初中数学求最值的方法精选(九篇)

第1篇：初中数学求最值的方法范文

关键词 高等数学 初等数学 联系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

On the Contact of Higher Mathematics and Elementary Mathematics

LIU Yating

(Mathematics Department, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi, Guizhou 562400)

Abstract In recent years, with the reform of high school mathematics curriculum, elementary mathematics and mathematical convergence of more and more. Therefore, in order to learn higher mathematics, must have a solid elementary mathematical basis. Higher mathematics is not as mysterious as imagined, precisely, it has a fixed pattern to follow as long as we have a solid elementary mathematical foundation, advanced mathematics to learn to be getting. At this point, I talk about the links of higher mathematics and elementary mathematics.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; contact

1 初等数学中一阶导数在高等数学中的应用

1.1 用一阶导数讨论函数的单调性

在初等数学中要讨论某一函数的单调性，一般根据函数单调性的定义来做，但在高等数学中，我们只需要根据一阶导数与0的大小关系来判断，即：

定理1 设函数在[]上连续，在（）内可导，则

（1） 若在（）内＞0，则函数 = 在[]上单调减少；

（2） 若在（）内＜0，则函数 = 在[]上单调增加；

例1 讨论函数 = 的单调性。

解：函数 = 的定义域为（-∞,+∞），令 = 0，则 = 0将（-∞,+∞）分为（-∞,0]，[0,+∞）两个部分区间。

当时∈（-∞,0）， ＜0，则函数 = 在（-∞,0]上单调减少；当时∈（0,+∞）， ＞0，则函数 = 在[0,+∞）上单调增加。

此题若用初等数学中定义来讨论，从思维上讲并不难，但其解答过程要比用此方法复杂，由此可见，有时我们用高等方法去处理初等数学问题会比较便捷。

1.2 用一阶导数计算极限

当我们在求商式的极限时，经常会遇到未定式（即型或型），对于这种极限，我们常常使用洛必达法则：设当（或∞）时，函数和都趋于零，在点的某去心邻域内（或当||＞时），及都存在且≠0， 存在（或为无穷大），则 = （或 = ）。

例2 求

解：此极限是未定式型，由洛必达法则得 = = =

例3 求

解：此极限是未定式型，由洛必达法则得 = = = = = 3在使用洛必达法则时，若经过分子、分母分别求导后还是型或型，应继续使用洛必达法则，直到极限不是未定式即可。

2 待定系数法在高等数学中的应用

在初等数学中，待定系数法是一种比较常见的、重要的解题方法，它常常起到化难为易、化繁为简的作用，在高等数学中，我们也要用到待定系数法。

2.1 待定系数法在不定积分中的应用

对于不定积分中的某些被积函数，我们无法直接找到被积函数的原函数，就可以采用待定系数法把被积函数拆成几项，然后再对每一项积分即可。

例4 求

解： = 可分解成 = + （*）其中、为待定系数。将（*）式两端去分母得： = + ，在此式中，令 = 2得 = -5，令 = 3得 = 6，从而 = + ，故 = （ + ） = -5 + 6 = -5|| + 6 || +

2.2 待定系数法在微分方程中的应用

例5 求方程 + = 的一个特解。

解：因方程 + = 的自由项 = 中的 = 0恰是特征方程 + = 0的一个根，故可设原方程的一个特解为 = （） = + 直接将代入所给方程得： + （2）= ，即 + + = 比较系数得：亦即：因此 = 为所求特解。

3 用高等数学方法去求初等数学中的最值

例6 求函数 = 的最大值

解：此题若用初等方法，先计算一阶差分 = = = ，易知0≤≤4时，有＞0，从而＞，即＜＜＜＜＜，而当≥5时又有＞0，从而＜，即：＞＞……由上可见，当 = 5时，取最大值= = ，但这种方法一般不容易想到，若用高等数学的方法去处理，就很容易找到最值点。

另解：对原函数求导得 = = 令 = 0，得 = 0，用求根公式得 = -1+或 = -1，，因函数的定义域为（-∞,+∞），故 = -1+和 = -1将其分为三个区间（-∞,-1]，[-1,-1+]，[-1+,+∞）。

当∈（-∞,-1）时，＜0函数在（-∞,-1]上单调减少；当∈（-1,-1+）时，＞0函数在 [-∞, -1]上单调增加；当∈（-1+,+∞）时，＜0函数在[-1+,+∞）上单调减少。

由此可知：在（-∞,+∞）内存在最大值，而又只有一个极大值点 = -1+ ，所以当 = -1+时也为最大值点，又因∈而4＜-1+＜5，所以 = 5为最大值点即：= = 。

当然，初等数学与高等数学之间的联系不仅仅只是这些，它们还有许多密切的联系，总之初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸，只有掌握好初等数学的知识，才能学好高等数学。

参考文献

[1] 高等数学.同济大学第六版.高等教育出版社.

