百分位数的求法高中数学精选(九篇)

第1篇：百分位数的求法高中数学范文

新大纲规定分数四则应用题，包括工程问题；百分数的实际应用包括发芽率、合格率、利息等计算，最多不超过三步计算，而且只限于比较容易的。这就从内容上和难度上作了具体的限制，有利于保证基本的知识和解题能力的落实，防止任意拔高要求，人为地编造出许多不切实际的难题，加重学生的学习负担。

新大纲对于分数、百分数应用题的教学要求，大致提出了以下三个方面的要求。

一、会解答分数、百分数应用题

会解答分数、百分数应用题的要求，一般是指能够理解应用题的题意，掌握最基本的数量关系，正确判别计算的方法，会列式计算，并且善于检验解答的合理性与准确性。

由于分数、百分数应用题的数量关系，跟整数应用题相比，既有共性，又有它们的特殊性，要求学生既了解其共性，又能懂得它们的特殊性，使学生的认知水平有所提高。对此，略举数例如下。

1.分数加、减法应用题

分数加、减法应用题中的已知分数有两种情况：一种是表示具体的数量，另一种是表示两个量的比。譬如：

①食堂第一天烧煤吨，第二天烧煤吨，两天共烧煤多少吨？ 题中已知的分数，都表示具体的数量，跟整数里求和应用题的数量关系是一致的，要求学生知道这是求两个相同单位的量的和。

②食堂有一批煤，第一天烧去这批煤的，第二天烧去这批煤的，两天共烧去这批煤的几分之几？题中已知的分数，都是两个量的比，而不是具体的数量。数量关系虽然跟整数里求和应用题是一致的，这是共性；但是，学生要理解题中的、以及求出的和，都是对这批煤而言的，不是具体的量。

③地球表面积的是海洋，剩下的是陆地，陆地占地球表面积的几分之几？这一题的数量关系跟整数里求剩余数，用减法计算是一致的，这是共性，可是题中只给出一个已知条件是，另一个条件要学生自己想象整个地球表面积看作“1”，然后用1－＝，这就是与整数应用题不同的特殊性。

2.分数、百分数乘、除法应用题

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，要求学生能够辨析清楚。譬如：

①一辆汽车平均每分钟行千米，30分钟行多少千米？这种题的数量关系跟整数里求相同加数的和，或者说求的30倍是一致的。

②10个鸡蛋重千克，平均每个鸡蛋重多少千克？这种题的数量关系跟整数除法题是一致的。

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，通常分为三种情况，或者叫做分数的三种基本应用题：（1）求一个数是另一个数的几分之几的除法应用题。（2）求一个数的几分之几是多少的乘法应用题。（3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数的除法应用题。（新大纲中没有这些名称，笔者为了便于分析，沿用了这些习惯名称）上面三种情况中的几分之几，如果是百分数，那末这三种情况就是百分数的三种基本应用题。这里，还得说明，新大纲只是要求教学分数四则应用题包括工程问题，以及百分数的实际应用问题，没有具体规定教学哪些内容的应用题。考虑到各种不同风格的教材，可能会有所取舍，因而还是按现行通用教材的内容，研究教学的要求，供选择参考。

（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题。

在实际生活中，经常需要比较两个数量的倍数关系，当它们的倍数等于1或大于1的时候，通常称为“几倍”；当它们的倍数小于1的时候，通常称为“几分之几”。在小学里，学生学习整数应用题的时候，只知道一个数是另一个数几倍。如：白兔16只，黑兔4只，白兔只数是黑兔的16÷4＝4（倍）。那时，学生只知道两个数量相比较的一个侧面，到了学习分数以后，黑兔的只数也可以与白兔去比较，即黑兔的只数是白兔的4÷16＝。当他们学习了百分数以后，应当让他们知道：求一个数是另一个数的几倍或几分之几，就统一为一个数是另一个数的百分之几了。

这类问题的数量关系跟整数里求两个数的倍数是一致的，要求学生掌握谁与谁相比较。如，甲是乙的几分之几，是用甲与乙相比较，那么乙是标准的量，甲是比较的量。并且知道用标准的量作除数。

可是，百分数在实际应用上，还有一些特殊性。求一个数是另一个数的百分之几，也叫做两个数的百分比或百分率。例如，产品合格率，种子发芽率，工人出勤率，存款的利息率，向国家交税的纳税率等。要使学生知道所求的这些“率”，都是用百分数表示的，所以，在这些百分率的公式里，添上乘以100％，表示求得的结果必须用百分数表示。如，

小麦出粉率＝×100％

在百分数里，经常会遇到除不尽的情况，应该让学生知道，除了指定精确度的以外，一般除到小数第四位，即万分位，然后四舍五入取三位小数，化成百分数后，百分号前面的数保留一位小数。并且知道百分号前面通常写成小数形式，不用带分数的形式，如通常写成33.3％。

（2）求一个数的几分之几或百分之几是多少的乘法应用题。

新大纲在整数应用题里，增加了求一个数的几分之一或几分之几是多少的内容，那时是用整数乘、除法计算的。例如，有学生600人，其中十分之九（或）是少先队员，求少先队员有多少人。这就是把600人分成10等份，求出的是的人数，再乘以9，就是的人数，列式为：600÷10×9＝540（人）。学生有了这个基础，学习分数乘法应用题，思考方法一致，只是把整数乘除的方法转化为分数乘法。即

600÷10×9＝540（人）用分数表示

×9＝600×＝540（人）

这里，要求学生比较熟练地掌握求一个数的几（百）分之几是多少，用乘法计算的结论。

（3）已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数的除法应用题。

这是分数乘法的逆向题，也是学生容易与分数乘法相混淆的问题，新大纲规定在分数

四则计算的前面要学习简易方程，到这里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。因此，要求学生运用求一个数的几分之几是多少，用乘法计算的思考方法去解题。例如，一根钢管的是48厘米，这根钢管长多少厘米？学生应思考：（钢管的长）×＝48（厘米），设钢管长x米，即x×＝48或者x＝48，x＝192。

有些题目，既可以用上述方法解答，也可以根据已知的数量关系进行思考。如，一个工程队小时开凿山洞米，求1小时开凿山洞多少米。用上述方法解答，设1小时开凿山洞x米，列方程为：x×＝或x＝，解得x＝。也可以根据：

工作总量÷工作时间＝单位时间的工作量

所以，列式为：÷＝（米）

以上是分数、百分数应用题中最基础的内容，应该让学生理解并掌握。

二、能够运用所学的知识解决生活中一些简单的实际问题

新大纲中这个要求是小学阶段最后一个学期的要求，在分数、百分数应用题里也应该贯彻这个精神。根据最多不超过三步计算的限制，再按照实际生活中常见的分数问题、百分数问题，大致要求学生掌握以下几方面的实际问题。

