弹性函数的经济学意义精选(九篇)

第1篇：弹性函数的经济学意义范文

一、导数在边际分析中的应用

边际分析研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率，它所分析的是一个经济变量改变一个单位时另一个经济变量改变多少。在经济分析中，描述一个经济变量y对于另一个经济变量x的变化通常要用到平均变化率和瞬时变化率这两个概念，平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，而瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限。如果函数y=f(x)在x0处可导，则在(x0，x0+Δx)内的平均变化率为ΔyΔx；在x=x0处的瞬时变化率为limΔx0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0)，此式表示y关于x在“边际上”x0处的变化率。经济学中称达到x=x0前或后一个单位时y的变化为边际变化。实际上，“边际”就是导数在经济分析中的代名词。即经济函数y=f(x)对自变量x的一阶导数f′(x)称为f(x)的边际函数，记作My。边际函数My=f′(x)的经济意义：在自变量x水平上，当自变量改变一个单位时经济函数y=f(x)改变量的近似值。当然，随着经济变量x和y的具体含义的不同，边际函数经济意义的具体含义也有所不同。比如:设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为C=C(q)，则称MC=C′(q)为边际成本。边际成本的经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′(q)。

在经济分析中涉及的不仅有边际成本，还有边际收益、边际利润、边际需求，等等，它们在数学上都可以表达为各自总函数的导数。

例如:某企业对利润及产品的产量情况进行大量统计分析后，得出总利润L=L(x)（元）与每月产量x（吨）的关系为：L(x)=250x-5x2，试确定每月生产10吨，25吨，30吨的边际利润，并作出经济解释。

显然，边际利润L′(x)=250-10x，则L′（10）=150，L′（25）=0，L′（30）=-50，上述结果表明:当每月产量为10吨时再增加一吨，利润将增加150元；当每月产量为25吨时再增加一吨，利润不变；当每月产量为30吨时再增加一吨，利润将减少50元。这说明：对于一个企业来说，并非生产的产品数量越多，利润就越高。

因此，在经济工作中，边际分析尤为重要，对边际问题的正确分析，对于企业的决策者作出正确的决策起着十分重要的作用。

二、导数在弹性分析中的应用

边际分析所研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率。在经济活动中，我们还需要研究经济函数的相对改变量与相对变化率——弹性分析。

在经济工作中，弹性分析所研究的是经济函数的相对改变量与相对变化率，它所分析的是一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。它所反映的是一个经济变量对另一个相关经济变量变化的敏感程度。在经济分析中，弹性分析的应用也非常广泛，许多现实生活中的经济现象都要用弹性来解释和分析。通常有“弧弹性”和“点弹性”——弹性系数。

设函数y=f(x)可导，则称ΔyyΔxx，即因变量变动的百分比与自变量变动的百分比之比为“弧弹性”。而称EyEx=limΔx0ΔyyΔxx=y′y?x为“点弹性”，即“点x处的弹性”。“点x处的弹性”的经济意义：在点x处，当自变量改变1%时，函数f(x)近似地改变EyEx%。它反映的是：自变量变化时函数变化的灵敏度。

在经济分析中通常有：需求价格弹性、供给弹性、收益弹性，等等。需求价格弹性，简称需求弹性，把握好需求价格弹性，对市场分析预测和定价策略具有重要的参考价值。

若需求函数：Q=Q(p)，则需求弹性：EQEp=Q′Q?p。

①若EQEp＞1，则该商品的需求为高弹性或富有弹性。此时，商品需求量的变化幅度大于价格的变化幅度。此时，适当降价，商品的需求量将有较大幅度的增加，从而总收入就会增加。

②若EQEp=1，则该商品的需求为单位弹性。此时，商品需求量的变化幅度等于价格的变化幅度。此时，无论降价还是涨价，对总收入基本没有影响。

③若EQEp＜1，则该商品的需求为低弹性或缺乏弹性。此时，商品需求量的变化幅度小于价格的变化幅度。此时，降价将使总收入减少。反之，适当涨价，需求量虽然减少，但减少的幅度小于涨价的幅度，总收入将会增加。

第2篇：弹性函数的经济学意义范文

关键词：C-D生产函数；面板模型；技术参数；产出弹性

一、文献综述

Cobb和Douglas（1928）在对生产理论的研究中提出了Cobb-Douglas生产函数（简记为C-D生产函数）。Douglas（1976） 对C-D生产函数进行了再研究，分析了C-D的历史、检验以及一些新的经验价值。在国外学者研究基础上，国内也有很多学者对C-D生产函数进行了研究。穆东（1995）提出了一种更符合生产函数定义的C-D生产函数的DEA估计方法。崔永伟等（2012）总结了生产函数形式选择的理论与实证标准。从上述分析中，可知C-D生产函数有很强的理论价值和实际价值。对其进行深入的理论研究和应用，对于生产理论的发展以及用其更好的解决现实问题具有重大的意义。在这些研究者所研究的基础上，本文研究的目标是实现C-D生产函数与面板数据的完美融合。

二、理论模型

三、样本数据说明

本文选择中部地区的十个省份作为截面个体。这十个省份分别是：山西省、内蒙古自治区、吉林省、黑龙江省、安徽省、江西省、河南省、湖北省、湖南省和海南省。从《新中国六十年统计年鉴》可搜集到1988年-2007年我国中部地区十个省份以现价表示的GDP、GDP指数、总就业人员数。根据GDP和GDP指数可以构造出GDP平减指数；然后用现价表示的GDP除以GDP平减指数可以得到以1988年价格表示的实际GDP（经济总体产出Y）。用总就业人员数来表示经济总体中的劳动投入L。孙辉等（2010）对我国各省资本存量进行了估计，可得我国1988年-2007年中部十省经济总体的资本存量K。因而获得了中部十省的实际产出Y、资本存量K，和劳动投入L的数据。

四、经济总体面板模型计量分析

依据第二部分对柯布道格拉斯生产函数的扩展分析，对我国中部十个省经济总体构建了如等式（2）所示的经济总体面板模型。

由上表可知，大多数常数项系数估计值的P值大于0.05，因而技术因素对产出的影响并不是显著的。从资本产出弹性的估计来看，在8%的显著性水平下，1997年-2000年的系数估计值不显著，其他的均为显著。从经济意义来说，资本产出弹性估计值的范围为0.384～0.627，是符合柯布-道格拉斯生产函数理论的。从劳动产出弹性的估计来看，所有参数估计值在4%的显著性水平下都是显著的。从经济意义来说，劳动产出弹性的估计范围为0.405～0.533，是符合柯布-道格拉斯生产函数理论的。另外，判定系数为0.96，调整判定系数为0.95，F统计量的P值为0.00，说明模型的整体估计效果是比较理想的。

五、结论

本文在已有研究的基础上，将C-D生产函数与面板数据进行了较为完美的结合。考虑了C-D生产函数在不同时期可能存在的技术参数、资本劳动弹性和产出弹性的不同，对C-D生产函数进行了扩展分析。在此基础上研究了我国中部十省经济总体的生产问题。经济总体面板模型估计在统计上是比较令人满意的。资本产出弹性估计值的范围为0.384～0.627，劳动产出弹性的估计范围为0.405～0.533，是符合柯布-道格拉斯生产函数理论的。

参考文献：

[1]Cobb C W， Douglas P H.A theory of production[J].American Economic Review，1928，18：39-65.

[2]Paul H. Douglas. The Cobb-Douglas Production Function Once Again [J].Journal of Political Economy， 1976， 84（5）：903-916.

[3]穆东.阶段C―D前沿生产函数的DEA估计[J].系统工程，1995，05：48-51.

[4]崔永伟，杜聪慧.生产函数理论与函数形式的选择研究[J].中国管理科学，2012，S1：67-73

[5]孙辉，支大林，李宏瑾.对中国各省资本存量的估计及典型性事实：1978～2008[J].广东金融学院学报，2010，03：103-116+129.

[6]威廉.H.格林.计量经济分析[M].张成思译.北京：中国人民大学出版社，2011： 175-238.

