初中数学常见数列规律精选(九篇)

第1篇：初中数学常见数列规律范文

义务教育课程标准实验教科书苏教版小学数学四年级（上册）第48、49页。

【教材分析】

义务教育课程标准实验教科书苏教版数学教材从四年级（上册）起，每册都安排一个“找规律”的单元，选择一些学生在生活和数学学习中经常接触到的生活现象，让学生发现规律并利用规律解决简单的实际问题，激发学生学习数学的兴趣，初步培养学生探索规律的意识和能力。

本单元教学间隔现象的规律。间隔现象在生活中普遍存在，几乎每一个学生都在生活中接触过间隔现象。间隔现象的要素较少，规律也比较浅显，适合初步接触“找规律”的四年级学生进行探究。全单元共编排了两道例题、两个“试一试”、两个“想想做做”，主要划分成两个课时：第一课时是体会间隔现象，发现它的规律；第二课时是应用规律解决简单的实际问题。

【教学目标】

（1）使学生经历探索规律的过程，初步体会和认识一一间隔排列的两种事物数量之间的规律，建立“两个物体一一间隔排列时，在两端相同的情况下两端的物体比中间的物体多1个；在两端不同的情况下，两种物体一样多”这一数学规律模型，初步学会利用发现的规律解决一些简单的实际问题。

（2）使学生在经历对间隔排列的两种物体个数之间关系的探索过程中，通过主题图体验寻找规律、学具操作规律、练习拓展规律等有效活动，学会观察、分析、思考，逐步积累感性认识，感悟其中的规律，初步发展学生的分析、比较、综合、归纳等思维能力。

（3）通过场景再现规律以及对类似现象中简单数学规律的寻觅与发现，培养学生用数学观点分析生活现象的意识，感受数学与生活的联系，感悟数学的价值，产生对数学的好奇心。通过成功的探究体验，使学生享受到成功的喜悦，强化学生的合作意识，增强学生数学学习的信心。

【教学重点】

学生经历间隔排列规律的探索过程，有“找”的深刻体验，在寻找与思考中建立“两种物体间隔排列时，两端的物体比中间的物体多1，中间的物体比两端的物体少1”这一规律的数学模型，并有效沟通数学模型与生活现象、数学问题之间的联系。

【教学难点】

发现规律，建立相应的数学化模型，利用规律解释生活中的现象，解决生活中的问题。

【教学准备】

多媒体课件、小棒、圆片等学具。

【教学过程】

一、谜语引入，亲近生活规律

师：同学们，你们喜欢猜谜语吗？童老师这里有一个谜语，看谁能猜中答案。两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算又会画，天天干活不说话。

（指名学生猜一猜）

师：谜底就是我们的小手，我们的这双手可重要啦，它能帮助我们学到各种各样的知识。在今天的课上，认真学习的同学还能发现我们的小手里藏着的数学知识，想不想知道究竟是什么知识？那让我们的手和脑一起动起来吧！

设计意图：教师是课堂心理环境的直接创设者，教师“导”入的语言、方法直接影响学生的学习兴趣及其探索知识的欲望。谜语的精彩导入，吸引学生的注意力，同时创设了问题情境，调动学生的积极性。

二、情境探索，建立规律模型

1.寻找规律原型

师：我们一起到兔子乐园去看一看！出示例题里的场景图。

师：从图中你看到了什么？。

师：这幅图中有这样三组排列，每组中的两种物体是怎样排列的呢？

（学生回答）

师：像这样两种物体一个隔着一个交替出现的排列方式叫一一间隔排列。(板书：一一间隔排列)图上有哪些物体是一一间隔排列的呢？

（指名回答）

师：在这些一一间隔排列的三组物体中，哪些物体可以分到同一类中去，为什么？

（学生同桌讨论，指名回答）

师：夹子、兔子和木桩是一类，它们分别排在每一组的开始和最后，我们把它看做“两端的物体”。手帕、蘑菇和篱笆是一类，它们分别排在中间，我们把它看做“中间的物体”。

2.整合规律原型

师：这些一一间隔排列的物体看起来显得非常有秩序，给人一种“美”的享受。每一组一一间隔的排列都蕴涵着规律，下面我们就一起来找找规律。先请同学们完成下面的表格，思考每组排列中两种物体的数量有什么关系，为什么会出现这种情况？

（学生填表，思考，全班交流）

师：看了这些数字，你有什么发现了吗？

（指名回答）

学生可以发现：夹子比手帕多一个，兔子比蘑菇多一个，木桩比篱笆多一个。

师：为什么会多一个呢？谁能解释？

学生合作探究，可能有以下几种说法：因为从第一个夹子开始每个夹子后面都有对应的一块手帕，可是最后一个夹子的后面没有放手帕，所以夹子多一个；如果把一个夹子和一块手帕看成是一组，每组里夹子和手帕各有一个，那么这里共有完整的9组，第10组只放了一个夹子，没有手帕，所以夹子比手帕多一个；如果从第一个物体开始数起，夹子对应的数是单数，手帕对应的数是双数，一单一双一一对应排下去，最后的夹子没有对应的双数，所以夹子比手帕多一个……

师：如果去掉最后的那个夹子，那这一列的最后是什么，这时夹子和手帕比怎么样?如果去掉最后的那个兔子，那这一列的最后是什么，这时兔子和蘑菇比怎么样?如果去掉最后的那个木桩，那这一列的最后是什么，这时木桩和篱笆比怎么样?

师：为什么这时它们的个数又相等了呢？

学生回答：因为这时的夹子和手帕就一一对应上，没有单个出现的。

3.构想规律模型

师：我们刚才实际上研究的一一间隔的两种类型，你知道这两种类型有什么相同之处吗？两种类型有什么不同之处呢？

引导学生说出，相同之处都是两个物体交替出现的。不同之处是第一种出现在开头的那个物体结尾也出现了，所以两端物体比中间的物体多1；第二种开头和结尾的物体不同，交替出现的两个物体全对应上了，所以两种物体一样多。

师：我们可以把这两种类型简化成一一间隔排列中的“头尾相同”和“头尾不同”两种类型，谁现在能简洁地说说你得出的结论。

（指多名学生说一说）

4.沟通规律模型

师：下列每组中的图形是一一间隔排列吗？它们分别是哪种类型的一一间隔呢？它们的数量有什么关系？

（课件一一出示）

师：同学们真得太棒了，通过观察兔子乐园中一一间隔排列的事物，发现了“两种物体一一间隔排列，在头尾相同时，两端的物体比中间的物体多1个；在头尾不同时，两种物体的数量相等。”这样的规律。下面我们自己动手创造一些一一间隔排列的图形，再次检验检验这个规律灵不灵？好吗？

