初中数学概率列举法精选(九篇)

第1篇：初中数学概率列举法范文

关键词：经济发展；选举干预；Probit模型

中图分类号：F320.3

文献标识码：A

文章编号：1001-5981（2012）04-0074-08

一、引言

我国农村居民较低的政治参与热情一直是学界关注的焦点。政治参与热情低的一个主要体现是村民不积极参与村委会选举投票，村委会选举投票率低下（程同顺，1995；谢岳，1997；徐炜，2001；杨明，2002；刘勇和周先进，2006；张祝平，2009）。这样的背景使得研究我国村民投票参与的决定因素具有十分重要的现实意义。本文旨在研究我国近三十年来最重要的经济社会特征——迅速的经济发展對村民村委会选举投票参与的影响。

有关经济发展和政治参与之间关系的论述历史悠久。自亚里斯多德（公元前384-公元前322年）以来，人们就认为，只有在富裕社会中，绝大多数居民都理智地参与政治的情形才会出现（Lipset，1959）。经济发展通过影响社会阶层结构、提高社会對民主政治包容规范的接受程度、促进中间组织的发育促进民主社会的发展（Lipset，1959）。在实行选举的民主社会，总体而言，经济发展与政治参与是正相关的（亨廷顿和纳尔逊，1989）。在微观个体层面考察经济发展是否促进了政治参与，就是考察选民收入水平、受教育程度、政治效能感、加入社会组织情况是否促进了其政治参与。但是，由于不同国家具有不同的社会文化特征，经济发展影响政治参与的途径和因素会随着国家的不同而不同（Davis，1983）。

考察我国村民在村委会选举中的政治参与，必须考虑基层政府选举干预的影响。目前，在研究中国乡村选举的学者中，中国的村委会选举仍是由乡镇党委、政府积极介入的“半竞争性选举”是一个共识（孙昕等，2007）。由于选民预期本人选票對决定选举结果越重要时越可能参与投票（Downs，1957），而选举干预降低选民對本人选票重要性的评价，选举干预通常降低选民的投票倾向。此外，在有干预的选举中，选民有可能通过不投票来表达本人的抗议（Gilison，1968）。有研究表明（李明、赵剑治，2011），乡镇政府通过干预村民自治對农村实施控制降低了村民在村委会选举中的投票率。总之，在研究经济发展和我国村民投票参与的关系时，必须考虑上级政府官员的影响。

二、文献回顾

与本研究主题相关的文献可分为三类：第一类最早出现，使用案例研究分析经济发展對我国各地农村民主化进程的影响；第二类也是分析经济发展對我国各地农村民主化进程的影响，但使用的是大样本数据；第三类与本文最接近，基于大样本数据研究农村居民投票参与的决定因素。

案例研究在经济发展對民主建设的影响上没有达成一致意见。受政治学界精英一群众分析法的启发，这些案例研究强调精英——从省到乡镇的各级政府官员和选举前在任村干部的作用。譬如，Lawrence（1994）基于1992年10月和1994年4月對河北赵县北王村的两次调查访问，认为各级地方政府官员更可能在经济发展落后的地区率先推行民主选举。但Epstein（1997）的调查表明，经济发展处于中等水平的省份在村委会选举中走在前面。O’Brien（1994）基于1992年對福建8个村民自治示范村的调查，得到下述结论：在经济发展水平高，尤其是拥有村集体企业的村，村干部职位對村庄精英更有吸引力。因为村集体企业的经营状况跟个人的经济利益密切相关，所以这些村的村民也更加关注村委会选举。但Oi（1996）认为，在中国经济发达的农村地区，因为由上级政府任命的党支部适应了经济改革、引领了本地发展，所以他们控制了村里的经济组织，在经济问题上更有话语权，而民主选举的村委会权力不大，故村民并不关注村委会选举，竞争性选举诞生得较晚。案例研究得不出一致结论与它不能控制其他因素的影响有关。

第二类研究都认为，经济发展促进了我国农村的民主进程。Shi（1999）基于1993年全国325个村的调查数据实证分析发现，村举办竞争性选举的概率跟所在县人均GDP存在一个倒U型曲线关系。基于1996年對中国7省215村的调查所作的实证分析，Oi和Rozelle（2000）发现，村人均收入的增加会提高村举办竞争性选举的概率。胡荣（2005）将研究视角从村是否举办竞争性选举推进到竞争性选举的规范程度和村民选举参与的程度。他发现经济发展水平促进了选举的规范性程度，增加了村民的选举参与程度。肖唐镖和石海燕（2007）发现，人均收入水平较高的村，举办村委会选举的次数较多，制定村规民约或村民自治章程时更倾向于征求村民意见，公开村集体财务的周期较短。总体来讲，基于大样本调查数据的研究都支持经济发展能促进民主政治的观点。

与本文最接近的文献是关于农村居民投票参与决定因素的研究。这些研究的主题都不是经济发展對村民投票参与的影响，但其使用的模型都部分包含村民收入、受教育年限、政治效能感、是否加入社会组织这些度量经济发展的控制变量。表1归纳了这些研究使用的样本、研究主题、包含的经济发展变量和经济发展变量的估计结果。这些研究在经济发展变量的影响上得出不一致的结果，主要原因可能有两点：首先，它们使用的调查数据时间跨度大。由于中央政府推进村委会选举的政策力度逐年增加，经济发展影响投票参与的政策环境逐年发生变化，故模型估计结果不一样。其次，实证模型存在遗漏变量问题。除了表1中列出了被遗漏的经济发展变量外，Zhong和Chen（2002）的实证模型没有控制任何层面的地区固定效应，中国社会科学院农村发展研究所课题组（2011）遗漏了年龄的平方项，除了李明和赵剑治（2011）之外的三项研究都没控制选举干预的影响。但是，这些研究为我们更好地理解经济发展影响中国村民政治参与的制度背景、选取实证模型的控制变量提供了基础。

综上所述，已有文献主要讨论经济发展對我国农村是否举办竞争性选举的影响。在研究村民投票参与决定因素的文献中，还没有专门讨论经济发展变量的研究。本文从个体层面探讨经济发展变量對投票参与的影响。这不仅为经济发展促进政治参与的宏观研究提供了微观证据，而且还丰富了关于我国农村居民投票参与决定因素的文献。

三、数据、模型、变量和不同社会群体的投票率

（一）数据、模型和变量

1 数据

本文所有变量的数据都来自民政部2005年全国村民自治现状抽样调查。该入户调查于2005年10月至2006年3月进行。它以2000年第五次全国人口普查的区市县资料为基础进行抽样框设计，采用分层多阶段抽样方式，并使用PPS抽样方法抽取了中国大陆130个区市县中的260个乡镇的520个村/居委会，调查抽样框覆盖了中国大陆除自治区以外所有的省、自治区和直辖市，最终得到3499份村民问卷、368份由村干部回答的村问卷。考虑到下文实证分析时相关变量的数据可得性，本文只使用调查时在任村委会是2005年换届选举上任的相关数据。这部分数据包括17个省级行政单位（下文简称“省”）51个县78个乡127个村的742个村民。

