三角函数精选(九篇)

第1篇：三角函数范文

1、三角函数值是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

2、三角函数值在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

（来源：文章屋网 ）

第2篇：三角函数范文

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。

然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰

（来源：文章屋网 ）

第3篇：三角函数范文

1． 设集合M＝｛平面内的点（a，b）｝，N＝｛f（x）f（x）＝acos2x＋bsin2x，x∈R｝，给出从M到N的映射f：（a，b）f（x）＝acos2x＋bsin2x，则点（1，）的象f（x）的最小正周期为（ ）

A． π B． C． D．

2． 设函数f（x）的定义域为D，若存在非零常数l，使得对于任意x∈M（MD）都有f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数，l是一个高调值．

现给出下列命题：

①函数f（x）=为R上的高调函数；

②函数f（x）=sin2x为R上的高调函数；

③若函数f（x）=x2+2x为（－∞，1］上的高调函数，则高调值l的取值范围是（－∞，－4］．

其中正确的命题个数是（ ）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

3． 已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1

①数列0，1，3，5，7具有性质P；

②数列0，2，4，6，8具有性质P；

③若数列A具有性质P，则a1=0；

④若数列a1，a2，a3，a4，a5（0≤a1

其中真命题有________．

4． 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2 km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．

（1）如图1，要建的活动场地为RST，求场地的最大面积；

（2）如图2，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

图1

图2

5． 对于定义域为D的函数y= f（x），如果存在区间［m，n］D，同时满足：

①f（x）在［m，n］内是单调函数；

②当定义域是［m，n］时， f（x）的值域也是［m，n］，则称［m，n］是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：函数y=g（x）=3－不存在“和谐区间”．

（2）已知：函数y=（a∈R，a≠0）有“和谐区间”［m，n］，当a变化时，求出n－m的最大值．

（3）易知，函数y=x是以任一区间［m，n］为它的“和谐区间”． 试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”． （不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=的函数为例）

6． 定义：对于任意n∈N，满足条件≤a且an≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列｛an｝称为T数列．

（1）若an=－n2（n∈N），证明：数列｛an｝是T数列．

（2）设数列｛bn｝的通项为bn=24n－3n，且数列｛bn｝是T数列，求M的取值范围．

（3）设数列cn=q－（n∈N），数列｛cn｝是否是T数列？请说明理由．

1． A．

2． ①对，l取小于0的数；②对，令l=kπ，k≠0；③对，由定义有（x+l）2+2（x+l）≥x2+2x，即2lx+l2+2l≥0在（－∞，1］上恒成立，所以l2+4l≥0且l

3． ①错，不满足任意这个关键点；②对，不管怎么取i，j，aj－ai总会是数列中的一项；③对，由定义，aj+a1与aj－a1两数中至少有一个是该数列中的一项，j为任意数，则a1=0；④对，a1=0，若a2+a3=a4，则a5－a2与a5－a3中，必有一项不在数列中，故a2+a3≠a4，同理a2+a3≠a5，所以由定义a3－a2=a2，即a1+a3=2a2．

4． （1）过S作SHRT于H，SRST=SH•RT．

由题意，RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；

RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时，上面两个不等式中等号同时成立． 此时，场地面积的最大值为SRST=×4×2=4（km2）．

（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，连结CP，则有

S=×2×2×sinθ×2+×2×2×sin（π－2θ）=4（sinθ+sinθcosθ）0

若y′=0，cosθ=，θ=，又θ∈0，时，y′>0，θ∈，时，y′

5． （1）设［m，n］是已知函数定义域的子集．因为x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函数y=3－在［m，n］上单调递增．

若［m，n］是已知函数的“和谐区间”，则g（m）=m，g（n）=n，故m，n是方程3－=x的同号的相异实数根．

因为x2－3x+5=0无实数根，所以函数y=3－不存在“和谐区间”．

（2）设［m，n］是已知函数定义域的子集．因为x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函数y==－在［m，n］上单调递增．

若［m，n］是已知函数的“和谐区间”，则f（m）=m，f（n）=n，故m，n是方程－=x，即a2x2－（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．

因为mn=>0，所以m，n同号，只须Δ=a2（a+3）（a－1）>0，即a>1或a

（3）如：y=－x+2和谐区间为［0，2］，［－1，3］，当a+b=2的区间［a，b］；y=sinx和谐区间为［0，1］；y=和谐区间为［－1，0］．

6． （1）由an=－n2得an+an+2－2an+1= －n2－（n+2）2+2（n+1）2=－2

（2）由bn=24n－3n得bn+1－bn=24（n+1）－3n+1－24n+3n=24－2•3n，当24－2•3n≥0，即n≤2时，bn+1－bn>0，此时数列｛bn｝单调递增；而当n≥3时，bn+1－bn

