三角函数值精选(九篇)

第1篇：三角函数值范文

关键词：三角函数；最值；题解

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

前言

在数学教学中三角函数是学习章程中独立的一章，也是在历年的考试中重要的考点之一，要想把三角函数学好，首先必须要对之前所学的三角公式灵活运用，能快速的看出需要变形的恒等。三角函数的最值运算是结合了许多数学知识和运算方法，所以在解题的过程中很可能会因为变形错误、问题理解错误等诸多问题而最后影响了运算结果。所以在学习三角函数最值的时候，同学们应有针对性的学习，对教学的重点、难点提前预习，理解渗透三角函数的应用公式，学习的时候注意听老师的思维方法和解题步骤，这样会对学习三角函数最值有很大的帮助。

在求最值的问题的时候首先要了解求什么类型的最值，其中三角函数的的最值是利用三角函数性质来解决，如果是求一般的最值问题，现在普遍运用的方法一种是利用函数的单调性，另一种是利用导数，在学习三角函数之前可以把曾经做过的有关最值问题进行细致总结，分析题目中所给出的几个方向，方向的选择是通过读题，如果出现多套思路，只要灵活运用所学到的数学方法去处理问题就行。

1 求三角函数最值的方法

求三角函数最值的方法有很多，其中最常用的有配方法、反求法、分离常数法、辅助角法、换元法、不等式法等方法，但是在学习三角函数最值的时候，如果让学生学习如此多的方法，会使他们造成公式混乱更加难以理解学习的内容，学到最后连最基本的方法都没有掌握，出现“丢西瓜捡芝麻”的情况。所以在学习三角函数最值的时候，重点掌握三种方法，它们是所有方法当中最基本也是最常用的，有配方法、反求法、辅助角法，其中反求法的应用范围与分离常数法是异曲同工之妙，它们都要在掌握变形的是同时又需要灵活运用，这种方法通俗易懂、化繁为简，但是分离常数法不能像反求法一样作为重点学习。

在对运算公式和方法融会贯通之后，就要运用实例来测试自己的学习成果，但不是所有的例题都能反映出学习效果，要做有特点的例题，因为这种例题能够很好的反映和体现三角函数最值的求法和变形，还能通过这种例题反映出在做题过程中应注意的细节问题和容易出错的地方，通过做题更深入的了解这三种运算三角函数最值的方法。三角函数最值的学习还是要通过老师得讲解和同学的实际运算相结合，因为三角函数最值的方法是固定的，只有在老师讲解完学生理解之后才能自己独立做练习题，只有充分发挥这三种方法，并多加练习，才能提高三角函数最值的学习效率。

2 三角函数最值的解题思路

如果是属于三角函数方向的题目，在解题思路上不应该出现不容易把握的状况，那么在三角变换这个方向上，三角题目的解题方向有的同学在学习过程中把握不好，其中有很多原因，比如在答题时看到题目，套用一个公式写上去，答完之后发现所用的公式不对，然后重新再换一个公式答题。总是这样的反复套用，就显得思路混乱，对公式的掌握程度不够，往往有的时候，第一次考虑一个公式往上一用，题目解的很顺，就会认为已经对三角函数掌握的很好，但是当下一次依然运用这个公式的时候，问题没有解开，然后又选择第二个甚至第三个公式，依旧解不开，于是会对心里就会产生影响，这是学生在学习三角变换中很常见的现象。主要原因就是因为三角函数的公式很多，变换的形式多变，这就好像走到了十字路口，然后站在中间，接下来还有许多条路，但是我们只需要选择最短最快的一条路，而我们站在路中间看不清楚，这跟解答三角函数最值问题是相似的，所以就要求在解答三角函数最值的时候对已知条件仔细研究，准确分析，根据具体的题目，考虑是先从和角公式还是差角公式着手，然后在分析两角之间存在的必然关系，函数与函数的关联，题目分析准确之后掌握好解题方向，把应该用到的公式结合起来，按照解题步骤一步一步的解答。只有按照以上方法进行分析三角函数最值才是合理的、准确的。