2 模型和变量

本文被解释变量——村民是否在村委会选举中投票为0-1变量。因此，本文设定probit模型实证分析经济发展對它的影响。基准模型的设定如下：

Yig=Pro（αINCig+βEDUig+γEFFICACYig+φVINCg+λCONTROLig+μg+εig）

其中，Yig表示g县受访村民i在2005年村委会选举中是否投票，投票取值为1，未投票取值为0。INC度量受访村民家庭在本村的相對经济状况，包括“是中等收入户”、“是中上等收入户”两个虚拟变量，以“是中下等收入户”为基准组。EDU为受访村民的受教育状况，包括“小学”、“初中”、“初中以上（包括高中、中专、大专及以上）”三个虚拟变量，以“小学以下”为基准组。EFFICACY度量受访村民的政治功效感，包括内部政治功效感、外部政治功效感两个变量。VINC是受访村民所在村2004年的人均纯收入。INC、EDU、EFFICACY和VINC是我们感兴趣的变量。CON-TROL是控制变量向量，包括受访村民的性别、年龄、年龄的平方、职业状况、党员身份、村干部身份、是否是村中大姓、是否被劝说投某人的票、已举行的村委会选举次数、距离本县县城距离、村民选举委员会是否由乡镇政府或党支部指定、初步候选人是否由乡镇政府或党支部提名产生、正式候选人是否由乡镇政府或党支部提名产生。在这些控制变量中，后三个用来度量由乡镇政府對村委会选举的控制，其他变量都是国内外研究居民选举参与的实证文献中常用的。

在我们感兴趣的变量中，INC、EDU和VINC分别直接来自受访者對问卷中某个问题的回答，而内部政治效能和外部政治效能是基于受访者對几个问题的回答构造的指数。内部政治效能涉及下述三个问题：“我觉得自己很有能力参与政治”、“如果让我去当村里的干部，我也能干得不错”、“我觉得自己很清楚村里发生的大大小小的事情”；外部政治效能涉及下述两个问题：“在我们村里，人们有许多办法有效地影响领导的决定”、“在我们村里，像我这样的人说话不管用”。这五个问题的答案选项都是“非常同意”、“同意”、“不知道”、“不同意”、“非常不同意”。對于内部政治效能涉及的三个问题，我们将各答案选项依次赋值为“5”、“4”、“3”、“2”、“1”，然后求每个受访者在三个问题上的回答得分平均值，作为其内部政治效能指数。對于外部政治效能涉及的三个问题，我们将“在我们村里，人们有许多办法有效地影响领导的决定”的答案选项依次赋值为“5”、“4”、“3”、“2”、“1”，将“在我们村里，像我这样的人说话不管用”的答案选项依次赋值为“1”、“2”、“3”、“4”、“5”，然后求每个受访者在两个问题上的回答得分平均值，作为其外部政治效能指数。两个指数的取值越大，表明受访者的政治效能越强。

在众多控制变量中，我们基于受访者的回答、运用多数法则得到度量基层政府选举干预的三个变量。由于文化水平不一样和對村民自治的关注程度不一样，同一村的不同村民對本村同一客观问题给出的回答会不一样。为了克服这个问题，我们基于村民的回答，根据多数法则构造出村的选举干预变量：對于某一问题，如果该村至少有一半的受访者选择了A答案，那么就认为A答案是该村的实际情况。举例来讲，村民选举委员会的产生方式有七个备选答案：“1.是由全体村民大会推选产生的”、“2.是由村民小组会议推选产生的”、“3.是由村民代表会议推选产生的”、“4.是由村党支部指定任命的”、“5.是由上级领导指定的”、“6.其他”、“7.不清楚”。如果某村受访者中回答前3个答案的比例低于50%，我们就认为基层政府對该村的村民选举委员会存在控制。表2表明，样本中约有一半的村都存在乡镇政府對选举的干预，但干预的程度有深有浅。乡镇政府同时干预村民选举委员会产生方式、初步候选人提名和最终候选人确定的村所占比例为14.96%。通过加总，我们发现存在村民选举委员会产生方式干预、初步候选人产生方式干预和最终候选人确定干预的村分别占37.01%、33.86%和25.98%，所占比例依次降低。这意味着乡镇政府對村委会选举的干预更多地采取了相對间接的方式。

性别、年龄、职业状况的影响。Crewe（1981）发现，美国男性、白领选民的投票率要高些，投票率和年龄之间存在倒U型曲线关系。在有关中国农村居民投票参与的研究中，有的发现投票率不存在性别差异（Zhong和Chen，2002；孙昕等，2007；中国社会科学院农村发展研究所课题组，2011），有的发现男性的投票率高些（李明和赵剑治，2011）；除了中国社会科学院农村发展研究所课题组（2011），Zhong和Chen（2002）、孙昕等（2007）、李明和赵剑治（2011）都发现投票率和年龄之间存在倒U型曲线关系；孙昕等（2007）发现，非农就业的村民投票率低些。

党员身份、村干部身份、是否是村中大姓、是否被劝说投某人的票。孙昕等（2007）、李明和赵剑治（2011）发现是党员的村民投票率高些，但中国社会科学院农村发展研究所课题组（2011）不支持他们的发现。是村干部的村民投票率一般高些（孙昕等，2007）。由于宗族在村民自治中具有重要影响，我们用是否是村中大姓来考察大家族背景對投票率的影响。从理论上讲，由于大家族的候选人当选的可能性很大，根据投票的理性人模型，大家族的村民投票的概率要低些。由于我国农村的熟人社会特征，受到投票游说的村民为了方便自己今后跟候选人的交往，投票率更高：要么投票支持游说自己的候选人，要么支持他的竞争對手。

选举干预、已举行的村委会选举届数、距离本县县城距离。如引言部分所述，选举干预会降低选民投票率。村已举办选举的届数對村民投票率的影响不确定。一方面，选举具有民主训练的功能。参加选举次数越多的村民越重视自己的民主政治权利，更有更高的民主政治意识，从而会更积极地参与投票。另一方面，如果选举存在乡镇政府的干预，选举次数越多越会让村民對选举失望，从而越不趋向于投票。村距离本县县城距离對村民投票率的影响也不确定。一方面，由于县城一般都是农村地区的政治、文化、经济中心，在距离县城越远的村，村民的民主政治意识更弱，投票的概率更低。另一方面，在距离县城越远的村，村庄公共品（道路、治安、纠纷排解等）供给接受到县城的正外部性越少，越依赖于本村村委会。为了选出称职的村委会，村民更加积极参与投票。

（二）描述统计分析

1 家庭经济地位、受教育程度和政治效能之间的相关性

根据引言部分的理论，家庭经济地位、受教育程度和政治效能相互正相关。如果确实如此，那么遗漏其中的任何一个都将导致实证模型得到的估计值是有偏的。

表3说明家庭经济地位和受教育程度之间的相关性。在属于中下等收入户的村民中，文化程度为初中以下的合计达67.15%，为初中以上的仅占4.86%。在中等收入户中，文化程度为初中以下的合计达51.42%，为初中以上的占12.62%。在中上等收入户中，文化程度为初中以下的合计达33.78%，远低于一半，为初中以上的占25.68%。总之，在家庭经济地位高的村民中，高文化水平的比例明显要高。

