；函数与生活密切相关，如：电话费、水电费、出租费等都是时间的函数；物理学中的自由落体运动、生物学中的细胞繁殖速度等也是时间的函数；生产成本的核算、生产工效的提高等都是相应自变量的函数.最大利润的获得等都是相应自变量的函数。就函数思想而言，它是用运动，变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题加以解决。函数思想的建立，可有效的揭示运动变化的规律，反映事物之间的联系。因此加强函数概念的教学和函数思想的渗透，有利于培养学生的创新精神，提高学生应用数学的意识和能力。

然而，在教学实践表明函数概念是学生数学学习中感到最困难的内容之一，尽管在实际教学中采取了适当的渗透，教材也安排了螺旋上升的方法，分段有序的安排函数知识，但学生的函数概念仍比较低，学生对函数概念的理解往往局限于会解题的模糊状态。那么是否存在一条逻辑上更完善，认识上更容易，更简洁的途径，来引导学生形成函数概念呢？这便是本文探讨的现实背景。

二、函数概念学习困难的原因分析：

刘绪文老师认为：函数概念较难理解，是因为学生第一次接触到变量，并且两个变量之间存在一个对应法则。概念的抽象性给概念的理解带来一定的困难【1】，尤小平老师探讨了函数概念学习的三个难点：（1）函数概念从17世纪开始拓展多次，越来越抽象。（2）函数概念叙述语言严谨，深刻。学生较难理解概念的内涵和外延。（3）学生不习惯用集合，对应的观点解释函数关系。【2】

函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一．朱文芳老师依据心理学理论【3】，分别从学生的概念形成水平，不同数学气质类型的影响以及学生思维发展水平等三个方面对函数概念学习的心理进行了分析。分析指出，函数是个较难形成的概念，当学生概念形成水平比较低时，就会出现认识上的困难。学生数学气质类型上的差异在函数概念学习表现的尤为显著。许多数学家和心理学家把数学气质类型一般分为分析型，几何型和调和型三种。几何型学生善于使用形象表示（图象，表格），理解形象化形式的函数关系。且当函数关系或解析式，能给于函数图形的解释时，才能感到它是清楚，可信的，进行纯粹解析表示运算时，感觉困难。相反的，分析型学生虽也能做简单函数的图象，但常把图象置于函数本身之外，不把它看做函数的一部分，在函数解答中，只靠解析法处理信息。不善于依靠已有的图象理解函数，解释于理解的能力差。调和型学生也在实现数与形的有机结合，符号语言和图形语言的灵活转换过程中存在障碍。

此外，李吉宝教授也从函数概念本身和学生思维发展水平【4】两个方面论述了函数概念难学的原因。指出：造成这一结果的主要原因有2个：第一：函数概念本身的原因从数学自身的发展过程看，变量与函数概念的引入，标志着数学由常量数学向变量数学的迈进．函数概念是用“变量说”来定义的，这种定义方式有易于学生接受的一面，也有其不足的一面．例如，“变量”、“对应”这些词汇，并没有给出比较明确的定义，这就造成了学生对函数定义理解的困难．另外，函数概念可以用列表、图像、解析式等方法来表示．每一种表示形式都可以独立地表示函数概念．这又是一个与其它概念不同的地方．由于函数概念需要同时考虑几种表示形式，并且要协调好各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换．故容易造成学习上的困难．第二：学生思维发展水平方面的原因在函数概念的学习中，要求学生能进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言之间的灵活转换．但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的．这就要求学生的思维能在静止与运动之间进行转化．但学生的思维水平还处于很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能用辩证思维的思想来理解函数概念．函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的。

曾丕珠教授对函数学习的认知过程进一步细分，将其分为六个认知层次。（1）认识变量，实现由静到动的转变；（2）认识变量之间的联系；（3）运用函数表达式；（4）理解函数的本质属性；（5）掌握函数形式化描述。（6）逐步深刻理解函数概念，形成整体对象。并指出学生对函数的认识层次往往是线性的，只有把各知识点进行网络式的联接，才会有较完整的理解。【5】

