高中数学公式定理精选(九篇)

第1篇：高中数学公式定理范文

论文摘要：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

公式和定理是中学数学知识体系的重要组成部分，是数学推理论证的重要依据。因此，公式和定理的教学是基础知识教学的重要组成部分。高中数学公式和定理大部分是需要掌握的，按照课程标准对掌握的定位，就是必须明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能从本质上把握内容、形式的变化，对其中蕴含的数学思想方法也要掌握[1]。

1.数学理解的作用

1.1理解可以促进记忆

由于学生将数学知识形成记忆的过程是一个建构和再建构的过程，因此记忆并不是将知识直接原封不动地接收然后储存的过程，而是要理解要不断做一些建构的工作，这些工作主要涉及三个方面:把原有知识变成更容易记和提取的知识;新旧知识尽量联系更多;新旧知识本质属性联系数量越多，就越容易提取。因此，在记忆知识时，个体会主动去理解，加强知识联系的广度和深度，由此提高新知识的记忆程度。

1.2理解能降低知识的记忆量

没有理解，知识就是孤立存在，各种知识分别占用记忆单位;如果理解，新旧知识之间有联系，构成一些有机组成部分，那么需要单独记忆的东西变少，这样，记忆量就减少了[2]。

1.3理解将推动迁移

迁移是指一种学习对另一种学习的影响，有正迁移和负迁移之分。由于建构性的理解活动能突破限制，组建表象与表象之间丰富的联系，在结构内部或更大范围以及结构之间寻找更深层次的意义，因此能发挥知识方法的潜能，推动迁移的进行[3]。

1.4理解会影响信念

学生在思考和理解的过程中会渐渐地体会到数学是一个紧密的内部联系的整体，知识网络之间非常有条理地联系在一起，这些联系是学习者自己通过努力去探索和尝试地建立起来的，这同时就建立了比较正确的数学观、数学学习观和数学信念等。就在学生对数学概念的本质及关联有了理解，对数学方法的运用有体会时，学生对数学及其应用产生兴趣，想学习更新更深的知识。因此，只要抓住学习的关键—理解，或者学生的学习达到该水平，那么就能促进学生形成正确的观念[4]。

转贴于

2.强化高中数学公式和定理教学在高二学生中的理解措施

2.1教师要增强对公式和定理证明的意识

在课堂上适时的简单证明公式和定理，让学生掌握公式和定理的证明，也就是把大部分学生对公式和定理的理解水平提升到领会水平，学会公式和定理的证明才能有效地提高学生的解题能力。教师的信念会直接影响学生的信念，教师如果自己觉得公式和定理只要会用就可以，那么要学生掌握公式和定理的证明这是不可能的，目前普遍认为公式和定理只要记住会用就可以了，可见教师信念对学生信念的影响很大以及学生本身对公式和定理的认识不深刻。处于公式和定理的不同理解水平的学生在解题能力上有显著性差异，两者成高度正相关。也就是说，掌握公式和定理的证明能有效地提高学生的解题能力。

2.2重视学生数学语言的运用和理解

让更多的学生能正确表达数学和明白数学专用名词的意思。在学生访谈中，当问到错位相减法的字面意思时，所有的学生都不知如何回答，经过提示，才慢慢的能说清楚一些。因为数学名词的命名都是有一定原因的，它跟命名的对象有关，所以教师在讲解比如倒序相加法、错位相减法时，把推导过程与名字结合在一起，学生当时理解会稍微深刻一点，以后估计看到方法的名字就能想起或知道具体的证明过程。这也让学生慢慢形成一种意识，就是中学数学中只要从字面上简单清晰地理解数学，不仅在以后可使回忆变得简单，而且呈现知识的“原貌”也显得不是那么困难了。

2.3教师本身应提高对学生数学学习能力的认识

问卷的同时，也与高中数学教师进行交流，比如问为什么公式和定理的证明一般只讲一遍，对公式和定理的要求一般为什么是只要记住会用就可以?教师的回答一般是:我们学校的学生生源差，好的学生都被最好的市重点先录取;就算讲了，学生能掌握证明的也很少。事实上，分析学生测试卷可以发现，很多问题学生都有比较完美的解法，说明学生并不差，总是有很多不错的学生存在，教师可以适当进行资优教育。如果教师因未发掘学生潜能而期望过低，使学生感受到老师认为自己不行，那么一方面教师对学生的定位就己经很低了，学生要达到更高的认知水平就非常困难，另一方面教师讲得简单，没讲一些数学深刻的地方，那学生也没法领会数学的深奥，以及数学原来很有趣。