表4说明家庭经济地位、受教育程度和政治效能之间的相关性。显然，内部政治效能和外部政治效能都随着家庭经济地位的提升而增强，都随着受教育程度的增加而增强。

2 地区经济发展与投票率之间的相关性

根据表3，家庭经济地位高、受教育程度高的村民投票率要高。这为经济发展促进村民投票参与提供了微观个体层面的证据。图1为经济发展促进村民投票参与提供了宏观层面的证据。

图1表明，我国贵州、陕西、湖北、广西、安徽的投票率较低，而江苏、广东、湖南、四川、新疆的投票率较高。图1上图部分表明，在各省份之间，投票率和2004年农民人均纯收入的线性回归拟合线显著向上倾斜；图1下图部分表明，投票率和2004年文盲、半文盲率的线性回归拟合线显著向下倾斜。总之，无论用人均收入还是用文盲、半文盲率度量经济发展，经济发展和投票率之间都存在正相关关系。

四、经济发展与投票参与：多元回归分析

（一）变量描述统计

表5提供回归方程中各变量的描述统计。样本中男性村民占52.4%，略高于我国2004年全国人口中51.5%的男性人口比例。小学和初中文化水平的受访村民占了样本的67.4%。57.7%的受访村民常年在家乡务农。12.4%的受访者在选举中受到了投票游说。127个村平均举办了5次村委会选举。

（二）基准模型估计结果

表6报告基准模型的估计结果。第（1）列的模型只包括家庭经济地位和村人均收入。我们发现，中等收入户和中下等收入户的投票概率没有显著差异，中上等收入户的投票概率平均而言比下等收入户高0.115；村人均纯收入每增加1千元，该村所有村民的投票概率平均而言增加0.022。對比第（2）列和第（1）列发现，一旦控制了县级固定效应，村内家庭收入地位對投票概率的影响更加显著，但村收入水平對本村村民投票概率的影响消失了。村与村之间人均收入的差距在全国范围内影响投票率、在每个县内不影响投票率的原因在于，县层面的不可观测因素同时影响村的投票率和收入水平。

第（3）、（4）、（5）列的模型用来考察遗漏部分发展变量导致的估计偏误。對比（3）列和（4）列发现，加入政治效能变量使得家庭经济地位变量對投票概率的影响减小了。比较（4）和（5）列发现，引入受教育程度变量使得家庭经济地位变量對投票概率的影响进一步减小，使得内部政治效能對投票概率的影响也减小。总之，遗漏度量经济发展的部分变量确实使得相关变量的估计值变得有偏了。

第（5）列是我们的基准模型。估计结果表明，家庭经济地位越高的村民投票概率越大。村民的内部政治效能影响其投票与否的决策，但外部政治效能不影响。在小学以下、小学、初中和初中以上四种受教育程度的村民中，初中文化的投票概率显著高于其他村民。这意味着，受教育程度的增加能提高村民的投票参与概率，但当受教育程度达到初中后，其對投票参与概率的促进作用消失了。

控制变量的估计结果跟我们的预期相符。在控制众多因素后，投票概率并不存在性别差异。就年龄而言，本研究再次印证了已有学者（Zhong和Chen，2002；孙昕等，2007；李明和赵剑治，2011）发现的倒U型曲线关系，即中年村民的投票率要高些。共产党员身份、担任村干部、村中大姓背景對投票概率没影响。相對于没被人游说的村民，被人游说投票能提高投票概率0.127。相對于常年在家从事家务劳动的村民，常年在家务农的村民投票概率要高出0.11，而常年在外工作的村民投票概率要低0.415。村以往选举届数的估计结果为显著的负数，意味着我国基层政府一直以来對选举的干预對村民的投票决策产生了明显的负面影响。村到本县县城的距离的估计值显著为正，表明居住地距离本县县城越远的村民为了选出称职的村委会来提供更好的村庄公共品，更加注重个人的参与。跟我们预计的一样，乡镇政府對选举委员会产生方式的干预、對最终候选人确定方式的干预显著地降低了村民投票概率，但乡镇政府提名产生初步候选人對村民投票概率却没有显著影响。

（三）稳健性检验

表7报告各种稳健性检验的结果。第（1）列是表6中的第（5）列，放到表7以便于比较。第（2）列和第（3）列比较经济发展對投票参与的影响在低收入村和高收入村之间是否存在差异，主要结论有：首先，家庭经济地位在低收入村影响村民投票概率，但在高收入村没影响。这意味着，当整个村的收入水平比较高后，家庭在村中的相對经济地位不再是投票概率的决定因素。其次，内部政治效能和外部政治效能在低收入村、高收入村對投票概率都没影响。最后，跟小学以下受教育程度的相比，小学文化的村民在低收入村投票概率无差异，但在高收入村明显要高；初中以上文化的村民在低收入村投票概率要高，但在高收入村无差异。这表明，受教育程度對个人投票概率的影响与村的整体经济发展水平相关。只有当村的整体经济发展达到一定水平后，小学文化的村民才会比小学文化以下的更积极地参与选举投票，但初中以上文化村民的投票概率却下降了。总之，家庭经济地位、受教育程度對投票概率的影响随着村整体经济发展水平变化。

第（4）列和第（5）列考察经济发展對投票参与的影响是否存在性别差异。對女性村民而言，中等收入户的投票概率高于其他，初中文化水平的高于小学以下的，但初中以上文化的投票概率跟小学以下的无差异；對男性村民而言，中上等收入户的投票概率高于其他，初中文化水平和初中以上文化水平的高于其他。

第（6）列和第（7）列考察选举干预對经济发展与投票参与之间关系的影响。在没有任何选举干预的村，中等收入户跟中下等收入户的投票概率没有差异，中上等收入户要比中下等收入户高；内部政治效能越高的村民参与投票的概率越高；受教育程度對投票概率无影响。在存在选举干预的村，家庭经济地位和政治效能的强弱都對投票参与概率无影响；初中和初中以上文化水平的村民投票参与概率要高。在有干预的村，高文化水平的村民投票概率更高，可能是因为基层政府的选举干预有利于他们。

第2篇：初中数学概率列举法范文

关键词：典型中考题；概率教学；导向性

概率作为“统计与概率”知识领域的重要分支，与生活密切相关，该内容的学习具有很强的现实意义． 作为知识接受者，学生的知识储备是与可能性有关的知识，初中阶段开始学习更加数学化和抽象化的概率初步知识，高中阶段又将融合排列组合等知识进行更为系统的学习． 教学时如何寻找切入点，如何把握标高，教学中重点去关注什么，一直是一线教师们的困惑． 同时概率作为近年各地中考必考内容，围绕课标所涉及内容不断加强考查，出现了许多体现课改理念、切合教材实际的典型好题，对实际课堂教学具有很好的导向性． 本文力图从课标解读、教材分析与典型中考试题的导向性进行分析，做一些有益的探讨．

关注随机观念和概率思想的渗透，帮助学生领会概率概念中蕴涵的辩证思想

?摇?摇教学中要努力培养学生的随机观念，让学生明白研究随机事件去掌握并利用其规律的现实意义，概率论则是研究和揭示随机现象统计规律的数学工具．借助一定的问题情境让学生体会：概率是针对大量重复实验而言的，大量重复实验反映的规律并非意味着在每一次实验中一定存在．