（3）假设数列｛cn｝是T数列，依题意有：cn+cn+2－2cn+1=+－=．

第4篇：三角函数范文

关键词：三角函数 高中数学 最值 值域 常见问题 方法探究

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学领域和其他领域中有着相当重要的作用。本文从现代高中教学实际出发，分析并介绍了三角函数中常见的最值求解类型问题，结合具体的实例，阐述了相关问题的典型解题方法，探讨了一般的解题策略与技巧。

一、三角函数的定义

数学领域中，三角函数又叫圆函数，是针对平面直角坐标系而言的角函数，通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。现代数学理论认为，三角函数的定义是把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的值域由实数域的任意正数和负数值扩展到复数值。现代数学领域中，三角函数属于初等函数中的一类函数。

二、三角函数的最值

最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在高中数学教学中也占有比较重要的比重，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，其解法灵活，综合性强，能力要求高。

三、三角函数最值问题的常见类型及求解策略

三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的方法是选取一个恰当的变量θ角，构造以θ角为自变量的函数，通过求三角函数最值来解决。这类问题解题一般流程为：审读题意设角建立三角函数式进行三角变换解决实际问题；通常分两步求解：首先，建立目标函数，其关键是选择恰当的自变量并确定自变量的取值范围；其次，是在符合实际问题意义的情形下求目标函数的最值。故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。

高中数学教学中，在三角函数问题分析时，比较常见的类型主要体现在以下几种类型，下面结合实例分析以下它们的解题策略：

1．型如y=asinx+bcosx型的函数

2．型如y=a sin x+b（或y=a cos x+b）的函数

这种类型的函数的特点是由一次函数与正弦函数复合而成的，最值求解可用三角函数的有界性。要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。

例：函数y=k sin x+b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。 解：若k>0，则当sin x=1时，y max=2；

当sin x=-1时，y min=－4

k+b=2，-k+b=-4， 解得k=3，b=-1 同理可以求得k＜0的情况。

3．型如y=asin2x+bcosx+c型的函数

此种类型题目的特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，解决思路最好应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。

4．型如y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x型的函数。

此种类型题目的特点是含有sinx, cosx的二次式，他的解题方式是进行降幂处理，再转化成y=asinx+bcosx的形式解题。

凡此种种，还有型如y=型的函数；型如y=sinxcos2x型的函数；含有sinx与cosx的和与积型的函数式等等最值问题均可找到其解题规律。

四、结束语

总之，三角函数的最值问题，是最近几年高考所经常涉及的数学领域，三角函数最值的求解方法，也是比较多样和灵活的。在高中数学教学中，根据实际需要，结合三角函数的性质，明确具体问题的实质，掌握三角函数的最值求解方法，简化三角函数的问题复杂性，可以极其有效的便捷学生处理问题的效率。

参考文献：

第5篇：三角函数范文

关键词：高职高考中；掌握解题

一、高考命题热点

近几年三角所占分值相对稳定，30分左右，比例较高，大概20%。题型以选择、填空为主，题目难度不大，主要考查三角基本公式与三角函数性质的简单应用；有些题目曾多次重复出现，如求最小正周期。每年都会有一道解三角形的大题，为了拉开考生得分的距离，考查考生的能力，近两年解三角形题目有新意，结合了和角公式，题目难度不大，但很巧妙。因此，注重书本上典型例题、习题和近几年高职考题，无疑是高考复习的重要举措。下面我们对近年来出现过的题型结构进行分析研究。

二、典型例题研究

（一）求最小正周期

例1（2013年）函数f（x）=3cos2x的最小正周期为。

例2（2015年）若函数f（x）=2sinωx的最小正周期为3π，则ω=（）

A、13B、23C、1D、2

评析：这两题考查了正弦型函数和余弦型函数的最小正周期T=2πω，答案分别为π、B。

例3（2010年）函数f（x）=sinxcosx是（）

A、最小正周期为2π的偶函数B、最小正周期为π的偶函数

C、最小正周期为2π的奇函数D、最小正周期为π的奇函数

例4（2012年）函数y=2sinxcosx的最小正周期为。

评析：这两题先利用二倍角公式把函数化为正弦型函数，再代公式T=2πω，答案分别为D、π。

例5（2011年）函数f（x）=（sin2x-cos2x）2的最小正周期及最大值分别是（）

A、π，1B、π，2C、π2，2D、π2，3

评析：这题第一问考查了完全平方公式、同角三角函数关系式、二倍角公式和正弦型函数的周期公式。

f（x）=（sin2x-cos2x）2=sin22x+2sin2xcos2x+cos22x=1+sin4x

T=2πω=2π4=π2

（二）求三角函数的最值

例1（2011年）函数f（x）=（sin2x-cos2x）2的最小正周期及最大值分别是（）

A、π，1B、π，2C、π2，2D、π2，3

评析：这题第二问考查了余弦型函数的最值，答案为C。

例2（2014年）函数f（x）=4sinxcosx（x∈R）的最大值是（）

A、1B、2C、4D、8

评析：这题考查了二倍角公式及余弦型函数的最值，答案为B。

（三）三角函数的定义

例1（2010年）已知点P（-1，2）是角α终边上的一点，则下列等式中，正确的是（）

A、sinx=-15B、sinx=25

C、cosx=-25D、cosx=15

例2（2011年）已知角θ终边上的一点的坐标为（x，3x）（x

A、-3B、-32C、33D、32

例3（2014年）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，3）是角θ终边上的一点，则tanθ=（）

