高中数学反比例函数精选(九篇)

第1篇：高中数学反比例函数范文

而在课本上所提到的“比例”是不是都是指同一概念呢？与我们生活中说的这幅图构图的“比例”一样呢？比例与正反比例的真包含的关系吗？ “正反比例”又是类属什么知识呢？比例尺”也是比例吗？本文尝试对生活的“比例”和课本的“比例”，小学数学中的“比例”与中学数学中的“比例”进行一些探索。

【关键词】比例函数正比例 反比例

（一） 比例和比例式

生活中我们经常会遇到“比例”一词，实质上是数学中的“比”，反映两个数之间的比，两个量之间的关系，不是我们数学上严格意义的比例。比如说，明星林志玲是九头身美女。“九头身”就是女性的脸和身高的比例为1：9，就是说身高是脸高的九倍。这些都是我们生活中的的“比例”，实质上它们都是“比”。

而比例实际上也是一个美术用语。反映物体之间形的大小、宽窄、高低的关系。我们生活中的比例多数是反映部分和总体，或部分与部分之间的关系。有一个著名的“比例”―――黄金比例，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。我们生活中的比例多数是反映部分和总体，或部分与部分之间的关系。指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比，整体与较大部分之比。（当然黄金分割可以写成一个比例式）

而课本中的放大和缩小，有一下情形：原值比例、放大比例、缩小比例，

我认为这也是生活中的比例，实质上是数学中的比。是表示现在的边长与原来的边长的比，反映现边与原边的关系。

课本是这样描述“比例”定义的：两个比相等的式子就是比例。这个“比例”实质是一个式子，我们可以称为比例式。形如3：4=9：12。比例式是两个比相等的形式，根据比例的基本性质，项积等于外项积，比例式可以转换成等积式。

（二）、先探讨函数这一概念、性质和分类

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。一般情况下，函数解析式将函数值y放等号的一边，自变量x放等号的另一边，这跟小学课本常量k放等号的一边，变量集中放在等号的另一边是有存在差异的。 类似于对字母进行的运算对代数式进行分类，重点针对本文所尝试探讨的范围，用对未知数进行的运算规定代数函数的分类：

从下图我们可以更好地理解正比例函数和反比例函数是成正比例的量和成反比例的量的自然延伸和深化。教学中应注意突显函数的本质，从概念、图像和性质。强化了变化和对应的思想，数形结合的思想和模型的思想。

《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》中提到：尽管义务教育阶段对函数性质的研究只是初步的，不完整、不系统、不全面、但有限度的研究和讨论，已经体现出从函数的数量特征以及图像的集合特征来刻画每一类函数的性质。

（三）、小学数学中的“正反比例”与“正反比例函数”

（1）一次函数与正比例函数、小学中正比例

一次函数是最初等的函数。正比例函数是特殊的一次函数。小学中的正比例只讨论正比例函数中，k>0时的情况。一次函数和正比例函数随着k值的不同，有可能是增函数或减函数，而小学课本一般只讨论增函数类型

一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

研究表示函数的三种表达形式：列表法、解析式法、图像法。研究函数除了解析式，函数图像也是一种非常重要的研究对象，体验数形结合的思想，即使在小学阶段也是如此。

（2）反比例函数与反比例

一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。y随x的增大而减小，单调减小。k小于0时，图像在二、四象限。y随x的增大而增大。单调增加。反比例函数图像是双曲线。反比例函数图像不与x轴和y轴相交。小学中的反比例只讨论k>0，图像落在第一象限上的特殊情况。

（四） 小学数学中的“正反比例”与“比例”

我们可以得知道，正反比例是描述两种相关联的变量之间的关系。在运用正比例的知识（两个相关联的量的比值一定）解决问题时，我们需要通过比例式；运用反比例的知识（两个相关联的量乘积一定）解决问题时，需要用到乘积式。比例式，乘积式是体现利用正反比例知识解决问题的工具。正如数学中，解析几何我们会用到向量，矩阵等这样的工具。所以，书本所指的“比例”实质是指“比例式”。比例绝对不是一分为二为正反比例。正反比例并不真包含于比例。正比例不是比例式。反比例显然更不是比例式的其中一种。比例式是一种解决问题的工具。比例式恰能体现运用正比例解决问题。而乘积式恰能体现反比例解决问题。

（五） 比例尺是比例吗？比例尺需要比较大小吗？

比例尺的定义是指图上距离和实际距离的比，比例尺只是一个比，虽然含“比例”两字，但并不是比例，不是两个相等的比的式子。比例尺是反映实际距离和和图上距离的倍数关系。是比就能算出比值，所以比例尺也可以看作是一个分数，一个分率，从数值上来讲确实有大小关系。

举例：小明要绘制操场跑道的平面图，那么平面图上跑道的长度和小明选用的比例尺（ ）

A成正比例B成反比例C成正、反比例都有可能D不成比例根据实际距离=图上距离÷比例尺，以及正比例关系的定义，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种两种相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。可以判断此题选选A。实际距离一定，图上距离与比例尺成正比，也就是说图上距离越长，所选用的比例尺数值越大，图上距离越短，所选取的比例尺数值越小。那究竟何为比例尺大和比例尺小呢？让人感到很迷惑。

且再看一题：

在比例尺是1： 30000000的地图上，甲乙两地之间的航空线长4.5厘米。在比例尺1：25000000的地图上，甲乙两地之间的航空线长多少厘米？

从此题可看出在比例尺数值较大的地图上，航线长5.4厘米，与上一题的一样比例尺越大，图上距离越长，是5.4厘米。但我们可以看到1： 30000000这个比例尺较小的地图上，1cm表示300km，而1：25000000这个比例尺较大的地图上，1cm是表示250km。可看出实际距离一定，比例尺小，可是单位长度表示的实际距离更大，比例尺大，单位长度表示实际长度相对小。

结论：比例尺不是比例是一个比，比例尺的大小所表示的含义要理解清楚，不能机械地比较大小。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订《数学课程标准》[S].北京： 北京师范大学出版2011.