2.4教师有时要基于数学史作教学设计

以有趣的故事来引发学生的兴趣，以一些更简单、更巧妙、更直观的方法让学生明白数学可以很简单直观，只不过是自己没发现而已。

2.5教师平时应多强调推理的严密性，少用“记住、别忘了”等词

比如对于学生忘记分q等于1和q不等于1两种情况，或在学生忘记a=0的情况，不要只强调下次别忘了，而应该指出这是数学推理的严密性，a=0时就不是等比数列了，就不能用等比数列的求和公式。这样做可以让学生发现数学的深刻性，可以减少认为数学只是解一些题而不存在多少思想和特点的学生的人数。

3.结论

综上所述，对于数学公式和定理，学生不能只是简单的“一背二套”，还要学会其证明过程，因为只有这样，才能更好地促进记忆、知道应用条件和掌握数学思想方法，并最终达到灵活应用的目的;教师也不能注重应用，而忽略推导过程，并且推导过程中最好“艺术化”一些，更好地创设情境加以引导，多加入美的元素，激发学生思维的活力。因此，研究高中生对公式和定理的理解水平，对高中生的数学学习和中学数学教学有着重要意义。

参考文献：

[1]黄燕玲，喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002，11(03):17-l9.

[2]胡梅.等比数列前n项和公式的七种推导方法[J].考试(教研版)，2009(07):67.

第2篇：高中数学公式定理范文

关键词： 数形结合 凹凸性 求导公式 积分公式

在数学教学中，常常遇到的一个问题就是学生记不住一些常用的数学公式，或者是随着时间的推移，将一些数学公式记错、记混，从而影响学生的学习积极性和后续知识的学习.有一些学生因记不住数学公式而厌恶数学，进而认为数学就是套公式，他们学不好数学往往是因为记不住数学公式.这些认识虽说具有很强的片面性，但从一个方面说明数学公式的掌握在数学学习过程中的重要性.

高等数学是建立在中学数学的基础之上的，一般来说，中学的数学基础差，高等数学的学习相对来说就比较吃力.但是，高等数学相较于中学数学又有一定的独立性.中学数学涉及的知识面较窄，因此很注重技巧，而高职的高等数学相对来说涉及的知识面较广，对技巧的要求少了许多，可以说是在反反复复地使用基本初等函数的求导公式.因而记住这些公式就显得尤为重要.下面我就教学中遇到的几个难于记忆的定理、公式提出了形象化的记忆方法，希望有助于学生的学习.

一、凹凸性和极值的记忆

在极值和凹凸性的章节中有以下定理：

定理2：设在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么

这两个定理涉及二阶导数的应用，我在教学中发现，许多学生往往会用错这两个定理.为此，我们提出了用一个跷跷板的图形帮助学生记忆这两个定理.解释如下：图中的水平线代表0，支点位置为一阶导数，跷跷板的两端，一端是函数f（x），一端是二阶导数f″（x），很明显，当f″（x）>0时，跷跷板一端高于水平面，另一端比低于水平面，可以想象为极小和凹.类似地，当f″（x）

二、三角函数的求导和积分公式

三角函数的积分和求导公式比较多，记忆难度较大，因此是学习的难点所在.即使刚开始记住了，时间长了也容易混淆.为了帮助学生记忆，我们引入如下图形（注意第二个图形中的负号）：

（2）积分：如果被积函数是两个顶点的乘积，则结果是另外一个顶点：

教学实践表明，简单的图形在帮助学生学习方面起到了很好的作用.本文仅是抛砖引玉，希望今后能看到更多更好的相关文章.

参考文献：

第3篇：高中数学公式定理范文

关键词：泰勒展开;未定式;极限;简化运算

对于型未定式求极限，我们知道有未定式之间的转化后的洛必达（L’Hospital）法则以及重要极限计算的方法。但是对于，，模型中的表达式求导很麻烦的时候，我们想到利用最常用的多项式代替复杂函数的思想，进而想到大学数学中逼近论的著名应用-泰勒展开。泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f，设它在点存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个 次多项式

称为函数f在点处的泰勒多项式，若函数f在点存在直至n阶导数，则有即

称为泰勒公式。泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如，表示当时，用

近似，误差（余项）是比x3高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项，（也可以写成）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究。

泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性和拐点。泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。本论文关键是将泰勒公式应用到了未定式极限的简化求解中。将泰勒公式应用到待定型的极限问题中，一般来说，都可以采用洛必达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是洛必达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ，运用得当会使求函数的极限变得十分简单。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。这种思想给了我们在极限里的一种启迪，由此，我们将泰勒公式的思想用到了未定式极限的求解中。

