高中数学求最小值的方法精选(九篇)

第1篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词：函数；恒成立；转化；最值

恒成立问题是高中数学的一类重要题型，很多函数问题都需转化为恒成立的问题才可解决。该类问题有较高的综合性和灵活性，往往通过一道综合试题即可全面考查学生灵活运用数学知识、数学思想方法的能力，考查学生数学思维的深刻性和敏捷性。本文将探讨解决恒成立问题的如下三种策略：二次函数法――转化为二次函数图象的问题（利用数形结合的方法解决）；分离变量法――转化为求函数的最值；构造函数法――转化为求含参函数的最值。

一、二次函数法――转化为二次函数图象的问题（利用数形结合的方法解决）

二次函数是高中数学中解决函数问题最重要的工具之一，在恒成立问题中，有许多问题本身就是或可以转化为关于二次函数恒成立问题。所以二次函数恒成立问题是恒成立问题中的一个重点。而解决二次函数恒成立问题的专属方法是利用数形结合的思想，根据已知画二次函数图象列代数式。虽然二次函数恒成立问题作为一类特殊的恒成立问题，也可以用后面总结的方法解决，但该方法体现了重要的数学思想，所以在此将其作为一种方法介绍。

综上所知，a的取值范围是[-7，2]。

该方法的核心思想是数形结合，关键是根据已知画出二次函数的图象，而难点也是根据画出二次函数的图象，然后根据图象一般从开口方向、判别式、对称轴和特殊点函数值四个方面列式。要正确利用该方法解题，需做好以下两方面：（1）画图一般要分类讨论，而在分类时要做到“不重复，不遗漏”，即尽量避免重复，而绝不能少考虑情况；（2）数形结合要做利用好图的直观性和数的精确性，即画图要有代表性并且相对准确。

二、分离变量法――转化为求函数的最值

分离变量法是将主变量和参数分离，用主变量表示参数，一般将命题转化为“在某个区间D上，a≤f（x）或a≥f（x）（其中x为主变量，a为参数）”的形式，从而将问题转化为“求函数f（x）在区间D上的最大值或最小值”，则a小于等于函数f（x）在区间D上的最小值或a大于等于函数f（x）在区间D上的最大值。例如下题：

三、构造函数法――转化为求含参函数的最值

构造函数法是通过构造含参函数y=f（x），将命题转化为“在某个区间D上，f（x）≥0或f（x）≤0”的形式，从而将问题转化为“求函数f（x）在区间D上的最大值或最小值”，则通过解不等式“最小值大于等于0或最大值小于等于0”求解参数的范围。

综上所知，a的取值范围是（-∞，e）

构造函数法是解决此类问题的一般方法，在高中阶段恒成立问题几乎都可用构造函数法解决，即通过构造含参函数，求其最值，然后解不等式。一般情况下它不如分离参数法简便，因为求解最值时一般要对参数进行分类讨论，操作更为复杂，例如例3，而例3也可用分离参数相对简便一些。若将第（2）问的条件变为x∈[-1，+∞），则分离参数就不易操作了，所以本方法更具一般性。

第2篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词：最值，换元法，均值定理，几何

 

在科学领域里，实践生活中，我们常会碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题。当然，在数学的学习当中，也就在必然会遇到很多的最值的求解、研究。她会指导生活中的我们去解决一些实际问题或者说科研问题。这里，笔者就初中数学阶段里的部分最值的求解进行一些回顾、分析。特别是在新课程改革的今天，强调学生能自己探索总结、归纳学习规律，对部分最值的求解利用数行结合，三角形三边关系，三角形内角和定理，不等式的传递性，函数性质等方面进行一些回顾、分析，与学生教师进行交流、探讨，会有一定的帮助的。下面我根据自己十年来对数学教学的体会谈几点看法和大家共同商榷

一、求函数的最值

在最值问题中,以二次函数为内容的最值问题最为常见,有很多表面看非二次函数类型的最值问题通过适当的变换均可转化为二次函数最值问题,因此,首先要熟悉二次函数最值问题的求解方法。其常见方法有:

(1)配方法:形如y=ax2+ bx c(a≠0)的函数,可将它首先配方成y=a(x )2 (a≠0)的形式,再根据x的取值范围与对称轴x=-的位置关系,联系单调性或图象即可确定函数的最值。

(2)分离常数法或反函数法:形如y=f(x)的函数我们可以转化为函数的值域问题来解决。

(3)判别式法:形如y=(f(x),g(x)中至少有一个为二次函数)的函数求最值,可以化为一个系数含y的方程,a(y)x2 b(y)x c(y)=0然后讨论a(y)是否为0。当时a(y)≠0时,若x∈R,则≥0,从而确定y的取值范围,即可确定函数的最值。

(4)换元法:形如y=ax b 以及一些特殊的高次函数或复合函数求最值,通常可以用代数换元或三角换元转化为二次函数等常见函数来予以解决。

(5)重要不等式法:形如y=f(x) 的函数求最值,我们可以利用均值定理来进行求解,但要注意的是“取全正”和“等号成立的条件”,两者缺一不可。

(6)有界性法:这一方法着重用于求三角函数问题的最值。论文格式，几何。形如y=或y=asinx bcosx或y=asin2x bsinxcosx ccos2x等形式的三角函数问题求最值,通常首先进行三角变换化为同名函数y= Asin(ωx )或y= Asin(ωx )或y= Atan(ωx )的形式,然后利用三角函数的有界性来解决。

