二次根式有理化的方法精选(九篇)

第1篇：二次根式有理化的方法范文

感触一：“二次根式的乘除法”编写意图和地位

从2011年版义务教育课程标准（初中数学）对“数与代数”这一主线从五个角度去落实：一是要帮助学生搞清楚运算的对象是什么？二是要不断地理解和认识运算的背景，为什么要做加、减、乘、除？三是运算法则。四是学会这么多的运算，到底有什么用？在哪儿发挥作用？五是在运算中既有精准的运算，也有进似的运算。从教材参考书看，二次根式这章的核心是以二次根式这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑关系，体会运算在代数中的基础地位。做好：1.一以贯之地进行代数基本思想和方法的教学；2.以运算为核心，加强运算能力的培养。从教材看，二次根式的乘除法是在掌握、理解算术平方根的基础上并利用二次根式的性质进行计算和化简，同时也是学生学次根式加减法的基础，也是学生后续学习必备的基础。重点是二次根式乘除法则的探究和运用。二次根式的乘除涵盖了初中阶段的所有运算，学会了二次根式的运算，也就基本掌握了所有的运算。二次根式的运算更进一步的体现数学发展从“数”到“式”的过程，也让学生不断地形成完整的知识体系。所以，二次根式这一章在初中数学中地位和作用尤其重要。

感触二：二次根式乘除运算的引入

从运算的角度提出了二次根式也是一个实数，这类实数将满足怎样的运算法则，该如何进行四则运算的研究任务。引入内容看似没什么？但其中蕴含太多的哲理，是学生数学思维的开启，也是抛砖引玉，是学生思考接下来要思考什么？解决什么问题的导向。所以，教师要做好引入的导学。

感触三：二次根式乘除法法则探究

问题探究是引导学生从特殊到一般归纳二次根式的乘除法则。从条件“计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律”看，学生应从三个维度去进行探究：一是计算，凭学生已有的数学知识进行；二是观察，要从算式的结构、运算方法、运算结果、形式变化等方面观察；三是发现规律，是在观察的基础上，总结归纳得出一般的结论。从编者设置的问题看，学生是很容易从这些特例中发现，即培养了学生动手、动脑的能力，也让学生体会法则的生成过程，并且对法则的理解更有深意。

感触四：二次根式乘除法则的应用

二次根式乘除法则是 学生用已有的知识基础和经验是完全能运用法则进行计算――只需要将被开方数相乘（除）即可。但法则反过来运用更多的是对计算结果的化简，这是学生思维的难点，也是学生逆向思维培养的着力点，也是本节内容的教学核心。比如：计算，学生很容易按照法则计算得出，从而利用二次根式的性质又可以将二次根式进行化简。特别是对这类二次根式的化简，还要考虑“分数（式）”的性质――分子分母同时乘以一个不为零的数（式），所以在二次根式的乘除运算中，要让学生体验“先算后化，先化后算”，怎样做才会使计算较简便，从而让学生全面掌握、理解二次根式的乘除运算。如计算，学生就可以先算再化更容易做。

感触五：最简二次根式

二次根式学生先从“形”上认识――含有二次根号，再从“质”上理解――被开方数为非负数，如，但学生又可以利用二次根式的乘除法则进行化简，由此引出最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。这二者必须同时满足，这样的二次根式才是最简二次根式，但从给出的两个条件中不难看出，学生理解有难度：（1）不含分母；（2）不含开得尽方的因数或因式。从这两个条件中告知学生什么样的二次根式是最简二次根式，同时也告知了化二次根式为最简二次根式的方法：（1）把被开方数中含有的分母化“掉”，不含分母；（2）把被开方数中开得尽方的因数或因式开方出来。这又回到了二次根式的运算本质上来。同时要提醒学生是“因数或因式”，不要错将这样的被开方数开方出来：这里的x2，y2不是被开方数的因数或因式。

感触六：二次根式的计算结果

第2篇：二次根式有理化的方法范文

一、素质教育目标

（一）知识教学点：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．

（二）能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．

（三）德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．

二、教学重点、难点

1．教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．

2．教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．

3．关键：1．推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．2．在求根

的简单延续．

三、教学步骤

（一）明确目标

通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题．

（二）整体感知

由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．

求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．

通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性．

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1．复习提问：用配方法解下列方程．

（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．

通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．

2．用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．

解：移项，得x2＋2px＝-q

配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2

即（x+p）2＝p2-q．

教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．

3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．

解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，

a≠0，4a2＞0当b2－4ac≥0时．

①②两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件．①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯．

从上面的结论可以发现：

（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．

的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

4．例1解方程x2－3x＋2＝0

解：a＝1，b＝-3，c＝2．

又b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，

x1=2，x2=1．

在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．

练习：P．16中2（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．

例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝

由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1．化方程为一般形式．2．确定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．

练习：P．16中2（8）．

（四）总结、扩展

引导学生从以下几个方面总结：

≥0）．

（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．

2．（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如

a≠0，4a2＞0．当b2－4ac≥0时，……

（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：等式的基本性质，配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．

（3）求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．

（4）推导ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的异同．前者只求在b2－4ac≠0的情况下的解即可．后者还要研究在b2-4ac＜0的情况．

四、布置作业

教材P．14练习1

教材P．15习题12、1：4．

参考题：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．

五、板书设计

12．1一元二次方程的解法（四）

1．求根公式：例：用配方法推导出一元例1……

二次方程ax2+bx+c=0……

(a≠0)的根．练习……

2．公式法及其步骤解：解：…………

（1）……

（2）……

（3）

（4）

六、作业参考答案

第3篇：二次根式有理化的方法范文

一、填空题(共14小题，每小题2分，满分28分)

1.如果在实数范围内有意义，那么x满足的条件__________.

2.化简：=__________.

3.计算：2﹣=__________.

4.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为__________.

5.已知反比例函数的图象经过点(1，2)，那么反比例函数的解析式是__________.

6.计算

7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的范围__________.

8.某种原料价格为a元，如果连续两次以相同的百分率x提价，那么两次提价后的价格为__________.(用含a和x的代数式表示)

9.分解因式：x2﹣5x+2=__________.

10.某厂今年的产值是前年产值的翻一番，若平均年增长率为x，则可列方程__________.

11.y是x的正比例函数，当x=2时，y=，则函数解析式为__________.

12.已知y=(m﹣2)x是正比例函数，则m=__________.

13.到AOB的两边的距离相等的点的轨迹是__________.

14.如图，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，现将ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=__________cm.

二、选择题：(每题3分，满分12分)

15.下列根式中，是最简根式的是()

A.B.C.D.

16.在下列方程中，是一元二次方程的是()

A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0

17.如图，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中点，则下列结论中一定正确的是()

A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2

18.设k0，那么函数y=﹣和y=在同一直角坐标系中的大致图象是()

A.B.C.D.

三、简答题：(第19-22小题，每题5分;第23-24小题，每题7分;满分34分)

19.计算：.

20.计算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].

21.解方程：(2x+)2=12.

22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.

23.若关于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

24.如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，C=90，求绿地ABCD的面积.

四、解答题：(第25-26小题，每题8分;第27小题10分，满分26分)

25.如图，OC平分AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE.求证：PDO+PEO=180.

26.如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，并且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足是D，若OA=OB=OD=1;

(1)求：点A、B、C、D的坐标;

(2)求反比例函数的解析式;

(3)求AOC的周长和面积.

27.如图，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不与A、C重合的一动点，PQBC于Q，QRAB于R.

(1)求证：PQ=CQ;

(2)设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象.