在引入定理前，我们给出了与定理相关的预备知识。

对于一般函数f，设它在点xo存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式

称为函数f在点xo处的泰勒（Taylor）多项式，T n （x） 的各项系数称为泰勒系数。

这是函数f在点xo存在直至n阶导数。

泰勒公式在xo =0 时的特殊形式：

称为麦克劳林（Maclaurin） 公式。

如果函数f（x）在点x0的某邻域内具有n+1阶导数， 则对此邻域内的点，有

这是带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式。

我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为未定式极限未定式的极限有

对于型未定式极限的求法， 大学数学的教科书里， 一般给出的是两种方法。具体来讲，一种是直接利用重要极限来计算，即

或者

这些形式都是大学数学书中的重要型未定式极限的公式。第二种方法，是将取对数后化为型，再转化为洛必达法则来进行计算。这些是大学数学中求型未定式极限的重要的两种方法。下面我们根据泰勒公式在实际中的重要应用，将其引入到型的未定式的计算中，这种将多项式展开的形式应用到极限中的思想，可以化复杂的形式为加和的简单逼近。逼近思想在大学数学书中，是一种化复为简，提高计算效率的一种思想。而极限本质就是一种逼近，将接近极限本质的泰勒展开结合起来，更好的解决了在求极限中的未定式时，一些求导复杂的计算。下面我们重要的定理：

定理 设，， 如果在0点存在泰勒展开，即，

，则

其中，.

证明：

由于 ，，则属于的未定型。根据在0点存在泰勒展开，即，

我们可以得到

从定理可以看出，泰勒展开的引用，避开了一些复杂求导的运算，使得 型未定式的计算更加简便。下面我们给出了相关的例题应用。

例

解

显然，将泰勒展开应用到这样类型的极限求解中，同等条件下，会比未定式之间的转化后的洛必达（L’Hospital）法则以及重要极限计算的方法，更加简单。

参考文献：

第4篇：高中数学公式定理范文

Abstract: In our current higher education work, higher mathematics has the features of highly professional and theoretical, high practical ability requirement, therefore, in order to comprehensively improve the efficiency and quality of mathematical education, the educators must strengthen teaching model and methods innovation, and constantly adapt to the development needs and characteristics of the times of modern advanced mathematics. Reverse and forward thinking opposed concept has a positive significance in the application of advanced mathematics, which not only develops the students' ability to think but also expands the student's thinking space, now this article discusses this point.

关键词：逆向思维；高等数学；应用

Key words: reverse thinking; higher mathematics; application

中图分类号：G64文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）12-0216-01

0 引言

在国内高等数学中，逆向思维得到了广泛的应用，并且受到教育学专家和广大教师、学生的普遍认可和接受。逆向思维是指对于某一概念与原思维相反方向上的思考，逆向思维在高等数学中有着广泛的应用，包括对已有方法的逆向使用、研究一种运算的逆运算、考虑一命题的逆命题等。

1 逆向思维的基本特点

与传统的顺向思维相比，逆向思维作为一种与其相逆的思维形式，其主要特点表现为思维主体，及人类从已有思路的反方向进行相关问题的思考和探索，进而寻求更为理想的解决问题方式和途径。逆向思维的应用，不但有利于人类克服思维定势的保守性、解放思想、开阔思路，而且有利于进一步开拓疑难问题思考的新方向。逆向思维在高等数学方法上主要表现为逆推法，是以待证的结论为出发点，一步步往前分析递推，最终得到问题论证的思路的推理方法，一般用于高等数学证明中。这种推理方法有助于在一堆表面看似错综复杂、毫无联系的已知条件中准确有效地找到问题的突破口。

2 高等数学中应用逆向思维的重要性

高等数学的教学与学习中，学生只有掌握了应用逆向思维的基本要领和方法，才能“攻克”现实中面临的各项数学难题。在高等数学中应用的逆向思维是一种特殊的思维方式，以数和形作为思维的基本对象，运用数学符号与数学语言，通过数学判断与数学推理的形式揭示数学对象的本质和内在联系的认识过程。思维本身具有双向性。一般情况下，在思考高等数学问题时，人们把习惯思维的方向叫做顺向思维，而与它相反的方向探索称为逆向思维。例如在数学发展史上，希腊数学家海帕修就是用反证法发现了无理数，使人们对数的认识从有理数域扩大到实数域。俄国数学家罗巴切夫斯基从前人试证欧几里得第五公设失败中看到直接证明也许是不可能的，大胆引进了与第五公设完全相反的命题，试图间接证明第五公设，最终创造了崭新的非欧几何――罗巴切夫斯基几何。

3 在高等数学基础知识教学中逆向思维的应用

在高等数学的教学活动中，基础知识主要包括：定义、公式、定理等，教师不但要注重培养学生逆向运用意识的能力，而且要引导学生认识到高等数学中许多定义、定理存在可逆性，如积分、定积分定义、级数收数幂级数、函数的导数等等，学生的解题往往是直接应用定义、公式、定理等，而对它们相应的逆向思考则欠缺，要培养学生这种逆向思维的能力，要有针对性地训练，使学生在掌握定义、定理、公式的同时了解它们的可逆性，从而加强知系，进一步掌握，应用高等数学知识。高等数学公式总是双向的，但人们习惯从左到右的运用公式，对逆用公式特别是利用变形的公式很不习惯，其实只有会灵活地运用公式，才能形成解题技巧，提高解题能力。在高等代数问题研究中，除了熟练掌握公式的顺用外，还应学会公式的变形逆用，这样可使问题的运算量减少。

