函数的表示法精选(九篇)

第1篇：函数的表示法范文

关键词：概念形成 函数表示法 辩证思维

概念是一种思维形式。函数是数学中最主要的概念之一，函数理论是高等数学的主要组成部分，是近代科学技术不可缺少的工具。由于自然界的一切事物总是在不停地运动、变化着，因此数学中也必须研究变量和变量间的相互关系。函数就是应此而产生的数学概念。中学阶段，学生学习函数及其图像、集合的简单知识，从而通过集合元素的对应关系来加深对函数概念的理解；在此基础上，引入函数的单调性与奇偶性；进而借助于单调函数及其图像的学习，又从单值对应引出一一对应，从一一对应引出逆对应；同时由逆对应引出反函数的概念。这对于培养学生的辩证思维能力和进一步学习高等数学，起到很大的作用。

函数概念的教学目的是：（一）要求学生对函数概念有正确清晰的认识；（二）要求学生熟练掌握函数的表示法；（三）通过函数概念教学，培养学生辨证思维方面的能力。下面谈谈本人的一点粗浅认识。

一、函数概念的形成

函数的实例：在客观世界中，事物的种类繁多，现象的形态各异，它们都按照各自的固有规律运动变化着。某一事物或现象的运动变化总表现为多个不同量的变化，而这些量的变化又不是孤立的，它们常常是按照该事物固有的规律互相联系、对应着，即给定某量的一个值，依照规律都对应另一个量的唯一一个值。粗略地说，“两个量（或两个数）之间的对应规律”就是数学中所说的“函数”。函数概念产生于在同一个研究过程里变量间的相互关系之中，因此，建立函数概念必须以研究常量和变量作为起点。例如，把一个密闭容器内的气体加热时，气体的体积和气体的分子数保持一定，所以是常量；而气体的温度与压力则是变量。一个量是常量还是变量，要根据具体问题具体条件来分析，而且要辨证地看问题，这一点，教学时应提出注意。例如，火车行驶时的速度，在开始阶段或刹车阶段是变化的，因而在该过程中是变量；在正常行驶阶段变化很小，相对地可看作不变，因而是常量。

在同一个确定的过程中，往往会同时出现几个变量。例如，一个物体作自由落体运动的过程中，重力加速度（g）是常量，物体经过的路程（s）与时间（t）是两个变量，而且这两个变量不是孤立无关的，而是紧密联系的：物体运动的时间变了，其相应的路程也随之而变；当确定了物体经过的时间后，相应的路程也随之而确定，它们间符合的关系。变量s和t之间存在着这种相依关系的确定性，这样就称s和t构成了函数关系。其中t叫自变量，s叫自变量t的函数。由此可总结出，在某个研究过程中，存在函数关系的三条标准：（一）是否存在两个变量（技校教材只限于一元函数）；（二）当一个变量变化时，另一个变量是否也随之而变化；（三）当一个变量取确定值时，另一个变量是否也随之取得唯一的确定值。

在许多问题中，自变量的允许取值范围是有一定限制的，我们把自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。从数学角度看，要使表示函数关系的解析式有意义，自变量是需要有一定条件的；从应用问题的实际内容看，变量允许取值的范围也是有一定限制的。这就是确定函数定义域的根据。求函数的定义域可参考以下几个准则：

（1） 若f（x）是整式，则f（x）的定义域是全体实数的集合R；

（2） 若f（x）是分式，则分式的分母应该不为零；

（3） 若给出式子 （k为正整数），则应有f（x）≥0；

（4） 若给出式子log ，则应有f（x）＞0；

（5） 若给出式子arcsin f（x）、arccos f（x），则应有｜f（x）｜≤1；

（6） 若上述情况同时出现，可分别找出它们的定义域，取公共部分为所求的定义域。

函数值以及记号f（x）是函数概念教学的重点，学生开始学习函数时，往往不容易理解f（x）和f（a）的意义，有的认为f（x）是x的一次函数，f（ ）是x的二次函数，这说明对记号f（x）的教学不能忽视。

在函数概念的教学中可以指出，函数符号f（x）按其实质来说就是指对应法则，例如 f（x）=3x + x－1，那么对应法则f就是指这个式子中所给的一系列运算，而f（x）就是指下面括号中自变量的某一数值应作3（ ） +（）－1这样的一系列的运算以求函数值。因此当x=1时有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。

一般来说，记号f（a）代表一个数，它等于函数f（x）在变数值等于a时的值。用几何术语说：f（a）是函数f（x）在a点的值。如果a不属于定义域，则f（a）就无意义了。

二、函数的表示法

通过对函数各种表示法的学习，可以加深对函数概念的理解。用公式或分析表达式直接给出自变量与因变量之间的关系是函数的分析表示法，在自然科学或实际问题中是经常遇到的，在微积分中，这种表示法也便于进行运算。

但是要防止学生产生函数关系一定能用公式表示的误解。许多生产过程和科研实践中，由观察得到的一系列变量间对应的数据，不见得都能概括成这两个变量间确定的解析表达式，但它们之间应该说构成函数关系，这种函数关系可用列表法来表示。通常用的各种数学用表，有的写不出一般表达式（例如质数），有的写出了表达式（例y=logx），但也不能揭示由x经过怎样的代数运算步骤而得到y。采用列表法，就可弥补上述的不足。