1.求一个数比另一个数增加或减少百分之几的问题。

这类问题在生活和生产上经常要用到，例如，实际产量比

计划生产量增产百分之几，或者本月用电比上月节约百分之几等等。要求学生根据求一个数是另一个数的百分之几的思考方法，先要求出增产（或节约）的数量，然后把它与计划生产的数量（或原来用电度数）相比。列式为：（实际产量－计划产量）÷计划产量

或也可以先求出实际产量相当于计划产量的百分之几，再求增产百之几，列式为：

实际产量÷计划产量－100％＝增产的百分之几

这类问题有一个重要的概念，必须让学生掌握。学生在整数里已知5比3多2，3比5就必定少2。但是在分数、百分数里5比3多 ＝66.7％，反过来3却并不比5少66.7％，而是少 ＝40％，因为它们相比较的标准数量不同，所以，两个百分数是不等的。

2．求一个数增加（减少）它的几（百）分之几是多少的应用题以及这类问题的逆向问题。

例如，原有少先队员400人，现在增加12％，现在有队员多少人？这是求400增加它的12％以后是多少。要求学生能够用两种方法解答：

400＋400×12％＝400＋48＝448（人）；

400×（1＋12％）＝448（人）。

这个应用题的逆向题是：现在有少先队员448，比原来增加了12％，原来有少先队员多少人？这是已知一个数增加了它的12％以后是448，要求这个数。应该使学生理解为原来的人数加上增加了它的12％的人数等于现在的人数。 设原来为x人， 那么

x＋12％x＝448， 1.12x＝448， x＝400。

3．工程问题。

这是有关工作总量、单位时间的工作量（通常叫做工作效率）和工作时间的问题。这三者之间的关系是：

工作时间＝工作总量÷单位时间的工作量

例如，“一项工程，由甲队修建需20天完成，由乙队修建需30天完成，两队合修需要多少天完成？”

要求学生知道把整个工程看作“1”，还要知道甲队每天可完成这项工程的，乙队每天可完成这项工程的，两队合修一天可以完成这项工程的（＋），这是两队合修的工作效率，然后用工作总量除以工作效率，列式为：

1÷（＋）＝12（天）

工程问题的变化很多，可以一个人独做，也可以是几个人合做的；可以是几个人同时开始做的，也可以是有先有后做的；工作的进程可以是向前的，也可以是倒退的（如水管注水与放水）等等。但是，必须根据新大纲最多不超过三步计算的限制，在这个限度内适当有些变化。

三、能够有条理地说明解题思路

有条理地说明解题思路是要求培养学生有条有理、有根有据地说清楚自己是怎么思考的，决不是背诵一个模式，或者是思路说不清楚，颠三倒四，要让学生能够用自己的话表达清楚。这是培养逻辑思维能力的一个重要方面。

例如，发电厂有煤2500吨，用去，还剩多少吨？学生独自解答，可能出现以下两种解法：

①2500－2500× ； ②2500×（1－）

这时，让学生说明解题思路，第一种解法必然要说先求用去多少吨，再求剩下多少吨。第二种解法必然要说先求剩下的占总吨数的几分之几，再求这个几分之几是多少吨。上述第一种解法接近学生原有的认知结构，因为在整数应用题已知从总吨数中减去用掉的，就是剩下的。第二种解法是从问题出发分析出来的，是一种新的思路，而这种思路在分数应用题中常常用到，教师不仅赞赏，还应该让更多的学生学会这种思考方法。

此外，与解题思路有关的是文字题的数量关系，现举例说明如下：

①甲数是，乙数比甲数大 ，求乙数。

这里的是甲、乙两数相差的数值，所以，列式为：

②甲数是，乙数比甲数大它的，求乙数。

这里的是指甲数的一半，所以，列式为：

或者

×(1+)=

③比吨多，是多少吨？

这里的带有单位名称是具体的量，没有单位名称，它表示两个数的比，所以，列式为：

×（1+）=（吨）

④比吨多吨是多少吨？

列式为：+=（吨）

⑤甲数是200，乙数比甲数大20％，求乙数。

第2篇：百分位数的求法高中数学范文

【关键词】分数；百分数；解决问题；教学

分数、百分数知识，在日常生活和生产建设中有着广泛的应用，也是小学数学的一个重要内容，而这部分内容历来又是小学教学的难点。如何改进并加强分数、百分数问题教学，提高教学效率，提高学生的分析能力，使学生能正确解决分数、百分数问题，是我们小学数学老师要直面的问题。

众所周知，分数问题与百分数问题有着紧密的联系，教学中如果我们抓住它们的联系，可以使教学取得事半功倍的效果。在多年的教学实践，使我对这一部分内容的教学，有着自己的理解，也积累了一些方法和经验，现在我想就分数、百分数解决问题的教学谈一下我的见解。

1重视分数乘法问题的教学

分数乘法中解决问题的分析方法，是分析分数除法以及百分数解决问题的重要基础，由于分数乘法中的“求一个数的几分之几是多少”在乘法中属于一种特殊的数量关系，又是分数问题的主要教学内容，抓好这种特殊数量关系的教学，可以大大提高学生分析、解决分数问题的能力，也为百分数问题的解决打好基础。为此，我们应该做到以下几点。

1.1抓好分数乘法意义的教学，是解决分数乘法问题的基础。

分数乘法问题的解决依据是分数乘法的意义。分数乘法的意义有两种：一种与整数乘法的意义相同，即求几个相同加数的和的简便运算，如：

1.2抓住分数乘法问题的关键句，强化学生对数量关系的分析。

分数乘法问题中“求一个数的几分之几是多少”的解决方法是后面解决分数除法、百分数问题的基础，学生必须掌握它的分析方法及解题技巧。如何才能让学生把“求一个数的几分之几是多少”这类问题的解题技巧掌握好呢？我的做法是：重点让学生分析关键句，根据关键句训练学生分析数量关系。学生学会正确分析一道题的数量关系，就能正确列出算式解决问题，而一道分数问题中的关键句往往是分析本题数量关系式的依据。

综观两个例题的分析方法，不难看出共同点：第一，抓住了关键句进行数量关系分析，第二，根据“分数乘法的意义”得出等量关系式，从而解决分数乘法问题。经常进行这样的训练，学生就掌握了分数问题数量关系的分析方法，也就能正确解决分数问题了。

2突出分数乘法与除法问题分析方法的一致性

分数除法问题，实质上是分数乘法问题的逆运算，因此，分数除法问题的分析，可以借助分数乘法的分析方法。六年级上册分数除法问题的教学，主要解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”和稍复杂的分数除法问题。它们分别与分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”与稍复杂的分数乘法问题有着紧密的内在联系，它们的数量关系相同，都可以同样的分析方法来解决问题。所以分数除法问题的分析方法应与分数乘法问题的分析方法保持一致。

3百分数问题的教学要联系分数问题的教学

我们知道百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几”，与分数中的“表示一个数是另一个数的几分之几”是一样的。因此，百分数同分数有紧密的联系。教学中我们要紧紧抓住学生已有的分数知识，从分数进入百分数，这样学生的学习就有了依据。