2.1 给角求值

三角函数中最值问题应熟练掌握三角函数中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式，还要具有逆向思维的头脑，将非特殊角转化为特殊角例如：30°、60°、90°，写明求值的过程，然后进行解析，总体来讲就是先将角度转换在利用切割化弦运算依次是化为特殊角最后是约去部分，解决这类问题的关键就是特殊角转换，然后约去非特殊角。

2.2 给值求值

给值求值这种三角函数求值法的运算过程中，经常会遇到同角之间的运算关系和推论方法，给值求值的关键就在于利用已经给出的条件与要求得的值之间角的运算，对于已知条件和未知条件之间进行转换或者是变形，达到求解的目的。

3 三角函数问题中常见错误分析

三角函数作为数学章程中独立的一部分，它的特点鲜明，其中需要熟悉掌握的公式比较多，需要灵活的变换公式，往往一道问题会有多个答案出现的情况，所以导致了在解题的过程中会因为思维混乱而陷入误区，但还是因题而异。

3.1 定义域

三角函数中的恒等之间变换必须要使三角函数是有意义的，在区间内的任意角范围不能改变的情况下，对于切角和割角的定义域范围就显得尤为重要，要仔细分析研究切割角两类函数，否则很容易造成运算失误，最终导致答案错误。

3.2 单调性

三角函数运算过程中会给出一部分已知条件，利用已知条件去求某一项，这个时候很多人在答题时经常性的忽略单调性，如果是在某一区间上的角，这样就会使答案增加。

4 三角函数求值域的类型

在解决三角函数的时候，还有可能会遇到求值域的问题，在解决值域问题的时候，一定要熟练运用三角之间的代换，看到题目的时候不要急于解答，要先仔细观察，分析研究给出的已知条件，大多情况下都是利用数形结合的运算技巧。

例如： f(x)=asinx+b，这种函数我们可以把它看作是定义中的某个函数，那么这种函数的最值就是[f(x)]max= +b；[f(x)]min= +b

4.1 双曲线型

例如：f(x)，这样的函数就可以把它看作是双曲线函数在某个区间上的图形，函数值有可能在双曲线的一支上，也有可能函数值分别在双曲线的两支上。

4.2 抛物线型

例如：f(x)=asin2x+bsinx+c (a≠0)，这样的函数可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)在x （-1，1）时的函数值范围，当这个函数值在一定区间下，达到一个最值，而另一个最值，在另一个区间，如果函数是在某个区间上单调，那么它的最值应该是在两端点处。

结论

综上所述，三角函数在惯例考试中是经常出现的数学题目，通常试卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函数之间的关系，还有三角函数的恒等变形的灵活运用程度。三角函数覆盖了丰富的数学公式，复杂的运算步骤，需要注意的是在学习三角函数的时候，必须要准确的牢记三角函数所有公式，熟练的使用变换方法，根据不同的问题思维要灵活，把所学到的公式融会贯通，这样就会顺利的解决问题。

参考文献

[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究,2004,(1).

第2篇：三角函数值范文

关键词：三角函数;值域;求法

一、可化为y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2

=sin2x+cos2x+2

=2sin(2x+π4)+2

y∈［2-2,2+2］

二、可化为二次函数

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因为cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.

三、反解法

例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域

解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4

所以（2y-3)cosx=2y+4.

所以cosx=2y+42y-3.

|cosx|=|2y+42y-3|≤1

解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)

四、当式子中同时含有sinx±cosx,时，常使用换元法

例4 当x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

简解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］

所以2sinxcosx=1-t2

所以y=-t2+t+1∈［-1,54］

五、配对法

例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范围.

cosx+cosy=t (1)

sinx+siny=1(2) 两式平方相加得：

2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］

所以t∈［-3,3］.

六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角函数的值域照样适用

如分离常数法：

例6 若cos2x+2msinx-2m-2

简解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，

sinx-1=t∈［-1,0)

所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.

所以m>-12.

巧用“对比法”解题

江苏靖江季南初中(214523)  陈一平

对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.

例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在研究“沙子和水谁的吸热本领大”时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间变化的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：

(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?

(2)请根据图象说出水在受热过程中温度变化的特点.