(7) “夹逼法”求最值: 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 例. 不等边三角形 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。论文格式，几何。

二、求解析几何中的最值问题

解析几何中的最值问题是解析几何综合性问题的重要内容之一,常以直线与圆、圆锥曲线等内容为载体,综合考查函数、不等式、三角等知识,涉及的知识点较多,属偏难问题。其常见方法有:

(1)代数法:即先建立一个“目标函数”,再根据其特点灵活运用求函数最值的方法求得最值。

例如:椭圆中心在坐标原点,长轴在x轴上,e=,已知P(0,)到这个椭圆上的最远距离为,求这个椭圆的方程。

解这个题时我们可以首先设椭圆方程为 =1,再设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,联立椭圆方程消去x(或y)可建立d关于y(或x)的函数关系,然后用配方法可求出d的最大值,从而求出b的值,即可求出椭圆方程为 y2=1。论文格式，几何。论文格式，几何。

(2)几何法:是借助图形特征利用圆或圆锥曲线的定义及几何性质来求最值的一种方法。例如:已知x,y满足(x-3)2(y-1)2=1,求的最值。此问题可以转化为在圆(x-3)2 (y-1)2=1上找一点,使它与原点连线的斜率最大或最小。论文格式，几何。

又如:已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为 。论文格式，几何。

此问题可借助抛物线的图像及抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,转化为“在抛物线y2=4x上找一点P,使P到准线的距离与P到Q的距离之和最小”画图可知,过P作准线的垂线,重足为A,当A、P、Q三点共线时,和最小,得解。

应用数形结合（特别是几何体的问题），三角形三边关系，三角形内角和定理（内角和不变而各内角可变），不等式的传递性，二次函数（及图像最低点最高点）等等的性质来解决部分中学数学中的最值求解会有很大的帮助和必要。

当然求最值问题的方法有很多种，以上所列的涉及到的一点有关最值的求解，是笔者在教学过程中的一些自见，可能较浅陋，希望大家能批评指正。

参考文献：

[1]周盛威三角函数最值问题的常见类型及求解策略

[2]刘培达例谈最值问题基本解法的思路

[3]姜继学最值问题的求解八法

第3篇：高中数学求最小值的方法范文

【关键词】导数 切线方程 单调性 最值 极值 不等式

导数是数学分析课程中基本概念之一，它反映了函数的变化率，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。近年来由于课改的的需要，将这一高等数学的内容扩充到中学数学选修部分，而且在近年来的高考中导数内容的比重逐年加大。由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题，求曲线的切线问题提供了一般性方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。导数的应用主要体现在求曲线的切线方程、判断函数的单调性、求函数的极值、最值以及证明不等式等问题，下面举例谈谈运用导数的知识解决这些问题。

一、利用导数求曲线的切线方程

函数f(x)在点x0处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率是f′（x0）。于是相应的切线方程是y一y0= f′（x0）（x一x0）。解决这类问题的关键是求切点和斜率。

（一） 已知过切点，求切线方程

分析：此类问题较简单，求出斜率f′（x0）带入点斜式方程就可以了。

例如：已知曲线f（x）=x3-3x2+1，过点（1,1）作切线，求切线方程。

解:由f′(x)=3x2-6x得k= f′(1)=-3，故所求切线方程为y-1=-3（x-1）即y=-3x+2

（二）已知过曲线外一点，求切线方程

分析：此类问题先判断点是否在曲线上，点在曲线上可用（一）法求解，若点不在曲线上应先设切点，再求切点。

例如：求过点A（1,0）且与曲线y=1x 相切的直线方程。

解：因为点A（1,0）不在曲线上，故设切点为P（x0，y0）则斜率k=y′|x=x0=-1x02

所以切线方程为y-y0=- 1x02 （x-x0）即y- 1x0=-1x02 （x-x0）

又已知切线过点（1,0）所以有0- 1x0=- =-1x02 （1-x0）

解得x0=12 所以y0=2，k=-4切线方程为y-2=-4（x-12)即4x+y-4=0

二、利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）

例如：已知aR，求函数f（x）=x2eax的单调区间

解：f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+a x2）eax

（1）当a=0时，若x0

所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数 （2）当a>0时，由2x+a x2>0解得x0；由2x+a x2

所以当a>0时，函数f（x）在区间（- ∞，-2a ）内是增函数，在区间（-2a ，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数；

（3）当a0,解得0

所以当a

三、利用导数求函数的极值

求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数的定义域，求导数f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右两侧的值的符号，如果f′（x）的符号左正右负，则函数f（x）在这个根处取得极大值；如果f′（x）的符号左负右正，则函数f（x）在这个根处取得极小值；需要注意的是，如果f′（x）=0的根的左右两侧符号不变，则在这个根处的函数值不是函数的极值。