课件出示要求：任意拿小棒和圆片在桌上摆成一一间隔的排列，数数小棒的根数与圆片的个数，你发现了什么？你能用我们今天学到的规律验证这种情况吗？

学生回答。

师（相机提问）：谁能知道，我们这里的小棒相当于小兔乐园中的哪些物体?圆片呢？

老师注意让各种不同摆法的学生都有发言的机会：两端物体相同和两端物体不同的情况，小棒出现在开头和圆片出现在开头的情况。

5.复归规律模型

师：如果我们把刚才用来验证的小棒和圆片换成是一些漂亮的物品，那我们就可以美化生活了。

多媒体展示：老师边介绍边带学生逐个欣赏白色和黑色环形连起来的手链、黄白相间的斑马线、一一间隔排列的松树和冬青、桌子和凳子整齐排列的教室、白天和黑夜的循环往复。

师：生活中你见过这种一一间隔排列的现象吗？

（学生回答）

设计意图：在本课中，只要两种物体满足间隔排列的条件，物体数量之间的规律不会因为排列物体的外部因素――形状、颜色、大小等而改变，所以当学生从具体事物中初步找到规律后，还必须将规律进一步抽象化，如用字母、符号、图形等来代替具体的事物，使规律更具广泛性。体验既是教学活动的目标，也是学生学习数学的重要活动方式之一。[1]华盛顿儿童博物馆的墙上有句格言：“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做了就理解了。”因此在学生“找”到规律后，教师对教材的“试一试”进行了深度开发，让他们动手去摆一摆，让学生一一间隔地自由摆小棒和圆片，找出小棒和圆片数量的关系，验证规律的正确性，进而感悟和理解规律，并对不同现象中的规律进行沟通，帮助学生体会相应的数学模型。当学生初步得出规律后，教师的质疑：“谁能知道，我们这里的小棒相当于小兔乐园中的哪些物体?圆片呢？”使得学生的思维进入螺旋上升的通道，可以用小棒和圆片代表更多的像这样排列的其他物体，规律得以抽象化，学生也经历了从感性认识上升到理性认识的过程，认识了规律的必然性。对小学生而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。让学生到生活中寻找有这样规律的其他事例，有意识地关注过去没有注意的现象。几乎每个学生都见过生活中的间隔现象，在没有研究过间隔现象时学生没注意到这一点。现在认识了间隔现象，回忆、寻找曾经见过的间隔现象的事例，是数学意识的一种表现，是数学教学所期望和应该培养的，同时可以进一步加深对间隔现象规律的体会。找到了一些具体事例，说说各个事例的间隔规律，学生的感性材料就更充实了，对规律的理性认识必定更清楚、更牢固。本环节能从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释、验证与回归的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到深入发展。

三、巩固练习，运用规律模型

师：通过验证，我们发现这样的规律是正确的。既然是正确的、科学的规律，我们就需要掌握它，应用它，看谁能运用学到的知识解决下面的问题？

1．利用图形，熟悉模型

师：下面我们一起做几道练习，从而进一步掌握这样的规律。

出示：

√×√×……√×√×√ ①②①②……①②①②

以上各组中两种符号一一间隔排列，请比较出哪一种多？多几个？

师：有的排列中还有好多都没画出来，你是怎么知道的呢？

（指名回答）

2.实际运用，内化模型

出示练习题，学生解答，全班交流。

（1）25根电线杆，每两根中间夹着一块广告牌，共要（ ）块广告牌。

师：为什么不是26块呢？（因为电线杆在两端，广告牌在中间）

（2）一根木头锯3次，可以锯成几段？为什么？（段数比锯的次数多1）要锯成6段，要锯几次？（出示）把一根木头锯成3段要4分钟，锯成6段要几分钟？你是怎么想的？（10分钟）

师：这里的每段木头可以看成什么？锯的次数可以看成什么？

（指名回答）

3．借助游戏，拓展模型

师：下面我们来做个小游戏，请几位男同学和几位女同学到讲台前演示一下一一间隔排列。男生人数由童老师定，女生人数大家来定。不过一定要用今天我们认识的规律来描述一下这个排列，看谁是今天的游戏高手！

男生5人，女生自定，你能怎么排？

（学生讨论，交流，画图）

结论：

（1）男生排两端，需要4名女生，头尾相同，两端物体比中间物体多1。

（2）男生排一端（开头），需要5名女生，头尾不同时，两种物体的数量相等。

（3）男生排中间，女生排两端，需要6名女生，头尾相同，两端物体比中间物体多1。

（4）男生排中间，女生排一端（开头），需要5名女生，头尾不同时，两种物体的数量相等。

师：如果现在请这几位同学男女间隔围讲台一周，上述的四种情况有没有问题？

学生讨论，交流：上述的（1）（3）不能围，只有头尾不同的物体才可以按一一间隔的规律围成一周，头尾相同的物体在围的时候就会出现连续两个相同物体在一起的情况。换句话说，如果两种物体间隔围成一周，它们的个数肯定相等，这种情况类似两端物体不同的一一间隔弯曲形成圆形。

（多媒体演示动态过程。）

师：也就是说，如果两种物体一一间隔围成圆形，两种物体数量相等。如果围成的是个椭圆形呢？长方形呢？六边形呢？

结论：封闭图形中一一间隔排列的两种物体数量一样多。

（1）河堤的一边栽了75棵桃树。每棵桃树两边都栽了一棵柳树，可栽柳树多少棵？为什么？

（2）在圆形池塘的一周栽了75棵柳树。每两棵柳树中间栽了一棵桃树，可栽桃树多少棵？为什么？

学生独立解答，反馈。

设计意图：实践运用也是探究性学习的重要环节，数学知识的学习和掌握，都要归结到实践运用中去，最后都要让学生得以可持续发展。那在课堂中怎样巩固、拓展与发展学生的创新思维能力呢？教材内容是静止的，呈现内容的方式是单一的、静态的。本环节教师认真钻研和活化教材，把蕴涵在教材中的那些可以让学生开展探究学习的资源挖掘出来，精心设计探究活动，让学生进入一个自主发现的学习活动平台。通过排队游戏探究封闭图形中的间隔规律，加深对两种物体一一间隔排列的系统认识，颠覆了学生认为某种物体只能做两端物体或只能做中间物体的定势，接着提出围成一圈的要求，有意识地设置障碍，制造冲突，推进学生的思维，拓展认识“两种物件一一间隔排列围成封闭图形，两种物件的数量相等”这一“封闭式一一间隔排列”的拓展性问题，前后呼应，趣味性强。这里步步深入的练习对规律的应用有利于学生对知识的掌握与培养思维的广度和深度。

四、首尾呼应，回归规律模型

师：同学们，学了一一间隔的规律，你能联想到哪些知识？

学生可能想到植树问题，除数为2的余数问题等。

师：现在再伸出你的小手，你看到了什么？想到了什么？

（学生回答）

设计意图：最后把知识从本节课堂延伸到其他的数学课，实现数学知识间的有效沟通，并再次体会新知的价值。谜语的再次回顾，既呼应了本课开头，又使规律运用得到再次泛化。

【总体思考】

上述教学通过对“两个物体一一间隔有什么规律？”的研究，通过三次重要探究把整节课串联起来，虽然每一次探究的层次和目标不一样，但都是为本课的建模服务的。第一次是针对具体的图片情境进行探究，让学生感知更多类似的排列现象：9块手帕、10个夹子，7个蘑菇、8只兔子，12片篱笆、13根木桩，并引导学生数数物体的数量，思考每组两种物体是怎样排列的，它们的数量之间有什么关系。通过对多组同类素材的观察、比较，显然比只观察一组素材更容易发现其中隐蔽的规律。第二次是摆学具进一步探究“一一间隔的规律”，同时，又让学生很好地经历更高层次“数学化”的过程，建立“一一间隔的规律”的数学模型。第三次是排队游戏的探究，帮助学生实现完整的“模型”建构，实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”。不论是三次探究，还是其他的教学环节，其核心都是通过探究的“琢磨”过程让学生从“建模”和“模型”的角度来感受数学，亲近数学，了解数学。回望探究之旅，学生对数学的认识更加深入了，由此而产生的“魔力”，将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活。

参考文献：

第2篇：初中数学常见数列规律范文

【关键词】规律学习；鸡兔同笼；调整替换

中图分类号：G623.56 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）18-0092-03

“鸡兔同笼问题”是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题，其解法之多、思想之广、变式之灵活是众所皆知的。正因为如此，这节课的教学方式丰富多彩，在名师展示的舞台上更演绎出多种方法，有的侧重于画图，认为这是最直观、最容易理解的方法；有的侧重于列表，认为学生有列表的经验；有的侧重于假设，认为假设法书写简洁方便。如今，该内容已经出现在新版四年级数学教材中，而且将方程的解法置之度外，其难度可想而知。那么，这节课如何教学呢？

笔者认为，“鸡兔同笼问题”看似是3种不同的方法，但其本质都是“调整替换”。追寻本源发现，“鸡兔同笼问题”中随着鸡的数量逐一增加，鸡和兔脚的总数按2只递减。正是由于这一基本变化规律，很容易得出结论：如果脚减少2只，应该将1只兔换成1只鸡。反之，脚增加2只，应该将1只鸡换成1只兔。在小学数学中，探索规律是让学生在给定的事物中发现、探求隐含的规律或变化趋势，而“鸡兔同笼问题”就是要通过画图、列表、算式等方法，让学生经历“初步感知规律、发现形成规律、应用规律”这样的过程，因而本节课的教学实质是规律教学，应该纳入规律教学的范畴，需要走规律教学的路径，其3种方法的教学缺一不可。