(3)加热满2 min时,水吸收了多少热量?

(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精如果完全燃烧将放出多少热量?

(5)试求出沙子的比热容.

图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，吸收相同热量时沙子温度升得多.

(2) 水在受热过程中温度变化呈先快后慢，至沸腾时温度保持不变的特点

(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J

(4) m=0.8 g×10=8 g

Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg

=2.4×105 J

分析：其中（1）（2）（3）（4）解题如上，不再多赘.

（5）的解题部分同学解题如下：

取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J

C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)

理由是：根据图象、题意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃烧放出的热量可以求出，放出的热量是供沙子升温的，且题目没有给出沙子吸收的热量是酒精燃烧放出的热量的百分比，那沙子吸收的热量就等于酒精燃烧放出的热量.所以解题如此.如果我们采用“对比法”，就会正确找到沙子在t=2 min内吸收的热量了.

共同点：①沙子与水的质量都是200 g；②两只完全相同的酒精灯同时加热.

不同点：①加热对象分别是沙子、水； ②图象中可以看出在相同时间内沙子与水升温不同

再根据苏科版物理九年级上P41的信息快递：如果加热方法完全相同，就可以认为单位时间内物质吸收的热量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的热量等于水吸收的热量4.2×104 J了，这个热量小于1.6 g酒精燃烧放出的热量4.8×104 J.题目的难点就会突破，解题也就豁然开朗、水落石出了.

第3篇：三角函数值范文

一、配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们的最高次数是2时,一般可通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.

例1 求函数y=5sinx+cos2x的最值.

分析 题目中的三角函数名一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和倍角,所以可先化简,使三角函数的名和角达到统一,然后配方求最值.

解 y=5sinx+(1-2sin2x)=-2sin2x+5sinx+1

=-2(sinx-■)2+■.

-1≤sinx≤1,

当sinx=-1,即x=2kπ-■(k∈Z)时,y■=-2×■+■=-6;

当sinx=1,即x=2kπ+■(k∈Z)时,y■=-2×■+■=4.

说明 形如y=asin2x+bsinx+c和y=acos2x+bcosx+c的三角函数式,都可用配方法求最值.

二、界值法

在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征――有界性,利用正弦函数与余弦函数的有界性,是求解三角函数最值的最基本方法.

例2 求函数y=■的值域.

分析 此为y=■型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同名、同角,这类三角函数一般先化为部分分式,再利用三角函数的有界性求解. 或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性求解.

解 原函数可变形为y=1+■.

又|cosx|≤1,可直接得到y≥3或y≤■.

说明 形如y=■(或y=■)的三角函数最值问题都可用界值法来解.

三、辅助角法

当题目中的三角函数式比较复杂时,我们可以利用倍角公式进行降幂,先化成 f(x)=asinωx+bcosωx+c的形式,并引进辅助角,最终化成 f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再求最值.

例3 已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),求函数f(x)的最小正周期和最大值.

分析 在本题的函数表达式中,既含有正弦函数,又含有余弦函数,并且含有它们的二次式,故需设法通过降次化二次式为一次式,再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式.

解 f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+■sin(2x-■).

f(x)的最小正周期为π,最大值为1+■.

说明 解这类问题先降幂是关键,一般常用以下四个三角公式来降幂:sin2x+cos2x=1,cos2x=■,sin2x=■,2sinxcosx=sin2x.

四、换元法

对于表达式中同时含有sinx±cosx与sinxcosx的函数,运用关系式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值,但必须注意换元后新变量的取值范围.

例4 求函数f(x)=■的值域.

分析 式中有两个三角名,可通过角的变换转化为代数式求函数值域问题.

解 令sinx+cosx=t,则t=■sin(x+■),t∈[-■,■].

又因为1+sinx+cosx≠0,所以t≠-1,

于是t∈[-■,-1)∪(-1,■].

又由 2sinx・cosx=t2-1得sinxcosx=■,

所以f(x)=g(t)=■=■(t-1),t∈[-■,-1)∪(-1,■].