三、函数概念实际教学采取的策略：

怎样才能让学生掌握这一重要概念呢？可按照“早、实、清”3个字进行导学．所谓“早”，是指在初一、初二的教学中，抓住相关内容及早向学生渗透函数的思想方法．我们知道，函数在本质上反映了2个集合中元素之间的一种对应关系．在初一和初二的教学内容中，2个变量之间对应关系的例子是相当多的．我们在教这些内容时，可以很容易地向学生们渗透函数的思想方法，在学生的知识结构中产生朦胧的变化意识．例如，在引入“等式”概念前，课本选了下面这些式子： 1+2=3，a+b=b+a，S=ab，4+x=7．在对这 4个式子进行分析时，为了照顾到后面学习函数的需要，可对式子 S=ab，这样分析：当 S一定时，a与 b的积不变．如 S=12，若 a=3，则 b=4；若 a=6，则 b=2．可见在 S的值不变的前提下，a与b成反比关系；当a一定时，S与b成正比关系；当b一定时，S与a成正比关系．实践证明，以上这些问题学生在当时是完全能接受的．如果我们能注意在学习与函数有关的知识时，经常地向学生渗透“对应”的观点，那么到初三学习函数概念时，就不会感到生疏和突然，他们就能顺利地接受函数概念，并把函数知识尽快地内化到自己已有的认知结构中去．所谓“实”，是指由实例引入函数概念．由实例引入概念，反映了概念的物质性和现实性，符合学生的认识规律，给学生留下的印象比较深刻和长久．这样教学，学生能够认识到函数概念是从客观现实中抽象出来的，有利于学生更好地理解函数概念．在学习函数概念时，可用概念形成的方式，按以下的步骤进行：

第一，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间关系的表达方式，概括出它们的共同属性：（1）匀速运动中的路程和时间的关系；（2）圆的面积和半径之间的关系；（3）n边形的“内角和”与边数间的对应关系；（4）用表格给出某水库的储水量Q与水深h之间的对应关系；（5）某一天的气温随时间变化的规律图．

第二，引导学生对以上实例进行分析、比较、从诸多的属性中找出它们的共同属性：（1）都有2个变量（变量A和变量B）；（2）变量A可在某一范围内任意取值；（3）对于该范围内变量A的每一个确定的值，变量B都有唯一确定的值与之对应．

第三，在得出这些变化过程中的基本属性之后，可以及时地给出函数定义．所谓“清”，是指一定要向学生讲清函数定义的“语言框架”．有人形象地把整个数学知识比作一张“渔网”，把构成它的各部分知识比作一个个的“网结”，那么函数定义就是一个非常重要的“网结”．函数是我们在初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念．揭示它的本质（对应关系）的叙述方式与先前所学的诸多数学概念的叙述方式是不一样的，让学生有一种“咬嘴”的感觉，所以，我们一定要向学生讲清函数定义的语言叙述特点，讲清楚“.2个变量，一个变量.任意取值，另一个变量.唯一确定的值与之对应”的意义．

第四，为了加深学生对函数概念的理解，进一步明确概念的内涵与外延，可让学生做一些辨别练习，以使学生在“积极避免概念混淆中突出概念的形象”，使函数概念的形象更加清晰明确．

