三角形中线定理精选(九篇)
第1篇：三角形中线定理范文
辛勤耕耘知识地，寒窗苦读数十年。今朝征战上考场，自信饱满书人生。下面好范文小编为你带来一些关于初中数学必背公式，希望对大家有所帮助。
初中数学必背公式11 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
初中数学必背公式231 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
初中数学必背公式361矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它
的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的
一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应
线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
初中数学必背公式491 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直
平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
第2篇：三角形中线定理范文
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC的是（） A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°考点： 全等三角形的判定．分析： 本题要判定ABC≌ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定ABC≌ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．解答： 解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定ABC≌ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定ABC≌ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定ABC≌ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定ABC≌ADC，故D选项不符合题意；故选：C．点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．下列说法中，错误的是（） A． 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形 B． 等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴 C． 成轴对称的两个三角形一定全等 D． 全等的两个三角形一定成轴对称考点： 轴对称图形．分析： 根据轴对称图形，轴对称的定义和性质分析找出错误选项．解答： 解：A、正确，任意两条相交直线的夹角平分线是其对称轴，都能组成一个轴对称图形．B、正确，等腰三角形有1条对称轴，等腰三角形三条边都相等时有3条对称轴；C、正确，根据成轴对称的性质可知；D、错误，全等的两个三角形不一定成轴对称．故选D．点评： 本题考查了轴对称图形，轴对称以及对称轴的定义和应用．关于某条直线对称的一个图形叫轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称． 3．下列各组数是勾股数的是（） A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20考点： 勾股数．分析： 根据凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数是勾股数，分别对每个选项进行验证即可解题．解答： 解：A、122+152≠182，A错误，B、0.32+0.42=0.52，但0.3、0.4、0.5不是正整数，B错误；C、1.52+2.52≠32，C错误；D、122+162=202，D正确；故选 D．点评： 本题考查了勾股数的判定，根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数解题是解题的关键． 4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（） A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形 C． 直角三角形 D． 等边三角形考点： 三角形的外角性质．分析： 根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．解答： 解：三角形的三个外角之比为3：3：2，三角形的三个外角的度数为：135°，135°，90°，三角形对应的内角度数为45°， 45°，90°，此三角形是等腰直角三角形，故选B．点评： 本题考查了三角形的外角和三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出各个内角的度数． 5．和三角形三条边距离相等的点是（） A． 三条角平分线的交点 B． 三边中线的交点 C． 三边上高所在直线的交点 D． 三边的垂直平分线的交点考点： 角平分线的性质．分析： 题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．解答： 解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；角平分线上的点到角两边的距离相等，要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．故选A．点评： 本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键． 6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③ ；④EF一定平行BC．其中正确的是（） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．分析： 由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③ ．解答： 解：①三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DEAC，DFAB，∠ADE=∠ADF，DF=DE，AF=AE，∠AFE=∠AEF，故正确；②DF=DE，AF=AE，点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF，故正确；③SBFD= BF•DF，SCDE= CE•DE，DF=DE， ；故正确；④∠EFD不一定等于∠BDF，EF不一定平行BC．故错误．故选A．点评： 此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C= 30° ．考点： 等腰三角形的性质．分析： 首先根据∠A的度数判断∠A是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理不能求得底角∠C的度数．解答： 解：等腰ABC中，∠A=120°，∠A为顶角，∠C= （180°﹣∠A）= （180°﹣120°）=30°．故答案为：30°．点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握． 8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 22 ．考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析： 由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．解答： 解：当腰长为4，底长为9时；4+4＜9，不能构成三角形；当腰长为9，底长为4时；9﹣4＜9＜9+4，能构成三角形；故等腰三角形的周长为：9+9+4=22．故填22．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条 件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 9．已知ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为 7.5 ．考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．分析： 利用勾股定理逆定理判断出ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解答： 解：92+122=225=152，ABC是直角三角形，最长边上的中线长= ×15=7.5．故答案为：7.5．点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，熟记性质并判断出三角形是直角三角形是解题的关键． 10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC= 3 ． 考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 首先根据勾股定理求出BF的长，进而求出FC的长；再次根据勾股定理，列出关于线段EF的方程，求出EF的长度，即可解决问题．解答： 解：四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AD=BC=10；DC=AB=8；由题意得：AF=AD=10，EF=ED=λ，则EC=8﹣λ；由勾股定理得：BF2=102﹣82=36，BF=6，CF=10﹣6=4；由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，EC=8﹣5=3，故答案为：3． 点评： 该题主要考查了翻折变换及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 11．（3分）（2014秋• 泰州校级期中）已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 35 度． 考点： 角平分线的性质．分析： 过点E作EFAD，证明ABE≌AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．解答： 解：过点E作EFAD，DE平分∠ADC，且E是BC的中点，CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，ABE≌AFE，∠EAB=∠EAF．又∠CED=35°，∠C=90°，∠CDE=90°﹣35°=55°，∠CDA=110°，∠B=∠C=90°，DC∥AB，∠CDA+∠DAB=180°，∠DAB=70°，∠EAB=35°．故答案为：35． 点评： 本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EFAD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 12 米．考点： 勾股定理的应用．专题： 应用题．分析： 由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．解答： 解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m．点评： 此题很简单，只要熟知勾股定理即可解答． 13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b= 5 ． 考点： 勾股定理的证明．分析： 根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到 a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．解答： 解：大正方形的面积是13，c2=13，a2+b2=c2=13，直角三角形的面积是 =3，又直角三角形的面积是 ab=3，ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．a+b=5（舍去负值）．故答案是：5．点评： 本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系． 14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD= 4 cm． 考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题： 计算题．分析： 先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出ADE≌CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．解答： 解：AB∥CF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠FEC，E为DF的中点，ADE≌CFE，AD=CF=5cm，AB=9cm，BD=9﹣5=4cm．故填4．点评： 本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单． 15．如图，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则∠E= 30 °，CE= ． 考点： 等边三角形的性质．专题： 综合题．分析： 由ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．解答： 解：ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∠E=∠DBE=30°，等边ABC的周长为9，AC=3，且∠ACB=60°，∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，CD=CE= AC= ．故答案为：30； 点评： 此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用． 