三角形三边关系精选(九篇)

第1篇：三角形三边关系范文

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）07A-0064-02

在“三角形三边关系”的教学中，学生对于“三角形两条边的长度和大于第三边”的真正含义比较难理解。怎样在教学过程中对这个问题进行有效的突破，下面谈谈个人的一些教学体会。

一、聚焦三边关系的特点，寻找最佳突破口

三角形三边关系的特点是“三角形两边的和大于第三边”。在教学开始时，让学生用小棒摆三角形，小棒的长度分别为10厘米、6厘米、5厘米、4厘米不等，这样就出现有些小棒可以围成三角形，有些不能围成三角形。出现这两种不同的情况，应该选哪一种作为突破呢？有一位教师是这样教学的：

师：你们用小棒摆的图形中，边的长度有什么关系？

根据学生回答，教师在各自的图形下板书算式：

师引导学生观察图①、图②，提问：这两种情况为什么能围成三角形呢？学生回答：因为每两条边的和都大于第三边，能围成三角形。

师再指图③、图④问：这两种情况为什么不能围成三角形？是哪两边的长度和没有大于第三边呢？

学生发现图③、图④因为较短两条边之和不大于第三边，所以不能围成三角形。

教师引导学生小结：三角形中，任意两条边的长度和大于第三边。所以，判断能否围成三角形，只要看较短两边的长度和是否大于第三边就可以了。

在上述的教学中，看似学生顺手、课堂顺利、教师顺心，似乎没有什么欠缺和漏洞，但总有一种强拉着学生“吃快餐”的感觉。学习过程中我们感觉不到学生主动探知的欲望，而是教师让观察什么，学生就观察什么；教师引导发现什么，学生就发现什么。学生的思维被“绑架”着去思考教师的问题。在设计课堂教学的同时，教师没有意识到学生也被“设计”了。

为了让学生产生探究的欲望，笔者进行了这样的设计：

游戏导入：全班分成4个组，把任意的3根小棒分给每个组，比一比哪一组围成三角形的速度快。

学生操作几分钟后，有些组利用小棒围不成三角形，然后引导学生讨论：为什么有两组的3根小棒围不成三角形呢？怎样改变小棒的长度就能围成？三条边的长度要满足什么条件才能围成三角形？

学生在富有挑战的游戏中，迅速把思维聚焦到不能围成三角形的原因分析上。在寻找原因和解决问题的过程中，学生明白了：不是任意长度的3根小棒都能围成三角形，只要其中有2根小棒的长度和小于或等于第三边，就不能围成三角形。

这样，学生真正找到了不能围成的原因，很好地理解了围成三角形所需要的三边长度关系。以“不是”来诠释“是”，比不厌其烦地强调和枯燥无味地重复，更易于让学生理解。

二、抓住三边关系的重点，引导学生全面感知

从不能围成三角形的图形上，学生直观地看到了：因为其中一组两条边的长度之和没有大于第三条边，所以不能围成三角形。这种认识还是肤浅、片面的，学生的眼睛里看到的、大脑中想到的，只有不能围成的两条边，其他两组两条边的长度和是否也要大于第三条边呢？他们基本不会去思考。如何让学生由对其中两条边长度和的关注，成功“引渡”到对每两条边长度和的关注？为此，笔者设计这样的教学：

月月拿着7厘米、2厘米、4厘米的3根小棒，联想到刚学过的三角形三边关系，她兴奋地大叫：“7+2>4，这3根小棒能围成三角形。”同学们，你们认为月月说得对吗？

此时，可留足时间让学生畅所欲言，鼓励他们先动手操作，再发表自己的观点。

讨论后，学生发现：虽然7+2>4，7+4>2，但是2+4

为加深理解，再利用课始的四幅图，进行验证。通过学生的操作与比较，全面感知了“三角形两条边的长度和大于第三条边”中的“两条边”是指任意的“两条边”。

三、突出三边关系的关键点，实现方法的自主优化

三角形任意两条边的长度和都大于第三边，才能围成三角形，其中关键点就是较短两条边的长度和大于第三边。如何突出这个关键点，让学生主动产生优化的需要，并被大部分学生接受呢？

笔者采用了设置障碍的方法，让学生自己找寻解决问题的出路：出示一些小棒，让学生判断哪些能围成三角形，哪些不能？

为了更有说服力，再设计这样的活动：提供标有厘米刻度的小棒，让学生任意剪出三根整厘米的，根据较短两条边的长度和与第三边的关系，判断能否围成三角形，再进行验证。

【反思】

笔者曾想，三角形三边关系的教学，有必要这么曲折吗？先初步感知其中两条边的长度和不能等于或小于第三边，再全面认识任意两条边的长度和大于第三边，最后自动优化出只要较短两条边的长度和大于第三条边就可以围成三角形。为什么不可以开门见山，避繁就简，在学生操作出不能围成的情况时，就顺势引导得出：较短两条边的长度和大于第三边呢？这样不是更加省时省事吗？

带着上述疑问，笔者重新审视三角形的三边关系，觉得本节课的探讨可分为三个不同的层次，虽然重点都在三角形两边的长度和与第三边的关系上，但每一层次的侧重点却有所不同。

第一层次：学生凭借直观操作看到了：因为存在着两边的长度和小于或等于第三边，三条线段不能首尾相连或不能形成三个角，所以不能围成三角形。至于其他的任意两边的长度和与第三边有什么关系，学生不会考虑。学生对三角形边的关系的了解是表象的、片面的、肤浅的，所以在这一层次就迫不及待地让学生得出较短两边长度和大于第三边就能围成三角形，难免会“揠苗助长”。

第二层次：通过有意设计月月认为7厘米+2厘米>4厘米，所以7厘米、2厘米、4厘米三条线段一定能围成三角形的故事的探讨，让学生意识到仅有一组或两组两条边的长度之和大于第三边是不行的，必须满足任意两条边的长度和都大于第三边，才可以围成三角形。这样，学生的注意焦点自然而然就从对一组边的片面关注过渡到对三组边的全面关注。学生也从肤浅的数学直观感觉，深入到对三角形三边关系基本特征的理性思考。