例如：求函数f（x）=x3-27x的极值

解：f′（x）=3x2-27=3（x+3）（x-3）令f′（x）=0得x=-3或x=3

当x变化时，y′、y的变化情况如下表：

由此可以看出：当x=-3时，函数f（x）有极大值f（-3）=54，当x=3时，函数f（x）有极小值f（3）=-54

四、利用导数求函数的最值

求可导函数最大（小）值的步骤是：（1）求函数的导数f′（x），解方程果f′（x）=0，

求出极值点；（2）比较函数在区间端点处的函数值和函数在极值点处的函数值的大小，确定最大者是最大值，最小者是最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较。

例如：求函数f（x）=-x4+2x2+3，X ［-3，2］的最大值和最小值

解：由f′（x）=-4x3+4x令f′（x）=0即-4x3+4x=0

解得x=-1，或x=0或x=1

又f（-3）=-60，f（-1）=4，f（0）=3，f（1）=4，f（2）=-5

所以，当x=-3时，函数f（x）有最小值-60

当x= 1时，函数f（x）有最大值4

五、利用导数证明不等式

利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型．其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性和常用的证明不等式的方法证明不等关系”．

例如：已知x>2,求证x-1>lnX

证明：构造函数f（x）=x-1-lnx（x>2）则f′（x）=1-1x =x-1x

x>2 f′（x）>0 函数f（x）在（2，+∞）内是增函数

当x>2时，f（x）=x-1-lnx>f(2)=1-ln2>1-lne=0

第4篇：高中数学求最小值的方法范文

这里所说的变量往往是一个变化的实数。它还可以用其他方式体现出来，如代数式、距离、斜率、面积、体积、角，等等。

求一个变量的取值范围和求它的最大（小）值的思路基本上是相同的。如果能求出一个变量的取值范围，则很容易得到它的最大（小）值。

求一个变量的取值范围或最大（小）值的问题往往可以从以下三个角度分析和解决。

一、几何法

几何法即把所求问题中的条件和结论都理解成几何图形或直角坐标平面中的某些量，然后利用图形中的所求变量的变化规律，得到所求变量的取值范围。例如现行中学教材中的线性规划问题本质上就是把二元一次不等式组表示为直角坐标系中相应的平面区域，把线性目标函数理解为其相应的直线在坐标轴上的截距加以解决。

例1：在（0，2π）内，求使sinx>cosx成立x的取值范围。

分析：解决该问题只需要把函数y=sinx和y=cosx在（0，2π）内的图像画出来，通过观察图像即可得到x的取值范围。

例2：求抛物线y=-x上的点到直线：4x+3y-8=0距离的最小值。

分析：在直角坐标系中分别画出抛物线y=-x和直线4x+3y-8=0，通过图形容易得到和抛物线y=-x相切且与直线4x+3y-8=0平行的切线的切点到该直线的距离最小。利用导数求出切点坐标，然后利用点到直线的距离公式即可求得。

二、不等式法

不等式法就是如果能利用题目的条件得到所求变量的不等式或不等式组，那么该不等式或不等式组的解集即为所求变量的取值范围。

例3：函数f（x）=ax+3x-x-1在（-∞，+∞）上是减函数，求a的取值范围。

分析：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，即f（x）的导数f′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立。而f′（x）≤0是关于x的二次不等式，要使它对于任意的x都成立，就容易得到一个关于a的不等式组，那么该不等式组的解集即为a的取值范围。

例4：已知直线l：y=kx+1与双曲线：2x-y=1右支交于不同的两点，求k的取值范围。

分析：联立y=kx+1与2x-y=1消去y得到一个x的二次方程，这个方程的根就是两个交点的横坐标，而且它们都大于零，根据二次方程的判别式和根与系数的关系，就容易得到一个k的不等式组，它的解集即为所求k的取值范围。

三、函数法

所谓函数法就是首先建立一个函数模型，即根据题目条件把所求的变量表示为另一个变量的函数，那么这个函数的值域就是所求变量的取值范围，函数的最大（小）值就是所求变量的最大（小）值。

例5：已知直线l过点P（2，1），且交x正半轴于点A，交y正半轴于点B，AOB的面积为S，试求S的最小值，并求出此时直线l的方程。

分析：因为直线l过定点P（2，1），l是随着它的斜率的变化而变化的，所以AOB的面积就是随着直线l的斜率变化而变化的。通过设l的斜率，把l的方程表示出来，从而分别得到点A的横坐标与点B的纵坐标与l的斜率的关系，然后把直角AOB的面积表示为直线l斜率的函数。最后利用基本不等式或者导数的方法求该函数的最小值即可。

例6：用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个长方体型铁盒，求所做的铁盒容积最大值。

分析：因为所求长方体型铁盒的容积是随着被截去的小正方形的边长的变化而变化的，所以可设小正方形的边长，利用长方形的体积公式，把铁盒的容积表示成小正方形边长的函数，然后利用导数的方法求该函数的最大值即可。

第5篇：高中数学求最小值的方法范文

【关键词】探究式学习；高中数学；开展策略

在高中数学教学中顺利地开展探究式学习，教师就要做好对教材的把握，和对学生思维能力的培养.教师在实际教学过程中，可以依据对不同数学题型的讲解，帮助学生开展探究式学习.

