高中数学椭圆知识点精选(九篇)

第1篇：高中数学椭圆知识点范文

【关键词】新课程；椭圆；标准方程；教学设计

一、研究背景及意义

1.椭圆及其标准方程的教材地位及学习价值

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，在高中数学选修2-1中，圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容.“椭圆及其标准方程”具有承前启后的重要作用：首先，“椭圆及其标准方程”中标准方程的推导需借助“曲线与方程”中的知识，是对上一节知识的有效巩固；其次，椭圆位于三种曲线之首，对这三种曲线而言，研究的问题基本一致、研究方法相似，若能够掌握好研究椭圆的基本方法，学习其余两种曲线时就会得心应手.故掌握好椭圆及其标准方程对学生学习具有极大的促进作用.

2.椭圆及其标准方程的教学状况及学生的掌握情况

椭圆及其标准方程如此重要，对于学生的学习及教师的教学均是一种挑战.因而，迫切需要科学合理的教学设计，将知识有效地教授给学生，使其养成良好的数学品质.

圆锥曲线在高考中所占分值较大，这给教师、学生带来了较大的压力.在时间紧任务重的情况下，多数的教师没能很好的利用教材及辅导资料，不进行增减直接照搬资料，常常忽视学生的主体地位，没能充分调动学生积极性，缺少探究学习知识的过程.

例如：教授椭圆及其标准方程时，多数教师按照教材编排，在一个课时内对其进行讲解，导致课堂内容过多，讲解时间增加，学生只能被强迫着将知识装入脑子中，靠死记硬背掌握知识，造成概念理解不到位，进而难以处理相应的问题.因此，本文教学设计中将其分两个课时进行教授.

二、设计依据

1.新课程下的教学要求

通过研读《普通高中数学课程标准（实验）》针对圆锥曲线教学内容的要求后，归纳出以下几点关于椭圆及其标准方程的教学要求：

（1）借助丰富的实例，让学生从探究中抽象出椭圆的定义，并体会其在现实中的实际应用；

（2）椭圆标准方程的推导中，首先从典型的几何特征入手，选取合适的坐标系，其次利用轨迹问题的本质（抓住不变量），创建适当的方程.

（3）明确用代数研究几何的方法，渗透数形结合的思想.

2.教学方法

对于椭圆的标准方程来说，它没有明确的教学类型分类，可以说是椭圆定义的一种应用，也可以说是一种命题，还可以说是一种求解标准方程的数学题，没有较为明确的教学设计依据，但可以汲取著名教育家曹一鸣编写的《数学教学论》一书中的经典教学方法，完成教学设计.

三、教学设计

1.椭圆定义的教学设计

（1）情景引入

用一个不垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到不同的截口曲线，分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（多媒体展示图片便于直观理解）.

为什么截口曲线会出现不同情形？学习圆锥曲线定义之后依次进行解答（设置问题，激发学生的好奇心）.

设计意图：采用总分的教学手段：先提出圆锥曲线再引入椭圆，便于学生总体感知，且由熟悉场景引人新课，易于接受，引起兴趣，激发求知欲.

（2）新课教授

之前就已接触过圆，现研究第二种圆锥曲线――椭圆.

生活中处处可发现椭圆的影子：圆柱形水杯倾斜时水面的边界，阳光下圆球的影子，地球绕太阳运行时的轨道等（展示图片，数学来源于生活）.

问题1：观察以上曲线，它们和圆有那些相识之处――似乎圆被“压扁”后就得到了椭圆.

问题2：那么可否借助圆从“到定点距离等于定长”的角度来定义椭圆？

设计意图：将椭圆与圆作类比，借助定点、定长得出椭圆定义顺理成章，培养学生敏锐的观察及类比能力.

师生活动：取一段长为2a的细绳，将两端点分别固定在图板同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，画出的轨迹又是什么――椭圆.

设计意图：以圆为基础，学生在教师的带领下，通过自己观察、猜想、动手检验得到椭圆的定义，由教师灌输式转变为学生自主探究式，加深对椭圆定义的理解，极大的提高了课堂学习效率.

问题1：画出椭圆的过程中哪些量不发生变化（即椭圆上的点有何特征）――在笔尖移动过程中，细绳的长度不变，即笔尖到两定点的距离和为常数（设计问题，让学生从动中找静，培养其对事物的敏感度）.

得出椭圆定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.记为2c（给出椭圆准确定义，将文字语言转化成为符号语言）.

若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a.

问题2：将学生分成小组再次作图并讨论：如果细绳的长度小于或等于两定点的距离，作出的图形又怎么样

通过实践得到当且仅当2a>2c时才可作出椭圆.

设计意图：改变以往教师直接告知学生：2a>2c为椭圆定义中的关键，使学生分组操作，对比讨论，自我总结得出结论（加深对概念的理解，避免遗漏定义中的注意事项，注重数学的严谨性）.

（3）概念巩固

现在解决课堂开始的问题：用一个与圆锥轴线夹角为锐角的平面去截圆锥，得到的截线是椭圆.

用教具模拟平面去截圆锥（使用教具直观展示便于理解，可激发学生的动手能力）在圆锥内放大小不同的两个球，使其分别相切于圆锥的侧面、截面，切点为E，F，现在截口曲线上任取一点A，过点A做圆锥的母线，使其分别与两个球相切于B，C，那么，据椭圆定义，只需求证A与E，F的距离之和为常数即可，为此，需回忆球的切线长定理：过球外一点做球的两条切线，切线长相等.

图1

由图1，不难发现AE与AC为小球的两条切线，AF，AB为大球的两条切线，因而AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.

这样，就得到截口曲线上任意一点A到两定点E，F的距离之和为常数，即满足椭圆定义，故截线为椭圆.

设计意图：学习椭圆的概念之后，解决教师们常常忽视的截线是椭圆的问题，既要让学生知其然又要知其所以然（培养学生善于发现问题，并且利用已学知识解决问题的能力）

2.椭圆标准方程的教学设计

（1）复习引入

回顾求轨迹方程的一般步骤：建系设点抓住不变量创建方程化简

例如求圆方程的步骤，即：求到定点的距离等于常数的点的集合

设计意图：知识具有连贯性，课前及时回顾，有助于提前进入课堂；

以圆为例，有两处妙用：①用具体的例子帮助识储备不足的学生，回顾求动点轨迹的方法；②圆作为圆锥曲线的一种，与椭圆联系紧密，可以类比圆的对称性，利用椭圆的对称性，建立坐标，避免了无规则地乱建系.

（2）新课教授

类比圆的方程求法，可否求出椭圆的标准方程（明确要解决的问题、可利用的知识，培养学生严密的解题思维）

椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆（着重强调2a>|F1F2|不可或缺）.

类比圆，据椭圆的对称性，可能出现两种建系方法：

①以经过椭圆焦点F1，F2的直线为x轴，以线段F1，F2的垂直平分线为y轴.

②x轴、y轴互换，即以经过椭圆焦点F1，F2的直线为y轴，以线段F1，F2的垂直平分线为x轴.

自主探究：将学生分成两组就两种不同的坐标系，求出对应的椭圆标准方程.

利用多媒体给出第一种建立坐标系的详细过程（方便学生自行校对）.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，焦距2c（c>0），则焦点F1，F2的坐标分别是（-c，0），（c，0），由定义，得M与F1，F2的距离之和为2a，即|MF1|+|MF2|=2a.

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.

化简此方程（教师提点化简过程中的两次平方和方程两边同除以某个式子，最终化解为分式，利用函数的思想求解曲线方程，深化几何与函数的联系）.

将左边的一个根式移到右侧，得（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2.

两边平方，得a2-cx=a（x-c）2+y2.

两边再平方，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

方程两边同除a2（a-c2），得x2a2+y2a2-c2=1.

由椭圆的定义可知2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.

方程较为复杂，故常令b2=a-c2.（及时说明为何要引出b值不会显得唐突）

最终可得（列出比较内容，更加直观、深刻）

焦点位置x轴，标准方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

焦点位置y轴，标准方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

图2

寻找标准方程与坐标轴之间的联系发现：焦点位于哪个轴上，哪个的分母大.

由a，b，c之间的关系b2=a-c2，可在中找出对应的线段（结合图形给出a，b，c的几何意义，符合学生的认知过程，便于理解）

|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|=a2-c2=b.