一、画图法――初步感知规律

规律是指事物之间的内在本质联系，是客观存在的，不以人们的意志为转移。找规律重在“找”，学生通过自主探索、动手操作来感知内在联系。教学“鸡兔同笼问题”时，可用画图法来“找”规律、感知规律，这是规律教学的着力点。教学前，笔者先进行前测。前测题如下：

1. 鸡兔同笼，从上面看共有3个头，从下面看共有16条腿，鸡、兔有几只？

2. 鸡兔同笼，从上面看共有8个头，从下面看共有26条腿，鸡、兔各有几只？

据统计，一共收到52份前测卷，用画图解决的有35人，列算式的3人，列表的1人。第一题做对36人，第二题做对28人。显然，画图是学生最喜欢用的方法，正因为学生有这样的经验，为“鸡兔同笼”的规律教学奠定了基础。虽然学生呈现的静态图一样（见图1），但在画的过程中想法是不一样的。笔者访谈了几位学生，发现学生的方法不一：有的毫无计划性，鸡画几只，兔画几只，最后调整；有的对半分开画，先画鸡兔各半，再调整；还有的先全部画鸡，多出来的腿按2条一组添上去变成兔。虽然学生画的方法不一样，但他们都经历了“调整替换”的过程。画图是最直观的解题方法，旨在通过画图中的有序思考发现、形成规律，并嫁接起列表法、假设法，教师必须放慢脚步，让学生都来讲讲自己的画法，在聆听别人有序思考的基础上初步感知规律，提升思维品质。

【教学片断】

师：画出来的结果都是这样的，可画的过程不一样。

（画法1：全是鸡，一生画并讲解。）

师：再加2条腿，这只鸡发生了什么变化？

（画法2：全部是兔，或者是4只鸡、1只兔）让学生选择一种喜欢的画法，与同桌交流。

师：其实，还有很多画法，有的学生直接画成2只鸡、3只兔，或者3只鸡、2只兔，腿数不对再调整。像这样的画法就是先假设再调整，有的学生一次性替换，也有的逐只替换。

通过对前测中学生不同画法的交流，可以发现学生对“鸡兔同笼问题”的内在规律已经有了初步感知，替换一次多（少）2条腿。教师不能只教会学生一道题的解题思路和方法，而是要通过一道题类推到一类题，做到举一反三、触类旁通，帮助学生建立“鸡兔同笼问题”的模型。例如，学生熟悉的摩托车和小汽车问题、龟鹤问题等，都与鸡兔问题模型完全一致，能够使学生很好地建立起联系。此外，让学生通过画图感知“相差数都是2”，所以，调整替换的时候是2条腿。当变式“相差数是1”时，学生理解就有困难。笔者特意在解决摩托车和小汽车问题后设置三轮车和小汽车的问题，让学生先画一画，充分感知“相差数是1”的规律，画图能让学生非常直观地感知到“调整替换”的就是两个量的差，它是根据情境变化而变化的。

学生已经有了画图找规律的经验，而“鸡兔同笼问题”中头数与腿数的变化规律隐含在替换过程中，学生通过画图才能直观感知内在规律。所以，通过画图，可以帮助学生感知“鸡兔同笼问题”用相差数替换的规律、发现形成规律、发展形象思维能力。

二、列表法――发现形成规律

列表能清晰地表示两个量之间的数量关系，在变与不变中发现规律。从直观的画图到半抽象的列表，有利于学生发现、形成规律。通过画图，学生对“鸡兔同笼问题”的规律已经有了初步感知，但此时的感知是粗浅的、零散的，需要整理、对比、分析，才便于学生发现形成规律。

表格中的数据相对抽象，学生理解有一定难度，尤其是不明白每个数据表示的意思，见表1。相互交流时，很多学生一脸茫然，不知所云。于是，笔者拿出鸡和兔的若干图片，让学生用调整替换的思想来摆一摆、说一说，在操作中感知替换的过程。

表1

【教学片断】

师：大家能理解这个方法吗，第一列是什么意思呢？老师今天特意把兔和鸡都请来了，看看它们怎么变化。

生：把它们全部想成鸡，5个头，每只鸡2条腿，一共10条腿。

师：想一想，这时腿发生了怎样的变化？

生：……

师：是啊，其实就是用兔子换了这只鸡，每换1只鸡，多了……

生：2条腿。

师：这个时候，鸡其实就是变成了……

生：兔。

师：一直到换到16条腿，为什么不再换下去了？

生：……

就这么简单的摆一摆、换一换，将表中每个数据的含义诠释得一清二楚，尤其是让学生发现了邻近两列数之间的变化规律：每换1只兔子就多了2条腿，真正理解了“2”表示的意义，它并非是鸡的2条腿，而是1只鸡和1只兔腿的差。这个替换的过程在画图时学生有了初步感知，但还有部分学生一知半解。因为画的时候学生只关注腿的数量，而忽视了头的变化。所以，将静态的数据用动态的操作去支撑，更有利于对规律的理解，更有利于模型的建立，有利于学生逐步发现规律。除了理解表格中每个数据的含义，以及邻近两列数字的变化规律还不够，学生只理解了逐只调整替换的过程，无法与一次性替换的画法有效嫁接。所以，应在学生基本理解列表法的基础上完成表格，并对表格进行再度挖掘，引导学生发现规律。

【教学片断】

师：你能从表2中看到第一个同学的画法吗？

生：先全部画鸡，一共10条腿，发现还多6条腿……多了6条腿，要把3只鸡替换成兔。因为每换1只多2条腿。

师：谁上来指一指，他讲的是哪两列数之间的关系？能从表2中看到其他画法吗？

生：……

表2

在这节课中，列表法并不是孤立的，它是在学生通过画图初步感知规律的基础上发现形成规律的过程，这是必不可少的方法。1张表格由于观察角度不同，学生看到的调整替换过程也不同，应引导学生与画法相联系来分析表格中的数据，看懂每一种画法，为弄清抽象规律、应用规律奠定基础。在教学中，不仅要让列表法与画图法相联系，便于学生更好地理解列表法，还要让列表法与假设法相联系，为学生学习假设法打好基础，成为发展学生思维能力的载体。

三、假设法――应用规律

学生对数学规律的学习，除了感知规律、发现形成规律外，更重要的是能运用规律解决一些实际问题。当“鸡兔同笼问题”涉及的数据越来越大、越来越复杂的时候，学生越来越感觉到画图法和列表法的繁杂，同时，他们对其中的规律已经明晰，这时假设法便应运而生。运用假设法解决“鸡兔同笼”问题，学生不难总结出如下规律：鸡的只数=（头的总个数×4-脚的总只数）÷（4-2），兔的只数=（脚的总只数-头的总个数×2）÷（4-2）。运用这个数学模型，可以快速解决类似问题。数学建模是解决实际问题的一种思考方法，数学教师有责任让学生学习和初步掌握数学建模的思想方法，从而更积极、主动地学习数学，使学生终身受益。

【教学片断】

师：大家看，摩托车和小汽车其实与“鸡兔同笼问题”类似。停车场有摩托车和小汽车共35辆车，（ ）个轮胎，摩托车和小汽车各有几辆？轮胎数据就在下面3个数据之中：A. 56；B. 160；C. 94，你会选哪个？

生：A太少，如果全是摩托车，就有70个轮胎；B太多，如果全是汽车，最多140个轮胎。

师：也就是说，这个轮胎的数量比70多，比140少，于是选C。你们想到了刚才那道题目吗？笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？它们有什么相同之处？