第三层次：让学生在繁琐的计算中产生优化方法的需求。因为每次都计算三组算式，太繁了，也没有必要，只要找到其中一组两边长度和不大于第三边就行了，从而升华到只要看较短两边的长度和是否大于第三条边就可以了。这一判断方法，个别学生能够发现，但大部分学生理解起来还是比较抽象。为了更有说服力，笔者安排学生剪下整厘米的三根线段，让学生先根据较短两边的长度和与第三边的关系进行判断，再动手围一围，以验证判断的正确性。

第2篇：三角形三边关系范文

1．有一部分学生列出的不等式10+3＞x和10-3＜x。分析学生的思维过程，列出这样的不等式的同学，自然是直接运用了数量关系“三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边。”

2．列出不等式x＜10+3和x＞10-3的同学思维要多一步，根据不等式的对称性由不等式10+3＞x和10-3＜x转化而来。或是把"三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边。"转化为"三角形的一边应小于另外两边之和，且大于另外两边之差。"更简单一些说，三角形的第三边不能太长，最长也要小于已知两边的和，不能太短，最短也要大于已知两边之差。这些同学思维较灵活。

3．有一部分同学列出了x+3＞10,10+3＞x,x+10＞3中的两个或三个。分析学生的思维过程，他们列不等式的依据是"三角形中任意两边的和大于第三边"。如果给与指导，他们就会加以筛选，只列出前两个。根据经验，在三条线段中只要看较短的两条线段的和是否大于最长边，就可以判断这三条线段能否组成三角形。

4．利用"三角形中任意两边的差小于第三边"也可以列出一些不等式。它们是10-3＜x，3-10＜x，x-10＜3，10-x＜3，x-3＜10，3-x＜10。学生很少有这样做的，如何筛选也比较困难。

可以看出，由于学生的知识结构的差异思维品质的不同，其解题的方法也不相同。这节课的现象不仅反映了部分的学生思维能力的局限性，同时也暴露了我在教学工作中，对于学生思维能力的培养还有很多不足和缺憾，下面就谈谈我对本节课的反思和看法。

我在教学中常和学生说的一句话就是“生活中有数学，数学中有生活”，数学不是真空中独立存在的个体，数学本身的知识间的内在联系是很紧密的，且与其他学科间的联系也非常密切。它不光是中考和高考必考的学科，更是现代科技文化的核心。数学中抽象的逻辑思维能力更是现代社会成员必备的素质。

第3篇：三角形三边关系范文

下面，以《三角形三边关系》一课为例，谈一谈笔者对这一课的教学困惑和教学价值的几点思考。

一、教学困惑：3 cm、5 cm、8 cm，能不能围成三角形

三角形三边关系是探究教学中的经典课例，教师在组织学生探究学习时，主要采用以下几个步骤：第一，提供探究材料，有的用小木棒（4根），有的用纸条（4段），木棒或纸条的长度由教师事先设计好。第二，提出探究猜测问题，任意选择3根（3段）是否能围成一个三角形？第三，组织实验验证，在教师的指导下，学生开始动手操作（尝试围三角形）。第四，学生汇报探究结论，这时争论的焦点开始聚集到3 cm、5 cm、8 cm能不能围成三角形？有的学生说“能”，并进行了展示，有的学生说“不能”，也进行了展示。虽然教师非常赞赏并支持后者的观点，但是，这种“不能围成”的展示常常由于缺乏说服力，而导致争论不休，探究结论无法统一，呈现模糊化。一节课结束了，这场争论却没有随着下课铃声的响起而停止，虽然教师一再强调“3 cm、5 cm、8 cm的三根木棒不能围成三角形”这一结论，但是对于那些通过亲自动手操作得到（其实有误差）“3 cm、5 cm、8 cm的三根木棒能围成三角形”这一结论的学生来说，始终疑惑不解。“不让学生围还能说清楚，围了反而就变糊涂了”，这便是教师执教这一课时存在的最大困惑。

二、价值思考：《三角形三边关系》一课的教学价值何在

探究一般由“猜想”和“验证”两部分组成，探究问题的结论一般是未知的或不确定的，这样才能激发学生的探究欲望，也才具备探究的意义。由于问题的结论未知或不确定，因此，可以组织学生凭借经验或直觉提出猜想，然后再验证猜想是否正确，最后得出结论。三角形的三条边具有什么关系？这个问题的结论对小学生而言是未知的、不确定的，是可以构成探究问题的。探究过程的难点在于提出 “三角形任意两边之和大于第三边”这样的猜想。然而，学生具有比较两条边的长短关系的经验，却缺乏“把两条边的长度加起来再与第三条边比较”的经验，因此，学生怎么能想到从这个独特的角度提出猜想，值得反思。另一方面，大多数教师都忽视了学生已有思维经验，只是重视通过操作小棒（牙签、吸管或纸条），组织学生进行验证。操作过程中会产生几个争议点，大多数学生已经能够凭借生活经验、直观观察或依据“两点之间线段最短”对猜想（多数情况下是由教师给出的）作出合理论证，那么接下来的操作小棒围三角形的验证过程还有必要吗？当学生能想到从“把两边加起来再与第三边比较”这一角度研究三角形三边的关系时，对于一个显然成立的结论还有必要进行探究吗？这样明显的“猜想”是否还有必要验证？通过操作小棒验证3 cm、5 cm和8 cm围不成三角形而引发学生的争议和困惑，这样的操作是否值得？积累这种围不成的操作活动经验，其价值何在？用意为哪般？

《义务教育数学课程标准（2011）》在第二学段的课程内容中提出“通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边”的目标要求。由此可见，《课程标准》并没有在第二学段提出“探索”的过程目标要求，而是提出“了解”的结果目标要求，“了解”是指从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。“了解”的同义词是“知道”和“初步认识”，属于结果目标中要求最低的水平。因此，在本课的教学过程中，部分教师不仅没有准确把握好本课的结果目标要求，而且忽视了本课在过程目标中的数学思想价值。

《课程标准》在课程总目标中提出了“四基”的目标要求，强调教师应该引导学生在基础知识、基本技能的学习过程中，感悟数学的基本思想与积累基本活动经验。因此，从“四基”的角度分析，笔者认为：教师不应只看到本节课在基础知识和基本技能方面的教学价值，更不应花大量时间在动手操作上，教师应该看到本节课在“基本思想”和“基本活动经验”方面的教学价值，值得花一些时间让学生在知识与技能的学习过程中，感悟数学思想、积累数学活动经验。就如三角形三边关系中所蕴含的数学基本思想是“推理思想”，其中包括归纳思想、演绎思想和类比思想。教学建议如下。