第3篇：弹性函数的经济学意义范文

经济学是研究稀缺资源优化配置及其社会经济关系的一门科学，经济数学是一种严密、精确、实用的思维工具，是一门用数学方法来研究经济问题，以解决稀缺资源如何优化配置的科学。基于资源存量与流量的可度量性，为了使资源配置更加合理、公平，效率更高，经济必须借助于数学。经济活动的实践证明，经济的发展离不开数量，并且在经济发展中运用数学的程度与数学本身的发展密切相关。尽管数学的概念和结论极为抽象，但是它们都是从生产实践来的，并且能在其他学科中、在社会生活实践中得以广泛应用。正如恩格斯所说，应用数学来发展现实世界的这种可能性根源在于：数学从这个世界本身提取出来，并且仅仅表现这个世界所固有的关系的形成部分，因此能够一般地加以应用。

由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等已引入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等分支，这些新分支统称为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来指导客观经济实践；在经济应用数学中，“成本函数”、“收益函数”、“需求函数”和“供应函数”等，得到广泛的应用，把“二次函数”和“分式函数”扩展为“多项式函数”和“有理函数”，并用它们构造了总成本函数、收益函数、利润函数、库存总量函数、边际函数等。所有这些函数思想在大学的应用数学得到了进一步的发展和利用，并且与现代企业经济管理相结合，集中体现了经济数学思想在经济管理中的应用。以下论述中我们针对企业管理的特点，重点阐述企业管理中的若干经济数学思想，以求对企业管理实务工作者有所裨益。

二、企业管理中的若干经济数学思想

在企业管理中，成本利润、收入需求、价格等经济量是决策中必需考虑的因素。为了达到利润最大、成本最小、价格最合理，就要把握最佳产量、最佳销售量，最佳销售价格，这常用到求函数的最大、最小值问题，即经济学中的最优化问题，其实质就是求得能够使目标函数达到极值时的选择变量的代数值。

1、成本与利润函数

企业成本分为两类，第一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随商品产量的变化而变化，称为固定成本(厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等)；第二类成本的特点是随商品产量的变化而变化，称为变动成本(通常有能源费用、原材料费用、劳动者的工资等等)。固定成本与变动成本之和为总成本，即TC(q)=FC(q)+VC(q)，其中q为企业的产品产量，这就是企业的成本函数。利润就是生产者收入扣除成本后的剩余部分，即收益与成本之差，L(q)=R(q)-C(q),这就是企业的利润函数。

生产者提供商品的首要目的就是获取利润，决定生产规模也是获得最大的利润。对于生产者来说，成本总是随着产量的增加而增加的，因而生产决策者不能只盲目地追求产量，还需要根据利润的变化情况确定适当的产量指标。利润函数L(q)=R(q)-C(q)=0时，此时生产者既不赢利也不亏损，即收支相抵，我们将满足收支相抵的点称为盈亏平衡点(又称为保本点)。盈亏分析常用于企业经营管理中各种定价或生产决策。

2、边际分析

在经济研究中，若以原函数代表成本、收入、利润等，通常称之为总函数，如总成本函数，总收入函数，总利润函数等，而对应的导数就称之为总函数的边际函数。边际是对经济与企业经营管理进行数量分析的一个重要概念：边际成本在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。边际成本在一定产量水平以下，随着产量的增加而降低，在一定产量以上，会随着产量的增加而提高，此时，成本会随产量的增加越来越高，这是由于在生产能力得到充分利用后，要再增加生产需投资新的设备或增加工人工作时间等造成成本的增高。因而在生产管理中，边际成本的分析是一个不容忽视的问题。

3、需求弹性分析

在经济学中，把某变量对另一变量变化的反应程度称为弹性。需求函数弹性就是物品的需求量对价格变化的反应程度。需求弹性Ep为需求变化百分比与价格变化百分比的比值。需求弹性有其实际的经济含义是表示当某种商品的价格下降(或上升)百分之一时，其需求量将增加(或减少)的百分比。经济学中，当Ep<-1时，称需求量富有弹性，也就是价格的变化将会引起需求的较大变化，这时需求量对价格的依赖是很大的，换句话说，适当涨价会使需求较大幅度上升从而增加收入；当-1<Ep<0时，称需求量是缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较小，在适当涨价后，不会使需求量有太大的下降，从而可以增加收入；当Ep=-1时，称需求为单位弹性，这是需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。

在企业管理运用弹性进行经济分析时，应该考虑以下几点：（1）考虑影响需求价格弹性的因素。影响需求价格弹性的因素主要有：商品的性质，如生活必需品的价格弹性小，奢侈品、可有可无的商品需求价格弹性较大；商品的替代性强弱，可替代的物品越多，性质越接近，弹性就越大；商品的消费支出在总支出中所占的比例，如果一种商品其消费支出占家庭消费总支出的越小，则其需求价格弹性越小；商品用途的广泛性，用途越广泛，需求价格弹性就可能越大；时间因素，同样的商品，从长期看，其弹性越大，从短期看，其弹性小。（2）考察价格与需求价格弹性的关系。在产品富有弹性的情况下，提高价格反而使销售收入减少，降价却能增加销售收入。但随着价格的下调，需求价格弹性也随之降低，因此降价促销是有限度的。近几年的彩电大战、VCD大战实际上是降价大战，其结果是不利于企业的生存、发展。因此，弹性理论为我们提供了具体而有效的实战依据。（3）考察需求交叉弹性。交叉弹性Exy是指一种产品的需求量对另一种相关产品价格变化的敏感程度。当企业的产品有互补关系时，就其中一种产品，定价较低可能会减少这部分产品的收益，若其互补品的销量迅速增加，导致企业总的利润增加，则此降价方案可行。Exy越大，说明竞争越激烈。因此，企业决策人员应了解掌握本企业产品的需求交叉弹性，除了采用灵活的价格策略外，更应把功夫放在开发产品、改进市场、降低成本等方面上，以保证企业的持续发展。

4、最优化问题

在经济管理中，常常要寻求经济函数在一定范围内的最大、最小值，这就是最优化问题。利润最大化是企业决策的最终目的，选择利润最大的产出水平是经济数学在经济管理中最显著的应用。设利润函数为L(q)=R(q)-C(q)(q≧0)，为求出使利润最大的产出水平，首先必须满足必要条件，即利润函数的—阶导数等于0，此时，边际收益等于边际成本；其次，还必须满足充分条件，即当利润函数的—阶导数等于0时，二阶导数小于0。满足这样的充分必要条件的产出水平将使利润最大。最优化问题在企业生产经营决策中也经常碰到。

三、运用数学分析方法进行企业经济管理决策时需要注意的几个问题

1、正确处理经济学与数学的关系

经济学和数学在研究对象和科学性质上是完全不同的两门科学，二者的发展规律和趋势是迥然不同的。二者在发展过程中可以互相影响、互相作用、互相渗透和互相利用。数学作为一种语言和方法，实现了经济理论的模型化，使之对具有高度复杂性的经济系统能够得以在严格的假定条件下进行有效的研究，并利用现代信息手段进行加工处理，从中得出一般性的结论，直接为经济实践过程提供科学的理论依据。同时，数学方法的运用，大大拓展了经济理论的研究领域，提高了经济理论的实用价值，从而推动了经济理论的发展。

然而，经济学不能变成为一系列抽象假定复杂公式的堆积，因为经济活动的规律纯粹用数学公式是推导不出来的，而且，经济发展规律和经济实践过程相当复杂和多变，同时还可能会遇到诸多不确定因素的干扰和影响。如果能够科学、恰当地运用数学语言和方法，把经济学和数学有机地结合起来，就能够极大地推动经济理论研究和经济实践工作的发展。相反，如果不顾主客观条件的允许，盲目地生搬硬套各种公式和模型，把错综复杂、或明或暗的经济现象设计成一堆庞大且难以处理的数学符号，可能导致经济学成为一种完全虚构的假说。这样，无论对经济理论研究，还是经济实践过程，都将产生严重的误导作用。

2、正确处理好经济分析中定性与定量分析的关系

经济学是一门定性分析与定量分析相融合的严密科学。经济理论在研究过程中，必须处理好定性分析和定量分析的辩证关系。质是事物在性质上区别于其他事物的内在规定性。量是事物所固有的、客观存在的。任何量总是具有一定质的量，量以质为基础，而量的变化达到一定的程度，就会引起质的变化。经济理论研究如果仅仅局限在定性分析上，势必导致经济理论的抽象化、空洞化和理想化，使其缺乏足够的说服力和解释力；如果只片面强调数学语言和方法的运用，而没有把经济理论作为依存的基础和条件，这种分析则缺乏科学性和可信度，也会导致经济理论的简单化、模型化和僵硬化。因此，数量关系所反映出来的社会经济现象的本质联系，必须以经济理论所论证的社会经济发展规律作为基础。在企业经营决策中，我们也应该处理好决策中质与量的关系。

第4篇：弹性函数的经济学意义范文

【关键词】导数；单调性；凹凸性；拐点

导数是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代科学技术研究必不可少的工具。导数反映了函数随自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，它使人们能够用数学工具描述事物变化的快慢及解决与之相关的问题。