16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射 线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则DEF的面积= 或 ． 考点： 全等三角形的判定与性质．专题： 动点型．分析： 易证ADE≌CDF，CDE≌BCF，可得四边形CEDF面积是ABC面积的一半，再计算CEF的面积即可解题．解答： 解：①E在线段AC上，在ADE和CDF中， ，ADE≌CDF，（SAS），同理CDE≌BDF，四边形CEDF面积是ABC面积的一半，CE=1，CF=4﹣1=3，CEF的面积= CE•CF= ，DEF的面积= ×2 ×2 ﹣ = ．②E'在AC延长线上， AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2 ，∠DCE'=∠DBF'=135°，在CDE'和BDF'中， ，CDE'≌BDF'，（SAS）DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，∠CDE'+∠BDE'=90°，∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×2 × =13，SE'DF'= DE'2= ．故答案为 或 ．点评： 本题考查了全等三角形的 判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ADE≌CDF和CDE≌BCF是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分102分）17．作图一：如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE． （1）在图中画出AEF，使AEF与AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出AEF与四边形ABCD重叠部分的面积 8 ．作图二：如图2，ABC与DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹）考点： 作图-轴对称变换．分析： 作图一：（1）利用轴对称图形的性质得出B点关于直线AE的对称点F，AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：S四边形AECD=2×4=8；作图二：利用轴对称图形的性质得出，直线l即为所求．解答： 解：作图一：（1）如图1所示：AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：2×4=8；故答案为：8；作图二：如图2所示：直线l即为所求 点评： 此题主要考查了轴对称变换，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键． 18．如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数． 考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．分析： 根据勾股定理求出CD、AD的长，再根据勾股定理逆定理求出AC2+BC2=AB2，判断出ABC是直角三角形即可求出∠ACB的度数．解答： 解：在RtBCD中，CD= = =12，在RtACD中，AD= = =16，AB=AD+DB=16+9=25，AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°．点评： 本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，在不同三角形中找到相应的条件是解题的关键． 19．如图，ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数． 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析： ①根据线段的垂直平分线的性质求出AD=BD，求出BD+DC+BC =BC+AC=8，即可得出答案；②设∠A=a°，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a=180，求出后根据三角形的外角性质求出即可．解答： 解：①DE是线段AB的垂直平分线，AD=BD，BCD的周长为8，BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，AB=AC=5，BC=3；②设∠A=a°，AD=BD，∠A=∠ABD=a°，BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD=a°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=2a°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，5a=180，a=36，∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．点评： 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中． 20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DE=DF． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题： 证明题．分析： 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DEAB，DFAC，利用角平分线定理即可得证．解答： 证明：连接AD，在ACD和ABD中， ，ACD≌ABD（SSS），∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，DEAE，DFAF，DE=DF． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用． 考点： 作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题： 作图题．分析： 作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．解答： 解：如图所示，点O就是建水厂的位置，AC=1km，BD=3km，CD=3km，AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，B′E=CD=3km，AB′= = =5km，铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，铺设水管的工程费用为每千米20 000元，铺设水管的总费用为：5×20 000=100 000元．故答案为：100 000元． 点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键． 22．如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由． 考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题： 探究型．分析： 要判断AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，BDA和BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形．解答： 解：AFC是等腰三角形．理由如下：在BAD与BCE中，∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，BAD≌BCE（AAS），BA=BC，∠BAD=∠BCE，∠BAC=∠BCA，∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．AF=CF，AFC是等腰三角形．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键． 23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MNBD． 考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM= AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．解答： 证明：如图，连接BM、DM，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，BM=DM= AC，点N是BD的中点，MNBD． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题： 几何综合题．分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出DFAE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出DFC≌AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．解答： （1）证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，DFAE，DF=AF=EF，又∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∠DCF=∠AMF，在DFC和AFM中， ，DFC≌AFM（AAS），CF=MF，∠FMC=∠FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，∠FDE=∠FMC=45°，DE∥CM，ADMC．点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键． 25．如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．（1）20s后，点P与点Q之间相距 50 cm．（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行， 20 秒后两点相遇．（3）多少秒后，AP=CQ？ 考点： 勾股定理；一元一次方程的应用．专题： 动点型．分析： （1）在直 角BPQ中，根据 勾股定理来求PQ的长度；（2）由（1）中的PQ= 50得到：50=（1+1.5）t；（3）由路程=时间×速度列出等式．解答： 解：如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，AB= =60cm．（1）在直角BPQ中，由勾股定理得到：PQ= = =50（cm），即PQ=50cm；（2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为： =20（秒）；（3）设t秒后，AP=CQ．则t=80﹣1.5t，解得 t=32．答：32秒后，AP=CQ．故答案是：（1）50 （2）20 （3）32． 点评： 本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程=时间×速度，以及变形后的公式． 26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，ANON，BOON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP= 2 ；（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值． 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．专题： 综合题．分析： （1）易证AOB是等边三角形，从而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根据30°角所得的直角边等于斜边的一半即可求出OP的值；（2）如图①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，从而可证到OBP≌ABP，则有OP=AP=2，即可证到PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．由AO=AB，∠DOB=90°可证到∠D=∠AOD，从而可得AD=AO，由ANOD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，从而得到∠D=∠PBD，则有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．解答： 解：（1）点A是线段OB的垂直平分线上一点，AO=AB．∠AOB=60°，AOB是等边三角形，OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．∠OPB=∠OAB=60°．BOON，即∠POB=90°，∠OBP=30°，OP= PB= ×4=2．故答案为2；（2）证明：如图①，由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP．在OBP和ABP中， ，OBP≌ABP（SAS），OP=AP=2，PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．AO=AB，∠AOB=∠ABO．∠DOB=90°，∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，∠D= ∠AOD，AD=AO．ANOD，DN=ON=5．∠OPB=∠OAB，∠AOD=∠PBD，∠D=∠PBD，PD=PB，PO+PB=PO+PD=OD=10． 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半、等角的余角相等等知识，证到OBP≌ABP是解决第（2）小题的关键，通过添加适当的辅助线将PO+PB转化为线段OD是解决第（3）小题的关键．
第3篇：三角形中线定理范文
一、数与代数a、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数