例1 下列说法正确的是（ ）

A． “明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间降雨

B． 抛一枚硬币正面朝上的概率是0．5，表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上

C． 中奖的概率是1％，表示买100张一定会中奖

D． 抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是0．5，表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为奇数?摇

本题重点考查学生头脑中的随机观念和对概率意义的理解，只有弄清“某事件发生的概率是，也并不意味m次随机实验，事件必然会发生1次”这个道理，才能快速准确解答此类问题． 教学中应该通过学生熟知的大量实际问题帮助学生形成随机观念，加深对概率内涵的理解． 思想方法对学习的引导在这里尤为重要．

关注概率与生活的密切联系，在具体情境中引导学生去理解概率的定义

教科书先借助投币试验定义统计概率，然后通过抽签和掷骰子的实例来定义古典概率，两种定义方式都以具体的问题情境为依托，没有刻意让学生去注意文字的表述与记忆，而是帮助学生深刻理解概念的内涵，这些都体现了概率的学习内容是现实的、有意义的．

例2 甲、乙两超市同时举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其他都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（可在超市与人民币等值使用）的多少（如表1）．

甲超市：

乙超市：

（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；

（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．

本题将摸球游戏置于超市购物送礼金券的决策问题这一实际情境中，极大地激发了学生探究的兴趣． 与之相对应的是，我们平时的教学中不能让概率成为纯数字的计算，应该从学生所熟知的生活中选取素材，用概率知识去解决身边事、身边物的问题，让学生体会数学与生活的相互关系，点燃他们学习的热情．

关注概率与统计的关系，引领学生去揭示概率与频率的联系与区别

教科书对“统计与概率”领域的内容分开编排，先统计后概率，概率知识的学习以统计知识为基础． 教学中应该关注学生是否明白：统计与概率是相对独立、互为依托、相互作用的． 统计频率是概率在数据处理中的体现，而统计也离不开概率的理论支撑． 有些概率用古典概型计算方便简洁，而有些概率用古典概型无法解决，只能借助试验或模拟实验（即实验概率）来完成．

例3 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积．进行了大量的树木移栽．表2记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：

依此估计这种幼树成活的概率是多少（结果用小数表示，精确到0．1）．

本题通过“树木成活率”考查统计频率与理论概率之间的关系，考查学生对“实验概率稳定于理论概率而又不等于理论概率”的理解． 对实际教学的导向则在于教学中应该鼓励学生动手实验，通过观察大量重复实验的结果，看频率是否稳定于某个常数（即统计概率），再利用这一结论去解决问题． 活动应侧重学生的实验、观察、猜测、验证、推理与交流等，并注意现代信息技术的应用（比如用计算器产生随机数等）．

第3篇：初中数学概率列举法范文

在这个模型下,随机实验所有可能的结果是有限的,并且每个基本结果发生的概率是相同的. 例如:掷一次硬币的实验,只可能出现正面或反面,由于硬币的对称性,总认为出现正面或反面的可能性是相同的. 又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验,也属于这个模型. 它是概率论中最直观和最简单的模型;概率的许多运算规则,也首先是在这种模型下得到的.

古典概型特点:

1.实验的样本空间只包括有限个元素(有限性);

2.实验中每个基本事件发生的可能性相同(等可能性).

同时具有以上两个特点的实验叫等可能概型,也叫古典概型. 这是判断古典概型的一个依据.

古典概型概率求法的基本步骤:

(1)算出所有基本事件的个数n;

(2)求出事件A包含的所有基本事件数m;

2.2 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;

所谓几何概型的概率问题,是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题:

设在空间上有一区域G,又区域g包含在区域G内(如图1),而区域G与g都是可以度量的(可求面积),现随机地向G内投掷一点M,假设点M必落在G中,且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量(长度、面积、体积等)成正比,而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验(掷点),称为几何概型.关于几何概型的随机事件“ 向区域G中任意投掷一个点M,点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为:g的度量与G的度量之比,即

几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

几何概型的概率公式:

几何概型的意义

事件A理解为区域的某一子区域A,事件A发生的概率只与构成该事件的子区域的几何度量(长度、面积、体积)成正比,而与A的位置和形状无关.

2 “古典概型”和“几何概型区别

几何概型是无限个等可能事件的情况,而古典概型等可能事件只有有限个.

“古典概型”和“几何概型”与初中教学联系最密切的章节是“统计与概率”.

“统计与概率”的教育价值主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机事现象,它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的决策. 随着社会的不断发展,统计与概率的思想方法将越来越重要. 如:奥地利遗传学家,孟德尔的“遗传定律”就是通过统计概率的知识得来的,为人类做出了伟大的贡献,孟德尔本人也成了遗传学的奠基人. 统计与初步所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍使用的并且强有力的思维方式. 初中阶段要求学生熟悉统计与概率的基本思想方法,逐步形成统计概念,让学生了解随机现象,形成科学的世界观与方法论.

初中的“统计与概率”中蕴含着极其丰富的“古典概型”和“几何概型”有关实际问题.

例1 (淮安金湖实验区)为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考,小华从全市所有家庭中抽查了200个家庭,发现了其中10个家庭有子女参加中考.

(1)本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭频率是多少?

(2)如果你随机调查一个家庭,估计家庭有子女参加中考的概率是多少?

(3)已知淮安市约有1.3×106个家庭,假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生,请你估计今年全市有多少名考生参加中考?

例2 (河南课改实验区)若从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4,将它们背面朝上,分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面的数字之和等于5的概率是多少?请你用列举法(列表或画树状图)加以分析说明.

解 可用列举法列出所有的可能得到的牌面数字之和:

从上表可知,共有m=16种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共有n=4次. 记牌面数字之和等于5为事件A,则评注 计数的常用方法是列表或画树状图.

例3 (扬州课改实验区)某商场进行有奖促销活动. 活动规则:购买500元商品就可以获得一次转盘的机会(转盘分为5个扇形区域,分别是特等奖彩电一台,一等奖自行车一辆,二等奖圆珠笔一枝,三等奖卡通画一张及不获奖)转盘指针停在哪个获奖区域就可以获得该区域相应等级奖品一件. 商场工作人员在制作转盘时,将获奖扇形区域圆心角分配如下表:

(2)可采用“抓阄”或“抽签”等方法代替,规则如下:在一个不透明的箱子里放进360个除标号不同外,其他均一样的乒乓球,其中一个标“特”,10个标“1”,30个标“2”,90个标“3”,其余的不标数字,摸出标有哪个奖次的乒乓球,则获相应等次的奖品.

评注 从例1、例2看学生脑海中虽没有“古典概型”的概念,但此概念即将呼之欲出!

从例3看学生已经潜意识的,在使用“几何概型”.

第4篇：初中数学概率列举法范文

关键词：古典概型；教学设计

■教材分析

本节课是人教A版高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的. 古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位.

■教学目标

1. 知识与技能

（1）理解基本事件的特点；

（2）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；

（3）会用列举法计算一些简单随机事件发生的概率.

2. 过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.

3. 情感态度与价值观

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象.

■重点、难点

重点：理解古典概型的概念及其概率计算公式.

难点：如何判断一个试验是否是古典概型：有限性和等可能性.