一、利用导数求切线方程

导数的几何意义是，曲线 在点 处的切线斜率，即

例1

求曲线 在点（1，2）处的切线斜率，并写出该点处的切线方程与法线方程。

解：所求的切线斜率为 。由于 ，于是 。

所求的切线方程为 ，即

所求法线方程的斜率为

所求的法线方程为 ，即

二、利用导数分析函数的单调性

函数单调性的判定法：设函数 在区间 上连续，在 内可导。

（1）如果在 内 ＞0，那么函数 在 上单调增加；

（2）如果在 内 ＜0，那么函数 在 上单调减少

例2讨论函数 的单调性

解：（1）函数的定义域为

（2）

（3）令 得 ，这两点把定义域区间分为 ， ， ， 四部分。

由此可知，在区间 和 内函数 单调增加，在区间 和 内单调减少。

注：导数等于零的点和导数不存在的点可能是函数单调区间的分界点

求函数的单调性的一般步骤为：

（1）确定函数的定义域

（2）求出使函数 或 不存在的点，并以这些点为分界点，将函数定义域分为若干子区间。

（3）确定 在各个子区间的符号，进而确定 的单调区间。

三、利用导数的性质证明不等式

例3 证明：当 ＞0时， ＞

证明：设 ，则

当 ＞0时， ＞0，所以 为单调增加，又因为 ，故当 ＞0时， ＞ ，即 ＞0

因此＞

注：当不等式不能做差或作商是可以用导数的性质来解决。

四、利用导数求函数的极限

在求函数 极限时常会遇到两个函数 ， 都是无穷小或都是无穷大的情况，即“ ”，“ ”型的极限，这类极限不能直接用四则运算法则求极限，那么可以用洛必达法则来求其极限。

洛必达法则：若函数 ， 满足

（1） ，

（2）在点 的某个去心邻域内 ， 存在，且 ≠0

（3） 存在或无穷大

则极限 存在（或为无穷大），且 =

注：当 换为 时，定理仍然成立

例4 求

解：这是 型未定式

= =

例5求

解：这是 型未定式

= = =0

五、利用导数求函数的极值

极值判定法：设函数 在点 处连续，且在点 的某个邻域内可导（点 除外），若在该邻域内

（1）当 ＜ 时，有 ＞0；当 ＞ 时，有 ＜0，则函数 在点 处有极大值 ， 为 的极大值点；

（2）当 ＜ 时，有 ＜0；当 ＞ 时，有 ＞0，则函数 在点 处有极小值 ， 为 的极小值点；

（3）若在点 的左右两侧近旁， 的符号相同，则函数 在点 处没有极值。

例6求函数 的极值点与极值

解：（1）函数 的定义域为

（2） ，令 ，得 ，

， 将函数 的定义域 分为3个子区间，在每个子区间内讨论 的符号。

（3）列表讨论如下

（4）由表可见， 为函数的极大点， 为函数的极大值； 为函数的极小点， 为函数的极小值。

由此题可知求函数 极值点和极值的一般步骤：

（1）确定函数 的定义域

（2）求出导数 ，并求出函数 的全部驻点和不可导的点

（3）列表讨论 在上述各点近旁的符号

（4）判定函数 的极值点，并求出函数的极值

六、利用导数求函数的最值

设 在 内的驻点为 ， ，…， ，则比较 ， ，…， ， 的大小，其中最大的便是 在 上的最大值，最小的便是 在 上的最小值。

例7求函数 在 上的最大值与最小值

解：

解方程 ，得到 ， ，由于

比较可得 在 取得它在 上的最大值 ，在 取得它在 上的最小值

七、利用导数研究函数的凹凸性与拐点

定理：设函数 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在 内 ＞0，则 在 上的图形是凹的；

（2）若在 内 ＜0，则 在 上的图形是凸的.

例8求曲线 的拐点坐标及凹凸区间.

解：（1）函数 的定义域为

（2） ，

令 ，即 ，解得 ， .

从而 ， 把定义域区间分为3个区间： ， ，

（3）列表讨论曲线的凹凸性和拐点

由上表可知，曲线在区间 ， 内是凹的，在区间 内是凸的。曲线的拐点坐标为 ，

求曲线 凹凸区间及拐点坐标的一般步骤为：

（1）确定函数 的定义域；

（2）求出函数 的二阶导数 ，解出 =0的全部实根，并求出二阶导数 不存在的点；

（3）判断上述各点两侧 是否异号，如果 在点 的两侧异号，则点（ ， ）是曲线 的拐点；如果 在点 的两侧同号，则点（ ， ）不是曲线 的拐点。

八、导数在经济分析中的应用

（一）边际分析

边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率。经济函数的导数，反映的是这个经济现象的瞬时变化率，可以近似的描述该经济函数的边际。

1、边际成本

设总成本函数为 ，其导数 称作边际成本，记作MC。它表明在生产或购销中，产量或购销量在Q水平上再增加一个单位引起的成本的改变量 。

2、边际收入和边际利润

设某产品的总收入函数为 ,称其导数 为边际收入，记作MR.。

设某产品的总利润函数为 ,称其导数 为边际利润，记作ML.。

例9设某产品的总成本函数和收入函数分别为

，

其中，Q为该产品的销售量。试求

（1）该产品的边际成本、边际收入和边际利润

（2）生产50个单位产品时平均单位成本和边际成本本值

解：（1）边际成本为

边际收入为

利润函数为

则边际利润为

(2) 时的平均单位成本为 ， 是的边际成本为

这表示生产第50个或第51个单位产品时所追加的成本为17.5

（二）、弹性分析

若函数 在点 处可导，则 的值称为函数 在点 处的弹性，记作 。

函数 在点 处的弹性 反映了当自变量 变化1%时，函数 变化的百分数为

若需求函数为 则需求弹性为

若供给函数为 则供给弹性为

例10某商品的需求函数为 ，求 时，需求对价格的弹性。

解：

当 时， ≈－1.7

其经济含义是，当 时，价格每上升1%，需求量则减少1.7%

第5篇：弹性函数的经济学意义范文

错误之二：关于需求价格弹性与需求曲线的斜率的关系的论述是一个错误

在西方经济学中，需求价格弹性理论主要包含了两个方面的关系：一是价格变动与收益的关系；二是需求价格弹性与需求曲线的斜率的关系，而关于这两个关系的表述跟实际相去甚远，完全是一个错误。

在《初级西方经济学>（中央广播电视大学出版社“一村一名大学生”计划教材）中，关于“需求价格弹性”的内容这样描述了需求价格弹性与收益间的关系：

需求价格弹性 Ed=需求量的变动速率/价格的变动速率=一Q/Q/P/P=一Q/P*P/Q

即它是一个变动速率相比的值.这里的P代表起始基础价格，P代表纯变动的价格，Q代表对应的起始需求量，Q代表对应的纯变动的需求量，负号是为了将最终数值变为正值。如某商品价格由5元降为4元，需求量由100件增加为130件，则

Ed=—[（130一100）/100]/[（4一5）/5]=0.3/0.2=1.5

第一.当Ed>l时，表明需求量的变动率快于价格的变动率，即需求量对价格的变化反应强烈，称为需求富有弹性。需求曲线斜率为负，其绝对值小于1.如图三个需求函数三角形，图（a）中价格由P1降为P2，需求量从Q1增加到Q2，这时虽然商品价格降低，但由于需求量增加，销售收入PQ增加，即图中矩形B的面积大于矩形A的面积。

第二.Ed=1，表明需求量的变动率等于价格的变动率，即需求和价格以相同的幅度变动，称为需求单一性。需求曲线的斜率为一1.如图中（b），价格由P1降为P2，需求量由Q1增加到Q2，这里的Q2一Q1要小于图（a）中Q2一Q1。这是由于图（b）中需求曲线D的斜率较大（陡峭）所致。但因价格降低引起的销售收入减少正好由因需求量增加而引起的销售收入增加弥补，即图中矩形A的面积和矩形B的面积大体相等。

第三.Ed

一.真实的价格变化与收益的关系是需求函数中的中线、中位线平衡理论

（一）.宏观中线平衡理论

教材上这种论述，把价格降低引起的销售收入减少与需求量增大收入增加之间互抵后得到的“效益、平衡、亏损”结果的规律，归结为“斜率主导下的需求价格弹性”变化的原因，相当于说这个“斜率主导下的需求价格弹性”小于1的商品价格降低不会引起收入的增加，从而使降价没有意义。这很容易使人产生困惑。但实际上这种论述并不符合实际情况，是完全错误的一个概念。

如果我们在教材给予我们的上述三个价格弹性情况图中的任意一个图上移动那两个矩形的对角点，完全都可以作出“效益、平衡、亏损”的结果，从而教材上的理论。如图，我们作出完全相反于教材论述的两个矩形A、B。