(3)PR能否平行于BC?如果能，试求出x的值;若不能，请简述理由.

新人教版八年级上册数学期末试卷参考答案

一、填空题(共14小题，每小题2分，满分28分)

1.如果在实数范围内有意义，那么x满足的条件x.

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式有意义的条件可得2﹣3x0，再解不等式即可.

【解答】解：由题意得：2﹣3x0，

解得：x，

故答案为：x.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

2.化简：=3x.

【考点】二次根式的性质与化简.

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.

【解答】解：由题意得，x0，

则=3x，

故答案为：3x.

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握a0时，=a是解题的关键.

3.计算：2﹣=.

【考点】二次根式的加减法.

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可.

【解答】解：原式=6﹣5

=.

故答案为：.

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键.

4.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为4.

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.

【解答】解：CAB=90，CM=BM，

AM=BC，又AM+BC=6，

BC=4，

故答案为：4.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

5.已知反比例函数的图象经过点(1，2)，那么反比例函数的解析式是.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式.

【分析】把(1，2)代入函数y=中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式.

【解答】解：由题意知，k=12=2.

则反比例函数的解析式为：y=.

故答案为：y=.

【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握.

6.计算

【考点】实数的运算.

【分析】首先进行分母有理化，然后进行根式的运算即可求解.

【解答】解：==(﹣)=3.

【点评】此题主要考查了实数的运算.无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的.注意：表示a的算术平方根.

7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的范围m﹣2且m﹣1.

【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.

【分析】由关于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，根据的意义得到m+10，且0，即4+4(m+1)0，解不等式组即可得到m的取值范围.

【解答】解：关于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

m+10，且0，即4+4(m+1)0，解得m﹣2，

m的取值范围是：m﹣2且m﹣1.

故答案为：m﹣2且m﹣1.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2﹣4ac：当0，方程有两个不相等的实数根;当=0，方程有两个相等的实数根;当0，方程没有实数根.

8.某种原料价格为a元，如果连续两次以相同的百分率x提价，那么两次提价后的价格为a(1+x)2.(用含a和x的代数式表示)

【考点】列代数式.

【分析】先求出第一次提价以后的价格为：原价(1+提价的百分率)，再根据现在的价格=第一次提价后的价格(1+提价的百分率)即可得出结果.

【解答】解：第一次提价后价格为a(1+x)元，

第二次提价是在第一次提价后完成的，所以应为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元.

故答案为：a(1+x)2.

【点评】本题考查根据实际问题情景列代数式，难度中等.若设变化前的量为a，平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a(1x)2.

9.分解因式：x2﹣5x+2=(x﹣+)(x﹣﹣).

【考点】实数范围内分解因式.

【分析】首先可将原式变形为(x﹣)2﹣，再利用平方差公式分解即可求得答案.

【解答】解：x2﹣5x+2

=x2﹣5x+﹣+2

=(x﹣)2﹣

=(x﹣+)(x﹣﹣).

故答案为：(x﹣+)(x﹣﹣).

【点评】本题考查了实数范围内的因式分解.注意此题将原式变形为(x﹣)2﹣是关键.

10.某厂今年的产值是前年产值的翻一番，若平均年增长率为x，则可列方程(1+x)2=2.

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】增长率问题.

【分析】设平均年增长率为x，前年的产值为a，根据题意可得，今年产值(1+x)2=2今年产值，据此列方程.

【解答】解：设平均年增长率为x，前年的产值为a，

由题意得，a(1+x)2=2a，

即(1+x)2=2.

故答案为：(1+x)2=2.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程.

11.y是x的正比例函数，当x=2时，y=，则函数解析式为y=x.

【考点】待定系数法求正比例函数解析式.

【分析】设y与x的解析式是y=kx，把x=2，y=代入求出k即可.

【解答】解：设y与x的解析式是y=kx，

把x=2，y=代入得：=2k，

解得k=，

即y关于x的函数解析式是y=x，

故答案为：y=x.

【点评】本题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式的应用，注意：正比例函数的解析式是y=kx(k为常数，k0).

12.已知y=(m﹣2)x是正比例函数，则m=﹣2.

【考点】正比例函数的定义.

【分析】根据正比例函数的次数是1，系数不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：根据题意得，m2﹣3=1且m﹣20，

解得m=2且m2，

所以，m=﹣2.

故答案为：﹣2.

【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k0，自变量次数为1.

13.到AOB的两边的距离相等的点的轨迹是AOB的平分线.

【考点】轨迹.

【分析】根据角的平分线就是到角的两边相等的点的轨迹，据此即可解答.

【解答】解：到AOB的两边的距离相等的点的轨迹是：AOB的平分线.

故答案是：AOB的平分线.

【点评】本题考查了点的轨迹，正确理解角平分线的定义是关键.

14.如图，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，现将ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=1.875cm.

【考点】翻折变换(折叠问题);勾股定理;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质.

【专题】压轴题.

【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

【解答】解：在直角ABC中AB===5cm.则AE=AB2=2.5cm.

设DE=x，易得ADE∽ABC，

故有=;

=;

解可得x=1.875.

故答案为：1.875.

【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.

二、选择题：(每题3分，满分12分)

15.下列根式中，是最简根式的是()

A.B.C.D.

【考点】最简二次根式.

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】解：A、被开方数含分母和能开得尽方的因式，不是最简二次根式;

B、被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式;

C、是最简二次根式;

D、被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式.

故选C.

【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

16.在下列方程中，是一元二次方程的是()

A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0

【考点】一元二次方程的定义.

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的次数是2;二次项系数不为0;整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【解答】解：A、2x2=(x﹣3)(2x+1)是一元一次方程，故A错误;

B、+3x+4=0是分式方程，故B错误;

C、3x2=x(x﹣4)是一元二次方程，故C正确;

D、(x2﹣1)=0是无理方程，故D错误;

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2.

17.如图，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中点，则下列结论中一定正确的是()

A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据直角三角形两锐角互补的性质和斜边中线的性质进行解答即可.

【解答】解：RtABC中，C=90，

A+B=90.

CDAB，

5+B=90，

5=A，

E是AC的中点，

DE=AE，

4=A，

4=5，

故选：A.

【点评】本题考查的是直角三角形两锐角互补的性质和斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键.

18.设k0，那么函数y=﹣和y=在同一直角坐标系中的大致图象是()

A.B.C.D.

【考点】反比例函数的图象;正比例函数的图象.

【分析】根据正比例函数y=kx的性质：k0，图象经过原点，在第一、三象限;反比例函数y=的性质：k0，图象在第二、四象限的双曲线可得答案.

【解答】解：k0，

﹣0，

函数y=﹣的图象经过原点，在第一、三象限，

k0，

y=的图象在第二、四象限，

故选：D.

【点评】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质，关键是掌握两个函数的性质.

三、简答题：(第19-22小题，每题5分;第23-24小题，每题7分;满分34分)

19.计算：.

【考点】二次根式的乘除法.

【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解.

【解答】解：原式=

=x.

【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则.

20.计算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].

【考点】实数的运算;分数指数幂;零指数幂.

【分析】分别根据0指数幂的计算法则，数的乘方及开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.

【解答】解：原式=+1+3﹣2

=+2+1+3﹣2

=6﹣.

【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的计算法则，数的乘方及开方法则是解答此题的关键.

21.解方程：(2x+)2=12.

【考点】平方根.

【分析】根据平方根的概念进行解答即可.

【解答】解：(2x+)2=12，

2x+=2，

2x=2﹣，

x1=，x2=﹣.

【点评】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，掌握平方根的定义是解题的关键.