第一，在新课展开的环节中，教师可以通过引导学生观察锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，让学生发现三角形中三条边之间的关系，归纳得出“三角形两边之和大于第三边”的直观结论。在这个过程中，让学生经历从个别事例的观察到归纳得出一般结论的过程，体会感悟数学中的归纳思想，积累归纳的思维活动经验。

第二，在知识巩固练习的环节中，教师可以通过设计一组具体练习，即给出三条线段的具体长度，让学生判断由这三条线段是否能围成三角形，并说明理由。在这个过程中，不仅能够让学生巩固了知识，形成了技能，而且还让学生经历了从一般结论到个别事例的具体应用过程，体会感悟数学中的演绎思想，积累演绎的思维活动经验。

第三，在知识拓展提高的环节中，教师可以启发引导学生从三角形的世界中走出来，进一步拓展观察和研究的视野，大胆思考并猜想四边形、五边形、六边形等多边形，它们的边与边之间是否同样也有相同或相似的规律？在这个过程中，让学生体会感悟数学中的类比思想，积累类比的思维活动经验。

第4篇：三角形三边关系范文

1.正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。

对于正弦定理，教材首先引导学生回忆初中对三角形的定性认识：任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式。如果∠A

2.用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角形。应该注意，对于解三角形的描述是对传统的关于解三角形的一个简化。在传统的解三角形问题中，还把三角形的中线、高、角平分线等也作为三角形的元素。教科书对此作了简化的处理，仅把边和角作为元素。

上面的每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：

（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

3.教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形，教科书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。

4.对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。

5.应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：

（1）已知两边和它们的夹角解三角形。

（2）已知三角形的三边解三角形。

教科书中的例3和例4说明了余弦定理及其推论并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题。在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题。

6.正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及应用两个定理的方法等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。