第2篇：初中数学求最值的方法范文

一、二次函数最值问题求解方法

二次函数最值的求解有比较规范的求解公式，只要正确掌握了公式的运用方式，了解什么时候运用什么公式，就能够顺利地进行求解。但是一般最值求解问题中不会是单纯的套公式求解，而会要求在限制条件进行最值求解，因此，下面就分情况讲解二次函数的最值求解问题。

1.一般情况下的最值求解

如果题目的条件是一般情况，即给出一个一般的二次函数

f（x）=ax2+bx+c（a≠0），对x没有要求限制，那么首先对a值进行判断，如果a>0，那么求出的最值就是最小值，反之则是最大值。此时运用公式x=-求出函数取最值时自变量的值，然后再代入函数，求出f（-）即可得到答案。

2.限定区间范围的最值求解方法

如果题目中给出了自变量的取值范围，要求求出在这一区间内的二次函数的最值，那么就不能单纯地用上面的公式进行求解，必须考虑x=-是否在该区间之内。例如，题目给出一个二次函数，f（x）=x2-2x-3，要求求出该函数在区间[-2，2]上的最大值。这种情况下，首先就要考虑到该最大值可能在对称轴上，也可能在区间的两个端点处，因此首先需要计算出x=-=1，这个点在区间内部，由于该函数开口向上（a>0），因此f（1）应该是该函数的最小值，此时只要再计算出两个区间端点处的值进行比较，较大的函数值就是该函数的最大值。

二、二次函数最值求解应用问题

在实际的初中数学测试中，直接考查对二次函数最值问题求解是比较少见的，反而是在应用题中通过题目要求告诉学生需要运用二次函数最值求解问题来进行应用题的求解，这种题目模型是非常热门的考点，但是只要掌握了最值求解方法，将实际问题转化为数学模型，就能够运用公式熟练地求解了。下面通过苏科版初中数学教材中的例题来讲解应用题中的二次函数最值求解问题。

例如，有一个种粮大户，他去年种植水稻360亩，今年计划多承租100～150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x亩，今年每亩的收益为440-2x元。试问：该种粮大户今年要承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？

读完题目之后可以知道题目要求求出最大总收益，这就是一个典型的最值求解应用问题。首先根据题目要求，设出最大收益为y，根据题目列出y的函数：y=360×440+x（440-2x），化简可得y=-2（x-110）2+182600，这种化简方法可以非常直观地得到答案。从化简中可以看出，当x=110时，y得到最大值。此时要注意题目给出的限制条件，因为这道题目中100<x=110<150，符合题目条件，因此，当x=110时取得最大值，最大值为182600。如果化简得到的x不符合要求，那么就要计算两个端点的函数值并比较大小，才能得到结果。

三、二次函数最值问题求解注意事项

第3篇：初中数学求最值的方法范文

【关键词】 遗传算法；，，药物动力学模型；，，参数估计，，，

摘要： 目的：将遗传算法(GA)用于药物动力学(PK)模型参数估计。方法：用MATLAB70所带遗传算法与直接搜索工具箱(GADS)或免费遗传算法最优化工具箱GAOT求得PK参数估计值。结果：GA与常用PK软件包(传统算法)计算比较，结果基本一致，各有优点与不足之处。

关键词： 遗传算法； 药物动力学模型； 参数估计

遗传算法(Genetic Algorithm， GA)［1，2］是以自然选择和遗传理论为基础，将生物进化过程中适者生存规则与群体内部染色体的随机信息交换机制相结合的高效全局寻优搜索算法。GA摒弃了传统的搜索方式，模拟自然界生物进化过程，采用人工进化的方式对目标空间进行随机优化搜索。它将问题域中的可能解看作是群体的一个个体或染色体，并将每一个个体编码成符号串形式，模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程，对群体反复进行基于遗传学的操作(遗传、交叉和变异)。根据预定的目标适应度函数对每个个体进行评价，依据适者生存、优胜劣汰的进化规则，不断得到更优的群体，同时，以全局并行搜索方式来搜索优化群体中的最优个体，以求得满足要求的最优解。

GA的基本思想是：从一个代表最优化解的一组初值开始进行搜索，这组解称为一个种群，种群由一定数量、通过基因编码的个体组成，其中每一个个体称为染色体，不同个体通过染色体的复制、交叉或变异又生成新的个体，依照适者生存的规则，个体也在一代接一代地进化，通过若干代的进化，最终得出条件最优的个体。

GA通过交叉算子和变异算子的协同作用确保状态空间各点的概率遍历性，通过选择算子的作用保证算法迭代进程的方向性。选择，交叉和变异是GA的3个主要操作算子，它们构成了遗传操作，使GA具有了其它传统方法没有的特点。但GA在国内医学研究领域中的应用较少［3］。

药物动力学(PK)专用计算机程序包，如PCNONLIN、3P87(3P97)、PKBPN1、MCPKP等，以(加权)非线性最小二乘(LS)法为基本原理，采用GaussNewton迭代法、Hartley法、莱文贝格马夸特法、单纯形法进行PK模型曲线拟合，得到PK参数估计值。本研究将GA用于PK参数估计，并与4个知名PK软件计算的结果进行比较。