其中a为长半轴、b为短半轴、c为焦半径，

设计意图：转变教师直接板演求解标准方程的过程，两种不同的建系方式渗透分类讨论的思想，合理地安排学生分组讨论，由被动听讲转为主动参与，增强了主体意识，在此过程中教师巡视给予帮助，发挥其指导、帮助、促进作用

四、设计反思

这次教学设计中很好地贯穿了新课程教学理念，但是也出现了一定的不足，第一：由于教学经验有限，一些数学教育理论和专业知识，不能完美应用于教学设计中；第二：在教学设计中针对学生的心理情况的设计比较少.

希望借鉴本设计者据实际情况进行合理的修改.

【参考文献】

[1]徐忠才.高中数学课程中圆锥曲线的教学研究[D].甘肃：西北师范大学，2005.

[2]曹一鸣.数学教学论[M].北京：北京师范大学出版社，2010（8）：85-175.

第2篇：高中数学椭圆知识点范文

【关键词】圆;椭圆;类比推理

近几年江苏省高考数学在解析几何方面的考查基本上坚持从圆与椭圆的性质入手，本文就圆与椭圆有关的性质类比试举几例与同学们共赏.

一、高考赏析

（江苏2011高考第18题（3））如图，在平面直角坐标系xOy中，MN分别是椭圆x2[]4+y2[]2=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.对任意的k>0，求证：PAPB.

证明 设P(x1,y1）,B（x2,y2),则x1>0,x2>0，x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).

设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2，因为C在直线AB上，

所以k2=0-(-y1)[]x1-(-x1)=y1[]2x1=k[]2，

从而k1k+1=2k1k2+1=2y2-y1[]x2-x1・y2-(-y1)[]x2-(-x1)+1=2y22-2y21[]x22-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)[]x22-x21=4-4[]x22-x21=0，

因此k1k=-1，所以PAPB.

点评 本题利用椭圆的性质使得过程较为简洁，实际上本题中椭圆具有如下性质：kBA・kBP=-1[]2，请同学们思考椭圆方程的a2,b2与直线BA,BP斜率乘积有何联系？是如何想到的呢？这是一种巧合吗？下面我们带着这些问题作进一步探究.

二、类比探究

唯物辩证法告诉我们：“任何事物的存在都不是孤立的，它必与其他事物有着必然的联系.”由平面几何圆的性质我们知道：（1）圆的直径所对的圆周角为直角，即圆上任意一点（除直径两端点外）与圆直径两端点的连线所在直线的斜率（设斜率存在）之积为定值-1.类比到椭圆能否得到：椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一点与经过椭圆中心的弦的两个端点（除这两点外）的连线斜率（设斜率存在）之积为定值呢？

解析 设A(x1,y1),P(x0,y0),则x1≠x0，B(-x1,-y1).

设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.

因为点A,P在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上，

所以y21=b2-b2x21[]a2，y20=b2-b2x20[]a2.

从而k1・k2=y0-y1[]x0-x1・y0-(-y1)[]x0-(-x1)=y20-y21[]x20-x21=b2-b2x20[]a2-b2-b2x21[]a2[]x20-x21=-b2[]a2.

结论1 椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一点与经过椭圆中心的弦两个端点（除这两点外）的连线斜率（设斜率存在）之积为定值-b2[]a2.

三、探究延伸

圆与椭圆中是否还存在其他类似的结论，下面将圆中的类似性质类比到椭圆中，再进行探究.

（2）圆中：平分弦的直径垂直于弦.类比椭圆中：过椭圆中心平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率（设斜率存在）之积是否为定值呢？

解析 设A(x1,y1），B（x2,y2)，(x1≠x2,y1≠y2),中点P(x0,y0).

因为点A,B在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)即b2x2+a2y2=a2b2上,

所以b2x21+a2y21=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2.

两式相减得：

b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2）（y1-y2)=0,

所以kAB=y1-y2[]x1-x2=-b2[]a2・x1+x2[]y1+y2=-b2[]a2・1[]kOP.即kAB・kOP=-b2[]a2.

结论2 过椭圆中心平分椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)弦的直线的斜率与弦所在直线的斜率（设斜率存在）之积是定值-b2[]a2.

（3）圆中：过切点的直径垂直于圆的切线.类比椭圆中：椭圆上任一点与椭圆中心的连线的斜率与该点处切线的斜率（设斜率存在）之积是否为一定值呢？

先看苏教版数学教材必修2第105页第7题：已知圆C的方程是x2+y2=r2，求证：经过圆C上一点M(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2.类比到椭圆我们能得到：过椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程是x0x[]a2+y0y[]b2=1.（请同学们自行完成，提示应用导数的方法）

解析 设椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点M(x0,y0)，由上述结论可知：以点M为切点的切线斜率为k=-b2x0[]a2y0，又kOM=y0[]x0，所以k・kOM=-b2x0[]a2y0・y0[]x0=-b2[]a2.

结论3 椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点与椭圆中心的连线所在直线的斜率与该点处切线的斜率（设斜率存在）之积是定值-b2[]a2.把圆中的性质类比到椭圆中，在中学数学有着广泛应用，由于其性质和圆类似，所以应用十分方便.有兴趣的同学可以尝试能否把上述结论类比到双曲线和抛物线中呢？

四、创新赏析

如图,设点P是椭圆E:x2[]4+y2=1上的任意一点(异于左、右顶点A,B).设直线PA,PB分别交直线l:x=10[]3与点M,N,求证:PNBM.

证明 设P(x0,y0),由已知A(-2,0)，B(2,0),

设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.

因为点P在椭圆x2[]4+y2=1上，

所以，y20=1-x20[]4.

从而k1・k2=y0-0[]x0-(-2)・y0-0[]x0-2=y20[]x20-4=1-x20[]4[]x20-4=-1[]4.

直线PA的方程为y=k1(x+2)，令x=10[]3，得M10[]3,16k1[]3.

所以kBM・k2=16k1[]3-0[]10[]3-2・k2=4k1・k2=-1，

即PNBM.

用类比的观点学习数学，可使分散的知识得到集中，孤立的知识得到统一，这对于我们构建知识网络有着重要意义.

第3篇：高中数学椭圆知识点范文

关键词：“生动”;生“动”;“可动”;“会动”;“愿动”;“自然而动”

？摇近日，绍兴县名师班成员活动期间安排了两节同课异构的课，课题是《椭圆及其标准方程》，笔者全程听了二位老师的精彩上课，并参与了课后的点评. 大家一致认为其中郑老师开设的课给人的感觉是很“生动”，但绝不是平常意义上的“生动”，还包括了另一种诠释：即生“动”. 以下是这节课的教学简录及启示.

教学简录

1. 情境创设，引入课题

教师：很高兴能和大家一起来研究数学，今天我们来学习椭圆，提到椭圆，同学们并不陌生.

问题1：你能举出生活中的椭圆吗？

学生举例：小到我们常吃的一些蛋类的外形，再到我们在马路上见到的油罐车的横截面，大到一些建筑，如漂亮的国家大剧院、世博会上令人目不暇接的沙特馆，它们的外形都给我们以椭圆的印象，再大到轰动世界观的“神六”则赋予了椭圆更多的内涵.

问题2：我们已能画圆，你能画椭圆吗？

教师在自制的纸板上做了演示后，请了几位学生在纸板上演示.

（这样的处理虽然少了点发现的惊喜，但是这样节约了时间，提高了课堂效率，为教学难点即椭圆的方程的推导提供了更充足的时间）

问题3：“在整个运动过程中什么是不动的或者不变的？”“什么是运动的或变化的”？由此你们能说出椭圆上的点的几何特征吗？ 并能归纳出椭圆的定义吗？

学生1：到两个定点的距离和保持不变的点的轨迹.

教师：也就是距离和永远是一个固定的值，到两个定点的距离的和为定值的点的轨迹，一定是椭圆吗？

学生2：不一定，如线段上所在的点到两个定点距离之和为定值，但不是椭圆上的点.

最后师生共同归纳出椭圆完整定义，并提醒学生：“认准商标（PF1+PF2>F1F2），谨防假冒”.

2. 自主探究，意义构建

问题4：圆x2+y2=4横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半后成为椭圆，联想椭圆的方程为________（可利用几何画板课件演示，引导学生得出椭圆的方程）

问题5：我们如何求圆的方程？

学生3（笑）：“建设现（限）代化”.