高等数学定理有可逆和不可逆的，教材中有的给出了逆定理，但有许多定理未讨论它的可逆性。在关于定理的教学中，讲了定理后，常常要让学生思考逆命题是否成立，如“收敛数列必有界”的逆命题“有界数列必收敛”不成立，但也要提出来让学生思考，并举出反例说明。例如，两个多项式中只要有一个为零，那么它们的积等于零。则其反面，若两个多项式的积为零，则两个多项式中至少有一个为零。由此易得多项式乘法满足消去律。

4 注重高等数学中知识体系和思想方法的互逆关系

在高等数学中应用逆向思维过程中，一定要注重知识体系和思想方法的互逆关系，并且以此作为指导教学和学习活动的基本原则。以高等数学中的微积分学为例，微积分学的研究对象是函数，主要工具是极限，研究内容主要是微分学与积分学等，各部分知识点与思想方法是和谐统一的，注重它们之间的联系，特别是如导数与积分、局部与整体、有限与无限、常量与变量等一系列互逆关系的教学，无疑对教与学都是非常有益的。如导数和积分就是一种典型的互逆关系，它们构成了微积分知识体系的主体。从计算角度而言。求导数与求定秋分，是一对互逆运算。如在一元情形下，由导数导出逆运算--求原函数或不定积分。而可积函数的味函数积分之问由牛顿一莱布尼兹公式来沟通，这又说明导数和积分是和谐统一的。例如求曲线的长时，采用的方法就是先在小范围内将弧长“以直代曲”，然后将无数段小弧长相加作定积分，把直线段转化为曲线，从而得到曲线的弧长。这就是在局部上“化曲为直”，而在整体上“积直为曲”，这种化整体为局部，再由局部求整体的方法在微积分中是屡见不鲜的。微积分学的主要工具是极限，连续、导数、积分的定义以及级数和广义积分敛散性等基本概念都是通过极限来定义的，可以说极限运算是微积分学中高等数学思想的核心，其将无限转化为有限，从有限中求出无限的思想也体现了无限和有限的辩证关系。

综上所述，在高等数学的教学活动中，广大教师一定要及时更新现行的教育观念和理念，并且充分认识逆向思维在高数教学中应用的重要性，进而全面培养和提高学生的数学素质与能力，更好的适应专业知识的学习。

参考文献：

[1]孙红霞.例说高等数学中的逆向思维[J].中国科技信息，2008（11）．

第5篇：高中数学公式定理范文

1、是物理的前提

数学可以分为两类：纯粹数学和应用数学，其中与高中物理紧密相连的大部分都是应用数学。应用数学主要体现的是对实际问题进行抽象、分析、解决的能力和较强的计算机运用能力。而物理是物质世界的实验手段和思维方式，实验是具体的，思维是抽象的，思维的实现需要用具体的实验手段和应用手段来实现，这些都是数学所具备的，因此数学是物理理论研究成为实现的前提。

2、是物理的研究手段

物理中有各种公式，比如胡克公式：F=kx，如果我们只将这个公式表述为弹簧的拉力与弹簧的伸长量有一定的关系，而不是总结出这个公式，那么变换一个弹簧我们就需要重新研究这个弹簧中的这两个数据之间的关系。如果通过数学手段，先对某一弹簧的弹簧系数，弹簧的伸长量以及弹簧的弹力之间的关系进行数据的统计，以表格的形式列举数来，然后进行计算，总结出他们三者之间的定量关系，然后就能总结出弹簧系数是一个定值，也即是每个弹簧都有一个弹簧系数k。这个简单的公式推导过程就体现了数学是物理的研究手段。

二、方法在物理教学中的重要性

1、理论中的数学化思想

高中物理中研究的自由落体中各个变量之间的关系时伽利略通过斜塔实验得出的理论，这是科学家首次将数学思想与物理相结合，以科学的实验为前提，以逻辑实验为依据，对实验中得出的各种数据进行数学化总结，最终得出自由落体的运算法则。还比如开普勒的三定律，是开普勒通过地球的轨迹以及周围各天体的运动轨迹，开创了三角测量方法。如果在物理研究中确实数学研究的严谨性，就会对物理理论的研究产生局限性。比如，法拉第在研究电磁场时，由于数学知识的局限性，虽然提出了“场”的概念，但无法对这一概念用数学语言进行具体的描述。高中物理中的大部分理论：自由落体运动，运动定律，引力定律以及惯性定律等理论都是将运动中的各动量之间的联系数学化而得到的结论。因此，我们可以知道，数学方法对于物理教学学习有着相当重要的作用。

