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专业结合的大学数学教学探讨

摘要:大学数学基础课教学是高等学校教育中的重要一环,其教学效果是专业学习的重要基础。论文分析了目前数学基础课程教学中存在的一些典型问题,以及目前针对这些问题任课教师在教学方式、教学手段等方面提出的解决方法。同时探讨了如何在独立学院的高等数学课程教学中结合授课对象所在专业来设计教学实例。通过与专业知识相结合的案例激发学生的学习兴趣和主动性,提升教学效果并增强学生应用数学知识解决专业问题的能力。

关键词:数学基础课;高等数学;教学实例设计

一、绪论

大学数学基础课程在大学专业学习中占据着举足轻重的地位。除了极少数文学艺术类专业,所有的理工农医学以及经济类等专业都要在大一学年修读高等数学(微积分)、线性代数和概率论与数理统计等数学基础课程。一方面,数学类课程是后续专业课程学习的基础,是否较好地掌握相关的数学基础知识将直接影响学生在专业学习的表现和未来的学术成长;另一方面,数学类课程能够培养大学生严密的逻辑思维,对实际问题进行数学建模的能力,并应用所学数学知识解释实际应用中出现的现象的能力。因此,大学数学课程是大学生的学业生涯中一个非常重要的环节,也是大学教学体系中的重要基础。2015年教育部等《关于引导部分地方普通本科高校向应用型转变的指导意见》提出“要大力推进应用型高校的建设,创新应用型技术技能型人才培养模式。建立以提高实践能力为引领的人才培养流程,深化人才培养方案和课程体系改革。以社会经济发展和产业技术进步驱动课程改革,整合相关的专业基础课、主干课、核心课、专业技能应用和实验实践课,更加专注培养学习者的技术技能和创新创业能力”。2019年教育部发布《关于深化本科教育教学改革全面提高人才培养质量的意见》指出“深化本科教育教学改革,要提升学业挑战度,强化人才培养方案、教学过程和教学考核等方面的质量要求”“引导学生多读书、深思考、善提问、勤实践”。从以上的要求可以看出,在应用型高校的人才培养中,如何结合专业特点实行更好的本专业基础课程的教学是值得每位任课教师积极思考和探索的方向。

二、大学数学教学中的典型问题

虽然大学数学课程的重要性得到了学生和教师的广泛认同,但是目前在高等数学、线性代数和概率论与数理统计等课程的学习中仍然存在许多问题[1]。在学习方面,学生在高中阶段已经接触到了导数、随机变量、概率分布等概念,在大学中再面对这些知识的时候往往认为自己已经学过,从而放松了学习,但是,这些知识在高中阶段只是非常浅显的了解,并没有系统地讲解背后的理论基础,学生只知其然而不知其所以然,忽略整个理论的来源和发展,不利于完整和系统的知识体系的构建。还有部分学生刚刚从高中具体的数学教学中脱离,不适应大学数学的抽象描述,例如高等数学中第一部分极限的定义,于是会对数学的学习产生畏难情绪,认为大学数学课程十分枯燥无味,降低学习热情和主观能动性,甚至由于学习效果没有达到高中类似的程度而逐渐放弃学习,只求及格。在教学方面,一部分学生因为一直以来对数学的恐惧导致在课堂学习上的懈怠,无法配合教师的教学进度,也降低了教师的教学成就感。教师无法从课堂教学获得充分的正向反馈,也会对教学失去信心、活力以及激情,会逐渐使数学课堂变得沉闷而且枯燥,这种情况在生源质量本来就较差的独立学院尤为严重。同时,由于数学学科自身有着严密的发展和逻辑体系,大部分的任课教师在教学时都希望给学生建立对数学的完整认识,于是往往注重对定理和公式的推导,而忽视了这些知识内在联系和如何在实际中应用所学知识解决实际的问题[2]。在教学过程中,教师采用的教学手段比较单一和单调,缺乏一定的课堂吸引力,同时数学基础课程的教学班级往往较大,无法形成有效的教学互动和讨论环节,从而影响学生的积极性。学生在课堂上一直处于被动听讲的状态,不利于其逻辑思维能力和创新能力的培养。另外,教师在数学基础课程中往往将教学目标设定为让学生掌握知识本身,通过大量的习题来理解并记住相关的定理和公式,忽略对应能力的培养,这样导致的后果就是学生在大学阶段数学学习还是延续了高中的题海战术,让学生认为数学还是在解题,无法与自己的专业学习联系起来,也无法感受到数学在现实生活中的重要作用,也无法树立一个良好的学习态度。