公式法和列表法都可以表示函数关系，但它们都存在着表示因变量随自变量的变化而变化的趋势的直观性差的缺点。而函数的图示法具有直观性、明显性，并且便于研究函数的几何性质。

在讲授图示法表示函数关系时，应注意：

（一）函数图像存在的范围是以函数定义域为依据的。

例1作函数 的图像。

解： 定义域:是（-∞，+∞），

其图像为（图1）

例2作出函数y=x（其中x取整数）的图像（图2）。

（二）作函数图像时，应把列出的点用平滑的曲线连结起来，而不能画成折线。为此可举函数 的图像为例，先画几个点，连结成折线，再补进几个点，让学生看这些点并不在折线上，从而指出画成折线是不对的。

在函数概念教学中，应注意挖掘教学内容中的教育因素，注意在教学过程中渗透一些辩证唯物主义的思想，这样，不仅有利于学生学好数学基础知识，也有助于对学生进行辩证唯物主义的教育。例如，常量和变量的相对性实际上蕴含着矛盾的对立统一这一法则；研究存在某种相依关系的两个变量的过程，就是用运动、联系的观点来研究数学内容……教师如能把观点蕴含于内容之中，通过内容渗透观点，就会使函数概念的教学效果有所提高。

参考文献：

［1］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）――函数.北京：高等教育出版社，1992.

［2］齐建华.现代数学教育――数学学习论.郑州：大象出版社，2001.

第2篇：函数的表示法范文

【关键词】Excel 条件函数 框图代数法 参数 嵌套

本文系西安外国语大学2014年校级青年项目“文科专业大学生信息素养培养研究――以西安外国语大学为例”（14XWC07）研究成果之一。

中图分类号：G642.41 文献标识码：A

现行《大学计算机基础》电子表格处理软件Excel章节中，条件函数（亦称IF函数，以下均称IF函数）是一处重要且较难掌握的部分。该函数的作用是判断是否满足某个条件，如果满足返回一个值，如果不满足返回另一个值，其语法格式为IF（logical_test，value_if_true，value_if_false）。常规讲授方法为介绍IF函数作用、语法格式和参数含义后直接进行习题讲解。但笔者注意到，由于此时学生未完全理解函数三个参数之间的逻辑关系，也未掌握函数嵌套的应用方法，在操作实践时错误率很高，且修正能力较差。因此在实际教学中，迫切需要一种新的方法来解决这个问题。

使用框图代数法讲解IF函数

1.利用三角形框图法进行分析

IF函数的三个参数的含义分别为：第一个参数logical_test是一个条件表达式，并且只可能得到True或False两种结果之一；第二个参数value_if_true是第一个参数logical_test为真时的值；第三个参数value_if_false是第一个参数logical_test为假时的值。一般情况下，第二个参数value_if_true和第三个参数value_if_false还可以根据题目要求继续进行IF函数的嵌套。IF函数的三个参数之间的逻辑关系使用三角形框图法进行分析，如图1所示。

整体看来图1是一个三角形的结构，且三角形的三个顶点是三个框图。在三角形框图法中，一个三角形结构就可以视作一个IF函数，三角形的三个顶点的方框表示的就是IF函数的三个参数。其中最上部的方框表示的是IF函数的第一个参数logical_test，左下角的方框表示的是第二个参数value_if_true，右下角的方框表示的是第三个参数value_if_false。除此之外，第二个参数value_if_true和第三个参数value_if_false与第一个参数logical_test之间的逻辑关系用框图中两条斜线表示，分别表示在条件为真和条件为假时的值。

IF函数还有一种情况被称作嵌套函数。如果题目中出现多种情况导致无法使用一个表达式完成判断时，就需要使用多次判断，应用嵌套函数。这种情况可以用图2所示的三角形框图表示，主IF函数的第二个参数value_if_true和第三个参数value_if_false都需要进行再判断，也就是value_if_true和value_if_false参数本身又是一个IF函数，以此类推，这就是嵌套IF函数。

图2 IF函数的嵌套

嵌套IF函数的判断次数跟IF函数中的第一个参数logical_test中单元格引用的数据类型有很大关系。如果进行判断的单元格数据类型是连续型数据（如数值大小的比较，日期时间先后的比较等），则题目中出现关键数据个数就与逻辑判断次数数目相同；如果进行判断的单元格引用的数据是离散型数据（如文本匹配的比较），则逻辑判断次数与样本集合的元素个数有关。

2.使用代数替换法完成嵌套IF函数的书写

嵌套IF函数的书写对初学者来说比较难，为此笔者提出一种利用代数替换的思想来完成完整函数的书写的方法，具体如下：

第一步，书写主IF函数（假设主IF函数的第二个参数value_if_true和第三个参数value_if_false都有嵌套部分），将value_if_true和value_if_false各自视作整体并分别用X和Y来表示，即=IF （logical_test，X，Y），如图3所示。图中，实线圈部分是主IF函数的value_if_true参数，虚线圈部分是主IF函数的value_if_false参数；

第二步，分别写出X和Y所表示的IF函数（即第一层嵌套IF函数），例如将X表示为IF（X_logical_test，X1，X2），Y表示为IF（Y_logical_test，Y1，Y2）；

第三步，如果X1、X2与Y1、Y2所表示的IF函数仍包含嵌套IF函数，按照上述思路将X1、X2与Y1、Y2各自所表示的IF函数中的value_if_true参数和value_if_false参数再分别用X11、X12，X21、X22，Y11、Y12，Y21、Y22表示，即：