这样的教学，注重了知识结构和体系的整理，处理好了局部知识与整体知识的关系，使学生的知识得到有机整合，减轻了学生的学习负担，大大提高了教学效率。

教无定法。希望老师们充分发挥自己的聪明才智，积极探索新课标下的教学改革，多动脑筋，勤于思考，善于总结反思，探索有利于学生学习的方法，这样就能不断提高教学效率，使自己逐步成为一位教学上的智者，甚至大师，在教学岗位上绽放出更耀眼的光芒！

参考文献

[1]课程教材研究所、小学数学课程教材研究开发中心编著，六年级上册教师教学用书[M]，人民教育出版社出版，2007

第3篇：百分位数的求法高中数学范文

把握教学目标

分数内容是从三年级开始接触，苏教版安排在不同的册别，遵循着线性知识螺旋上升、逐渐积累发展的原则。前面提到的例6是苏教版小学阶段有关百分数问题的最后一个例题。“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”，这一目标的落实绝不是这一课时完成的，是在前面三年相关知识学习的基础上得以实现的，如“分数的意义”“理解求一个数的几分之几用乘法计算的含义”“用方程解答‘已知一个数的几分之几是多少’求这个数”的实际问题等。

要落实好“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”这一目标，必须借助线段图分析数量关系。部分老师认为，画“线段图”是在浪费时间，没有必要，因而省略了这部分内容的教学。这样蜻蜓点水式的简单学习，使学生的思维失去了支撑，受到了限制。殊不知，画线段图正是帮助学生理解并解决问题的一个重要策略。所以在教学这些内容时，首先要准确把握目标，使学生理解并掌握解决有关百分数的实际问题的基本思考方法，增强数学应用意识。让学生经历解决有关百分数的实际问题过程，进一步体会数学知识间的内在联系，感受数学知识和方法的应用价值；还要精心选择和设计符合学生认知规律的教学策略，以确保教学效果。围绕目标，所采取的教学策略不仅要使学生掌握知识，更重要的要让学生在学习的过程中积累方法和经验，感悟数学思想的支撑作用，增强学生学好数学的信心。

学习目标和学习策略

每一种数学思想的理解、掌握，都能成为今后的学习新知的方法和手段。在分数、百分数这一知识系统中有两个重要的数学思想。

数形结合思想 数学家华罗庚有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述，这说明了数形结合思想在学生掌握相关数学知识过程中的重要作用。在分数、百分数这一知识链里的“形”主要是指线段图，线段图是学生分析问题、解决问题的载体和方法。苏教版在小学中年级就专门安排“解决问题的策略――画图”的章节。线段图作为小学阶段数形结合、分析数量关系的工具，历来成为数学中的重要内容。让学生在自主解决问题中体会画图分析问题、解决问题的优越性和工具性，促使学生乐于使用线段图。通过有意识地训练，将会为解决复杂分数问题提供学习方法，为思维的发展提供平台，逐渐过渡到抽象思维的水平。

建模思想 “方程是现实运算的一个有效的数学模型”，借助线段图分析数量关系，符合学生思维特点，也为学生今后的学习奠定了基础。用方程解答稍复杂的百分数实际问题，有利于学生应用已有知识解决问题。学生习惯顺向思维，那么在遇到逆向思维问题时就需要借助一定的方法手段转化成顺向思维的问题。借助线段图找到题中的等量关系，利用方程“把单位‘1’看作x”，这样就顺利地利用已有知识解决了未知的问题。久而久之，学生自然而然地可以悟到用“已知部分和所对应的分率，求整体，用除法”的道理。这个过程不仅是学习解决未知问题的过程，更重要的是使学生充分认识方程这一重要的数学模型在学习中的作用。如果用算术方法学生很难找到理解数量关系的问题情境，那只能死记“已知部分和所对应的分率，求整体，用除法”的套路来解决问题。没有思维的条理性训练，只是被动接受和机械模仿。可见，帮助学生建立数学模型是非常必要的。

帮助学生找准单位“1”

在学习“百分数的应用”这一单元时，可以发现有许多百分数的实际问题与分数的实际问题本质是相同的。解题的关键是要找准单位“1”，画线段图可以帮助学生理清数量关系。例如：①小红身高135厘米，小娟身高150厘米。小娟的身高是小红高百分之几？②小红身高135厘米，小娟身高150厘米。小娟的身高比小红高百分之几？③小红身高135厘米，小娟身高150厘米。小红的身高比小娟矮百分之几？

第4篇：百分位数的求法高中数学范文

关键词 分数应用题 比较法 解题策略

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2017）05-0096-02

分数应用题既是小学数学的重要内容之一，也是六年级数学教学中的难点，如何教好这一部分内容，使学生融会贯通、正确理解和迅速解答分数的应用题是教学过程中亟待解决的重要问题。不少教师每次进行“分数和百分数的应用”教学时都很困惑，例题没少讲，练习没少做，可是学生做题还是会出现很多错误，不知从何下手。因此，优化分数应用题的解题策略，培养学生解决问题的能力是当今小学数学教学面临的重要问题。笔者结合自己多年来在小学数学一线的实际教学经验，对分数应用题的具体解题策略进行了阐述，以供教学参考。

一、仔细比较，认真分析分数应用题“比差”与“比倍”的差异，明确解题方法

当分数应用题中的分数以“倍数”或者以“具体的量”出现时，虽然区别仅在于分数后边有无单位名称，但其意义相差甚远。不带单位名称的是“比倍”问题，表示的是份数或倍数；而“比差”则是带有单位名称表示相差数。搞清楚分数的“比差”，和“比倍”是解决此类问题的的关键，也是分数应用题教学的重难点。

为了解决这个难点，笔者在教学时对例题进行了改变：

人教版六年级数学课本17页中的“例题3、广州平均日照1608小时，北京平均年日照时间比广州多。北京平均年日照时间大约多少小时？”可将此题条件改为“北京平均年日照时间比广州多小时。”又如课本90“例4、学校图书馆原有图书1400册，今年图书册数增加12%。现在图书室有多少册图书？”笔者只是将“增加12%”改为“12册”这样问题就出现了。“比倍”中的分数“多和增加12%”不代单位，而表示整个量的几分之几，被当作分率看待。同时，通常情况下“甲数比乙数多几分之几”与“乙数比甲数少几分之几”是不相等的。

通过比较教学使学生明确：“比倍”中的分数是不带单位的，表示为单位“1”的几分之几，是分率，解题时运用乘除法解决问题。“比差”问题通常是带有单位的，在计算过程中应用减法。通过比较教学，明确将该问题分为两类，有助于学生理解和准确把握此类题目的特点，提高学生提取题目有效信息的能力，形成快速解题的策略，培养学生思维的灵活性。

二、找准单位“1”，明确分率和比较量的对应关系，是解决分数应用题的核心

课程标准要求小学生需要掌握的分数应用题一般分为三种类型：

一是“求一个数是另一个数的几（百）分之几？”