一、注重一题多解，帮助学生养成多角度看问题的习惯

对同一问题的不同解法，可以帮助学生综合运用所学知识，在对习题的分析探究过程中，养成从多角度看待问题的习惯.

例1已知x，y∈R+且1[]x +16[]y=1，求x + y的最小值.

解法1用换元法，利用基本不等式.

由1[]x+16[]y=1，得y=16+16[]x-1（x>1）.

所以x+y=x+16+16[]x-1

=17+x-1+16[]x-1

≥25.

（当且仅当x-1=16[]x-1时，即x=5时，“=”成立）

x+y的最小值为 25.

解法2构造x+y的不等式解法.

由1[]x+16[]y=1，得（x-1）（y-16）=16≤（x+y-17）2[]4.

所以， x+y的最小值为25.

每一种方法，都是对这道习题的一次思考和探究，通过这样的练习，学生在知识的综合运用上的能力会进一步加强，对一道习题的思考会从多角度看待.

二、注重专题的讲解，加强学生思维系统化

高中的数学内容较多，教师可以通过对专题的讲解，将学生的数学知识由点串成线，由线串成面，由面联成体，让学生的数学知识条理化和系统化，帮助学生对所学知识全面地认识和掌握.例如：求函数的值域.

例2

已知y=x2-2x-3，求函数的值域.

解此题可用观察法，x2-2x-3≥0，所以函数值域为[0，+∞）.

例3已知y=x2-4x+6，x∈[1，4]，求函数的值域.

解y=x2-4x+6=（x-2）2+2，

对称轴为x=2，x∈[1，4].

当x=2时，函数值最小为2；

当x=4时，函数值最大为6.

函数的值域为[2，6].

分析对于二次函数的值域求解，通常都是用配方法，利用对称轴，求出函数值域.

例4

已知y=x+4[]x，x∈[0，+∞），求函数的值域.

解y=x+4[]x≥2x×4[]x=4.

函数的值域为[4，+∞）.

分析对于不等式形式的函数形式，一般通过基本不等式来求解.

关于函数值域的求法还有很多，例如图像法、判别式法、导数法等等，在这里就不一一举例了.对专题的讲解或是对某一内容的精讲，可以让学生对知识的理解加深.

三、注重一题多变，引导学生探究题目更深内容，培养学生发散思维

对同一题目，教师要引导学生注意因为题目的微弱变化对题目解法造成的影响，要注意一题多变，将知识掌握得更扎实.

例5已知y=x2-2x+3，求函数的值域.

解y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

对称轴为x=1，图像开口向上.

当x=1时，函数值最小为2.

函数的值域为[2，+∞）.

例6已知y=x2-2x+3，x∈[2，3]，求函数的值域.

解y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

对称轴为x=1，图像开口方向向上.

当x=2时，函数有最小值3；

当x=3时，函数有最大值6.

函数的值域为[3，6].

例7已知y=x2-2x+3，x∈[-2，0]，求函数的值域.

解y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

对称轴为x=1，图像开口方向向上.

当x=-2时，函数有最大值11；

当x=0时，函数有最大值3.

函数的值域为[3，11].

第6篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词: 数形结合思想 解析几何 求解最值问题

自17世纪大哲学家笛卡尔发明坐标系以后,代数和几何这两个在这之前独立发展的数学分支便从此有机地结合在了一起,带来了数学史上的巨大变革。从此数学发展日新月异,而数形结合的思想方法也成为了数学学科中一种非常重要的思想方法之一。下面我从数形结合思想出发,谈谈如何利用解析几何中的方法求解最值问题。

求最值问题是数学中一个非常重要的专题,其方法非常多。而解析几何中的思想也是非常重要的,其中一些概念和公式更是被广泛应用,如:斜率、截距、点与点的距离公式、点到直线的距离公式、直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系,这些都被广泛运用,而且通常是非常简单、非常具有技巧性的方法,这些解法很多时候能让学生有一种茅塞顿开、豁然开朗的感觉,能让学生感觉到数学的奥妙与博大精深,迅速提升学生对数学的学习兴趣。

一、斜率模式

解析几何中的斜率是这样定义的:当x≠x时,斜率k=。因此,对于分式的形式,视情况可以将其转化为斜率的形式。

例1:如果实数x、y满足(x-2)+y=3,求的最大值。

分析:条件中的方程在解析几何中表示圆,而=,即表示圆上的点与原点的连线的斜率。如图1,易得此斜率的最值应是该直线与圆相切时取得,易得最大值为。

如果利用数学选修教材中的圆的参数方程,即x=cosθ+2y=sinθ,就有如下变式:

变式1:求函数y=的值域。

分析:可变形为y=,也可变形为y=。

若将sinx与cosx的关系表示出来,即可得如下变式:

变式2:求函数y=的最大值。

分析:可设x=cosθ,则有y=,即转化为变式1-1,但与之相区别的是θ∈[0,π],这是后者所没有要求的。因此其几何意义就不能完全用图1来表示,而应该是个半圆。