第一层嵌套函数X部分为：IF（X_logical_test，X1，X2）；

第一层嵌套函数Y部分为：IF（Y_logical_test，Y1，Y2）；

第二层嵌套函数X1部分为：IF（X1_logical_test，X11，X12）；

第二层嵌套函数X2部分为：IF（X2_logical_test，X21，X22）；

第二层嵌套函数Y1部分为：IF（Y1_logical_test，Y11，Y12）；

第二层嵌套函数Y2部分为：IF（Y2_logical_test，Y21，Y22）；

将X1、X2、Y1、Y2分别代回到X和Y，再将X和Y分别代回到主函数，此时主IF函数表示为=IF（logical_test，IF（X_logical_test，IF（X1_logical_test，X11，X12），IF（X2_logical_test，X21，X22）），IF（Y_logical_test，IF（Y1_logical_test，Y11，Y12），IF（Y2_logical_test，Y21，Y22）））；

第四步，以此类推，直到写出最底层的IF函数即可，然后依次将Xn代入Xn-1，Yn代入Yn-1，直到将X和Y代回到主IF函数的value_if_true参数和value_if_false参数中，这样完整的IF函数就书写完成了。

图3 嵌套IF函数分析

框图代数法的教学应用

1.实例分析过程

某公司业务部薪金发放表格如图4所示，已知每名员工的基本工资、工作业绩、工作区域、工作年限和工作岗位等信息，要求计算每名员工的业绩奖金、区域补助、工龄补助、岗位津贴和实发工资金额。除了基本工资是预先输入外，业绩奖金、区域补助、工龄补助和岗位津贴的金额分别根据工作业绩、工作区域、工作年限和工作岗位制定，并且根据以下规则计算金额。

业绩奖金的发放规则为：如果员工的工作业绩超过50000元（含50000元），就发放业绩奖金1000元，否则不予发放；

区域补助的发放规则为：工作区域是郊区的员工补助600元，工作区域是市区的员工补助400元；

工龄补助的发放规则为：员工工作年限满1年月补助200元，满3年月补助300元，满5年及5年以上月补助500元；

岗位津贴的发放规则为：员工的工作岗位若为经理每月发放2000元，若为一级每月发放1500元，若为二级每月发放1000元，若为三级每月发放500元，其余不发放岗位津贴。

经分析可以发现，要计算每名员工的实发工资，必须先计算得出各自的业绩奖金、区域补助、工龄补助和岗位津贴。计算业绩奖金时，题目中只出现了一处关键数值（50000），需要比较一次，函数类型是单层IF函数对连续型数据进行比较；计算区域补助是文本匹配判断，题目中出现的关键元素个数与样本集合中的元素个数一样多，都是两个（“市区”和“郊区”），需要匹配比较一次，函数类型是单层IF函数对离散型数据进行比较；计算工龄补助时，题目中出现了三处关键数值（1、3和5），函数类型是嵌套IF函数进行连续型数据比较，需要比较三次，两层嵌套；计算岗位津贴是文本匹配判断，题目中出现的关键元素个数比样本集合中的元素个数要少（题目中出现“经理”“一级”“二级”和“三级”，样本集合中出现“经理”“一级”“二级”“三级”和“试用”），函数类型是嵌套IF函数对离散型数据进行比较，需要比较四次，三层嵌套。它们各自的三角形框图分析如图5-1至图5-4所示（均以第一组数据为例）。

可以看出，业绩奖金和区域补助用单层IF函数计算完成，工龄补助和岗位津贴则需用嵌套IF函数方可完成，IF函数如下：

D3单元格中计算业绩奖金的IF函数：=IF（C3>=50000，1000，0）

F3单元格中计算区域补助的IF函数：=IF（E3="市区"，400，600）

H3单元格中计算工龄补助

主函数：=IF（G3>=1，X1，0）

一层嵌套X1：IF（G3>=3，X2，200）

底层函数X2：IF（G3>=5，500，300）

因此，H3单元格中完整函数为：=IF（G3>=1，IF（G3>=3，IF（G3>=5，500，300），200），0）

J3单元格中计算单元格中岗位津贴

主函数：=IF（I3="经理"，2000，Y1）

一层嵌套Y1：IF（I3="一级"，1500，Y2）

二层嵌套Y2：IF（I3="二级"，1000，Y3）

底层函数Y3：IF（I3="三级"，500，0）

因此，J3单元格中完整函数为：=IF（I3="经理"，2000，IF（I3="一级"，1500，IF（I3="二级"，1000，IF（I3="三级"，500，0））））

按照上述方法计算业绩奖金、区域补助、工龄补助、岗位津贴后，再使用求和函数即可计算得出每名员工的实发工资。

2.教学效果检验

对于课堂效果，笔者的体会是，使用传统方法讲解IF函数，课堂气氛较沉闷，随着题目难度的增加，学生与教师的互动次数逐渐减少。使用框图代数法讲解时，学生反馈积极，随着题目难度增加，师生的互动次数并没有明显减少的迹象，课堂气氛活跃，教师授课也感觉较为轻松顺畅，教学效果明显优于传统教学方法的课堂。