第五，通过例题、练习等形式，对函数概念形成一个完整的认识．至此，函数概念已在学生已有的概念系统中占有一席之地，已经完成了概念的形成过程．在宏观上把握渗透函数思想方法的3个基本途径函数思想的建立和发展，沟通了常量数学与变量数学之间的关系．抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解．我们生活的空间中的各种事物都处在相互联系、相互制约的动态平衡中，这是客观存在的普遍规律．在数学教学中，应从日常生活、生产实际中选取学生熟悉的、能够接受的实际问题用函数的思想解决．帮助学生树立运用函数思想方法思考问题的意识，并学会建立适当的函数模型解决问题，以深化对函数概念的理解．前面已讲到函数的表现形式主要有：列表、图像、解析式．据此，我认为，函数思想方法的渗透主要有以下3个基本途径：与其它数学思想方法有机结合函数思想方法与方程思想方法、变换思想方法、优化思想方法等有着密切的联系．所以，在教学中加强并揭示这种联系，理应是我们渗透函数思想方法的一种极好的途径．例 1 已知二次函数 y=2x2，今将其图像先向右平移 2个单位，再向下平移 2个单位，试求最后所得的二次函数式子．解：将 y=2x2向右平移2个单位得 y=2(x2)2,向下移2个单位，最后得 y=2(x2)22．这个例题就是把函数思想方法与变换思想方法相结合的例子．例2求抛物线 y=x2x6与x轴2交点之间的距离．解：令 y=0得x2x6=0，此方程 2根为x1=2，x2=3，抛物线 y=x2x6与 x轴 2交点为 A(2, 0)，B(3, 0)．A、B之间的距离为5．显然，此例题将函数思想方法与方程思想方法有机地结合在一起，从而快速地解决了所求问题．与其它数学知识相结合函数与初中其它各个知识点有着密不可分的联系，挖掘并应用这种联系，综合运用多种数学知识与方法解决问题，可以培养学生的创造和探索能力．因此，在有关函数知识的教学中，我们要给学生营造一种自由发挥的天地，尽可能多地让学生考虑综合运用各方面的知识，这样可以加深学生们对有关知识的理解和灵活运用的程度．现行课本在引入一元二次方程时所用的实例是：剪一块面积为 150 cm2的长方形铁片，使它的长比宽多 5 cm，这块铁片应该怎样剪？这个问题我们用一个反比例函数 y=150/x和一个一次函数 y=x+5的图像即可解决．用函数来解决这个问题的最大优势在于从图像中可以直观地看到当面积一定时，该长方形的长和宽的变化规律（图形略）．与生活实际密切联系我们生活的空间中的各种事物都处在相互联系、相互制约的动态平衡中，这是客观存在的普遍规律．在数学教学中，从日常生活、生产实际中选取学生熟悉的、能够接受的实际问题是渗透函数思想方法的重要途径．近几年的各地中考题经常出现类似下面的题目：例3 一个由父亲、母亲、叔叔和x个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的 3/4优惠．这2家旅行社的原价均为 100元．试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠？解：甲旅行社的收费总额为：y1=400+50(x1)=50x+350；乙旅行社的收费总额为：y2=75(x+3)=75x+225．画出函数 y1，y2的图像（略）．由图像断可知：当孩子数 x5时，甲旅行社收费优惠．综上所述，函数思想方法是中学数学的主导思想之一．在数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展过程中，应尽力向学生渗透函数思想方法，充分发挥函数思想方法的指导作用，这对于形成学生良好的思维品质大有益处．这也是进一步落实素质教育，培养学生们的创新能力所必需的．因此，我们广大的数学教育工作者应给予足够的重视．

参考文献：

1刘绪文 中学数学概念教学探讨[J]潍坊教育学院报 1994 2：47

2尤小平 函数概念教学的思考与实践[J] 中学数学月刊 2000 7 13

3朱文芳．函数概念学习的心理分析[J]．数学教育学报，1999，8（4）：23．

第8篇：函数概念范文

关键词：函数教学 教学衔接 初高中

函数是高中数学一个非常重要的知识，它贯穿整个高中，是高中数学的一个核心知识。其实，在初中学生就已经接触到了函数，比如一次、二次、正反比例函数在初中就已经学习了，在高中又学习了三角函数，幂函数，指数函数和对数函数等初等函数。函数是学生学习的一个重点，也是一个难点。下面作者就如何开展初高中函数概念教学谈谈自己的看法。

1初、高中函数概念的区别

初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念定义不全。如函数的定义，对数函数的定义就是如此。死记硬背对数运算性质，不容易记而且容易记错，只有对对数概念深刻理解，在此基础上多加练习才能准确掌握对数运算性质。函数在中学数学学习中占据核心与主线的重要地位，也是学习高等数学的基础。在函数教学中初中学习只对函数的基本概念作了一些了解，但高中时对于基本函数的图像和性质、反函数、判断、证明、应用函数的三大特征（单调性、奇偶性、周期性），都有很大要求。

初中函数概念是以运动观点来描述的，它直观、感性，贴近生活，学生易于理解、接受；高中函数概念是以集合观点来描述的，它抽象、理性，不贴近生活，学生不易理解、接受。但两个概念的实质是一样的，如何实施两个概念之间的自然过渡是学好函数概念的关键。例如，初中是这样定义函数的：“设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于的x每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。”在这个定义中只提及数值之间的关系是一种对应关系，并没有说明是一个什么样的对应关系。其次是对x的取值没有说清楚，按照这个定义是无法解释y=1（x∈R）这样一个函数的。

2函数概念教学如何有效进行

2.1适当进行铺垫，注重函数概念教学的初次衔接

高中教师要熟悉初中数学教材和课程标准对初中的数学概念和知识的要求做到心中有数，把高中教材研究的问题与初中教材研究的问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比，明确新旧知识之间的联系与差异，高中数学新授课就可以从复习初中内容的基础上引入新内容。高一数学的每一节内容都是在初中基础发展而来的，故在引入新知识、新概念时，注意旧知识的复习，用学生已熟悉的知识进行铺垫和引入。寻找数学内容的衔接点，规划教学，教师应认真学习和比较初、高中数学课程标准及教材，全面了解初、高中数学知识体系，找出知识的衔接点、区别点和需要铺路搭桥的断裂点，以使备课、讲课更加符合学生实际，避免让学生重复学习初中已讲授过、或者缺乏相关学习经验过分困难的知识。