1 基本GA的一般步骤

① 选择N个个体构成初始种群P0，并求出种群内各个个体的函数值；

② 设置代数i=1；

③ 计算选择函数的值；

④ 通过染色体个体基因的复制、交叉、变异等创造新的个体，构成新的种群Pi+1；

⑤ 令i=i+1，若不满足终止准则，则转移到步骤③继续进化处理。直到符合终止条件，则以进化过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止运算。

2 方法

21 方法1

MATLAB 70带有遗传算法与直接搜索工具箱(GADS)，在MATLAB命令窗口中进行gatool，将打开遗传算法GUI界面，用可视方式设置GA的各类参数。适应度函数即目标函数为：

Q=ΣWiεi2

(i=1，2，3，…，n)(1)

式(1)中，Wi为权重(一般为1，1/C或1/C2)，εi为残差即药物浓度测定值与相应药动学模型(参数θj，j=1，2，3，…，m，m为独立参数个数)计算值之差，εi独立同分布，εi的期望即均值为零，各点的εi方差相等(此时不需加权或权数为1)或不相等(此时需加权处理)，n为药(c)时(t)实验数据点对个数。

运用GA，使Qmin，则得到欲求PK参数θ的估计值。

22 方法2

应用美国Carolinna州立大学开发的免费遗传算法最优化工具箱(GAOT)，参阅GAOT工具箱手册电子版。同样可得PK参数θ的估计值。

本研究以方法1为主，辅以方法2。

3 计算实例

31 实例1

一次静脉注射氯氮平后ct数据见文献［4］，GA与PCNONLIN软件计算结果见表1。

表1 GA与PCNONLIN软件计算3房室模型PK参数估计值结果（略）

32 实例2

单剂量静脉注射盐酸川芎嗪后ct数据见文献［5］，GA与3P87(3P97)软件计算结果见表2。

表2 GA与3P87(3P97)软件计算2房室模型PK参数估计值结果（略）

33 实例3

一次静脉注射凝血胺后ct数据见文献［6］，GA与PKBPN1软件计算结果见表3。

表3 GA与PKBPN1软件计算3房室模型PK参数估计值结果（略）

34 实例4

一次静脉注射Spectinomycin后ct数据见文献［7］，GA与MCPKP软件计算结果见表4。

表4 GA与MCPKP软件计算(以1/C为权重)一次静脉注射2房室模型PK参数估计值（略）

4 讨论

由表1~4可见，GA与4个知名PK软件计算所得参数估计值基本相同。因GA中有随机性因素，故每次得出的结果不完全相同。

PK模型拟合时，经典算法需先提供较好参数初始值(为一或数个点)，否测，特别是对非线性很强的模型，可能会局部收敛或根本不收敛［1］。有的PK软件应用剩余法原理可自动计算出初始值。GA初始值为一范围。本研究用MATLAB 70遗传算法与直接搜索工具箱计算PK参数估计值时，一般用默认初始种群的向量范围即［0；1］，效果基本令人满意。因为初始范围仅仅限制在初始种群中的点的范围，后续各代包含的点可以不在初始种群的范围之内。如果了解PK参数初始值的大概范围，计算时就可以指定包含问题解的初始范围。但是，假设种群具有足够的多样性，GA可找到不在初始范围的解［1］。GA能以很大概率找到全局最优解。

参考文献

1 雷英杰，等MATLAB遗传算法工具箱及应用第1版西安：西安电子科技大学出版社，2005，146~207

2 薛定宇，陈阳泉高等应用数学问题的MATLAB求解第1版北京：清华大学出版社，2004，357~369

3 仇丽霞，等二次响应面回归模型用遗传算法探索最优试验条件中国卫生统计，2004，21(4)：184.

4 宋振玉药物代谢研究―意义，方法，应用第1版北京：人民卫生出版社，1990，159~165

5 黄志力，等盐酸川芎嗪静脉注射的药物动力学研究中国药理学通报，1989，5(4)：240.

6 杨友春，陈刚，袁力计算药代动力学的一种非线性算法和程序中国药理学报，1983，4(4)：217

7 夏文江，成章瑞MCPKP药物动力学分析的一种微机程序中国药理学报，1988，9(2)：188

第4篇：初中数学求最值的方法范文

【关键词】单纯形法；改进单纯形表；迭代

线性规划问题是运筹学的一个重要的分支，自1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了一般线性规划问题的求解方法―单纯形法后，线性规划在理论上趋于成熟，在实用中日益广泛和深入。尤其是在电子计算机能处理成千万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划问题的适用领域更加广泛。从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用，广泛应用于合理下料问题、生产组织与计划问题、运输问题、生产工艺优化等问题，单纯形法已经是现代科学管理的重要手段之一。相信随着科学技术的发展和日益完善，单纯形法在今后有更科学实用的发展。

单纯形法作为线性规划主要的算法已经得到广泛的应有。使用单纯形法求解线性规划时，要求有一个初始基可行解，如果没有明显的初始基可行解时，现在常用的方法是引进人工变量构造初始人造基，再利用两阶段法或者大M法进行迭代求解。但是，人工变量的引入使得方程组的变量增加，进而使得计算工作量以及计算机的存储量大为增加，为此出现了很多基于高斯消元法求初始基的方法[1-2]，从而使得无需引入人工变量就可求解线性规划问题成为可能。

