投资学因子模型的统计学原理浅析

摘要：因子模型是投资科学中非常重要的一类模型，在金融界的应用更是非常广泛。然而，学术界对于因子模型统计原理的探究却较为少见。基于此，本文详细论述了投资学因子模型的构建和统计学因子分析的范式，并创造性地探究了二者之间的关系，从而得出因子模型作为统计学因子分析特殊形式的结论，以期可以解决投资学因子模型在应用时的一些难题。

关键词：因子模型；正交因子分析；投资科学；股票收益率

一、引言

因子模型是投资学中最经典的模型之一。自从1992年，FamaEF和FrenchKR提出三因子模型后，国内外金融学界便掀起了挖掘市场因子的热潮[1]。例如，因子模型被应用到量化基金的投资实战当中，取得了不俗的历史收益，使更多的市场投资者参与其中，以期获得更高的收益，这次事件堪称投资学界的“淘金热”。虽然学界和商界对因子模型的研究热情很高，但大多追求与收益相关的因子挖掘或者对固有因子有效性的检验，很少有人对因子模型的统计学原理进行深入解析[2-5]。基于此，本文将结合统计学上更为一般的正交因子模型探讨投资学因子模型的原理，并一同探究其与CAPM模型和套利定价模型的关系。

二、文献综述

文中所引用之理论主要来源于两个领域。一是统计学因子分析原理和实证应用[6]。早在20世纪30年代，英国心理学家CESpearman就已提出因子分析的雏形，在后人整理发表的各种文献中，这种方法被逐渐补充完整，并在心理学、营销学、社会学和金融学等诸多领域得到了广泛应用[7]。二是金融学投资科学领域因子模型的构建、实证研究和业界应用。这些研究大抵沿着FamaFrench的方法不断地探求和拓展，只是稍有过当之嫌[8]。但是，纵览国内外学者的文献，很少有人将两个领域结合研究，并清晰地解释出两者的联系，本文期望在这方面有所突破。

三、投资学因子模型简介

首先，介绍主要的研究对象——因子模型。根据Z·Bodie的理论，股市中的单因子模型是为了应对股票较多时，和应用Markowitz组合理论协方差矩阵估计困难问题而提出的[9]。它假定任何证券i的收益率总是可以分解为期望收益率和非期望部分（预料之外的因素）之和：Er=Eri+ei（1）其中，Eei=0，Dei=σi2，预料之外的因素又可以分为同时影响所有证券的宏观因素m（如未预期的宏观突发事件），以及只影响特定公司的特殊因素∈。于是，可以得到单因子模型基本形式：ri=Eri+m+∈i（2）对应风险分解为σi2=σm2+σ2（∈i）。考虑不同公司对宏观因素m变化的敏感性不同（汽车制造比食品制造对经济周期更加敏感），记敏感性系数为βi（又称“因子暴露度”），则ri=Eri+βim+∈i。如果收益率用超额收益Ri=ri+rf表示，等价于Ri=Eri+βim+∈i。于是，只需要m，βi，σm，σ（∈i）共2n+2个参数便可完成Markowitz分析，而不用去估计大小为n2的股票波动率协方差矩阵∑，大大提高了模型效率。在日常应用中，一般使用单因子模型的特殊形式——单指数模型[10]。单指数模型：由于宏观因素m不易定义和观测，所以需要寻找一个变量来代表（proxy）共同因素，当使用股指收益率作为宏观因素的指标时，则称为单指数模型Ri=Eri+βi（RM+ERM）+∈i。在实证研究中，使用时序回归的方式确定单指数模型中的βi，构造回归方程Ri(t)=αi+βiRM(t)+ei(t)，并通过最小二乘法得到iβ∧，iα∧。之后两边对时间t取期望值得到Eri=αi+βiERM。然而，考虑到宏观因素的多样性。由于股指不能100%地反映所有宏观因素的影响，所以单指数模型∈仍蕴含宏观信息，并且可以通过增加因子的方式增强解释性（这在正交因子分析中就是增大总变量共同度）。如果我们选取m个宏观因子，则可得到如下基本形式：Ri=ERi+∑mj=1βijFj+ei，其中，Fj为m个不同宏观因素的未预期值。这里的因子选择是颇具艺术性的一步，常用的有国内生产总值（GrossDomesticProduct，GDP）、国民生产总值（GrossNationalProduct，GNP）、消费者物价指数（ConsumerPriceIndex，CPI）、失业率等。另外，其参数估计方式与单因子模型相似，应用多元线性回归最小二乘法估计，并假设因素之间不存在相关性，尽管此假设经常受到质疑，但仍是目前最常见的应用方法。