2.2关注学生的心理变化，培养学生良好的学习习惯

高一新生的平均年龄处在16至18岁的青春期，同时，心理上也发生着微妙的变化，尤其是刚经历完中考的洗礼，无论是成功还是失败都已告一段落。有的为能考上理想的高中而兴奋不已，终于可以松口气了，有的因为考得不理想而沮丧，有种一切从头开始的愿望。然而，面对全新的一切又有种不知所措的感觉。特别是初、高中教学内容和教师的教学方法的不衔接，导致一些学生丧失了信心，现实与理想差距甚大，因而心理上容易出现各种问题。作为任课教师应及时发现和处理学生出现的不良心理状况。

另外，良好的学习习惯是学好高中数学的关键。许多高一新生认为只要课上认真听课，课下多做练习就足够了。因而他们缺乏以下几个方面良好的学习习惯。第一，阅读和理解的习惯。缺乏这种习惯的学生往往对课本内容比较陌生，对基础知识的理解不深刻。第二，练习和反思的习惯。有些学生不爱做练习更谈不上反思了，还有些学生练习做了很多，但缺少反思的习惯。第三，归纳和总结的习惯。很多学生忙于题海战术，不注重类型题的归纳和总结，学习效率低。

2.3对教法的建议

（1）丰富函数概念的形成过程，适当介绍函数发展历史

在我国中学的函数概念教学，在初中采用“变量说”，在高中采用“对应说”，这种安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序，也符合人们对于函数概念认识过程上的发展性、阶段性，这恰好体现了社会个体对函数的认知与人类认识函数的历史是一致的。但即便如此，学生形成和理解函数概念的水平仍旧很低。函数概念形成的曲折数学史和初中、高中、大学的数学教育相匹配，绝非是偶然的，而是数学教育与函数不断深化的必然规律。传统数学教材强调完美的逻辑，严密的推理，注重数学知识的传授，数学技能的训练，缺乏生气，学生淹没在成堆的定理、公式、法则中，使许多学生感到数学索然无味，难以引起学生的数学兴趣和学习的主动性。

（2）重视函数符号的教学和抽象逻辑思维能力的培养

函数符号的特征凝结了数学符号的特有特征：抽象性、概括性。函数符号的使用和理解，根本之处是要把握它表示的对象的内涵实质，而不是它的外在表现形式。学生对函数符号的理解是伴随这对函数概念理解的整个过程中的，而学生对函数符号语言的掌握情况是判断学生对函数概念掌握情况的有效信号。由于数学符号的抽象性，因此学生是往往会望而却步，畏惧三分，从而影响了学生学习数学的积极性。

总之，在众多研究函数教学的说明上我们认识到在函数部分教学时，应注重打好基础，对概念定义等抽象的理念要多向学生讲授，可以利用配合习题解答或证明等方式来让学生理解。不要堆积太多习题给学生，要让他们充分吸收函数知识而不是死记硬背。函数学习中要注意经典例题的讲解，通过经典例题，带动学生举一反三，摸清摸透知识点。而且通过例题的讲解，学生也比较好理解函数抽象的概念。最后就是要培养学生的自主学习能力和理解能力，每天布置适量习题，帮助巩固知识点和加深理解。通过上述论点，我认为加强学法指导，培养良好的学习习惯，多关注学生，多与学生交流，多鼓励表扬学生，以提高学生学习的自信心。教学时间上，向初中教学延伸，对初中数学知识进行适时适当的复习，这样有助于函数概念教学。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

第9篇：函数概念范文

关键词：函数概念；情境；建构；交流协作；反思

建构主义理论是认知主义的进一步发展，是对传统学习理论的继承与抛弃。数学教学的目标不仅在于帮助学生“学会”，更重要的是促进学生“会学”。教师所教的数学知识必须通过学生主体感知、消化、改造，建立适合他们自己的数学结构，才能被理解、掌握，并且经过反思和与环境的交流，进一步改善学生的数学结构。

数学知识中最普遍的形式是概念，概念是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式和法则的出发点，是建立理论联系实际的着眼点，概念学习是数学学习的核心。函数是中学数学的基本概念，也是一个重要概念。这里笔者对建构主义观下的函数概念教学作了一点探索与思考。

