特殊化数学的思想应用研究

摘要：特殊化思想是数学领域的重要思想之一。运用特殊化思想解决实际的数学问题，完全遵守了从特殊到一般的认知规律，是数学发现最为关键的渠道。尤其是在运用特殊化思想解答部分数学题目的时候，能够快速的求解出答案。本文就特殊化数学思想及其应用进行深入地研究。

关键词：特殊化；数学思想；应用价值

1特殊化数学思想简介

特殊化思想是一种非常关键的数学思想，其同时还是辩证的认知规律的重要体现。历史中部分重要额科学发现往往是由一些特殊的案例所引起的。华罗庚曾经指出：善于“退”，直至“退”到最初而不缺乏重要性的区域，是数学学习的重要秘诀。波利亚曾经说过：特殊化是以考虑某一限定的目标集合转向考虑此集合相对偏小的子集，又或是仅仅是一个目标对象。希尔伯曾指出：在对数学问题进行分析的时候，我坚信特殊化与一般化相比有着更加重要的作用。我们之所以不能成功的寻找到某一个答案，便在于如此事实，虽然有部分比手头的问题更加容易、更为简单的问题并未全面解决。寻找到相对容易的问题，同时以尽量完美的方式与能够存在的概念以处理它们，是科学探究的一般规律。以上均表明了特殊化思想具有非常重要的作用。将问题特殊化，往往在解决问题中起到出其不意的效果。

2特殊化的准则与策略

运用特殊化思想的解决数学问题，往往需要遵守下述准则：（1）合理性准则。所选择的特殊值需要满足题设的所有条件，将集合I特殊化成集合A的时候，需要符合IA⊂，同时AΦ≠。（2）最简性准则。在正常状况下，特殊化集合A是一种单元素集，选择的特殊元素可以使得推理又或是运算更加的简单。（3）功能性准则。也就是所选择的特殊值具备对于备选答案的选取功能，应用所选择的选特殊元素可以快速进行正确的选择。

3特殊化数学思想的应用

以下简单分析特殊化思想在一些具体环境中的运用：3.1运用特殊化思想解答选择题部分选择题以普通的思路很难解决又或是计算复杂，如果运用特殊化思想进行解决便极为便利。例l：某三角形，其内切圆半径、外接圆半径以及周长依次是r,R,l(此处的R是一个固定值)，那么以下结论种正确的的（）。(A)l+>rR(B)l+≤rR(C)rRl+<6(D)上述关系均不成立。可以考虑三角形的部分特殊状况。在此三角形的三个顶点极其靠近的时候，那么此三角形所有边的长度都远远低于R，此时(A)与（C）明显是不正确的。在此三角形是顶角非常小的等腰三角形的时候，腰长与外接圆的直径长非常接近，明确(B)同样是不正确的。所以应该选择(D)。3.2运用特殊化思想摸索问题的最后结论部分和定直线、定值以及定点等相关的问题，能够通过特殊化思想把问题引至极端，摒弃题目里面不明确的要素，先求解出此定直线、定值以及定点等，进而确定解题的具体方向。例2：证明对任何实数k，方程：04)23()1(234kxkxxk=−+−++均处在着一个相应的实数解，同时求出此解。如果可以知晓此解是多少，那么问题便会成为，正面此解是原方程的解。假设：k−=1，那么原方程就变成：0423xx=++假设：k=0，那么原方程就变成：02234xxx=−+（2）由（1）、（2）求解可得x−=2。若原方程针对所有实数k均存在相同的实数解的话，则其便是x−=2。现把x−=2代入到原方程当中，刚好原方程左右相等。因此，x−=2便是原方程的一个共同的实数解。从上述例子可以看出，四次方程相对来说是有一定的难度的，抓住题目中“都有一个共同的实数解”的条件，对式子进行特殊化处理，对k取特殊值，将方程降次，得到一个低阶方程组，然后用消元法，通过验证就得到它们的公共解。可以看出，高次复杂方程的求解就完全转化为简单的方程求解。3.3运用特殊化思想摸索解题思路数学问题通过特殊化处理以后，往往有助于人们得到此问题的某种侧面信息，如此通过几次特殊化以后，便可以得到更加多的信息，进而能够帮助寻找到正确的解题方式。例3：假设三角形的三条边长分别是22mmmm+++−1,12,1，问：该三角形的最大角是多少。如果想要求解三角形的最大角，便需确定哪一条便是最大的。可以用特殊值进行尝试。假设：m=2，那么:71,512,3122mmmm=++=+=−所以，12mm++或许是最大边，然而此类假设性的猜测需要进行更深层次的验证：因为1,12,122mmmm+++−分别为三角形的三条边，因此便有：>++>⇒>+>−.0121,012,012mmmmm然而，在m>1的时候，22mmmm>+=−−++02)1(1，2mmmmm>−=+−++0)1()12(1。因此，2mm++1的确是最大边。接着再运用余弦定理便能够求解出最大角。显然，特殊化思想不仅仅只有以上所论述的作用，按照具体的题目，人们需巧妙运用自身所学习的理论知识，运用各式各样的解题方法，精准、快速地获得答案。

4结论

采取特殊化的思想解决实际问题，可以规避掉那些复杂的推理又或是计算过程，是一种高速有效的方式。若人们可以精准地将特殊化思想应用于具体的解题过程，必然会有更加深入的体会与收获。然而数学是一种分析一般性问题的学科，特殊最后依然要回归至一般。所谓的特殊化思想仅仅是在人们解决数学问题时候的一个重要突破口，因此人们在应用特殊化思想的时候需要关注不得本末倒置，只想到运用简单、迅速的方式去解决问题，需认识到特殊源自于一般，最终依然需回归到一般，此是一个辩证发展的环节——也就是：普通的解题方式+题目里面的特殊话因素=以特殊化思想解决问题。

参考文献：

[1]肖燕.特殊化和一般化思想在高等数学中的应用[J].高等函授学报(自然科学版),2008(10).

作者:赵晓花 单位:济源职业技术学院