结 语

实践证明，将框图代数法引入IF函数教学后，学生普遍反映对IF函数概念的接受更容易，对条件函数的理解更深刻，函数书写正确率大大提高。这充分说明了框图代数法是一个讲授IF函数的好方法，值得向各位教师以及学习Excel的人士推广。

参考文献：

[1]邓睿、齐迎军、童玲：《大学计算机基础教程》，电子科技大学出版社，2013。

[2]谢丽萍：《二叉树在IF函数中的应用》，《福建电脑》2010年。

[3]龚沛曾、杨志强：《大学计算机基础教学中的计算思维培养》，《计算机科学》2011年。

[4]崔进平、王聪华等：《数据结构（C语言版）》，中国铁道出版社，2008。

[5]凌弓创作室：《妙“技”轻松学Excel公式与函数实战经典技巧》，科学出版社，2012。

[6]戴卫平：《任务驱动式教学法在Excel教学中的应用》，《中国科教创新导刊》2008年。

[7]宋燕福、高加琼：《常用条件函数中的不同条件》，《四川职业技术学院学报》2011年。

[8]尚震：《浅析Excel中IF条件函数的应用》，《开封教育学院学报》2012年。

[9]尚红昕：《Excel应用技巧宝典》，电子工业出版社，2006。

[10]陈杰：《Excel函数、图表与数据分析》，电子工业出版社，2006。

第3篇：函数的表示法范文

关键词　逻辑函数　卡诺图　化简

中图分类号：TB112 文献标识码：A

0 前言

逻辑函数的化简有公式法、卡诺图法和系统简化法。公式法是利用逻辑函数的基本定律和常用公式化简逻辑函数，要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，且化简后的表达式是否最简很难判断；系统简化法主要针对多变量（5变量以上）的逻辑函数，其化简过程复杂，需要借助计算机工具；卡诺图法是由美国工程师卡诺（Karnaugh）提出的一种描述逻辑函数的特殊方法，这种方法是将个变量的逻辑函数，按循环码的规则来排列变量的取值组合，填入一个矩形或正方形的二维空间中，把矩形或正方形划分成个小方格，这些小方格分别代表变量逻辑函数的个最小项（最大项），每个最小项（最大项）占一格。卡诺图法由于具有直观、方便、无需记忆逻辑代数的基本公式，以及无需担心化简后的表达式是否是最简等优点，成为广大工程设计人员化简逻辑函数最常用的方法。

本文在传统卡诺图化简法的基础上，给出一种改进的卡诺图化简法，利用这种方法，可使化简过程变得更加直观、易懂，从而有利于改善分析效果，提高工作效率。

1 传统的卡诺图化简法

传统的卡诺图化简，通常先将逻辑函数变换为最小项表达式，然后将卡诺图中对应最小项的小方格填“1”，其余小方格填“0”，圈“1”合并最小项得到最简与或式，圈“0”得到最简或与式。

以圈“1”得到最简与或式为例，考虑以下逻辑函数的简化：

= + + + + + + （1）

作出卡诺图，如图1所示：

按照传统卡诺图化简步骤，得到化简后的函数表达式：

= + + + = + + +

（2）

按照以上方法化简，笔者在分析中发现，主要存在以下几个问题：（1）首先必须正确填写卡诺图，即将逻辑函数中的所有最小项对应到卡诺图的小方格中，并在小方格中填上“1”，这就要求对用最小项表示（逻辑变量表示）的逻辑函数和用二进制代码（数字）标示的卡诺图之间的对应关系要非常清楚，这实际上是比较困难的，而一旦填写出错，哪怕是其中的一个小方格填错，则整个的化简结果就会出错。（2）填写后的卡诺图不便检查。要正确地复查哪些最小项已填入，哪些还没填入，或者是按照填写的“1”反过来检查函数中的最小项，由于卡诺图中的小方格填写的均为“1”，对照起来容易混淆。

针对这些问题，本文提出一种经过改进的卡诺图化简法。

2 改进的卡诺图化简法

仍以式（1）的函数化简为例，改进后的卡诺图如图2所示：

与图1的卡诺图比较，主要有以下改进：

2.1 卡诺图的构建

在卡诺图轴线位置的标记，由原卡诺图仅标示二进制代码改为在二进制代码旁边加小括号，括号内标出变量的对应组合，这样就使得由逻辑函数填写卡诺图时，最小项的位置对应更加清晰；

2.2 函数中各最小项的标示

将函数中的每个最小项分配一个小写字母来表示，从a到g分别表示最小项到，字母的顺序与函数中最小项由前到后的排列一致。将函数F改成如下形式：

（3）

卡诺图的填写，在填写卡诺图时，最小项对应的小方格不再填写“1”，而是填写为该最小项对应的小写字母。

若逻辑函数中包含有无关项，对无关项可用一希腊字母，如：，等表示，以区别于最小项表示所用的英语字母。假设式（1）中逻辑函数F包含两个无关项 和 ，可作出卡诺图（图3）：

化简后的逻辑函数为：

= + + + = + + + （4）

3 结论

本文针对传统卡诺图法化简逻辑函数存在的问题，以将函数化简为标准与或式为例，从卡诺图的构建、逻辑函数的标示两方面入手，给出了一种改进的卡诺图化简法，该方法对于用“圈0法”将函数化简为标准或与式同样适用。从实际效果看，利用改进的卡诺图化简逻辑函数，可使卡诺图的标示更加直观、易懂，有利于改善分析效果，提高工作效率。

参考文献

[1]　王毓银.数字电路逻辑设计(第三版).北京:高等教育出版社,1999.