一、创设情境，激发兴趣

在建构主义学习环境下，教学设计不仅要考虑教学目标分析，还要考虑有利于学习建构的情境创设问题，并把情境创设看成是教学设计的最主要内容之一。在教学中，教师根据教学目标和学生认知结构的“最近发展区”设计出生动的教学情境。

学习情境通常由一系列由浅入深、由表及里的问题或活动内容组成，目的是引起学生探索动机和发现的欲望并引导其思维逐渐深入。通过情境的创设，可以调动学生学习的积极性和求知欲，在问题解决过程中，引导学生体验数学研究的真正过程，让学生感受到数学的研究其实很平常，树立学生有能力用数学理解身边事物的自信，加深对函数概念的理解。

二、创造条件，让学生自主活动构建函数概念

学生对函数概念的学习，经历由不知到知、到理解、记忆、运用，最后内化为学生自己认知结构，这需要一定的心理活动过程。学生在初中曾学过正、反比例函数，一次函数，二次函数，多半是概念化、形式化的，更多的是一种感性思维，并没有涉及对函数概念本质的理解，模仿成分居多。幂函数是学生较系统地学习的第一个函数，通过这一节的学习，除了应使学生对幂函数的有关概念，图像和性质等纯知识建立起相应的认知结构，还要在知识学习的同时，培养学生对函数的研究方法。对于刚刚进入高中的学生来讲，以往的教学模式和知识基础很难使学生与教师产生共鸣。于是可采用以下措施：讲解概念后，引导学生自己动手画出几个幂函数图象，并逐一讨论性质，在画函数图象的过程中引导学生观察、归纳、发现、整理幂函数的性质，获得对幂函数的意义建构。

三、通过交流协作，促进学生建构的发展

建构主义认为：学生和成人（教师）对于同一数学概念的理解有很大的差别，但是交流起到十分重要的作用，人们通过交流和协作得到相互启发，从而不断完善自己的认知结构。学生对函数概念的理解应该有一个从特殊到一般，从具体到抽象，从片面到全面，从形式到本质，从粗糙到精确的过程，这个过程反映出学习认识上的阶段性，也显示出通过数学交流提高认识的重要性。有学生认为：“函数就是一个解析式”“函数就是一个方程”“能写出解析表达式的才是函数，不能写出表达式的就不是函数”，把分段表示的一个函数认作“几个函数”，把用不同形式的解析式表示的同一函数认为是不同的函数等等，出现这种错误的原因在于学生只抓住表示函数的解析法这一形式，而丢掉了对应这一本质，这些问题需要老师的讲解，也更需要加强学生之间的讨论、协作、交流，在小组、在班级讨论澄清认识。

四、在应用和反思的过程中优化学生的认知结构

反思就是在学习的过程中学生以自己的学习活动为思考对象来对自己所作出的行为、决策，以及由此产生的结果进行审视或分析的过程，反思能力是建构主义的核心，学生可以通过概念学习过程的反思，更好地根据自己的需要和不断变化的情况修改和提炼自己的策略，向着更深层的思维发展。现在中学课本里的函数概念是在初中和高中分两次讲授的，两个定义都抓住了函数的本质对应（映射），但都有其局限性，在高一学过函数概念之后应鼓励学生反思，对两个概念进行比较和分析，前者突出了“变量”，对函数概念划得自然，形象直观，通俗易懂。后者突出了“映射”，比较接近于函数的近代定义，但是强调“A、B是数的集合”显得过于狭隘，使有些问题难于解释.要达到对函数关系本质属性的这种认识水平，不是在短时间内可能达到的，必然要经过一个长期的、多次的反思。

在这样数学学习中，学生通过一定的情境，通过与学习伙伴的交流，经过自己的反思，建立起来的函数的概念及其有关性质是牢固的，真正体验到函数是如何被用来探索和解决实际问题的，而不是一种抽象的枯燥无味的“空中楼阁”。当然这个过程相对于向学生直接给出函数的定义，再让学生通过练习而熟悉有关操作的教学要漫长得多，但是在这样的环境中学习，学生会学得更多、更好些。在这样的教学中，教师的创造性得到了充分的发挥，主体作用得到了充分的体现，数学知识的发生发展的过程性得到了更加充分的展现，学生的自主活动也开展得更加充分。

参考文献：

[1]G波利亚.数学的发现[M].刘景麟，译.内蒙古人民出版社，1981.

[2]高文.建构主义学习的特征[M].外国教育资料，1999-01.

[3]张奠宙.李士锜.李俊，数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003-04-01.