那么，价格变化引起的销售收入变化实际遵循着什么样的规律呢？

首先，我们作出一个任意需求函数三角形AOB，我们不去界定它的斜率，OA代表价格，OB为需求量，AB为需求曲线。

作这个三角形的中位线CD，连结OD，这OD即是AOB的中线。我们在OA上取点E作为基础价格，相对应的需求量是OG，此时E点所得到的收入为矩形OEFG。假设价格从E点落到H点，此时的收入为矩形OHIJ。于是得到价格变化前后的收入的减项矩形KHEF和加项矩形KGJI。此时很容易地看出加项面积大于减项面积。（证明见后）

继续让价格从E点降至M点，这点的坐标横线交于基础需求量OG的坐标竖线与三角形中线的交点P，得到收入减项矩形PMEF和加项矩形PGQN，这两个矩形的对角点正是点P，此时减项和增项的面积是相等的，证明如下：

PF∥OA PN//OB

DF/DA=DP/OD=DN/DB （平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例）

又DA=DB

DF=DN AF=NB

所以PD是FPN的中线。

AF=NB、∠EFA=∠B （同位角相等）

RtAEF≌RtNQB

又SAOD=SDOB SFPD=SDPN（三角形的中线分三角形成两个面积相等的三角形）

SOMP=SOGP （矩形对角线定理）

矩形PMEF的面积=矩形PGQN的面积

结论，当价格降低到坐标横线跟起始需求量坐标竖线的交叉点位于这个需求三角形从原点出发的中线上时，正好使减项效益矩形面积和增项效益矩形面积相等，表明价格变化后的收入等于价格变动前的收入，这点为价格变化效益平衡点。

根据这个原理，当这个交叉点落于这条中线的上面时，从增项效益矩形上端总能截出一个小矩形的面积等于减项效益矩形的面积，说明此时增项矩形的面积大于减项矩形的面积，收入是“效益”的。

证明：见上图

当价格从效益平衡点P回升至H点时，得到增项效益矩形KGJI和减项效益矩形KHEF。我们作图找出RtFKI的中线KS，延长SK相交于OA上的V点，从V点作价格横线相交于需求曲线上的T。于是得到与减项矩形KHEF面积相等的矩形KWZI。显然KGJI>KWZI，产生一块剩余“效益”。

同理，我们可以证明，当这个交叉点落于这条中线的下方时，收入是“亏损”的。

其实这个规律，也可用代数的方法加以证明。（见后）

（二）.微观中位线平衡理论

我们再作进一步分析，这条中线的最高点D是该需求三角形中位线CD的端点，它们在价格变化引起的收益变化规律中又有着怎样的意义呢？

实际上，如果参照的起始价格在中位线以上，则需求三角形的这条中位线横切起始价格（基础价格）点到效益平衡点之间距离的一半。

证明：见上图

已知：P是增项矩形PMEF与减项矩形PGQN的效益平衡点，CD是RtAOB的中位线，OD为中线。

求证：LF=LP

AD=OD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

AOD是等腰三角形

∠A=∠AOD

又GF∥OA

∠GFB=∠A ∠FPD=∠AOD

∠GFB=∠FPD

又LD是RtFLD和RtPLD的共边

RtFLD≌RtPLD

LF=LP

这样，当我们让起始价格以最小精确单位的1/2量对准中位线时，那么这个最小精确单位的末端就正好落在中线上，是价格降低一个最小边际单位时的效益平衡点。假若我们想象让价格的边际变化无限地小下去，那么这个最小单位变化效益平衡点就会无限地接近中线的顶点D，直至纯变动价格为0，起始价格与变化后价格和平衡点与D点重合。所以我们可以将中线的顶点暨中位线的端点D作为最微小边际变化效益平衡点，同时将中位线即它所表示的价格线作为价格变化时产生“效益”和“亏损”的最微观边际变化分界线。在这条分界线的上端是微观边际价格变化的效益区，在下端是微观边际变化的亏损区。当价格变化的幅度横跨这个微观分界线时，那么分界线以下的“亏损”幅度抵销分界线以上等幅度的“效益”，平衡点下移。所以，当变化价格到达这条中位线时得到的总“效益”最大。

（三）.中线、中位线平衡理论的代数数学模型

我们再用代数的方法对上面的理论规律加以揭示和证明，从而建立起价格变动与收益关系的数学模型。

见图：

这是一个任意的直线需求函数三角形，b是初始基础价格，a是它对应的初始需求量，y是价格的变动数值，c是变动后的价格等于（b—y），x是需求量的变动数值，减项效益矩形面积S1=ay，增项效益矩形面积S2=x（b-y），求Sl和S2之间的关系。

解：y与x分别是矩形A和B的边长共同组成RtFGH，根据三角函数关系有y=—kx，于是有ay/a=—kx（b—y）/（b—y）

用S1、S2替换得，S1/a=（—S2k）/（b—y）

化简得：S1=—S2* ak/（b-y） S1=S2* ak/（y-b）

所以，当ak/（y—b）=1 即—c/a=K时，S1=S2，它是价格变动时效益增减平衡的条件，此时两个效益矩形的对角点在需求函数三角形的中线上，ak/（y—b）是两个矩形面积差值大小的根源。

符合ak/（y—b）=1 即—c/a=K的条件时，正是价格变动线到达增减效益平衡点，此时y-b=—c，a与c组成的RtDOE与需求函数三角形AON相似，c/a=OA/ON=—k 。（证明略）

S1=S2·ak/（y—b），这是减项效益矩形面积和增项效益矩形面积之间的函数关系，是正比例函数关系，即两者的变化方向是一致的。它俩之间的大小差值受系数ak/（y—b）的变化影响。

当ak/（y—b）≠1即c/a≠|K|时的情况：

一.当ak/（y—b）|K|时，S1

我们沿着ak/（y—b）的值从小到大的方向分析。

（l）.由于k在题中即同一个需求函数中是己确定的项，我们先将a、b作为一对一定的起始基础数，然后分析价格的变动数y对效益增减矩形面积大小变化的影响，所以此时y的大小变化是引起S1和S2差值的唯一要素。

当价格从高向低变动时，变动数y的数值逐步加大，而y本身是一个小于b的数，导致y—b的差的绝对值越来越小，从而使ak/（y—b）的值越来越大，带动S1向着大于S2的方向发展，即总收入向着“不效益”的方向发展。

y值是价格变动的幅度，当它的值为最小单位时属于最小边际变化，此时ak/（y—b）的值最小，从而使S1大于S2的差值最小。边际变化上这种增减差值的大小同样受其它要素变化的影响，在不同斜率的需求函数或同一个函数三角形里的不同区域都不相同。

（2）.我们再改变起始价格和相应需求量数值a、b，分析它俩的变化对ak/（y—b）的影响。

a、b是需求函数关系的一对对应值，是捆绑在一起的，一方的变化引起另一方的被动变化。当a增大时b减小，而这个反向变化正好使ak/（y—b）的值增大，从而引起S1相对于S2的增大，使结果向着“不效益”的方向发展。这说明，起始基础价格越低，降价引起的结果越“不效益”。

当a和c作边长组成最大面积的满足平衡条件—c/a=K的矩形，也即当y以可想象的最小微观数值与相匹配的b的数值（b的减小同时是a的增大）同时满足效益平衡条件ak/（y—b）=1时，此时y对应的相匹配的基础价格b和变化后的价格c都无限接近了需求函数三角形的中位线；当y小至0时，两个价格在中位线上重合。这时效益平衡条件公式ak/（y—b）=l成为“—b/a=k”，它是最微观边际价格变化效益平衡条件，—b/a是微观边际价格变化中增减效益差值的根源（而这正是需求价格弹性Ed=l的条件P/Q=—K.见下述第二章）。此时b代表的价格坐标线是中位线，这点以上所有的价格边际变化都是“效益”的，这个价格时总效益最大。当有一方价格向下越过这个平衡线时，便有最微观的“不效益”存在，总“变动效益”的最大化开始减少。这与上一节的微观中位线理论是一致的.