第5篇：三角形三边关系范文

一.选择题（每题3分，共36分）1．n边形的每个外角都为24°，则边数n为（）　 A． 13 B． 14 C． 15 D． 16考点： 多边形内角与外角．专题： 计算题．分析： 多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．解答： 解：一个多边形的每个外角都等于24°，多边形的边数为360°÷24°=15．故选C．点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．　2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）　 A． 13cm B． 6cm C． 5cm D． 4cm考点： 三角形三边关系．分析： 此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．解答： 解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．点评： 本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．　3．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）　 A． 50° B． 80° C． 50°或80° D． 40°或65°考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题： 分类讨论．分析： 因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．解答： 解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2=80°； ②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：C．点评： 根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．　4．张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（） 　 A． 带Ⅰ去 B． 带Ⅱ去 C． 带Ⅲ去 D． 三块全带去考点： 全等三角形的应用．分析： 根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．解答： 解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带Ⅱ去．故选：B．点评： 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．　5．在ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是（）　 A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形考点： 三角形内角和定理．分析： 用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．解答： 解：∠A= ∠B= ∠C，∠B=2∠A，∠C=3∠A，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°，所以，∠B=2×30°=60°，∠C=3×30°=90°，所以，此三角形是直角三角形．故选B．点评： 本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．　6．在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（） 　 A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线　 C． 三角形的稳定性 D． 矩形的四个角都是直角考点： 三角形的稳定性．分析： 加上EF后，原图形中具有DEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．解答： 解：这种做法根据的是三角形的稳定性．故选C．点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．　7．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）　 A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （2，﹣1）考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题： 常规题型．分析： 根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．解答： 解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．故选A．点评： 本题 考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．　8．如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为（）厘米． 　 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28考点： 线段垂直平分线的性质．分析： 利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．解答： 解：DE是ABC中AC边的垂直平分线，AE=CE，AE+BE=CE+BE=10，EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，故选B．点评： 本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．　9．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（） 　 A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处考点： 角平分线的性质．专题： 应用题．分析： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．解答： 解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D． 点评： 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．　10．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）　 A． 4个 B． 3 个 C． 2个 D． 1个考点： 等边三角形的判定．分析： 根据等边三角形的判定：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，分析并作答．解答： 解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选B．点评： 本题主要考查等边三角形的判定，利用三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形这一知识点．　11．ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）　 A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19考点： 三角形三边关系；平行四边形的性质．分析： 延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得ABD≌ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．解答： 解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在ABD和ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，ABD≌ECD（SAS）．AB=CE．在ACE中，根据三角形的三 边关系，得AE﹣AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19．则9＜AB＜19．故选D． 点评： 解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算．12．已知，如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（1）DA平分∠EDF；（2）EBD≌FCD；（3）AED≌AFD；（4）AD垂直BC．（） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析： 在等腰三角形中，顶角的平分线即底边上的中线，垂线．利用三线合一的性质，进而可求解，得出结论．解答： 解：（1）如图，AB=AC，BE=CF，AE=AF．又AD是角平分线，∠1=∠2，在AED和AFD中， ，AED≌AFD（SAS），∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，ABD≌ACD．又由（1）知，AED≌AFD，EBD≌FCD．故（2）正确；（3）由（1）知，AED≌AFD．故（3）正确；（4）如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，ADBC，即AD垂直BC．故（4）正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形的性质，理解等腰三角形中线，角平分线，垂线等线段之间的区别与联系，会求一些简单的全等三角形．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．　二、填空题（每题3分，共24分）13．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是　120　度．考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析： 知道一个底角，由等腰三角形的性质得到另一个底角的度数，再利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．解答： 解：因为其底角为30°，所以顶角=180°﹣30°×2=120°．故填120．点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；利用三角形内角和求三角形的内角是一种很 重要的方法，要熟练掌握．　14．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是　4cm　．考点： 含30度角的直角三角形．专题： 计算题．分析： 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．解答： 解：直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，斜边的长=2×2=4cm．故答案为：4cm．点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．　15．如图，已知∠A=∠D，AB=CD，则　ABO　≌　DCO　，依据是　AAS　（用简写形式表示）． 考点： 全等三角形的判定．菁优网版 权所有分析： 题目中已有条件∠A=∠D，AB=CD，根据图形可知对顶角∠AOB=DOC，可以根据AAS定理判定ABO≌DCO．解答： 解：在ABO和DCO中， ，ABO≌DCO（AAS），故答案为：ABO；DCO；AAS．点评： 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．　16．当m=　3　时，点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称．考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，再计算可得m的值．解答： 解：点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称，n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，解得：n=﹣4，m=3．故答案为：3．点评： 此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．　17．如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，则CD=　 　． 考点： 三角形的面积．分析： 首先利用勾股定理的逆定理得出ABC为RtABC，再利用SABC= AC×BC= AB×CD联立方程解答即可．解答： 解： AC=3，BC=4，BA=5，AC2+BC2=AB2，ABC为RtABC，CD是RtABC斜边上的高，SABC= AC×BC= AB×CD，AB×CD=AC×BC，即5×CD=3×4，CD=2.4．故答案为2.4．点评： 本题考查了三角形的面积计算公式以及勾股定理，利用这些知识点解决实际问题．　18．一个等腰三角形的两边长分别是6cm和9cm，则它的周长是　21cm或24cm　．考点： 等腰三角形的性质．分析： 等腰三角形两边的长为6m和9m，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解答： 解：①当腰是6cm，底边是9cm时，能构 成三角形，则其周长=6+6+9=21cm；②当底边是6cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=6+9+9=24cm．故答案为：21cm或24cm．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．　19．（3分） （2014秋•津南区校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和15cm两部分，则此三角形的底边长为　7cm或11cm　．考点： 等腰三角形的性质．专题： 分类讨论．分析： 根据题意画出图形，分情况讨论当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，设腰长为xcm，底边长为ycm，根据等腰三角形的性质列出方程组，求出值后检验是否可以组成三角形．解答： 解：①当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则： ，解得： ，经检验符合题意；②AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则： ，解得： ，经检验符合题意．故答案为：11cm或7cm． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．列出方程组是正确解答本题的关键．　20．七边形的内角和是　900°　．考点： 多边形内角与外角．分析： 由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n=7代入即可求得答案．解答： 解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）=900°．故答案为：900°．点评： 此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°（n﹣2）实际此题的关键．　三.作图题（每题5分，共10分）21．已知点A和直线m，用尺规作图作出点A关于直线m的轴对称点． 考点： 作图-轴对称变换．分析： 首先过点A作垂直于直线m的垂线，进而截取得出A的对称点．解答： 解：如图所示：对称点A′即为所求． 点评： 此题主要考查了轴对称变换，作 出过点A与直线m垂直的直线是解 题关键．　22．已知：如图，ABC，分别画出与ABC关于x轴、y轴对称的图形A1B1C1和A2B2C2． 考点： 作图-轴对称变换．分析： 根据题意作出ABC关于x轴、y轴对称的图形A1B1C1和A2B2C2即可．解答： 解：如图所示： 点评： 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．　四.解答题（共6题，50分）23．如图，已知AEBC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°．求∠B的度数． 考点： 三角形内角和定理．分析： 先根据AEBC，∠CAE=20°求出∠C的度数，再根据∠ADB=110°求出∠DAE的度数，由AD平分∠BAE可得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠B度数．解答： 解：AEBC，∠CAE=20°，∠C=90°﹣20°=70°．∠ADB是ACD的外角，且∠ADB=110°，∠ADB=∠C+∠DAC，即110°=70°+∠DAC，解得∠DAC=110°﹣70°=40°，∠DAE=∠DAC﹣∠CAE=40°20°=20°．AD平分∠BAE，∠DAE=∠BAD=20°．在ABD中， ∠BAD=20°，∠ADB=110°，∠B=180°﹣20°﹣110°=50°．点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．　24．已知：如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE． 考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质．专题： 证明题．分析： 根据等边三角形的性质可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根据CE=CD，利用等边对等角以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠E=30°，即可求出答案．解答： 证明：ABC是等边三角形，BD是高，∠ACB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠CBD=30°，∠E+∠EDC=∠ACB=60°，CD=CE，∠E=∠EDC，∠E=30°=∠CBD，BD=DE．点评： 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理闹能力，解此题的关键是求出∠E=∠DBC=30°．25．已知：AB=CD，AB∥DC，求证：ABC≌CDA． 考点： 全等三角形的判定．专题： 证明题．分析： 由平行可得∠1=∠2，加上AB=CD，且AC为公共边可证得结论．解答： 证明：AB∥CD，∠1=∠2，在ABC和CDA中， ，ABC≌CDA（SAS）．点评： 本题主要考查三角形全等的判定，正确掌握三角形全等的判定方法是解 题的关键．　26．已知：DAAB，CAAE，AB=AE，AC=AD，求证：DE=BC． 考点： 全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 根据垂直定义得出∠EAC=∠BAD=90°，求出∠EAD=∠BAC，根据SAS推出EAD≌BAC即可．解答： 证明：DAAB，CAAE，∠EAC=∠BAD=90°，∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD，∠EAD=∠BAC，在EAD和BAC中 EAD≌BAC，DE=BC．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．　27．如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，则AD与EF垂直吗？证明你的结论． 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题： 探究型．分析： 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明RtAED和RtAFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后根据等腰三角形三线合一的性质解答即可．解答： 解：AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，DE=DF（角平分线的性质定理），在RtAED和RtAFD中， ，RtAED≌RtAFD（HL），AE=AF，又AD平分∠BAC，ADEF（等腰三角形的三线合一）．点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．　28．已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到ADC≌GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代 换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．解答： 证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．AD是BC边上的中线（已知），DC=DB，在ADC和GDB中， ADC≌GDB（SAS），∠CAD=∠G，BG=AC又BE=AC，BE=BG，∠BED=∠G，∠BED=∠AEF，∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，AF=EF． 点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．