■教学内容

一、温故知新

1. 什么是互斥事件？_____________________________

2. 什么是对立事件？_____________________________

3. 概率的加法公式. _____________________________

师生互动：

教师：提出问题.

学生：各组派代表抢答.

设计意图：

引导学生回忆前面所学知识，为学习本节课的新知识奠定基础.

二、创设情境

思考一：

看下面两个试验，分析事件的构成，回答下列问题

1. 试验一：“抛掷一枚质地均匀的硬币”.

（1）试验的结果有几个？_____________________________

（2）它们之间的关系是什么？________________________

2. 试验二：“掷一枚质地均匀的骰子”，看书P119页探究.

（1）试验的结果有几个？？摇？摇___________________________？摇

（2）它们之间的关系是什么？________________________

（3）事件D2、D3、G，H与C1、C2、C3、C4、C5、C6之间的关系是什么？_________________________________________________

师生互动：

教师创设情境，为导入新知做准备.

设计意图：

随着问题的提出，激发了学生的求知欲望，提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣.

基本事件的概念：一次试验可能出现的每一个结果称为一个基本事件.如：试验1中的“正面朝上”、“正面朝下”；试验2中的出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”.

思考二：

（1）在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？

（2）事件“出现偶数点”包含了哪几个基本事件？

基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

师生互动：

学生回答两个问题，教师适时引出基本事件的两个特点，并加以说明，加深新概念的理解.

设计意图：

问题的引导可以使学生更好地把握问题的关键；培养学生分析问题的能力.

三、实践认知

例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

分析：为了解基本事件，我们可以用列举法把所有可能的结果都列出来.画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果（两步或两步以上）可以用树状图进行列举.

■

解：所求的基本事件共有6个：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}.

师生互动：

初步感知，熟悉构成任何事件的基本事件；先让学生尝试着列出所有的基本事件，教师再讲解用树状图列举问题的优点.

设计意图：

将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来.

思考三：

以下每个基本事件出现的概率是多少？

试验1：P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=■；

试验2：P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=■.

思考四：

观察对比，找出试验1和试验2的共同特点：

■

经观察，概括总结后得到：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；

（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型.

师生互动：

让学生先观察对比，找出两个试验的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明.

设计意图：

培养学生运用从具体到抽象、从特殊到一般的归纳推理能力.

思考五：你能举出几个生活中的古典概型的例子吗？

师生互动：

关注学生对生活中古典概型的认识和了解，教师根据学生回答适当点评.

设计意图：

通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有古典概型，感受到数学的实际应用.

四、观察比较，推导公式

思考六：

古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率又该如何计算？

试验2：掷一颗均匀的骰子，事件A为“出现偶数点”，请问事件A的概率是多少？

探讨：基本事件的总数为6，事件A包含3个基本事件：“2点”、“4点”、“6点”，则P（A）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=■+■+■=■=■，

即P（“出现偶数点”）=■=■.

由上可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）=■.

提醒：

在使用古典概型的概率公式时，应该注意：要判断所用概率模型是不是古典概型（前提）.

师生互动：

教师提出问题，引导学生分析试验2中“出现偶数点”这一事件的概率，先通过用概率加法公式求出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系.

设计意图：

鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、从特殊到一般的方法来分析问题，突出了古典概型的概率计算公式这一重点.

五、反馈矫正

例2 同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是9的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是9的概率是多少？

解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1、2，以便区分.由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果. （可由列表法得到）

由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种.

（2）在上面的结果中，向上的点数之和为9的结果有4种，分别为：

（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）.

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为9的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得：

P（A）=■=■=■.

师生互动：

教师对学生没有注意到的关键点加以说明.

设计意图：

加深对古典概型的理解（尤其是等可能性），巩固学生对已学知识的掌握.

思考与探究：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3）的结果将没有区别. 这时，所有可能的结果将是：

■

P（A）=■=■.

观察下面两对骰子：

■

上面左右两组骰子所呈现的情况，可以让我们很容易地感受到，这是两个不同的基本事件.

设计意图：建立有效的模型，能缩短解决问题的时间，锻炼学生的数学思维.

■巩固提高

练习：1. 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案.假设某考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P（“答对”）=■=■.

探究：如果该题是不定项选择题，假如某考生也不会做，那么他能够答对的概率为多少？此时比单选题容易了，还是更难了？

2. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中任选一个，所选中的数是3的倍数的概率是_______________.

3. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，求所取的3个球中至少有1个白球的概率.

4. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，求b>a的概率.

师生互动：引导学生用列表的方式来列举试验中的基本事件的总数.

设计意图：随堂练习，及时巩固新知.

■课后作业

（必做）课本130页练习第1，2题课本134页习题3.2A组第4题、6题

（选做）课本134页习题B组第1题

设计意图：

学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足.

■教法、学法及评价分析

（一）教法分析

根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来. 最后在例题中加入模型的展示，帮助学生突破教学难点.

（二）学法分析

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神.

第5篇：初中数学概率列举法范文

论文关键词：初中数学，模拟实验，求概率

 

纵观新课标人教版初中数学统计与概率章节，笔者始终感觉用键盘问题做数学模拟实验的教学载体，学生探究热情低调，究其原因主要是缺乏农村学生数学生活化的体验。通过几年尝试教学与改进，我们发现初中数学模拟实验求概率的设计与应用可从以下角度思考和探索。

一、初中数学模拟实验设计原则。

1、生活性。试验内容要贴近学生生活,有利于学生经验思考与探索，内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情景化与知识化的关系．课程内容的呈现应注意层次化和多样化，以满足学生的不同学习需要．[1]

2、广泛性。避免以点代面，全盘考虑初中数学论文初中数学论文，分点试验。让抽样结果尽可能反映是按研究对象的共性特征。

3、随意性。每次实验方案的实施不提前预设，围绕方案任意活动，并直接获得需要的数据。

4、活动性。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学活动的主体，教师是数学活动的组织者与引导者，通过活动“致力于改变学生学习方式，使学生乐意并有更多精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”，才能还学习真正动机――因活动而快乐，因快乐而学习．[2]

二、初中数学模拟实验的适用条件。

由于随机事件的结果具有不可预测性，往往解决相关实际问题难以从根本上把握。分清初中数学模拟实验的适用条件，是进行有效设计和准确应用的关键毕业论文格式范文期刊网。

通过对模拟实验相关事件的综合分析，以及与列举法求概率相关事件的对比，我们不难发现模拟实验求事件的概率适用条件包括每次实验的所有可能结果不是有限个或每次实验的各种结果发生的可能性不相等。[3]

三、初中数学模拟实验的设计程序[4]与过程

1、确定设计方案（如投飞镖、做记号、数数量、抛硬币、掷骰子、转转盘、等）。

2、拟定统计栏目（总数、频数、频率）。

3、统计相关数据, 计算频率与数据规律分析。

在做大量重复试验时，可事先根据概率要达到的精确度确定数据表中频率保留的数位。计算频率一般保留两位或三位小数。

4、估计事件概率，获得最有价值的数据（用频率估计概率）。

通常用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少，一般要求的概率精度达到一位小数就可以了。

四、初中数学模拟实验的应用拓展（举例）

例1求不规则物体的面积。（投飞镖）

设计方案：小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC，为了知道它的面积，小明在封闭图形内画出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷飞标初中数学论文初中数学论文，[5]且记录如下：

统计图表：

 

投飞镖总次数

50

100

150

200

300

投中物体次数

 

 

 

 

 

  投中物体频率

 

 

 

第6篇：初中数学概率列举法范文

教师举例恰当，对帮助学生理解概念、掌握规律非常有利；如果举例不恰当，就可能导致学生思维混乱或形成认知障碍.那么合理举例应当注意哪些方面呢？

所列举的实例要简明扼要.只有符合学生认知水平，所举实例才是有效的.由于在新授课教学中主要侧重于感知和认识现象、理解和初步应用方法，因而所举的实例就不能太复杂，否则会导致重点不突出，达不到教学效果.如在讲静摩擦力时，就先不要举汽车行驶、人走路等实例，因为这些实例首先要区分汽车的主动轮和被动轮、人行走时前脚和后脚等复杂因素，学生一时半会难以进入问题实质.