单纯形法的表格繁杂，每一步迭代都需要重新创建新的单纯行表，占据很大的内存，而且效率低下。今在改进单纯形法的基础上，对单纯形表进行改进，创建改进单纯形法的表上作业法，过程直观，计算简便，只需记住一些迭代公式就可掌握其计算方法。引进参考文献中求解初始可行基的方法，更进一步的提高了改进单纯形法的计算效率，也缩减了数据所占据的内存量。

1.方法的引入

标准形式的线性规划问题：

这是线性规划问题的矩阵标准形式。对于（1）式我们通过加入松弛变量变成等式。

对于含有初始基的线性规划问题我们知道基变量的检验数一定为0，我们可以不用计算，而且它们的系数矩阵一定是单位矩阵，为此我们是否可以省略单位矩阵，从而简化单纯形表？

下面就对本方法进行介绍。

2.方法的介绍

2.1 主要思想

单纯形表中基变量的系数矩阵一定为单位矩阵，没有必要必须罗列出来，省略掉基变量的系数矩阵可以简化单纯形表，使得迭代的过程不会过于繁琐，简化后的单纯形表。使用参考文献中的求解初始可行基的方法，不必引进人工变量即可求得初始可行基，进一步简化计算。

2.2 计算步骤

（1）计算初始可行基，，-Z

（2）建立改进单纯形表

表1与单纯形表相似，只是对其进行了改进，下面是对表格的说明：

1）S行为第一行，此行为单纯形表中检验数一行，为了计算方便我们将检验数行提到了上面。

2）S列为基变量列，我们定义为第一列。

3）第二列为价值系数列。

4）从第三列开始的各列为各个非基变量的系数列。

（3）寻找迭代主元，进行迭代计算

与单纯形法寻找最好主元一样，初始改进单纯形表中已有，根据求解最大值线性规划问题的最大原则，确定迭代主元所在的列。价值系数列依次除以迭代主元所在的列中的大于0的各元素为，即：，确定出迭代主元。

在新的改进单纯形表中：

①原主元所在的位置取原主元的倒数，即

②原主元所在的行的其他元素取原表中该行对应元素与原主元的商，即：

③原主元所在的列的其他元素（主元素除外）取原主元素除原系数的商的相反数，

④其他的各行各列的元素，新元素=原元素-（对角之积÷主元），即：

经过若干次的迭代，对于求最大值的线性规划问题，直到全部小于等于0，即第一行除-Z外其他元素全部小于等于0，结束计算，得到最优解。

求解最小化的线性规划问题，我们只需在目标函数两端同乘以-1，按上述方法进行迭代即可。

下面举例计算。

3.举例计算

此处我们应用参考文献[1][2]综合在一起的一种方法求解初始可行基，得到初始的单纯形表。应用初始的单纯形表求解。，，为初始可行基，检验数一定为0，我们就不再计算。

第二步：将上面的数据填入初始改进单纯形表，得到表2

第三步：确定迭代主元，进行迭代计算

在表2中，S行为行，，根据单纯形法求解最大值问题原则，我们确定列为主元列。观察表2知，只有行中0，所以我们可以不用计算值即可确定其为迭代主元。下面以为迭代主元进行迭代计算。

1）行中主元取其倒数，即；

2）行中的所有元素（除主元外）都除以2；

3）所在列中的所有元素（除主元外）除以主元后取其相反数，并填于新的迭代单纯形表中；

4）其余元素的计算，在此只举一个为例，其他的计算可仿照此方法依次算出。如行中的第一个元素，填入表3中作为新的b2。

计算出其余元素，填入新表即得表3，仿照表3的计算步骤得到表4。

S行所对应的已全为负数，计算结束，得到最优解，最优值为。

4.结论

本方法综合使用了参考文献[1][2]中的求初始可行基的方法，无需引进人工变量即可获得初始可行基，相对于两阶段法或大M法计算量小而且容易操作，算法简便，改进单纯形表的使用实现了改进单纯形法的表上作业法，降低了改进单纯形法的复杂度，过程直观，对于不是很熟悉改进单纯形法的人来说也可以计算求解。改进单纯形法的表上作业法本质上是单纯形表的变形，所以本方法可以应用到单纯形表的计算过程中，使得求解线性规划问题更加简单方便。

参考文献

[1]吕林霞，茹少锋，申卯兴.线性规划模型的单纯想法初始可行基选择研究[J].西北大学学报（自然科学版），2011，41（4）.

第5篇：初中数学求最值的方法范文

关键词： 高中数学 解题策略 主动学习 学法指导

面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，笔者对他们的学习状态进行了研究.调查表明，造成成绩滑坡的主要原因有以下方面.

1.被动学习

许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权.表现在不订计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，没有真正理解所学内容.善于将问题进行转化的数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换.可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的.转化是解数学题的一种十分重要的思维方法.那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题.在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系.