22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】计算题.

【分析】先移项得到：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，然后把方程看作关于x﹣1的一元二次方程，再利用因式分解法解方程.

【解答】解：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，

[(x﹣1)﹣5][(x﹣1)+3]=0，

(x﹣1)﹣5=0或(x﹣1)+3=0，

所以x1=﹣6，x2=﹣2.

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

23.若关于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

【考点】根的判别式.

【专题】探究型.

【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出0，再求出k的取值范围即可.

【解答】解：关于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，

，

解得k.

所以k的取值范围是k且k2.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于k的不等式是解答此题的关键.

24.如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，C=90，求绿地ABCD的面积.

【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.

【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角BCD的面积+直角ABD的面积.

【解答】解：连接BD.如图所示：

C=90，BC=15米，CD=20米，

BD===25(米);

在ABD中，BD=25米，AB=24米，DA=7米，

242+72=252，即AB2+BD2=AD2，

ABD是直角三角形.

S四边形ABCD=SABD+SBCD

=ABBD+BCCD

=247+1520

=84+150

=234(平方米);

即绿地ABCD的面积为234平方米.

【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的应用.解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出BD的长.

四、解答题：(第25-26小题，每题8分;第27小题10分，满分26分)

25.如图，OC平分AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE.求证：PDO+PEO=180.

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.

【专题】证明题.

【分析】如图，作辅助线，证明PMD≌PNE，得到MDP=PEN，即可解决问题.

【解答】证明：如图，过点P作PMOA，PNOE;

OC平分AOB，

PM=PN;

在PMD与PNE中，

，

PMD≌PNE(HL)，

MDP=PEN;

MDP+ODP=180，

PDO+PEO=180.

【点评】该题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题;解题的关键是作辅助线;牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键.

26.如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，并且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足是D，若OA=OB=OD=1;

(1)求：点A、B、C、D的坐标;

(2)求反比例函数的解析式;

(3)求AOC的周长和面积.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】计算题.

【分析】(1)由OA=OB=OD=1可直接得到点A、B、C、D的坐标;

(2)先利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x+1，由于CD垂直于x轴，垂足是D，则C点的横坐标为1，再把x=1代入y=x+1得y=2，从而确定C点坐标为(1，2)，然后再利用待定系数法确定反比例函数的解析式;

(3)利用勾股定理分别计算出AC和OC，然后根据三角形的周长与面积公式分别计算AOC的周长和面积.

【解答】解：(1)OA=OB=OD=1，

点A坐标为(﹣1，0)，点B坐标为(0，1)，点C坐标为(1，2);点D的坐标为(1，0).

(2)设直线AB的解析式为y=ax+b，

把A(﹣1，0)，B(0，1)代入得，

解得，

直线AB的解析式为y=x+1，

CD垂直于x轴，垂足是D，

C点的横坐标为1，

把x=1代入y=x+1得y=2，

C点坐标为(1，2)，

设反比例函数的解析式为y=，

把C(1，2)代入得k=12=2，

故反比例函数的解析式为y=;

(3)在RtACD中，AD=2，CD=2，

AC==2，

在RtOCD中，OD=1，CD=2，

OC==，

AOC的周长=OA+OC+AC=1++2;

AOC的面积=OACD=12=1.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式;待定系数法是确定函数关系式常用的方法.也考查了勾股定理.

27.如图，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不与A、C重合的一动点，PQBC于Q，QRAB于R.

(1)求证：PQ=CQ;

(2)设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象.

(3)PR能否平行于BC?如果能，试求出x的值;若不能，请简述理由.

【考点】动点问题的函数图象.

【专题】计算题.

【分析】(1)易得ABC为等腰直角三角形，则B=C=45，然后利用PQCQ可得到PCQ为等腰直角三角形，所以PQ=CQ;

(2)根据等腰直角三角形的性质得BC=AB=，CQ=PC=x，同理可证得为BQR等腰直角三角形，则BQ=RQ=y，所以y+x=1，变形得到y=﹣x+(0

(3)由于AR=1﹣y，AP=1﹣x，则AR=1﹣(﹣x+)，当AR=AP时，PR∥BC，所以1﹣(﹣x+)=1﹣x，解得x=，然后利用0

【解答】(1)证明：A=90，AB=AC=1，

ABC为等腰直角三角形，

B=C=45，

PQCQ，

PCQ为等腰直角三角形，

PQ=CQ;

(2)解：ABC为等腰直角三角形，

BC=AB=，

PCQ为等腰直角三角形，

CQ=PC=x，

同理可证得为BQR等腰直角三角形，

BQ=RQ=y，

BQ+CQ=BC，

y+x=1，

y=﹣x+(0

如图，

(3)解：不能.理由如下：

AR=1﹣y，AP=1﹣x，

AR=1﹣(﹣x+)，

当AR=AP时，PR∥BC，

即1﹣(﹣x+)=1﹣x，

解得x=，

x=舍去，

第4篇：二次根式有理化的方法范文

二次根式的教学课件

一、教学内容与学情分析

1.本课在教材、新课标中的地位与作用

本课内容是二次根式章节的复习课，是学生在学完新人教版八年级教材下册第十六章后的一个总结复习。二次根式是初中数学知识体系与结构中一个不可或缺的部分，是中考直接考查的一个重点内容。本课复习内容的教学将让学习更为系统地认识二次根式，并在学习新知的基础上得到一个升华。同时也是为了学生能够在下一张勾股定理以及九年级的解直角三角形学习中打下一些有效的基础。

关于二次根式在《数学课程标准》中提出要求：

1.了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则;

2.会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化);

在本章内容新授过程中，教师更多的关注了学生对概念及运算法则的讲解，对方法、技巧、能力等各方面并没有对学生作出更高的要求，同时学生本身在学习新课知识时，也是一种模糊的感觉。对课程标准提出的第2点：会用它们进行有关实数的简单四则运算并不能很有效的完成。而本节复习课的教学将给学生一个巩固提高的机会，让大多数学生能加深对二次根式的运算的理解，同时更是为学生掌握更多的学习方法、学习技巧，提高学生的能力提供机会。彻底地贯彻课程标准所提出的要求，完成九年级学生应完成的任务。

2.本课知识点与前后知识点的联系

本课内容是综合性复习，所讲知识点学生基本都熟悉，只不过是没有真正的理解透彻，甚至有些学生可能都已经有部分渐渐淡忘。本节内容的教学其实从本质上讲就是为学生理清知识点，建立一个完整的知识体系与结构。把已学知识系统、全面地呈现在学生的面前，同时也是为了让学生能够对二次根式的理解与运算真正落实到位作出努力。

其实，本课内容的教学不单单是为了复习巩固，更重要的是让学生对本章的知识在初中数学教材中明确地位与作用，让学生感受本章知识的重要性，为即将学习后面的知识做好铺垫工作。

3.学生已有的知识基础

由于新课内容结束离综合性复习时间较长，可以说大多数学生对本章的知识并不是非常熟悉，但学生已具备的知识基础从理论上讲应该是完全具备的，只不过需要一个回顾的过程。同时，随着知识面的拓广以及一些章节中对二次根式的应用，逐步让学生对二次根式这一章的内容也有了更多的认识。在复习时，学生应该说还是很易于接受的。

4.学生学习新知的障碍

在学生已有的知识基础上，本节课的教学其实更主要的是经历回顾、理解、巩固的过程。本节教学内容的新知并不是真正的“新的知识点、新的知识技能、新的知识能力”，而是一种对已学知识的一种重新加工处理的能力，从已学的 知识上提炼出更精粹的东西来。这也正是学生在这方面的缺憾，需要教师的有效引导与分析。这更是学生的主要障碍。