所举实例要联系生活实际.“课程标准”要求物理教学要 “从生活走向物理，从物理走向社会”，所举实例就要常见易懂.物理教学正是因为有了实例才将物理知识和生活、社会联系起来，才显得生动活泼、形象直观.中学生在生活中观察和接触过很多的物理现象和过程，课堂教学中所举例子要注意与学生常识和生活对接.如果在教学中充分利用了学生已有的感性知识，并将书本知识深深植根于学生实际生活的土壤之中，教学效果会更好.如传送带向高处运送物体，既是生产中常见实例，也与商场自动扶梯的工作完全一致.考虑到难度控制和学生熟知程度，在这个例子中就不宜在新授课中研究传送带与两个轮子（主动轮和被动轮）之间的摩擦力.

所举实例要有典型性.所举实例在同一类现象中应举出有代表性和概括性.典型实例可以清晰地呈现知识和方法，正确诱导学生思维路径.典型实例还具有概括性，用尽量少的实例来说明更多的道理，或者用尽量少的数据，提供更多的信息.例如，研究静摩擦力情境主要有水平、竖直和倾斜三种典型状况；再如，比值式定义物理量也应该取最少数据进行充分的对比为宜.

课堂举例，看来事小，实则不易；切忌似是而非，云山雾罩.举例之后要紧扣物理知识和方法进行分析，事理结合，才能更好地以物明理.教师在日常教学中要注意积累总结，在头脑中形成“范例库”，进行课堂教学时才能信手拈来，恰到好处. 现举二例.

1定性说明――静摩擦力的方向

为说明“静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反” 这一结论，用如下三种情境（如图1水平推箱、图2竖直握瓶、图3倾斜运送）即可清晰、全面地概括常见问题.具体教学过程可以分为两作：

第一轮：在如图1、图2、图3三种情况下，均静止不动，引领学生感知、体会“运动趋势”，学会用假设法判断――假设接触面是光滑的，研究对象的运动方向就是运动趋势的方向.

第二轮：把图1情况置于匀速运动的车上；图2情况竖直握瓶（或者笔、尺子）水平、向上、向下或者其他方向匀速运动；图3情况随传送带沿斜面向上、向下匀速运动.组织学生分析、理解“相对运动趋势”.

如此，用学生最常见、最易理解，老师最方便、最顺手的实例，通过两个层次，由感知到理解和应用，用最少但是最典型的实例，来说明最全面、最深刻的道理.

2定量说明――列表引出比值式定义

数据列表，所取数据仍然需要符合简明扼要和典型性的原则.请先欣赏下面数据列表：

一组同学研究“金属线材伸长量与拉力的关系”的探究过程如下：

（1）有同学认为：横截面为圆形的金属丝或金属杆在弹性限度内，其伸长量与拉力成正比，与截面半径成反比.

（2）他们准备选用一些“由同种材料制成的不同长度、不同半径的线材”作为研究对象，用测距仪、传感器等仪器测量线材的伸长量随拉力变化的规律，以验证假设.

（3）通过实验取得如下数据：

长度 直径伸长拉力 250 N 500 N 750 N 1000 N1 m 2.52 mm 0.4 mm 0.8 mm 1.2 mm 1.6 mm2 m 2.52 mm 0.8 mm 1.6 mm 2.4 mm 3.2 mm1 m 3.57 mm 0.2 mm 0.4 mm 0.6 mm 0.8 mm（4）同学们对实验数据进行分析、归纳后，对他们的假设进行了补充、完善.

数据列表法引出比例关系时的关键，在于控制变量.上述表中数据虽然只有3组，但是其中2组的长度相等（都是1 m），2组的直径相等（都是2.52 mm）.数据虽少，信息却很丰富，是言简意赅的典范.

在物理概念教学中，有许多物理量是通过比值式定义的，如速度（v）、加速度（a）、功率（P）、电场强度（E）等均可以数据列表的方式引入概念.此时，都应该模仿上述列表中控制变量的思路，所取数据以“两两相等”为宜.以“加速度”的引入为例：

运动物体 初速度 末速度 运动时间

第7篇：初中数学概率列举法范文

1. 数据的收集与整理涉及到的概念比较多，主要有反映数据集中趋势的统计量――平均数、中位数、众数；反映数据的离散程度的统计量――极差、方差、标准差；统计中的一些基本概念――总体、个体、样本、样本容量、频数、频率等. 特别是统计图（表）的运用是本部分的重点，要求同学们会读图（表）、释图（表）、作图（表），还要求对统计图（表）中的信息作出识别与处理，给出评价. 本部分的复习要突出统计思想，用样本估计总体是统计的基本思想. 其基本结构图如下：

数据的收集与整理收集数据普查抽样调查总体个体样本―样本容量?摇?摇整理数据频数频率?摇描述数据―统计图条形统计图折线统计图扇形统计图频率分布直方图组数组距?摇?摇分析数据三数众数中位数平均数、加权平均数?摇三差极差方差标准差?摇?摇

2. 概率的内容主要包括必然事件、不可能事件、可能事件的意义区分；利用画树状图或列表法计算事件发生的概率以及借助计算结果进行决策. 本部分内容复习时要突出概率建模思想，对概率的计算问题，可以把不同背景下的各类问题加以变通，寻找他们之间是否存在相同的数学本质，对相同的一类问题，可以用一个概率模型来解决. 其基本结构图如下：

事件的种类必然事件随机事件―概率?摇范围― 0≤P（A）≤1用列举法求概率条件一次试验中可能出现的结果有有限个一次试验中各种结果发生的可能性相等?摇方法列表法画树状图?摇?摇用频率估计概率?摇不可能事件

■

例1 （2011江苏镇江）某地区有8所高中和22所初中，要了解该地区中学生的视力情况，下列抽样方式获得的数据最能反映该地区中学生视力情况的是（ ）

A. 从该地区随机选取一所中学里的学生

B. 从该地区30所中学里随机选取800名学生

C. 从该地区的一所高中和一所初中各选取一个年级的学生

D. 从该地区的22所初中里随机选取400名学生

分析：收集数据是解决统计问题的第一步，也是中考常考考点. 此类问题一般以填空和选择形式出现，考查同学们对普查和抽样调查的辨别能力，知道采取普查和抽样调查的必要性和价值，以及抽样调查需注意的问题.