第2篇：高中数学反比例函数范文

一、拓展定义，完善概念

教师不是简单地将概念“抛”给学生，而要引导学生在积极思维讨论、主动合作探究的基础上通过归纳形成概念，并通过简单的习题训练不断拓展，引导学生抓住概念的本质。笔者在反比函数教学中引入定义时，向学生介绍其基本形式为：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但学生对反比例函数概念的认识尚处于表象，教师适时将定义变式，设计几个变式题目来强化概念。

变式1：若函数y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m的值为（ ）

A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3

本题变式旨在让学生由反比例函数定义，一个函数满足是反比例函数的必备要件分别是k≠0、x的指数为-1。

变式2：如果函数y=kxk■-10是一个反比例函数，求k的值和反比例函数的表达式。

二、 数形结合，化繁为简

反函数教学要改变数、形彼此“两边飞”的现状，要将数与形完美结合，从而兼具“数”的关系和“形”的直观，在面积计算、比例大小等内容教学中要利用其图象特点，将复杂的问题简单化。

题源：若函数y=■的图象经过点（-2，6），则下列各点中不在y=■图象上的是（ ）。

A、（3，4） B、（2，-6）

C、（3，-4） D、（-3，4）

变式1：如右图所示，点A是反比例函数图象上一点，过A作ABx轴于B，若SAOB=5，则解析式为 。

通过观察图象可知，双曲线上任一点引x轴（或y轴垂线），该点与垂足、原点所构成的三角形面积是定值，

即SAOB=■k。

变式2：已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=■的图象交于点A与B。（1）请利用给定的条件，求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象写出ax+b>■时x的取值范围。

本题旨在要求学生利用反比例函数与一次函数的交点来求不等式的解集。通过观察不难发现，一次函数图象在反比例函数上方时，一次函数值大于反比例函数值，即x

三、挖掘性质，探索规律

函数作为初中代数教学的重点内容，学生往往被其若干个性质搞得头昏脑胀。教师要通过变式练习，引领学生深入挖掘函数的性质，探索其内在的规律，才能使学生在解决问题时应对自如。

题源：若点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数图象上，且x1

学生根据k>0确定反比例函数图象分布在一、三象限，在同一象限内，y随x的增大而减少，容易得出结论y1

变式：若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且x1

四、关注社会，联系生活

数学源于生活，服务于生活。数学教学应根植于社会生活实际，从生活中搜索数学素材，精心编制习题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学应用意识。

题源：已知点M（-1，4）在反比例函数y=kx-1（k≠0）图象上，则k的值是 。

变式1：在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例。当p=50时，V=600，则当p=40时，V= 。

变式2：某学校为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长24m、宽12m的矩形大礼堂内修建一个60m2的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁有两侧沿用大厅的旧墙壁。已知装修旧墙壁的费用为60元/平方米，新建（含装修）的费用为240元/平方米。设健身房的高为3米，一面旧壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）为合理利用大厅，要求自变量x满足7≤x≤14。当投入资金为14400元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？

第3篇：高中数学反比例函数范文

本节课内容是《反比例函数》起始课，属于一节概念新授课，教材为苏教版《数学》八年级下册第11章反比例函数第一课时。本课教材从已有的小学知识“两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例”出发，设问：成反比例的两个量之间的关系，怎么用函数表达式来描述？于是引出操作题：南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程所用时间t（h）。写出t、v的关系式，并填写下表：

随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？

教材给出了一组对应关系，从对应关系的表达式找共同特征得出反比例函数的定义。

我在设计时考虑，既不能脱离教材，又要结合实际，因此对操作题进行改编作为课题情境导入。本节课是学生在学习了一次函数以及特例正比例函数后，又一次进入函数领域对函数再认识的过程，学生的学习既区别于一次函数，又建立在一次函数的学习基础之上，因此起始课对函数概念的回顾就很有必要，在教学方法上可以采取回忆得出一次函数的过程的方法。但是用什么样的方式让学生能回忆起函数的抽象概念并能总结出反比例函数的概念，是笔者在教学设计时遇到的最大困难。很显然教师直接给出定义并不合适，这样不能让学生真正体会反比例函数的意义。我认为，本节课的重点是进行抽象反比例函数的概念的教学，进而理解反比例函数的概念，难点同样是理解反比例函数的概念。

【初稿设计】

介于上述考虑，笔者首先给出教学设计初稿。

情境导入1：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，据了解走沪宁高速平均速度为100km/h，行驶的路程s（km）随时间t（h）的变化而变化。

问题1：此题中常量是什么？变量是什么？

问题2：变量s与时间t的关系式是什么？s是t的函数。（s=100t）

问题3：回忆什么是函数？

情境导入2：在出发前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y（升）随行驶里程x（公里）的变化而变化，y与x的函数关系式是什么？

情境导入3：从苏州到南京，汽车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化，t与v的函数关系式是什么？

结合教材实例列出4个函数关系式。

思考：上述函数表达式中哪些是已学的函数，分别是什么函数？一般式是什么？

讨论：剩下的几个函数有什么共同特征？（此处安排学生讨论，教师总结学生讨论结果）

至此，得出课题反比例函数。在得出课题后与学生一起总结反比例函数的一般式以及完整定义。（中间略）在一些概念习题后讲解了待定系数法，并做相应练习，最后总结。

针对初稿设计，我试上了一节课，通过学生表现发现这样的设计存在很大的问题。

（1）由于没有任何铺垫，在给出“情境导入1”中的一个正比例函数s=100t就让学生回答什么是函数，学生基本一无所知，一来因为函数知识的学习已经过了一个学期，间隔较长。二来函数概念本来就过于抽象，与学生学情不符，此处耗时较长。

（2）讨论问题问学生剩下几个函数有什么共同特征？问题太大，没有针对性，学生不知道从哪个方面来回答，给出的答案与教师预设相去较远，远离了本课教学目标。教师解释也很困难。

（3）习题部分过多讨论了待定系数法，题目偏难，学生做起来很困难。导致最后重点偏离，难点没有突破。

【改进后的设计】

经过了并不成功的试上课后，听取了听课教师的意见，我又仔细阅读了教材，中间听了一节本校小学部六年级的《认识反比例关系》的随堂课，深受启发。小学教师更注重对学生提问的引导，将问题分得很细，很有针对性，一节课解决的问题不多，但是基本上学生在上完一节课后能对本课的重点有一个深刻的印象。同时也发现了中小学教材在衔接上存在一些不同步，导致学生进入初中在学习函数关系的时候已经对比例关系有所淡忘。因此我在重新设计的时候有了新的想法，将小学的比例关系融合到本课的概念的抽象部分，试图通过正反比例关系来认识正反比例函数，在改进后的备课中也更好地使用了教材上的表格操作题，对教学设计作了如下的修改。