问题6：结合问题4类比圆，你觉得如何建立合适的坐标系求椭圆的方程？

学生4：以F1F2所在直线为x轴，以F1F2的中点为坐标原点.

教师：还有其他建系方法吗？

学生5：以F1F2所在直线为x轴，以F1或F2在为坐标原点.

教师：建系方法可以说仁者见仁，智者见智，不同的建系方法下，我们会有不同的计算过程，得到不同方程，因此我们在建系的时候应考虑图形的几何特征，如椭圆是有对称性. 学生4的建系方法，符合对称性，学生5的方法大家课后可以尝试一下. 还有其他的对称的建系方法吗？

学生6：以F1F2中点为原点，F1F2所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

问题7：设P（x，y），由PF1+PF2=2a，得到方程+=2a后如何化简呢？

学生7：平方.

教师：我们是直接平方还是移项后平方？

学生7：移项后平方.

教师：这样做是否合适呢？给大家一点时间尝试一下，看看怎样化简最合适. （学生讨论，尝试不同方法，教师巡视）

七分钟后，教师挑了学生8和学生9上台展示过程及结果：（a2-c2）x2+a2y2=a4-a2c2.

教师：方程改为（a2-c2）x2+a2y2=a4-a2c2后还能化简吗？

学生10：因为a2-c2>0，所以+=1.

教师：的确比以前美了，还能更美吗？（这个问题可以放给学生，让学生去观察，发现）

学生11：令a2-c2=b2，则+=1（a>b>0）.

教师：这个想法非常棒，即方程可化为+=1（a>b>0），这是所求椭圆方程，我们还要做什么？

学生12：一是验证椭圆上任一点坐标都是方程的解，二是验证方程的解为坐标的点都在椭圆上.

教师：说得非常好，这个工作留给同学课后去做.

教师：还有其他的推导方法吗？学生的方法见2.4中的说明.

教师：根据前面的讨论，你能猜测学生6的建系方法可得到椭圆方程吗？请大家利用课外时间推导.

学生13：+=1（a>b>0）.

构建1： 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

+=1（a>b>0），

焦点不在x轴上的椭圆的标准方程为

+=1（a>b>0）.

教师：很好，我们最终得到的两个方程为椭圆的标准方程.

构建2：请填表1.

问题8：椭圆的两种形式的方程有哪些共同特征？

学生14：方程的左边是两个式子的平方和，右边都是1.

教师：（追问1）它们表示的椭圆有何特点？

学生15：都是中心在原点，焦点在坐标轴上.

教师：（追问2）如何判断焦点所在的坐标轴？

学生16：焦点在哪个轴上，a2就扛着谁.

教师：该同学回答得很形象.

3. 数学应用，深化理解

例1 填空：已知椭圆的方程为：+=1，则a=______，b=______，c=______，焦点坐标为：______焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为________. （强调定义的应用）

例2 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，求实数k的取值范围.

例3 两定点的坐标分别是（-3，0）、（3，0），求到两定点距离之和等于10的点P的轨迹方程.

思考：化简：

+=10.

例4 已知椭圆的两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），并且经过，-，求它的标准方程.

由学生说解法，教师帮助板书，补充讲解.

4. 课堂小结，提炼法

（1）知识点：椭圆的定义及其标准方程;

（2）数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程;

（3）数学思想：数形结合思想、化归思想、类比思想.

几点启示

“生动”的课堂不仅是老师讲得生动，而且是学生能“动”，包括学生“能说”、“能做”、“能思”.在高中数学课堂上，如何才能做到“生动”呢？受郑老师的这节课的启示，笔者收获了以下几点启示：

1. 教师树立“使学生学会思考”作为最核心的教学任务的意识，立足学生“可动”

教师最基本且重要的职责是教好课本，而“教课本”的核心是“教概念”，这是因为：“数学是玩概念的”;概念中蕴涵着数学思维，它对学生学会思考的训练价值最大;概念是思维的细胞，概念清楚了，思维的基础就有了;将概念中蕴涵的数学思维打开，并用于训练学生，是提高学生数学能力的捷径，也是提高高考成绩的法宝;另外教师应努力在知识发生发展过程中培养学生的数学思维.

在选修2中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题. 由于教材以椭圆为重点交代如何求方程、如何利用方程讨论几何性质的一般方法，在双曲线、抛物线的教学中进一步得到应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用. 在教师教学用书中明确指出，不仅要求学生能化简得到椭圆的标准方程，还要求学生掌握化简含根号等式的方法. 因此，在教学设计中，郑老师在这一部分做了较为充分的准备，除教材中介绍的移项后两次平方这种方法，又准备了两个预案：引入历史上的赖特“平方差法”（共轭无理数对法）和洛比达“和差数”. 在实际教学中，学生思维活跃，其中前一种方案得以实施，学生感受到了数学知识间的普遍联系，更感受到了创新思维带来的成就感和满足感，教师确实做到了既讲结果，更重过程和方法. 为保证课堂上有足够的时间让学生“可动”， 郑老师对课堂各个环节进行精心的设计与对时间进行合理的分配. 如对焦点在y轴上的椭圆标准方程的处理，采用了课上猜想、课下证明的方式;本课的引人采用教师在自制的纸板上做了演示后，请了几位学生在纸板上演示. 这样的处理虽然少了点发现的惊喜，但是这样节约了时间，提高了课堂效率，为教学难点即椭圆的方程的推导提供了更充足的时间，保证了学生有足够的时间“可动”.

2. “循循善诱”中促进学生“会动”

问题是数学的心脏，有效的提问才能保证探究的顺其自然. 课堂提问的有效性应具有以下几个特征：（1）可及性. 问题的设计要结合学生一般认知律，身心发展规律;（2）开发性. 问题富有层次感，入手较易，开发性强，解决方案多，学生思维与创造的空间多;（3）挑战性. 能引起学生的认知，冲突与学习心向，能激发兴趣，促进学生积极参与，接受问题的挑战;（4）体验性. 能给学生提供深刻体验，人人有所得，包括操作、探究的机会或替代性实验，学生能感受，体验数学.

在本节课的教学中， 郑老师先后设置了八个问题来推进教学. 问题1可激发学生学习兴趣;问题2与3通过师生的动手操作，三个小问题对学生提炼概念有很好的引导作用;问题4设置是本节的一大亮点，一方面让学生知道，圆按某个方向作伸缩变换可以得到椭圆，另一方面为椭圆方程的化简指引方向; 问题5、问题6通过类比圆的方程的推导方法自然想到椭圆方程的推导，问题7在讲解焦点在y轴上的椭圆的标准方程时，只是一带而过，“容易知道，此时（焦点在y轴上）椭圆的标准方程是+=1（a>b>0）”，没有过程. 其实这是培养学生运用化归思想解决问题的一个很好的机会，可引导学生抓住事物间联系，化未知为已知，用已知解决未知，可以通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免烦琐、重复的推导过程（这过程可留在课外让学生思考）. 但在椭圆方程的推导过程中，教师直接给出设绳长为2a，两点间距离为2c，没有给学生足够的时间与空间对比不同的设立参数方法对于计算和化简的影响，从思维的角度看是有损失的. 问题8是引导学生如何区分与记忆椭圆的标准方程，最后一句总结“焦点在哪个轴上，a2就扛着谁”，这对学生记忆方程是很有帮助的.

3. “平等对话”中鼓励学生“愿动”

有人说“课堂应变成“学堂”，一字之差体现了不同的教育观，后者体现了以“学生为主体”，但实际教学中，很多教师将教学目标锁定在完成教学任务上，更多的是采取“讲授法”，而忽视了学生的表现，于是造成了课堂上学生“不愿动”. 因此，每当学生展示后，教师要对学生的成果及时做出点评，对其中正确成分要不吝惜赞美，使学生始终处在积极兴奋的状态中，让师生“平等对话”成为学生主动探究的加油站.

在本节课的教学中，郑老师运用多种形式对学生在课堂学习中的表现进行评价. 在教学过程中郑老师多次激励学生进行探究，如“很好”，“你的想法太妙了”，“回答得很棒”. 由于郑老师不断给学生“加油”，因此课堂上学生的学习积极性很高.