三、大学数学课程教学的一些改革与实践

针对大学数学课程教学中出现的上述问题,近年来大43量文献从教学手段、教学方法以及教学模式改革等方面提出了许多解决方案和设想[3]。针对高中和大学数学课程的衔接问题上,教师可以从高中知识出发,在回顾的同时引导学生思考更深层的理论背景和来源,充分挖掘高中和大学知识的内在逻辑联系,让学生有一个平稳的过渡,降低大学数学知识的理论性带来的冲击。在教学手段和方法上,随着现代化信息技术的发展,各种软件针对数学公式和几何图形的可视化提供了简便的方式,任课教师也要在数学基础课程中适当的采用这些新的教学辅助手段来改进课堂教学。将大学数学课程中抽象的概念和定理采用图形和动画的形式表示出来,克服传统数学教学中黑板加粉笔的不足,也可以加深学生的直观印象,这样更有利于他们理解和掌握,并能抓住学生注意力,提高了学生的学习兴趣。同时,任课教师也要时刻保持与时俱进,学习新兴的教学形式和手段,适时更新教学案例和相关知识,通过观看其他大学提供优秀的数学公开课积极学习国内外先进的教学经验。在教学模式上,教师在有条件的情况下,可以采取探究式学习模式,让学生从被动接受知识变成主动学习,教师通过提出探究问题,让学生以小组的形式进行问题的分析、讨论、探究和解决,在此过程中,可以培养学生自主思考的能力,激发学习主动性。如果实际班级人数过多,那么小组学习的形式就不太适用,这时可以采用案例教学来增加课堂吸引力。通过课前的案例来让学生思考、解决,启发并引导学生根据已经学过的知识建立数学模型,从而发现解决该问题所需要的新的知识,激发学习的主观能动性,再顺势进入相关知识的学习然后解决之前的案例问题。案例驱动的教学模式能鼓励学生主动思考、自主探究的能力。除了传统的教学探讨,也有教师将各种新的理论引入大学数学基础课的教学改革中,例如,结合最近发展区理论所倡导的教学观提出有效教学改革的实施方法[4],倡导教学应立足于学生的发展,立足于教学的有效性,从而使学生从“知识接受者”转变为“知识探索者”,使教学效果最大化。另外,也有不少学者认为,数学课程的教学不应该局限于理论的推导和证明,现在的人才培养目标正在从“知识获得”逐渐向“能力培养”转变。尤其是对于应用型本科高校来说,要更多的让数学课程和实际应用和生产实践紧密结合起来,让学生不仅要掌握数学知识,还要学会如何应用数学,增强数学教学的实用性,让学生体会到学习数学的重要性,才有利于课堂教学。