[2]　阎石.数字电子技术基础(第三版).北京:高等教育出版社,1998.

第4篇：函数的表示法范文

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。

1、函数概念的纵向发展

1．1 早期函数概念──几何观念下的函数

十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

1．2 十八世纪函数概念──代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。

18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1．3 十九世纪函数概念──对应关系下的函数

1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。

等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。

1．4 现代函数概念──集合论下的函数

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。

2、函数概念的横向比较

函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：

函数概念引入──学习──深化的过程比较

中国

初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。

高一时用“映射”来刻画函数概念。

法国

四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。

七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。

八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。

九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定义处理十分谨慎。

高中时，大量增加函数内容。

日本

小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。

中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。

美国

九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。

德国

初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。

英国

由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。

2．1 函数概念引入方式上的差异

我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。

西方各国函数概念的引入一般较早，函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。

2．2 函数概念与信息技术结合程度上的差异

我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生用数学能力，逐步提高学生分析问题，解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，没有很好的引导学生利用互联网资源自主学习。西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合，涉及“寄储器”、“算法”等诸多计算机语言、计算机网络图，很好的培养了学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。

3、函数概念教学的几点思考

3．1 注重函数概念的早期渗透

函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究以渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展，积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。

3．2 注重学生学习函数概念的心理建构过程

建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。

3．3 注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合

由初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。

3．4 注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而通过解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]。北京：北京师范大学出版社，2001，7；

[2]M克莱因。古今数学思想(1－4册)[M]。上海：上海科学技术出版社，1979－1981;

[3]吴泽菲等。中国与英国初中数学课程比较[J]。外国教育研究，1998，1：11－16;

[4]章以昕。中美两国中学数学教材中函数概念的比较[J]。数学通讯，1996，2：16－19;

第5篇：函数的表示法范文

【关键词】图像处理 聚焦算法 对比分析 判定函数

自动图像聚焦技术的本质是保证图像测量值精确可靠，该技术可以代替传统的人眼观察法。该领域作为可视精密仪器研发的基础部分，一直被国内外学者争相重视。自动图像聚焦技术原理为测距法的改进，测量对象同聚焦镜间的距离；也可利用图像的灰度特性进行分析，从而间接获取距离值。其中，利用图像灰度反应距离的方法可通过光学法或者基于自动聚焦判定函数的图像处理方法得以实现。

经过试验研究总结，合理的自动聚焦判定函数应具备如下特性，即：低复杂性、高灵敏性及偏离可忽略性。低复杂性指判定函数形式简洁，计算量低，计算耗时短；高灵敏性主要指待判定数据在自动聚焦位置的数字变化灵敏性；偏离可忽略主要指计算推理得到的位置同试验测量位置相同。自动聚焦函数的性质取决于判定函数的类型，本文着重对几种主流的自动聚焦判定函数进行了比对，综合评价了不同判定函数的特性。

1 自动图像聚焦判定函数

光学基本理论表明，成像系统均可视为一个理想的高斯理论成像机制。根据牛顿光学理论可得，一个完整的成像机制主要受制于物距、像距及焦距的单独或联合变化，通过调节三个参量间的关系以实现实物与物像间的共轭关系。共轭程度决定了成像的品质。焦距合理时，图像的灰度才最理想，这也是自动聚焦判定的基本原理。目前，使用较为广泛的自动聚焦判定函数主要有以下几类，即：灰度梯度判定函数、熵函数、频域判定函数。

1.1 灰度梯度判定函数

灰度法是将判定函数经过处理，通过像素反应出的灰度差别反推成像品质。其基本原理为：设定成像内某点（x ， y）位置的成像灰度值为g（x ， y），成像尺寸为M×N。则相应的灰度梯度判定函数主要有以下几类，即：灰度起伏变化判定函数，该方法主要判定成像灰度值得变化趋势，用K1表示；灰度变化绝对值判定函数，该方法与上述方法基本相同，主要适用于单一型背景成像，用K2表示；梯度向量判定函数，该函数主要反应灰度梯度变化总和，通过梯度标量值反应灰度变化情况，用K3表示；梯度向量方判定函数，该判定函数将梯度变化值平方后作为灰度对比依据，用K4表示；罗伯特判定函数，该函数涵盖了判定对象外的像素点作为灰度评判依据，用K5表示；牛顿-拉普拉斯方法，该判定方法较罗伯特法更为精准，使用了判定对象周边的四个像素点进行灰度判定，用K6表示。

1.2 成像信息熵函数

假定成像内各像素位置相互独立，不考虑像素坐标方位的条件下，依据信息熵函数的定义，有如下计算公式：

K7=-Σpilogb（pi）

式中：pi表示像素内某一灰度出现的概率；b一般为2。

1.3 频域判定函数

频域判定函数本质是借助傅里叶变换法将空间几何分布形式的成像转化到空间频域上，用空间频域表示形式代替成像内像素的几何位置。最后，根据空间频域内频率较高部分占据的比重作为成像清晰度判定的基本根据。具体的判定函数表达式如下：