情境导入：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。

问题1：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？

问题2：你能用含有v的代数式表示t吗？（t=）

问题3：利用问题2中的关系式补全下表中的t（表格中给出两个t的数值是为了不让学生在计算上浪费时间）。

问题4：随着平均速度v的增加，全程所用时间t 发生了怎样的变化？

问题5：给定变量v的值，t都有唯一确定的值与它对应吗？

问题6：时间t是速度v的函数吗?为什么？

问题7：时间t是速度v的一次函数吗？

通过一个情境和一组问题，复习函数概念，区别于设计初稿中由一个关系式直接问函数概念，此处把问题细化，每个问题学生都很容易回答，设置问题串的目的主要为问题6做铺垫，在问题中感受函数定义中的三个要素：两个变量；一种变化关系；对一个变量，另一个变量有唯一确定的值与之对应。

情境引入后，紧接着再给出4个生活实例要求学生列出函数关系式，其中两题承接情境引入形成一个完整的情境设计，分别列出一个一次函数和一个一次函数特例正比例函数。另两题均为反比例函数，一题是以图表形式呈现，避免函数表现形式过于单一，一题是利用书本例子，使得函数表达式中的k出现负值，而更完整。

通过5个函数表达式的展示，请学生找出已学过的函数，并写出一般式。然后观察剩下的三个表达式，请学生先从形式上找它们的共同点并结合已学过的函数的一般式总结这些新的函数的一般式。通过展示的一次函数和正比例函数的一般式学生更容易通过对比写出新的一般式。

接着留下正比例函数和新写的函数一般式，让学生回忆小学学过的两个量之间的比例关系，说出正比例函数中两个变量成什么比例关系，并且成这样的比例关系的两个量之间什么是一定的。通过填空的形式学生更易回答。紧接着问新的函数关系的两个变量什么是一定的，成什么比例。学生很容易回答上来。这样的设计既回顾了小学比例关系，又与本课密切相关，抽象解释出概念的过程，自然又有效。

在得出概念及符号表达式后，总结注意点，并结合式子变形，得出反比例函数的另外两个表现形式。然后给出例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？

（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

此题设计中预计学生会在判断（2）的比例系数k上出现问题，另外可能会在（8）的判断中忘记k≠0的要求而判断错误。因此在讲解此题的时候可以考虑由学生独立完成，学生逐一回答，并建议学生在判断是否反比例函数的时候尽量往三个表达式的不同形式上靠，在学生出现错误的时候及时纠正。

训练可以让学生对反比例函数概念的判断、对函数表达式的几种不同形式有更深刻的印象。

在（8）出现错误时可引出：

如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。随后增加学生练习：当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？

例2以教师讲解为主，板书规范书写格式。巩固练习让学生上黑板板书。之后设计4个简单的课堂反馈练习，目的是实时检测课堂效果。

在练习了较多数学题目后，重新回到生活中的数学，给出一个实例：要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此题的判断需要学生对列出的式子进行简单的变形变为反比例函数的一般形式来判断，从中希望能让学生再一次深化理解：当两个变量的乘积是一定不为零的常数时是反比例函数。）

实例后增加两个变形：1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a（m）的反比例函数么？通过反例进一步让学生学会判断一个函数是否是反比例函数。

然后可以让学生根据生活实例去编题，让同伴判断是否是反比例函数，既可以加深学生对反比例函数概念的理解，又可以在学生学到疲倦的时候再次活跃课堂气氛。

最后引导学生总结本节课所学内容，并留下课后思考题，做到将本节课的知识迁移到别的学科，注重学科之间的结合。我改进后的设计去掉了待定系数法，使得本课的目标更明确，放弃了难题的训练，更注重对于抽象概念的教学过程，舍得在抽象概念教学过程中花时间，让更多学生参与其中，避免了教师教的痕迹，设计问题更具针对性，注重启发学生思考。情境设计虽贴近生活实际，但密切联系数学问题，避免了学生回答脱离预设想法。

【课例呈现】

一、教学目标

1.理解反比例函数的概念。

2.能根据实际问题的条件确定反比例函数的表达式。

3.会判断一个给定的函数是否为反比例函数。

4.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会认识反比例函数是刻画现实世界特定数量关系的一种数学模型，进一步深化理解函数的概念。

二、教学重点难点

重点是经过抽象反比例函数概念的教学过程，理解反比例函数的概念。

难点是领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

三、教学过程

（一）创设情境，激发热情

【问题1】师：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，路上遇到一些问题，正好与本课所学内容相关，同学们愿意帮助老师一起来解决这些问题么？

生（众）：愿意。

师：那就让我们一起开始一段短暂的旅行吧。

PPT显示引例：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。

师：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？

生1：3个，常量是200，变量是时间t和速度v。

师：你能用含有v的代数式表示t吗？

生2：t=。

师：非常好，那么请同学顺着这位同学的回答来帮老师填写完整下表。

学生完成，生3回答。

师：随着平均速度v的增加，全程所用时间t发生了怎样的变化？

生4：速度v变大，时间t变小（小学里对反比例关系的变量间的关系表述，这里没有刻意去研究k的符号问题，仅仅让学生有一种反比的感受）。

师：给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应吗？

生（众）：是的。

师：时间t是速度v的函数吗？为什么？（特意在上个问题的引导下去问函数的抽象定义，为了使得学生体会一一对应的关系）

生5：是的，因为t是随着v的变化而变化的，并且它们之间是一一对应的关系。（学生虽然不能完整叙述定义，但是基本能说出几个要点。）

教师展示完整答案：因为在这个变化中，有两个变量v和t，给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应，所以t是v的函数。

（因为有一组问题的引导，生5回答的时候答出了两个变量之间满足函数关系必须要有一一对应的关系。这也是函数概念中比较抽象、学生易忘记的地方。教师在学生回答完后展示完整答案并强调注意点是有必要的，视觉的感受会比听觉更直接更深刻。）

师：时间t是速度v的一次函数吗?

生6：不是，因为不符合一次函数的表达式。

师：很好，我们的现实生活中存在许许多多的变量，而函数是刻画变量之间关系的一种有效数学模型，下面请同学帮老师再来写写生活中不同的函数关系式。（此时并没有着急提问这是什么函数？而是另外给出一系列的生活场景，让学生进一步感受函数在生活中的意义。）

【问题2】用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系。

（1）在出发之前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，写出油箱中剩余的油量Q（升）与行驶路程x（千米）的函数关系式。

（2）油每升7.6元，实际加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化，写出y与x的函数关系式。