二是“求一个数的几（百）分之几是多少？”

三是“已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数是多少？”

这三种类型是所有分数应用题的教学根基，每种类型中都包含着三个基本要素：标准量（单位“1”对应的量）、比较量（对应分率不是单位“1”的量）、对应分率（每个量都对应着一个分率，标准量对应的分率是单位“1”）。然后根据分数乘法的意义“求一个数的几分之几（或百分之几）是多少，用乘法”，我们可以知道： “一个数”就是标准量，“多少”就是比较量，“几分之几也”就是“分率”，根据分数乘法和分数除法的意义就可以概括起来为以下三个基本公式：

1.比较量=标准量妆冉狭慷杂Ψ致？

2.标准量=比较量鞅冉狭慷杂Ψ致？

3. 比较量对应分率=比较量鞅曜剂？

为方便学生记忆，笔者在教学中将上述三个公式总结为“三角形法则”。如图1所示，并结合口诀辅助记忆。

学生在学习分数除法后，很容易混淆分数乘法和除法应用题，这时根据课本46页第2题，笔者设计了以下练习，让学生加以区别，以巩固所学知识。

（1）张大爷养了200只鹅，鹅的只数是鸭的，养了多少只鸭？

（2）张大爷养了200只鹅，鹅的只数比鸭少， 养了多少只鸭？

（3）张大爷养了200只鹅，养鸭的只数比鹅多，养鸭多少只？

（4）张大爷养了200只鹅，养鹅的只数比鸭少，养鸭多少只？

（5）张大爷养了200只鹅，养鸭900只。

①养鸭的只数是鹅的几（百）分之几？

②养鹅的只数是鸭的几（百）分之几？

③养鹅的只数比鸭多几（百）分之几？

④养鸭的只数比鹅少几（百）分之几？

⑤鹅的只数占鹅鸭总数的几（百）分之几？

借助动手操作，画出线段图，数型结合思想是数学教师教学的有效方法之一，也是学生解数学题的有效途径之一。笔者在教学中经常渗透数型结合的思想，这不仅能帮助学生更好的理解题意，有效区分乘除法，还能更好的培养学生的空间思维。在做分数除法应用题时，引导学生写出线段图，找到隐含条件，等量关系也就一目了然了。在实际教学中，可据（1）（2）（3）题的题意作出如图2所示的线段图，其余题目亦可如法炮制，直观有效的表明数量关系。

教学中通过引导学生比较习题中各题的异同，作出线段图、找单位“1”、分析数量关系等途径，找出解决问题的方法，以加深学生对这些题目的理解。学生掌握了解题规律和方法后，以后遇到这类题就容易注意到知识的沟通与联系，形成比较，并归纳出一般方法，从而培养了学生灵活运用知识的能力 。

三、尝试一题多解，是培养学生的发散性思维和灵活运用知识能力的有效手段

课程标准要求：“运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。”要防止学生生搬硬套，减少思维定势带来的消极影响，则应该培养学生的求异思维能力，运用观察、联想等手段，提高学生思维的流畅性。

比如：课本37页例题4.小明体内有28千克的水分，根据测定儿童体内的水分约占体重的，小明重多少千克？教学中笔者采用了三种方法教学：

①方程法。设小明的体重为x千克，列出方程“x=28”；

②分数法。

③归一法。

通过用不同的方法解决问题，学生更加明确数学知识是相互迁移和相互渗透的，有助于提高学生的思维能力。

总之，按照课程改革和创新教育的要求，我们要以课本作为参照，通过比较归纳，积极构建分数应用题教学模式，多角度全方位培养学生自主参与和主动探索的意识，培养学生创新精神和创新能力。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版.

第5篇：百分位数的求法高中数学范文

一、比较之一：概念教学

概念是正确推理和判断的依据，它反映的是认识对像的空间关系与数量形式的本质属性，例如平行四边形的概念，有四条边，对角线互相平分，两组对边分别平行。在小学数学教学中概念很多，有数的、运算的、比和比例的、几何形体的等有关概念。其中很多是描述较抽象的概念，小学生要清晰地掌握概念普遍存在一定难度，但许多概念之间又有着密切联系，如果在概念教学中充分比较其相同与区别，可使学生清楚、准确地形成所学知识的数学概念。

1.学习新概念。有些概念与学生原有的旧知识联系十分紧密，教师在备课时要分析这个概念是建立在哪些已学过的数学知识基础上，然后在复习旧知识的过程中引出新概念，使学生明确新概念与已经学过的知识间区别与联系。这样既巩固了旧知识，又学了新概念，还有利于精讲多练。如在学习“约数”、“倍数”概念时，复习“整除”概念，明确整除的各个环节，就会水到渠成地引出新概念“约数”与“倍数”。

2.巩固概念。巩固概念是识记概念和保持概念的过程，是加深理解和灵活运用概念的过程。为使学生巩固所学的概念，教师应有意识地把一些相关的易混淆的概念提出来让学生回答，反复感知，反复比较，错误校正的过程就是学生巩固概念的过程。

3.深化应用概念。运用所学概念解决实际问题的根本就是掌握数学概念，而深化理解概念就是灵活运用概念的过程。能运用概念分析和解决实际问题。这个时候教师在概念题目的选择上要精心选择，交叉安排。

例如教百分数时，首先让学生理解百分数的概念，初步认识读写法之后，让学生思考这样一个问题：百分数与分数有什么联系和区别？这样引导学生把百分数与已学的分数进行比较区分，使学生学习并掌握：①百分数是分数中的一种情况，相同点都是表示两数之间的倍数关系；不同点是分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，还可以表示具体数量，可带计量单位；而百分数只表示两个数量的倍数关系，不能带有计量单位；②百分数和分数在书写形式上也有区别；③百分数和分数的适用范围不同。百分数适用于生产、工作以及生活中的调查、统计、分析和比较。而分数则适用于测量以及在计算中得不到整数结果的时候。如：1米是多少？这时就得不到整数结果，需要用分数表示。通过比较，学生不仅清楚地理解、掌握百分数的概念，还复习巩固了分数这一概念；安排练习题时出现两种类型的交叉配合，区别异同，才能在今后的应用中不会混淆，遇到题目能准确地判断出来。

二、比较之二：应用题教学

充分运用比较法在应用题教学中，能使学生清晰理解数量关系，从而掌握解题方法。

简单应用题与复合应用题能使学生轻松掌握解答复合应用题的步骤；具有互逆关系的应用题要比较它们的解题思路，明确它们间的相互联系，可使一步计算的组合成多步的，从而构建起完整的解题思路；经常进行一题多解、一题多变、变换叙述形式的应用题的比较；比较单位“1”已知和未知；比较算术方法与方程解题的异同，等等。通过各种比较，学生就能较深刻地把各具体“对象”从“背景”中一一分化出来，有效地克服了思维的表面性，避免产生思维定势。比同与辨异的训练，使学生思维严密、细致、系统，有效促进了解题能力的提高，培养了学生思维的灵活性与创造性。例如：