4. 经历椭圆方程之旅，让学生“自然而动”

数学教学的现实是重教书轻育人，重分数轻情感，重技术轻文化. 今天的中学教科书采用椭圆第一定义，并以此为出发点，通过两次平方，推导出椭圆的标准方程. 我们太熟悉这种方法，以致不会去想：椭圆的方程有怎样的历史发展过程，我们还有别的推导方法吗？正是基于郑老师对椭圆方程历史的深刻认识，本节课推导椭圆方程时用了多种方法，开阔了学生的视野，教材中呈现的两次平方法，不过是历史上许多方法中的一种而已. 以下是学生推导椭圆方程的一种方法：

因为PF1=，PF=，所以PF -PF =4cx，

第4篇：高中数学椭圆知识点范文

关键词： 椭圆 形成 定义应用

圆锥曲线是解析几何的核心内容，大纲要求：了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想；圆锥曲线是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，也是高考常见新颖题的板块，各种解题方法都得到了很好的体现和充分的展示.平面向量与解析几何的融合，提高了题目的综合性，形成了题目多变，解法灵活的特点，充分体现了高考中以能力立意为主旨的命题方向.从近两年的高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线于圆的位置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点.

学习中想要深化对椭圆知识的理解最首先要理解定义进而突现性质，下面将对椭圆形成的几种形式及其应用做说明.

一、椭圆形成的几种形式

1.如图1，点P是圆上的任意一点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，M是PQ上一定点，当点P运动时，M的轨迹是椭圆.

思路：采用相关点法设M坐标为（x，y），利用QM，QP的比例关系求出点P的坐标再把点P的坐标代入圆的方程即可.

2.如图2，圆O的半径为R，A是圆内一个定点，P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线和半径相交于OP点M，当点P在圆上运动时点M的轨迹是椭圆.

分析：如图，因为点M在线段PA的垂直平分线MN上，所以有|MO|+|MA|=|OM|+|MP|=|OP|.所以点M的轨迹是以O，A为焦点，长轴长等于|OP|的椭圆.

在高考命题中，主要考查两类问题：一是根据题设条件，求出表示圆锥曲线的方程；二是通过方程，研究圆锥曲线的性质.综合考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力，以及在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.下面我们通过典型例题展示根据椭圆的定义及其性质的重要作用.

二、椭圆定义的应用

例1：已知动点P（x，y）满足方程■+■=6，求动点P的轨迹.

分析：要注意椭圆定义中的限制条件，只有|PF■|+|PF■|>|F■F■|时动点的轨迹才是椭圆.而此方程表示点P（x，y）到点A（1，1）和点P（x，y）到点B（3，4）的距离和等于6，即|PA|+|PB|=6，而A，B两点之间的距离|AB|=■=5

例2：如图3，把椭圆■+■=1的长轴AB分成8等份，过每一个分点分别作x轴的垂线交椭圆上半部分于P■，P■，P■，P■，P■，P■，P■七个点，F是椭圆的一个焦点，求|FP■|+ |FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|的值.

解：如图：根据对称性可得|P■F|=|P■F′|，根据定义|P■F|+|P■F′|=2a，因此|P■F|+|P■F|=2a，同理|P■F|+|P■F|=2a，|P■F|+|P■F|=2a， |P■F|=a.

所以：|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|=7a.

本题充分体现了椭圆对称性与第一定义的完美结合.

第5篇：高中数学椭圆知识点范文

一、高中数学课堂提问存在的问题剖析

笔者在听课过程中，发现部分数学教师在课堂教学过程中，为了充分体现学生为主体的教学理念，结果出现“满堂问、盲目问、无效问”等传统提问现象。比如：“对不对？是不是？行不行？”，表面上看师生一问一答，学生的学习主动性得到了有效发挥，气氛十分活跃。实质上由于问题的堆砌，导致学生在数学学习的过程中缺少主动思考性与探究性。甚至，许多问题限制了学生的思维，学生往往被老师牵着鼻子走，学生对老师所提出的问题越来越厌烦。

（一）问题过多，没有选择性

现在，很多教师在高中数学课堂教学中设计的问题过多，在整堂课上存在“一问到底”的现象，这样的课堂就成了问题的堆砌，传统课堂教学的“满堂灌”变为“满堂问”。过多的问题浪费了学生宝贵的数学学习时间。

例如，一位教师在教学《椭圆的定义及标准方程》一课时，为了引出椭圆的概念，他在课堂上创设情境以后差不多提了10多个问题，而这一些问题中有的甚至与椭圆的定义没有一点关系，这样，导致的课堂局面是“教师一问，学生一答”，从表面上看，课堂十分热闹，师生之间的交流似乎很活跃，学生也似乎已经在教师的提问引导下对椭圆的定义有了初步的感知和理解。实际上，这样的提问流于形式，学生根本没有进行数学思考的时间，这样的课堂教学肯定是低效的。

（二）难易不当，缺乏思考性

很多教师在高中数学课堂教学中设计的课堂提问因为没有基于学生原有的认知起点，在难度上控制不当，要不问题过于简单学生不用思考就能够进行回答，要不就是问题过难，学生没有办法进行数学思考，这样的课堂提问学生就没有数学思考的空间，是不可取的。

例如，一位教师在教学《椭圆的定义及标准方程》一课时，在学生已经掌握了椭圆的标准方程以后却还提问：“同学们，你们觉得椭圆有几个标准方程？”这个问题在此时提出学生根本不用思考就能够回答，一点思维价值都没有，在课堂上，这位教师类似的提问还有很多，浪费了很多课堂教学时间。而在学习椭圆的标准方程时，教师给学生出示√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2=2a以后直接提问：“同学们，你们能够根据√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2=2a来推导出椭圆的标准方程吗？”椭圆标准方程的推导本来就是这一节课的难点，课堂上很多学生此时就无从下手了，教师只好进行讲解与演示，学生数学探究的空间被大大压缩。

（三）缺乏等待，失去延时性

提问不是目的，不是课堂教学的装饰，在高中数学课堂教学中中，课堂提问是引导学生进行数学思考与数学学习的手段。但是，很多高中数学教师在课堂教学中提出一个问题之后希望的结果是学生能够对教师提出的问题能够对答如流，一旦学生回答不出来了便开始为学生讲解与演示。这样的课堂提问由于缺乏课堂等待没有了问题的延时性，就导致了学生在数学学习过程中数学思考的落空与数学探究的失效。

例如，一位教师在教学《椭圆的定义及标准方程》一课时，当提出“你们能够根据√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2=2a来推导出椭圆的标准方程吗？”这一问题之后，说是让学生讨论讨论，但是两三分钟后，老师自己就按捺不住老习惯，看学生不会了没有进行点拨而是以自己讲解代替学生思考。这样，学生的数学思考在在极短的时间就叫停，学生的思维无法进入真正的思考状态。

二、纵横交错有效提问

教师提问的有效性，直接关系到学生良好的数学逻辑思维的形成。掌握好的提问的技巧能帮助学生理解重点知识，突破难点知识。让学生的兴趣得以激发，集中学生学习过程中注意力，延长学生注意力集中的时间，让学生从知识的被动接受者转变为主动探究者，从而直接提高课堂效率。因此，数学课堂上有效提问十分有必要。在高中数学课堂教学中，设计课堂提问时，教师要基于教学重难点进行纵向延伸，关注学生数学思维全面发展进行横向拓展，而进行高效的课堂提问。下面结合《椭圆的定义及标准方程》一课谈谈有效提问的设计。

（一）基于重难点――纵向延伸

在高中数学课堂教学中，课堂提问要为学生的数学学习服务。因此，教师要善于基于教学重难点设计课堂提问，并进行纵向延伸，这样，才能引导高中生在数学学习的过程中进行有意义的数学思维探索。

1.剑指中心――突出教学重点。教师在设计提问时应该根据教学内容突出重点，问题要剑指中心，指向学生数学学习的主要内容，把握提问的精度。所谓精度就是指教师要在学习内容的最重点处进行设问，在学生学习思维的关键处进行设问。这样，学生就能够在精度提问的引导下进行数学思考，开展有意义的数学探究活动，从而在这个过程中获得数学知识，提高数学解题能力。

例如，《椭圆的定义及标准方程》一课的教学重点之一是掌握椭圆的两个标准方程。为了突出这一教学重点，可以这样设计提问：“你能从系数、符号、运算三个方面谈谈方程的特征吗？你觉得椭圆的焦点位置与x2、a2、y2、b2有什么对应关系吗？你觉得方程9x2+16y2=144是椭圆的方程吗，如果是，那a2、b2分别是什么呢，c2又怎么得到呢？”学生在这些围绕重点问题的引导下，层层深入开始了由探索到熟悉再到掌握知识的过程。整个课堂不仅突出教学重点，而且充分调动了学生自主探究新知积极性，从而收到事半功倍的教学效果。