（3）把一张百元人民币兑换成零钱，如果手边有10元、5元、20元等不同面值的零钱，兑换的张数y随面额x的变化而变化，写出y与x的函数关系式。

（4）实数m与n的积为-150，写出m与n的函数关系式。

（二）合作交流，探求新知

师：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我们学过的函数？它们是什么函数？

生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我们学过的一次函数。

师追问：一次函数的表达式是什么？

生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。

师：y=7.6x还被称作什么函数？

生7：正比例函数。

师：正比例函数的一般式是什么呢？

生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。

师：很好，正比例函数是一次函数y=kx+b当b=0时的特殊形式。那么请同学们观察剩下的几个函数表达式，从形式上看有什么共同特征？可以与你的同伴讨论一下。

众生讨论，教师参与。（在给出了一次函数及特殊情况正比例函数的表达式后，让学生类比一次函数先从形式上来认识反比例函数）

生8：我认为剩下的几个函数从形式上看左边都是一个变量，右边都是一个分式。并且分式的分母是一个变量，分子是常数。

师：非常好，还有同学补充么？

生9：我认为等式左边是因变量，等式右边的字母是自变量，并且自变量在分母上，所以不能取0。

师：很好，那你能模仿一次函数还有正比例函数的表达式，给具有共同特征的函数写个一般式么？

生9：我认为一般式可以写成y=。

师：非常好，那么我们看看一次函数的k有什么要求，再看看这个函数里的k有什么要求？

生9：k是常数且k≠0。

师（PPT展示，板书修改完整表达式）：很好，在大家的帮助下，我们得到了新的函数的表达式，我们再一起仔细来看一下正比例函数和这个新函数的表达式，（此时PPT擦去y=kx+b，仅留下y=kx和y=的表达式以及相关的4个函数表达式），请同学们回忆小学学过的比例关系，想想看在这两个表达式中，两个变量都成什么比例关系？

学案呈现回忆小学学过的比例关系（学生一边接受教师的提问，一边对照学案的填空，回答更有针对性）

两个量的一定，这两个量成比例。

两个量的一定，这两个量成 比例。

生10：在正比例函数中，两个变量是成正比例的。

师追问：那么成正比例关系的两个量什么是一定的？

生10：这两个量的比值是一定的。

师：太棒了，这位同学对小学知识掌握得很好。那么再请一位同学说说看，符合y=函数特征的两个变量成什么比例关系？

生11：成反比例关系。

师追问：满足什么一定关系的两个变量成反比例关系？

生11：这两个变量的乘积是一定的。

师：很好，那么如果要你们给这些函数取个名称的话可以叫什么呢？

生（众）：反比例函数（到这里本课的概念部分全部引出，基本上是学生思考、讨论、探索自主得出。）

师板书课题《11.1反比例函数》，与学生一起填写完整反比例函数概念。

新授概念：形如的函数叫做函数，其中x是量，y是x的，k是。

【阶段小结】反比例函数的定义中，有两点要注意：

①k≠0，②x≠0（两个不为零）

利用所学知识，对于y=（k≠0）可变形为下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【阶段小结】y是x的反比例函数的几种等价形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例题讲解，理解概念

师：我们知道了什么是反比例函数，那么同学们能从下面这些函数中找出反比例函数么？

例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

学生练习，教师巡视。请学生逐一回答。

生12：我认为（1）中y是x的反比例函数。

师：好的，请说出比例系数k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不确定k是多少。

师：（2）中的k不太好找，不如我们从反比例函数的一般式来看，我们可以把（2）写成y=-×（板书）请你接着写写一般形式。

生12：y=

师：那此时你能看出k是多少么？

生12：k=-。

师：很好，当我们不能很容易看出k时，不如把函数写成反比例函数的一般形式再来找k。

生13：（4）（7）也是，k分别是-2和3。

师：好的，请问（4）（7）分别是反比例函数的哪种表达形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

师：非常好，还有反比例函数么？

生13：我认为（8）也是，比例系数是a。（此时出现预设的错误，并且下面学生在窃窃私语。）

师：老师好像听到有不同意见，请有不同意见的同学来说说看。

生14：我认为（8）不是，因为没有强调k≠0。

师：非常好，这位同学考虑得很细致，的确，在判断的时候一定要注意比例系数k必须不为0。

（另外对学生不太理解的（7）也作适当的讲解。）

【阶段小结】我们在判断一个函数关系式是否是反比例函数的时候，可以尽可能地往三种不同表达形式上去靠，或者通过公式变形去靠近反比例函数的一般形式，这样更容易找出k的值。

例2：如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。

教师板书解题过程：

解：由题意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，k=-2。

反比例函数的解析式是y=。

【小结】做此类题目，把所有满足的条件都用式子表示出来，解出答案代入原式，不要误将这里的k当成比例系数k。

【巩固练习】当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？（学生板书，答案正确，格式规范。）

（四）课堂反馈，实时检测

1.下列函数：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函数的有（填序号）。

2.y是x的反比例函数，比例系数k是-，则y与x的反比例函数关系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函数，则m=_______，若是反比例函数，则m=_______。

4.若函数y=（m-3）x是反比例函数，则m=。

（五）合作交流，数学应用

师：我们做了一些题目，巩固了反比例函数的概念，再来看看所学反比例函数在我们生活中的应用。

【问题】要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此处图略）

生解答：S=ah=260

ah=520

h=

因为符合反比例函数的一般形式，所以h是a的反比例函数。

师：很好，所以我们在判断两个变量是否是反比例函数时，有两种方法，一是看表达式，二是看两个变量的乘积是否是一个不为零的常数。再看看下面题目的两个变形。

1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？

2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a （m）的反比例函数么？

师：你还能举出生活中反比例函数的例子吗？与同伴交流一下。

（六）反思总结，共同提高

1.引导学生说出反比例函数概念的注意点，并注重与生活实例的结合。

2.引导学生归纳知识、掌握类比正比例函数、总结研究函数的一般方式，为接下来的函数图像学习奠定基础。

（七）课后探索，知识迁移

背景知识讲解：杠杆原理

动力×动力臂=阻力×阻力臂

如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm。设动力为y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；

（2）求当x=50时函数y的值，并说明这个值的实际意义；

（3）利用y与x的解析式说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请学生猜想一下。

想一想：如果动力臂缩小到原来的1/n时，动力将有怎样的变化。

【教学反思】

在整节的设计过程中，我通过多次反复磨课修改，发现整节课的难点在于对概念的生成，因为课堂教学是一个动态生成的过程，学生随时会有与施教者预定设计相背离的“意外”出现，因而整节课如何设计有效的问题很重要，施教者有必要引导学生不背离本节课的核心。问题是数学的心脏，是思维的起点，本课的设问主要从引导性问题、探究性问题、巩固性问题着手，力求遵循学生认知特点和学习规律，达成有效的学习目标。另外我认为在平时的教学中，教师不应仅仅关注本课的知识点，应该多了解、多联系学生情况，若能结合他们已有知识甚至小学的基础知识，或者更多地了解他们进入高中以后这部分知识所占的地位来备课，或许能对学生这门学科的生成性学习起到一个很好的推动作用。