变式2:求函数y=的值域。

分析:函数变形为y=,即表示点(sinx,sinx)与点C(-,)的连线的斜率。如图2,由于sinx∈[-1,1],可得点(sinx,sinx)是线段AB上的动点,易得经过点C的直线l、l的斜率分别为3和,可知原函数的值域为(-∞,]∪[3,+∞)。

变式3:求函数y=的值域。

分析:y=,表示点(x,x)与点(1,-1)的连线的斜率,而点(x,x)是抛物线y=x上的动点(x≠1)。如图3,直线l与l是抛物线的切线,设切点为(x,x),则由导数知,斜率为2x,则切线方程为y-x=2x(x-x)。将点(1,-1)代入,得x=1±,直线l与l的斜率即为2±2。因此原函数的值域为(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)。

注:本题也可用判别式法或者基本不等式法来解决,也很方便。

可以发现,例如y=、y=、y=这样的函数,都可以用上述的方法来求值域。

总结:形如u=(a,b,c,d是常数)都可变形为u=・,利用函数y=f(x)的图像上的点与点(-,-)连线的斜率来解决问题。

二、截距模式

设直线方程为y=kx+b,或x=ky+b′,则b和b′即分别为纵截距和横截距。

例2:若x+y=5,求2x-y的最值。

分析:设b=2x-y,则有y=2x-b。如图4,即为动直线l,由于(x,y)在圆x+y=5上,因此,直线l应与圆有公共点,因此b∈[-2,2],即得2x-y的最值。

变式1-1:求函数t=x+的值域。

分析:若令y=,原题变为:若x+y=1(y≥0),求t=x+y的值域,即转化为例2,所不同的是x+y=1(y≥0)表示的是x轴上方的半圆,很快得到结果为[-1,]。当然此题也可用三角换元的方法,也非常方便。

变式1-2:求函数f(t)=-2-的最值。

分析:令=x,=y,则x+y=4(x≥0,y≥0),且f(t)=b=-2x-y。与上题又不同的是这里是四分之一圆。方法同上,易得结果为[-2,-2]。

这是以圆作为背景的,当然也可以以椭圆作为背景:

变式2:设a、b∈R,a+2b=6,求a+b的最小值。

分析一:设t=a+b,则b=-a+t,即为动直线l,且应与椭圆a+2b=6有公共点,联立方程组消去b,利用≥0,可得t∈[-3,3],因此a+b的最小值为-3。

分析二:令b=c,则变式2即转化为例2,即以圆为背景。

按例2的变化得下列两个变式,方法同上:

变式2-1:求函数y=x+的最小值。

变式2-2:求函数u=+。

三、距离模式

例3:函数y=+的最小值。

分析:原函数可变形为:y=+,其几何意义就是点(x,0)与两点(1,1)和(3,2)的距离之和,易得距离之和的最小值为(1,1)和(3,-2)的距离,即2。

变式3:求函数y=x+的值域。(2001年全国高中数学联赛试题)

分析:原函数变形为:y=-(-x),不妨设C:y=,C:y=-x,整理得C:(x-)-y=(y≥0),C:y=-x(x≤1或x≥2)。易知C为双曲线的x轴上方部分,本题即为求C与C对应x的点的距离差的范围。如图7,由于本题中的距离是“竖直”的,因此原函数的值域为[1,)∪[2,+∞)。

参考文献:

[1]斯理炯.高中数学竞赛专题讲座――解析几何[M].浙江大学出版社,2007.

第7篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词：高考数学；试题解析；拉格朗日乘数法；最值

■众多解法引人思考

设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______？摇. （2011年高考浙江卷理科16），此题是2011年高考浙江理科卷的亮点之作，入口宽，方法多，据笔者不完全统计，截止2012年12月底全国各种数学杂志针对本题的的解法刊发了近10余篇文章，介绍了近20种解法，笔者将这些方法分为五大类：（1）不等式法：适当改变式子结构利用基本不等式、柯西不等式等放缩求解；（2）三角函数法：在函数思想指引下通过换元、构造转化为三角函数的最值问题；（3）数形结合法：通过巧妙的坐标变换转化为直线与椭圆的位置关系问题；（4）判别式法：在方程观点指引下引入恰当的变量，构造相应的二次方程，利用判别式来解决问题；（5）待定系数法：引入参数，巧设关系式，神秘求解. 纵览这些解法，所用的知识与方法覆盖了高中数学大部分的核心内容与思想方法，有通性通法，也有独门绝技.

由此可见，这的确是一道有丰富内涵的经典好题，那么这道题的背景和本质是什么，有没有解决此类问题的统一方法，像待定系数法很神秘巧妙又是如何想到的？这些都值得思考和研究. 笔者认为：本文中的解法1较好地揭示了该题在二维平面视野下的背景和本质，分析与解法如下.

思路：注意到二次方程4x2+y2+xy=1表示圆锥曲线（对称轴不重合于坐标轴），整体变量m=2x+y表示斜率为-2的平行直线系y=-2x+m的截距，即当直线与圆锥曲线有公共点时求直线截距m的最大值，显然当直线y=-2x+m与此椭圆相切且切点D在第一象限时，截距m最大，可用导数法求解.