K8=Σ・ΣG（X，Y）-φ

式中：G（X，Y）表示傅里叶变换矩阵函数；φ表示对应阈值，在通常计算中，取1；坐标（X，Y）表示成像在二维空间频域内对应的变量。

1.4 其他判定函数类型

除了上述提到的几种较为常用的判定函数以外，还有如下几种方法也时有出现。其中以小波理论为基础而提出的小波变换方法，该方法计算形式与二维傅里叶变换较为相似，小波分析法的主要优势体现在能够在不同空间下，根据不同分辨形式对成像进行分析。和二维傅里叶变换法相较而言，小波变换具有更加广阔的应用范围且在相同条件下具备更高的灵敏性。但是小波变换法尚且处于开发阶段，还未发展完善为一套完整的计算理论。

2 求解难度分析

聚焦函数运算复杂度的分析是根据采用光学CCD高分辨率摄像机对某图片进行拍摄操作，自动聚焦操作通过调节摄像机焦距镜头的前后距离以实现对图像的自动聚焦，前后距离调节采取微调方式，微调单位设为0.02mm。为了突出合理聚焦位置的图像特性，在最佳聚焦位置的前后分别采集5个未聚焦及5个超聚焦成像结果。连同最佳聚焦成像结果，共计11张成像结果。拍摄图像尺寸规格均为768pixel×576pixel。本文中的对比分析依照获取的11张成像结果为蓝本，成像结果序号编制依照尚未聚焦――最佳聚焦――超聚焦的顺序进行。由于计算量偏大，导致前期处理及运算阶段耗费的时间在不同类型的计算机上运算时间差异较大，但对于同一台计算机而言，复杂运算的耗时量较简单运算必然增加。为了科学比较各方法计算的复杂性，函数运算中根据时间按照：加减、乘除、方次、开方、对数依次排列。经计算表明，各判定函数及计算方法对应的复杂度排序如下，即：K1、K3、K5、K2、K6、K4、K8、K7。

3 结语

本文采用不同判定函数及计算方法对自动图像聚焦算法结果进行了比对，经过试验结果总结发现：根据成像像素灰度值对应的信息熵函登蠼獾木劢刮恢媒喜睿并且耗时长，不适合进行图像的自动聚焦判定；采用成像灰度值起伏变化判定函数，计算耗时最少，但计算结果离散性较大，不容易确定最终位置，因此也无法选作自动聚焦判定函数；梯度向量判定方式和罗伯特法相较而言，二者变化稳定，但罗伯特法耗时较长；傅里叶变换法运算量较大，但在灵敏性方面优势显著；梯度向量方判定函数及牛顿-拉普拉斯法在灵敏性方面均较突出。

参考文献

[1]李全勇，李亨.基于数字图像处理的自动对焦算法的比较与分析[J].电脑知识与技术，2013，9（35）：8061-8063.

[2]海洁，杜海龙，邓小鸿.基于快速混沌置乱的音棒型医学图像加密算法[J].计算机应用，2015，35（02）：432-433.

第6篇：函数的表示法范文

1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。

2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。

二、内容分析

1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。

2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。

3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学次函数、反比例函数的学习方法。

三、教学过程

复习提问：

1、什么是函数?

2、函数有哪几种表示方法?

3、举出几个函数的例子。

新课讲解：

可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考：

(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。)

(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。)

(3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。

对这个定义，要注意：

(1)x是变量，k，b是常数;

(2)k≠0(当k=0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。)

由一次函数出发，当常数b=0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。

在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

写成式子是(一定)

需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是k>0的例子，对于正比例函数，k也为负数。

其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊的一次函数。

第7篇：函数的表示法范文

一、准确、深刻理解函数的有关概念

函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础．学生学习函数的知识分四个阶段．第一个阶段是在初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图像．

第二个阶段（数学必修1），第三个阶段将学习三角函数（数学必修4）、数列（数学必修5），第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都仍然要涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高．

对于函数概念的引入，教材通过具体实例，让学生体会函数是数集之间的一种特殊的对应关系．教学应从学生已有的函数知识入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的变化，在集合的基础上，构建函数的一般概念．如：

(1)随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；

(2)打电话时，通话费用与通话时间之间的关系；

(3)中国的国内生产总值正在逐年增长；

等等．

二、揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系

在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用，综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能．函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容，在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式．转贴于

三、把握数形结合的特征和方法

数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径．函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换 ．

例：如果f（x）=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么（ ）

A.f(2)

B.f(1)

C.f(2)

D.f(4)

本题若用代数方法求解较为困难，可以引导学生由题设条件f(2+t)=f(2-t)所反映的几何特征，据此画出抛物线示意图，根据它的单调性就可分辨f(2)

第8篇：函数的表示法范文

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.

对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.

高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.

学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.