第4篇：三角函数值范文

一、 利用三角函数的有界性求最值

利用三角函数的有界性求三角函数的最值，关键在于应用三角函数的公式、性质将三角函数式化为复角的单名函数式或某些已知其最值的三角函数，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函数y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函数y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=决定。

又因为 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用变量代换法求最值

求三角函数的最值时，有时选取适当的变量代替式中的三角函数式，能使问题迎刃而解。但作变量代换时要特别注意式中变量的取值范围。

例3 求函数y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），则sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函数y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函数变形得y=sin2x-4sinx+5。

设sinx=t （-1≤t≤1），

则得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，当t=1时，ymin=2。

当t=-1时，ymax=10。

三、应用平均值不等式求最值

应用平均值不等式来求三角函数的最值，关键在于恒等变形，把三角函数式变为能应用平均值不等式的基本形式。

例5 求函数y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=时，ymin=（a+b）2。

四、利用几何图形性质求最值

利用几何图形性质求最值的特点是直观、简洁，将最值问题转化为求直线的斜率问题，求形如y=的最值关键在于把F（f（θ），yθ）=0看作一条曲线的方程，那么y=等于曲线上的动点A（f（θ），g（θ））与定点B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲线上找一点，使KAB最大或最小。

例6 求函数y=的最值。

分析：如下图，函数y的几何意义是定点A（2，2）和动点B（cosθ，sinθ）的连线的斜率KAB，动点B的轨迹是圆x2+y2=1，当过点A的直线与圆相切时，切线AB、AB'的斜率KAB、KAB'就是所求的最值。

第5篇：三角函数值范文

一、复数辐角主值与其他反三角函数的关系

z1=arctanyx；（-∞，+∞）；（-π2，π2）；

z2=arcsinyx2+y2；[-1，1]；[-π2，π2].

z3=arccosxx2+y2；[-1，1]；[0，π]；

z4=arccotxy；（-∞，+∞）；[0，π].

复数辐角主值与其他反三角函数的关系如下表：

象限

关系第一象限

x>0，y>0第二象限

x0第三象限

x

x>0，y

z1与argzargz=z1argz=z1+πargz=z1-πargz=z1

z2与argzargz=z2argz=z2+πargz=z2-πargz=z2

z3与argzargz=z3argz=z3argz=-z3argz=-z3

z4与argzargz=z4argz=z4argz=z4-πargz=z4-π

轴向

关系x轴正半轴

x>0，y=0y轴正半轴

x=0，y>0x轴负半轴

x

x=0，y

z1与argzargz=z1=0z1不存在argz=z1+π=πz1不存在

z2与argzargz=z2=0argz=z2=π2argz=z2+π=πargz=z2=-π2

z3与argzargz=z3=0argz=z3=π2argz=z3=πargz=-z3=-π2

z4与argzz4不存在argz=z4=π2z4不存在argz=-z4=-π2

二、应用

1.巧解反三角问题

例1计算arctanx+arctan1-x1+x（x

解：x

-π2

-π

arctan（-x）+arctanx-1x+1

=arg（1-xi）+arg[（x+1）+（x-1）i]

=arg（1-xi）[（x+1）+（x-1）i]

=arg[（x2+1）-（x2+1）i]

=-π4.

arctanx+arctan1-x1+x=π4.

2.求角问题

例2若α，β为锐角，tanα=17，sinβ=110，

试证：α+2β=45°.

证明：α，β为锐角tanα=17，sinβ=110，

又α+2β=arg[（7+i）（3+i）2]

=arg（50+50i）=arg[502（cosπ4+isinπ4）]，

α+2β=π4=45°.

3.求解反三角函数的证明题

例3已知a2+b2=c2，

arcsin1a+arcsin1b=π2（a≠0且b≠0），求证：ab=c.

证明：arcsin1a+arcsin1b

=arc（a2-1+i）+arg（b2-1+i）

=arg[（a2-1）（b2-1）-1+（a2-1+b2-1）i]

=π2.

（a2-1）（b2-1）=1，即a2b2=a2+b2.

又a2+b2=c2，

ab=c.

综上所述，在解决复杂的反三角问题时，如果不能直接求解，可将它转化为复数辐角问题，或可收到意想不到的效果.