教师呈现算式，学生写单位名称。

第3篇：初中数学常见数列规律范文

一、情境及其规律

为了理解这里所说“规律”的含义，先来分析“课标（2011年版）”中给出的例题。针对“探索规律”这一课程内容，“课标（2011年版）”中一共出现了4道例题，其中第一学段共有两道，分别是“课标（2011年版）”中的例9和例10。

例9：在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。

1，1，2；1，1，2；_____，_____ ，_____。

A，A，B；A，A，B；_____，_____ ，_____。

，，；，，；_____，_____ ，_____。

例10：在图1中，描出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别描出相加等于6、9的格子，你能发现什么规律？

图1 课标例10图

例9所给出情境的特点是多个对象（数字、字母、图形）有序排列，并且按照确定的个数3重复出现，构成循环，学生发现这样的规律后就可以预见后面相应位置的情况了。例10的特点是给相加为10的格子涂色后，恰好构成了自左上到右下的“对角线”图案（图1中字母A处）。“课标（2011年版）”第二学段课程内容中关于“探索规律”的两道例题分别是例30和例31。

例30：联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？

例31：一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数共60条，那么有几个椅子和几个凳子？

例30所描述情境的特点与前面例9是类似的，仍然是多个对象有序排列，并且按照固定个数重复出现，体现的是循环的规律。例31从表面看不具备前面例题中“有序排列”和“图案”的特征，但可以用下面的图2将问题情境改造为“有序排列”的表述方式：

图2 例31情境改造图

图2第一行表示椅子个数依次递增的有序排列，第二行表示凳子个数依次递减的有序排列，第三行则显示总腿数“每个数比前一个数多1”的排列规律。

综上4道例题可以发现，这里所说的规律指的是运动或变化过程中的不变因素，这样的不变因素将不同对象或同一对象的不同运动状态联系起来，进而使得这种运动或变化状态和趋势可以把握。简单地说，所谓规律就是“变中的不变”，比如前面的例31的图2中，随着椅子和凳子个数的不断变化，总腿数从48开始也在不断变化，在这个变化过程中，对应的椅子个数和凳子个数的和（16）是确定不变的，进而导致总腿数每次增加1也是不变的，正是这样的规律使得椅子个数、凳子个数以及总腿数之间建立了联系，进而使得对这些变化状态和趋势可以把握了。

与这一含义较为接近的英文单词应该是“Pattern”，这一单词在英汉词典中通常译为“模式”。《麦克米伦高阶英语词典》针对“Pattern”的第一条释义为：“一系列行为或事件，共同展示了事物是如何规范地发生与发展的。”与这里所说的“规律”的含义基本一致。因此，所谓探索规律的一个重要内容就是在运动与变化过程中寻找不变因素，在国外许多教科书中把这样的内容叫作“发现规律（Finding Pattern）”，就是我们通常所说的“找规律”。

二、怎样发现规律

“发现”作为人类的认识活动，要基于客观存在和主观意愿的共同作用。这种主观意愿主要包括两方面，第一是相信规律的存在，第二是有把握事物及其变化的意愿或动机。在此基础上，通过对个别、具体对象及其关系的观察和比较，找到能够制约这些对象及其关系的确定性因素，进而通过归纳和解释确定具有普遍性的规律，之后根据情况对这样的规律进行推广和应用。

如果把“发现规律”看作是学生的学习活动，那么这样的学习活动一般来说起码应当包括六个环节。一是建立“目标和动机”，这一环节的目的是让学习者明确“我想要做什么”或者“我需要做什么”，为后面的活动明确目标，形成动机；二是明确“情境与对象”，这个环节具有承上启下的作用，一方面可以帮助学生回忆已有的相关知识和经验，另一方面建立后面活动的观察对象；三是针对相关情境或研究对象的“观察与比较”，这是发现规律的核心环节，不仅需要观察对象本身，更需要把注意力放在对象之间的关系方面；四是对初步结论的“归纳与解释”，通过观察与比较，可能会得到一些相对零散的结论或者猜想，这时就需要找到它们的共性，归纳出具有一定普遍性的结论或者猜想，而后对这样的结论或者猜想的正确性进行解释和验证；五是对所得结论的“推广或应用”，任何一个规律往往会孕育着更具普遍性的规律，同时，发现了规律往往意味着很多相关问题可以得到解释，因此这个环节目的在于培养学生推广与应用的意识；六是对发现过程和结论的“反思和总结”，发现规律的过程中会生成很多想法，把这些想法及时总结并固化为文字，这样的过程可以培养学生及时反思和总结的习惯，同时逐步培养学生用语言表达自己想法的能力。下面用一个实际例子说明这样的过程。

20世纪末期曾经出现了一个世界范围的困惑与争论：即将来临的21世纪的第一年应当是2000年，还是2001年？[1]要想回答这个问题，自然应当把公元纪年的规律搞清楚。首先需要明确两个前提。第一，公元纪年起始年为公元1年或元年，也就是没有公元0年；第二，一个世纪规定为100年。为了便于观察和比较，可以把从公元元年开始的纪年方式有序地排列出来：

图3 公元纪年图示

观察图3，纵向看公元1世纪最后一年是公元100年，公元2世纪最后一年是公元200年，依此类推可以得到初步结论：“公元几世纪最后一年的年数是n×100”。据此就可以初步得到结论，21世纪最后一年是2100年，因此倒推100年得到21世纪第一年是2001年。

横向看相邻两个世纪对应年数相差100，比如公元3世纪第一年201年比公元2世纪第一年101年多100。由此推断出21世纪第一年应当比1多20个100，因此21世纪第一年应当是2001年。也可以先求出20世纪最后一年是2000年，进而得到21世纪第一年是2001年。这样就进一步验证了结论的正确。运用同样的规律可以知道公元22世纪的第一年是2101年，等等。如果把以上内容设计成一节课的教学方案（简称“教案”），则可以用如下表格的方式呈现。

实际上课过程中，可以将表中的“学习活动”和“学习内容”单独打印成“学习活动记录单”，印发给学生人手一份。学生可以自己阅读学习任务和活动。以上活动的核心环节是“观察”，观察的重点特别要关注对象之间的关系，这种关系往往体现为“变化过程中的不变因素”。这样的学习活动设计应当说突出了规律的本质。除此之外，学习活动的设计中还应当重视渗透文化和关联思考[2]。比如表中关于牛顿生卒时间问题以及直尺刻度问题的设计，都是出于这种考虑。

三、广义的规律

广义的规律指的是事物之间必然的联系，这样的联系大致有两种类型。一种是前面所说的“运动与变化过程中的不变因素”，需要通过观察和比较去发现，不妨叫作“显性的规律”。还有一种事物之间的联系体现为“原因和结果”或“本质与现象”之间依赖与制约的关系。通过观察与比较往往发现的是“结果”或“现象”这样显性的内容，探索规律还应当包括揭示产生结果的“原因”，或导致现象发生的“本质”。这样的规律可以称之为“隐性的规律”。下面用小学数学课程中“数的整除特征”为例进行说明。

“2，3，5的整除特征”通常是小学五年级的课程内容。其教学过程可以是通过观察和比较一些具体特例，找到“变化中的不变因素”，而后归纳出结论。以“5的整除特征”为例，人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书-数学五年级下册》关于这一内容的安排，是先在1～100的数表中找到5的倍数，然后发现其个位数字都是5或0，因此得到“个位数字为5或0的数是5的倍数”的结论。（见图4）

图4 “5的整除特征”教科书扫描图

这样的设计存在两个问题，第一个问题是从特例中归纳（实际上是“不完全归纳”）出的结论应当是“如果一个数是5的倍数，那么其个位数字是5或0”，而不是其逆命题“如果一个数的个位数字是5或0，那么这个数是5的倍数”。[3]第二个问题是没有引发学生去进一步探索隐性的规律，也就是5的倍数具有这种特征的原因是什么？为什么5和2具有相同的整除特征？

事实上，任何一个正整数都可以写成一个10的倍数与其个位数字之和的形式，比如84可以写成“8×10+4”，2015可以写成“201×10+5”等等。而10是5的倍数，因此这个数是否为5的倍数就由个位数字决定了。同样道理，10同时也是2的倍数，所以2和5的整除特征是一样的。这样的内容还能为学习中学数学和物理中的“科学记数法”作铺垫，所谓“科学记数法”就是把一个多位数，比如n+1位数“”可以写成如下的形式：。[4]

基于以上分析，为了引导学生用“探索规律”的过程学习“数的整除特征”这一内容，可以将2和5的整除特征放在一起同时学习，为此可以设计如下的教学方案。（见表2）

这个教学设计与前面“发现规律”的设计框架是一样的，其中对隐性规律的探索体现于“归纳与解释”这个环节中了。

“课标（2011年版）”以及教科书是将“探索规律”与诸如数的认识、数的运算以及常见的量并列为课程内容，这可能是想突出这一内容的重要性。事实上，应当把探索规律看作人的认识活动以及学生的学习活动，应当贯穿于整个数学学习的过程中。

注释与参考文献：

[1]裘明. 21世纪第一年为何年[J]. 科技术语研究，1999（1）.