①已知桃树有240棵，梨树比桃树多，求梨树的棵数。

②已知桃树有240棵，比梨树多，求梨树的棵数。

第6篇：百分位数的求法高中数学范文

[关键词]VFP；数学题；编程。

中图分类号：TP313 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）05-0262-02

Visual FoxPro（简称VFP）是最为实用的数据库管理系统和中小型数据库应用系统的开发工具之一，它为数据库结构和应用程序开发而设计。它即是一种结构化编程语言，也是一种可视化面向对象的编程语言。它具有编程纠错方便、操作简单的特点。无论将程序多么复杂，要运算多少次，计算机都会很快地给出程序的运算结果。为了提高教学效果和教学质量，提高学生的学习兴趣，我们可以将古代一些典型的有代表性的数学题目，通过编程来解决，下面就结合具体实例进行分析。

1 百鸡百钱

我国古代数学家张丘建在《算经》一书有一道百鸡百钱问题的数学题，其内容为：“鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”

其意思是：一只公鸡值五元钱，一只母鸡值三元钱，三只小鸡值一元钱，现在用100元钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

1.1 数学解法

用数学方法解该题如下：

解：由题目知公鸡一只值钱五：母鸡一只五值钱三，三只小鸡值钱一。而现在一百钱买一只百鸡，所以公鸡数量要最多为20只。

设公鸡x只，母鸡y只，，小鸡100-x-y只，

所以5x+3y+（100-x-y）/3=100

且x，y为整数，所以可以得出正确答案，

有三种答案：（1）公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只

（2）公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只

（3）公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只

这种数学解法，难度比较较大。

1.2 VFP编程求解

如果我们利用VFP编程来解，只需按编程逻辑思路，编写好程序，然后在计算机上运行就可以了。

用Visual FoxPro 编程如下：

clea

g=1

n=1

do while g

m=1

do while m

x=1

do while x

if （5*g+3*m+x/3）=100 .and. （g+m+x）=100

？ space（10）+str（n）+'公鸡='，g

？

？ space（10）+str（n）+'母鸡='，m

？

？ space（10）+str（n）+'小鸡='，x

？

n=n+1

endif

x=x+1

enddo

m=m+1

enddo

g=g+1

enddo

结果有三组： 1公鸡=4 2公鸡= 8 3公鸡=12；

1母鸡=18 2母鸡=11 3母鸡=4 ；

1小鸡=78 2小鸡= 81 3小鸡=84 .

二、百馍百僧

我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：？“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？

2.1 数学解法

数学解法（一）

设未知数列方程求解。

解：设大和尚有x人，则小和尚有（100-x）人，根据题意列得方程：

3x+1/3（100-x）=100

解方程得：x=25

小和尚：100-25=75人

数学解法（二）：

（1）假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？

3×100=300（个）.

（2）这样多吃了几个呢？

300-100=200（个）.

（3）为什么多吃了200个呢？这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？

3-1/3=8/3

（4）每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：

200÷8/3=75（人）

大和尚：100-75=25（人）

2.2 VFP编程求解

用Visual FoxPro 编程如下：

clea

dhs=1

xhs=1

n=1

do while dhs

if （3*dhs+1/3*（100-dhs））=100

xhs=100-dhs

？ space（10）+str（n）+'大和尚='，dhs

？

？ space（10）+str（n）+'小和尚='，xhs

？

n=n+1

endif

dhs=dhs+1

enddo

运行程序得到结果：大和尚=25

小和尚=75

3 百羊问题

我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》里有这样一题：“甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑。玄机奥妙谁猜透？”根据程大位自述，这道题是他在1406年参加《永乐大典》编纂工作时，用业余时间编制的。这道题不仅在我国流传很广，而且国外不少数学家也广为引用，或进行改编。题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面。乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只。”请问甲原来赶的羊一共有多少只？

3.1 数学解法

算术方法解答的解是： （100-1）÷（1+1+1/2+1/4）=36只

因为我们把原来的羊看为单位“1”，再添一个这样的单位“1”，再添二分之一个和四分之一个单位“1”，将总数（100只）减去乙的1只，然后相除，得36只。

方程方法的解答的解是：解：设甲有x羊。 X+X+X/2+X/4+1=100 最后解得：x=36

3.2 VFP编程求解

clea

x=1

do while x

if X+X+X/2+X/4+1=100

？ space（10）+'羊群羊数='，x

？

endif

x=x+1

enddo

4 百马百瓦

我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题目“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一。”问多少大马，多少小马？

100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马。

4.1 数学解法

解：设有x匹大马，y匹小马。

由题意得：x+y=100

3x+（1/3）y=100

解得：x=25

y=75

答：有25匹大马，75匹小马。

另解 设大马有x匹，小马就有100-x匹，由题意得；

3x+1/3（100-x）=100

解得x=25

所以小马=100-25=75（匹）

但是还有一种假设法，这里是思路；

假设全部都是大马

则拉的瓦=100*3=300

多出300-100=200片瓦

是因为把小马拉的也算进去了，只要算出200片里有多少个1/3（100-大马）就行

假设小马同上。

4.2 VFP编程求解

用Visual FoxPro 编程如下：

set talk off

clea

dm=1

do while dm

xm=1

do while xm

if （3*dm+xm/3）=100 .and. （dm+xm）=100

？ space（10）+'大马='，dm

？

？ space（10）+'小马='，xm

？

endif

xm=xm+1

enddo

dm=dm+1

enddo

变换马数和瓦数，在程序中重新设定新的值，再到计算机上运行程序，如果新设定的数值不恰当，程序就不会给出新的结果；如果新设定的数值是恰当的，计算机就会结出新的结果，操作非常简便。

中国古代数学著作中有一些数学题目极具代表性， 特别是一些趣味问题在后世广为流传。以上只是其中的四个典型例子，我们在古人智慧的基础上，借助现代的VFP计算机编程求解，其中的手工运算改由计算机自动完成，时间节省了，正确率又得到了保证。通过上面的VFP编程求解，可以看出比数学解的优势，将其程序中数值重新设定后在计算机上运行，马上就可以得到一个新的结果，从而对分析题目，推定可能的多种结果或扩大范围搜索时就显得十分方便，可见事半功倍的效果。这样将古人智慧和现代科技的巧妙地融和，用之于课堂教学，可以大大提高受古圣贤人的聪明才智，激计算机编程的趣味性、生动性，同时也可以让学生们在学习过程中感发学生的学习主动性、积极性，提高学习兴趣，使枯燥的计算机编程变得生动有趣。