2.化整为零――突破教学难点。在高中数学中部分教学内容在理解与计算上有一定的难度的，学生在学习时，容易产生消极抵触情绪放弃学习。教师要善于把繁杂的教学内容进行分解，化整为零，通过一组具有层次性的提问帮助学生降低学习难度。这就是课堂提问设计的梯度。在设计梯度提问时，要注意每个问题之间的难易跨度，要给学生明确的思维方向。

例如，《椭圆的定义及标准方程》一课，标准方程推导与化简涉及复杂的代数运算，学生演算√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2=2a时有一定困难。可以设计这样一组问题：“去根号的方法是什么？你能写出完全平方公式吗？这个式子只经过一次平方能把根号去掉吗？如果不能那还经过几次平方呢？整理方程有哪些基本原则？“经过这些问题的启发学生明确了思路，加以细致的计算就能得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），再追问：“椭圆定义中a与c的大小关系如何？ a2-c2的值的符号如何？”在引进新的参数b2=a2-c2之后，椭圆的标准方程推导结束的同时，也自然形成了a、b、c三者的数量关系。

这几个问题引导学生进行层层递进的数学思考，能够有效启发学生自主探究化简过程，同时降低了学生理解思考难度，发展了学生的思维能力，从而让学生的数学学习更高效。

（二）关注思维发展――横向拓展

有效的课堂提问不仅要有思维深度，更应该体现思维广度，要引导学生在数学学习的过程中进行多方面的思维。为了达到这个目的，教师在设计提问时要善于关注学生数学学习的思考面进行横向拓展，从而让课堂提问具有思维广度。

1.问题设置要源于生活实际。《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。为此，高中数学教学中，问题的设置要从学生的生活实际出发，结合生活场景开展教学。

例如，《椭圆的定义与标准方程》在巩固标准方程的掌握时，可以设计如下问题：“我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F2（在X轴上）为一个焦点的椭圆，已知远地点B距离地球2384Km，近地点A距离地球439Km，地球半径约为6371Km，你能计算出卫星运行的轨道方程吗？”通过这么一问，学生在解决生活及其他领域的实际问题中，激发学生的学习兴趣，调动学生积极思考，从而引导学生从生活现象出发进行全面的数学思维。

2.问题设计要基于教学内容。在高中数学课堂教学中，教师要善于根据教学内容从不同的层面设计提问，要通过多管齐下的策略引导学生进行全面思维。

例如，《椭圆的定义与标准方程》一课，为了更好地理解椭圆的定义：“平面内与两定点F1，F2的距离的和是常数2a（大于|F1F2|=2c）的点的轨迹叫做椭圆”，可以设置以下如下问题：

①如果这个常数2a等于|F1F2|，那么点的轨迹是什么呢？

②这个常数2a能小于|F1F2|吗？这样的点存在吗？

③为了更方便研究椭圆的性质，你觉得如何建立直角坐标系更合适呢？

上述例子中，教师通过从不同角度设置问题，不断推进学生的深入思考，使学生不仅对于椭圆这个概念就有了较深刻的理解，而且增强了学生思考问题的广度提高学习的效率。

3.问题设计要基于最近发展区域。建构主义告诉我们，学习的过程是原有的认知结构不断同化新知识的过程，在这个过程中，人们要经历从“已知区――最近发展区――未知区”的过程，这个过程并且是不断重复，循序渐进的。因此，在高中数学教学中，课堂提问的设计要切中学生的最近发展区域，才能引导学生进行高效的数学学习，引导学生进行有意义的数学思考与数学探究。

例如，《椭圆的定义与标准方程》中椭圆的图象教学时，找准学生原有的认知起点，就是在高中学过程的最基本的“描点法” 作函数图象。课堂上，引导学生回忆基本作图方法，然后提问：“同学们，我们在画图象时，首先应该确定的是什么？哪些点是作椭圆图象的关键点？确定了关键点后，用平滑的曲线连线时，应该要注意些什么？椭圆的图象与之前学过函数图象有什么区别？椭圆的图象能称为函数的图象吗，如不能，又是为什么呢？”这样的提问切中了学生原有的认知起点，处于学生的最近发展区域，难易适中，能够引导学生去自主探究椭圆的图象，也探讨了椭圆与函数的区别，透彻地了解了椭圆的定义与性质。

第6篇：高中数学椭圆知识点范文

【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889（B）.2011.11.009

课堂教学行为是影响教学效率的关键因素。高效课堂教学行为是指引发学生高效率学习的那些课堂教学行为。数学概念是数学知识的基石，在数学学科中占据着极其重要的地位。概念教学一直是数学教学的重、难点。在数学概念教学中高效与低效的课堂教学行为有哪些差异呢？本文对两者的导入环节做些比较研究。

案例选自江苏省一所重点示范高中的两位教师Z和W所教授的同一节椭圆概念教学课。在听课时先将教学过程进行录音，课后结合辅助记录把录音转为文字，主要是教师提问的问题（以下以Q作标记），部分记录了学生的回答。

Z老师的教学过程如下：

Q1：在初中我们学习了圆，它是如何定义的？

Q2：如果我们把圆的定义中，“到一个定点的距离”改为“到两个定点的距离”，那么“定长”对应改为什么呢？

Q3：这节课我们来探讨“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”。（这时Z老师引导学生在准备好的纸板上作图，见右图）

Q4：生活中，我们在哪里见过椭圆？

Q5：我们如何定义椭圆呢？（学生思考片刻）我们画椭圆是在一块纸板上，这说明什么？这里的“常数”有条件限制吗？若常数等于|F1F2|，我们画出的是什么图形？若常数小于|F1F2|，我们画出的是什么图形？（在此基础上，由学生概括椭圆的定义）

W老师的教学过程如下：

（先在PPT上显示一张“神舟七号”图片）

Q1：今天我们着手研究卫星运行的轨道――椭圆。

Q2：在高一我们已经学过圆的定义和方程及圆的轨迹，那么，从右图这张图片来看，椭圆是不是由圆压扁而得到的呢？它和圆有关系吗？（先引导学生画一个椭圆，然后找两个学生在黑板上再作一遍，再用“几何画板”演示）

Q3：这些椭圆是怎样画出来的呢？从画法中能找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆吗？（生：F1、F2点固定，是定点。师：还有什么条件吗？生：MF1+MF2就是细绳的长度。师：很好！这里面有没有隐含着什么呢？生：……师：从图形来看， F1、F2、M三个点构成了一个三角形。生：MF1+MF2大于F1F2的长度。师：请你们根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来。）

Q4：下面我们来看看， MF1+MF2小于、等于F1F2的长度时，M点的轨迹是什么情况。（学生思考，然后个别回答）

从以上教学过程可以看出， 两位老师的教学可以概括为“情境引入―探究辨析―总结概括”三个基本环节，主要有如下几方面差异：

一、 高效课堂更注重学生的“再创造”

弗赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法是让学生进行“再创造”，也就是由学生本人把要学习的数学知识自己去发现或者创造出来，教师的任务是引导学生去进行这种发现和创造，而不是把现成的知识灌输给学生。教师Z从数学概念本身启发学生去探索发现新的知识，设问“将‘到一个定点的距离’改为‘到两个定点的距离’，那么‘定长’对应改为什么呢？”激发学生的兴趣和学习热情。教师W仅从直观形象出发，设问“椭圆是不是由圆压扁得到的呢？它和圆有关系吗？”学生面对这样的提问感到茫然。其实，椭圆是可以看作把圆做压缩变换而得来的，这是很好的引入材料，但教师W没能好好利用。

二、 高效课堂更注重学生动手实践

概念的生成基础在于感性的材料和经验，倘若感性的材料和经验太少，学生感知不充分，表象不丰富，就难以辨析概念的本质属性。

教师Z引导学生尝试画出椭圆轨迹。通过动手实践，学生从直观上理解了“到两定点的距离之和为定值”就体现在两个图钉间的绳子长度不变上。学生在作图过程中还会体会到：图钉之间的距离与绳子长度相等时，这时画出的图像是线段；而当绳子长度小于两个图钉的距离时是不能画出任何图像的。同时，让学生回忆生活中的椭圆的实例，增加学生的感性认识。教学中适时结合多媒体演示，动态地展现图形和图形的变化，使学生从变化的情境中感受不变的本质属性。化抽象为具体，化静为动，创设出一个“多元联系”的学习环境，能使得概念的动态生成过程和隐藏的数学思想方法得以揭示。