课程目标

学科素养

能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数

会求函数的定义域

会求函数的值域

1.逻辑推理：同一个函数的判断；

2.数学运算：求函数的定义域，值域；

1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；

2.教学难点：求函数的值域。

多媒体

复习回顾，温故知新

1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x)      x∈A．

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

2.对函数符号y=f(x)的理解：

（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。

例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。

当x=2时y=7可以写成f(2)=7

想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。

（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，

如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；

二、探索新知

探究一   同一个函数

前提条件

定义域相同

对应关系完全一样

结论

是同一个函数

思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？

提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．

探索二 常见函数的定义域和值域

思考2：求二次函数的值域时为什么分和两种情况？

提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．

当a

例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(

)

(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．(

)

(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．(

)

[解析]　(1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．

(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．

(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．

例2  (2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(

)

[解析]　由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．

例3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为(　A　)

A．{－2,0,4}

  B．{－2,0,2,4}

C．{y|y≤－}  D．{y|0≤y≤3}

例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是(

)

A．{y|－1≤y≤1}  B．R

C．{y|2≤y≤3}  D．{－1,0,1}

[解析]　函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．

关键能力·攻重难

题型一 函数的值域

1、函数的值域是(

)

A．(－3,0]

B．(－3,1]  C．[0,1]    D．[1,5)

[分析]　首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．

[解析]　由，可知当x＝2时，；当x＝0时，，

因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．

[归纳提升]　二次函数的值域

(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；

(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；

(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．

题型二 同一个函数

2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？

(1)y＝与y＝1；

(2)y＝与y＝x；

(3)y＝·与y＝.

[分析]　判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．

[解析]　(1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．

(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x

(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．

[归纳提升]　判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤

(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．

题型三　复合函数、抽象函数的定义域

3、(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_______________.

(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为______________.

(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为____________.

[分析]　(1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．

(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．

(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．

[解析]　(1)由－1

(2)－1

(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，

由－1

[归纳提升]　函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：

(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．

误区警示

函数概念理解有误

1、设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是(

)

A．0

B．1

C．2

D．3

[错解]　函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．

[错因分析]　不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．

[正解]　图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．

[方法点拨]　函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．

学科素养

求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用

1．分离常数法

求函数y＝的值域．

[分析]　这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．

[解析]　y＝＝＝3＋，

又≠0，y≠3.函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．

[归纳提升]　求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．

2．配方法

求函数的值域

[解析]　，

其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．

根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且；当x＝－2时，y取最大值，且.

故的值域是[－12,3]．

[归纳提升]　遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．

3．换元法

求函数y＝x＋的值域．

[分析]　忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．

[解析]　设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，

于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.

故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．

[归纳提升]　求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．

WORD模版

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第9篇：函数的表示法范文

摘要：小波去噪 阈值函数 信噪比 均方误差

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2012）09-0043-03

信号在产生、传输以及接收过程中，会不可避免的受到各种噪声的污染，因此信号去噪无论在工程应用还是理论研究中一直是研究的热门话题。小波变换是近十年来发展起来的一种新的信号处理工具，由于其特有的多分辨率分析技术，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，使它在信号处理方面应用非常广泛[1]。Donoho在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪方法，并证明了该方法在最小方差意义下可达到最佳估计值，而其它线性估计则无法达到同样的效果[2]。但是，阈值法中的阈值函数存在着一定的缺陷，如软阈值函数中得到的小波系数与信号的小波系数之间存在着恒定偏差，硬阈值函数具有不连续性，对大于阈值的小波系数不处理等，这些都在不同方面影响着去噪的效果[3-4]。为了克服软、硬阈值函数的缺点，取得更好的去噪效果，本文提出了一种新的阈值函数，新阈值函数在保持了很好的连续性的同时，对不同值的小波系数也做了更为合理的收缩处理，使其与信号真实值更加逼近。仿真实验表明， 新阈值函数去噪重构后得到的估计信号既能很好地保留信号细节，又具有较好的光滑性，去噪效果要明显优于其他阈值函数。

1、小波阈值去噪原理

假设有如下一观测信号

其中为含噪信号，为原始信号，为方差为的高斯白噪声，服从分布[6]。

对作离散小波变换，可得：

其中，，，分别为含噪信号，原始信号和噪声在第层上的小波分解系数；为小波变换的最大分解层数；为信号的长度。

小波变换是线性变换，因此对含噪信号作离散小波变换后，得到的小波系数，为方便起见记为，仍由两部分组成：一部分是原始信号的小波系数，记为，另一部分是噪声对应的小波系数，记为。

Donoho提出的小波阈值去噪方法的基本思想是[2]：当小于某个临界阈值时，认为这时的主要由噪声引起的，可将其舍去；当大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要由信号引起的，那么就把这一部分的直接保留下来（硬阈值法）或者按照某一个固定量向零收缩（软阈值法），然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号。此方法可通过以下3个步骤实现：

（1）选定合适的小波基及小波变换的分解层数对带噪信号作小波变换，可以得到一组不同分解层数的小波变换系数；

（2）确定各层高频系数的阈值及阈值函数，通过对小波分解高频系数进行阈值量化处理，得出估计小波系数，使得尽量小；

（3）小波重构，利用进行小波重构，得到去噪后的估计信号。

小波阈值去噪方法的关键步骤是阈值处理，这部分包括阈值的估计和阈值函数的选取，本文只针对阈值函数的选取进行研究。

D.L.Donoho提出的硬阈值函数为：

软阈值函数为：

其中，为符号函数，阈值取为。Donoho在文献[2]中证明了由此方法得到的估计信号在最小均方差意义上是有效的。

硬阈值函数表明，大于阈值的小波系数主要是由真实信号引起的，对这些系数予以全部保留，认为其他的系数主要是由噪声贡献的，故将它们全部置零[2-5]。其图形如图1所示。软阈值函数对小波系数采用另外一种处理策略，它把大于阈值的系数按从到零进行收缩的办法予以保留，把其他的置零，因此软阈值函数也被称为小波收缩函数[2-5]。其图形如图1所示。