四、统计学因子分析原理

介绍完多因子模型后，下面便可分析其统计学原理。其实，因子模型本质上都是统计学正交因子分析的特殊应用，金融多因子模型也不例外。二者之间是特殊与一般的关系，因此，理解了正交因子分析，也就能够深入理解金融多因子模型。设对某标准化后的随机向量Z=（Z1,Z2,Z3,…,Zn）T的研究需要得知其协方差矩阵∑，参数估计复杂度为O（n2），当n很大时，则难以完成。若对每一个Zi，都能表示为m个随机变量（m«n）的和：1112+iiiimmiZ=lF+lF+l…F+∈，则称Fj（j=1,2,3,…,m）为Z的公共因子，∈j为特殊因子，系数lij为第i个变量在第j个因子上的因子载荷。矩阵形式记为Z=LF+∈。注意正交因子分析若要进行下去，必须满足的基本假设为类Gauss-Markov性：E（F）=0，Cov（F，F）=E（FFT）=I，E（∈）=0，Cov（∈，∈）=ψdiag（ψ2i），且F与∈独立，即Cov（F，∈）=0。这是因为诸Fj是不可观测的随机变量，必须满足上述假设，才能赋予一个可以验证的方差结构。另外，不难看出，因子分析的目的与主成分分析法是类似的，主要在于将属性进行变量降维，并将协方差矩阵分解为低秩矩阵的和。它满足以下几个重要性质：Σ=LLT+ψ,ρ(Z,F)=Cov(Z,F)=L,221()mijijiVarZϕ==∑l+，（i=1,2,3…n）。从上述三条性质中可以看出总方差被成功分解为两个部分。为了进一步研究此方差结构的性质，定义变量共同度为221mijijh==∑l，同行的和反映了所有公共因子对单个原始变量Zi方差的贡献，即所选m个因子对原始变量的解释能力，φ2i则称为剩余方差。又定义方差贡献221mjjijg==∑l，同一列的和则反映了单个公共因子Fj对所有原始变量方差的贡献，即第j个因子的相对重要程度。有趣的是，在主成分因子分析法中，该值即特征值λ。在实际应用中，寻找和确定因子是一件非常不容易的事，通常有两种方法，其一是标准化的主成分法。主成分分解可表示为Y＝AZ，其中，Y=（Y1,Y2,Y3,…,YTK）为K个特征向量，对应特征值为λ1,λ2,λ3,…,λk。由于A为正交关系，故Z=ATY，取前m个特征值放入特征向量，其余放入特殊因子∈中即得对应形式。为了满足假设，将Y标准化：即得jjjYFλ=，ijjjil=λα。此方法虽然有迹可循，但面临问题是仍不能确定因子的代表意义，需进一步因子旋转（由于与本文关系不大，此处略过）。其二是启发法，直接猜想某个变量为因子，最著名的便是CAPM模型，猜想RM作为整个市场所有资产收益率的唯一公共因子。在启发法下，因子载荷的估计可以用回归法。由于启发法猜想得到的m个因子可以直接观测到，因此建立回归方程Z=βF+∈，使用最小二乘法估计得到的系数矩阵β∧即为L。启发法相对主成分法走上另一个极端，它能够直接确定因子的意义，却需要令人惊叹的直觉。

五、投资学因子模型与统计学因子分析的关系

根据上文的叙述，通过对比因子模型与统计学因子分析的原理不难发现，两者之间是特殊与一般的关系。以经典的FamaFrench三因子模型为例，本质上三个因子市场收益率、市盈率、市净率就是对宏观因素的一个猜测，相当于使用启发法找出了三个因子，并在股票收益率面板数据上应用两步回归法进行因子估计。值得注意的是，为了应对宏观因子不易测量的困难，二人绝妙地创造出了“Fama-FrenchXMY型因子”——使用公司特征的差异作为系统风险来源的代表因子。设某公司特征K将市场上所有公司等分为K组，按照K的取值由高到低（或由低到高）排序，K最大的一组平均收益率为X，最小的一组平均收益率为Y，则它们的差为XMY，也可以作为某个宏观因素m的变量。m满足：它对K高的公司影响与对K低的公司影响是不一样的，即K组公司对m的暴露度不同。这样XMY就可以作为m的变量（虽然不知道m具体是什么）。这一开创性设计也正解释了二者辉煌的成就。探究多因子模型的统计学原理后，可以将这种洞见延伸至相关的其他模型。这里为CAPM模型提供类似的视角。CAPM模型认为，在投资者二阶理性假设和完美市场假设下，如果市场组合是有效的，那么市场上任何一个资产i的期望收益率满足Eri-rf=βi（Erm-rf），其中，2iMiMσβσ=，具体可参见朱光宇的研究成果[11]。若记超额收益率Ri=ri-rf，则CAPM模型可表示为ERi=βiERM。结合第四部分的讨论，可以得出，CAPM模型是单指数模型在有效市场中的特殊形式，是市场收益率被猜想为唯一宏观因素时的因子分析。如果CAPM模型假设成立，即证券i被公平定价，那么αi=0；然而，在实务中市场不一定有效，如果回归结果表示应拒绝H0：αi=0，即0iα∧≠显著，说明证券被错估，从而可以进行套利。可以说，CAPM模型是“特殊的特殊”，既保留了因子分析的智慧，又充满了简洁的美感，它的广泛应用也体现了统计学与金融学结合的巨大魅力，有很广阔的应用前景。

六、结语

本文详细论述了投资学因子模型的构建和统计学因子分析的范式，并创造性地探究了二者之间的关系。得出：因子模型作为统计学因子分析特殊形式，可以解决投资学因子模型在应用时对理论完备性的顾虑，也补全了国内对因子模型理论研究的空白。此外，文章应用到的正交因子分析技术也可相应地运用到因子模型中，作为投资者寻找因子的有力武器。

作者:贾宗艺 单位:山东工商学院国际商学院