本课没有在题目难度上为难学生，作为一节起始课，没有必要设置太难的题目，而是更多地让学生打开思维，用类比正比例函数的定义给出一般式的特征等方式来学习反比例函数，让学生能通过一节课学会某种数学思想和数学方法。学生经历主动探索的过程并从中收获知识是能增强他们学习数学的自信的。

第4篇：高中数学反比例函数范文

【关键词】反比例函数 图象 性质 课堂实录 评析

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）01-0152-02内容和内容解析

反比例函数的图象和性质是函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。主要内容是画反比例函数的图象，让学生结合实例，通过描点法（列表、描点、连线）经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，初步认识反比例函数的图象特征，逐步明确反比例函数的直观形象，为学生探索反比例函数的图象和性质提供思维活动的空间。

基于以上考虑可以确定本课时的教学重点：画出图象，理解并掌握反比例函数的图象和性质。

目标和目标解析

1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会用描点法画反比例函数的图象。

2.经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，渗透数形结合的思想方法。

教学问题诊断分析

学生在前一阶段已经学习过有关函数的知识，在实际生活中已经有对一次函数及正比例函数关系、图象及应用的初步认识，知道研究函数的一般方法，但对反比例函数还是第一次接触，学生对本节内容学习的第一个困难是从画一次函数的直线到画反比例函数曲线的转折。第二个困难是对反比例函数性质的归纳，特别是从有限到无限的认识，在课堂上让学生反复作反比例函数的图象，积累一定的经验，为性质的探索归纳打下良好的基础。

根据以上分析，确定教学难点：通过分析反比例函数的解析式，如何对称的选取自变量的值，尽可能得到函数图象的全貌，从而数形结合地归纳函数的图象和性质。

点评：通过回忆一次函数的相关知识让学生对将要学习的反比例函数作好知识上的准备，更为重要的是通过教师的有效提问引发学生对函数问题研究的一般方法的思考，起到画龙点睛的作用。

二、实际操作，认识反比例函数的图象

师：请同学们画反比例函数图象，为了使图象更准确一些，列表时怎样取点，描点时注意些什么？下面请大家用8分钟的时间，小组同学之间互相交流，互相检查、纠错。如果没有问题，就继续画学案上的y=和y=-的图象。

（学生互相检查，纠错，并请两个组的同学在黑板上画y=和y=-的图象。）

师：刚才已经有两个组的同学在黑板上画出了y=和y=-的图象，下面请他们来给大家讲解一下在画图过程中应该注意一些什么？

生1：大家请看图象，我们组认为在画图时应该注意以下几点：（1）因为自变量x不等于0，所以x的值不能取0，可以取正数或者负数，最好都取一些，两边对称的取。（2）在描点时要注意点所在的象限不要搞错。（3）连线时要按照自变量从小到大的顺序用光滑的曲线依次连接，不能连成折线。

生2：因为自变量可以取无数个值，所以曲线两边要延伸出去。

师：很好，在我们还没有认识这个图象之前，当然是点取多一些图象会更准确.我们知道自变量x不能等于0， 请大家思考：y的值可以等于0吗？

生3：y不等于0，因为k值不为0。

师：若x≠0，函数图象上会有什么影响？为什么？

生4：图象不与y轴相交，因为纵轴上的点横坐标都为0。

师：若y≠0，函数图象又会有什么特点？为什么？

生5：函数图象不与x轴相交，因为横轴上的点纵坐标都为0。

师：观察函数图象的延伸趋势和表格所列的点的坐标的对应值，你有什么发现？

生6：函数图象与x轴、y轴无限接近。但不会相交。

师：考虑y=的图象为什么只在第一、三象限？

师：大家说得非常好，通过刚才同学们的讲解，我们知道了画反比例函数图象时应该注意的问题，下面大家修改一下你们所画的图象，并继续完成y=和y=-的图象。

点评：在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。这个环节的学习使同学们知道函数的图象是由函数的解析式决定的，初步体会数形结合的思想，而且本环节的结论主要有学生来发现，体现了新课程理念的精神。

三、合作交流，探究反比例函数的性质

师：画完的同学看学案背面的思考题：

思考：1.反比例函数y=与y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？

生1：共同特征是：它们都是由两条曲线组成的，我们把它们称之为“双曲线”，并且随着x的绝对值的不断增大，图象越来越接近x轴，随着x的绝对值不断减小，图象越来越接近y轴。但是由于x，y值都不能为0，所以它们都不与坐标轴相交，只是接近。

师：这两个图象之间有什么关系呢？

生2：这两个反比例函数的图象既关于x轴对称，又关于y轴对称。

师：能否从坐标上说明一下？

生3：我们看表格里的数据，发现这两个函数所取点的对应值，当横坐标相同时，它们的纵坐标互为相反数，说明这些点关于x轴对称；当纵坐标相同时，横坐标也互为相反数，说明它们关于y轴对称。

师：很好，观察非常仔细。再请大家观察所作函数图象，你能类比正比例函数性质，总结出反比例函数y=（k≠0）的性质吗？

学生发表各自的意见，归纳形成共识。

（幻灯片显示）反比例函数的性质：

1.反比例函数的图象是双曲线；

2.当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

3.当k

点评：反比例函数的性质是在函数图象的基础上归纳得到的，有关的方法学生在学习一次函数时就已经体会到。

四、尝试练习，巩固提高

1.函数y=的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________。

2.函数y=-的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而________。

3.函数y=，当x>0时，图象在第________象限，y随x 的增大而_________。

4. 对于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）

A. 点（-2，1）在它的图象上

B. 它的图象经过原点

C. 它的图象在第一、三象限

D. y随x的增大而减小

点评：这一组练习涉及本节有关反比例函数的图象和性质，目的是要检测学生对本节的反比例函数知识的掌握程度。

五、梳理小结

1.通过本节课的学习你有什么收获？

2.在知识的应用过程中需要注意什么？

3.还有哪些问题没有弄明白，需要请教？

点评：师生通过点睛式的小结，让学生对反比例函数从知识、能力、方法上进行提升，更显学生主体地位，学生自主学习积极性得以保护。

总评：在本节课的教学中，教师将学习的主动权交给学生，课堂始终在学生自主探索、合作交流的气氛中进行，同时教师也主动的参与进去，把自己也当成了教室里的一员，真正体现了新课程的理念。从本节课整体来看，本节课有如下的特点：