参考文献

钟玉泉.复变函数论.北京：高等教育出版社，2013.

李中恢.复数法在三角问题中的应用.南昌：南昌高专学报，2008（4）.

第6篇：三角函数值范文

问题1：请用一条直线，把ABC分割为面积相等的两部分。

解：取BC的中点，记为点D，连结AD，则AD所在直线把ABC分成面积相等的两个部分。

大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过ABC的三条中线的直线，能把ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于ABC边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。

问题2：点E是ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E求作一条直线，把ABC分成面积相等的两部分。

解：如图2，取AB的中点D，连结CD，过点D作DF∥CE，交BC于点F，则直线EF就是所求的分割线。

证明：设CD、EF相交于点P

点D是AB的中点

AD=BDSCAD=SCBD

S四边形CAEP＋SPED=S四边形DPFB＋SPCF

又DF∥CESFED=SDCF（同底等高）

即：SPED=SPCF

S四边形CAEP=S四边形DPFB

S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋SPED

即S四边形AEFC=SEBF

由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。

那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？

大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三条中线交于它的重心，如果这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重心。

问题3：已知：如图3，在ABC中，G是ABC的重心，过点G作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：SAEF=SABC.

证明：延长AG，交BC于点D

点G是ABC的重心

AG:AD=2:3

又EF∥BC，AEF∽ABC

由本题可得：过AB边上的点E，经过重心G的直线，EF把三角形面积分为4:5两部分，直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过点E把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G。

综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。

1.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°

=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

2.给值求值给出角的一种三角函数值，求另外的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解决问题的目的。

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1

α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

第7篇：三角函数值范文

1.《三角函数》在中学数学中的地位

《三角函数》是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究的方法主要是代数的研究方法，因此，三角函数的学习已经初步把代数和几何联系起来了.《三角函数》知识是在幂函数、指数函数、对数函数之后进行研究学习的，而对于人教版数学必修一第一章的内容，学生因为没有适应高中的学习环境，对新的知识、新的学习方法掌握得不是很好，《三角函数》的学习有利于学生进一步理解研究函数的思想和方法.

2.《三角函数》的教材编排

中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段，主要研究《锐角三角函数》和《解直角三角形》的内容.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.

3三角函数重点知识的教学讨论

“三角函数”的内容，主要是任意角三角函数的概念、三角函数诱导公式以及三角函数图像与性质三方面的知识，掌握好这些基础知识，是三角函数应用的基础，是学习其它知识的奠基.

3.1“任意角的三角函数”的概念教学

任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义.它是本节乃至本章的基本概念，是学习其它与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要作用.解决这一重点的关键，是引导学生学会用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示三角函数.

在本节课的教学过程中，最重要的是引导学生回顾初中时学习的锐角三角函数的定义，从原有的认知基础出发，来认识任意角的三角函数的定义.引导学生在直角坐标系中讨论，用坐标法研究锐角三角函数，进一步讨论改变终边上的点的位置是否改变其比值.在得出结果之后，再引导学生思考，逐步引入单位圆，利用单位圆定义任意角的三角函数，此时再结合"任意角和弧度制"中的相关知识.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.在给出三角函数的定义之后，使学生明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f（x）表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等式是没有意义的.根据三角函数可以看成是自变量为实数的函数，进而引导学生讨论函数的定义域、函数值等问题，同时引导学生根据定义，利用数形结合的方法判断三种函数的值在各象限的符号.利用单位圆以及三角函数线知识，推导出同角三角函数的基本关系式：.

任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点.无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质等，都具有重要的意义.

3.2“三角函数的诱导公式”的应用教学

3.3“三角函数的性质与图像”的重点教学

三角函数的图像和性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是三角函数的重点.教材中主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，要求学生熟练掌握三角函数图像的形状特征，并能在图像直观下研究函数的性质.教师在教学过程中利用信息技术工具（如几何画板），快捷地作出三角函数的图像，利用动态演示功能，帮助学生发现图像的特点，观察函数变化的过程，运用数形结合的方法研究三角函数的性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图像，使学生认识及运用三角函数的性质.