第6篇：三角形三边关系范文

第一章 整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略， 是系数， 的系数是单项式的次数是指所有字母的指数的和。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 (几次几项式)每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。多项式的次数：多项式中次数的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。3、整式;单项式与多项式统称为整式。(最明显的特征：分母中不含字母)二、整式的加减：①先去括号; (注意括号前有数字因数)②再合并同类项。 (系数相加，字母与字母指数不变)三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 ( ) 注意00没有意义。5、负整数指数幂： ( 正整数， )6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。 ( )注意：以上公式的正反两方面的应用。常见的错误： ， ， ， ，四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。七、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。八、完全平方公式两数的和(或差)的平方，等于这两数的平方和再加上(或减去)两数积的2倍。常见错误：九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。第二章 平行线与相交线一、互余、互补、对顶角1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。 性质：同角(或等角)的余角相等。2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。 性质：同角(或等角)的补角相等。3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角;或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 (相邻且互补)二、三线八角： 两直线被第三条直线所截①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同位角。②在两直线之间(内部)，在第三条直线的两侧(旁)的两个角叫做内错角。③在两直线之间(内部)，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同旁内角。三、平行线的判定①同位角相等②内错角相等 两直线平行③同旁内角互补四、平行线的性质①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。五、尺规作图(用圆规和直尺作图)①作一条线段等于已知线段。 ②作一个角等于已知角。第三章 三角形一、认识三角形1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。(已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围)3、三角形的内角和是180°;直角三角形的两锐角互余。锐角三角形 (三个角都是锐角)4、三角形按角分类直角三角形 (有一个角是直角)钝角三角形 (有一个角是钝角)5、三角形的特殊线段：a) 三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。 (分成的两个三角形面积相等)b) 三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。c) 三角形的高：顶点到对边的垂线段。 (每一种三角形的作图)二、全等三角形：1、全等三角形：能够重合的两个三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。3、全等三角形的判定：判定方法内 容简称边边边三边对应相等的两个三角形全等SSS边角边两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等SAS角边角两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等ASA角角边两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS斜边直角边斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等;AAA两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。SSA4、全等三角形的证明思路：条 件下一步的思路运用的判定方法已经两边对应相等找它们的夹角SAS找第三边SSS已经两角对应相等找它们的夹边ASA找其中一个角的对边AAS已经一角一边找另一个角ASA或AAS找另一边SAS5、三角形具有稳定性，三、作三角形1、已经三边作三角形2、已经两边与它们的夹角作三角形3、已经两角与它们的夹边作三角形(已经两角与其中一角的对边转化成这种情况)4、已经斜边与一条直角边作直角三角形第四章 生活中的变量一、变量、自变量与因变量①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量(先变的量)，y是因变量(后变的量)。二、变量之间的表示方法：①列表法②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。③图象法：用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，用坚直方向的数轴(纵轴)表示因变量。第五章 生活中的轴对称一、轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。③常见的轴对称图形：线段(两条对称轴)，角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ∠1=∠2 PBOB PAOA PB=PA三、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 OA=OB CDAB PA=PB四、等腰三角形性质： (有两条边相等的三角形叫做等腰三角形)①等腰三角形是轴对称图形; (一条对称轴)②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合; (三线合一)③等腰三角形的两个底角相等。 (简称：等边对等角)五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。(简称：等角对等边)六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60; ②等边三角形有三条对称轴。七、轴对称的性质：① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ②对应线段、对应角相等;② 对应点的连线被对称轴垂直且平分; ④对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。八、镜子改变了什么：1、物与像关于镜面成轴对称;(分清左右对称与上下对称)2、常见的问题：①物体成像问题;②数字与字母成像问题;③时钟成像问题第六章 概 率一、概率：反映事件发生可能性大小的数。 事件P的概率=二、事件的分类三、游戏是否公平：双方事件发生的概率是否相等。

第7篇：三角形三边关系范文

【关键词】勾股定理；文献资料；教学设计；实验操作

在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上备好一节课本是最好的备课方式，但由于教师理解能力的差异，以及对“三个理解”的认识程度不同，备课效果自然不可同日而语.那么，怎样才能备出一节好课呢？笔者认为，通过比对同一课时的文献资料，分析不同教案的优缺点，博采众长，巧妙融合，自然会备出一节好课.下面以“勾股定理”起始课为例，谈谈如何利用文献资料进行备课.供参考.

1常见教学设计

查阅近几年的文献资料，发现勾股定理起始课教学设计大致分为三类：以证明定理为主的教学设计、以探究发现定理为主的教学设计、以实验操作来发现定理的教学设计.现对这三种教学设计做客观分析.

1.1以证明定理为主的教学设计

章建跃博士在谈到勾股定理教数学时指出：“其一，勾股定理的发现具备偶然性；其二，毕达哥拉斯是大数学家，对数极其敏感，对“形”非常自动化地想到“数”，这是一般人做不到的……我觉得，不应该让学生去发现，重点应该放在让学生去证明这个定理.”[1]在这一观点的支撑下，一线教师中的许多实践者也取得了良好的教学效果.

课例1刘东升[2]先从一段BBC纪录片《数学的故事》展示古埃及人结绳绷成直角三角形导入新课，随即导入勾股定理的特例“如果作一个直角三角形，使得两直角边分别为3和4，你能否求出斜边的长？”在学生尝试无果后，教师指出有人曾经用拼图的方法求出该三角形的斜边长为5，接下来用拼图的方法予以计算.最后从特殊到一般用面积法（割补法）证明勾股定理.

分析教师设计以证明为主的教学思路，大致是基于以下几点思考：一是恰当安排讲授法，节约时间，采用教师讲授证明思路，学生跟进理解，是基于对学情的理解；二是勾股定理的发现具有偶然性，只有毕达哥拉斯这样的大数学家，才能从“形”非常自动地想到“数”，这是一般人做不到的，在课堂上有限的时间里让学生去发现该定理是不现实的，也是无法完成的任务.所以，该设计把时间重点分配在证明勾股定理和欣赏勾股定理文化上.从学习的角度看，这样的安排是有效的，是基于学情来考虑的，有利于学生学习数学知识，培养学生演绎推理的能力.

《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》[3]（以下简称标准）在课程基本理念中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.显然，上述过程少了学生观察、实验、猜想的过程，而这却是数学教学的重要功能所在.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理，从这个角度看，上述安排是不完美的.

1.2以探究发现定理为主的教学设计

特级教师卜以楼认为：研究一个定理，一般要从猜想――验证――证明这三个方面去把握，如果离开了猜想、发现定理这两个环节，那么培养学生的创新意R和实践能力就会在教学中打折.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理.卜老师同时给出了基于上述思考的教学设计.