二、目标的设定及重难点

1.目标的准确与完整

知识目标：

(1)能够有效回顾本章的重要基础知识;

(2)二次根式的计算与化简;

情感目标：

(1)对章节内容的总体把握，全面分析;

(2)体会对问题的解决办法的优化处理;

能力目标：

(1)提高学生善于处理问题的能力;

(2)培养学生构建知识体系，形成知识系统的能力;

2.重点、难点确立及依据

二次根式的计算与化简是新授时的重点，更也是复习课上的重点。前面的公式、运算法则等都是为了这些计算与化简服务的，学生真正体现所学的基础知识应就是在解决这些问题上。故此，本课教学内容的重点设定为：

二次根式的计算与化简;

伴随着重点内容的出现，学生的问题也得以体现。要熟练地解决二次根式的计算与化简问题，需要学生真正理解所要求的基础知识，并灵活的运用基础知识解决问题。继而重新回归到重点内容上。然而这些都是学生的困难之处。也就是说本课的重点内容就是难点内容。

3.重、难点突破方法

本课内容的重点也就是难点，突破的方法都在于如何有效地理解二次根式的模型，以及如何运用基础的知识去解决较为复杂的问题。而这些都在基础的回顾上让学生得以重新的认识，所以，突破的方法之一就来源于学生对已学知识的掌握程度，另外，通过对比以前所学的知识可以让学生进行方法的探索以及能力的培养，这正是重难点突破的方法之二。

三、教法设计

自主复习基础知识(整理知识点)、复习测评合作探究达标训练堂清检测

四.学法设计

1.学生学习本课知识应采取的方法

由于本课是复习课，更多的情况之下学生参与课堂的比例很大。所以，在课堂上，学生学生应积极参与课堂，通过对比新授与复习之间的不同，在课堂上形成新的认识，教师更是注重对学生系统分析问题的能力的培养。

2.培养学生能力采用的方法

复习课是对学生所学知识的一个升华的阶段，在本节课上应着重关注前后学习方法，问题的思考方式的对比，让学生主动的讲，主动的暴露更多的问题才能让学生获得真正的技能，真正的提高学生的能力。

3.学生主题作用体现的方法与手段

合作交流(师生交流、生生交流)是解决本课内容所采取的一个必要环节，敢于质疑更是解决本课内容的关键所在。在整个教学中学生的主体地位得到进一步的确立，教师只是通过问题的形式以及组织课堂活动的形式将学生的思维联系在一起，而学生在课堂上无疑是一个真正的主宰者。

五、教学过程

①基础回顾与测评：将本章的基础知识都以一些常见的基础问题的形式展现，便于学生理解更便于学生对二次根式的模型的真正理解;

②整理知识点：一个问题整理一个知识点，让学生能对号入座，便于掌握与分析;

③合作探究：对本章中典型的计算与化简进行专门的探究讲解，突出重点，突破难点;

④达标训练：对所复习的知识点进行巩固训练，已达到进一步掌握;

⑤堂清检测：针对不同的学生，不同的问题进行不同的检测，以确定其对本章所学知识的掌握情况，达到实现面向全体教学的目标;

五、作业设计

1.作业设计目标

根据不同学生掌握新知的程度不同，对作业的完成也有不同的要求。为此，对于A类学生应能运用新知解决相关程度的问题(巩固提高第1、2、3、4、5题);而B类学生要求解决相关的基础性问题(巩固提高第1、2题)，对与新知相关程度的问题应积极尝试;

第5篇：二次根式有理化的方法范文

［关键词］ 初中数学；教学；方程

相比于初中语文、英语、科学等学科的教学，初中数学对于绝大多数学生来说不仅内容更加艰涩难懂，且教学过程更加枯燥乏味. 初中数学既不能像语文一样有很多生动形象的故事来活跃课堂气氛，也不能像科学课一样开展有趣的科学实践，初中数学似乎注定乏味枯燥. 幸运的是，越来越多的初中数学教师开始重视这一问题，在初中数学教学实践过程中做出了大胆的尝试，让初中数学教学越来越为学生所喜爱. 那么，初中数学教学究竟该如何实现化腐朽为神奇，实现课堂教学的最优化呢？

事实上，任何教学都不能脱离“引入新知―讲授新课―巩固练习―归纳小结―作业安排”这样一个教学过程. 教师如何通过这一教学过程让学生熟练掌握知识，就成为初中数学教学的关键. 本文将结合“一元二次方程根的判别式”的教学教法来说明如何策划一节成功的数学课.

■ 精意覃思，分析教材

磨刀不误砍柴工. 作为教师，要成功完成课堂教学，就必须做好充足的课前准备，即对教材进行深入地分析. 教材分析尽管“游离”于课堂教学之外，却是实现教学最优化的基础和保障. “教材分析”作为教学的重要环节，对教师提出的要求是：能够充分理解教材、分析教材，领会教材编写者的意图；把握教材的整体结构，了解教材各部分的地位；具体分析教材内容，明晰教材的重点和难点；结合教学实践，制定教学目标和教学方法. 以“一元二次方程根的判别式”这一节教材为例，教师在分析教材时必须明确以下部分：一是本节教材的地位和作用；二是教学目的；三是教学的重点和难点.

“一元二次方程根的判别式”安排在“一元二次方程”这一章中的第三节，因此，这节课的内容是建立在学生已经基本掌握一元二次方程的解法的基础上提出的，并且要求学生对b 2-4ac已有一个初步的认识. 只有达到这两个标准才有可能进行下一步教学. 教学“一元二次方程根的判别式”这一节课，主要是对一元二次方程的求解进行一个深化和补充，在一元二次方程的教学中占有重要地位. 不仅如此，这一节课的内容与学生今后将要学习的不等式、二次函数、二次曲线等内容都有紧密的联系，因此它对整个初中数学教学都有极其重要的意义.

明确教材地位和作用后就需要教师结合教学实践确立教学目标. 教学目标的确立有利于教师更有计划地实施教学过程、检测学生们的掌握情况. 为此，教学目标的设定需要体现一定的层次差异性，即要逐层深入. 例如，对于“一元二次方程根的判别式”这一节内容而言，教师在综合学生学习情况的基础上可制定如下教学目的：

（1）使学生理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；

（2）使学生能够熟练运用根的判别式来判断和推理一元二次方程根的情况；

（3）使学生能够掌握根的判别式的逆定理的运用.

教学重点和难点的确立是在明确教学目标的基础上进行的，教师只有明确了教学的重点和难点才能正确安排课堂教学时间、实现课堂教学过程的最优化. 重点和难点的确立，一方面需要建立在理解教材编者的意图上进行，另一方面，需要对学生的学习能力有一个清楚的把握. 对于“一元二次方程根的判别式”来说，教学的重点是根的判别式的运用，而难点就是根的判别式的逆定理的运用.

■ 有的放矢，确定教法

针对同一内容往往有多样的教学方法，尽管有些教师认为条条大路通罗马，教学方法的选择并不会影响课堂教学效率，但事实证明，教师根据学生实际的接受能力和学习特点以及所教授课程的性质和内容选择的恰当教学方法对于提高教学效率和水平都大有裨益. 在教学方法的探索过程中，有很多前辈和学者都作出了杰出的贡献，如赫尔巴特根据其统觉思想提出了四段教学法；美国学者布鲁纳在皮亚杰的智力结构发展理论的基础上提出了发现教学法；美国教育家杜威在实用主义的基础上提出了任务型教学法；除此以外，还有讲授法、情境教学法、案例教学法等诸多教学方法. 针对同一内容，不同的教学方法所取得的教学效果也有所差异，因此，教师有的放矢，确定正确的教学方法对于优化课堂教学有着重要的意义.