教师W在用PPT演示椭圆的画法后，让两个学生在黑板上画椭圆，而其他同学则只是在观看，缺少动手实践。另外，在概括椭圆的概念的时候，学生对“MF1+MF2大于F1F2的长度”这一结论缺乏感性的认识，应当安排学生探索条件“MF1+MF2大于F1F2的长度”的必要性，再让学生概括椭圆的概念。

三、 高效课堂更注重学生参与

苏霍姆林斯基指出：如果教师不想法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦，没有欢欣鼓舞的心情，没有学习兴趣，学习就会成为学生沉重的负担。新课程提倡把课堂还给学生，通过课堂参与促进学生积极学习。

通过设置问题，使学生集中注意，以积极的心理状态投入课堂；师生平等探究，让学生积极参与知识的构建，体验知识的生成，体会学习的乐趣，才能实现高效教学。在教师Z所提的问题中，注重启发学生思考、探究的问题比教师W要多；而教师W所提的问题，偏向于识记方面，多数为自问自答型的问题。从课堂反应来看，教师Z的课堂气氛活跃，学生积极回答问题，学生的参与度较高，而教师W的课堂相对比较沉闷，效率比较低。

第7篇：高中数学椭圆知识点范文

【关键词】意义建构（懂）；能力生成（会）； 感知对象；知觉背景

要切实解决学生“懂而不会”的问题，仅仅研究和探讨教与学是不够的，我们还应从青少年心理学的角度探寻从懂到会的内在问题.更好地理解学生在学习知识过程中的不同境界、阶段或层次，帮助学生实现从意义建构（听懂）境界到能力生成（会做）境界的跨越，结合相关心理学理论探究学生从意义建构到能力生成的内在机制，有助于我们在教育实践中寻找到应对学生“懂而不会”现象的具体策略.

1956年布卢姆认知目标分类学专著的出版，对20世纪全世界教育领域的课程设计、教学活动、教育评估产生了深刻而广泛的影响.布卢姆将人的认知目标依据，按由简单到复杂、由低级到高级的顺序分为知道、领会、应用、分析、综合和评价六类.随着有关儿童如何发展和教师如何计划、教学及评估等知识的不断丰富，2001年安德森等人对教育目标分类的一维结构进行了修订，提出了二维（“认知过程和知识”）的教育目标分类框架，给我们提供了更多的相关信息.“认知过程和知识”二维教育目标的陈述包括一个动词（描述预期的认知过程）和一个名词（期望学生掌握或建构的知识），对学生的“认知过程”而非“行为变化”给予了更多的关注，这是一种思维方式的变化.这一教育目标分类框架将学生的“认知过程”分为以下几个层次：记忆、理解、应用、分析、评价、创造.它是一个由简单到复杂、由低级到高级的六层认知学习目标.

学生的学习是一个模仿的过程，也是个体认知发展的一个过程.在认知发展的过程中，由于高中学生知识经验不断丰富和第二信号系统的发展，他们的思维活动能够逐步地摆脱具体形象和直接经验的限制，而借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，他们试图对各种经验做出规律性的说明，用理论把各种材料贯穿起来，不断地把知识系统化，进一步扩展自己的知识领域.但要中学生进行独立思考，准确实现新旧知识的同化并非易事，如果再苛求学生在听完新课就能做到知识的完整呈现或迁移就更难了.

就高中生而言，他们所学的各门学科，基本上反映着自然、社会和精神现象的客观规律，逻辑性、系统性很严密，在学习中要求他们不仅要发挥更大的独立性和自觉性，而且要具有独立分析问题和解决问题的能力；同时，还要求他们具有一定的自学能力.由此可见，高中学生的学习活动已经达到比较高的水平.但这并不是说，所有高中学生都可以自然地达到这个水平，教师授课要特别注意他们思维水平的发展，把授课的重点落在理解阶段，及时地给予指导和训练，而在这一过程中适时、适度、适当地促进学生心理发展是非常必要的.

在课堂中教师应怎样促进学生的心理发展从而达到认知水平的提高呢？从心理学角度来说：作用于人的感觉器官的刺激很多，但人不可能对同时作用于他的刺激全部都清楚地感受到，也不可能对所有的刺激都作出相应的反应.人们总是把某些事物作为感知对象，其他事物作为知觉的背景.作为感知的对象，可以被清晰地感知，作为知觉的背景，只是被模糊地感知.教师上课讲授新内容时，学生可能把某些信息作为感知的对象，而把另一些信息作为知觉的背景，这样就导致学生掌握了部分浅显的内容，而对于另一部分作为知觉背景的内容仅仅是一种了解，甚至是一种模糊的印象.其结果是课上有些知识真的搞懂了，而另一些知识则只是学生自以为懂了，实际上却并没有懂！这是一种片面的心理认识，和老师理解的“懂了”有很大的差距.也许学生认为自己在课堂上“听懂了”，但实际上他们对于解题方法的理解还没有达到一个比较深入的程度，并且容易忽视一些真正的解题难点，所以不会做也就在情理之中了.

下面笔者就圆锥曲线中的椭圆知识点，举例说明处于这个特定年龄段的学生在学习课堂例题时，哪些知识点被学生当作感知的对象，哪些知识点由于被当作知觉背景而被学生忽视.

人教A版教材选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 2.2椭圆（第40页）：

例 已知椭圆的两个焦点分别为（-2，0），（2，0），并且经过点52，-32，求它的标准方程.

分析 就高中学生心理而言，拿到本题就会想到求什么就设什么，而本题要求的就是椭圆的标准方程，由题意椭圆焦点在x轴上，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，带点解方程254a2+94b2=1，怎么还是有两个未知量a2和b2？很多学生做到这里就懵了！据调查，这样的做法在新授课的过程中并不少见.能根据题意找到相应的等量关系解题是学习数学的必修课，也是学生解题的一贯思维模式.但是在本章知识点学习中求圆锥曲线的方程是一个十分特殊的知识，对圆锥曲线而言它的定义具有丰富的内涵，深刻地理解圆锥曲线的定义能够为解题提供所需的等量关系.和以往学习定义、概念一样，同学们仍把圆锥曲线的定义当作知觉的背景来学习，更有甚者只知道圆锥曲线有定义，定义是什么就不得而知了.试问数学脱离了概念和定义要怎么进行下去？就拿椭圆举个例子，课堂上教师提问什么是椭圆，学生都知道“椭圆是一动点到两定点的距离和等于一个常数”，如果老师继续问动点是什么，定点是什么，距离和又是什么，这个常数是怎么描述的，很多同学就不知所措了.

若将椭圆的概念当作感知对象来理解又应做到哪些呢？

1.理解椭圆的文字概念：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距.

2.将文字概念转化为符号概念：|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，2a>2c.

3.建立符号概念与椭圆方程之间的联系：x2a2+y2b2=1，a2=b2+c2.

4.利用点的坐标进行数形结合，寻找和创造有效条件：

用点的坐标表示各点：F1=（c，0），F2=（-c，0），M（x，y）.

5.适时适当地强化所学知识，使之内化为自己的知识.

课堂上单纯地死记硬背概念、定义而不去理解，不去进一步挖掘它内部的数量关系，到运用的时候怎么会用，怎么会解题？

教材中给出的例题分析是通过椭圆的定义建立等量关系解题：

解 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

椭圆的定义知

因此，所求椭圆的标准方程为

x210+y26=1.

尽管椭圆概念的定义在课本上以这样一个例题进行深入分析，可是作为学生有没有把它作为感知的对象深入理解就要打一个问号了.在这里我们看到学生的初探和教材所呈现的解题思路完全不同，在课堂上如果很多学生的思路是按题意展开的话就很显然地说明学生还没有透彻地理解椭圆的定义.在此，笔者不得不提出一个疑问：学生没有透彻理解椭圆的定义责任在谁？

据调查，多数学生认为教材的解题过程有点简单，并且没有说明怎么会想到用椭圆的定义解.而教师在引导学生理解和运用椭圆的概念时不惜时间对概念进行详细的剖析，明确两定点的坐标F=（±c，0）是焦点，两焦点之间的距离为|F1F2|=2c，动点的坐标M=（x，y），常数为2a，a，b，c之间的关系为a2=b2+c2，并且将这些知识点与例题条件一一对应，明确定义法的用途，这一点绝大多数教师都做得很好.