例如，已知： + + = （abc≠0，a+b+c≠0），求证：a、b、c三数中必有两个互为相反数.恰当的转化使问题变得熟悉、简单.要证的结论，可以转化为：（a+b）（b+c）（c+a）=0.思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势.思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题.它的表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大障碍，必须加以克服.综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现.要想提高思维变通性，必须做相应的思维训练.

2.学不得法

老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重难点，突出思想方法.而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背.也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微.

例如，已知3x +2y =6x，试求x +y 的最大值.

解：由3x +2y =6x得

y =- x +3x.

y ≥0，- x +3x≥0，0≤x≤2.

又x +y =x - x +3x=- （x-3） + ，

当x=2时，x +y 有最大值，最大值为- （2-3） + =4.

思路分析：要求x +y 的最大值，由已知条件很快将x +y 变为一元二次函数f（x）=- （x-3） + ，然后求极值点的x值，联系到y ≥0这一条件，既快又准地求出最大值.上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性.

思维障碍：大部分学生的做法如下：由3x +2y =6x得y =- x +3x，x +y =x - x +3x=- （x-3） + ，当x=3时，x +y 取最大值，最大值为 .这种解法由于忽略了y ≥0这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样才能正确地解题，提高思维的变通性.有些问题的观察要从相应的图像着手.

3.不重视基础

一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海.到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”.

例如，若（z-x） -4（x-y）（y-z）=0，证明：2y=x+z.

思路分析：此题一般是通过因式分解来证.但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似.于是，我们联想到借助一元二次方程的知识证题.

证明当x-y≠0时，等式（z-x） -4（x-y）（y-z）=0可看作是关于t的一元二次方程（x-y）t +（z-x）t+（y-z）=0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1，根据韦达定理就有： =1，即2y=x+z，若x-y=0，由已知条件易得z-x=0，即x=y=z，显然也有2y=x+z.

第6篇：初中数学求最值的方法范文

关键词：模糊微分方程 初值求解 稳定性研究

中图分类号：G712 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.21.160

在学界，将实数空间上的随机微分方程推广到模糊数空间就是模糊随机微分方程。在模糊微分方程的理论研究领域，有三大类方法来进行研究，其中以定义来研究模糊微分方程是研究的基本形态，一般表现为模糊数值的Hukuhara导数来研究模糊微分方程，一般简称为H-导数。另外还有一种从广义上研究模糊微分方程，包括弱广义可微性和强广义可微性。此外还有通过一一对应的关系来研究模糊微分方程，其具体表现为：微分所包含问题的值或解与模糊微分方程的解直接的一一对应关系。

1 模糊微分方程理论知识

1.1 模糊数

模糊数也就是模糊集合，是模糊数学领域中最基本的概念。早在1965年，国外数学家就已经对此方面做出了定义，即在固定领域中存在模糊集合，对于每个集合内的数都有唯一的数与之对应。在建立模糊微分方程的时候，在方程中的模糊集是存在一个特定且唯一的隶属函数，并且这种隶属关系是相互唯一的。在不会引起研究者误解的条件下，不区别模糊集及其隶属函数，将这种集合看作是通常集合的延伸。

1.2 模糊数的映射微分

在此方面，因为模糊数在计算过程中在减法运算方面是存在一定缺陷的，因此计算结果在多数情况都映射在某一特定区间上。对这方面的运算，尤其是减法部分，并不能够按照常规运算加减方式，将减法看作是加法算法的逆运算，对模糊数减法的运算需要建立在对模糊方程的具体研究上。

1.3 积分方程与微分方程

在一些问题的建模过程中，往往在参数上存在一些不确定性特征，在现有的研究中，像控制理论、工程理论之类的方向已经将模糊集看作是参数方程，并且将这类方程以积分或是微分方程的形式表现出来，成为了现在所说的模糊积分方程与模糊微分方程。

2 初值解与微分包含解之间的关系

对于模糊微分方程而言，其研究对象是具有不确定性质的动力系统，这种方程式是对这种系统求解的工具。微分包含是对模糊微分方程求解的有效方式，因此这项理论在模糊微分方程中是非常重要的。研究者应建立两者的解之间存在的对应关系，为初值求解提供帮助。

设G为R*RnEn考虑模糊微分方程（FDE）的初值问题：

x’（t）=G（t，x（t））

x（0）=X0∈En

其中，0≤t≤∞

将集合定义为[G（t，x）]β=F（t，x，β），将模糊微分方程看作是包含了多相微分方程的问题，设定如下方程式：

x’β（t）∈F（t，xβ（t）；β）

xβ（0）=x0[X0] β

其中，0≤β≤1

在这一类型的微分方程中，需要注意一下几个方面：首先，当集合Q在条件上满足“F将Q*I映射到开球中（半径用M表示）”时，方程的有界性条件才能够成立。其次，每一个求和的子集（x1，T）都是存在的，并且这些子集都是ZT（Rn）里面紧子集其中的一个。

对模糊微分方程的初值研究最重要环节就是了解它的解与微分包含解之间相对应的关系，要明白这种对应关系是一一对应的。解的对应是原有模糊微分方程在运用模糊集计算上的水平割集。