1.教师的切入点、关键点、和发散点抓的非常准。

第5篇：高中数学反比例函数范文

[关键词] 反比例函数基本特征图形图形面积解析式

近些年来，反比例函数因其内容丰富，涉及知识点广，可以挖掘的地方多，从而逐渐成为中考试题的重点内容之一。本文主要通过实例分析和规律总结的方式，来探讨研究反比例函数中的“K”的性质对解决各种图形面积问题的影响，展现其对解决相关面积问题的作用。希望能帮助学生解决在相关题型中碰到的各种问题，提高学生对这类问题解决的正确率和解题速度。

（一）反比例函数“K”的意义

（1）反比例函数的代数意义：反比例函数关系的两个变量，必须满足它们的乘积是一个定值，这个定值就是反比例函数的系数“K”，这是一个非零的常数，可以是正数，也可以是负数。

（2）反比例函数的几何意义：反比例函数中中的K有以下几何意义。如图，过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN，垂足分别为M、N，所得到的矩形AMON的面积为|k|。理由如下：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|， 又y=，xy=k，=|k|，。

由此可知，过双曲线上任一点，分别做X轴、Y轴的垂线，两垂线段与两坐标轴所构成矩形的面积为一个定值，这个定值就是反比例函数的系数|k|。这就是系数k的几何意义。

（3）这一意义可以结合各种图形，归纳出一些的它们的基本特征图形，在解决与反比例有关的图形问题时，有着非常重要的作用。

比如，我们把这一意义放在矩形中就可以得到关于矩形的基本特征图形。左图中各矩形面积均等于|K|，右图是以正比例函数和反比例函数相交的两交点形成的线段为对角线的矩形，其面积为4|K|。

这些基本特征图形对学生的解题思路和解题速度有着积极的影响。

（二）反比例函数与三角形的面积

（1）反比例函数与直角三角形面积

①反比例直角三角形基本特征图形为：

反比例直角三角形基本特征图形面积均相等：均为|K|的一半。

反比例直角三角形基本特征图形的变化应用

【例】如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点。过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则()．

A．S1

分析：S1，S2，S3，S1=S2=S3。故选D。

（2）反比例函数与斜三角形面积

反比例斜三角基本特征图形

反比例斜三角基本特征图形一：面积均为|K|的一半；反比例斜三角基本特征图形二：面积为|K|；反比例斜三角基本特征图形三：面积为|K|的一半。

②反比例斜三角基本特征图形的变化应用

基本思路1：把斜三角转分割为直角三角形解决。

【例】如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标和点B的纵坐标均为－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）的面积。

略解：（1）易得A、B的坐标分别为（－2，4），（4，－2）

，解得，所求一次函数的解析式为。

（2）易得直线与x轴的交点C的坐标为（2，0），

基本思路2：利用反比例直角三角基本特征图形解决。

【例】如右图，A为反比例函数图形上一点，AB垂直X轴于B，C为Y轴上任一动点，试求三角形ABC的面积。

解：由三角形同底等高面积相等可知，三角形ABC的面积恒等于反比例基本特征矩形面积的一半，即1/2|K|。所以SABC=1。

（有关反比例函数与平行四边形、梯形等特殊四边形的面积，这里不再赘述。）

（三）研究的结论

在与反比例有关的图形面积问题的教学上，我们只要讲清抓透反比例系数“K”的几何意义，引导学生熟悉由此推出的“矩形基本特征图形面积等于|K|”,“直三角形基本特征图形面积等于|K|的一半”这两个基本结论，熟悉复杂图形的转化思想和方向，就可以提高他们对这类与反比例有关的图形面积问题解决的正确率和解题速度。

[文献资料]

第6篇：高中数学反比例函数范文

类型一 巧解反比例函数中的面积问题

例1 （2011・陕西）如图1，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】此题的一般解法可设A点坐标为

-，m，B点坐标为

，m（m>0），求出AB=，进而求得ABC的面积为・m・=3. 实际上如果利用同底等高，将ABC的面积转化为ABO的面积，再利用k的意义，会更简单.

解：连接AO、BO，则SABO=SAPO+SBPO，由反比例函数y=中k的几何意义，可知SAPO==2，SBPO==1，所以SABC=SABO=3.

【点评】对于双曲线y=（k≠0），k有很重要的意义. 双曲线上任一点（x，y）到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的矩形面积为x・y=xy，也就是说k的几何意义是双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的矩形的面积. 因此在解决有关反比例函数中的面积问题时，要充分利用k的几何意义，从而达到巧解的目的.

类型二 巧解取值范围问题

例2 （2012・四川宜宾）如图2，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数y2=（k≠0）的图像交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1>y2，则x的取值范围是______.

【分析】我们首先想到是将一次函数和反比例函数的解析式求出，然后解不等式，但是出现了分式不等式（或二次不等式），同学们不会解，思路受阻. 此时我们可以借助函数图像，利用数形结合的数学思想，巧妙地将y1>y2在图像上体现为一次函数的图像在反比例函数图像的上方的部分.

解：由图像知，y1>y2的部分包括反比例函数的图像在第三象限时和在第一象限内的A、B两点之间，所以x的取值范围是x

例3 （2013・甘肃兰州）已知A（-1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1>y2，则m的取值范围是（ ）.

A. m0

C. m>- D. m

【分析】此题常规解法可将A（-1，y1）、B（2，y2）两点分别代入双曲线y=，求出y1与y2的表达式，再根据y1>y2，列出关于m的不等式即可解答. 本题若结合反比例函数的图像与性质求解，则更简捷.

解：双曲线y=的图像当k>0时，图像在一、三象限，当ky2，只能是图像在二、四象限的情况，所以3+2m

【点评】解决此类求不等式成立的自变量取值范围的问题，通常可以利用数形结合的数学思想进行转化，达到巧解的目的.

类型三 巧设点的坐标

例4 （2013・广西南宁）如图3，直线y=x与双曲线y=（k>0，x>0）交于点A，将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k>0，x>0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（ ）.

A. 3 B. 6

C. D.

【分析】本题可首先求出平移后直线的解析式，然后分别联立方程组求出点A和点B的横坐标，根据OAE∽BCF可得A、B的横坐标的比等于OA∶BC，然后列出方程求解即可. 实际上，根据相似三角形的比例性质得出A、B的横坐标的比等于OA∶BC后，可以巧设A、B的坐标分别为m

，m、

，+4（m>0），再根据双曲线上点的坐标特征，列方程求出m的值，进而求出k的值.