2、数学公式更加具体化

在物理理论推导的过程中，往往函数，数列等数学知识经常应用在其中，这是由于数学公式比起语言叙述更加具体化。比如物体在自由落体实验中得出的结论中，我们可以将这一理论总结为，物理在自由落体的过程中的速度是随着时间成倍变化的，这一定量的倍数就是重力加速度g，如果用数学公式表达的话就可以直接表示成：v=gt也即是时间与速度是成正比的。这一公式要比上面的语言描述更加直接，具体，形象。还比如在自由落体中的位移公式的推理，我们可以将这一变化描述为，位移的变化量与时间的平方成正比，用数学公式表示出来就是：h=1/2gt^2。这些物理推导公式中体现的数学公式正是说明了数学在物理学习中的重要性。

三、高中物理教学与数学的结合

1、迁移

知识迁移能力是学生在两个有关联的学科之间将知识进行迁移的能力，能进行知识迁移的学科一定是有关联的。比如：物理与数学结合的知识点有：数学中的向量对于物理中的矢量（力，速度，加速度，位移，冲量，动量，电场强度等）。由于物理中的矢量遵循平行四边形法则，即数学向量运算。举一个最简单的例子：已知某物体的初动量为P1=3kg•m/s,末动量为P2=4kg•m/s,方向竖直向上，该物体的动量变化就可以转化为数学中的作图求解和代数运算。做出一个图形，竖直向上的动量标为P2，横向向右的方向标为P1，由于是矢量，因此不必标出矢量的长度，然后根据方向将其补成平行四边形，连接对角线，根据已给出的数据，求出对角线对于的动量变化量。这一知识点就是讲物理知识转化为数学中的作图求解问题，即知识迁移。

2、推理能力

第6篇：高中数学公式定理范文

教育改革的不断深入，让导学案教学模式走入数学教学课堂，这种教学模式打破了传统教学模式的束缚，将学生的学习需求与知识理论有效地融合在教学活动中，为学生指明了学习方向，已成为学生思考问题的路标。本文通过探析基于导学案的高中数学课堂教学，以期能够提高课堂教学效果，促进学生的全面发展。

关键词

导学案；高中数学；课堂教学

尽管导学案教学模式被广泛应用于高中数学教学中，但是仍然存在形式单一，内容枯燥的问题。一般情况下，导学案的设置分为准备学习、知识学习和习题巩固三个部分，在三个教学环节中，一旦课时内容较为复杂，理解公式逻辑和数学思维的要求就会升高，如果没有明确的指导思路和教学方向，就会降低学生的学习效率。因此，为了提高高中数学教学课堂的效果，高中数学教师应该立足于学生的实际情况，因材施教，与时俱进，提高导学案教学模式利用率，进而提高学生的学习效率。

一、设置导学案典型数学案例，增强辅助教学效果

高中数学中的典型案例是数学学习和数学考试中的重点，更是高中数学课本内容的精华所在。所以，高中数学教师应该将导学案的着力点定位于典型案例。为此，高中数学教师应该加大典型数学案例的设置篇幅，以典型案例帮助学生巩固基础数学知识，并掌握相应的解题思维，从而了解考试重点和知识精髓。例如:在进行“函数图象的变化规律”教学过程中，可以比较函数y=(x－1)2与函数y=|x－1|－1的图象，(如图1和图2)，在此基础上，引导学生对函数图象进行观察讨论，进而得到结论:函数y=(x－1)2与函数y=|x－1|－1的图像在x≥1时，y值随着x的增大而增大;在x≤1时，y值随着x的增大而减小。因此这两个函数在定义域上不是增函数。利用这种典型函数案例的方式，可以让学生掌握相应的增函数知识，且学生通过图象总结规律，有助于锻炼学生的数学思维，帮助学生进一步掌握函数的相关知识。

二、对导学案进行梯度式设置，巩固学生基础知识

“因材施教”是教学中必须遵循的原则之一，因此，高中数学教师在设置导学案时，应该立足于学生的知识水平、学习能力、学习需求等实际情况，将导学案混乱无序的内容，以梯度的形式进行分类整理，从而满足不同层次学生的学习需求，循序渐进地教导学生。在这个过程中，既能帮助学生奠定了坚实的数学知识基础，又有助于帮助高层次学生发掘自身潜力，促进其进一步发展。例如:在学习“两角和与差的三角函数公式”中，高中数学教师应该将学生分为高、中、低三个层次，然后为不同层次的学生设置不同的学习目标，即:低层次学生应该牢固掌握公式，并能直接运用公式解决简单的三角函数问题;中层次学生要在低层次学生学习目标的基础上掌握公式的推导过程，并能利用公式解决较为综合性的三角函数问题;高层次学生则要在中层次学生学习目标的基础上能够自己推导公式，并能灵活熟练地运用公式解决复杂且综合性较强的三角函数问题。