■

图1

解法1：由于圆锥曲线4x2+y2+xy=1关于原点O（0，0）对称，且没有无穷原点，所以此圆锥曲线是椭圆. 根据数形结合的思想，当直线y=-2x+m与此椭圆相切且切点D在第一象限时，截距m最大.

二次方程4x2+y2+xy=1两边关于x求导数得

8x+2y・y′x+（y+x・y′x）=0.

设切点D（x0，y0），其中x0>0，y0>0，取y′x=-2，代入得到方程

8x0+2y0・（-2）+[y0+x0・（-2）]=0，4x■+y■+x0y0=1，

解得，当x0=■，y0=■时，2x+y取得的最大值是■.

若将此问题放在三维空间，从二元函数的角度来考察、分析，便会发现这道高考题的高等数学背景和本质，就是求多元函数条件极值、最值问题.

令f（x，y）=2x+y，φ（x，y）=4x2+y2+xy-1，则问题变为求函数z=f（x，y），在条件φ（x，y）=0下的最大值. 此类问题一般的解题思路是从φ（x，y）=0中解得y=g（x），代入z=f（x，y），从而消去y转换为求关于x的一元函数z=f（x，g（x）），在其定义域φ（x，g（x））=0上的最值问题，然而一般情况下要从φ（x，y）=0在解出y=g（x）并不总是容易的，甚至根本无法解出，但有一种不直接依赖消元而求解条件最值的有效方法：拉格朗日乘数法.

■拉格朗日（Lagrange）乘数法

求函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0之下的极值.

分析：记C为曲面z=f（x，y）上一条曲线，则C在平面：z=0的投影为曲线φ（x，y）=0. 因此，求条件极大（小）值的问题就相当于在空间曲线C上求极大（小）值的问题，从几何图形角度讲就是寻找曲线C的最高（低）点问题.

若在曲面z=f（x，y）上作一系列等高线t=f（x，y）， 当t从-∞单调上升+∞时，此一族等高线与条件曲线C有相交、相切及相离三种情况，容易看出当相切时z=f（x，y）取到极大（小）值z0=f（p0）. 若站在二维平面的角度来看就是曲面z=f（x，y）的等高线f（p0）=f（x，y）与曲线C在平面：z=0的投影曲线φ（x，y）=0在极值点p0处具有公共切线（如图2）.

■

由此看来，曲线C在整个问题中起重要作用，我们作一带参数λ的曲面族使每一曲面都经过曲线C，由几何形状可以断定曲线C存在最高（低）点，即变量z？摇必然存在极大（小）值. 利用拉格朗日乘数法，可求得极值点的坐标，从而求得目标函数的极、最值.

作拉格朗日（Lagrange）函数

L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y） （称其中的实数λ为Lagrange乘数），从方程组

Lx（x，y，λ）=0，Ly（x，y，λ）=0，Lλ（x，y，λ）=0

解出x，y，λ，其中x，y就是f可能的极值点的坐标.

例1 （2011年高考浙江卷理科16） 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________.

解法2：令L=2x+y+λ（4x2+y2+xy-1），

由Lx=2+8λx-3λy=0，Ly=1+2λy-3λx=0，Lλ=4x2+y2+xy-1=0，

得x=±■，y=±■，？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

所以2x+y的最大值是2・■+■=■.

还可以求出2x+y的最小值是2・-■-■=-■.

■2011年浙江理科第16题的几何背景和本质剖析

设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________.若将此问题放在三维空间可知，z=2x+y是空间一平面，4x2+y2+xy=1是椭圆柱面，就是寻找二者的交线C：z=2x+y，4x2+y2+xy-1=0的最高点，并求出该点坐标问题. 这类问题一般都可利用拉格朗日乘数法求解.

若从二维平面的角度来看就是当平面z=2x+y的等高线即直线：m=2x+y与曲线C在xOy平面的投影曲线即椭圆：4x2+y2+xy=1相切且切点D在第一象限时，m=2x+y最大. （如图4）

■

图4

对于平面内的直线与圆锥曲线相切问题，只要用初等的方法――方程思想、判别式法就可以解决.

解法3：（判别式法）令m=2x+y，则y=m-2x，代入4x2+y2+xy=1，

得4x2+（m-2x）2+x（m-2x）=1，

整理得到关于x的二次方程6x2-3mx+（m2-1）=0（x，m∈R），

则判别式Δ=9m2-24（m2-1）≥0，

解得-■≤m≤■.

检验知，当x=■，y=■时，2x+y取得的最大值是■.

因此“方程思想、判别式法”就是中学阶段求解此类问题的通性通法.

■拉格朗日（Lagrange）乘数法在求二次型条件最值中的应用

设x，y为实数， 满足Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=1，求S=ux2+vxy+wy2+ax+by（其中A，B，C，D，E，u，v，w，a，b为常数）的取值范围. 这类二次型条件最值问题，常出现在各类数学考试和竞赛中，都可以利用拉格朗日乘数法加以解决.