通过研究不难发现，对模糊微分方程初值的计算需要建立在模糊集的基础之上，通过与微分方程的解的对应来保障研究的准确程度。在研究过程中，研究人员应首先确保微分方程在计算式所包含的解在稳定性方面的特征，也就是要了解微分方程求解中产生的清晰解，并研究其稳定性，接着利用之前已经建立完成的解的对应关系来研究模糊微分方程求解的稳定程度，以此来得出模糊解在概念上的稳定性特征。

3 微分方程稳定性

对微分方程解的稳定性研究，其重点在于对数值间距离的定义与计算。在微分方程中，两个集合之间的距离越小，那么它所表现出来的结果就越清晰，微分包含解的稳定性也就越强。在集合之间距离的刻画上，研究者需要按步骤严格进行。

3.1 刻画距离的步骤

①将某个特定点与清晰的集合之间存在的距离刻画出来。

②将半距离刻画出来，这里的半距离指的是清晰集合之间的半距离。

③通过半距离的刻画，将全距离刻画出来。

3.2 刻画距离的思考

通过上述过程可以发现，对距离的刻画可以分步骤逐步进行，并且能够保障刻画的准确性。由此可以联想，若在模糊微分方程初值上也利用这种方式来刻画，其结果是否也与微分方程相似？在此基础上，研究者可以通过研究模糊集合之间存在的距离，将距离刻画出来，提高这种类型方程在初值求解上的稳定性。

4 模糊微分方程稳定性

之前提到，模糊微分方程的初值求解是需要建立在微分方程求解之上的，在微分方程稳定性基础之上展开运算。通过研究发现，这种概念可以被描述为一种渐近性质的行为，并且通过刻画能够对这类具有不确定性的现象表达出来，对于解决该类型动力系统有着现实意义。初值问题的关键在于对两个模糊的集合在相对距离方面的研究，但这种求解方式并不适用于所有范围，具有较大的局限性与对象的特殊性，因此在适用范围方面还有待研究。

5 结论

通过对模糊微分方程在初值问题上的稳定性研究，能够解决实际生活工作中遇到的一些具有不确定性因素的问题，在动力系统方面贡献较大。在对集合间距离刻画的环节中，仍旧存在一些影响准确性的因素，且解决稳定性的方法过少，研究者还应加大研究力度，对初值稳定性做进一步研究。

参考文献：

[1]安悦文.模糊微分方程初值问题的稳定性研究[D].哈尔滨工业大学，2011.

[2]陈明浩.模糊微分方程的定解问题及模糊优化问题[D].哈尔滨工业大学，2008.

第7篇：初中数学求最值的方法范文

关键词：数值模拟，地铁车站，结构设计

中图分类号：TU318 文献标识码：A 文章编号：

1前言

地铁车站断面形式复杂，合理结构断面形式对于结构受力和后期安全起着决定性作用。大连地铁某车站为双层岛式双拱单柱结构，比选方案为曲墙仰拱形式与直墙仰拱形式。本文以ANSYS数值模拟对结构比选进行研究。车站主体隧道断面尺寸为20.7m15.3m（宽高）。车站采用复合衬砌形式，立柱为钢管混凝土柱，其它均为钢筋混凝土结构。根据对应的结构形式，车站沿纵向采用中洞法施工。

2 数值分析

2.1 几何模型建立

本模型取K17+190断面作为计算断面。依据设计方案的CAD模型，考虑模型的力学边界效应，有限元分析顶部边界取实际地面高程的地面线，侧墙与底板据边界距离分别取3D（D取20米），分别建立曲墙仰拱直墙仰拱的几何模型。

对单元的选取：在初衬与二衬结构设计验算中，分别将初衬和二衬取为BEAM3梁单元；在进行拆撑过程中支护内力变化分析过程中，将初衬取为BEAM3，二衬取为PLANE2面单元；超前小导管加固区取为PLANE2面单元；初期支护（临时支护）同初衬取为BEAM3梁单元；杂填土、中风化板岩、中板、中柱取为PLANE2面单元。

2.2本构模型选取

根据不同部分的力学特性，把围岩部分和加固区部分按照理想弹塑性材料处理，采用D-P模型本构关系，可以分析模型的塑性区情况以及弹、塑性区的应力与应变；主要结构部分采用弹性模型本构关系，可以通过分析结构的内力，结合现有结构设计规范进行结构设计验算。

2.3岩土体物理力学参数选取

本次数值模拟分析中，岩土体参数的确定主要依据地质详勘与围岩分级，结合《铁路隧道设计规范》（TB 10003-2005）各级围岩物理力学指标取得。其中杂填土采用地质详勘建议值；中风化板岩考虑地下水影响取IV级围岩参数下限值，根据《铁路隧道设计规范》取得；小导管超前加固围岩参数的实现，参考相关文献弹性模量适当折减，浆液扩散半径平均为1 m左右。钢筋混凝土二衬、钢格栅喷射混凝土初衬（支护）等物理力学性能较稳定、明确，依据经验取得。

2.4 边界条件

根据模拟问题的力学情况确定边界条件：左右边界采取水平约束，底边采取垂直约束；模型顶部施加20KN/m的地面超载，岩土体与结构体受重力作用；考虑初衬施工时降水作用，初衬分析不考虑水压力，二衬分析按全水头施加水压力。