解：直线BC的解析式为y=x+4. 过点A作AEx轴，垂足为E，过点B作BFy轴，垂足为F，容易得到OAE～BCF，则=，由于OA=3BC，所以OE=3BF，即A点的横坐标为B点的横坐标的3倍，因此由题意可以设A、B的坐标分别为m

，m，

，+4（m>0），而A、B两点都在双曲线y=上，可得m・m=・

+4，解得m=3，所以k==.

【点评】此类题目较难，可以根据点的坐标之间的关系，巧设点的坐标求解，从而达到简化计算的目的.

类型四 巧用对称性

例5 （2013・湖北鄂州）已知正比例函数y=-4x与反比例函数y=的图像交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为______.

【分析】本题可先根据正比例函数的解析式求出A点坐标，进而求出反比例函数的解析式，然后将两函数联立，解方程组得出B点坐标. 实际上，正比例函数图像和反比例函数图像的两个交点是关于原点对称，求出A点的坐标后，直接利用此对称性可求出点B的坐标.

解：由点A（x，4）在y=-4x上，可求出A点坐标为（-1， 4），由对称性可知B点的坐标为（1，-4）.

例6 （2013・陕西）如果一个正比例函数的图像与一个反比例函数y=的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x2-x1）（y2-y1）的值为______.

【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像的交点坐标关于原点成中心对称，可以得到x1和x2、y1和y2分别是互为相反数的关系，然后代入所求式子化简，再根据图像上点的坐标的特征求值.

解：由对称性得x2=-x1，y2=-y1，所以（x2-x1）（y2-y1）=（-x1-x1）（-y1-y1）=4x1y1，又由A点在y=的图像上，所以x1y1=6，即（x2- x1）（y2-y1）=24.

第7篇：高中数学反比例函数范文

一、识图

学会认识题目中的图形,使解题思路清楚,将题目“清晰化”

例1(漳州)矩形面积为4,它的长 与宽 之间的函数关系用图象大致可表示为()

解析:由题意xy=4,即y是x的反比例函数,图象B和C都是反比例函数图象,但图象B的自变量取值范围是x>0,选B。

例2 (兰州) 如图,在直角坐标系中,点A是 轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线y= (x>0)上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,OAB的面积将会()。

A.逐渐增大 B.不变

C.逐渐减小 D.先增大后减小

解析:双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴不相交,在第一象限内当点B的横坐标逐渐增大时,点B到x轴的距离越来越小,所以OAB的面积将会逐渐减小。选C。

点悟:识图是学习函数图象的基础,“点动成线”即图象是由满足某个条件的无数个点组成的,而这些点的横坐标、纵坐标分别代表着函数的两个变量,因此函数的变化可以通过点的变化形成的图象直观地反映出来。

二、想图

无图想图,把数和形有机地结合起来,将题目“明朗化”

例3 (扬州) 函数y= 的图象与直线 没有交点,那么k的取值范围是( )。

A.k>1 B.k―1 D.k

解析:由解析式想图象,直线y=x经过一、三象限,而函数y=的图象是双曲线,它又与直线无交点,那么双曲线只能在二、四象限,得1-k

例4 (东营) 已知点M (-2,3)在双曲线y= 上,则下列各点一定在该双曲线上的是( )。

A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)

解析:第二象限的点 M (-2,3 )在双曲线y= 上,可知双曲线在二、四象限,题中四个点只有A在第四象限,因此选A。

点悟:研究函数离不开图象,当题目中没有图象时,要能根据条件充分地想象,把“数”转化为“形”,以形助数,从而得到解决问题的方法。

三、画图

作出符合题意的图象,将题目“直观化”。

例5 (内江) 若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y= 的图象上,且a

A.b>c B.b

C.b=c D.无法判断

解析:k=1>0,所以图象在一、三象限,又a

例6 (梧州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=

(k>0)图象上的两点,若x1

A.y1

解析:k>0,所以图象在一、三象限,又x1

点悟:把数转化成形,并能画出函数图象是学习函数的基本要求之一,通过画出图象使题目直观化,这样能更好地分析函数性质,加深对数量关系的认识,有利于探求解题的途径。

四、用图利用图象的桥梁作用,把性质和解析式联系起来,将题目“互动化”

例7 (黄石) 如图所示,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画与 轴相切的两个圆,若点A的坐标为(2,1),则图中两个阴影部分面积的和是 。

解析:因为反比例函数图象关于原点的中心对称图形,所以A、B两点是对称点,那么整个图形是中心对称图形,得两圆的阴影部分可拼成一个圆,半径为1,所以两个阴影部分面积的和为π。

例8 (铁岭)如图所示,反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A(2,1),若y2>y1>0,则x的取值范围在数轴上表示为()。

第8篇：高中数学反比例函数范文

一、注重“类比教学” 

不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学，可称为“类比教学”.在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由“学会”到“会学”，真正实现“教是为了不教”的目的.有经验的老师都会发现，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。因此采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。是一种既经济又实效的教学方法。下面我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。 

首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。但是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。匆匆给出概念，然后应用。等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数又感到力不从心，学生接受起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。造成这种困扰的原因是因为忽视正比例函数的基础作用，我们应该借助正比例函数这个最简单的函数载体，把函数研究经典流程完整呈现，正所谓“麻雀虽小，五脏俱全”。再学习其他函数时，在此基础上类比学习，循序渐进，螺旋上升。例如： 

《正比例函数》教学流程 

（一）环节一：概念的建立 

通过对问题的处理用函数y=200x来反映汽车的行程与时间的对应规律引入新课。学生自觉思考教师提问，共同得出每个问题的函数关系式。引导学生观察以上函数关系式的特点得出正比例函数的描述定义及解析式特点。 

（二）环节二：函数图象 

这个环节是教学的重点，由学生先动手按“列表——描点——连线”的过程画函数y=2x和y=-2x的图象，相互交流比较然后教师利用多媒体展示画函数图象的过程并通过比较使学生正确掌握画函数图象的方法。 

（三）环节三：探究函数性质 

让学生观察函数图象并引导学生通过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情况，经过的象限及自变量变化时函数值的变化规律。这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。 

（四）环节四：概念的归纳 

将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。 

二、注重“数形结合”的教学 

数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。 

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。在借助图象研究函数的过程中，我们需要注意以下几点原则： 

（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。 

（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。 

（3）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。 

第9篇：高中数学反比例函数范文

长期以来，不少教师在教学中重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看做一个名词而已，认为概念教学就是对概念作解释，要求学生记忆。而没有看到像函数、方程等概念，本质是一种数学观念，是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了，也就完成了它的历史使命，剩下的是赶紧解题，这就造成学生对概念含糊不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念，严重影响了学生的解题质量。另一方面，新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行，需要某个概念时，就在旁边用小字给出，这样过高地估计了学生的理解能力，也是造成学生不会解题的一个原因。在此，我将结合人民教育出版社八年级下册第十七章第一节《反比例函数》这一节概念课的教学，从概念的引入、形成、表述、巩固和运用，进行分析在新课标下的数学概念课的教学。