课例2卜以楼首先通过画两个直角三角形，引导学生发现直角三角形三边间有关系，然后顺势提出问题：既然直角三角形三边数量之间有一个等量关系，这个等量关系是什么呢[4]？接着，引导基础薄弱的学生在单位长度为1 cm的坐标纸上，理性地选择几个直角三角形去画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系；引导基础较好的学生理性分析三边间的关系：a、b、c三边间关系可以是一次等量关系、二次等量关系，甚至是高次等量关系，根据三角形两边之和大于第三边否定三边间存在一次关系，然后探讨三边间的二次等量关系，先从特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，经过验证发现猜想成立，再用“证伪”否定其它的二次关系，最后引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”，然后利用图形面积（割补法）来分析和解决问题.

分析首先，本课例关注学生四能培养，教学过程就是基于发现和提出问题，分析和解决问题的思路来设计的，教学过程就是引导学生思维的过程；其次，符合“猜想――验证――证明”的数学学习规律，过程严谨，丝丝入扣，数学味浓，注重学生思维能力和创新能力的培养.

但仔细分析其教学设计后发现，其课堂教学过于理想化，既要启发基础较差的学生画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系，又要引导基础较好的学生理性分析三边间的关系，直至发现直角三角形三边的平方关系，还要引导学生证明勾股定理，复杂的教学过程可能会导致教学时间不够，文章展示的探究过程很难在现实的课堂中得以实现.另外，在引导基础较好的学生理性分析三边间关系的过程中，作者根据三角形两边之和大于第三边就可以否定三边间存在一次关系，这句话是有问题的，比如，边长分别为a=3、b=4、c=5的关系可以表述为a+b=75c这样的等量关系.对于a、b、c之间二次关系的三种形式的分类是可行的，但直接从特殊情况a2+b2=c2入手，是执果索因的结果，这和直接告知结论是一样的效果.

1.3以实验操作来发现定理的教学设计

苏科版数学教材主编董林伟先生指出：数学实验不是学生被动地接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程[5].数学实验已成为数学教学中的一个重要方式.关于勾股定理的教学，数学实验大致有两种方法：测量法和计算法.

课例3测量法[6]：任党华引导学生从“直角三角形的角度特殊，会不会它的边在数量上也有特殊的关系呢？”开始思考，然后让学生动手画一个任意直角三角形，测量其三边长度，计算交流，接着学生展示所得数据及本组猜想，师生用几何画板演示，发现a2+b2=c2这一结论成立，再用拼图法证明结论，最后介绍有关勾股定理的数学史.

课例4计算法[7]：万广磊从展示2002年的数学大会的弦图开始，然后直接给出直角三角形和以该三角形三边向形外作三个正方形，通过填空的方式来计算三个正方形的面积，学生通过画一画、想一想、试一试、辨一辨来发现a2+b2=c2，再用实验的方法验证钝角三角形和锐角三角形不具备两短边的平方和等于最长边的平方，然后用拼图法证明勾股定理，最后介绍有关勾股定理的数学史.

分析这两个课例都是通过画一画、想一想、算一算来发现勾股定理的，动手实验的过程有利于培养学生的动手能力，获得研究问题的方法，积累活动经验.但课例3存在两点不足，一是学生画图、测量过程中无法保证图形的准确和数据的精确，不能为发现规律提供保证；二是学生从测量出的三边数据中，怎么会轻易发现三边的平方关系？课例4教师通过填空计算面积的方式已经把解题思路和盘托出，难点化为乌有，就像几何题中老师提前告知辅助线一样，是避开难点，而不是突破难点.罗增儒教授称以上教学为“虚假性情境发现”和“浅层次的情境发现”.

2勾股定理教学中需要突破的难点

通过上述课例的分析，我们不难发现在勾股定理的教学中回避不了几个难点：一是如何创设合适的情境，引导学生发现直角三角形三边间的平方关系？二是怎样引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”？三是选择探究教学，探究的时间较长，有时甚至不可控，需要时间成本；四是数学定理的呈现虽是美丽的，但发现的过程确是漫长和痛苦的，所以，课堂上定理的发现不能过于理想化，所谓还原数学家火热的思考，实在过于理想化，在短短的一节课内要完成一个定理的发现，必然要降低发现坡度，缩短发现时间，中间教师的引导甚至干预就必不可少.3吸收精华，改进教学设计

上述四个课例均有可取之处，在认真学习比对优劣的基础上，多方吸收各种教法中的精华，充分考虑勾股定理教学中需要突破的四大难点，经过认真整合，确定“从特殊到一般，经历猜想――验证――证明”这样的探究教学设计，在实际教学中取得了较好的效果.

3.1情境入

在一个确定的三角形中，有确定的角的关系：①三角形内角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三边间有确定的关系吗？

3.2探究发现

（1）从最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三边间关系

直角边长为1的等腰直角三角形的面积是多少？如果斜边用字母c表示，请用c表示三角形的面积.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）

用同样的方法研究直角边长为2的等腰直角三角形，有什么发现？

（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.

依次研究直角边长分别为3、4的等腰直角三角形，会发现下面结论.

12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（这里是需要教师干预和引导的）

（2）在网格中研究直角边不等的特殊直角三角形图1

如果两直角边不等，上述猜想还成立吗？老师在黑板空白处画图分析，指出上面的方法行不通，能否借助格点正方形来发现呢？分析“式结构”，在上图（图1）中22=4，用四个正方形表示，12=1，用一个正方形表示，那么以斜边为边的正方形的面积是等于5吗？引导利用割补法研究（小学已经学过）.

（3）几何画板验证猜想的结论

（4）不完全归纳法得出勾股定理

3.3定理证明与介绍

证明过程略.（图形割补见图2，证明思路见上面分析）

本设计在研究最简单的三角形时，学生是不可能想到运用面积来发现等腰直角三角形的三边关系的，这时教师直接引导先用两直角边求面积，再启发用斜边求面积，这个过程不自然，但确实没有更好的办法.所以，发现式教学不能不加干预，任由学生自由思考，正如佛赖登塔尔所说：“强调用发生的方法来教各种思想，并不意味着应该从它们产生的顺序来呈现它们，甚至不关闭所有的僵局，删除所有的弯路.”显然，这就是教师主导作用的意义所在.