二.当ak/（y—b）>1即c/aS2。

此时价格变动引起的收益的变化方向同上，只不过结果是“亏损”的。

（证明略）

我们可以这样说：

在每一个直线需求函数里，不管它的斜率如何，只要起始基础价格在这个函数的价格微观变化效益平衡线即这个需求函数三角形的中位线以上，那么就有价格降低时的“效益”空间；即使一个需求函数具有较小的斜率，但起始价格处在这条平衡线以下时依然失去价格变动“效益”。这条需求函数三角形的中位线是价格微观最小边际变动效益平衡分界线，这条线以上价格微观最小边际变动是“效益”的，这条线以下价格微观最小边际变化是“亏损的”，这条线表示的变化价格得到的总“效益”最大。价格从高向低变化，边际从高“效益”向着“不效益”的方向前进，到达这条平衡线时达到平衡，最微观“效益”归零。变化价格跨过这条线继续前进，微观边际变化开始“亏损”。当变化价格的幅度大于最小边际变化时，平衡点沿中线方向下落，中位线两边等距离上的最小边际变化的“效益”和“亏损”互相抵消，平衡点位于从原点出发的该需求三角形的中线上，这条中线是宏观的价格变化效益平衡线，平衡线的两边价格变化引起的收益增项和减项相等，原效益不变。平衡点在这条平衡线以上时，宏观上总收入“效益”；平衡点在这条平衡线以下时，宏观上总收入“亏损”。这种关系的代数数学模型是：“当ak/（y—b）=l即—c/a=K时，S减=S增”它是宏观价格变动时效益增减平衡的条件，ak/（y—b）是宏观价格变动效益增减差值的根源；“—b/a=k”是最微观边际价格变化效益平衡条件，“—b/a”是最微观价格变动效益差值的根源.

二，真实的需求价格弹性的变化规律

教材上的这种论述，把需求价格弹性定义值的大小与需求函数的斜率的变化统一起来，即

Ed>1时，|K|

其实，这是一种学术性错误，并不符合真实情况。

我们看教材西方经济学给予我们的需求价格弹性的定义公式和例题：

Ed=—Q/Q/P/P= —Q/P*P/Q

有商品价格从5元降至4元，需求量则从100件增为130件。则

Ed=[（130—100）/100]/[（4—5）/5]=一0.3/（—0.2）=1.5

（见图示，价格从P1降为P2）

我们看出例题中的—Q/P正是RtA1BA2的两直角边的比，Q=A2B P=—A1B，—A1B/A2B正是该需求曲线d的斜率K（负值），并且在同一个直线需求函数里无论价格怎样变化它的值是不变的，

于是：Q/P=1/K（注意：Q/P定义为负值）

从而需求价格弹性公式变为：Ed=—（1/K）*（P/Q）

这说明，在同一个直线需求函数p=KQ+b中，由于斜率K的值是固定的，所以Q/P=l/K的值也是固定的，这时的需求价格弹性Ed的值取决于P/Q的大小.而P/Q又是一个什么样的数值呢？

西方经济学中把P/Q定义为价格变动中那个参照相比较的原来的价格和需求量的比，即图中矩形OP1A1Q1高与宽的比，但是在价格逐次变动的过程中，这个数值可以不断地被修正，即图中的P1/Q1可以换成OP2/OQ2、OP3/OQ3、0P4/OQ4、……，处在变化的后面的价格和对应需求量总是可以把处在前面的价格和对应需求量作为起始参照。另外，我们从图中看到随着被选定的起始参照价格的向下变动，P/Q的比值不断地被变小，即由价格P和需求量Q组成的矩形的高不断的减小，而这宽则不断地增长，从而引起需求价格弹性Ed的值向着减小的方向发展。

可见，所谓需求函数斜率K决定需求价格弹性Ed的大小的论述是完全错误的。例：

如图，我们作一个斜率为—1的需求函数与坐标构成两直角边相等的RtAOB。

当P=5时，Q=1 （参照的原来价格和对应需求量）

当P=4时，Q=2 （变动后价格和对应需求量）

按照西方经济学上的需求价格弹性公式，则

Ed=—Q/Q/P/P=—[（2—1）/1]/[（4—5）/5]=5

但按照《初级西方经济学》教材上的需求价格弹性理论这时应当是“当K=—l时，Ed=l”。显然，公式得Ed≠理论Ed。这是自相矛盾的。

这就是说，即使在斜率一定的同一个直线需求函数里，每一个价格面对的P/Q的值都是可以变化而不一样的，选定的基础价格变化从而引起需求价格弹性的改变；当选定的参照起始价格不变时，即使价格变动需求价格弹性的值也不变，需求价格弹性是每一个价格所在函数中的位置本身具有的特性。所以斜率K不能决定需求函数的需求价格弹性。

价格变动过程中，选定的参照起始价格和对应需求量的变动，是客观存在的，而不变是我们人为的按排，实际上微观的边际上是不断在变化着的。从图示5中可以看出，随着选定的价格从高至低变动，P/Q的比值不断地被变小，从而引起需求价格弹性Ed的值向着减小的方向发展，当选定的价格到达该函数的中位线的C点时，正好使P/Q=OE/OC=CD/AC=-K，，这时Ed=l。这种变化分为三个阶段：（这个变化规律也正好符合需求价格弹性公式的推理）

当P/Q>|K|时，Ed>1，P在中位线以上。

当P/Q=—K时，Ed=l，P在中位线。

当P/Q

需求价格弹性的这个规律正是第一章第三节中的最微观价格变动效益平衡条件的变化规律，所以说需求价格弹性就是最微观的边际价格变动中的收益。

这个过程是选定的参照起始价格的变化引发的，而不是K的变化引起的，相反K的变化并不引起需求价格弹性的这种变化，论证见后。———（本论文里在没有声明时，所讲全指直线需求函数）。

三.需求价格弹性是最微观价格边际变化时收益增减关系的系数的倒数

在同一个直线需求函数中，需求价格弹性Ed的值是由参照的起始价格P的变化引起的，那么这种需求价格弹性变化的规律跟价格变化中收益的“效益、平衡、亏损”有着怎样的联系呢？

如（图示7）

已知：当P/Q=—K时，Ed=l

即图中P1/Q1=—K.也就是矩形OP1DˊQ1的OP1/OQ1=—K

求证：此时价格P1的坐标线P1Dˊ与中位线CD重合.

证明：连接P1Q1

OP1/OQ1=AO/OB=AP1/P1Dˊ=—K（斜率都相等）

RtP1OQ1∽RtAOB∽RtAP1Dˊ

∠OP1Q1=∠A

又P1D=OQ1

RtAP1Dˊ≌RtP1OQ1，

AP1=P1O即P1的坐标横线P1Dˊ与中位线CD重合，

这说明，需求弹性Ed=l 即P/Q=—K时，P正好落在中位线上，这也已经在上一章中进行了反面证明。上一章所述的需求价格弹性的变化规律正好与已述的“价格变化与收益的关系”中的中线、中位线理论相一致。为什么会是这样一个结果？我们从需求价格弹性公式和第一章三节里的数学模型得到答案：

“需求价格弹性Ed=—Q/P*P/Q和效益增减函数Sl=S2·ak/（y-b）”

已知两者的变形为Ed=—1/K*P/Q和S1=S2*[a/（y—b）]*k。当y=0时，[a/（y—b）]*k变为（-a/b）*k。因为a=Q，b=P，（只是表述时用的字母不同而已），所以（-a/b）*k=-Q/P*k，=-K*Q/P。由此我们看出需求价格弹性公式的“—1/K*P/Q”正好是当y=0时的效益增减函数的系数“（-a/b）*k”的倒数。而y=0时的“（-a/b）*k”表示的是选定的起始价格本身的属性，也是相当于变动价格y以可想象到的最小微观变化时的效益的变化结果。（-a/b）*k=1即—b/a=k时，b位于中位线上，它是最微观边际价格变化效益平衡条件，（-a/b）*k值的大小决定着宏观增减效益平衡条件ak/（y—b）=l时变动价格y的大小位置。同理，（-a/b）*k所影响的方面也正是需求价格弹性Ed=一Q/P*P/Q=—1/K*P/Q所能影响到的方面，只是因为两者是倒数关系所以影响力的方向是相反的，需求价格弹性影响力的方向相同于效益运动的方向。

所以可以说，需求价格弹性是最微观上的效益增减关系的系数的倒数，它制约着价格变动时效益增减的方向，制约着宏观效益增减关系平衡时的价格的位置。

四.需求价格弹性是最微观的边际价格变动中的收益

第二章中的需求价格弹性的平衡条件公式“P/Q=—K”跟第一章三节中的微观边际价格变化收益平衡公式“—b/a=k”是一样的，“—b/a=k”变形为"b/a=—k”，b/a就是这里的P/Q。所以需求价格弹性就是最微观的边际价格变动中的收益，还因为“需求价格弹性是最微观收益增减关系的系数的倒数”，所以需求价格弹性的变化方向相同于价格变动中收益的变化方向，需求价格弹性的变化规律就是价格变动中收益的最微观的变化规律。

由于在同一个直线需求函数中，需求价格弹性随参照价格本身的变动而变动，所以在同一个直线函数中价格变动中收益的“效益、平衡、亏损”也是随参照的价格的位置变化而变化的，这是我们能够在《初级西方经济学》给予我们的三种类型斜率的三角形中作出相反于书中结论的两个收益矩形的原因。最微观边际上的收益是随变动价格的变动而随时变动的，这个微观的边际收益变化就是变动的价格本身所具有的需求价格弹性，所以只要有价格变动就有微观上的收益变化。———《初级西方经济学》中把价格变动中收益的“效益、平衡、亏损"情况单一化固定