三、在导学案中细化公式定理，优化学生逻辑思维

高中数学教师在应用导学案模式时，不仅要抓好基础知识，而且还要做好总结与反思，因此，教师必须在细化数学公式定理的基础上，归纳和总结数学方法和解题思路。为此，教师首先要将知识整理作为导学案的重点，将数学公式和定理进行细化整理和总结分析，为学生整理出一个完整的知识习题，进而在讲解数学重点和难点时，将其对应地落实在数学问题中，帮助学生快速准确地找到解题思路，学会举一反三，进而提高学生的学习效率。

四、根据实际情设置辅导资料，集体式编写导学案

导学案的设置是以材料为基础的，因此，教师在设计导学案时不能局限于课本知识，应该集思广益，从课本延伸至课本外，以学生为中心，编写易于学生接受和理解的导学案内容。例如:高中数学教师可以组织一个备课小组，从教研组的智慧结晶中，明确备课内容，进而根据其内容确定教学大纲。针对大纲中的重点和难点，备课教师可以根据各个班级和学生的实际情况，采用适应学生发展的教学方式和教学手段，以确保学生的学习效率。除此以外，高中数学教师还要从学生的学习兴趣出发，活用课本内容教学，以便提高学生的学习积极性，促进学生主动学习。

总而言之，将导学案教学模式应用于高中数学中，可以调动学生的学习积极性，优化高中数学课堂教学效果，提高学生的学习效率。

作者：孙利 单位：江苏省滨海县明达中学

参考文献

第7篇：高中数学公式定理范文

关键词：函数性 实质 数学方法

中图分类号：G623.5

正文：

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，是高中数学当中函数部分的延续和深入，在整个中学数学的教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多的知识都与数列有着密切的关系。而有关数列的通项公式、递推公式、前n项和公式的考查，也是高考当中的重要考点和热点，有关数列的试题（解答题）经常是综合题，且常常把数列知识和指、对数函数，不等式等知识综合起来，试题也常把数列和数学归纳法综合在一起，主要以中、高档题为主，综合性强，难度较大，能力要求较高，常以压轴题的形式出现。另外，探索性问题也是高考的热点，常在数列解答题中出现。教学中我们要设法提高学生用分类讨论的思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、以及方程思想研究数列问题的能力，培养学生主动探索的精神和科学理性的思维，提升学生能力。本文从五个方面，分析数列的实质，结合函数概念探讨了在数列教学的方法和技巧，从而能够在数列教学当中得到突破。

一、　理解数列的定义，理解数列的函数性是联系高中数学知识点的桥梁

等差数列和等比数列都是从项与项的关系出发定义，等差数列是从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，而等比数列是从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数。理解数列的定义实际上也告诉我们如何去判断和证明一个数列是等差还是等比数列。同时数列也是一种特殊的函数，是第n项关于次序n的函数关系，定义域为正整数集。所以等差数列和等比数列的很多性质都与n有关，而它们函数性质的通项公式和前n项和公式的灵活应用可以起到很好的作用，同时对于理解等差数列和等比数列也有很大的帮助。

三、　牢固掌握数列通项公式的求法，巧妙的运用数学方法是解决问题的关键

数列通项公式是一个重要的知识点，总体可以分为以下3类：

1、　在明确了数列性质，可以把问题转化为求首项以及公差或公比，然后根据通项公式求解

2、　已知求，可以用与的关系，这个公式适用于所有的数列，但是在具体问题当中一定要验证是否满足的情况，如果不满足时必须写为分段函数

3、　已知递推关系求，如果是，则灵活运用迭加法；如果是，则灵活运用迭乘法。

掌握这几类问题的求法是解决通项问题的关键，也能够在高考当中更加的得心应手，如前面例1、例2问题的解决也可以采取这种方法

总结：数列的核心内容是等差数列和等比数列，特别应该注意这两类最基本数列的研究方式和方法，要牢固的理解掌握数列的概念、性质以及公式。要充分认识和理解它们的通项公式和求和公式的形成过程及其结构特点，理解数列的函数性。灵活的应用几种类型数列求和的方法，重视通性通法。在教学当中注意培养学生的综合、探究和创新能力，并且在应用时，要注意分类讨论的思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、以及方程思想等数学思想的渗透。特别注意构造法求解数列问题题目的训练和总结，了解高考中数列问题的命题规律，掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法，针对性地开展数列知识的复习和训练，对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意义。

第8篇：高中数学公式定理范文

关键词：泰勒定理 泰勒公式 函数的性态 有界性

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0148-02

泰勒定理是高等数学中微分学研究函数性态的主要定理，堪称教学的重中之重，也是真正的难点。对于大多数学生来说，定理的形式极为抽象，理解起来有难度。其实，泰勒公式就是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的一个公式，即如果函数足够光滑的话，在已知函数在某点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式就可以借助这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值；泰勒公式还给出了该多项式的值与实际的函数值之间的偏差。

但是，只有理解好泰勒定理，才能用泰勒公式去研究函数的性态。其实，从本质上又不难看到，泰勒定理刻画了一个事实，即一个足够光滑的函数，该函数及其各阶导数之间存在一种有机的联系；而这一联系，是通过泰勒公式刻画的。使学生理解了这一点，运用泰勒公式进行函数性态的相关讨论往往就能化难为易。