参考文献

第7篇：百分位数的求法高中数学范文

一、关注学生认知，着力于共情点

学生对于新知识的接受和纳入，都是立足于已有的数学认知结构的，教师应紧扣学生的原有的认知基础和生活经验，创设生动具体的数学活动情境，把教材内容和数学现实有机地结合起来，这样既符合学生的认知特点，又充分地激发了学生学习数学的内在需求，让学生通过经历和体验学习数学知识，帮助学生沟通知识点之间的联系，摒弃直接获取数学结论的灌输方法，培养学生科学的思考问题，自主寻找解决问题的策略，发展学生的数学情感与态度。

例如，教学人教版五年级下册“2的倍数的特征”时，教师组织学生进行游戏，即学生任意说出一个数，让教师判断出这个数是不是2或5的倍数，学生惊叹教师神奇的判断力时，自然导入课题。教师运用课件出示教材主题图，学生观察后，利用已有的生活经验和知识基础，了解到电影院“双号”的概念，学生利用已学的因数和倍数概念，判断出座位号为2、4、6、8、10……这些双数都是2的倍数，教师继续引导学生观察座位号个位上的数的特点，学生发现到个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。教师提出：“我们班准备举行结对子活动，让一个学习较好的同学与另一个学习较差的同学，结成2人一组的对子，在学习活动中相互帮助，我班共有50人，可以结成几组对子呢？怎样列出算式？”学生带着问题进行列式探究，教师在黑板上根据学生回答依次列出：1×2=2（人）；2×2=4（人）；3×2=6（人）；4×2=8（人）；5×2=10（人）……25×2=50（人）。教师让学生观察以上算式，从中能发现到什么？学生在探究中发现结成对子的人数都是2的倍数，个位上的数是0、2、4、6、8，教师则让学生进行验证：判断一个数是不是2的倍数，只要看看这个数的个位是什么数。教师利用学生已有的实际经验，激发学生探究的需求，引导学生积极主动地观察、抽象与概括，体验与感悟出数学现象的共同特征，提炼出数学概念，掌握学习数学的基本方法。

二、注重问题引领，创预设促生成

新课标要求“不同的人在数学上得到不同的发展”，因此，教师要根据学生已有的知识水平和思维特点，创设富有思考价值的问题情境，努力做到由易到难、由浅及深，从形象深化到抽象，最大限度地启发每一个学生进行思考，锤炼学生数学思维，促使学生数学思维从未知区域走向最近发展区域，最终转化到已知区域。教师要关注学生学习过程，合理地改进预设，为师生创造性地教与学提供时空，渗透数学思想方法，培养学生类比、归纳和推理的能力，有效地建构数学知识体系。

例如，教学人教版三年级下册“口算除法”时，怎样利用学生已有的知识和经验，以及乘除法之间的联系，让学生将掌握的口算乘法迁移到口算除法，力求培养学生的迁移类推能力？有一教师先出示：①6÷3=（ ）；②60÷3=（ ），要求学生独立思考这道题如何口算出来？学生经过探究交流后，一部分学生认为6÷3=2，所以60÷3=20；一部分学生想出先把60转化成6个十，由于6÷3=2，6个十除以3等于个2十，即20；另一部分学生认为把除法转化成乘法解决问题，也就是2×3=6，20×3=60，所以60÷3=20……教师通过合理预设，拓宽学生探究时空，引领问题解决过程，让学生通过积极自主探究，适时把转化这种数学思想方法渗透于解决问题当中，让不同水平的学生在自己思考的基础上弄清了算理，体现出算法的多样化。又如，教学人教版五年级上册“用字母表示数”时，有一教师先以生活实例导入课题，接着让学生利用学具袋中的小棒摆三角形，并列出式子，学生充分经历操作过程，体验与感悟到：摆一个三角形需要3根小棒，即1×3；摆2个三角形需要2个3根小棒，即2×3；摆3个三角形需要3个3根小棒，即3×3。教师提出：“如果要摆出n个三角形，需要多少根小棒？怎样列式？”学生探究后，得出：摆出n个三角形需要n×3小棒。学生经过具体形象地探究后，体会了摆出的三角形与所需小棒的个数之间联系，从具体的算式抽象到用字母表示的数量关系，实现从具体到抽象的探究过程。教师则出示例4第（1）题，引导学生探究其中蕴涵的字母式，并解决问题，理解了含有字母式子的数量关系和具体意义，让学生体会到由个别到一般的认识需要，培养了学生的抽象思维能力和归纳概括能力。

三、设计分层探究，提合作参与度

第8篇：百分位数的求法高中数学范文

一、铺垫导入

1.听老师念应用题，然后让学生根据题意，分别说成一道文字题，再口答算式。

（1）某村去年造林20公顷，今年造林25公顷。去年造林是今年和几分之几？

（2）某工程队七月份修路20千米，八月份修路25千米。七月份修路是八月份的百分之几？

师：同学们想一想，这两道题的算式为什么会一样呢？

教师引导学生通过观察、比较、分析，明白“分数应用题”与“百分数应用题”的解题思路和方法是相同的。

2

2.讨论题：有的同学认为“3米比5米少─，也可以说成5米比3米多

5

2

─。”这样说对不对？为什么？

5

通过讨论，让学生明确：解答分数应用题时，关键要找准单位“1”的量，要分清楚是哪个数量与哪个数量相比较。

3.补题导入。

教师出示一道不完整的应用题：“一个乡去年原计划造林12公顷，实际造林14公顷。”要求学生想一想：根据题中的已知条件，可以提出哪些求百分之几的问题？

学生可能提出很多个问题，教师选择“实际造林比原计划多百分之几？”的问题，变成例3。然后揭示课题。

〔注析：这个数学环节的设计，具有“活、实、趣”的特点：（1）听题答题，形式活泼；（2）诱导讨论，训练落实；（3）补题导入，新颖有趣。〕

二、学习新知

1.明确目标。

师：看到例题和课题，同学们想一想，议一议，这堂课我们要学习哪些内容？达到什么要求呢？

归纳学生的回答，展示学习目标。（略）

2.自学新知。

师：（指着例3）怎样解答这道题呢？请大家边看课本例3的解法，边思考以下几个问题：（1）从问题看，

是哪个数量和哪个数量相比较：应当把哪个数量看作单位“1”？（2）求实际造林比原计划多百分之几，就是求什么数量占什么数量的百分之几？应该先求什么？再求什么？

〔注析：培养学生自学能力是为学生今后的“自我发展”打好基础。但自学能力的培养要讲究策略，要做到主导性和主体性相统一。让学生自学课本，从课本中自主探究，获取知识，这是学生自主学习的重要形式，突出了主体地位。思考题的设计体现了教师主导的必要性。〕

3.启导理解。

（1）师生共同作例3的线段图，并让学生在线段图上指出“多”的部分是（14—12）公顷。

（2）指名回答自学思考题，着重启发引导学生理解：“求实际造林比原计划多百分之几？”列成关系式是：多的公顷数÷原计划的公顷数＝所求。

（3）根据以上分析，启发学生列出算式（指名口头列式，教师板书）。

〔注析：“学导式”中的“启导理解”有别于传统教学方法的教师主宰讲解。它要求教师必须采用启发式进行教学，要充分发挥学生的主观能动性作用，让学生主动参与感知、探究、理解、内化的学习过程。在学生感知应用题内容的基础上，画出线段图，再探究解题的关键，理解数量关系，把内化的解题思路与方法外化为解题算式，这教学轨道吻合学生的认知规律。〕