一、引入概念时要鼓励学生大胆地进行猜想

我们都知道：新颖别致的广告可唤起人们的购买欲望。同理，富有情趣的课堂导入可激发学生的求知欲望。概念的引入也有多种形式：如联系实际引入；形象、直观的引入；通过数学问题引入；运用比较方式引入；利用新旧知识铺路搭桥的引入等等。但是，教师在引入概念时应该鼓励学生大胆进行猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养学生创造性思维的重要因素。

如在教学《反比例函数》的概念时，教师创设情境，提出问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？

（1）京沪铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化；

（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S（单位：平方千米/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化。

学生易得上述三个问题的函数解析式分别为v=■，y=■，及s=■。这时，教师应该及时鼓励学生进行猜想：这些函数有什么共同特点？此时，学生由上三个式子易猜想出许多共同的特点。如：“在（2）中，x的指数为1”“当x与y相乘时，其积为一个不等于0的常数”“k必须是大于0”等等。不可否认，其中还有一些是我们教师意料不到的猜想，毕竟学生的个体之间就存在着差别，也就是正因为这样，我们才能从另一个角度去了解学生的思想，同时也能大大地提高学生对本课题的学习热情，激发学生的学习兴趣。对于学生各种不同的猜想，教师应该在概念的形成时引导学生进行探索逐一解决。

二、形成概念时要引导学生进行自主探索

形成概念是概念教学中至关重要的一步，是通过对具体事物的感知、辨别而抽象概括的过程。这个过程应该通过学生自主探索去完成，用自己的头脑亲自去发现事物或形的本质属性或规律，进而获得新概念。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确的说，发现包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”发现是创造的首要形式。教师可以引导学生在猜想的基础上进行验证、发现。引导学生验证自己的猜想，得出有的猜想成立，有的猜想不成立。由于问题是自己提出也是自己解决的，激发了学生在求知过程中主动创造的潜在能力。

如在《反比例函数》概念的引入教学时，教师鼓励恰当，就很容易地从学生的口中得到很多重要信息——猜想。而在此形成概念的时候，教师要引导学生进行自主探索，逐一去论证学生的猜想。教师可通过复习正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）和一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的有关概念帮助学生进行探索，引导学生通过比较、探索验证自己的猜想是否正确，如“x的指数等于1”，“x与y相乘的积等于一个不为0的常数”是正确的，而“常数k必须要大于0”是不一定成立的，k亦可小于0，引导学生理解其类似于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）中，k也可以是负数。学生通过自主探索去验证自己的猜想，更有利于学生对此概念的理解并记忆，再一次体会到数学源于生活，运用于生活。

三、表述概念时要求学生需准确无误

概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象。语言作为思维的物质外壳，教师可从学生的表述中得到反馈信息，了解、评价学生的思维结果。由于数学概念是用科学的、精练的数学语言概括表达出来的，它所揭示事物的本质属性必须确定、无矛盾，有根有据和合情合理。因此，培养学生正确地表述概念，能促进学生思维的深刻性。

如表述《反比例函数》的概念：一般的，形如y=■（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。在这个概念中，有些学生易把“y是x的函数”只理解为“y是函数”，这是错误的，教师必须要向学生说清楚，当x取某个值时，y就有且只有唯一值与之对应，故“y是x的函数”。对于自变量x不能取0，可以引导学生结合“分式”的有关内容加深理解，准确无误地表述概念，有利于学生对概念的区分和理解。

四、巩固概念时要做到触类旁通

巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，引导学生正确复述，其次要运用变式加深理解。所谓变式，就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性时有时无，而本质属性保持恒在。恰当运用变式，能使思维不受消极定式的束缚，实现思维方向的灵活转换，使思维呈发散状态。

如在帮助学生巩固《反比例函数》概念时，提出问题：下列哪个等式中y是x的函数，如果是，并提出k的值。（1）y=4x；（2）y=6x+1；（3）xy=123。在回答这些问题当中，教师要引导学生做到举一反三，触类旁通，不仅判断其是否为反比例函数，还需要引导学生求出若其为反比例函数k的值。若不是反比例函数时，其又是什么函数，这样能够更加有利于学生的理解记忆及应用。此外，还可以适当提出问题：是否为反比例函数？通过复习，分析得出xy=123也是一个反比例函数，进而总结得出形如xy=k（k是常数，k≠0）也是反比例函数。

五、运用概念时要紧密联系实际

概念的形成是一个由个别到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。培养学生的实践能力对于提高学生的创造能力起着至关重要的作用。因为只有积极参与实践，才能发现新问题，提出新见解、新思想、新方法，才能把握创造的机会进行成功的创造，提高创新能力。让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问题，是概念教学中培养学生的创造性思维的有力手段。

如，在运用《反比例函数》的概念时，教师可通过结合前面所提到的正比例函数、一次函数，应用待定系数法求反比例函数的解析式，提出问题：

已知，y是x的反比例函数，当x=2时y=6。

（1）写出y与x之间的函数解析式；

（2）求当x=4时，y的值。

引导学生在已经掌握用待定系数法确定一次函数的情况下，用待定系数法确定反比例函数也就成为自然的事了，解答后再通过以下问题加以巩固运用。

已知，y是x2的反比例函数，当x=3时y=4。

（1）写出y与x之间的函数解析式；

（2）求当x=1.5时，y的值。

最后，小结反比例函数的有关概念，即可结束本节课的教学，在此节《反比例函数》的概念教学中，我尽量做到了鼓励学生大胆猜想引入，自主探索地形成，准确无误地表述，灵活多变地巩固，密切联系实际运用，帮助学生很好地掌握《反比例函数》的概念。

数学概念是数学大厦的基石，是数学的逻辑起点，它是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要地位。对数学概念的理解掌握深刻与否，直接影响学生数学观念、数学素质的形成。因而，数学概念学习与教学的理论研究受到了广泛重视。教师在设计教学数学概念课时，对概念教学的过程一般都表述为：感知、理解、巩固、应用系统化。这样才能使概念课教学不再是枯燥无味的，而是让学生从对概念的认识过程来理解数学概念教学的过程。

参考文献：

［1］常汝吉.义务教育数学课程标准［M］.北京师范出版社，2003．

［2］林群.教师教学用书［M］.人民教育出版社，2004．