数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。
乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数
平方根：①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
立方根：①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
3、代数式
代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。
合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、整式与分式
整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
幂的运算：am+an=a(m+n)
(am)n=amn
(a/b)n=an/bn 除法一样。
整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式两条：平方差公式/完全平方公式
整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式：①整式a除以整式b，如果除式b中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式的运算：
乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。
分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。
b、方程与不等式
1、方程与方程组
一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程
1)一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与x轴的交点。也就是该方程的解了
2)一元二次方程的解法
大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解
(1)配方法
利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解
(3)公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根x1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，x2={-b-√[b2-4ac)]}/2a
3)解一元二次方程的步骤：
(1)配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
(2)分解因式法的步骤：
把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
(3)公式法
就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
4)韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a
也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用
5)一元一次方程根的情况
利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“”，读作“diao ta”，而=b2-4ac，这里可以分为3种情况：
i当>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根;
ii当=0时，一元二次方程有2个相同的实数根;
iii当<0时，一元二次方程没有实数根(在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根)
2、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：
在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：a>b,a+c>b+c
在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：a>b，a-c>b-c
在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：a>b，a*c>b*c(c>0)
在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：a>b，a*c
如果不等式乘以0，那么不等号改为等号
所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;
3、函数
变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
一次函数：①若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(b为常数，k不等于0)的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。
一次函数的图象：①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k〈0，b〈o，则经234象限;当k〈0，b〉0时，则经124象限;当k〉0，b〈0时，则经134象限;当k〉0，b〉0时，则经123象限。④当k〉0时，y的值随x值的增大而增大，当x〈0时，y的值随x值的增大而减少。
二空间与图形
a、图形的认识
1、点，线，面
点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②n棱柱就是底面图形有n条边的棱柱。
截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。
2、角
线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。
比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。
角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。
垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。
垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后(关于画法，后面会讲)一定要把线段穿出2点。
垂直平分线定理：
性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;
判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上
角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。
定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上
正方形：一组邻边相等的矩形是正方形
性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形
二、基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等
24、推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25、边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形
58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66、菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷2
67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形
77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h
83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d
84、(2)合比性质：如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85、(3)等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),
那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
88、定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa)
92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)
94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)
95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101、圆是定点的距离等于定长的点的集合
102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104、同圆或等圆的半径相等
105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111、推论1
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118、推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120、定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121、①直线l和o相交 d
②直线l和o相切 d=r
③直线l和o相离 d>r
122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等
128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135、①两圆外离 d>r+r ②两圆外切 d=r+r③两圆相交 r-rr)
④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含 dr)
136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137、定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141、正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142、正三角形面积√3a/4 a表示边长
143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144、弧长计算公式：l=n兀r/180
第4篇：三角形中线定理范文
一、 分析条件特征，增强定理的选择意识
在这一阶段，可先对学生进行适当的分析与引导，然后让学生自己感悟和总结，最后通过练习与应用，使学生学会何时应用以下定理中的哪一个：
① 已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；② 已知有二边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；③ 直角三角形相似的判定定理的选择首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．
例1已知：在ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DMBC,交AC于点E，交BA的延长线于点D.
求证：MA2=MD•ME
分析：欲证MA2=MD•ME,就是要证明MA∶MD=ME∶MF，观察图形，可以发现即证MAE∽MDA，而证得相似,因为∠2是公共角,所以只需要证∠1=∠D，显然，通过互余关系可证得∠1=∠D,利用判定定理1即可。
说明：通过一对三角形相似来证明比例线段,是证比例式的一种基本方法,本题证明MA2=MDME，经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边,再去寻找和确定要证明的共边相似三角形.本题的关键式证明MAE∽MDA，而这一对相似三角形很特别,它们有一个公共角和一条公共边,这样的共边共角相似三角形在解题中应用广泛,应引起重视.
例2如图,已知在RtABC中,∠BAC=90°,BM是中线,ADBM,垂足是D,
求证：MCD∽MBC
分析：欲证MCD∽MBC，我们观察图形，BMC与MDC有一公共角∠BMC,而利用母子三角形可以得知AM2=MD•MB,又MC=AM,即MC2=MD•MB，因此，将等积式化为比例式,利用判定定理2即可
说明：利用直角三角形中的母子三角形得相关的等积式，转化为比例式，是非常重要的知识，学生应熟练掌握。
二、 熟悉基本图形，强化定理的应用意识
学生熟悉了基本图形，有利于在适当的情况下，想到用相似形的知识来解决问题。这就要求我们的学生能够从复杂的几何图形中，提炼出相似形的基本图形，以提高学生应用知识的能力，而相似形的基本图形有以下几种：
① 平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；
（图1）
② 相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．
（图2）
③ 母子型：如图3,公共角所对的边必定有一个公共定点.
（图3）
三、 了解定理的功能，渗透执果索因的意识
① 可以用来判定两个三角形相似；
② 间接证明角相等、线段成比例；
③ 间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件
例3如图:已知ABC中,AD是高,E是AC边上的中点,ED的延长线交AB的延长线于F.