教学中教员往往强调了泰勒公式在函数值的近似计算、极限的计算等方面的应用，对于直接运用泰勒公式研究函数的基本性态则涉及较少。且这些应用往往并不从其本质出发，因而学生遇到涉及函数性态的问题往往觉得难以下手。该文结合我们长期以来在各级教学和数学竞赛指导中对泰勒公式教学的研究心得，通过典型实例阐明运用泰勒定理论证函数性态的要点及其教学方法。

1 泰勒定理与函数的性态

泰勒定理的一般形式如下：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对于，在与之间至少存在一点，使得

，（1）

其中，称为拉格朗日型余项。

从本质上而言，Taylor公式（1）描述了一个“足够光滑的”函数在处的函数值、各阶导数值之间的一种有机联系，这就使得该公式在讨论函数及其各阶导数的基本性态（比如“有界性”等）时具有非常重要的作用。

泰勒公式的物理意义可以帮助学生加深对上述本质的理解。在式（1）中，如果用表示时刻时质点的位移，则左侧代表质点的运动规律；如仅取右端前三项，则代表质点的初始位移，则代表其初始速度，代表初始加速度，右端刻画了运动，与左端刻画的运动相比，二者至少在初始时刻，对应的位移、速度和加速度都一样。因此，如果将左端的理解为质点“本来的”运动，而将右端理解为“估计的”运动，则当时对应的泰勒公式既可以视为在时刻附近对所代表运动的一种近似刻画；更根本地，它也表明了该质点的位移、速度、加速度等重要运动特征的有机联系。至于拉格朗日型余项则代表了这种对位移作“近似刻画”的偏差，这只是由于忽略了更高层次的运动形式所致。对于更高阶形式的泰勒公式，教员也可以作类似的阐释。实践表明，上述做法能吸引学生的兴趣，收到好的教学效果。

理解了泰勒定理的本质，运用它进行相关问题的论证就水到渠成了。我们在教学实践中还通过对函数及其各阶导数的有界性等基本性态的讨论，来深化学生对上述本质的理解，使学生能用泰勒公式去化解实际问题中的困难，化难为易，“内化”对其本质的理解。

2 运用泰勒定理论证与“有界性”相关的问题

为让学生更好地理解并掌握泰勒定理，我们通过习题课，精心选择典型实例，来阐述Taylor公式在研究函数及其各阶导数基本性态方面的应用及解题要点。

例1设函数在内二阶可导，且和在内有界，证明：在内有界。

分析：教员首先分析，解题的关键在于如何选取公式（1）中的和，将中与、之间的关系揭示出来。

证明：依题意，存在，使得，均有

。

由于函数在任意有限区间满足泰勒定理的条件，因此，在泰勒公式中将和分别取为和，可得

，

其中，。由上式可得，故

，即在内也有界。

将例1说明白讲透彻，就能使学员意识到，一个足够光滑的函数，刻画其性态的、和之间竟然还有如此密切的关系。进一步，教员再问：如果更光滑、在内三阶可导，又有什么类似的结果呢？教员再适时出示如下问题。

例2设函数在内三阶可导，且和在内有界，证明：和在内均有界。

分析：希望像例1那样通过泰勒公式刻画、、和之间的关系，但根据问题的特点，需要分别将中与、之间以及与、之间的关系揭示出来。因此，解题的难点在于如何获取这种关系，即如何选取泰勒公式中的“特殊点”和，以分别得到和的“合适的”表达式。

证明：依题意，存在，使得，均有

。

由于函数在任意有限区间满足泰勒定理的条件，因此，在泰勒公式中将和分别取为和，可得

，

再在泰勒公式中将和分别取为和，可得

。

两式相加，整理可得

，从而就有

。

类似地将两式相减，最后可得。

上述两式表明，和在内均有界。

通过例2的进一步强化，就能使学生对泰勒公式本质的认识进一步“内化”，对如何用运用泰勒公式研究函数性态有了进一步的认识。

在“定性”描述的基础上，还可以进一步设问：如果我们“定量”给出和在内的上确界，那么，的上确界又有什么特点呢？接着，教员再出示如下问题。

例3设为二次可微函数，且，

试证：，

且。

分析：大多数学生仍想按例1的解题思路解本题，但照搬例1的过程，好象不行。那么，教员应适时启发学生，能否同时从例2得到启示，为证明该结论提供“更多”的信息呢？

证明：依题意，，

有，

其中；同时还有，其中。

两式相减并整理，就有

，

从而

，

上式表明，

均成立，故上述的二次三项式之判别式必非正，即，故，且。

这样，一层更进一层，通过定性和定量两方面的论证强化了学生对于函数各阶导数间有机联系的理解；同时，给学有余力的学生留下进一步思考的问题：如果函数在无限区间内具有更高阶导数，又能得到怎样的结论？通过上述教与学的过程，不仅加深了学生对于泰勒定理的理解，对函数性态的认识也不断上升到新的高度，学活了知识，也用活了知识。