例如，对于“一元二次方程根的判别式”这一节内容来说，教材中涉及了很多探索型问题和研究型问题，需要学生们积极参与到课堂教学活动当中. 同时，为了体现“以学生为中心”的教学理念，“一元二次方程根的判别式”这一节课就可以采用“引导发现―讲练结合”的教学方法. 具体来说，这一教学方法应用到教学实践当中时可分成以下几个环节：首先，教师可以设置悬念，激发学生的学习兴趣；为了让学生亲身感知，教师可以设置一定的练习，创设课堂情境；在充分激发出学生的探究热情以后，教师要适当地对学生进行启发，帮助他们在解题和探索过程中得出结论；初步得出结论以后，教师就可以引导学生结合教材进行理论验证；最终，一步步地开展对定理的深化认识，将所学的知识应用到实际解题当中，达到巩固提高的目的. 不难发现，以上的教学环节是基于“实践―认识―实践”这一学生的认知规律的基础上设计出来的，不仅实现了学生亲自参与课堂探索、获取真知的目的，同时大大提高了学生学习数学的积极性.

■ 循序渐进，实施教学

教学过程的安排是初中数学课堂教学的“重头戏”，也是教师能否上好一节数学课的关键所在. 合理安排教学过程能让学生时刻保持以最佳的状态进入课堂学习当中.

1. 设置悬念，引发兴趣

古希腊著名的先知亚里士多德曾经提出：“思维自惊奇和疑问开始”. 对于初中生来说，能迅速引导他们进入“枯燥乏味”的数学学习办法就是设置悬念，即教师对学生“激疑”，让学生在心理上产生困惑以及好奇心. 设置悬念的办法有很多，例如猜谜法、故事讲述法、实验设疑法等. 以“一元二次方程根的判别式”为例，为了激发学生的兴趣，教师可以向学生展示一手“绝活”，即教师告诉学生无论是什么样的一元二次方程，都可以不用求解就能知道根的情况. 很多学生都不相信，争先恐后地编题来考老师，结果没有一题能难倒老师. 这时，很多学生立马就被教师的“绝活”激起了学习兴趣和求知欲望，对新课的内容学生都会表现出跃跃欲试的态度.

2. 启发引导，发现结论

设置悬念的目的无非在于充分调动学生的学习热情，因此，在实现这一目的以后，教师就不必再花时间去吊学生的“胃口”了，此时要做的应该是引导学生自己动手去解决问题，寻找事实的真相.

在“一元二次方程根的判别式”教学过程中，教师向学生展示“绝活”激发学生的学习兴趣后，就可以引导学生去发现“绝活”当中的奥秘. 教师可以在黑板上给出三题代表一元二次方程根的不同情况的式子，如（1）x 2-3x+1=0；（2）4x 2-4x+1=0；（3）x 2-2x+5=0. 让学生用公式进行求解. 通过对题目的求解，让学生对一元二次方程根的三种不同情况都有一个了解，不仅如此，这一解题的过程也让传统的“老师教”变成了学生的“自己学”，能进一步调动学生的主观能动性.

紧接着，教师可再引导学生反思刚才的解题过程：“是哪一个环节决定了同是一元二次方程，根的情况却完全不同？”学生们经过思考很快能发现：b 2-4ac在解题过程中起到了决定方程是否有解的作用，教师此时再引出判别式的概念，让学生总结判别式与根的情况的相互关系. 这一环节的教学实现了学生由“学”到“钻”的转变，同时也训练了学生的抽象思维，让学生不再单纯地停留于感性认识，而是能进一步上升到理性思维.

为了进一步培养学生思维的严谨性，可让学生养成严格论证思维的习惯，提高学生的自学能力. 教师在学生得出相应的结论以后，还必须引导学生对所得出的结论进行理论验证，即将刚才探究所得的问题与教材进行结合，从书本上寻找出“绝活”之所以可能的理论依据，从而实现“回归教材”.

3. 应用定理，解决问题

学以致用是教学的最终目标. 对于任何知识的学习，教师都需要引导学生应用所学解决实际问题. 学以致用对于数学教学来说尤其重要. 很多学生都存在这样的苦恼，即看老师演示解题时感觉已经掌握了，但真正自己解题时却无从下手，因此，数学课堂教学一定要安排一定的巩固练习.

对于“一元二次方程根的判别式”来说，教师在讲完新知以后，可以安排学生进行“实战演习”，即用根的判别式去判别方程的情况. 为了进一步加深学生的理解运用，教师除了要让学生判别“x 2-2x+5=0”这样的完整的实数方程以外，也要让学生尝试去判别一些带字母的方程式，如“（2m 2+1）x 2-2mx+1=0”，这样的式子需要学生进一步开动脑筋，运用自己的理性思维去判别m不同取值范围下方程根的分布情况. 总之，习题的设置既要帮助学生对所学内容进行巩固，还须有一定的延伸拓展，能发展学生的抽象思维.

4. 归纳小结，布置作业

课堂小结是教师完成课堂教学必须要经历的步骤. 在课堂小结中，教师要对本节课所学的内容进行梳理，不仅如此，还要帮助学生明晰所学内容的重点和难点，并与之前的所学内容相联系，从而建立起属于自己的知识体系.

第6篇：二次根式有理化的方法范文

[关键词]构造法 微分方程

构造法是一种常用的数学方法，它指的是根据所要解决问题的具体特点构造出特定的数学形式，达到化简、转化和桥梁的作用，进而能够方便地解决问题。历史上不少数学家都曾经运用该方法，解决了数学难题，比如柯西、欧拉、费马、拉格朗日等。这种方法体现了思维的转换，有利于培养创新意识及创新能力。

构造法在高等数学中有着普遍的应用，比如通过构造函数证明等式、不等式，证明微分中值定理，通过构造级数求极限，通过构造数列、积分等解决相应问题。这种方法在微分方程求解中的应用尤为突出，从一阶线性微分方程到二阶（高阶）常系数齐次线性微分方程，再到二阶（高阶）常系数非齐次线性微分方程，无不体现出构造法的便利之处。下面介绍构造法在求解微分方程中的应用。

一、构造法在不同类型微分方程求解中的应用

1.