综上所述，通过文献资料的研究，我们可以对相关内容的教学有清楚的认识，并在比较中去粗存精，获得比较合理的教学方法，这不失为一种行之有效的备课方式.

参考文献

[1]章建跃.理解数学内容本质提升思维教学水平[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：14-19.

[2]刘东升.基于HPM视角重构“勾股定理”起始课[J].教育研究与评论：课堂观察版（南京），2016（1）：45-48.

[3]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[4]卜以楼.基于四能的“勾股定理”教学创新设计[J].中学数学教学参考（中旬），2016（7）：11-14.

[5]董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013.

[6]任党华.勾股定理（第一课时）[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：12-13.

第8篇：三角形三边关系范文

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm

考点：三角形三边关系．

分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

解答：解：根据三角形的三边关系，知

A、1+2＜4，不能组成三角形；

B、4+6＞8，能够组成三角形；

C、5+6＜12，不能组成三角形；

D、2+3＜6，不能组成三角形．

故选B．

点评：此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

2．等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）

A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析：分5cm是腰长和底边两种情况讨论求解即可．

解答：解：5cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、5cm、10cm，

5+5=10，

不能组成三角形，

10cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、10cm、10cm，

能组成三角形，

周长=5+10+10=25cm，

综上所述，此三角形的周长是25cm．

故选C．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．

3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）

A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短

C．两点确定一条直线D．垂线段最短

考点：三角形的稳定性．

分析：根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．

解答：解：构成AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．

故选：A．

点评：本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．

4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（）

A．是直角三角形B．是锐角三角形

C．是钝角三角形D．属于哪一类不能确定

考点：三角形的外角性质．

专题：计算题．

分析：由三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，且根据此外角小于与它相邻的内角，可得此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，可得这个三角形为钝角三角形．

解答：解：三角形的外角与它相邻的内角互补，且此外角小于与它相邻的内角，

此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，

则这个三角形为钝角三角形．

故选C

点评：此题考查了三角形的外角性质，其中得出三角形的外角与它相邻的内角互补是解本题的关键．

5．五边形的内角和是（）

A．180°B．360°C．540°D．600°

考点：多边形内角与外角．

专题：常规题型．

分析：直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．

解答：解：（5﹣2）•180°=540°．

故选：C．

点评：本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．

6．能将三角形面积平分的是三角形的（）

A．角平分线B．高C．中线D．外角平分线

考点：三角形的面积．

分析：根据三角形的面积公式，只要两个三角形具有等底等高，则两个三角形的面积相等．根据三角形的中线的概念，故能将三角形面积平分的是三角形的中线．

解答：解：根据等底等高可得，能将三角形面积平分的是三角形的中线．故选C．

点评：注意：三角形的中线能将三角形的面积分成相等的两部分．

7．如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）

A．50°B．30°C．80°D．100°

考点：全等三角形的判定与性质．

专题：计算题．

分析：利用SAS可证明AOD≌COB，则∠D=∠B=30°．

解答：解：OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，

AOD≌COB（SAS），

∠D=∠B=30°．

故选B．

点评：此题考查三角形全等的判定和性质，注意利用已知隐含的条件：对顶角相等．

8．下列说法中不正确的是（）

A．全等三角形一定能重合B．全等三角形的面积相等

C．全等三角形的周长相等D．周长相等的两个三角形全等

考点：全等图形．

分析：根据能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形进行分析即可．

解答：解：根据全等三角形的定义可得A、B、C正确，但是周长相等的两个三角形不一定全等，

故选：D．

点评：此题主要考查了全等三角形的定义，题目比较简单．

9．如图，AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形．

A．2B．3C．4D．5

考点：全等三角形的判定．

专题：证明题．

分析：根据AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，易证得DAC≌BAC，DAE≌BAE；由以上全等易证得DCE≌BCE（SSS），即可得全等三角形的对数．

解答：解：AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，

DAC≌BAC，DAE≌BAE（SAS），

DE=BE，DC=BC，EC为公共边，

DCE≌BCE（SSS）．

所以共有3对三角形全等．

故选B．

点评：本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

10．如图，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AEBC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（）

A．7B．8°C．9°D．10°

考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．

专题：计算题．

分析：根据三角形内角和定理可求得∠BAE的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAD的度数，从而不难求解．

解答：解：AEBC于E，∠B=40°，

∠BAE=180°﹣90°﹣40°=50°，

AD平分∠BAC交BC于D，∠BAC=82°，

∠BAD=41°，

∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=9°．

故选C．

点评：此题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角性质的综合运用．

11．如图：在ABC中，AD是∠BAC的平分线，DEAC于E，DFAB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④ADBC．其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

专题：证明题．

分析：根据角平分线性质求出DF=DE即可；根据勾股定理和DE=DF即可求出AE=AF；求出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一定理即可判断③④正确．

解答：解：AD平分∠BAC，DEAC，DFAB，

DE=DF，①正确；

由勾股定理得：AF=，AE=，

AD=AD，DF=DE，

AE=AF，②正确；

AF=AE，BF=CE，

AB=AC，

AD平分∠BAC，

BD=DC，ADBC，

③④都正确；

正确的有4个．

故选D．

点评：本题考查了勾股定理，角平分线性质和等腰三角形的性质等的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，难度不大．

12．如图，已知EA∥DF，AE=DF，要使AEC≌DBF，则需要（）

A．AB=CDB．EC=BFC．∠A=∠DD．AB=BC

考点：全等三角形的判定．

分析：根据EA∥DF，可得∠A=∠D，然后有AE=DF，AB=CD，可得AC=DB，继而可用SAS判定AEC≌DBF．

解答：解：EA∥DF，

∠A=∠D，

AB=CD，

AC=DB，

在AEC和DBF中，

，

AEC≌DBF（SAS）．

故选A．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）

13．ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140°．

考点：三角形的外角性质．

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

解答：解：∠A=60°，∠B=80°，

∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．

故答案为：140．

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

14．一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形为8边形．

考点：多边形内角与外角．

分析：设多边形有n条边，根据多边形的内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360度可得方程180（n﹣2）=360×3，解方程即可．