求证:AB∶AC=BF∶DF
分析：待证式中线段所在的RtABC和BFD显然不相似，又无相等线段代换，故可考虑用中间比。由AD为斜边上的高，易得母子型ABD∽CBA，故AB∶AC=BD∶AD，从而问题转化为证BD∶AD=BF∶DF，此式中线段所在的BFD与DFA有一公共角，可考虑再找一对对应角相等。因为DE为RtADC斜边上的中线，所以DE=EC，所以∠C=∠EDC=∠BDF，而∠C=∠BAD，所以∠∠BDF=DAB，故思路打通。
说明：证明比例式或等积式常用方法是证三角形相似，其做法是观察待证式中线段所在的三角形是否相似；若此法受阻，则寻找中间比或相等线段待换。
例4在ABC中，∠B=60°，CDAB，垂足为D，AEBC，垂足为E，猜想DE与AC有怎样的数量关系，并说明理由。
分析：利用相似三角形的判定定理2可得，可得相似比为12,DE=12AC. 说明:要善于从复杂的图形中找到相似三角形,本题利用直角三角形的性质创造出相似的条件,再利用相似三角形的性质解出DE与AC的关系.
四、 掌握技巧方法，形成反思提炼的意识
作辅助线构造三角形的基本思路是把题图转化为基本图形。常用方法有两种：一是作平行线构成平行线型；二是作一个角等于已知角构成相交线型或母子型。
例5已知：如图，直线FD和ABC的边长交于点D，交AC于E，与BA的延长线交于F，且BD=DC， 求证：AE•FB=EC•FA
分析：欲证AE•FB=EC•FA，只要将等积式化为比例式，只需要证明AE∶EC=FA∶FB，因此只需过点A作BC的平行线，借助一个“A”字型，一个“X”即可。
第5篇：三角形中线定理范文
一、选择题（每小题3分，共36分）1．下面是实验中学初二的同学为自己班设计的几个班徽，是轴对称的有（） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 2．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪去一个角，则所得图形展开后是（） A． B． C． D． 3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 4．如图，RtABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若AB=m，CD=n，则ABD的面积等于（） A． mn B． C． 2mn D． 5．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（） A． 6cm B． 12cm C． 13cm D． 16cm 6．如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（） A． 60° B． 65° C． 75° D． 80° 7．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（） A． 12 B． 16 C． 20 D． 16或20 8．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是（） A． ABD≌ACD B． AF垂直平分EG C． 直线BG，CE的交点在AF上 D． DEG是等边三角形 9．如图，在ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（） A． 5 B． 6 C． 3 D． 4 10．E为正方形ABCD内部一点，且AE=3，BE=4，∠E=90°，则阴影部分的面积为（） A． 25 B． 12 C． 13 D． 19 11．若ABC的三边a，b，c满足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，则（） A． ABC是直角三角形且∠C=90° B． ABC是锐角三角形 C． ABC是直角三角形且∠B=90° D． ABC是直角三角形且∠A=90° 12．如图，ABC≌ADE，则下列结论成立的是（）①AB=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=80°，④BC=DE． A． ① B． ①② C． ①②③ D． ①②③④二、填空题（每小题4分，共20分）13．若三角形三内角的度数之比为1：2：3，边的长是16cm，则最小边的长是． 14．如图，BD垂直平分线段AC，AEBC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是cm． 15．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B=65°，∠MDN=135°，则∠AMB=． 16．ABC中，DE分别是BC，AD的中点，且ABC的面积为4，则阴影部分的面积是． 17．ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值为．三、解答题18．先化简，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5． 19．如图是一个四边形的边角料，木工师傅通过测量，获得了如下数据：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工师傅由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为木工师傅的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？请求出木料的面积． 20．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论：（1）∠D=∠B；AE∥CF． 21．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 22．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？ 23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）． 特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．2014015学年山东省莱芜实验中学2014～2015学年度七年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共36分）1．下面是实验中学初二的同学为自己班设计的几个班徽，是轴对称的有（） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点： 轴对称图形．分析： 根据轴对称图形的概念求解．解答： 解：第二个、第三个图形是轴对称图形．故选B．点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪去一个角，则所得图形展开后是（） A． B． C． D． 考点： 剪纸问题．分析： 把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．解答： 解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选C．点评： 此题主要考查剪纸问题，此类问题根据图示进行折叠，然后剪纸，可直接得到答案． 3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．分析： 根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得解．解答： 解：在矩形ABCD中，CD=AB，矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，C′D=CD，C′D=AB，AB=2，C′D=2．故选B．点评： 本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4．如图，RtABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若AB=m，CD=n，则ABD的面积等于（） A． mn B． C． 2mn D． 考点： 角平分线的性质．分析： 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，然后由三角形的面积公式进行解答即可．解答： 解：如图，过点D作DEAB于点E．∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，CD=n，DE=CD=n，AB=m，ABD的面积是： AB•DE= mn．故选：B． 点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（） A． 6cm B． 12cm C． 13cm D． 16cm考点： 平面展开-最短路径问题．分析： 根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．解答： 解：将圆柱体展开，连接DC， 圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，根据两点之间线段最短，CD= =13（cm）．而走B﹣D﹣C的距离更短，BD=5，BC= ，BD+BC≈12．故选：B．点评： 本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 6．如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（） A． 60° B． 65° C． 75° D． 80°考点： 平行线的性质．分析： 根据三角形外角性质求出∠EOB，根据平行线性质得出∠C=∠EOB，代入即可得出答案．解答： 解：∠A+∠E=75°，∠EOB=∠A+∠E=75°，AB∥CD，∠C=∠EOB=75°，故选C． 点评： 本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，关键是得出∠C=∠EOB和求出∠EOB的度数． 