解：抽样调查必须遵循的原则是所抽取的样本要具有广泛性和代表性，而A、C、D都不具有这两个特性，故选择B.

例2 （2011江苏南京）某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如图1.

（1） 求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数.

（2） 小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均数不可能提高3个这么多. ”你同意小明的观点吗？请说明理由.

（3） 你认为哪一组的训练效果最好？请提出一个解释来支持你的观点.

分析：利用所给的图表数据信息和特征补全图表，或者由方程的思想综合解决相关的问题是近年来综合考查统计问题的一种趋势.

解：（1）训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是■×100%≈67%.

（2）不同意，因为第二组平均成绩增加了8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（个）.

（3）本题答案不唯一. 可以认为第一组训练效果最好，因为训练后第一组平均成绩增长的百分数最大.

例3 （2011江苏连云港）如图2，一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1，2，3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几，棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度. 棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率. （用列表或画树状图的方法求解）

分析：分析事件的概率时，应学会用列举法（画树状图或列表）分析事件发生的等可能结果.本题结合正六边形，考查了对概率的理解和计算. 在复习过程中，要注意抽取方式有放回和不放回两种基本概率类型.

解：列表如下： 画树状图如下：

两球标号之和的所有可能之中，使棋子走到点C的有1种，到点D的有2种，到点E的有3种，到点F的有2种，回到点A的有1种，故棋子走到点E的可能性最大. P（走到点E）=■=■.

例4 （2011江苏扬州）扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目，另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项.

（1） 每位考生有_____种选择方案；

（2） 用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率. （友情提醒：各种方案用A、B、C……或①、②、③……等符号来代表可简化解答过程）

分析：本题是一道现实情境下的概率问题，在解决问题时，需要用分类思想，列举所有可能的结果.

解：（1） 4；（2） 用A、B、C、D分别表示4种方案，立定跳远、坐位体前屈；实心球、1分钟跳绳；立定跳远、1分钟跳绳；实心球、坐位体前屈.

画树状图如下：

小明与小刚选择同种方案的概率=■=■.

■

1. 方差的运算规则理解不清

例1 一组数据的方差是2，将这组数据都扩大为原来的3倍，则新得的一组数据的方差是

（ ）

A. 2 B. 6 C. 9 D. 18

错解：B.

错因：误认为一组数据都扩大为原来的3倍的同时，其方差也扩大为原来的3倍.

解析：设一组数据x1、x2…xn，其平均数为■，方差为s2，则数据3x1、3x2…3xn的平均数为3■，方差为■3x1-3■?摇2+3x2-3■2+…+3xn-3■2=9s2=9×2=18.所以，一组数据扩大为原来的n倍，则方差变为原来的n2倍. 故正确答案为D.

2. 混淆随机事件与必然事件

例2 下列说法正确的是（ ）

A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨

B. “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上

C. “中奖的概率是1%”表示买100张一定会中奖

D. “抛一枚正方体骰子，向上一面的数为奇数的概率是0.5”表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现向上一面的数为奇数

错解：A.

错因：对概率的本质没有完全理解，错误地将随机事件当做必然事件来理解.

解析：“降雨的概率是80%”是指降雨的可能性是80%；“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”是一种理论概率，同时也可理解为是一种实验概率，是通过很多次的实验，抛一枚硬币正面朝上的频率趋向于0.5得来，并非表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上；“中奖的概率是1%”表示“买100张，可能中奖1次”，这是随机事件，不是必然事件；答案D很好地解释了实验概率的意义. 故选D.

3. 基本统计量理解不全面

例3 为了解2009届本科生的就业情况，今年3月，某网站对2009届本科生的签约状况进行了网络调查，截至3月底，参与网络调查的12 000人中，只有4 320人已与用人单位签约. 在这个网络调查中，样本是________人，样本容量是________.

错解：样本是12 000人，样本容量是4 320.

错因：不理解样本和样本容量的含义，错误地把研究对象的载体（本科生）当作研究对象（签约状况）.

解析：样本是12 000名本科生的签约状况，样本容量是12 000.

4. 数据刻划对象不明

例4 如图3，公园里有两条石级路，哪条石级走起来更舒适？（图中数字表示每一级的高度，单位：厘米）

错解：■=■（15＋14＋14＋16＋16＋15）=15，■=■（19＋10＋17＋18

＋15＋11）=15，■=■，所以走两条石级路一样舒适.

错因：上台阶是否舒适，就看台阶的高低起伏情况如何，应该计算两条石级路台阶高度的极差、方差和标准差， 而不是看平均数.

解析：左边石级路台阶高度的极差为16-14=2，方差为■，标准差为■=■；

右边石级路台阶高度的极差为19-10=9，方差为■，标准差为■=■.

由以上计算可见，左边石级路的极差、方差和标准差都比右边小，所以左边石级路起伏小，走起来舒服些.

5. 看不懂统计信息图

例5 甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，提供了两种信息（如图4）.

甲调查表明：养鸡场的平均产鸡数从第1年的1万只上升到第7年的2.8万只；

乙调查表明：养鸡场的个数由第1年的46个减少到第7年的22个.

现给出下列四个判断：①该县第2年养鸡场产鸡的数量为1.3万只；②该县第2年养鸡场产鸡的数量低于第1年养鸡场产鸡的数量；③该县这7年养鸡的数量逐年增长；④这7年中，第5年该县养鸡场出产鸡的数量最多. 根据甲、乙两人提供的信息，判断其中正确的是________.

错解：①③

错因：解题时没有看懂信息图，没有弄清楚问题问的是什么，而把图4中的养鸡场的平均产鸡数当做养鸡场产鸡的总数量.

解析：每年产鸡的数量应该是每年的养鸡场个数乘以每年的平均产鸡数，由信息图可算出这7年里各年产鸡的数量分别为46万只，54.6万只，60.8万只，64.6万只，66万只，65万只，61.6万只，因此只有④正确.

■

例1 2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播. 小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，图5是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）. 请你根据图3中提供的信息解答以下问题：

（1） 求该班共有多少名学生；

（2） 在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；

（3） 在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；

（4） 从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？

巧思：试题以两幅不完整的统计图――扇形图和条形图为研究载体，考查了同学们对统计图所表达的实际意义的理解程度，以及概率等基本知识. 试题的切入点是对照两种统计图，找出能从不同的两个角度反映出同一个统计量的数据，如统计图中的A统计量，从扇形图中可知，A所占百分比为10%，同时从条形图中可知，A的人数为5，这样便可由描述A统计量的这2个不同数据求出样本的容量，其他的问题便迎刃而解了.

妙解：（1） 5÷10％=50（人）.

（2） 见图6.

（3） 360°×■=144°.

（4） P=■=■.

例2 四张质地相同的卡片如图7所示. 将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；

（2） 小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平.

巧思：本题先要判断游戏是否公平，应首先通过画树状图或列表分别求出游戏双方获胜的概率，之后进行比较即可得出是否公平的结论. 在游戏不公平的情况下修改游戏规则使游戏公平，那么只能在规则上做文章. 规则的修改一般有两种选择：一是修改规则中所界定的数字或所考查的事件，如采用解法中的方法1和方法3；二是给每种出现的结果赋予适当的分值，如方法2.