2、一种新的阈值函数构造

尽管软硬阈值去噪方法在实际中得到了广泛的应用，也取得了一定的效果，但它们本身还是存在着缺点[6]。由图1可以看出，软阈值法得到的小波系数整体连续性比较好，不存在间断点，这会使去噪效果变得平滑，但是软阈值函数的导数是不连续的，因而在求高阶导数时会存在困难。另外软阈值对大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符，会直接影响重构信号与真实信号的逼近程度；硬阈值法能较好的抑制噪声，但硬阈值处理函数在和处存在间断点是不连续的，这与实际应用中常常要对阈值函数进行求导运算存在矛盾，这样利用小波重构信号时很可能会出现突变的震荡点，从而所得到的估计信号会产生附加的振荡，不具有同原始信号一样的光滑性，同时，它只对小于阈值的小波系数进行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，这与实际情况下大于阈值的小波系数中也存在噪声信号的干扰不相符。以上分析表明，硬阈值函数可以保留一定的信号特征，但是在平滑方面有所欠缺；而软阈值函数通常会使去噪后信号平滑一些，但是会丢失掉某些特征。

基于以上分析及软、硬阈值函数的不足，这里提出了一种新的阈值函数，其函数表达式如下：

其中为调节因子，可以取任意正常数，一般取正整数。

由表达式（5）可以看出，该函数不仅在小波域内是连续的，而且在和内具有高阶导数。当趋于无穷大时，新阈值函数趋近于硬阈值函数。新阈值函数及软、硬阈值函数图形如图2所示。从图2中我们可以看出，这里构造的新的阈值函数不仅具有硬、软阈值函数的优点，而且克服了它们的缺点，是硬、软阈值函数的一个很好改进方案。如图2所示在内，新阈值函数对小波系数采取的是缓变地压缩处理，随着小波系数的增大，压缩量逐渐减小，当小波系数大于一定值时，不再进行压缩处理，这样做符合对大于阈值的小波系数进行处理，能够比较好地处理有用信号中存在的噪声分量。在内，新阈值函数也没有直接将小波系数置零，而是有一个缓变到零的过程，这样有利于防止阈值设置过大时能够保留部分信号的小波系数，从而有利于重构后保持原信号的波形。

同时为了便于比较这里引入折中阈值函数的方法，其函数表达式如下：

当分别取0和1时，上式既为硬阈值法和软阈值法。适当的调整值，可以获得更好的去噪效果，可以看作是软阈值和硬阈值法的折衷方案。其图形如图2中所示。

3、仿真实验及分析

3.1 信号去噪效果评价指标

信号去噪处理中，为了更好的更直观评判去噪方法，常用信号的信噪比（SNR）和重构信号均方误差（MSE）来描述信号的去噪效果。一般来说，SNR越大，MSE越小，表明信号去噪能力越强，去噪效果越好。

其中，表示标准原始信号，表示经处理后的估计信号，表示信号长度。

3.2 实验结果及分析

为了说明新阈值函数在去噪算法中的有效性和优越性，分别用软、硬阈值函数，折中阈值函数和新阈值函数对Donoho所采用的典型测试信号Bump和Heavysine在相同的条件下进行对比试验。设信号长度为2048个，输入信号的信噪比（SNR）为10.1209db，采用db4小波作为小波基，分解层数为4层，阈值采用每个尺度可变的，其中表示分解尺度，表示信号长度。仿真试验结果如图3、图4所示，去噪信号的信噪比（SNR）和均方误差（MSE）如表1、表2所示。

从上述图中，可以看出硬阈值法去噪效果不如软阈值法，软阈值法不能够很好的反映原始信号，应该出现尖峰的地方被平滑了，而新阈值法具有传统硬、软阈值方法的优点，不仅去噪效果较好，而且能够很好的恢复原始信号。从表1表2可知，本文构造的新阈值函数去噪效果在信噪比和均方误差两个性能指标上都明显优于软、硬阈值函数，并且优于折中阈值函数。以上两个方面都说明了本文构造的新阈值函数去噪的优越性。

4、结语

本文在分析Donoho软、硬阈值函数的缺点的基础上，构造了一种新的阈值函数。通过仿真实验表明，新阈值函数取得了较为理想的去噪效果，在信噪比和均方误差定量指标上均优于传统的软、硬阈值及改进的软硬阈值折中算法，同时还能够很好的保持原始信号的特征，具有一定的工程应用价值。需要指出的是，小波变换信号去噪效果的提高不仅与选用的阈值函数有关，还与选用的小波基函数及阈值规则有关。本文选取的小波基函数及阈值规则并不是最优的，具体情况下的小波基函数及最优阈值是以后需要继续加以研究的问题，以使本文构造的新阈值函数达到更满意的去噪效果。

参考文献

[1]飞思科技产品研发中心编著.小波分析理论与MATLAB 7 实现[M].北京： 电子工业出版社，2005.3.

[2]DONOHO DL. De-noising by soft thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory，1995，41（3）：613-627.

[3]Zhang， Xiao-Ping， M. Desai. Adaptive de-noising based on SURE risk [J]. IEEE Signal Processing Letters， 1998，5（10）：265-267.

[4]Zhang Xiao-Ping， M. Desai. Nonlinear adaptive noise suppression based on wavelet [J].International Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing， Seattle， Washington， May 12-15，1998.