7．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（） A． 12 B． 16 C． 20 D． 16或20考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析： 由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．解答： 解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．点评： 本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解． 8．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是（） A． ABD≌ACD B． AF垂直平分EG C． 直线BG，CE的交点在AF上 D． DEG是等边三角形考点： 轴对称的性质．分析： 认真观察图形，根据轴对称图形的性质得选项A、B、C都是正确的，没有理由能够证明DEG是等边三角形．解答： 解：A、因为此图形是轴对称图形，正确；B、对称轴垂直平分对应点连线，正确；C、由三角形全等可知，BG=CE，且直线BG，CE的交点在AF上，正确；D、题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误．故选D．点评： 本题考查了轴对称的性质；解决此题要注意，不要受图形误导，要找准各选项正误的具体原因是正确解答本题的关键． 9．如图，在ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（） A． 5 B． 6 C． 3 D． 4考点： 勾股定理；平行线的性质．分析： 由平行线的性质得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的长．解答： 解：EF∥AB，∠A=∠1=50°，∠A+∠B=50°+40°=90°，∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即32+x2=（x+1）2，解得：x=4，EF=4+1=5，故选：A．点评： 本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 10．E为正方形ABCD内部一点，且AE=3，BE=4，∠E=90°，则阴影部分的面积为（） A． 25 B． 12 C． 13 D． 19考点： 勾股定理．分析： 根据勾股定理求出AB，分别求出AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．解答： 解：在RtAEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，正方形的面积是5×5=25，AEB的面积是 AE×BE= ×3×4=6，阴影部分的面积是25﹣6=19，故选D．点评： 本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键． 11．若ABC的三边a，b，c满足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，则（） A． ABC是直角三角形且∠C=90° B． ABC是锐角三角形 C． ABC是直角三角形且∠B=90° D． ABC是直角三角形且∠A=90°考点： 勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．分析： 先将式子变形为（a﹣4）2+（b﹣5）2+|c﹣3|=12，找到满足式子的一组值，根据勾股定理的逆定理即可求解．解答： 解：a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，a2﹣8a+16+b2﹣10b+25+|c﹣3|=12，（a﹣4）2+（b﹣5）2+|c﹣3|=12，当a=6，b=7，c=7时，满足上面的式子，62+72＞72，ABC是锐角三角形．故选：B．点评： 考查了勾股定理的逆定理，配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是将式子变形为（a﹣4）2+（b﹣5）2+|c﹣3|=12． 12．如图，ABC≌ADE，则下列结论成立的是（）①AB=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=80°，④BC=DE． A． ① B． ①② C． ①②③ D． ①②③④考点： 全等三角形的性质．分析： 根据ABC≌ADE，可得其对应边对应角相等，即可得AB=AD，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE；由∠DAC是公共角易证得∠BAD=∠CAE，已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，即可求得∠BAC的度数．解答： 解：ABC≌ADE，AB=AD，BC=DE，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE；∠DAC是公共角∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，∠CAE=40°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=120°﹣40°=80°．故选D．点评： 本题考查了全等三角形的性质及比较角的大小，解题的关键是找到两全等三角形的对应角、对应边． 二、填空题（每小题4分，共20分）13．若三角形三内角的度数之比为1：2：3，边的长是16cm，则最小边的长是 8cm ．考点： 含30度角的直角三角形．分析： 根据三角形的内角和等于180°求出角和最小角，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．解答： 解：三角形三内角的度数之比为1：2：3，三角形的的内角度数是：180°× =90°，最小的内角度数是：180°× =30°，此三角形是有一个锐角是30°的直角三角形，边的长是16cm，则最小边的长是16× =8cm．故答案为：8cm．点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并求出此三角形是有一个锐角是30°的直角三角形是解题的关键． 14．如图，BD垂直平分线段AC，AEBC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是 3 cm． 考点： 线段垂直平分线的性质．分析： 由已知条件，根据垂直平分线的性质得出AB=BC，可得到∠ABD=∠DBC，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到答案．解答： 解：过点P作PMAB与点M，BD垂直平分线段AC，AB=CB，∠ABD=∠DBC，即BD为角平分线，又PMAB，PECB，PM=PE=3． 故答案为：3．点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．得到三角形全等是正确解答本题的关键，也可直接应用角平分线的性质求解． 15．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B=65°，∠MDN=135°，则∠AMB= 70° ． 考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．分析： 根据平行线的性质求出∠BAM，再由三角形的内角和定理可得出∠AMB．解答： 解：AB∥CD，∠A+∠MDN=180°，∠A=180°﹣∠MDN=45°，在ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．故答案为：70°．点评： 本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同胖内角互补，及三角形的内角和定理． 16．ABC中，DE分别是BC，AD的中点，且ABC的面积为4，则阴影部分的面积是 1 ． 考点： 三角形的面积．分析： 根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：ADC是阴影部分的面积的2倍，ABC的面积是ADC的面积的2倍，依此即可求解．解答： 解：D、E分别是BC，AD的中点，SAEC= ，SACD= SABC，SAEC= SABC= =1．故答案为：1．点评： 本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 17．ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值为 9.8 ．考点： 等腰三角形的性质；垂线段最短；勾股定理．分析： 若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在RtABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．解答： 解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5﹣x，在RtABP中，BP2=AB2﹣AP2，在RtBCP中，BP2=BC2﹣CP2，AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，52﹣x2=62﹣（5﹣x）2解得x=1.4，在RtABP中，BP= = =4.8，AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．故答案为：9.8． 点评： 考查了等腰三角形的性质及勾股定理等知识，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．