4.质疑问难。（如果有些问题学生没提出来，教师也可自我设问挑疑，将学习引向深入。）

（1）这道题还有其他解法吗？

指导学生看分析图，讨论新的解题思路。算式：14÷12－1≈1.167－1＝0.167＝16.7％。

（2）如果把例3中的问题改成“原计划造林比实际造林少百分之几”，该怎样解答？

先引导学生从问题看，思考是哪两个量比较？把谁看作单位“1”？（可让学生迁移运用学习例3时的方法，教师要特别注意学习方法的指导。）

（3）学生有可能还提出以下一些疑问：例3第2种解法中的“14÷12表示什么？“1”表示什么？“1”能不能写成100％？怎样正确使用“约等于号”和“等于号”等问题，教师可根据实际情况，灵活释疑，既可以由教师直接解疑也可以让学生互相解疑。

〔注析：质疑问难能力是学生文化科学素质、心理素质的综合反映，培养学生质疑问难能力是素质教育的需要，是“学导式”教学法的一个着力点。这里并不拘泥于“学导式”的教学程序，而是根据教材编排特点和认知规律，灵活调换教学步骤，将“质疑问难”放在“启导理解”之后，既便于引出其他解法，又有利于根据学生的差异性调整、补充、修正教学思路。〕

5.归纳学法。

（1）引导学生将例3的第一种解法和改变问题后的第一种解法进行比较。异同点在什么地方？为什么除数不一样？

（2）通过学生讨论，归纳出求一个数比另一个数多（或少）百分之几的应用题的一般步骤：①认真审题，分清题中的已知条件和问题，弄清数量关系；②抓住问题，知道什么数量和什么数量相比较；③把哪个数量看作单位“1”（作除数），把哪个数量看作比较量（作被除数）；④懂得应先求什么，再求什么？列式解答。

〔注析：重视学习方法指导，是“学导式”教学法的一个精髓。这个教学步骤意在教会学生主动获取知识的技能和方法，使学生能够适应未来社会发展的需要。〕

三、迁移练习

1.完成第31页的“做一做”。

2.完成练习九第1、2题。

订正时，要求学生说出解题思路和方法。

〔注析：“学导式”教学法重视发挥课本习题的导向作用。这个教学环节体现面向全体学生，着眼基础知识的全面掌握，是带有普遍意义的基本练习和应用。〕

四、深化应用

1.比一比，看谁提的问题（百分数应用题）多，又能正确解答。

电视机厂五月份生产电视机4000台，比六月份少生产1000台。_____________？

2.根据算式“（25－20）÷25”，编分数应用题与百分数应用题各1题。（对优等生要求独立编题，中差生可以参照铺垫题第1题编题。）

〔注析：这个教学环节的设计体现因材施教和差异教育的特性，使不同层次的学生都能获得成功感，努力使不同层次的学生都能达到各自的最佳发展水平。〕

五、课堂总结

1.对照学习目标，回顾本节课学习的内容。

2.比较铺垫题第1题和深化应用的第2题的异同。寻找分数应用题和百分数应用题的内在联系，归纳整理知识系统：分数应用题与百分数应用题解题的相同点：①数量关系相同；②解题思路一样；③解答方法相似。不同点：计算结果用分数表示，或用百分数表示。

〔注析：这个教学环节通过引导学生对新旧知识的比较，完成认知结构的重组，使知识系统化，使学生形成认知网络，发展了学生的思维能力，提高了学生的学习效益。〕

第9篇：百分位数的求法高中数学范文

一、 概念是认知结构的基础与核心

笔者认为，数学教学关注并促进学生构建良好的认知结构是至关重要的。所谓良好的认知结构主要包括两个方面：一方面，是指理解并清晰把握知识与知识之间的关系，即明确每一个知识点之间内在与本质的联系，并在需要时能够灵活地调用、变通与转化，以解决数学问题，这是一种横向的、网络状的结构；另一方面，是指对于每一个知识，不仅要知道它的名称与定义，还应具备对它进行判断、计算与应用等各个层次的相应能力，能解决涉及该知识不同水平要求的数学问题，即拥有该知识从记忆到应用的丰富能力结构，这是一种纵向的、多层次的结构。良好认知结构的这两个方面，反映了数学思维的广阔性和深刻性，对数学概念的建构就应如此。无论是从横向的还是纵向的结构分析，我们都可以发现，数学概念是整个数学认知结构的基础与核心，其解决问题的实质就是概念的应用。

二、 完整概念的要义是它的能力结构

概念教学绝不仅仅是让学生知道概念名称、记住定义，它需要教师在对概念的构成要素进行深入分析、充分把握的基础上设计有效的情境，选择合适的教法，促使学生全面、扎实地掌握概念。

在小学阶段，数的概念和几何概念是两类最重要的数学概念。数的概念教学一般称为数的意义或认识的教学，一个完整的数学概念建构应该包括以下一些要素：（1）知道数的定义（正式的或描述性的），能正确地读与写；（2）理解数的本质特征，能正确地解释现实情境中数的实际意义并举例；（3）掌握数的计量单位及组成规则，能正确地分解和组合；（4）建立数的大小的基本观念，能用自己的方式正确描述数的大小，能对数的应用的合理性作出评价。数学概念中这四个层次的要素其思维水平是逐步上升的，是从知识到能力的发展过程。下面以“百分数的意义”为例再作进一步的具体分析。

从教学目标来看，“百分数”概念的良好认知结构应该包括以下几点。

1. 知道百分数的定义。即“百分数表示一个数是另一个数的百分之几”“百分数也叫做百分率或百分比”；认识百分数并能正确地读、写百分数。例如，读一读：45%、0.8%、100%、115.02%；写一写：百分之十八，百分之六十点五……这是百分数概念构成要素中的基层，是最低水平的要求。

2. 正确理解具体情境中百分数的意义。即它表示的是“谁与谁的比”“谁是百分之一百”；体会百分数与除法、分数之间的联系，即它们都表示一种倍数或比的关系。例如：数学期末考试优秀率66.7%，说一说这个百分数的意义（谁与谁比较？谁是谁的66.7%？谁是100%？）。这个层次的思维要求是理解百分数的本质属性，所以至关重要，这也是知识内化为能力的重要阶段。

3. 理解百分数只能表示两个数之间比的关系，不能表示某个数量的具体大小，分辨百分数与除法、分数之间的区别。这是进一步理解百分数的本质特征，正确进行概念应用的前提。