2.5 安全性评价方法与准则

本数值分析的安全性分析主要是基于数值分析所得结构内力，按照混凝土结构设计规范（GB 50010-2002）所规定的要求进行验算。具体来说，首先对设计院提供的设计方案进行数值分析，分别求得不同方案的初衬和二衬弯矩、轴力与剪力图；然后，将最大弯矩所对应截面的弯矩、轴力、剪力值提出，运用北京城建设计研究总院结构所编制的北京城建设计研究总院结构设计程序VER 1.1 BETA版（简称JD软件）进行结构设计；最后，通过对JD软件所得结构设计结果进行合理性判断，分析得出设计方案的合理与否，说明其安全性。

3 数值计算结果分析

初衬安全性分析依据为：根据预设钢格栅设计方案，预设钢格栅初支护可以等效为8Φ22配筋的钢筋混凝土结构，将之与JD软件分析得配筋相比，确定初衬安全性。二衬安全性主要根据配筋率合理与否进行判断。

3.1衬砌直墙仰拱方案分析

(1)初衬安全性分析

初衬出现最大弯矩在开挖步3的侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为358KN·m，1570KN，424KN。将其带入JD软件进行分析。当取Wmax=0.2mm，JD软件配筋为8.2Φ22，略大于8Φ22，认为存在安全性问题。

（2）二衬安全性分析

考虑全水头作用下，二衬最大弯矩在侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为2400KN·m，2730KN，1670KN。将其代入JD软件进行分析，当Wmax=0.2mm时，配筋远超合理水平，所以该预设方案二衬设计不安全。

3.2 曲墙仰拱结构形式方案分析

(1)初衬安全性分析

初衬出现最大弯矩在开挖步3的侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为280KN·m，62KN，714KN。将其代入JD软件进行分析，易知预设计初衬符合安全性要求。

（2）二衬安全性分析

考虑全水头作用下，二衬最大弯矩在侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为744KN·m，3540KN，91KN。将其代入JD软件进行分析，知Eo/Ho

四、设计方案比选结论

通过二维有限元计算分析，得到了以下结论：

（1）厚度700cm直墙仰拱形式衬砌二衬，由于结构形式对围岩应力匹配性差，导致局部受力太大，无法满足结构配筋要求。从受力角度，不是好的方案。

（2）厚度700cm曲墙仰拱形式衬砌的初衬、二衬均满足结构设计的配筋要求，设计受力合理。与直墙仰拱形式相比，是优选方案。

参考文献：

第8篇：初中数学求最值的方法范文

随着新课改的逐渐落实，我国在教育教学领域上都呈现出一派崭新的局面，初中数学课堂教学是数学教学最基本的组织形式，因此初中数学课堂教学必须直面新课改带来的冲击，一面接受新课改的洗礼，一面优化自身的课堂教学，采取相应的教学措施来促进初中数学教学的有效实施．

关键词：

初中数学；思想方法；有效应用

新课改最终需要在课堂上落实，初中数学首当其冲挡受到新课改的影响，作为身处一线岗位的数学老师，在面对这种局面时应该运用行之有效的教学策略，以促进学生数学学习效果为主要目标．本文将对初中数学思想方法在赣州市数学教学中的应用现状及对策进行分析，分别从赣州市数学教学现状、数学思想方法在赣州市数学教学中的应用分析．两个方面进行阐述．

一、赣州市数学教学现状

（一）教学手段过于单一

教学手段过于单一也是制约初中数学高效课堂建立的因素之一，在传统数学课堂中，教师普遍采用“灌输法”为主，片面注重学生知识的掌握程度，课堂教学模式相对死板，使整个数学教学课堂毫无生气，导致学生学习积极性不高，对数学学习提不起兴趣．

（二）教学理念过于传统

由于我国的传统教学理念根深蒂固，导致教学思想落后，制约了高效课堂的创建，在传统初中数学教学思想中，主要是以学生基础知识的掌握及学生成绩的提高为主要目的，围绕应试教育开展实施，在教学活动忽视了学生的主体地位，并且教师的引导性不能被充分体现出．

（三）能力培养不到位

初中数学课堂不仅仅要让学生掌握最基本的知识，还应该培养学生的动手能力，然而，在传统初中数学课堂中，教师普遍忽视了学生能力的培养，主抓应试教育，由于学生自身能力的欠缺，会导致学生在数学问题的解决上思路不够清晰，对于知识点不能很好地运用到问题中来，从而导致学生在数学课堂上的积极性备受打击，对数学的学习没有兴趣．

二、数学思想方法在赣州市数学教学中的应用分析

（一）促进解题方法的灵活多样

数学思想方法可以让数学解题方式变得更加灵活多样，例如：学生在面对较为复杂的方程题目时，就可以将该方程转化为整式方程，再通过消元转化为一元方程．例如：在RtABC中，C＝90°，AC＝2，AB＝4，并分别以AC、BC为直径作半圆，求阴影部分面积．学生在拿到这类几何题目时，通常会感觉无从下手，据此，教师应该对学生进行正确引导，可以将不规则图形面积转化为简单的、规则的图形面积来处理，这种方法大大提高了学生的学习效率及学习兴趣．