在某一类斜率的需求函数里的理论是非常错误的。

在同一个直线需求函数中，即斜率K不变的情况下，随着价格从高向低的变化，边际需求价格弹性逐渐减小，同时边际价格变动收益也向着“不效益”的方向前进。当价格到达需求函数三角形的中位线时，边际需求价格弹性的值为1，同时边际价格最微观变动“效益”归零，总效益达到最大化。这条中位线是价格变化中的最大收入效益线。价格向下跨过这条中位线后，边际需求价格弹性的值小于1，价格微观边际变化收益开始“亏损”。用公式表示如下：

当P/Q>|K|时， Ed>l P在中位线以上边际价格变化收益“效益”

当P/Q=—K时， Ed=l P在中位线上边际价格变化收益平衡，总效益最大。

当P/Q

这一规律与第一章三节里价格变动时效益增减平衡的条件“当ak/（y—b）=1即—c/a=K时，S1=S2”是统一的，只不过需求价格弹性本身表示的是最微观价格边际变化中收益的变化情况，而平衡条件表示的是宏观的价格变化情况。

五.斜率的变化对需求价格弹性和收益的影响

《初级西方经济学》教材中把斜率的变化说成是制约需求价格弹性和价格变化中收益变化规律的决定因素，把三者强扭成一体，我们用相互印证的不同的方法进行了否定。那么，斜率的变化到底对需求价格弹性和价格变动中的收益有什么影响呢？

（一）斜率的变化对需求价格弹性的影响

见（图示8），这是两个仅有斜率不同的直线需求函数，需求三角形AOB和三角形AOC，当参照价格为P时，它们各自的需求价格弹性为：

Ed1=—1/K1*P/Q1=OB/OA*P/Q1=OB/Q1*P/OA

Ed2=—1/K2*P/Q2=OC/OA*P/Q2=OC/Q2*P/OA

APD∽AOB PD/OB=AP/AO

APE∽AOC PE/OC=AP/AO PD/OB=PE/OC=AP/AO

PD=Q1 PE=Q2 Q1/OB=Q2/OC OB/Q1=OC/Q2

Ed1=Ed2

这证明，截距一致，仅有斜率不同的两个直线需求函数，在同一价格下它们的需求价格弹性是相等的，也可以说仅有斜率的变化并不改变直线需求函数中需求价格弹性的大小，这再一次证明了西方经济学中把需求价格弹性大小说成是斜率的原因的理论是非常错误的。

（二）.斜率的变化对价格变动中收益的影响

见图：

这是两个仅有斜率不同的直线需求函数，价格从H点降至效益平衡点I点，即两个效益增减矩形的对角点在需求三角形AOB的中线上。那么，因斜率改变成为第二个需求三角形AOE后效益平衡会被打破吗？根据第一章中所述价格变动收益增减平衡条件“当ak/（—b）=l即c/a=—K时， S1=S2”，这里它们各自的价格变动收益平衡的条件是：

（l）.需求函数三角形AOB的增减平衡条件是，—K1=c/a=OA/OB，

（2）.需求函数三角形AOE的增减平衡条件是，—K2=c/（a+d）=OA/（OB+BE）。（是否成立待证明）

求证：—K2=c/（a+d）=OA/（OB+BE）成立。

证明：c/a=OA/OB

在c/（a+d）=OA/（OB+BE）中只要证明d/a=BE/OB，则它就能够成立。

d/a=BE/OB变形得OB/a=BE/d

AHF∽AOB

HF/OB=AF/AB

AFG∽ABE

FG/BE=AF/AB

HF/OB=FG/BE=AF/AB

a=HF.d=FG

a/OB=d/BE

OB/a=BE/d， d/a=BE/OB

—K2=c/（a+d）=OA/（OB+BE）成立。

其实，通过作图也已经得到，斜率由K1变成K2后效益增减矩形的对角点依然在新的需求三角形的平衡线上，即中线上。这说明，由于需求价格弹性没有因斜率改变而变化，所以在中位线上的效益平衡更不会打破，实际上两者的中位线也是重合的，只是中线向右下方发生了移位，增加了总效益的值域。但从S1=S2·ak/（y—b）中可以看明白，除了在平衡点上效益平衡不变外，在不均衡区域系数“ak/（y—b）”的值虽然不变，但由于在相同的变动价格上，S1与S2的基础数值会同时加大，从而它们之间的差值变大，但这个差值在平衡线的两边所前进的方向是不一样的，平衡线以上是“增益”的方向，而平衡线以下是“减益”的方向。

这就是说，斜率的改变不会打破价格变动中收益的中线、中位线平衡理论规律，不会打破原有的增减平衡。在不均衡区域，随着斜率绝对值的减小在相同价格下会改变原有的价格变动中收益数值大小，变动价格在平衡点以上会“增益”，在平衡点以下会“减益”。同时斜率的减小使相同价格下的静态效益增加。——注意：价格变动中的收益是指动态的相比较下的“增益”还是“减益”，而静态效益是指一定价格下的实际收益，两者是完全不同的两个概念。

（三）.西方经济学中的需求价格弹性理论相近于曲线需求函数

如图：

根据需求价格弹性定义公式，西方经济学中的需求价格弹性理论相近于图示10中的曲线需求函数，但这种函数价格变动的过程里仍然包含着我们以上论证的理论规律，西方经济学需求价格弹性理论仍然不能涵盖它价格变动时的实质。我们不再在此分析此类需求函数价格变动时的各方面关系。总之，西方经济学中的需求价格弹性理论是经不住推敲的，非常偏面和狭獈。

六.需求价格弹性理论在实际产品定价中的应用

利润最大化价格=收益最大化价格+成本价格/2

我们已经知道直线需求函数三角形的中位线代表的是最大总收益价格线，此时P/Q=—K，Ed=1，但因为有成本的因素在里面，此时的最大总收益并不等于最大总利润，它还不是人们所追求的利润最大化价格线，现实中人们总是随着产品在市场上的竞争情况有意识或无意识地按着利润最大化的原则对产品进行定价。只有在去除了成本因素后所得到的最大总收益价格才是最大总利润的价格。如图：

需求函数三角形AOB，下面的阴影部分是成本区域，P1D1是它的中位线也是最大总收益价格线。上方的空白三角形AOˊBˊ才是利润价格需求函数三角形，这个三角形里的需求利润价格弹性依然遵循着中线、中位线平衡规律，所以它的中位线P2D2表示的价格P2才是总利润最大化价格。显然，

最大总利润价格=最大总收益价格+成本价格/2

此时，（P-Oˊ）/Q=-K （Oˊ代表成本价格，P代表销售价格，Q代表P对应的需求量）

七，总结

在同一个直线需求函数里：

一.中位线规律就是需求价格弹性的规律，是最微观的价格边际变动中的收益的规律。公式表达为：

当P/Q>|K|时，Ed>1 P在中位线以上，微观边际价格变化收益“效益”

当P/Q=—K时，Ed=l P在中位线上，微观边际价格变化收益平衡，此时总收益最大。

当P/Q

二.中线规律就是宏观的价格变动中收益变化的规律，是需求价格弹性在宏观上的表现，公式表达为：

当ak/（y—b）=l即—c/a=K时，S减=S增 平衡点在中线，宏观上收益平衡。

当ak/（y—b）|K|时，S减

当ak/（y—b）>1 即c/aS增 平衡点在中线以下，宏观上收益“亏损”。

三.截距相等，仅有斜率不同的两个直线需求函数，在同一价格下它们的需求价格弹性是相等的。需求价格弹性是价格在函数截距上的位置本身所具有的特性，与该函数的斜率无关.每一个直线需求函数都包含需求价格弹性变化的三个阶段，同时也导致每一个直线需求函数里都包含“效益、平衡、亏损”三个区域即上述“一线两区域”。

四.斜率变化对收益的影响（见上述）。

第6篇：弹性函数的经济学意义范文

导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值；甚至在解决应用问题，物理问题，经济学问题有起到了举足轻重的作用！

1 用导数求函数的切线

例：求曲线y=xx-2过点(1，－1)处的切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0) ，相应的切线方程为y-y0= f′(x0)(x-x0)。

2 用导数判断函数的单调性

已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，a∈R．

(Ⅰ)当a＝－3时，求证：f(x)在R上是减函数；

(Ⅱ)如果对x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

分析：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)