4. 应用百分数的意义。选择正确的百分数运用于问题情境，或对问题情境中百分数应用的合理性作出评价。例如，将92%、120%、2%分别填入合适的括号里：

（1） 高速公路上，小轿车速度是大客车速度的（ ）。

（2） 学校这个月的用水量是上个月的（ ）。

（3） 小明今年长高的厘米数是去年身高厘米数的（ ）。

应用与评价是概念建构的最高阶段，是能力的体现，对数学概念的学习，只有将思维水平提升到这一层次，才能实现对概念的完整建构，才能实现从数学知识到数学能力的发展目标。

同样，几何概念是几何学习的起点，也是几何计算和几何操作的方法基础。一个完整几何概念的建构，也包含了丰富的能力层次。例如，“周长”概念的形成，应包含以下一些能力要素。

（1） 知道周长的定义，能表述什么是周长。

（2） 能用自己的语言正确描述或指出一个平面图形的周长。

（3） 能根据周长的意义通过测量、计算等基本方法求出一个平面图形的周长。

（4） 能应用周长的意义进行判断和推理，并解决数学问题。

从布鲁姆的学习目标分类理论来看，概念的能力结构正好体现了“记忆、理解、掌握、应用、评价”的思维发展过程。

三、 概念教学的核心是形成良好的能力结构

让学生形成结构完整的数学概念，是概念教学的核心目标，也是进一步学习计算和解决问题的基础。数学能力即生发于此。因此，如何让学生真正掌握好数学概念，形成完整的能力结构，是教学设计和教法选择思考的重点。

（一） 要认真分析概念的结构

这是概念教学设计、确定知识技能目标的第一步。通过概念分析，明确概念的能力构成，清楚学生掌握该概念应该包括哪些层次的能力要素，理清这些能力要素的思维水平和要求，才能做到心中有数，意图清晰，环节目标明确，才能在教学中有层次地引导学生从知识到能力逐步提升。例如，四年级上册“垂直”概念的教学，这是小学数学中的一个基础性概念，对后续的学习非常重要。对它的良好建构，应该包括以下四个层次的能力要素。

（1） “互相垂直”的定义及其表述。

（2） 判断“互相垂直”的方法和垂线的画法。

（3） “垂直关系”与平面上两条直线间其他位置关系的联系与区别，即互相垂直是平面上两条直线位置关系中的特例，同时体会垂直还是描述空间距离的前提。

（4） 应用垂直的概念解决数学问题，如测量距离、判断是否平行等。

通过这样的分析，目标指向就变得非常清晰，教学设计有了明确的导向：每一个环节要探讨什么问题，达到怎么样的思维要求，教学方法如何选择，学习活动如何组织，应该设计怎样的问题情境才有利于学生达到相应的能力水平……这些都有了清晰的依据和思考标准。当然，概念的建构过程具有师生的个性特征和时间上的差异，不能简单的一概而论。

（二） 要突出概念的核心能力要素

一个概念的结构中含有多层次的能力要素，但教学时要避免平均用力，应突出其核心的能力要素。首先，概念结构中的这些要素对概念建构的重要性是不同的，只有涉及对概念本质属性的理解和应用的要素才是最应重视的；其次，概念的建构具有过程性，有时一个概念结构的完全形成并非在一节课中能完成，可能需要一个阶段，因此教学过程中应突出最核心的要素。仍以“百分数的意义”为例，在所有能力要素中，“理解具体情境中百分数的意义，体会百分数与除法、分数等都表示一种倍数或比例关系”和“理解百分数只表示两个数量之间的比例（倍数）关系，不能表示某个数量的具体大小，分辨百分数与除法、分数之间的区别”这两个要素是最重要的。因为一方面它们反映的是百分数概念最本质的属性，另一方面它们是后续有关百分数计算和用百分数解决问题的直接基础。因此，对于前者，教师仅仅让学生解释意义是不够的，需要进一步地深入探讨与理解。例如：

（1） “一件衣服面料中棉占75%”是什么意思？棉的成分可能是100%吗？可能是105%吗？为什么？

（2） “有甲、乙两块地，甲的面积是乙的面积的80%”是什么意思？甲的面积可以是乙的面积的100%吗？这个时候你想到了什么？可以是120%吗？为什么？……

通过讨论与交流，促进学生理解“部分与总量的关系”以及“两个量之间的关系”这两种百分数的意义。而对于后者，教师同样要精心设计问题，做重点的讨论与交流。

例如：“甲、乙两根绳子，甲的长度是乙的长度的”，你能想到什么？还能怎么表达它们之间长度的关系？（甲的长度是乙的0.8倍，甲的长度是乙的80%，甲的长度与乙的比是4∶5……）那么如果“甲的长度是米”，还可怎么表示呢？（可以用0.8米表示）

通过这样的讨论，教师促进学生进一步理解把握百分数的本质特征，突出对“百分数也叫百分率或百分比”的理解，建构层次丰富的概念结构。

（三） 要重视对概念的数学表征

数学表征是用直观、简洁和概括性的方式来揭示数学关系的方法，它反映了学生对数学概念和数学规律等数学知识的建构方式和理解程度。因此，概念教学中重视对概念进行直观、科学的表征，不仅能检测学生对概念的理解是否正确，更能促进学生对概念的深入领会和正确建构。下面是一位教师在教学四年级上册“1亿有多大”中设计的一个环节，目标是研究“1亿粒米有多重”。

（1） 提供信息：“100粒米约2.5克”“50克米约2000粒”。

（2） 学生推算。

（3） 汇报结果：1亿粒米重约2500千克。

（4） 具体表征：如果每袋米50千克，可盛50袋；如果一个人1天吃0.5千克，可吃13年……

“1亿”是一个大数，在“1亿”这个概念结构中，最容易的是“10个千万是1亿”这个知识，但教学不能仅停留于此，而最难的是“具体直观地描述1亿数量的大小”，即建立1亿的基本观念并进行评价，通过以上的具体表征过程，就能够较好地突破这个难点。

同样，在“百分数的意义”教学中，教师可以让学生用自己的方式表示出25%的意义。这是一种多元表征，可以将学生对“25%”的理解用多种方式表征出来，使其头脑中的认知结构得以外显。如“苹果的质量占水果总质量的25%”，“下图阴影部分占整个图形面积的25%”……当学生能够以这样的方式来表示对25%的理解时，概念的本质特征就较好地建构起来了。

（四） 要重视设计有效的情境

学生学习过程中数学思维的发展与教学设计提供的情境和材料密切相关。有效的情境包括问题提出的情境和概念应用的情境。概念应用的情境，是促进学生对概念的掌握达到应用层次的有效手段。所谓的概念应用，不是它的定义内容的简单再现，也不是方法公式的直接套用，而是在一个新的情境中用概念的本质属性进行判断与推理，并解决问题的过程。例如，在认识“周长”以后让学生思考：“下列图形中，阴影部分周长占正方形周长一半的图形是（ ）。”学生在解决问题时必须先确定阴影部分的周长是什么？由哪几部分组成？它与正方形的周长又有怎样的关系？这样的思考是基于能力和概念应用的，而不是简单地套用公式计算周长。