（二）数形结合思想的应用

所谓数形结合思想，实质上就是将抽象思维与具体形象思维有机结合在一起，促进学生解题能力的逐渐提高，例如：若a、b、x、y是实数，且a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．针对该类题目，学生就可以运用数形结合思想来解决，作直径AB＝1的圆，在AB两边上任作RtACB和RtADB，使AC＝a，BC＝b，BD＝x，AD＝y，由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的，最后得出ax＋by≤1．数形结合思想的实际应用对数学解题有很大帮助，它一方面能提高老师数学教学的积极性，另一方面能提高学生学习的趣味性，让学生在解题过程中感受到数学学科的魅力与乐趣．

（三）整体思想的应用

整体思想在数学学科中的运用十分广泛，它有利于学生解题效率的提高．例如：若4x2－2x＋5＝7，求式子2x2－x＋1的值．针对这类题目，教师首先要将题目分析给学生听，其次引导学生利用整体思想去思考问题，最后，学生通过观察发现4x2－2x＝2（2x2－x），则求2x2－x，可以先求出4x2－2x的值即可求出所求式子的值，最后得出2x2－x＋1＝1＋1＝2．

（四）化归思想的应用

化归思想在数学中的应用也非常频繁，化归思想也是数学思想方法体系的重要组成部分之一．例如：已知（x＋y）2＝11，xy＝1，求x2＋y2的值．针对这类题目，学生最开始会尝试直接代入的常规方法，但试过以后发现，这种方法根本无法解出这道题目，这个时候教师应该对学生进行鼓励，“既然常规方法行不通，那么还可以采取一些其他方法吗”？教师的引导会促进学生从多方面、多角度进行思考，经过反复思考，有学生尝试先把所求的式子化归到有已知形式的式子（x＋y）2－2xy里，并得出了原式＝9．通过这种方式，学生学习的积极性被很好地激发出来，不仅促进了学生数学学习的效率，也为教师的教学提供了很大益处．

三、结束语

第9篇：初中数学求最值的方法范文

一、配方法的意义

所谓配方法就是将一个式子或者它的一部分恒等变化为完全平方式或者是几个完全平方式的和。在初中阶段的数学教学中，使用配方法可以快速地将一个二次多项式快速地变化为一个一次多项式的平方和常数的和，然后解出方程。在求解二次方程?r，相较于使用求根公式，使用配方法能够节约大量的时间和计算量。

配方法的基本公式为：a2±2ab+b2=（a+b）2。只要更够熟悉公式及其变形，就更够灵活巧妙地配方，对数学问题进行解答。下面就将结合一些具体的例子来对配方法再实际问题中的应用进行分析。

二、在求代数式值中的应用

代数式的求值是初中的数学教学中经常出现的问题，使用配方上来解决求代数式的值的问题时的思路就说根据公式找出一个满的完全平方式子，然后使它满足一次项和二次项。但是在实际的问题中，经常需要先对式子进行化简然后再运用配方法进行配方，在完成化简并配方之后就能快速地解出代数式的值，因此这是一种十分重要地求代数式值的方法。

例：

在看到题目时，让学生仔细观察，由于未知数的值中含有根号，使用直接带入的方法会使得计算量比较复杂，因此就顺理成章地使用配方法解决。

这个例子是配方法在求代数式求值的问题中比较典型的应用，教师以这个例题开始讲解，培养学生使用配方法的解题思路，在学生掌握以后就能够举一反三，在以后遇到类似问题时就更够快速便捷地解决。

三、在化简二次根式的应用

二次根式的化简是初中数学教学中的一个重点和难点，在进行二次根式的化简的时候，有两个必要的条件：一是被开方数是整数，二是被开方数中不能包含有能够开得尽方的因数或者因式。在使用配方法之前要对式子进行初步的化简，面对同类的二次根式要将几个二次根式合并化简为最简二次根式；在读二次根式进行计算的时候，需要把根号内的二次根式移到根号外再进行计算，但是在根号内出现了多个含有根号的式子和常数时就需要使用配方法来化简，将根号内的多项式用配方法化简为有理的因式，将根号去掉方便计算。

在学生看到此题时，让学生先观察式子的结构，根式中还含有根式，因此需要使用配方进行解题。

在化简这种根式中含有根式比较复杂的二次根式的时候，使用其他办法解题时的计算量对于初中生来说比较大，而且容易出错，但是使用配方法就更够巧妙便捷地解决问题。从这道例题中可以看出来，无论看上去多么复杂，多么难解的二次根式，都可以在第一时间考虑能否使用配方法进行配方然后化简。

四、解一元二次方程

一元二次方程时初中数学的一个比较重要的部分，而几乎所以的一元二次方程都可以使用配方法来解决。

从这道例题可以看出，在解决一元二次方程时，使用配方法比公式法更加地简便，如果学生熟练掌握配方法后就更够快速地解一元二次方程。