解：(Ⅰ)当a＝－3时，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1，

f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，f(x)在R上是减函数．

(Ⅱ)x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，即x∈R不等式3ax2＋6x－1≤4x恒成立，

x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立．当a＝0时，x∈R 2x－1≤0不恒成立；

当a＜0时，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立，即2X＝4＋12a≤0， a≤-13

当a＞0时，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0不恒成立．综上，a的取值范围是（-∞，-13）

3 用导数求函数的极值

设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)求f(x)在区间［-13，14］的最大值和最小值．

析：先求f′(x)= 0的所有实数根；再对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值

解：f(x)的定义域为（-32，+∞）。

(Ⅰ)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3=2（2x+1）（x+1）2x+3。

当-32＜x＜-1时，f′(x)＞0；当-1＜x＜-12时，f′(x)＜0；当x＞-12时，f′(x)＞0；

从而，f(x)分别在区间（-32，-1），（-12，+∞）单调增加，在区间（-1，-12）单调减少．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间［-34，14］的最小值为f（-12）=1n2+14.又f（-34）-f（14）=1n32+916-1n72-116=1n37+12=12（1-1n496）＜0，所以f(x)在区间［-34，14］的最大值为f（14）=116+1n72。

4 导数在不等式证明问题中的应用

不等式的证明常与函数、导数等内容综合，特别是利用导数证明不等式，体现了导数的工具性。在高中数学学习以及历届高考试题中，我们常遇到一些不等式的证明，很难找到切入点。这时我们不妨转换角度，从所证不等式的结构和特点出发，构造一个新的函数，借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题，从而使不等式得到证明。

用导数方法证明不等式，步骤一般是：构造可导函数研究所构造函数的单调性或最值转化为不等关系得出结论。

一般地，若f（x）、g（x）在［a，b］连续，在（a，b）上可导，要证明f（x）>g（x），同理，若f（x）、g（x）在［a，b］连续，在（a，b）上可导，要证明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）0，即证明了f（x）>g（x）。

5 导数在物理问题的应用

导数在高中数学中，应用问题是一颗璀璨的“明珠”，可谓常考常新，纵观近几年的各地高考数学试卷应用问题仍然受到命题者的青睐.其中它与导数的综合，更是一曲优美的“交响乐”，成为高考中的“新宠”.以导数为背景的应用题，由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题时需要开动学者的发散性思维！另外，在物理学中，经济学中导数的应用也相当的广泛，比如工程上很多实际的问题都会有相关应用，求水坝斜面的压强等等，考虑到微分的思想，需要积分类的都会用到导数的思想。

6 导数在经济学中的应用

如需求弹性：设需求函数Q=f(P), 这里P表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下：

n=n(P)=1imQ/QP/P=1imQP•=PQ=P•f′(P)f(P)，当P很小时， 有n=P•f′(P)f(P)≈Pf(P)•QP，故需求弹性n近似地表示在价格为P时, 价格变动1%, 需求量将变化n%, 通常也略去"近似"二字.

例：某商品的需求函数为Q=75-P2(Q为需求量, P为价格).

(1) 求P=4时的边际需求, 并说明其经济意义.

(2) 求P=4时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当P=4时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

(4) 当P=6时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

第7篇：弹性函数的经济学意义范文

关键词：科技进步贡献率；测算方法；发展趋势

中图分类号：F42文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）08-0029-02

1 两要素生产函数法

1.1 两要素生产函数法简述

1957年，麻省理工学院的索洛教授对生产函数的数学模型进行处理，推导出增长速度方程。其计算公式为：Y＝a＋αK＋βL；（其中a为科技进步的年平均增长速度；Y为产出的年平均增长速度；α为资金的产出弹性系数；β为劳动力的产出弹性系数）。假设，Yt为计算期t年的产出，Y0为基期的产出；Kt为计算期t年的资金，K0为基期的资金；Lt为计算期t年的劳动力，L0为基期的劳动力；则产出、资金和劳动力的年平均增长速度的计算如下：

K=tKtYt-1×100%；K=tK0Y0-1×100%；K=tLtL0-1×100%

由此推出科技进步对经济增长的贡献率的计算E＝av×100％（其中V为经济增长率）

1.2 两要素生产函数法的特点分析

增长速度方程式除了具有指标少、可比性强和计算结果较符合实际等特点外，还有两个突出优点：一是体现了速度与效益相结合的特点。按照增长速度方程的分析，并不是简单地认为产出增长速度越大越好。二是它能直接计算科技进步对产出增长速度的贡献，具体的生产函数可以计算出技术水平，但不能分离出技术的作用的大小。

但这会引起两个问题：一是技术进步为非内生化的变量，认为科技进步只是时间的函数；二是它假设规模报酬是不变的，这种情况成立的前提就是完全竞争的条件。显然，这两种情况在很多情况下是不一定成立的。

另外，它还假定要素的产出弹性不随时间而变，而生产系统的一般是随时间而变化的，所以，使得该方法更适合于较短时期的生产系统。

2 人力资本分离的生产函数法

该生产函数法由周方教授提出的，他把资本分解成为物质资本和人力资本，在此基础上来测定我们科技进步的贡献率。

引入人力资本使产出空间集变为（Kt-Lt-Ht-Qt），其对应的增长路径函数为

Qt=F（KtLtHt）（1）

生产过程中所消耗的全部资源的价值即总成本为

PcQc=PKK+WL+PHH（2）

式中PH为人力资本H的价格。 描述各个时刻的全要素投入Qc，t与对应产出Qt在投入产出平面（Qc，t-Qt）内增长路径的增长函数为：Qt=G（Qc，t）（3）

对（1）求全微分得：

dInQ=（FKKF）dInK+（FLLF）dInL+（FhHF）dInH

α*dInK=β*dInL+γ*dInH(4)

式中FKKF=γ*为沿增长路径的人力资本产出弹性。

由(2)可得dInQc=PKKPCQCdInK+WLPCQCdInL+PHHPCQCdInH(5)

它在数值上就是产出弹性中的粗放或叫外延式的增长。

以下定义CAKPKK/Q，CAL=WL/Q，CAH=PHH/Q，CA=PCQC/Q，CH d（PCQC）/DQ，

分别为平均物资资本成本、平均劳动成本、平均人力资本成本、平均总成本和产出的边际成本。显然CA=CAK+CAK+CAH。根据以上定义，(5)式可表示为

dInQc=CAKCAdInK+CALCAdInL+CAHCAdInH(6)

若dInQc≠0，则由(3)可以推出dinQc=QCGdGdQCdQCQC=PMPAgdInQc（7）

假设总成本价格指数P是不由总产出Q所决定的量，则有

PMPA=dQ/dQcQ/Qc=Qc/QQc/dQ=PcQc/Qd(PcQc/dQ)(8)

所以有恒等式CACM=PMPA成立。改写为dinQ=CACM，结合(6)得

dinQ=CAKCMdinK+CALCMdinL+CAHCMdinH(9)

比较(4)和(9)有α*=CAKCM，β=*CALCM，γ*=CAHCM;α*+β*+γ*=CACM（10）

最后求得科技进步贡献率η=din(FTP)dinQ=1-1α*+β*+γ*（11）

欲求某个生产单位在某个时刻的科技进步率可以通过下式

din(TFP)=(CACM-1)(CAKCAdinK+CALCAdinL+CAHCAdinH)(12)

欲求某段时间内的平均科技进步率，可用下式作为待拟合函数

dinQt=dinA+*dinKt=*dinLt=*dinHt(13)

如果已经知道时间系列(Qt,Kt,Lt,Ht),对拟合上式求解可得到、和。再由(11)即可求出科技进步贡献率，最后我们再乘以经济增长率得出科技进步率。

3 当前科技进步贡献率测算方法的不足及其未来发展趋势

3.1 当前科技进步贡献率测算方法的不足

在理解科技进步对经济增长速度的贡献率这一指标时还应注意以下两点：（1）由于计算方法的不同，目前这个指标只能做到反映各因素综合作用的平均效果，因而它不能反映某项具体的政策或技术措施在短时间内的效果。（2）科技进步指标反映的是趋势而不是状况，如果这个指标很高，只能说明利用效率本身很高。一个成熟的潜力挖尽的系统可能有很高的投入产出比，但科技进步贡献率不一定很高。相反，一个新建的或原有基础较差的经济系统，在一定时期内可能会有较高的科技进步贡献率。

第8篇：弹性函数的经济学意义范文

［关键词］柯布―道格拉斯生产函数；弹性；多元回归模型

［中图分类号］F830. 33 ［文献标识码］A ［文章编号］1005-6432（2011）26-0105-03

1 引 言

生产函数是描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。这里的“投入的生产要素”是生产过程中发挥作用,对产出量产生贡献的生产要素,包括了技术、资本、劳动等投入要素；“可能的最大产出量”指这种要素组合应该形成的产出量,而不一定是实际产出量。本文正是运用生产函数来分析北京市地区GDP和资本、劳动力等投入要素的数量关系。