因此先从B向AC作垂线段BP，交AB于P，再利用勾股定理解题即可． 三、解答题18．先化简，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5．考点： 整式的混合运算—化简求值．分析： 先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．解答： 解：﹣2+2ab2÷a=4a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2+2b2=4ab，当a=3，b=5时，原式=4×3×5=60．点评： 本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 19．如图是一个四边形的边角料，木工师傅通过测量，获得了如下数据：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工师傅由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为木工师傅的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？请求出木料的面积． 考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理．分析： 根据AB=3cm，BD=5cm，AD=4cm利用勾股定理逆定理可得AB2+AD2=BD2，因此∠A=90°；再利用勾股定理逆定理可判定∠DBC=90°，然后再计算出面积即可．解答： 解：正确，32+42=52，AB2+AD2=BD2，∠A=90°，122+52=132，BD2+BC2=CD2，∠DBC=90°，木料的面积为： ×4×3+ ×12×5=6+30=36（cm2）．答：木工师傅的判断正确，木料的面积为36cm2．点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 20．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论：（1）∠D=∠B；AE∥CF． 考点： 全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： （1）根据SSS推出ADE≌CBF，根据全等三角形的性质推出即可．根据全等三角形的性质推出∠AED=∠CFB，求出∠AEO=∠CFO，根据平行线的判定推出即可．解答： 解：（1）在ADE和CBF中 ADE≌CBF（SSS），∠D=∠B．ADE≌CBF，∠AED=∠CFB，∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°，∠AEO=∠CFO，AE∥CF．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等． 21．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 考点： 轴对称-最短路线问题．专题： 应用题．分析： 先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．解答： 解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线，在RtA′DB中，由勾股定理求得A′B=DA = =17km，答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km． 点评： 本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 22．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？ 考点： 勾股定理的应用；方向角．分析： 根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．解答： 解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行． 点评： 此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形． 23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）． 特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质．专题： 计算题；证明题；压轴题；分类讨论．分析： （1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证DBE≌EFC即可得到答案；（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．解答： 解：（1）答案为：=．答案为：=．证明：在等边ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，EF∥BC，∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，AE=AF=EF，AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，ED=EC，∠EDB=∠ECB，∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，∠BED=∠FCE，在DBE和EFC中 ，DBE≌EFC（SAS），DB=EF，AE=BD．（3）解：分为四种情况：如图1：AB=AC=1，AE=2，B是AE的中点，ABC是等边三角形，AB=AC=BC=1，ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∠ACE=90°，∠AEC=30°，∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，即DEB是直角三角形．BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD=1+2=3．如图2，过A作ANBC于N，过E作EMCD于M，等边三角形ABC，EC=ED，BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，BAN∽BEM， = ，ABC边长是1，AE=2， = ，MN=1，CM=MN﹣CN=1﹣ = ，CD=2CM=1；如图3，∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则EDC不符合三角形内角和定理，此时不存在EC=ED；如图4∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∠ABC=∠ACB=60°，∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，此时情况不存在，答：CD的长是3或1． 点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
第6篇：三角形中线定理范文
一、“遇到中点连中点”，直接构造中位线
例1已知：如图1，在四边形ABCD中，
AB=DC，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点.猜想：
EF与GH有怎样的特殊的关系？试证明你的猜想.
分析：EF与GH的特殊关系，可以从两个方面来观察与思考：一是是否有特殊的位置关系，图中EF与GH是相交线段，则它们是否互相垂直；二是大小关系，显然EF与GH不会相等，但可以互相平分.
解：猜想：EF与GH互相垂直平分.
证明：连结EG、GF、FH、HE.
在ABD中，因为AE=DE，BG=DG，所以EG=
12AB.
同理GF=12CD，FH=12AB，HE=
12CD.
又因为AB=CD，所以EG=GF=FH=HE.
所以四边形EGFH是菱形， 所以EF与GH互相垂直平分.
说明：“遇到中点连中点”，本题通过连结中点，由此构造出三角形的中位线，从而利用中位线定理解决问题.
图1图2
二、有中位线无三角形时，添线补全三角形
例2已知：如图2，在梯形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点，
NE∥DM交BC于点E，连结ME.
求证：ME=DN.
分析：由M、N分别是AB、CD的中点，知
DN=12DC.因此，欲证
ME=DN，只需要证ME=12DC，联想三角形中位线定理，考虑延长
DM交CB的延长线于点P，构造出三角形中位线基本图形，由三角形中位线定理，问题便可得证.
证明：延长DM交CB的延长线于点P.
因为AD∥BC，所以∠ADM=∠ BPM.
因为∠AMD=∠BMP，AM=BM.所以AMD≌BMP.
因为DN=CN，NE∥DP，所以CE=PE，所以ME=12DC=DN.
说明：在证明四边形中有关边、角相等的问题时，常常是把边、角构造为三角形中的边、角来解决.若题设中有中点条件、线段的两倍或一半关系，则可考虑中位线，当条件不完备时，可以作辅助线构造中位线，为使用中位线定理创造条件.
三、有中点无中位线时，取中点连中位线
图3
例3已知：如图3，在四边形ABCD中， AC、BD相交于点 O、E、F分别是
AD、BC的中点，EF交AC、BD于点M、N.求证： OM=ON.
分析：要OM=ON，只需要证
∠OMN=∠ONM，由E、F分别是AD、BC的中点，联想三角形中位线定理，考虑取AB中点P，并连结EP、FP，构造出三角形中位线基本图形，易证
PE=PF，再由平行线的性质，便可证得结论.
证明：取AB中点P，连结
EP、FP，则EP、FP分别是ABD、ABC的中位线，
所以PE=12BD，PF=12AC，
因为AC=BD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，
又因为PE∥BD，PF∥AC，
所以∠OMN=∠PFE，∠ONM=∠PEF，所以∠OMN=∠ONM，所以OM=ON.