从学习心理来看，学生在学习中存在一定的学习惰性：有的人是人在心不在；有的人不小心走神；有的人对学习内容没有引起足够的重视，学和没学一个样；还有人学完就抛到脑后，根本不会学以致用.新知识对学生而言是陌生的，要求他们时刻保持高度的警觉性，做到课堂上教师说的什么都记下、理解是不可能的.什么该记，什么该理解，要怎么取舍？

试问没有学过的东西谁又知道哪里是重点难点呢？因此在课堂上教师的提示语就显得尤为重要了.教师在讲课过程中，对于重点、难点、关键知识点要常给学生做提示，不同的老师对学生的提示方式也各有千秋.比如：语言上的提示“这一点要特别注意”，“注意听，这个知识很难理解”，“注意听解题步骤”，“这两个概念很重要”，“要注意公式的推导过程”，“坐好！下面要讲的非常关键”……因此学生在听课时要格外注意这些地方，精神一定要高度集中，一定要听懂听透.老师除了语言上的提示外，在板书时可以用带颜色的粉笔来提示，在讲课时也可以采用反复强调的方法或另外一些方法来提示.总之，学生在听课时要细心去把握各种方式的提示，千万不可掉以轻心.课上跟着老师深入挖掘知识点，丰富对认知过程中概念的内涵及其包含的数量关系的认识，在做题时创造更多的条件，包括有些隐含条件.如果平时课上不重视知识点的深入挖掘，只是把它们当作知觉的背景来处理，不把它们当作感知的对象，不积累，不探索，不总结归纳知识点，只是学一些表面的浅显的知识，却以为自己真的懂了，等到做题时有些隐含的条件你没有看到，没有想到，自然找不到充足的条件解题.但是仅仅将它们当作感觉的对象仍然不够，强化知识点也是十分重要的.课后学生同样也要反思今天的课不能白上，一定有需要掌握的东西，不能将老师提示的知识点仅仅当作知觉的背景，而应在课后熟练掌握，不断通过课后练习题进行强化，要知道对知识点的强化也是非常重要的，强化不够学生也不能主动调用一些隐性知识帮助解题.

【参考文献】

[1]张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆：西南师范大学出版社，1995.

[2]张宏武.利用高中学生的心理特点 ，培养学生的思维能力[J].数学通讯，1994.

[3]郑毓信，梁贯成.认知科学、建构主义和数学教育[M].南京：江苏教育出版社，1998.

[4]皮连生.学与教的心理学.上海：华东师范大学出版社， 1999：237.

[5]盛群力，褚献华.重在认知过程的理解与创造——布卢姆认知目标分类学修订的特色.全球教育展望，2004（11）.

第8篇：高中数学椭圆知识点范文

关键词：高考试题；椭圆；双曲线；推广；变式；最小值

北京市2014年高考文理科19题是一道直线与椭圆位置关系的综合题， 题目设计精巧， 背景公平， 能有效考查学生的化归转化、运算求解等能力. 笔者对它经过一番探究，得出了更一般的结论，并进一步类比推广到双曲线. 现连同它的几个变式整理成文，以供同行及高三学生参考.

[?] 题目

已知椭圆C：x2+2y2=4，

（Ⅰ）求椭圆C的离心率.

（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，（理）试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论；（文）求AB的最小值.

解析：（Ⅰ）解略，答案：e=.

（Ⅱ）（理）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x0，2），因为OAOB，所以・=0，即x1x0+2y1=0.

因为x1≠0（否则点B不存在），所以x0=-.

（。┑x1=x0时，可得y1=-，代入椭圆C的方程解得x0=±. 此时直线AB的方程为x=±，显然与圆：x2+y2=2相切.

（）当x1≠x0时，直线AB的方程为y-2=（x-x0），

即（y1-2）x-（x1-x0）y+2x1-x0y1=0，

圆心O到直线AB的距离d=.

因x+2y=4，x0=-，代入得

d====.

所以，直线AB与圆x2+y2=2相切， 猜想成立.

（文）当直线AB垂直于x轴时，可得

AB

=3；

当直线AB不垂直于x轴时，同上得

AB

===≥=2（当且仅当x=16，即x1=±2时“=”成立）.

综上知，当点A是椭圆长轴端点时，

AB

最小其值为2.

[?] 推广

数学家希尔伯特说：“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会取而代之. ”因此，一道题目解完了，但我们的思考不能停. 我们要进一步思考问题的本质是什么，能否将结论进行推广，它的特殊情形是什么等等，从而使已解决的问题是它的一种特殊情况或相反.

将椭圆C的方程化为标准式+=1，这里a=2，b=，c=，仔细观察并试验发现，直线y=2即y=， 圆x2+y2=2即x2+y2=b2（椭圆的小辅助圆）. 由对称性我们有理由猜测：（如图1）设O为原点， 若点A在椭圆C：+=1（a>b>0）上，点B在直线l：y=±（c=）上， 且OAOB，则直线AB与圆x2+y2=b2相切.

证明：（只证直线l为y=的情形）

设点A，B的坐标分别为（x1，y1），

x0，

，其中x1≠0，因为OAOB，所以・=0，即x1x0+y1=0，由此得x0= -.

。┑x1=x0时，可得y1=-，代入椭圆C的方程解得x0=±b. 此时直线AB的方程为x=±b，显然与圆O相切.

）当x1≠x0时，直线AB的方程为y-=（x-x0），

即（cy1-ab）x-c（x1-x0）y+abx1-cx0y1=0，

圆心O到直线AB的距离d=.

因b2x+a2y=a2b2，x0=-，c2=a2-b2，代入得

d====b.

所以直线AB与圆O：x2+y2=b2相切， 猜想成立.

对于文科（Ⅱ）一般化，因为：

AB========

x1

+（0

x1

≤a）.

考查函数f（x）=x+（x∈（0，a]），因为f ′（x）=-=，

当0

0，

上是减函数，在

，+∞

上是增函数.

故当≥a，

即b≥c时， f（x）在x=a时有最小值f（a）=； 当b

=2b. 上述结论也可由“对勾”函数的性质直接得到.

于是得到下面的定理：

定理1 设O为原点. 若点A（x1，y1）（x1≠0）在椭圆C：+=1（a>b>0）上，点B在直线l：y=±（c=）上， 且OAOB， 则

（Ⅰ）直线AB与圆O：x2+y2=b2相切；

（Ⅱ）若b≥c，则当x1=a时，AB有最小值；若b

评析：显然高考题中的文（Ⅱ）只是定理1（Ⅱ）b≥c的一种特殊情况，推广后题目的解答要用到函数思想、分类整合思想、数形结合思想及模型思想（“对勾”函数模型），可以考查更多的知识点，对学生的能力要求较高. 上述推广可在教师引导下，让学生自主探究，以提高学生的探究能力，培养创新意识，从而培养学生学习数学的兴趣.

[?] 类比

德国天文学家开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的. ”圆锥曲线有统一的定义，因而它们有很多和谐统一的性质，通过类比并借助于几何画板的实验探究，发现双曲线也有类似性质（定理2）.

定理2 （如图2）设O为原点，若点A（x1，y1）（y1≠0）在双曲线C：-=1（a>0，b>0）上，点B在射线l：x=±（y>，c=）上，且OAOB，

（Ⅰ）直线AB与圆O：x2+y2=a2相切；

（Ⅱ）当y1=时，AB有最小值2a.

[y][O][x][A][B][T][B′]

图2

证明：（Ⅰ）（只证点B在l：x=（y>）上的情形）

设B的坐标为

，y0

， 因为OAOB，所以・=0，即x1+y1y0=0. 因为y1≠0，所以y0=-.

。┑y1=y0时，可得x1=-，代入双曲线C的方程得b2

-

-a2y=a2b2，变形得（y-a2）（c2y+a2b2）=0，因而有y-a2=0，即y0=±a. 此时直线AB的方程为y=±a，显然与圆O：x2+y2=a2相切.

）当y1≠y0时，直线AB的方程为y-y0=

x-

，

即c（y1-y0）x-（cx1-ab）y+cx1y0-aby1=0，

圆心O到直线AB的距离d=.