妙解：（1） P（抽到2）=■=■.

（2） 根据题意可列表

从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种，

P（两位数不超过32）=■=■. 游戏不公平.

调整规则：

方法1：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平. 方法2：游戏规则改为“抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分”. 方法3：游戏规则改为“组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜”.

■

1. 下列说法中：① 一组数据不可能有两个众数；② 将一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，方差恒不变；③ 随意翻到一本书的某页，这页的数码是奇数，这个事件是必然发生的；④ 要反映西昌市某一天内气温的变化情况，宜采用折线统计图.其中正确的是（ ）

A. ①和③ B. ②和④ C. ①和② D. ③和④

2. 在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_____________.

3. 有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个. 为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为_________.

4. 图8是小强同学根据某地某天上午和下午四个整时点的气温绘制成的折线图. 请你回答：该天上午和下午的气温哪个更稳定？

答：_______；

理由是_________________________.

5. 为迎接建党90周年，某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种. 现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图9中的两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

（1） 求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；

（2） 已知该校收到参赛作品共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有多少份？

6. 为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如图10中的两幅不完整的统计图：

（1） 求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2） 某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率.

7. 甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球，乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球. 从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍.

（1） 求乙盒中蓝球的个数；

（2） 从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.

■

1. B. 2. ■. 3. 600.

4. 上午，因为上午温度的方差大于下午温度的方差（或标准差） .

5. （1） 120. 补全两幅统计图如图11. （2） 360.

6. （1） 4. 补全条形统计图如图12.

第8篇：初中数学概率列举法范文

一、对概念理解有误

例1 “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）

A.确定事件 B.必然事件

C.不可能事件 D.不确定事件

【错误解答】C.

【错因分析】统计与概率部分涉及的概念较多，如总体和个体、样本和样本容量、频数和频率、平均数和加权平均数、极差和方差、概率和频率等等.我们不仅要记下这些概念，更要掌握它们的联系和区别.本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.在本题中，“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，即选D.

二、对放回与不放回理解有误

例2 “某学校学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品.

（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）

（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率.

【错误解答】第（2）小题概率为[18].

【错因分析】第（2）小题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法适合两步完成的事件，树状图法则适合两步或两步以上完成的事件.解题时要注意此题属于不放回实验.在以后解决类似的问题时，需要分清题型是属于“有放回”还是“无放回”问题，在这两种不同的情况下，得到的所有等可能情况是完全不同的.

【正确解答】

（1）“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件.

（2）树状图法：

即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为[212]=[16].

三、Φ瓤赡苄缘睦斫庥形

例3 （1）如图1，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的.求投一个小球落到A的概率.

（2）如图2，有如下转盘实验：

实验一 先转动转盘①，再转动转盘①；

实验二 先转动转盘①，再转动转盘②；

实验三 先转动转盘①，再转动转盘③；

实验四 先转动转盘①，再转动转盘④.

其中，两次指针都落在红色区域的概率与（1）中小球落到A的概率相等的实验是 .

（只需填入实验的序号）

【错误解答】第（1）小题概率为[13].

【错因分析】第（1）小题中落到B的可能性的大小与落到A、C的可能性的大小是不一样的，即这并不是一个等可能的实验.如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A出现的概率为P（A）=[mn].特别注意，只有在所有等可能事件中才能用此公式进行计算，借助树状图、列表法可以不重复不遗漏地列举出所有等可能的情况，可避免犯类似的错误.

【正确解答】

（1）如图，可画树状图：

由上图可以看出，可能出现的结果有（a，c），（a，d），（b，e），（b，f）共4种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足小球落到A的结果只有一种，即（a，c），所以P（小球落到A）=[14].

（2）一，四.

四、对图表信息的理解有误

例4 某校九年级（1）班学生进行了一周的体育毕业考试训练，下面是该班学生训练前后的测试成绩统计图表.（其中，统计图不完整.）

训练前成绩统计表（满分30分）

（1）根据统计表提供的信息，补全统计图.

（2）下列说法正确的是 .（填写所有正确说法的序号.）

①训练前各成绩段中，人数最多的是“24～26”；

②训练前后成绩的中位数所落在的成绩段由“24～26”变到了“27～29”.

（3）小明说：“由统计表、统计图可知，训练后成绩的平均数一定大于训练前成绩的平均数.”你认为他的说法正确吗？如果正确，请通过计算说明；如果不正确，请举例说明.

【错误解答】对第（3）问，小明的说法正确.

【错因分析】不能因为训练后的数据中的高分比训练前的数据中的高分多，就简单认为训练后的平均分高.在这个题目中，数值选得不一样，可能会对结果产生影响.

【正确解答】（1）24-26分段为10人，补全统计图略；（2）①；（3）不一定.理由如下：

若训练前各段成绩取最大值，则总成绩为20×6+23×8+26×9+29×8+30×5=920；

若训练后各段成绩取最小值，则总成绩为18×2+21×8+24×10+27×9+30×7=897.

第9篇：初中数学概率列举法范文

【关键词】随机变量列；切比雪夫不等式；中心极限定理

切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望μ和方差σ2，则对于任意正数ε，如下不等式成立P{X-μ≥ε}≤■。切比雪夫（Chebyshev）不等式的应用：在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值．设{Xn,n≥1}是随机变量列，如果存在一列实数{an,n≥1}和一列正数{bn,n≥1}，使

则称{Xn}服从中心极限定理，其中N(a,σ2)表示数学期望为a，方差为σ2的正态分布。

例：现有一大种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？

解：设取出的种子中的良种粒数为X，则X~B(6000,1/6)，于是

EX=np=6000×■=1000

DX=np(1-p)=6000×■×■=■×1000，

（1）要估计的规律为P{■-■＜■}=P{X-1000＜60}，相当于在切比雪夫不等式中取ε=60，于是

P{■-■＜■}=P{X-1000＜60}≥1-■

由题意得：1-■=1-■×1000×■=1-0.2315=0.7685，即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685。

（2）由拉普拉斯中心极限定理，对于二项分布B(6000,■)可用正态分布N(1000,■×1000)近似，于是所求概率为

P{■-■＜0.01}=P{940＜X＜1060}

≈Φ(■)-Φ(■)

≈2Φ(2.0785)-1

≈0.9625

从本例看出：用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685，而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625。从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，但由于它的要求比较低，只要知道X的期望和方差，因而在理论上有许多运用。当Xi独立同分布（可以是任何分布），计算P(a＜X1+・・・+Xn≤b)的概率时，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率，在实际问题上广泛运用。

随机变量是概率论与数理统计的重要部分，其性质和定理是概率论的基础和研究的工具，它的应用在概率论中也有着非常重要的作用。然后对随机变量序列中的概率极限理论、切比雪夫不等式和中心极限定理的理论作了深刻的研究。利用随机变量序列的各种性质和定理来恰当的处理现实生活中的实际问题，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，严谨、求实的治学方法和态度，进行初步的科学研究训练和创新意识、创新能力及获取新知识的能力。

由于本人水平有限，本文只是对随机变量序列敛散性比较常见的判别法予以分析举例，对于其它领域的新应用还有待于进一步探索及研究。

参 考 文 献