通过对比一阶线性齐次微分方程和非齐次微分方程的特点，找出其内在联系，根据一阶线性齐次微分方程的通解y（x）=Ce-∫p（x）dx，构造出一阶线性非齐次微分方程的通解

y（x）=C（x）e-∫p（x）dx，

借鉴待定系数法的思想，容易求出一阶线性非齐次微分方程的通解为

y（x）=e-∫p（x）dx[∫Q（x）e-∫p（x）dxdx+c]。

2.y``+py`+qy=0

通过对五类基本初等函数的逐一分析，考虑到指数函数求导的特点，构造该方程特解的形式为y*（x）=erx，根据构造的这种形式，可以将微分方程的求解问题转化为一元二次方程r2+pr+q=0（特征方程）求根的代数问题，根据方程根的不同形式可以进一步得到该微分方程的通解。在特征方程有二等实根的情况下，进一步利用构造法构造出另一与y1（x）=erx线性无关的特解y2（x）=u（x）erx，可求得这一特解为y2（x）=xerx。上述构造法的运用可以推广到高阶齐次线性微分方程。

3.y``+py`+qy=Pm（x）eλx（其中Pm（x）为m次多项式函数）

根据该微分方程右端自由项的特点，可以构造出特解形式为y*（x）=Qm（x）eλx，将其代入微分

方程整理可得

Q``m（x）+（2λ+P）Q`m（x）+（λ2+pλ+q）Qm（x）=Pm（x）

由此结果不难发现，当λ是特征方程r2+pr+q=0的单根或二重根时，上式不可能成立，构造的特解形式将不再适合该微分方程的求解。究其原因是因为等式两端多项式函数的次数不等，于是调整后特解的形式为

y*（x）=xkQm（x）eλx （k=0，1，2）

当λ不是特征方程r2+pr+q=0的根时，k取0，当λ是特征方程r2+pr+q=0的单根时，k取1，当λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根时，k取2。借鉴待定系数法的思想可以求出Qm（x），进而得到该微分方程的特解，利用相对应的齐次微分方程的通解，可以进一步地求得该微分方程的通解。

特别地，当λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根时，可直接构造z（x）=x2Qm（x），使得其二阶导数等于Pm（x）即可，这样以来可以更为简单方便地得到其特解y*（x）=z（x）eλx。

当上述微分方程右端自由项f（x）=eλx[P1（x）cosωx+Pn（x）sinωx]时，其特解形式可以类似地构造为

当λ+iω不是特征方程r2+pr+q=0的根时，k取0，当λ+iω是特征方程r2+pr+q=0的单根时，k取1。

二、典型例题分析

例1.求微分方程y``-6y`+9y=（x2+1）e3x的特解。

解法一： 由于e3x中x的系数a=3是对应齐次方程特征方程的二重根.因而该方程特解的形式可构造为

y*（x）=x2（Ax2+Bx+C）e3x

将它代入方程左边求导，化简并和方程右边比较系数可得方程组

于是，可求得其特解为

解法二：构造其特解y=z（x）eax（z（x）=x2（Ax2+Bx+C）且z（x）满足

z``（x）=x2+1.

因此有

z``（x）=12Ax2+6Bx+2C=x2+1.

比较系数得12A=1，6B=0，2C=1，即 ， 所以原方程的特解为

例2.求微分方程y``+y=sin2x的特解

解法一：由于对应齐次方程的特征根为λ=±i，所以可构造该方程的特解为

y*（x）=Acos2x+Bsin2x

将上式代入原方程整理可得

-3Acos2x-3Bsin2x=sin2x

比较等式两端可得

求解方程组可得 ，所以原方程的特解为

解法二：由于第一个方程右边只有正弦函数，左边不含一阶导数项，若y是正弦函数，则y``也必是正弦函数.因此可以构造其特解为

y*（x）=Asin2x

将上式代入原方程可得

-3Asin2x=sin2x

比较上式两端，可得 ，于是原微分方程的特解为

构造法是一种富有探索性、技巧性和创造性的方法，在不断探索、发现、创造的基础上，往往可以构造出更为简洁、有效地形式，从而更便于解决问题。构造法的应用不仅能够巧妙、简便地解决问题，还能够激发创新思维，培养创新意识，提高创新能力。

[参考文献]