[2]郜舒竹. “变教为学”从哪儿做起[J]. 教学月刊小学版（数学），2013（9）.

第4篇：初中数学常见数列规律范文

从整套的编排来说，一年级下册的“找规律”单元是《标准（2011）》中正式规定的数学内容，不属于“数学广角”的内容，但是教师仍然可以给学生渗透符号化思想和数形结合的初步思想。纵观小学阶级的“数学广角”的数学思想，我认为数学思想应从低年级_始就要渗透比较系统地数学思想：如“数形思想”类比迁移数学思想，特别是要让学生从“数学广角”中学会类比迁移的思想方法。课改要求教知识，更要注重学生学习方法及数学思想的应用，学生如果从低年级就开始把数学思想应用到自己学数学中去，教师就会寓教于乐，学生也会越学越有兴趣。

在教学一年级“找规律”这一单元时，为了让学生感受规律在生活中的广泛应用，初步培养学生欣赏数学规律美的意识，我把图形和数字来表示一个模式，则有助于学生认识规律中关系的多样化，并在“数”和“形”之间建立起联系（如例2、例3）。

在教学中，我利用直观图，让学生观察、猜测，试着把“数”与“形”的思想建立起来，后面的图（四）就是老师利用迁移思想放手让学生自己把图接着画出来的。这类教学是我特意为六年级上册学习“数学广角”垫定一定的基础，这节课，我不要求每个学生能用这种思想方法，只要有部分学生能把数形思想应用上就是比较成功的课了。低年级的学生认识水平有限，语言形成也有一定的障碍，学生不一定能准确地说出来规律，但他们会据直观图把下一个规律图画出来。对于这类能把规律继续下去的学生就是对数学有兴趣的学生，他们的思维能力比一般的学生要强，他们在课堂上喜欢“动口”“动手”“动脑”，针对这部分学生，在教学时，我就会把握时机放手让学生自己去找规律，学生有所成绩，老师也觉得教得轻松。

在二年级上册第八单元设置“数学广角”中，排列与组合的思想方法在现实生活中应用的很广泛，同时也是学生常见的生活问题。如搭配服装。二年级小学生虽说还不知“搭配”是什么意思？但他们在生活中穿衣服都有自己的一套方法；我所教的学生虽是农村的，但他们在家里喜欢看电视、上网，从娱乐节目中了解到一件衣服穿着可以有很多种穿法，如果再与其它衣服在一起，穿着的方法就更多。在上这节课时，我提前让其中的3个爱好穿着的孩子把自己喜欢穿的衣服穿来，让他们把衣服相互换着穿，来一场“搭配师活动评选”。先让两名学生上台，其余学生观察，猜测看看他们两个学生一共有多少种穿法。通过实际操作，学生们都轻松得出：两件上衣、两件下衣，一共有四种穿法。老师在黑板上再板书出来，学生既直观又形象生动地把这组数据排列组合起来了。如图：

抓住学生对这类知识的掌握，老师再利用小学生对数学学习兴趣的爱好，紧接着用类比思想迁移到三件上衣和三件下衣，放手让学生去感受排列与组合的思想方法，从而让学生体验到有序全面思考的方法的重要性，进而利于教师落实教学目标。老师又放手让学生用数字来搭配，如：3、5、8；3、5、0，通过学生交流，都能顺利组成两位数。在教学这单元内容后，从活动课中老师为了让学生发现更多数目的事物排列或组合数，让培优的学生再做四件上衣、四件下衣的排列组合。这个知识点也是为三年级学习搭配（二）作铺路石，这种学习方法也是数学“类比”“迁移知识”的活学活用。

第5篇：初中数学常见数列规律范文

关键词： 农村初中 主副科教师 均衡度

推进义务教育均衡发展，办学条件均衡是基础，师资均衡是关键。国外学者对教育均衡发展研究比较早，主要集中在经费投入、师资、法规、学科等方面。国内学者对九年义务教育均衡发展的研究是近年来的热点，集中在区域、城乡、群体发展不均衡，义务教育均衡度、均衡发展指数模型构建等方面。我国农村初中师资和学科发展存在着巨大的不均衡，但鲜有农村初中主副科教师均衡度方面研究尤其是实证研究方面的报道。本文引入均衡度概念，以农村初中为实证研究对象，以主副科教师为分析点，分析影响农村初中主副科教师均衡度的因素，以及农村初中主副科教师均衡度状况，以发现其中的一些现象及规律，对农村初中合理配置高素质的各科教师，全面提高教育教学质量，促进广大学生德智体美全面发展具有十分重要的意义，并为后续的研究如建立科学的教师评估体系奠定基础，因此具有一定的创新及现实指导意义。

1.调查设计

1.1分析农村初中主副科教师均衡度的影响因素。

参照江西省义务教育阶段初级中学对教师考核和评价内容及相关学者在这方面的研究结果，根据江西省农村中学的实际情况，通过对一些学校领导、管理人员及任课老师的访谈，把影响江西省义务教育初中阶段主副科教师均衡度的因素归为四方面，分别为：道德纪律与法律意识、教学管理科研能力、工作成效和评价体系。道德纪律与法律意识由4个二级指标组成，包括师德水平、法制意识、教师纪律、课堂被占。教学管理科研能力由10个二级指标组成，包括备课情况、课堂纪律管理、语言表达能力、教学方法、板书、作业布置批改、教学手段、班级工作管理、教学改革及教学论文。工作成效主要是从学生的考试成绩、学生形成正确观念和提高学生能力等方面来进行考察。评价体系是指学校对教师的评奖评优、职称晋升、教师地位等方面。

1.2设计问卷与样本选择。

在文献研究、专家讨论和教师访谈的基础上设计了调查问卷。问卷包含两部分，第一部分，江西省农村初中主副科教师均衡度影响因素表。依据上文提到的影响因素，设计成4个方面、20个封闭式问项，设计成利克特量表，分别由主、副科教师作答，答案有“很满意”、“满意”、“一般”、“不满意”、“很不满意”，赋值从高到低依次为5分、4分、3分、2分、1分。第二部分为学校的基本资料，为学校规模类别、副科中考情况、是否是完中3项。

在江西10地市60所农村初中对教师进行随机抽样调查，共发放问卷720份，收回684份，有效问卷676份，有效回收率98.8%。

1.3分析方法。

运用SAS9.0软件［1］对调查数据进行绩差分析和假设检验分析。

为确保准确性，调查了主、副科教师对均衡度影响因素的评分，通过比较计算出两者的绩差，即将主科教师的得分减去副科教师的得分即为绩差，绩差越小，表明越均衡［1］。

根据教师学校资料数据，研究不同属性的学校对主副科教师均衡度是否有统计学差异，本文提出以下假设：H1：学校规模大小的均衡度存在差异。H2：副科列入中考与否的均衡度存在差异。H3:完中与非完中的均衡度存在差异。

2.数据分析与结果讨论

2.1农村初中主副科教师均衡度绩差分析。

经统计，每个变量在“主科教师”和“副科教师”的平均得分情况见表1与表2，表中二级指标的解释详见上文。将主科教师与副科教师的得分相减，得出绩差结果。绩差越小，表明越均衡。