四、与专业相结合的大学数学教学探讨与实践

作为一名独立学院的教师,笔者长期从事大学数学类课程的教学。独立学院的人才培养目标是以应用型人才为主,受限于生源质量和较大的生师比,在实际教学中无法开展探究式学习模式,大部分仍然以传统的教学形式为主,再引入计算机辅助教学,能够用可视化的方式来吸引学生并加深认识。但是,教师在教学中往往忽视了学生所在专业的特点,仅仅把数学知识的讲解作为教学目标,在教学中所使用的例题也几乎是采用教材上提供的示例,对不同的专业都是千篇一律,且过于脱离实际和过时。任课教师如何在大学数学教学中根据学生所学专业来选择相关的实际问题作为理论知识的应用,并将数学建模的思想融入课堂教学中是值得探讨的一个问题。下面我们将以高等数学课程为例,介绍如何在教学中针对学生所在专业来设计应用例题,使学生体会到大学数学不仅是理论知识的学习,更是解决专业问题的重要工具,增强数学教学的实用性,并为他们未来专业学习打下良好的基础。大学高等数学课程采用最广泛教材是同济大学数学系编写的《高等数学》(上下册),笔者所在学校的金融数学专业的高等数学课程也使用该套教材。我们发现虽然该教材已经更新到第七版,但是所采用的一些实际应用案例与之前的版本相比仍然没有太大变化。在教学中,该教材的有些内容的应用案例并不能很好的展示所学知识在解决实际问题的体现,将实际问题过于简单化。同时,针对现在一些新兴的交叉学科,像金融数学专业等,缺乏典型的实际案例作为应用支撑。以一元函数的极值与最大值和最小这一节为例[5],这部分内容是很多专业都会用到的知识。工程技术、经济管理和科学实验中常常会遇到可以转化为求某一函数的最大值或最小值问题。这一节应该是前面导数知识重要性的实际体现,但是我们看到本节教材中的七个例题中,三个是直接给出了一个函数求最值,两个与物理相关(分别是光线的折射和圆木的抗弯截面模量),还有两个跟运费和生产利润有关,都十分简单,学生在高中就见多了此类应用题,在课堂中往往无法产生新鲜感,并且无法跟所学专业联系起来。因此,为了提升教学效果,培养学生应用知识的解决专业问题的能力,我们使用了下面这个新的案例来替换原有的纯数学例题。案例(最小风险投资组合[6])投资组合理论中,为了分散投资风险通常选择多只股票构成投资组合,假设选择两只股票A和B,它们的收益率分别为RA,RB,风险分别为σA,σB,收益率的相关系数为ρAB≠1,投资在两只股票上的资金比例分别为wA,wB,那么由这两只股票所构成的投资组合的收益率为:Rp=wARA+wBRB组合风险为:σp=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B其中wA+wB=1。不同的投资比例wA,wB将构成不同收益和风险的投资组合,求出最小风险投资组合的投资比例。本题是函数的最值问题在金融数学专业课程证券投资学的一个重要应用,但是所用的知识恰好是目前要求掌握的基础知识,将wB=1-wA代入σp的表达式即可转化为一元函数的最值问题,于是有:σp=w2Aσ2A+1-wA()2σ2B+2wA1-wA()ρABσAσ槡BdσpdwA=wAσ2A-1-wA()σ2B+1-2wA()ρABσAσBw2Aσ2A+1-wA()2σ2B+2wA1-wA()ρABσAσ槡B令dσpdwA=0,可以得到唯一的驻点:w*A=σ2B-ρABσAσBσ2A+σ2B-2ρABσAσB-通过二阶导数容易验证σp在w*A处取得极小值,因此在此唯一驻点处取得最小值,且w*B=σ2A-ρABσAσBσ2A+σ2B-2ρABσAσB-。因此两只股票可以构成的最小风险组合投资比例即为(w*A,w*B)。在实际教学中,可以进一步带入具体数据进行计算最小风险投资组合的风险大小和组合收益。通过与采用传统纯数学例题教学对比,我们发现改用上述案例后,学生的注意力更为集中,思考更主动积极,因为该案例和他们所学专业密切相关。通过这个小的切入点,学生能够体会到当前所学的数学知识在之后专业课程中的应用,教学的效果更好。同时,该实例还在高等数学(下)课程中仍然可以继续使用,在多元函数的极值和最大最小值的教学中,拉格朗日乘子法是求带等式约束的条件极值的重要方法,但是本节教材上的例题仍然是传统的几何极值和最大利润问题,在教学中,学生对此类问题早就司空见惯,缺乏兴趣。所以,我们可以再次使用上述案例,采用新的知识来解决它:把组合风险σp看做是wA,wB的一个二元函数,那么此时该案例可以转换为求组合风险:σp=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B在等式约束wA+wB-1=0下的最值问题。设拉格朗日函数:LwA,wB()=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ(wA+wB-1)令偏导数:LwA=wAσ2A+wBρABσAσBw2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ=0LwB=wBσ2B+wAρABσAσBw2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ=0Lλ=wA+wB-1=0可以解得唯一可能的极值点为:w*A=σ2B-ρABσAσBσ2A+σ2B-2ρABσAσB-,w*B=σ2A-ρABσAσBσ2A+σ2B-2ρABσAσB-该点即为最小值点,和前面采用一元函数求出的结果完全相同。该实例学生之前已经熟悉,现在引入可以迅速理解并可以同时回顾之前学习的知识,起到承上启下的作用。通过多元函数的求极值的方法再一次解决了它,掌握了针对同一个问题采用不同知识进行处理的思路,学会多角度思考问题的方式,进一步增强他们应用知识的能力。

五、结语

大学数学基础课程是不同专业学习的重要基础,其教学效果和学生的学习成果对学生的后续成长有着重要的作用,因此,如何不断改革高等数学、线性代数和概率论与数理统计等课程的教学方式和教学手段是每位任课教师都在积极思考和探索的课题。本文以独立学院中高等数学课程教学中例题的选择为例,探讨了如何根据学生所学专业来设计对应的应用案例。这些例题与学生的专业课程密切相关,从而能更好地激发他们的学习兴趣和主动性,提高课堂注意力,提升教学效果,并能更好地让学生认识到数学知识对其专业学习的重要性,也增强了他们应用所学数学知识解决实际问题的能力。

作者:冯霜 温永川 李金权 单位:北京师范大学珠海分校应用数学学院

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