例2 （2010年高考重庆市理科7） 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）

A. 3 B. 4 C. ■ D. ■

解：令L=x+2y+λ（x+2y+5xy-8），

由Lx=1+λ+2λy=0，Ly=2+2λ+2λx=0，Lλ=x+2y+2xy-8=0得x=2，？摇y=1，

所以2x+y的最小值是4，故选C.

例3 （2012年高考浙江文科9）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）

A. ■ B. ■ C. 5 D. 6

解：令L=3x+4y+λ（x+3y-5xy），

由Lx=3+λ-5λy=0，Ly=4+3λ-5λx=0，Lλ=x+3y-5xy=0得x=1，？摇y=■，

所以3x+4y・2x+y的最小值是5，故选C.

例4 （2006年安徽省竞赛题）若x，y为实数，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值和最小值.

解：令L=x2-xy+y2+λ（x2+xy+y2-3），

由Lx=2x-y+2λx+λy=0，Ly=-x+2y+λx+2λy=0，Lλ=x2+xy+y2-3=0

得x=1，y=1，或x=■，y=-■，或x=-■，y=■，？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

所以x2-xy+y2的最大值是9，最小值是1.

第8篇：高中数学求最小值的方法范文

【关键词】恒成立问题 高考 最值问题 最值法

【基金项目】陕西省教育科学“十一五”规划科研项目（SGH10230）。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0158-01

恒成立问题是近年来高考及各类数学考试的热点题型之一，该类问题有较高的综合性和灵活性，往往通过一道综合试题即可全面考查学生灵活运用数学知识、数学思想方法的能力，考查学生数学思维的深刻性和敏捷性[1，2]。恒成立问题常常转化为最值问题，有时应用“大于最大值，小于最小值”这一方法。但是，从高三复习的过程中，我们发现有部分学生对“最值法”理解不透，处理不妥，有时会导致解题的错误。本文以一个恒成立问题为基本素材，通过将恒成立问题转换为最值问题进行了讨论。

例1.已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1。在区间[-1，1]上，函数f（x）的图象恒在直线g（x）=2x+m的上方，求实数m的取值范围。

解法一：利用待定系数法可以求出二次函数的解析式：f（x）=x2-x+1。函数f（x）的图象恒在直线g（x）=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）min>g（x）max。因为f（x）=x2-x+1在[-1，1]的最小值是：f（x）min=f（ ）= 而g（x）=2x+m在[-1，1]最大值是：g（x）min=g（1）=2+m。于是由f（x）min>g（x）max得： >2+m，即m

评注1：该解题的思路非常清晰，将“函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方”问题转化为“f（x）min>g（x）max”。下面我们再看另外一种方法：

解法二：很容易求出f（x）=x2-x+1。函数f（x）的图象恒在直线g（x）=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）-2x>m恒成立？圳（f（x）-2x）min >m。因为f（x）-2x=x2-3x+1，所以令F（x）=x2-3x+1，则F（x）在[-1，1]的最小值是：F（x）min=F（1）=-1。于是由（f（x）-2x）min>2m得：m

评注2：解法二与解法一的答案不一样，存在一定的误差。哪种方法正确呢？下面我们再看一种解法：

解法三：易求出f（x）=x2-x+1。函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）-2x-m=0即x2-3x+1-m>0。通过数形结合作图1。由图可知，要使f（x）-2x-m>0在[-1，1]恒成立，只需f（1）>0，解得：m

评注3：解法二与解法三的答案都是m

设直线y=2x+m与二次函数f（x）=x2-x+1切于点A。易知二次函数f（x）=x2-x+1的顶点坐标C（ ， ），即二次函数在[-1，1]的最小值f（x）min= 。

由于直线y=2x+m与二次函数f（x）=x2-x+1相切。所以联立方程y=x2-x+1y=2x+m，得x2-3x+1-m=0，则=0，解得m=- 。即此时的切线为：y=2x- 。由图2可知，当直线向上平移时，就不满足f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方。因为此时的x∈R，这刚好是解法一的m的取值结果。当然这与已知条件x∈[-1，1]不相符。

但是，当直线y=2x+m向上平移，过点D（1，1）时，此时的m=-1。由图可知当x∈[-1，1]时，直线y=2x+m再向上平移时，就不满足题意。故m

小结：解法一转化是不对的，原因在于运用“大于最大值，小于最小值”这一方法时，采用分离变量方法得到的不等式一边是参数，另一边是关于x的代数式。而上述的解法一中两边都是关于x的代数式，在求解时就不能保证x值的一致性。所以本题可先分离变量，再运用“大于最大值，小于最小值”求解，如解法二、解法三和下面的例3。

例2.已知函数f（x）=-x3+tx，g（x）=- x ，且f（x）

解：由f（x）

例3.已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0取到极值2。若对任意的x∈[1，2]均存在t∈（0，1]使得et-lnt-1≤f（x），试求b的取值范围。

解：由题意，易求得c=0，d=2。若对任意的x∈[1，2]均存在t∈（0，1]使得et-lnt-1≤f（x）？圳（et-lnt-1）min≤f（x）min。令T（t）=et-lnt-1，则T′（t）=e- ，由T′（t）=e- =0得t= 。易验证T（t）在（0， ]上单调递增，在[ ，1]上单调递减，所以当t= 时，T（t）取得最大值，即T（t）max=1。