最后，教员还可进一步引导学生进行发散思维，要求它们考虑：如果考虑有限区间，又应如何处理？请学生思考下边的例子。

例4设函数在上有二阶导数，且时，，试证：当时，。

分析：大多数学生认为，应该像例1那样论证，教员也可适时启发学生：能否直接用例1的过程或结论呢？确实，由例1的结论，可知，似乎可行，但这是不正确的。因为例1针对的是无限区间，论证过程不再适用，结论当然就不能照搬。同样，例3的结论也不能直接用于有限区间。

证明：由于函数在上满足泰勒定理的条件，因此在泰勒公式中将和分别取为和1，可得

，

再在泰勒公式中将和分别取为和0，可得

，

两式相减，可得

，从而就有

。

通过本题的分析和论证，使学生明白了，将区间从换为，好像只是量的变化，但问题证明的方式就发生了质变，要有辩证的和发散的思维。

为检验教学效果，我们提出以下问题考察学生：设在上具有二阶连续导数，且，，试证：，有。事实证明，大部分学生都能迎刃而解，泰勒公式的本质这个知识点得到了“内化”。

泰勒定理论证函数性态的教学研究的实践表明，上述做法能帮助学生更好地掌握泰勒定理这一教学的难点，同时鼓励学员在论证问题中辩证地思维，提高其运用该知识点研究函数性态和进行理论论证的能力，使得知识不断内化成学生的认知结构，这正是教学改革的基本要求。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

第9篇：高中数学公式定理范文

1．课堂教学情境创设研究源于问题，问题源于情景，探究式教学模式的应用最重要的就是为学生提供良好的问题情景．在明确教学目标的同时，激发学生主动学习、积极探究的兴趣，使学生由被动学习的态度转换为主动学习的态度．课堂教学情境的创设要贴近学生生活，使学生在切身体验中了解数学历史、感受数学魅力．

2．教师提出探究问题探究问题的提出是课堂教学的核心，也是决定教学质量好坏的直接因素．教师提出的探究问题要科学合理，同时具有一定的针对性，问题的本身也要以理论研究为依据，按照课程标准的要求设计问题．教师在选择探究问题时要尽量选取代表性强的问题，要结合课堂教学的实际情况，综合考虑全班学生的认知差异、兴趣差异等，最终把握好探究问题提出的时间．

3．学生发散思维探究学生发散思维进行问题探究是课堂教学的重要部分，学生在教师的引导下，充分发散自己的思维，拓展多种渠道解决实际问题．在学生发散思维、解决问题的过程中，要坚持个人独立思考，同时不能忽略生生、师生之间的合作活动，使学生在探究活动中切身体会，达到认知目的，由此提高个人的学习能力．

4．组织开展总结评价从教学评价主体层面上来说，既包括学生与学生之间的互评，又包括了教师对学生的总结评价．从评价对象方面来开，既包括了教师对学生探究过程的评价，也包括了对学生探究结果的评价．教学评价对于促进教师改善教学模式，提升教学质量和效果有着非常重要的作用．

二、高中探究式数学命题发现教学策略的实施

数学命题教学指的是数学公式、定理的教学．数学公式、定理是数学推理的基础，更是帮助学生构建完整数学思维的保障，学生利用数学公式、定理可以解决很多数学问题．因此，想要将探究式教学应用于高中数学教学中，教师必须加强对数学公式、定理的深入研究，发掘其与其他学科和证明、应用之间的内在联系，使学生能够真正掌握数学公式、定理的推导和使用方法，加强学生对其本质的理解．案例:高中数学“等差数列性质”课堂教学．(1)提出问题，创设情境．问题1:在等差数列{an}中，an=a1+(n－1)d作为通项公式，怎样可以用其他的形式表达?问题2:已知数列通项公式为an=pn+q，p，q均为常数，p≠0，请问该数列是否属于等差数列?如果是等差数列，请给出其首项和公差;如果不是等差数列，请说明理由．问题3:如果在a与b之间插入一个数A，使a、A、b之间构成等差数列，请问A应该具备哪些条件?相反，A具备哪些条件才能使a、A、b之间构成等差数列?教师追问:等差数列{an}中，an、an+1、an+2之间存在怎样的关系?同学们如何判断一个数列是否属于等差数列?大家都有哪些方法?……(2)教师引导，学生探究．教师提出的探究问题，激发了学生的求知欲望，在教师悉心引导下，学生开始深入思考，积极开展合作讨论活动．在教师的引导下，学生小组讨论问题，畅所欲言，真实地表达自己的想法，由此构成了适合个人的思维方式，不但加深了对问题的理解能力，同时增强了学生积极思考、自主探究的意识．