因b2x-a2y=a2b2，y0=-，c2=a2+b2，代入得

d=====a，

所以直线AB与圆O：x2+y2=a2相切.

（Ⅱ）因为AB========

y1

+（

y1

≠0）.

由均值不等式得

AB

=

y1

+≥2=2a，当且仅当

y1

=，即

y1

=时，

AB

有最小值2a.

评析：仔细观察定理1、定理2的内容及证法，就会发现它们是那样的和谐，那样的对称，这就是数学的和谐之美，也是无数数学家和数学爱好者孜孜以求的东西. 我们之所以能得到上述结论，也多半是受到它的启迪.

探究无止境，我们还可以继续探究椭圆中与圆x2+y2=a2有关的问题，双曲线中与圆x2+y2=b2有关的问题等.

[?] 变式

所谓变式教学，就是教师在概念或例习题的教学中，有目的、有计划地对命题进行合理的转化，更换命题的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式配置实际应用的环境，从而使学生在学习中学会举一反三. 下面只给出定理1的几个变式.

变式1：设O为原点，过椭圆C：+=1（a>b>0）上任一点A（异于椭圆长轴端点）作圆O：x2+y2=b2的切线l，过点O作OA的垂线交直线l于点B，则点B的轨迹是直线y=±（c=）.

变式2：已知椭圆C：+=1（a>b>0），O为坐标原点，过直线l：y=±（c=）上任意一点B作圆O：x2+y2=b2的切线，交椭圆C于点A，则OAOB.

评析：变式1、变式2是定理1（Ⅰ）的逆命题. 对变式1还可作如下变形：①求点B的轨迹方程；②求点B的轨迹，或改为探究题，如③点B是否在一条定直线上，如果是，求出该直线的方程，如果不是，请说明理由. 变式2的结论也可改为：①证明以AB为直径的圆过点O；或改为探究性问题如②以AB为直径的圆是否过点O，若是，请予以证明，若不是，请说明理由. 通过这样的变形来训练学生数学语言相互转化的能力，从而渗透化归转化的数学思想方法.

变式3：设O为原点，若点A在椭圆C：+y2=1上，点B在直线y=上，且OAOB，求AB的最小值.

变式4：设O为原点，若点A在椭圆C：+=1（a>b>0）上，点B在直线l：y= ±（c=）上，且OAOB，求OAB的面积的最小值.

评析：变式3与原题的区别是，原题b=c，此处b

第9篇：高中数学椭圆知识点范文

椭圆无论在天体上，还是在地球上的物体上，都是建立在斜平面上。在天体中，地球运行的椭圆轨道，是建立在过地心并与地轴垂直的平面（赤道平面）夹角为23°26′的斜平面（黄道平面）上。而在地球上的物体圆柱上，斜切面椭圆，是建立在过圆柱轴心并与圆柱轴垂直的平面（横切平面）夹角为某个角度的斜切平面是椭圆平面。根据上述，我们发明创造了以一个点为圆心能画各种椭圆形的椭圆规。下方椭圆（规照片）。本椭圆规已授予中华人民共和国知识产权局颁发了专利证书.所以椭圆规的发明，在工业应用上，天文学的行星运行上，物理学，数学和教育学等都有着重大的作用和历史意义。用椭圆规就可以根据赤道平面与黄道平面的夹角23°26′画出地球运行轨道的相似椭圆。

下面论述新创椭圆公式内容：

一、椭圆的类型和形状

1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。

2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。又过圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与横切面正圆经O点的交角为α 。当α=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础圆）。

3.椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。

4.椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交角α越大，椭圆的形状也就越长。α角越小，椭圆形状也就越短（越接近正圆）。当α=0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。（下图：圆柱体横切与斜切图）

二、画标准椭圆的方法

1.用以一个点为圆心的椭圆规画标准椭圆。（这种椭圆规是我们发明创造的，目前没有上市。因为目前高中数学、物理学里学的椭圆，没有椭圆的长半径公式、短半径公式和任意半径公式，也没有椭圆周率和椭圆周长公式，椭圆面积公式。）未来在教学方面椭圆规是非常有用的。

2.用标准椭圆模型画椭圆，如果你要画的椭圆的长半径是A，短半径是R形状的椭圆。你可以先用椭圆的长、短半径公式，计算出圆柱的横切面与斜切面的交角α，再以α角斜切以R为半径的圆柱，这个圆柱的斜切面就是你要画标准椭圆的模型。

3.标准椭圆的点式画法，如果你要画很大的椭圆，又找不到那么粗的圆柱做模型。你可以根据你要画椭圆的长半径和短半径，先计算出圆柱的斜切面与横切面的交角α。再用椭圆的任意半径公式，计算出由短半径开始某一角度的斜半径点上点。就这样把所有的斜半径都点上点，这些点就连成了标准椭圆。故称标准椭圆的点式画法。

三、太阳系定律

由以上论述得知，在太阳系内，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆。太阳处在所有椭圆的中心点上（太阳系第一定律）。

四、椭圆的长半径公式和短半径公式

任何椭圆都是圆柱体的斜切面，它们的形状是过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆交角α的大小所决定的。斜切面椭圆的短半径就是圆柱半径。下面设：斜切面椭圆的长半径为A，短半径为R（也是横切面正圆半径R），斜切面椭圆与横切面正圆的交角是α。椭圆长半径A与正圆半径R的交角α所对的边为h。RhA三边又构成直角三角形。所以，根据三角函数：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边。

所以，椭圆长半径公式：A=R/cosα。

又因为正圆所有的半径都是R。

所以，椭圆的短半径公式：R=A·cosα

五、椭圆的任意半径公式

由椭圆的长半径公式和短半径公式得知，椭圆的长半径为A，短半径为R，圆柱的斜切面椭圆与横切面正圆的交角为α 。因为斜切面椭圆与横切面正圆相交处，即是正圆半径R点，也是椭圆的短半径R点。然后在正圆平面上过圆心O点做半径R的垂直半径。那么R半径与垂直半径的圆弧是0度—90度。设n为0度—90度的任意一个度数。椭圆的任意半径为L。经详细推论得出：

椭圆的任意半径公式：L=R/cos{（α/90）·n}

六、椭圆周率

我们经过多年的刻苦研究和推算，在我们画出的两垂一斜线坐标系中，经过多次的测量和推算，终于准确无误的推算出了椭圆周率是0.57079632675 。我们将椭圆周率的代号命名为尢（you）。

那么，椭圆周率：尢=0.57079632675。

七、椭圆的周长公式

设：椭圆的长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆周长为C，过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α，我们已经命名椭圆周率为尢（you）。

尢=0.57079632675。

那么，椭圆的周长公式：C=4（A+R尢）==4A（1+尢·cosα）=4R（1/cosα+尢）=2D（1/cosα+尢）。

八、椭圆周长公式也是正圆周长公式

前辈数学家早已推论出了正圆周长公式，是圆的直径乘以圆周率就等于正圆的周长。公式是C=dπ=2Rπ，π=3.14。

下面我们看看在什么情况下椭圆的周长公式能变成正圆周长公式。当椭圆公式中α=0时，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。因为正圆所有的半径都相等，所以，A=R。我们把α=0，A=R代入所有的椭圆周长公式。得出的就是正圆周长公式：c=4（R+尢R）=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

我们在把椭圆周率保留两位小数，尢=0.57代入正圆周长公式得：C=2R×3.14=D×3.14=D·π=2Rπ。

我们把推论的正圆周长公式续在前辈数学家的圆周长公式的后边。

圆周长公式就是：C=Dπ=2Rπ=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

九、椭圆面积公式

若用圆周率π=3.1415926 ，计算椭圆的面积。椭圆的形状越长计算出椭圆面积的误差也就越大。所以用圆周率只能计算正圆（基础椭圆）的面积。不能计算所有椭圆的面积。因此，必须用椭圆周率才能计算所有椭圆的面积。

设：椭圆长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆面积为S。过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α。

已知：椭圆周率 尢=0.57079632675

椭圆面积公式：S=2（AR+AR尢）=2AR（1+尢）=2R2/cosα（1+尢）=2A2×cosα（1+尢）。当α=0，A=R时，椭圆面积公式就变成正圆面积公式S=2R2（1+尢）=1/2D2（1+尢）=πR2=1/4πD2

十、全等椭圆

1.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

2.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

3.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的周长相等，它们的椭圆平面与基础椭圆平面的交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

4.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的短半径也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

5.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

6.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。