[1]数学思想方法通论【M】，解思泽，赵树智，北京，科学出版社

第7篇：二次根式有理化的方法范文

一、选择题（每题3分，共18分）1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（）　 A． （x+3）（x﹣4） B． （x﹣3）（x+4） C． （x﹣3）（x﹣4） D． （x+3）（x+4）考点： 解一元二次方程-因式分解法．专题： 压轴题．分析： 只有把等号左边的二次三项式分解为（x﹣x1）（x﹣x2），它的根才可能是x1，x2．解答： 解：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么倒数第二步为：（x﹣3）（x﹣4）=0，x2+px+q=（x﹣3）（x﹣4），故选C．点评： 用到的知识点为：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为（x﹣x1）（x﹣x2）=0．　2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）　 A． B． C． D． 考点： 比例的性质．分析： 首先根据x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，进而得到x：y=3：2．解答： 解：x：（x+y）=3：5，5x=3x+3y，2x=3y，x：y=3：2= ，故选：D．点评： 此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．　3．ABC中，tanA=1，cosB= ，则ABC的形状是（）　 A． 等腰三角形 B． 直角三角形　 C． 等腰直角三角形 D． 锐角三角形考点： 特殊角的三角函数值．分析： 先根据ABC中，tanA=1，cosB= 求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答： 解：ABC中，tanA=1，cosB= ，∠A=90°，∠B=45°，ABC是等腰直角三角形．故选C．点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．　4．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）　 A． 0.5 m B． 0.55 m C． 0.6 m D． 2.2 m考点： 相似三角形的应用．分析： 根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．解答： 解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得： = ，解得x=2.2，2.2﹣1.7=0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．故选：A．点评： 本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．　5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）　 A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196　 C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．专题： 增长率问题．分析： 主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．解答： 解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故选C．点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．　6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（） 　 A． B． 2 C． 2 D． 1考点： 正方形的性质．专题： 压轴题．分析： 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍求解即可．解答： 解：BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∠ADB=∠CGE=45°，∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，DGT是等腰直角三角形，两正方形的边长分别为4，8，DG=8﹣4=4，GT= ×4=2 ．故选B．点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．　二、填空题（每题3分，共30分）7．一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积约为　0.2　m2．考点： 比例线段．专题： 应用题．分析： 根据相似多边形面积的比是相似比的平方，列比例式求得图上面积．解答： 解：设其缩小后的面积为xm2，则x：800000=（1：200 0）2，解得x=0.2m2．其面积约为0.2m2．点评： 注意相似多边形的面积的比是相似比的平方．　8．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　2008　．考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．分析： 根据根与系数的关系，可先求出a+b的值，然后代入所求代数式，又因为a是方程x2+x﹣2009=0的根，把a代入方程可求出a2+a的值，再代入所求代数式可求值．解答： 解：根据题意得a+b=﹣1，ab=﹣2009，a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1，又a是x2+x﹣2009=0的根，a2+a﹣2009=0，a2+a=2009，a2+2a+b=2009﹣1=2008．点评： 根据根与系数的关系、以及方程根的定义可求此题．　9．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则x=　5　．考点： 同类二次根式．专题： 计算题．分析： 根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于x的方程，解出即可．解答： 解：由题意得：x2﹣4x=10﹣x，解得：x=5或x=﹣2，当x=﹣2是不满足为最简二次根式，故舍去．故答案为：5．点评： 本题考查同类二次根式的知识，难度不大，注意求出x之后检验是否满足题意．　10．（ 3分）（2011•白下区二模）已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为　（﹣2，1）或（2，﹣1）　． 考点： 位似变换．分析： E（﹣4，2）以O为位似中心，按比例尺1：2，把EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以 或﹣ ，因而得到的点E′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．解答： 解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以 或﹣ ，所以点E′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．点评： 关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．是需要记忆的内容．　11．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，则实数a的范围为　a≤ 且a≠6　．考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．分析： 根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义，得出a﹣6≠0且=64﹣36（a﹣6）≥0，求出不等式组的解集即可得到实数a的范围．解答： 解：关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，a﹣6≠0且=64﹣36（a﹣6）≥0，解得a≤ 且a≠6．故答案为：a≤ 且a≠6．点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．　12． 无论x取任何实数，代数式 都有意义，则m的取值范围为　m≥9　．考点： 二次根式有意义的条件；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．专题： 压轴题．分析： 二次根式的被开方数是非负数，即x2﹣6x+m=（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9﹣m．通过偶次方（x﹣3）2是非负数可求得9﹣m≤0，则易求m的取值范围．解答： 解：由题意，得x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0，（x﹣3）2≥0，要使得（x﹣3）2﹣9+ m恒大于等于0，m﹣9≥0，m≥9，故答案为：m≥9．点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．　13．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为　 　． 考点： 解直角三角形；特殊角的三角函数值．分析： 重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．解答： 解：AC= ，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为： ×1= ．故答案为： ． 点评： 本题问题中，巧妙的运用三角函数求边长是解题的关键．　14．在RtABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则tan =　 　．考点： 特殊角的三角函数值．分析： 先根据题意画出图形，由特殊角的三角函数值求出∠A的度数，再求则tan 的值即可．解答： 解：如图所示，AB=2，BC= ，sinA= = ，∠A=60°．tan =tan30°= ． 点评： 此题比较简单，解答此题的关键是熟知特殊角的三角函数值，根据数形结合解答．　15．在RtABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与ABC相似，满足条件的直线最多有　4　条．考点： 相似三角形的判定．分析： 过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于ABC的另一个角即可．解答： 解：①过点P作AB的垂线段PD，则ADP∽ACB；②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则APE∽ACB；③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则PCF∽ACB；④作∠PGC=∠A，则GCP∽ACB．故答案为：4． 点评： 本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相似．　16．如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y= x，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：①∠AOB=90°；②AOB是等腰三角形；③OP2=2AP•PB；④SAOB=3SAOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16．其中正确结论的序号是　③④　． 考点： 一次函数综合题．分析： ①由两条垂直直线的斜率的积等于﹣1即可判定①∠AOB=90°故选项错误；②根据等腰三角形的判定定理即可判定②AOB是等腰三角形，故选项错误；③由直线的斜率可知 = ， =1，根据2（ ）= ，即可求得OP2=2AP•PB，故选项正确；④设A（m， m），则B（m，﹣m），得出AOP的面积= OP• m= m•OP，BOP的面积= OP•m= •OP，从而求得SBOP=2SAOP，进而得出SAOB=3SAOP，故选项正确；⑤t=2时根据直线的解析式先求得PA=1、PB=2，进而求得AB=3，所以正方形的周长=12，故选项错误；解答： 解：①由直线y= x，直线y=﹣x可知，它们的斜率的积=﹣ ≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°错误；②ABx轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，AOB不是等腰三角形，故AOB是等腰三角形；③由直线的斜率可知： = ， =1，2（ ）= ，OP2=2AP•PB，故OP2=2AP•PB正确；④设A（m， m），则B（m，﹣m），AOP的面积= OP• m= m•OP，BOP的面积= OP•m= •OP，SBOP=2SAOP，SAOB=3SAOP，故SAOB=3SAOP正确；⑤t=2时，PA= ×2=1，PB=|﹣1×2|=2，AB=PA+PB=1+2=3，正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12；故当t=2时，正方形ABCD的周长是16错误；故答案为③④．点评： 本题考查了 直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③OP2=2AP•PB的求得是本题的难点．　三、解答题（共102分）17．解方程（1）x2﹣6x﹣18=0（配方法）（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）考点： 解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．分析： （1）先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，最后根据直接开平方解可以求解了．（2）将原方程转化为一般形式，再求出a、b、c的值，最后代入求根求解就可以了．解答： 解：（1）移项，得x2﹣6x=18，在方程两边同时加上9，得x2﹣6x+9=18+9，左边配方，得（x﹣3）2=27，解得x﹣3= ，x1=3 +3，x2=﹣3 +3（2）原方程变形为：3x2+10x+5=0a=3，b=10，c=5，=b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，x= ，x1= ，x2= ．点评： 本题是一道一元二次方程的解答题，考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的方法．　18．计算下列各题：（1） sin60°﹣tan30°•cos60°；（2）|﹣ |+2﹣1+ （π﹣ ）0﹣tan60°．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析： （1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）分别进行绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后合并．解答： 解：（1）原式= ﹣ × = ﹣ ；（2）原式= + + ﹣ =1．点评： 本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等知识，属于基础题．　19．先化简，再求值： ，其中a满足方程a2+4a+1=0．考点： 分式的化简求值．专题： 计算题．分析： 把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．解答： 解：原式= = = = = ，（6分）a2+4a+1=0，a2+4a=﹣1，原式= ．（10分）点评： 此题考查了分式的混合运算，以及多项式的运算．分式的化简求值题，应先对原式的分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全局，弄清有哪些运算，然后观察能否用法则，定律，分解因式及公式来简化运算，同时注意运算的结果要化到最简，然后再代值计算．　20．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 考点： 相似三角形的应用．专题： 应用题．分析： 如图，由于AC∥BD∥OP，故有MAC∽MOP，NBD∽NOP即可由相似三角形的性质求解．解答： 解：∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，MAC∽MOP． ，即 ，解得，MA=5米；同理，由NBD∽NOP，可求得NB=1.5米，小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米． 点评： 解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．　21．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．问应增加多少台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件？考点： 一元二次方程的应用．分析： 设至少增加x台机器，可以使每天的生产总量达到30976顶，由于现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批 同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品，由此即可列出方程解决问题．解答： 解：设增加x台机器，依题意得（80+x）（384﹣4x）=30976，解得x1=x2=8．答：应增加8台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件．点评： 考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，首先把握现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，然后把握增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品就可以列出方程就问题．　22．如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题： 应用题．分析： 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即RtBED和RtDAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．解答： 解：作BECD于E．可得RtBED和矩形ACEB．则有CE=AB=16，AC=BE．在RtBED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．在RtDAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°= AC．16+DE=DC，16+AC= AC，解得：AC=8 +8=DE．所以塔CD的高度为（8 +24）米． 点评： 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．　23．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求ABC的周长．考点： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题： 压轴题；分类讨论．分析： （1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让﹣ =0即可求得k的值．（3）分b=c，b=a两种情况做．解答： 证明：（1）=（2k+1）2﹣16（k﹣ ）=（2k﹣3）2≥0，方程总有实根；解：（2）两实数根互为相反数，x1+x2=2k+1=0，解得k=﹣0.5；（3）①当b=c时，则=0，即（2k﹣3）2=0，k= ，方程可化为x2﹣4x+4=0，x1=x2=2，而b=c=2，b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，k= ，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，c=2，CABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，CABC=10，综上所述，ABC的周长为10．点评： 一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．　24．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：FOE≌DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义．专题： 几何综合题．分析： （1）由EF是OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证FOE≌DOC；（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则AEG∽ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值．解答： （1）证明：EF是OAB的中位线，EF∥AB，EF= AB，而CD∥AB，CD= AB，EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，FOE≌DOC；（2）解：EF∥AB，∠OEF=∠CAB，在RtABC中，AC= = = BC，sin∠OEF=sin∠CAB= = = ；（3）解：AE=OE=OC，EF∥CD，AEG∽ACD， = = ，即EG= CD，同理FH= CD， = = ． 点评： 本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系．　25．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 考点： 相似形综合题．专题： 压轴题．分析： 根据勾股定理求得AB=5cm．（1）分类讨论：AMP∽ABC和APM∽ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；（2）如图，过点P作PHBC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=SABC﹣SBPH”列出S与t的关系式S= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．解答： 解：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．根据勾股定理，得 =5cm．（1）以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似，分两种情况：①当AMP∽ABC时， = ，即 = ，解得t= ；②当APM∽ABC时， = ，即 = ，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t= 时，以A、P、M为顶点的三角形与ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PHBC于点H．则PH∥AC， = ，即 = ，PH= t，S=SABC﹣SBPN，= ×3×4﹣ ×（3﹣t）• t，= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）． ＞0，S有最小值．当t= 时，S最小值= ．答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 ． 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．　26 ．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．（1）若n=1，则 =　 　， =　 　；（2）若n=2，求证：8AP=3PE；（3）当n=　 　时，AEDF（直接填出结果，不要求证明）． 考点： 正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题： 动点型．分析： （1）可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解．（2）同（1）解法．（3）根据已知及相似三角形的性质进行求解．解答： 解：（1）延长AE交DC的延长线于H，四边形ABCD为正方形，AB∥DH，∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，BEA∽CEH， ，设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，同理：AFP∽DPH，FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH= n，PE= n，AP：PE=3：5， = ， = ；（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，四边形ABCD为正方形，AB∥DH，∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，BEA∽CEH， ，设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，同理：AFP∽HD P， ，设AP=2k，PH=9k，AH=11k，EH= ，PE= ， = ，8AP=3PE；（3）当AEDF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，AFP∽AFD，FP：AP=AF：AD=2：3，AF= AD= AB，BF= AB，BF= AF，n= ． 点评： 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，通过构建相似三角形得出相关线段间的比例关系是求解的关键．