2 模型的构建

2.1 变量选取和数据调整

根据柯布―道格拉斯生产函数,选取北京市1990―2007年的地区生产总值为因变量,地区固定资产投资和从业人员为自变量。根据地区GDP频减指数和固定资产投资价格指数对名义GDP和名义固定资产投资进行调整,得到实际GDP和实际固定资产投资,调整后的数据见表1。其中Y表示：北京市地区GDP；L表示：北京市固定资产投资；K表示：北京市从业人员。

2.2 方法简介

著名的柯布―道格拉斯生产函数，是美国数学家柯布(Charles W. Cobb）与经济学家道格拉斯(Paul Douglas）根据历史统计资料，研究了1899―1922年美国的资本与劳动力数量对制造业产量的影响后提出来的,其形式为Y=AK^αL^β。式中：L代表劳动力投入量；K代表资本投入量；Y代表产出量；A为效率系数，是广义技术进步水平的反映,为正常数；参数α,β分别是资本与劳务的产出弹性,为小于1 的正数。这里取消了方程一阶齐次的假设，允许要素产出弹性之和大于1 或者小于1，由参数的估计结果决定。柯布―道格拉斯生产函数具有较为广泛的适用范围，它可用来描述一国总的投入产出关系,也可用来模拟单个企业或部门的生产情况，在经济理论研究与政策分析评价中占有相当重要的地位。

2.3 构建模型

估计北京市柯布―道格拉斯生产函数：Y＝AK^αL^β,其中Y表示北京市地区GDP；L表示北京市固定资产投资；K表示北京市从业人员。首先对模型线性化,两边取对数LnY=LnA+αLnK+βLnL,利用E-views软件绘制的LnK、LnL与LnY的图形,见下图,可以看出LnY与LnK、LnL存在线性关系,可以进行线性回归。

线性回归图

2.3.1 样本回归方程

将表1输入E-views软件进行多元回归分析,得到的结果见表2。

(2)方程显著性检验

①F检验

在α=5%的显著性水平下,服从自由度为(2,15)F分布,查F分布表的F0.05(2,15)=3.68估计出的F值=194.19548>3.68,所以拒绝0假设：α=0,β=0,即模型的线性关系成立,模型通过方程显著性检验。P值的含义：使0假设被拒绝的最小的显著水平。

②t检验

在α=5%的显著水平下,服从自由度为15的t分布,查t分布表得t[SX(]a[]2[SX)]=2.131。估计出的t值分别为(-1.55981)、(10.56384)、(2.359725)。即[JB(｜]1[JB)｜]>2.131,所以α通过了5%显著性水平检验，拒绝0假设α=0；[JB(｜][AKt^]2[JB)｜]>2.131，所以β通过了5%显著性水平检验，拒绝0假设β=0 ；而[JB(｜][AKt^]0[JB)｜]>2.131,所以LnA也通过了5%显著性水平检验,拒绝0假设LnA=0。P值的含义：使0假设被拒绝的最小的显著水平。

2.3.3 违背古典假设的情况检验

(1)多重共线性的判定

模型的R2值与F值均较大,且格参数的t值均通过了α=5%显著性检验(见表4),且E-views软件显示的相关系数矩阵(见表3),解释变量的相关系数很小,故认为解释变量之间不存在多重共线性。

(2)异方差的判定(怀特异方差检验)

违背古典假设的情形之一是随即干扰项的异方差性,即相对于不同的样本点,也就是相对于不同的解释变量观测值,随即干扰项具有不同的方差,检验异方差,也就是检验随机干扰项的方差与解释变量观测值之间的相关性。本文运用怀特检验来检验异方差,检验结果见表4。

2.3.4 自相关的判定(D.W.检验)

在α=5%的显著水平下,k=3,n=18的D.W.检验的上下限查表得dl=1.05,du=1.53，D.W.值为d=2.387463(见表4)du

2.4 结论分析

2.4.1 方程设定良好

该回归模型的拟合值和调整后的拟合值均很好且通过了t统计和F统计检验,同时回归模型不违背经典假设,说明该多元回归模型从理论模型的设计到样本的数据的收集是比较合理和成功的。

2.4.2 方程经济意义分析

固定资产投资、从业人数的要素产出弹性系数均为正数。即在其他投入要素不变的情况下,该要素每增长1%所引起的北京地区GDP增加的百分数均为正数。固定资产投入每提高1%,北京地区GDP 实际增长率则可提高0.76%；从业人数每增加1%,北京地区GDP 实际增长率则可提高0.77%。α＋β≈1.5,即资产与劳动的产出弹性之和近似为1.5,表明北京市在1990―2007年经济呈现规模报酬递增的状态。根据固定资产投资和从业人数要素产出弹性系数大小，可以发现两者对北京地区GDP 增长的推动作用基本相同,说明二者对北京地区DGP增长率的贡献同等重要。

3 政策建议

从模型回归的结果可以看到,固定资产、从业人数的产出弹性虽然都为正数,但两者对北京地区GDP增长率的促进作用均不是很明显。说明对固定资产的投资还存在着投资产业结构不合理的情况,从业人数的分配也存在各产业分配不合理的现象,所以北京市在固定资产投资和从业人员的分配上应该进一步加强第一、第二、第三产业的合理投入和调配。政府在制定固定资产投资政策时因充分考虑投资在各产业的合理投入并出台一些限制性的条款,保证产业政策的实施。在从业人数的分配上,因深入研究各产业对劳动力的需求情况,恰当引导劳动力的分流,发挥劳动力的最大效率。

参考文献:

［1］易丹辉. 数据分析与E-views应用［M］. 北京：中国统计出版社,2002.

［2］李子奈,潘文卿. 计量经济学（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社,2005.

第9篇：弹性函数的经济学意义范文

关键词：房地产；生产函数；紧缩货币政策；调节效应

引言：房地产行业是一个综合性行业，它的发展对国民经济具有重要的推动作用，是国民经济的重要组成部分。近年来，由于价格的疯狂上涨，房地产行业吸引了越来越多的注意。笔者发现，虽然研究房地产的论文很多，但从生产函数的角度来分析的还很少，本文通过对20家代表性房地产公司所代表的房地产行业的生产函数的分析，得出资本对房地产供给面积的影响，从而分析当前紧缩的货币政策对房地产行业的影响，从而为更好的促进房地产业发展提供重要的参考依据。

一、房地产行业生产函数模型的建立

对于房地产生产函数模型的建立，本文用员工总数和总资产为解释变量，以商品房销售面积为被解释变量。下面是我们国家2009年20家具有代表性的房地产上市企业的数据：

数据来源：各上市公司年报

令l为房地产上市公司的员工数，k为房地产上市公司的总资本，q为房地产上市公司的商品房销售面积，建立经验生产函数模型。

经验生产函数：q=a(kl)3+b(kl)2

现在我们令(kl)3=m(kl)2=n进行加权的最小二乘回归（wls）

其结果如下:

得到回归方程：q=-4775.702(kl)3+127061.2(kl)2，这里可决系数极高，且t检验的伴随概率为零所以各变量的显著性水平较佳，并且方程的系数符号也符合经济意义的要求；所以此经验生产函数可以很好的表示房地产行业的生产函数。

二、资本对房地产行业产量的影响

由以上的房地产行业生产函数可知，资本的边际产量和平均产量为：mpk=-14227.106k2l3+254122.4kl2

apk=-4775.702k2l3+127061.2kl2

则产量关于资本的弹性为ek=(q*k)/(k*q)=mpk*(k/q)

可知大多数企业产量弹性为1到3之间，少数大企业的弹性很小，万科甚至达到-8.03，这也符合生产函数的性质，边际产量随着随着企业规模的扩大经历着先递增然后到递减的阶段。

分析结果显示大多数房地产企业产量对资本是富有弹性的，即资本的减少必然导致产量的显著减少。

三、结论及政策建议

针对以上影响，本文提出以下政策建议：

（一）由于房地产问题不仅仅是一个行业发展问题，还是一个关乎国计民生的社会问题，所以，针对房地产行业的紧缩政策可以适当放松，以保证房屋的充足供应，以应对城镇化等原因造成的住房刚性需求。

（二）鼓励房地产行业多以增发股份等形式筹措资金，降低资产负债率，以摆脱对国家宏观经济政策的依赖性，增强自身的抗干扰性，实现房地产行业的健康稳定发展。

（三）对于房地产企业而言，不要拼命拿地，以过高的负债率实现过度的扩张。一旦房市走熊，房价大跌，将会面对巨大的信贷风险。房地产企业应该把自身的规模和负债率控制在合理的区间内。