解答：解：设多边形有n条边，则

180（n﹣2）=360×3，

解得：n=8．

故答案为：8．

点评：此题主要考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360°．

15．三角形的重心是三角形的三条中线的交点．

考点：三角形的重心．

分析：根据三角形的重心的定义解答．

解答：解：三角形的重心是三角形的三条中线的交点．

故答案为：中线．

点评：本题考查了三角形的重心，是基础题，熟记概念是解题的关键．

16．如图，在ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=35°．

考点：等腰三角形的性质．

专题：计算题．

分析：根据AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，可知ADB≌AEC，可得出AB=AC，根据等腰三角形的性质即可解答．

解答：解：AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，

ADB≌AEC，

AB=AC，

∠B=∠C=40°，

在AEC中，∠CAE+∠C+∠AEC=180°，

∠CAE=180°﹣40°﹣105°=35°，

故答案为：35°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，关键是先求出AB=AC，再根据等腰三角形等边对等角的关系即可．

17．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=6．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：由于AB∥CD、AE∥CF，根据平行线的性质可以得到∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，然后利用已知条件就可以证明AEF≌CFD，最后利用全等三角形的性质和已知条件即可求解．

解答：解：AB∥CD、AE∥CF，

∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，

而AE=CF，

AEF≌CFD，

DF=EB，

DE=BF，

EF=BD﹣2BF=6．

故答案为：6．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题时首先利用平行线的性质构造全等条件证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．

18．如右图，ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DEAB于E．已知AB=10cm，则DEB的周长为10cm．

考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．

分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=ED，再利用“HL”证明RtACD和RtAED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出DEB的周长=AB，代入数据即可得解．

解答：解：AD是∠CAB的平分线，DEAB，∠C=90°，

CD=ED，

在RtACD和RtAED中，

RtACD≌RtAED（HL），

AC=AE，

又AC=BC，

DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，

AB=10cm，

DEB的周长=10cm，

故答案为：10cm．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，求出DEB的周长=AB是解题的关键．

三、解答题（共96分）

19．如图，已知D为ABC边BC延长线上一点，DFAB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．

分析：根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．

解答：解：∠AFE=90°，

∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，

∠CED=∠AEF=55°，

∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．

答：∠ACD的度数为83°．

点评：三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．

20．如图，AD是ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠DAE=55°，求∠ACD的度数．

考点：三角形的外角性质．

分析：先根据角平分线的定义得出∠CAE的度数，再由三角形外角的性质得出∠ACB的度数，根据平角的定义即可得出结论．

解答：解：∠DAE=55°，ADF平分∠CAE，

∠CAE=110°，

∠CAE是ABC的外角，∠B=30°，

∠ACB=110°﹣30°=80°，

∠ACD=180°﹣80°=100°．

点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．

21．已知：如图，点A、E、F、C在同一直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF．求证：∠B=∠D．

考点：全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AE=CF，两边加上EF得到AF=CE，利用SAS得到三角形ADF与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应角相等即可得证．

解答：证明：AD∥BC，

∠A=∠C，

AE=CF，

AE+EF=EF+FC，即AF=CE，

在ADF和CBE中，

，

ADF≌CBE（SAS），

∠D=∠B．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，∠A=60°．

（1）求∠FBD的度数．

（2）求证：AE∥BF．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：（1）求出AC=BD，根据SSS推出AEC≌BFD，根据全等三角形的性质得出∠A=∠FBD即可；

（2）因为∠A=∠FBD，根据平行线的判定推出即可．

解答：解：（1）AB=CD，

AB+BC=CD+BC，

AC=BD，

在AEC和BFD中

AEC≌BFD，

∠A=∠FBD，

∠A=∠FBD，

∠A=60°，

∠FBD=60°；

（2）证明：∠A=∠FBD，

AE∥BF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．

23．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

考点：全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：先根据BDAC，CEAB可得出ACE与ABD是直角三角形，再由∠A=∠A，可得出∠C=∠B，由AB=AC可知ACE≌ABD，由全等三角形的性质可知，AE=AD，结合AB=AC即可得出结论．

解答：证明：BDAC，CEAB，

ACE与ABD是直角三角形，

∠A=∠A，

∠C=∠B，

在ACE与ABD中，

，

ACE≌ABD，

AD=AE，

AB=AC，

BE=CD．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意判断出ACE≌ABD，再根据全等三角形的对应相等进行解答是解答此题的关键．

24．如图：E是∠AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足为C，D．

求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明RtCOE≌RtDOE可得CO=DO；

（2）证明COF≌DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．

解答：证明：（1）E是∠AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，

EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，

在RtCOE和RtDOE中，

，

RtCOE≌RtDOE（HL），

CO=DO；

（2）EO平分∠AOB，

∠AOE=∠BOE，

在COF和DOF中，

，

COF≌DOF（SAS），

FC=FD．

点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

25．如图：在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在ABC外作直线MN，AMMN于M，BNMN于N．

（1）求证：MN=AM+BN．

（2）若过点C在ABC内作直线MN，AMMN于M，BNMN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质．

专题：几何综合题．

分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证AMC≌CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论；

（2）类似于（1）的方法，证明AMC≌CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．

解答：证明：（1）AMMN，BNMN，

∠AMC=∠CNB=90°，

∠ACB=90°，

∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，

∠MAC=∠NCB，

在AMC和CNB中，

∠AMC=∠CNB，

∠MAC=∠NCB，

AC=CB，

AMC≌CNB（AAS），

AM=CN，MC=NB，

MN=NC+CM，

MN=AM+BN；

（2）结论：MN=BN﹣AM．

AMMN，BNMN，

∠AMC=∠CNB=90°，

∠ACB=90°，

∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，

∠MAC=∠NCB，

在AMC和CNB中，

∠AMC=∠CNB，

∠MAC=∠NCB，

AC=CB，

AMC≌CNB（AAS），

AM=CN，MC=NB，

MN=CM﹣CN，

第9篇：三角形三边关系范文

一.添辅助线有两种情况：

1.按定义添辅助线：

如证明两直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2.按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时，补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与两条平行线都相交的第三条直线。（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的两条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系、且倍线段是直角三角形的斜边，则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明，当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形成全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种添线方法。（8）特殊角直角三角形：当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形。（9）半圆上的圆周角：出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦（直径）；

二.基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