第8篇：二次根式有理化的方法范文

学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。

在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：

注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到

并运用它们进行二次根式的化简。

“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。

第22章 一元二次方程

学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 —— 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。

本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，

“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。

(1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

(2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程 的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。

(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。

“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

第23章 旋转

学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。

“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。

“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。

“23.3课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)，灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。

第24章 圆

圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。

“24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。

“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。

“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。

“24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。

第25 章 概率初步

将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。

“25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。

“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。

第9篇：二次根式有理化的方法范文

关键词：反例 数学教学 作用

我们知道，要判断一个命题是真命题，必须经过严密的论证。而要判断一个命题是假命题，只要举出一些例子，它符合命题的题设，但是不满足命题的结论就可以了，这就是举反例。正如美国数学家盖尔鲍姆指出：“数学由两大类――证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标――提出证明和构造反例……”。因为在数学问题的探索中，猜想的结论未必正确，正确的需要证明，谬误的则依靠反例。[1]

因反例具有直观、明显、说服力强等突出特点，决定了它在数学教学中也有着不可替代的作用。下面笔者就举反例在数学教学中的作用谈几点见解，以供参考。

一、深化学生对数学概念以及数学定理、公式和法则等基础知识的理解和掌握

在初中数学概念以及数学定理、公式和法则等的教学中，我们不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要运用恰当的反例从另外一个侧面抓住它们的本质，弥补正面教学的不足，从而深化学生对数学概念以及数学定理、公式和法则等基础知识的理解和掌握。数学领域里，对数学概念的定义的阐述是极其严密的。并且数学中有许多定理、公式或法则的运用范围都有相应的条件要求或限制。学生在运用时往往不注意分析具体条件而生搬硬套。因此教学活动中，教师不仅要讲清这些定理、公式或者法则的运用范围或运用时条件的限制，而且要根据学生的认知状况恰当举反例，帮助学生牢固掌握相应的定理、公式和法则。

初中数学中的一些概念、二次根式的运算法则以及比例的性质等，对于初学的同学来说，对它们的理解常常模糊不清，在讲授这些知识的时候，如果只从正面论述，同学们对知识的理解并不深刻，如果配合一些反例来说明，效果就截然不同。例如在学习同类二次根式的概念时，许多学生往往片面地认为，只有被开方数相同的二次根式才是同类二次根式，被开方数不同的二次根式就不是同类二次根式。这是对同类二次根式的概念理解不够导致的错误。为了帮助学生纠正这种错误的认识，教师在进行同类二次根式概念的教学时，可以举反例。向学生提出问题“ 和 是同类二次根式吗？”。然后师生共同讨论得出，由于 和 都不是最简二次根式，应化为最简二次根式后，再进行判断。即 =3 ，而 =2 。显然，由同类二次根式的概念可知， 和 是同类二次根式。这样，通过举反例，学生将自觉体会到，同类二次根式是指“几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同”这一本质特点。[2]

二、促进学生创新思维能力的发展，培养学生思维的慎密性

一般来说，构造反例不象提出证明那样有清晰可循的逻辑途径，而给人一种不可捉摸的感觉，但它是一项积极的创造性的思维活动，是一个探索发现的过程。

例如在探讨“如果x2+kx+1是一个完全平方式，则k=____”这个常见问题时，通常我们是根据完全平方式的定义“形如a2±2ab+b2这样的式子叫完全平方式”，从而得到k=±2这一习惯性错误。为了矫正这一错误，促进学生创新思维能力的发展，培养学生思维的慎密性。 我们可以举出一些k≠±2并且符合条件的以下一些反例：

通过举反例，促进了学生创新思维能力的发展，培养了学生思维的慎密性。

三、能有效地克服学生在解题中产生的消极思维定势

消极的思维定势表现为在定势的防碍下学习者不易改变思维方向，而用既定的思路去解决已发生变更的问题，以致解题错误。要克服消极思维定势的影响时，可举反例打破消极定势，引导学生从实质上分析并解决问题。中学生看问题也常常被事物的表象所迷惑，而干扰他们对数学知识本质的认识。此时可举反例，排除“干扰”，揭示本质。

如学生在学习了平行线的性质后，由于定势思维的作用，部分学生片面地认为，只要是同位角或内错角就相等；只要是同旁内角就互补。为了矫正这种错误，教师可以举反例，通过画出相应的同位角或内错角不相等以及同旁内角不互补的图形，让学生深刻认识到只有两直线平行，同位角或内错角才相等，同旁内角才互补。从而加深了学生对平行线的性质的理解。

对于以上的问题，学生一开始认为是正确的，但举出反例之后，学生马上知道错误所在，同时也体会到对待每一个数学问题都要认真思考，稍有不慎便有可能出现漏洞。

四、提高学生分析问题和解决问题的力

如在学习一次函数知识时，学生往往抓不住其中“因变量随自变量的变化是均匀的”这一本质特征，常把一些不属于一次函数的问题当作一次函数的问题来解答。有的学生看到松树的年龄增大，它的高度也随着增加，就毫不犹豫地把“松树的高度和松树的年龄”之间判定为一次函数关系。这时教师可以通过构造反例指出，当松树的年龄增大到一定程度时，松树的高度增加已经不很明显了。所以，松树的高度和松树的年龄之间并不是一次函数关系。而在三角形全等的“边角边、角边角、角角边、边边边”定理的教学过程中，通过构造 “三个角对应相等，两个三角形不一全等”与“两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等”的反例，学生不仅知道了判定两个三角形全等的方法，更重要得是经历了这个过程，积累了数学活动经验，提高了分析问题和解决问题的能力。[3]

总之，在数学教学实践中，构造反例和提出证明起着同样的作用。构造反例是我们深化理解知识、辨析错误、培养创造性的有力工具。它在帮助我们发现和认识数学真理、强化对数学基础知识的理解和掌握以及培养学生的思维能力等方面的意义和作用是不可低估的。在数学教学中，恰当地开发和使用反例，引导学生去构造反例，长期训练学生构造反例的能力，就能为学生找到从模糊错误的思维中通往豁然开朗的桥梁，从而收到事半功倍的教学效果。

参考文献

[1] 张祯霞.浅谈反例在中学数学教学中的作用[J].新课程研究（基础教育）. 2010（12）