在讨论过正弦函数的图像之后，再结合图像总结正弦函数的性质.由于在这之前学生已经学习了指数函数、对数函数的性质，因此可以根据类似的思想讨论正弦函数的性质，得出正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，及其奇偶性、单调性.

其次是余弦函数图象与性质.如同正弦函数图像，利用余弦线作余弦函数图像比较复杂，因此根据教材的建议，在作出正弦曲线的基础上，利用诱导公式六，通过图像变换得出余弦曲线.使学生加强正弦函数与余弦函数的联系，为学生提供通过图像变换作出函数图像的机会，渗透数形结合思想.接下来的讨论可以根据研究正弦函数图像的方法，包括对余弦函数性质的探讨.

第8篇：三角函数值范文

关键词： 中学数学 三角函数问题 数学思想

一、数形结合思想

数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题.可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系.体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图像求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等.

例1.比较sin，cos，tan的大小.

解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，但如果我们注意到，，相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分比较它们各自函数值的大小.

如图所示，

设a=sin，b=cos，c=tan，

可知，b＜0＜a＜c，

因此，cos＜sin＜tan.

二、分类讨论思想

分类讨论是一种重要解题策略，“分类”，相当于缩小讨论范围，故能使复杂问题简单化，从而将问题化整为零，各个击破.体现在三角函数值受角所在象限的影响，在不同的象限有不同的三角函数值，因此就应根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论.

例2.化简：cosπ+α+cosπ-α，（n∈Z）

解析：原式=cosnπ++α+cosnπ--α

（1）当n为偶数即n=2k，（k∈Z）时：

原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α

=cos+α+cos+α=2cos+α

（2）当n为奇数即n=2k+1，（k∈Z）时：

原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α

=-cos+α-cos+α=-2cos+α

cosπ+α+cosπ-α=（-1）2cos+α

三、转化与化归思想

把所研究的问题转化为与之等价的问题，将陌生问题转化为熟悉问题，从而于找出问题的解决方法.体现在三角函数中就是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题.

例3.求函数y=tanx+cotx-secx-cscx，x∈-，0的值域.

解析：先切割化弦，统一函数名称，

得y=+--=.

令t=sinx+cosx，则sinxcosx=，t=sinx+

因为x∈-，0，所以t∈（-1，1）

于是求原函数的值域就转化为求函数y=-，t∈（-1，1）的值域，解得y∈（-∞，-1）.

因此，原函数的值域为（-∞，-1）.

四、整体的思想

体现在三角函数中主要是利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等.

例4.已知为三角形的一个内角，且满足sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.

解析：由条件和问题联想到公式（sinx±cosx）=1±sinxcosx，可实施整体代换求值.

由sinx+cosx=两边同时平方，得sinx+2sinxcosx+cosx=，

即2sinxcosx=-.

因为（sinx-cosx）=1-2sinxcosx=，

又因为x为三角形的一个内角，sinx+cosx=＞0，2sinxcosx=-＜0，

所以sinx＞0，cosx＜0，则sinx-cosx＞0.

所以sinx-cosx=.

五、函数与方程思想

三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想.体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最直接体现.

第9篇：三角函数值范文

【关键词】三角函数；化简；求值；图像；性质；应用

三角函数是高考的热点和重点，每年都会在主观题和客观题上出现它的身影。三角函数具有一般函数的性质，还具有自己独特的特性――周期性和对称性，使其产生并可以解决的问题内容多样、丰富多彩。在每年的高考中，围绕三角函数的考题具有新意，给人新颖的感觉，这已经成为了高考命题的热点。下面就三角函数在高考中如何考，谈谈自己的几点看法：

一、三角函数的化简、求值、求最值

三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，优化学生的解题效果，做到事半功倍。

求值问题的基本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④化简求值。

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三角函数的化简、求值及求最值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。

二、三角形中的三角函数，即解三角形

分析近几年的高考试卷，有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。

评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。

三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题

此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题，考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，合理分析已知量间的关系，总是能够解决问题。解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等，其基本步骤如下：

第一步，阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步，搜集整理数据，建立数学模型。根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型。

第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果。

第四步，将所得结论转译成实际问题的答案。