由表1可知，在教学管理科研能力这一块中，10项二级指标绩差都为正值，副科教师每项得分都相应地低于主科教师得分，总绩差为7.112，平均绩差为0.711，副科教师的各项得分属于一般和不满意。其中，绩差最大的为课堂纪律管理，高达到1.52，均衡度最低，其次是作业布置批改为1.072，班级管理为1.056，备课情况为0.992，均衡度也很低。绩差最小的是教学论文，为0.264，均衡度最高，其他均衡度较高的还有教学改革、教学手段、语言表达能力等，其均衡度较高是主科教师的得分也不高造成的。因此，农村初中副科教师与主科教师在教学管理科研能力上总体存在不均衡，特别在课堂纪律管理、作业布置批改、班级管理、备课这几方面存在很大的不均衡，副科教师需要引起重视，他们在这四个方面有很大的潜力。

由表2可知，道德纪律与法律意识、工作成效和评价体系这三块的平均绩差分别为0.402、0.499、0.821，表明它们的均衡度依次降低，尤其评价体系的均衡度最差。这10个指标中按绩差由高到低排列，分别为教师地位1.136、课堂被占0.904、职称晋升0.688、评奖评优0.64、考试成绩0.6、观念形成0.504、师德水平0.432、能力提高0.392、教师纪律0.28、法制意识0.016。由此可见，均衡度最差的为教师地位，其次为课堂被占，教师纪律、法制意识均衡度较高。总体上看，副科教师得分为一般和不满意。这表明副科教师地位低是非常普遍的现象，副科课堂教学被主科占据，或被临时会议、劳动、打扫卫生所占用。副科教师地位低与副科课堂教学被占，这两者之间是互为因果关系的，因此这两项需要重视并作改进。

2.2农村初中主副科教师均衡度假设检验与分析。

运用SAS9.0，对上述20个变量中的绩差数据作t检验，对不符合t检验的变量，筛选出来重新进行非参数检验。分析学校规模类别、副科列入中考类别，以及完中农村初中学校的副科教师的均衡度是否有差异。

H1检验。农村初中大学校和小学校的主副科教师均衡度在课堂被占（P=0.0254）、教学手段（P=0.0356）、能力提高（P=0.0330）、教师地位（P=0.0261）四方面呈显著性差异，大学校的均衡度均显著高于小学校。在其他指标中，大学校的均衡度均比小学校高，但均不存在显著性差异（P＞0.05），因此，H1部分成立。

H2检验。副科列入中考与副科不列入中考学校的主副科教师均衡度有12个指标存在显著或极显著差异，分别是教师纪律（P=0.0254）、课堂被占（P=0.0415）、备课情况（P=0.0093）、课堂纪律管理（P=0.0163）、板书（P=0.0007）、作业布置批改（P=0.0005）、教学手段（P=0.0017）、考试成绩（P=0.0062）、能力提高（P=0.0489）、评奖评优（P=0.0146）、职称晋升（P=0.0084）、教师地位（P=0.0207）。在这些指标中副科列入中考学校的均衡度均显著或极显著高于不列入中考的。在其他指标中，副科列入中考学校的均衡度均比副科不列入中考的要高，但均不存在显著性差异（P＞0.05），因此，可以认定H2成立。

H3检验。完中与非完中的农村初中学校的主副科教师在课堂被占（P=0.0182）、教学手段（P=0.0008）、教学改革（P=0.0016）、教学论文（P=0.0325）及教师地位（P=0.0139）方面呈显著性差异，完中的均衡度显著高于非完中的。其他指标，完中的均衡度均比非完中的要高，但均不存在显著性差异（P＞0.05），因此，H3部分成立。

3.结论与建议

3.1农村初中主副科教师均衡度在道德纪律与法律意识方面较高，其次为工作成效，在教学管理科研能力、评价体系方面表现一般。

受升学指挥棒的影响，加上有些学校领导不按教育规律办事，认为副科可上可不上，副科课人人能教，对副科教师存在着偏见，副科教师受到不公正的评价，甚至受到主科教师的歧视，导致副科教师队伍结构不合理，专业素质较低，同时，副科教学条件得不到重视，副科教师教育教学科研能力弱。此外由于教师评价因素过于单一，以学生考试成绩为主，副科教师的地位比主科教师低，不少副科教师分房、晋级靠边站，导致一些年轻的副科教师或改行、或调离、或考研、或改教主科。近些年来地理、生物、历史等科目列入了中考考查范围，但所占分数比例低，这些情况并没有得到明显改善。因此，应加强以下几方面：均衡创造充电机会，均衡教师结构，提高副科教师的专业化水平；均衡提高教师地位，均衡教学条件，提高教学科研水平；均衡教师评价体系，促进学生多重发展。

3.2副科列入中考的学校的均衡度要显著高于不列入中考的，规模大的均衡度高于规模小的，完中高于非完中，并不存在显著性差异。

在进行均衡教学条件、均衡师资力量的过程中针对不同的学校类别，应注意区别对待。以上分析发现，副科列入中考的学校的均衡度要显著高于不列入中考的，在提高副科教师的专业化素质、改善教学条件的前提下，学校要尽可能增加副科考试科目，提高副科考试科目的分数比例，促进学生全面发展。学校规模大小之间的均衡度虽仅有几个方面存在差异，但大学校各项指标的均衡度均高于小学校的，这说明小学校这一类别也需要引起有关部门的重视，在教育资源方面要加强对小学校的投入，并多些对它们的关注。同理，非完中的初中也应多加关注。

参考文献：

［1］黄少伟，谢维辉.实用SAS编程与试验数据分析.广州：华南理工大学出版社，2001.

［2］翟博.教育均衡发展:理论、指标及测算方法［J］.教育研究，2006，3.

第6篇：初中数学常见数列规律范文

一、 巧用教学资源，引导学生初步认识规律

《数学课程标准》中指出：“数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。动手实践、自主探索与合作交流应当成为学生学习数学的重要方式。”教师要善于设计教学过程，巧妙利用“找规律”题目本身的趣味性，引导学生在实践过程中初步认识数学规律，再加以提取得出数学概念。

例如，苏教版小学数学五年级上册“找规律”教学单元，教师完全可以就地取材，用班上的男生女生作为教学资源，引导学生发现数学的规律之美。老师可以这样排列队伍：女生、女生、男生、男生、男生、女生、女生、男生、男生、男生……让学生思考若假设男生=1，女生=2，数字的规律是什么？学生通过观察，很容易就发现队列顺序为两个女生三个男生的排列规律，若转换为数字，则是2、2、1、1、1、2、2、1、1、1……以此类推，对数字规律有了一个初步的认知。教师再适时引导学生从无序观察转向有序转化，从整体分析每个对象之间的关系，认识数学规律。

“找规律”题目已经从考察学生的具体形象思维到抽象思维了，其原因在于题目中出示的规律图数量不多，出现的省略号影响学生的思考，因此需要教师引导学生能提取图案中的相同元素，变形象思维到抽象思维，从而深入了解规律的意义。

二、设计多样化教学内容，引导学生理解规律

“找规律”题目本身具有一定的趣味性，在新课改的教学目标下，教师要善于在数学教学中运用找规律教学手段，设计多样化的教学内容，增添学生学习的趣味。例如，教师给学生出示一组教学图片，第一张图片中“小树影子很长很长，太阳小小的刚刚升起”；第二张图片中的“太阳大大的，升到高空，小树的影子短短的”；第三张图片“太阳落山了，小树的影子又变得长长的”。教师让学生观察这几组图，找出小树影子变化的规律，学生发现正午时，影子最短，早上和晚上时影子最长，小树的影子和太阳的位置以及时间有关系。引导学生观察日常生活中的影子变化是否如图片所示，趣味性、生活化的教学加深了学生们对数学规律的印象。