此时，f（x）=x3+bx2+2≥1在[1，2]恒成立？圳b≥-x- 在[1，2]恒成立？圳b≥（-x- ）min （注意常数分离）。令M（x）max=-x- ，由M′（x）= =0得x= 。易验证，当x= 时，M（x）取得最大值，即M（x）max= ，所以b≥- 且b≠0。

总之，恒成立问题是高中数学知识的一个热点问题，要想用最值法解决这类问题，必须掌握恒成立问题的实质，理解复合最值的使用条件，这样才能够事半功倍。

参考文献：

[1]罗布. “恒成立问题”解法例说[J]. 数学教学通讯（教师版）， 2011，（15）：60-62.

[2]葛爱通.解决“恒成立问题”的几个注意点[J]. 福建中学数学， 2011（12） ：46-48.

第9篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词：高等数学；极限求解；连续函数

高等数学极限思想的历史悠久，同时也是目前高等数学教学的重要组成部分，受到了广大师生的广泛关注。极限是高等数学的重要组成部分，数列和函数的极限又是高等数学极限的两个最重要的组成部分[1]。目前，数列和函数的极限在计算机、经济、通信和自动化等许多领域有着普遍的应用。关于高等数学极限求解的方法在基础数学教材或者高等数学基础教材中只做了简单介绍，经过参考各类高等数学极限求解的文献，文章总结归纳了以下几种方法。

一、利用连续函数的性质求解高等数学极限的方法思考

连续函数的性质是连续函数在某一点处的极限值等于该点函数的函数值。这种极限求解法完全是利用f（x）中x在2处的极限值直接带入求解的，这种方法简单明了，可以一眼看出该函数求解的过程和极限求解的结果。当然这只是正对简单函数的求解，对于复杂的函数极限求解，利用连续函数的性质求解极限这一方法就行不通了。但是可以先运用通分法再运用分子分母约分法，最后用连续函数的性质求解这个

复杂函数的极限。例如： = ，

到这里运用分子分母式子相同约分法，那么这个复杂函数就

被简单化了，这个复杂函数简化为 ，然后运用

连续函数性质求解函数极限。

二、利用有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解极限的方法思考

虽然运用通分法、约分法和连续函数的性质法的结合可以求解许多复杂函数的极限，但是还是有许多函数是以上方法所不能解的[2]。

三角函数是高等数学函数极限求解最常见的函数极限求

解。例如： 这个极限函数中的x为x到0时的

无穷小，xsin 为x到0的有界函数，按照方法有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解这个函数的极限，xsin

仍是x到0的极限，所以这个极限求解出来就是0。

三、利用极限的运算法则和恒等变换来求解极限的方法思考

极限的运算法则主要是四则运算法、无穷小的性质等法则，而恒等变换则包括通分、约分、比较最高次幂、变量替换等等法[3]。

1、 无穷小的性质。无穷小的性质是有限个无穷小的和，

乘积仍然为无穷小。例如： a（x+x2+x3）的极限值仍然为0。

2、约分法和通分法。约分法和通分法通常是结合起来运用的，约分法是约去式子中等于0的因子，通分法是通过通分把函数化简为连续函数进行求解。约分法试用于分子是0分母也为0型的极限的求解，而通分法则试用于∞±∞的极

限求解。例如： 这个函数在极限求解过程中同时运用了约分法和通分法两种方法。

3、比较最高幂法和拆项消去法

比较最高幂法和拆项消去法一般比较适用于数列求极限。比较最高幂法是通过比较分子分母的最高次幂来求解极限的，在求解极限运用中一般是分子的最高次幂高就是无穷大，如果是分母的次幂高就为0，如果两者的最高次幂相同，那么该式子的极限为最高次幂的系数之比。拆向消去法一般结合分析通项约除中间项来求式子极限，这种极限求解法常运用在数列无穷项求和的问题中。

四、金蝉脱壳法

金蝉脱壳在孙子兵法书上是指通过布置障眼法先稳住敌人，在敌人的视野内留一小部分老弱病残的军队，把自家的主力悄悄抽走，使之脱离敌人设计的陷阱。而在高等数学极限求解中金蝉脱壳主要是运用两个重要极限的过程中，保留式子的形式达到相同因子约去的方法来求解极限的[4]。

在以上几种高等数学极限求解的方法，是依据基础数学和高等数学教材和其它资料总结归纳出来的，在高等数学极限求解中往往需要几种方法联合起来才能进行极限求解，要想在极限求解中得心应手多加练习方为上策。

五、结束语

极限求解作为高等数学的重要组成部分，先后受到多层人士的重视，作为高等数学的教学，也须对极限求解这部分高度重视。高等数学极限求解，还需要广大教师在日常教学中，不断的进行总结，以对其求解技巧进行完善。

参考文献：

[1] 牛玉坤，关于高等数学中极限求解的若干方法[J]，都市家教（下半月），2011（4）：197-198

[2] 韩玉娟，高等数学极限求解方法与三十六计[J]，中国科教创新导刊，2012（16）：412-413