说明：在三角形（或梯形）中，如果已知一边（或一腰）的中点，常常取另一边（或另一腰）的中点，以构造出中位线定理的基本图形来解决有关问题.
四、仅有中点时，先构造三角形，再构造中位线
图4
例4已知：如图4，在四边形ABCD中， AB=CD， E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N.
求证：∠BME=∠CNE.
分析：先连结BD构造出三角形，再取BD中点H，连结
HE、HF，构造出三角形中位线基本图形，易证
HE=HF，从而∠1=∠2，再由平行线的性质，便可证得
∠BME=∠CNE.
证明：连结BD，取BD中点H，连结HE、HF，
因为F是AD的中点，
所以HF∥AB，HF=12 AB，
所以∠1=∠BME，
同理：HE∥CD.HE =12CD，
所以∠2=∠CNE.
因为AB=CD，所以HF=HE，∠1=∠2，所以∠BME=∠CNE.
第7篇：三角形中线定理范文
定比分角定理1：任意三角形ABC，以一条BC的平行线与AB的延长线相交的点D、以A为圆心，AC为半径的圆弧与BC的平行线相交的点E、点A形成三角形ADE。
重复步骤：以∠FGH=∠ABC的三角形FGH，得到三角形FIJ。如果xBC=GH，xDE=IJ，那么就有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。
定比分角定理2：仍然以定理1的图形，如果sin∠BAC/sin∠DAE=sin∠GFH/sin∠IFJ，且∠BAC∠DAE∠GFH∠IFJ均为锐角，那么有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。
定理1证明：据图1可得，2BC=GH，2DE=IJ，
BC=ACsin∠BAC/sin∠ABC，DE=AEsin∠DAE/sin∠ADE=ACsin∠DAE/sin∠ABC GH=FHsin∠GFH/sin∠FGH=2BC=2ACsinBAC/sinABC ，IJ=FJsin∠IFJ/sin∠FIJ=2DE=2ACsin∠DAE/sinABC，得sin∠GFH=sin∠BAC*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC，sin∠IFJ=sin∠DAE*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC；令∠BAC=x∠DAE，则有∠GFH=x∠IFJ，即∠BAC/∠DAE=∠GFH∠IFJ=x，证毕。
定理2证明：BC/DE=sin∠BAC/sin∠DAE=GH/IJ=sin∠GFH/sin∠IFJ，由定理1可知，如∠BAC、∠DAE、∠GFH、∠IFJ为锐角，则有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ，证毕。
二、三等分角证明
任意角∠A，在两条边的延长线上各取点B、C，使AB=AC，连结BC。
在BC上取中点D，连结AD，AD为三角形ABC的角平分线。取与BC等长的EF、FG做直角边为EF、FG的等边直角三角形EFG。在三角形EFG上做以EH、HI为直角边，且∠HEI=1/3∠FEG=15°的直角三角形EHI，H在EF的延长线上，EI=EG。取与HI等长的JK，J在AD的延长线上，与AJ、AK做直角三角形AJK，AK=AC。在KJ的延长线上取点L，使KJ=JL，连结AL。
运用定比分角定理解决尺规作图三等分任意角，据图得：CD=FG，HI=JK，∠FEG/∠HEI=1/3。
由定比分角定理1可得：∠CAD/∠JAK=1/3
∠BAL=∠LAK=∠KAC=∠BAC/3，证毕。
三、二倍立方证明
任意立方体ABCDEF（图省略），AB=1。取两倍AB长度的GI，做GI为斜边，GH、HI为直角边的等边直角三角形GHI。在三角形GHI上做以GJ、JK为直角边的三角形GJK，且∠JGK=1/3∠HGI=15°，GK=GI。在HI的延长线上取三倍JK长度的HL。做以IL为直角边、长度为AB的IM为斜边的直角三角形MIL。分别做以JK、JN为直角边，NK为斜边的直角三角形JNK和以HI、HO为直角边、IO为斜边的直角三角形HIO，且∠JNK=∠HOI=∠IML。取长度为IO的QR为直角边、长度为8的PR为斜边做直角三角形PQR，在QR的延长线上取长度为ML的线段RS。做以长度为NK的TU、PT为直角边、PU为斜边的三角形PTU，T在PQ的延长线上，PU=PR。取PU的中点V与PT的中点W，连结VW。以VW的长度为依据，做立方体A'B'C'D'E'F'，作图过程省略。
运用定比分角定理解决尺规作图二倍立方，据图3得：IL=3JK-HI=IL=3GIsin∠JGK-GIsin∠HGI=3GIsin∠JGK-GIsin3∠JGK=4GIsin ∠JGK^3
由定比分角定理得：∠QPR=3∠TPU
RS=3TU-QR=3JK/sinψ-HI/sinψ=IL/sinψ
又3TU-QR=3PUsin∠TPU-PRsin∠QPR=3PRsin∠TPU-PRsin3∠TPU=4PRsin∠TPU^3
4PRsin∠TPU^3=IL/sinψ=1，即sin∠TPU^3=IL/ 4PRsinψ=1/32sin∠TPU=[2^（1/3）]/4
又有三角形PWV相似于三角形PTU，PV=PU/2
第8篇：三角形中线定理范文
关键词：建立表象、组合定理、联想定理
教师在教途上并不是一帆风顺的，尤其在农村中学，有时由于教学上的需要，往往到了初三，也会出现面对陌生学生的情况。笔者今年就遇到了尴尬：几何证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容；更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。面对着时间紧、任务重，怎么办呢？经过一番苦思冥想，针对学生基础差、底子薄，决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”，也发现了定理的价值，基本树立了“用定理”的意识。
那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：
⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。
⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。
⑶推理过程因果关系模糊不清。
针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。
一、教学环节
对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求；第3 环节是基本推理模式，第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5 环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：
基本要求 重新建立表象 推理模式 组合定理 联想定理
二、操作分析和说明
⒈ 定理的基本要求
我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。
例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。
如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。
二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。
如：
三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达 ，允许采用等同条件。
如：abc是rt，cdab于d（条件也可写成：∠acb＝90°,∠cdb＝90°等) acd∽bcd∽abc 。
学生在书写时果然出现了一些问题：
①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。
②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现 ××，又××，××的错误。
③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现 ∠1 和∠2是同位角，ab∥cd）；条件重复（如定理49，结论∠apo＝∠bpo已经包括过圆心o，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。
⒉ 重新建立表象
从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。
教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：
⑴ 问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？
答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。
目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。
继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？
答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……
甚至有学生想到了两条平行弦……
目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。
⑵ 问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？
答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。
⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。
下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。
①定理16（延长中线成矩形） 定理24（作矩形的外接圆） 定理34。
②定理51（一线过圆心，且两线垂直） 定理36（一线平移成切线） 定理47、48（绕切点旋转） 定理50。
③如下图，把 ef 向下平移（或绕a点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论 ∠α＝∠d）：
⒊ 推理模式
从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。
具体教学分三个步骤实施：
⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。
① 条件 结论 新结论 （结论推新结论式）
② 新结论 （多个结论推新结论式）
③ 新结论 （结论和条件推新结论式）
⑵通过已详细书写证明过程 的题目让学生识别不同的推理模式。
⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。
这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。
⒋ 组合定理
基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。
下面通过一例来说明这一步骤的实施。
例1：已知如图，四边形abcd外接o的半径为5，对角线 ac 与 bd 相交于e，且 ab ＝ ae·ac，bd＝ 8。求bad的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）
证明：连结ob，连结oa交bd于f。
学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：
比例基本性质 s/as/ 证相似 相似三角形性质 垂径定理 勾股定理 三角形面积公式
由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？
实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。
⒌ 联想定理
分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。
例：如图，o1和o2相交于b、c两点，ab是o1 的直径，ab、ac的延长线分别交o2于d、e，过b作o1的切线交ae于f。求证：bf∥de。
讨论此题时，启发学生由题设中的“ab是o的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结bc；“过b作o的切线交ae于f”联想定理“切线的性质”，得出∠abf＝90°。从而构造出基本图形②③。
由命题的结论“bf∥de”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④ 的性质结合在一起，学生就易于思考了。
这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。
三、几点认识
复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。
“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。
集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。
参考资料：
① 高三数学第二轮复习的理论和实践 孟祥东等 《中学数学教与学》2001、3
② 全国初中数学教育第十届年会论文集 p380 、p470
附录：初中数学几何定理集锦（摘录）
1。同角（或等角）的余角相等。
3。对顶角相等。
5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。
7。同位角相等，两直线平行。
12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。
21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。
22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。
25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。
37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
47。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
49。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。
第9篇：三角形中线定理范文
知识结构
重点、难点分析
相似三角形的判定及应用是本节的重点也是难点．
它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形的基础上，进一步研究相似三角形的本质，以完成对相似三角形的定义、判定全面研究．相似三角形的判定还是研究相似三角形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．
它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．
释疑解难
（1）全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况．
（2）相似三角形的判定定理的选择：①已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；②已知有二边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；③判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．
（3）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．
（4）三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似。
（第1课时）
一、教学目标
1．使学生了解判定定理1及直角三角形相似定理的证明方法并会应用，掌握例2的结论．
2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．
3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．
4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
二、教学设计
类比学习，探讨发现
三、重点及难点
1．教学重点：是判定定理l及直角三角形相似定理的应用，以及例2的结论．
2．教学难点：是了解判定定理1的证题方法与思路．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
多媒体、常用画图工具、
六、教学步骤
［复习提问］
1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？
2．叙述预备定理．由预备定理的题所构成的三角形是哪两种情况．
［讲解新课］
我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有
三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们
来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？
上节课讲的预备定理实际上就是一个判定三角形相似的方法，现在再来学习几种三角形相似的判定方法．
我们已经知道，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形
全等的三个公理和判定两个三角形相似的三个定理之间有内在的联系，不同处仅在于前者是后者相似比等于1的情况，教学时可先指出全等三角形与相似三角形之间的关系，然后引导学生自己用类比的方法找出新的命题，如：
问：判定两个三角形全等的方法有哪几种？
答：SAS、ASA（AAS）、SSS、HL．
问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？
答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．
问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？
答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
强调：（1）学生在回答中，如出现问题，教师要予以启发、引导、纠正．
（2）用类比方法找出的新命题一定要加以证明．
如图5-53，在ABC和中，，．
问：ABC和是否相似？
分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．
问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？
答：①三角形的定义，②上一节学习的预备定理．
问：根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？
答：预备定理，因为用定义条件明显不够．
问：采用预备定理，必须构造出怎样的图形？
答：或．
问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？
此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理．
（1）在ABC边AB（或延长线）上，截取，过D作DE∥BC交AC于E．
“作相似．证全等”．
（2）在ABC边AB（或延长线上）上，截取，在边AC（或延长线上）截取AE=，连结DE，“作全等，证相似”．
（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）
虽然定理的证明不作要求，但通过刚才的分析让学生了解定理的证明思路与方法，这样有利于培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简单说成：两角对应相等，两三角形相似．
，，
∽．
例1已知和中，，，．
求证：∽．
此例题是判定定理的直拉应用，应使学生熟练掌握．
例2直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．
已知：如图5-54，在中，CD是斜边上的高．
求证：∽∽．
该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定定理1的作用；另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定直角三角形相似，教材上排了黑体字，所以可以当作定理直接使用．
即∽∽．
［小结］
1判定定理1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路．
2．判定定理1的应用以及记住例2的结论并会应用．