教师还可以在“找规律”教学的基础上进行拓展，例如：教室里有三张椅子，4个同学轮流坐，总共轮流坐4次，那么小明每次都能坐到椅子的可能性有多大？这类题目对小学生来说难度是比较大的，但因为其具有极强的情境互动可能，教师可以组织学生进行模拟，让四个学生分别坐三张椅子，让学生自己摸索体会解题规律，寓教于乐。

三、创设教学情境，培养学生“找规律”学习的主观能动性

教师要善于培养学生的自主能动性，让学生掌握学习方法、策略，“找规律”教学也如此。作为教师在教学过程中应给予学生足够的时空，诱导学生自主完成探究，总结规律，充分地发挥自我。

教师在“找规律”教学中要善于结合生活实际，创设教学情境，培养学生学习的主观能动性。例如，国庆节期间，韩梅梅一家打算去大连旅游，如果要在下图所示的火车票中选择数字连在一起的3张，一共有多少不同的选法？

学生开始用笔一个个地画出三张连一起的座位，这时，教师可以引а生讨论有多少种解题的方法，整个解题过程交给学生自主讨论。有的学生说，先画出三张，然后挨个往后移动，每移动一次就是一种选择，移动到10，总共移动了7次，加上第一次连起来的，一共有8种不同的选法。还有抽象思维能力发展较好的学生，得出10-3+1=8次的答案，是因为三张连在一起的座位，每次都要有三张票，然后每次一次往后推都会有一种选法，所以10-3就是往后推到10总共有多少种选法，加上第一次的三张，正好8种。

第7篇：初中数学常见数列规律范文

下面笔者以八年级中的函数教学为例，谈谈如何有效地提高教学效果。

函数是一种数量关系和变化规律，是学生从常量学习进入到变量学习的一大飞跃。对函数的学习，使学生能从一个更深的层次刻画和研究现实世界中的数量关系，并建立明确的数学模型，是一种重要的数学思想。关于函数的研究从中学一直延伸到大学，所以一定要在现阶段打好基础。对于八年级中学生所要掌握的函数知识，主要包括函数的定义、变量与函数、平面直角坐标系及简单的一次函数和函数图象等，同时还包括对反比例函数的探索和实践。通过本章的学习及对相关知识的掌握，使学生养成数形结合的思考方法，为以后数形结合解决问题打下良好的基础，培养应用意识。

本章的难点在于函数定义的理解以及实际应用中确定函数自变量的取值范围，一次函数及正比例函数图象与性质的应用和解决实际问题。对于这部分内容一些中等或中等偏下的学生可能掌握起来会有一定的难度，如根据一次函数的解析式画出相应的函数图象。这就要求教师在讲解本章时改进教学方法，就此问题我提出以下几点建议：首先，关于函数的定义，每一个x值对应唯一的一个y值的对应关系。定义中的对应关系即我们要探索和研究的现实问题的变化规律，并在经历“找出常量和变量、建立数学关系和模型、讨论和解决实际问题”的过程中，体会函数是用来刻画和表现现实世界中变化规律的重要数学模型。其次，要鼓励学生多画图、多思考，借助实际问题情境，从抽象到具体地认识和掌握函数，通过画图和思考，培养学生动手和归纳的能力。让学生通过直观的感知、动手操作，经历和体会规律的形成过程。最后，因为本章的知识比较抽象，如果教师在教学的过程中建立简单、直观的数学模型，能够更加有效地帮助学生理解和掌握函数。在多举例、多画图、多结合实际的同时使学生更加生动、具体地了解和掌握函数的三种表示方法，即解析式法、列表法和图象法。

下面是对函数的应用教学分析。

1.学习前的准备

在正式进入函数的学习之前，列举生活中常见及简单的实例，让学生在自身的理解和体会下，了解并掌握函数的定义。并能够通过归纳和总结，分析日常生活中遇到的数量关系和变化规律，逐步形成运用函数的数学思维，加深对知识的理解，加强实际运用能力。

问题一：当乘坐摩天轮时，随着时间的变化及摩天轮的转动，距离地面的高度是如何变化的？

问题二：未关严的水龙头，每小时流失的水是0.15升，一天中流失的水量是多少？

2 . 对深层次的问题的探究

通过对简单的实际问题的探索和研究，在基本掌握和理解函数的概念后，通过上面的例子，了解常量及变量，并体会变化与对应的关系，初步掌握函数的表示方法，即解析式法、列表法和图象法，了解函数解析式在对应坐标系中的图象。

问题一：用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长，计算相应长方形的面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S.

问题二：拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并且画出图象。

3. 运用新知

在经历探索实际问题和初步认识函数解析式与图表、图象的关系后，接下来要理解正比例函数和一次函数的概念，并能够熟练地进行画图，结合图形讨论这些函数的基本性质，利用函数分析和解决实际生活中的简单问题，建立数形结合解决问题的数学思维模式。

问题一：某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y（元）与所存月数x之间的关系式。

4. 反馈与练习

通过上面的问题做到对所学知识进行回顾和加深的目的，巩固教学及学习效果。

问题一：大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额y（元）的关系为y＝2.5x.在坐标系中画出表示该关系的图形。

问题二：购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n（支）的关系为y＝0.4n.

第8篇：初中数学常见数列规律范文

笔者在“实验：探究小车速度随时间变化的规律”一节后，布置了一道课后习题.

原题火车沿长直坡路向下行驶.开始时速度表上的读数是54 km/h，以后每5 s读取一次数据，见下表1.

表1时间t/s1015110115120125130速度v（km/h-1）154159165170176181186速度v（m/s-1）（1）、（2）略.

（3）作出表示列车速度与时间关系的曲线.这是一条什么曲线？

根据学生所做作业情况统计后，笔者发现学生所绘图象大致可归纳成三种典型的类型，在此暂且命名为： Ⅰ.折线型 Ⅱ.平滑线型 Ⅲ.直线型

2问题思考

2.1问题分析

通过访谈，笔者认识到，学生之所以有以上不同的画法，源于学生对图象找规律的原有认知.

第Ⅰ类折线型学生

这部分学生是受初中图象教学的影响，初中实验中采用数据较少，比如常取3个数据点，简单连线就算找到规律了.

第Ⅱ类平滑线型学生

这部分学生与折线型的学生相比，已经对图象找规律的理解要深刻些，用平滑的曲线拟合实验点更加接近物体的实际情况.但问题是，画画点，连连线，真能发现规律？笔者认为，如此简单的处理未免将发现规律过程简单化了.

第Ⅲ类直线型学生

这部分学生在观察各数据点分布特点的基础上，进行大胆的猜想，尝试画出最可能的图线，从而发现运动现象背后的规律.这样的过程最接近规律被发现的真实情景.

表2（来源于伽利略的数据手稿）114191161251361491641…1121314151617181…321130-1298+1526+182411192-11600121041…如何发现实验数据背后的规律，如何更好的寻找到规律？这是个值得思考的问题.让我们从历史回眸中或许能找到一点启示.

2.2历史回眸

在伽利略给后人留下来的大量手稿中，人们找到他当年所做斜面实验的数据.如表2.表中第三列数字是伽利略根据测量数据计算所得，此时伽利略并没有从实验数据中确定时间平方关系.记录上的第一列1、4、9、16、…、64是之后加上去的.第三列的数据有几个地方涂改过，似乎是伽利略在实验之后对数据作了修正.也就是说，伽利略的时间平方关系并不是直接从实验得到，而是从别的渠道先有了设想，再通过实验加以验证的.那种认为单纯依靠实验数据的积累就足以获得客观规律的认识是不符合规律发现的实际.在规律发现的过程当中，信念、猜想起着至关重要的作用.

3启示

从伽利略的时间平方关系发现史实中，隐隐约约的能够找到一点点线索.猜想给规律的发现插上隐形的翅膀，实验验证是检验真理的唯一标准.基于以上的再认识，笔者在传统的图象教学中进行适当改进.在描点的基础上，先让学生进行观察.设计这样的系列问题：观察你所描绘的点的分布有何特点？你能在此基础上猜想出这是一条什么曲线？鼓励学生进行大胆猜想.敢于说出自己的猜想也是需要勇气的.学生之间广泛讨论，最终达成这样的共识：这些点几乎分布在同一条直线上.在此基础上水到渠成的讲解直线画法的技巧.笔者在实践中发现，由于学生经验不丰富，在此之前从未有这样的经历，学生给出直线判断困难很大，甚至迷茫，不知所措.为此笔者在教学中将人教版教材中的拓展部分“做一做”引入课堂.打开常用的数表软件excel，在“插入”菜单下“图表”命令中“图表类型”对话框中选择散点图，观察到点的分布，在此基础上，打开“添加趋势线”对话框，其中的“类型”标签中有好几种可选择的函数.如图3所示.

借助趋势线学生能够比较顺利的找到速度随时间的变化规律.实践表明，借助于信息技术手段能给学生的猜想插上腾飞的翅膀.这样的猜想是否正确呢？关键在于预言，以及预言能被以后的事实所证实.鉴于此，图象教学并未就此打住，继续让学生从图象中预言下一个某时刻的速度值，然后从所用纸带上算出此速度值，发现两组数据很吻合.引起了学生对科学的好奇；另一方面，也会进一步丰富了学生对科学探究的认识.

第9篇：初中数学常见数列规律范文

于是，死刑辩护的质量每况愈下：起初知名律师愿意接手，接着是年轻律师，继而到法律援助律师。不久前引发极大关注的赵作海案，案发时为其辩护的，甚至只是河南省商丘市卓衡律师事务所的一名实习律师。

不久前，中共中央政治局常委、中央政法委书记表示，要“确保办理每一起案件都经得起法律和历史的检验”。一年前，最高人民法院副院长张军电曾表示：“司法部门应尽量减少死刑判决，有理由不杀的人，决不要判处死刑。”然而，上述困局显然不利于中国死刑数量的减少。

正是在此背景下，国内不少刑法专家建言修订《刑法》，适当、合理、果断地削减死刑罪名。然而，这一思路，因为民意和政治压力较大，难以走通；而“三难”问题，虽经学界长期以来的推动，到目前为止仍是无功而返。

不少学者因而寻求一条“次优道路”：既然死刑案件当中，相当一部分案件是因为律师辩护质量不高，致使不该判死刑，以及有从轻、减轻情节的案件，最终却因为律师没有提出而执行了死刑，那么何不制定一份死刑辩护指导意见，“援助”那些可能接触到死刑案件的法律援助律师呢?

山东省成为第一个“吃螃蟹者”。2010年5月28日，由山东省律师协会与北京大学法学院教授陈瑞华联合调研、草拟的《山东省律师协会死刑案件辩护指导意见(试行)》(以下简称《意见》)实施。意见共9章，96条，分别对死刑案件的辩护思路、会见、阅卷、调查取证、一审二审以及死刑复核程序中律师的各项权利义务、注意事项等逐项释明。

山东省律师协会一位工作人员告诉《望东方周刊》，作为山东省律师死刑辩护行业的最低工作标准，指导意见适用于该省律师承办的所有死刑案件。

指导意见细致入微

做这样一份指导意见绝非易事。死刑案件法律援助律师接到援助任务时，时间往往已经是开庭前十天，此刻，数不尽的辩护事宜需要提前准备：会见、阅卷、调查取证、如何准备一审、如何应对公诉……

起初，“死刑辩护指导意见”课题组负责人、北京大学法学院教授陈瑞华对此亦是一筹莫展：如何穷尽辩护律师需要做的事情?如何规范一整套流程，换句话说，如何让死刑辩护做起来“像用傻瓜相机拍照一样”?

为了出台这项规则，课题组成员之一、北京大学法学院博士吴纪奎告诉本刊记者，他们先后与山东、河南、贵州三省的司法界人士沟通，“每个省都沟通了不下10次，反复讨论，再组织学者拟定条文，才初步有了成效”。

山东省先迈出了一步。应当说，这是一份对现行司法体制并未做出任何突破的指导意见。不过，几乎所有接触过《意见》的律师，都对其给予了非常高的评价。北京尚权律师事务所律师王耀刚在读完全文后即向本刊记者表示，“这个指导意见对每一个做刑辩业务的律师都具有指示意义。”

盈科律师事务所职务犯罪部门主任易胜华则表示，“一个新律师，在不看指导意见前，大概只能掌握里边30％的内容。对里边非常细节性的东西，特别是一些刑事政策，一般的刑辩律师都不知道，更别提新律师。”

易胜华所指的“细节性内容”在《意见》里有很多，比如第32条规定，对于因恋爱、婚姻家庭、邻里纠纷等民间矛盾激化以及因劳动纠纷、管理失当等原因引发的刑事案件，辩护律师应当提出不适用死刑立即执行的辩护意见。

不少律师惊叹着读完《意见》全文，因为它规定得简直“太详细了”，堪称细致入微。

其第九条规定：对于具有下列情形之一的被告人供述，辩护律师可以建议法庭不作为定案的根据：以刑讯逼供、威胁、引诱、欺骗等方法获取的；供述内容前后矛盾且矛盾无法排除的；只有一名侦查人员讯问获取的；讯问不是由侦查人员进行的；未经被告人核对并签名、盖章和按指印的；对于聋哑人、不通晓当地通用语言、文字的少数民族、外国人的讯问，应当提供翻译而未提供的；违反回避的规定获取的。

第十四条专门涉及电子证据。《意见》规定，对于具有下列情形之一的电子证据，辩护律师可以建议法庭不作为定案的根据：电子证据的存储磁盘、存储光盘等可移动存储介质未与打印件一并提交的；未载明电子证据形成的时间、地点、对象、制作人、制作过程及设备情况的；制作、储存、传递、获得、收集、出示等程序不符合法律规定，取证人、制作人、持有人、见证人等未签名或者盖章的；存在剪裁、拼凑、篡改、添加等伪造、变造情形的。

不少实习律师在自发传阅

这果然有点“傻瓜相机”的味道了。

《意见》甚至连“辩护律师不得为被告人获得虚假立功信息”都做了规定。这也是一个长期困扰易胜华的难题。长期以来，易胜华手机上总是能收到各种立功线索：“某某某犯事，可以判10年以上，有意者可以向我购买。”

“被告人真会购买立功线索，因为提供这些线索，对其而言意味着量刑时可以减轻、从轻。但这种事律师绝不能去做，因为一旦走出这一步，执业风险就开始埋下了。”易胜华说。

这份“用心良苦”的指导意见，从最初的几十条，一直写到96条。易胜华希望它能写到一百余条，因为“这份意见一方面能教书育人，一方面也能提示风险，是好东西。”他准备在律所里组织律师学习。不少实习律师也在自发互传这份指导意见，不少人的感受是“以前觉得死刑辩护没法做，看完全文后，心里开始有底了。”

山东省司法厅副厅长齐延安对《望东方周刊》表示，会高度重视《意见》的宣传、学习、贯彻工作，他已经建议将其列入今年省律师协会的年度培训计划，编入律师实习人员岗前培训的教材，实行全员轮训，以最大限度地避免佘祥林、赵作海式的冤案再度发生。

不过，这仍是治标不治本之策。刑辩之难的许多更根本的因素在此之外一一除了“三难”，还有一些很现实的问题有待解决。

吴纪奎说，“有些时候，辩护质量差，更重要的原因是法律援助律师费太低，特别是死刑案件，很多律师受到钱的影响，不去会见，不去阅卷，不去调查取证，或者只是等到开庭前，做点简单的会见、阅卷，更别提调查取证了，这如何可能保证辩护质量?”

北京尚权律师事务所律师刘文元对此就深有感触，他向本刊记者表示，“一件死刑案件，司法机关提供的律师费是500块，交完律所手续费，还要去复印卷宗材料，复印一张1块钱，我办一个案子，复印费就花了980元，还要去会见，调查取证，怎么可能不赔钱?”

如此，知名的大律师普遍不愿意做这样的辩护，而年轻的律师又缺乏经验，于是导致刑辩质量进入恶性循环。