A、35B、45C、43D、34

评析：这三题考查了三角函数的定义，直接代入即得答案为B。

例4（2012年）若角θ的终边经过两直线3x-2y-4=0和x+y-3=0的交点P，求角θ的正弦值和余弦值。

评析：此题没有按照常规直接给出角θ终边上一个点的坐标，而是通过求两直线的交点得出，题目难度不大，但设计巧妙。

解方程组3x-2y-4=0x+y-3=0，得x=2，y=1，则交点P的坐标为（2，1）。

r=22+12=5。于是sinθ=yr=15=55，cosθ=xr=25=255。

（四）三角函数诱导公式

例1（2011年）设α为任意角，则下列等式中，正确的是（）

A、sin（α-π2）=cosαB、cos（α-π2）=sinα

C、sin（α+π）=sinαD、cos（α+π）=cosα

例2（2012年）sin3900=（）

A、12B、22C、32D、1

例3（2013年）sin3300=（）

A、-12B、12C、-32D、32

评析：此三题考查了三角函数的诱导公式，直接代入即得答案都为A。

（五）三角函数的性质

例1（2010年）下列不等式中，正确的是（）

A、sin200

C、sin200>tan450D、cos200>tan450

评析：这题考查了三角函数的单调性及三角函数的特殊值，答案为A。

例2（2010年）函数f（x）=sinxcosx是（）

A、最小正周期为2π的偶函数B、最小正周期为π的偶函数

C、最小正周期为2π的奇函数D、最小正周期为π的奇函数

评析：这题第二问先利用二倍角公式把函数化为f（x）=12sin2x，很容易看出答案是π。

例3（2013年）下列函数为偶函数的是（）

A、y=exB、y=lgxC、y=sinxD、y=cosx

评析：这题综合考查了几种常见函数的奇偶性判断。定义域区间对称的只有A、C、D。再通过计算f（-x），A是非奇非偶，C是奇函数。答案是D。

（六）同角三角函数关系式

例1（2013年）若sinθ=45，tanθ>0，则cosθ=。

评析：这题根据同角平方关系式及三角函数的符号象限，可得答案是35。

例2（2015年）已知向量=（sinθ，2），=（1，cosθ）。若，则tanθ=（）

A、-12B、12C、-2D、2

评析：这题考查了同角商数关系式及向量垂直的条件，答案是-2。

（七）解斜三角形

例1（2010年）在ΔABC中，已知∠A=450，cosB=1010。

1、求cosC；

2、若BC=5，求AC的长。

例2（2011年）已知ΔABC为锐角三角形，a、b、c是ΔABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是ΔABC的面积。若a=2、b=4、S=23，求边长c。

例3（2013年）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=1、c=3、∠C=23π。

1、求cosB的值；

2、求a的值。

评析：这三道题着重考查了正弦定理，其中例1用到同角的平方关系式、和角公式，例2用了面积公式，例3则结合了三角形内角和的知识。答案：例1（1）55（2）3。例223。例3（1）32（2）1。

例4（2015年）在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3、c=1、cosB=13，则b=。

例5（2012年）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3、c=4、cosB=14。

1、求b的值；

2、求sinC的值。

例6（2014年）在ΔABC中，A、B、C的对应的边分别为a、b、c，且A+B=π3、c=3、∠C=23π。

1、求sinAcosB+cosAsinB的值；

2、若a=1、b=2，求c的值。

例7（2015年）已知函数f（x）=acos（x+π6）的图像经过点（π2，-12）。

1、求a的值；

2、若sinθ=13，0

第6篇：三角函数范文

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

2.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

第7篇：三角函数范文

为此我根据本校学生的实际情况特地安排了一节关于三角函数性质综合应用的复习课，让学生通过积极参与，在讨论中达到对此类型题总结方法的目的．

一、引入：有关函数y=Asin（x+）的单调性和最值等问题

在求解形如y=Asin（x+）或y＝Acos（x+）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，我们常把ωx+视为一个整体t．当A＞0时y=Asin（x+）或y=Acos（x+）的单调区间所列不等式的方向与y=sint，y=cost对应的单调区间不等式方向一致；当A＜0时则相反．

例1：已知函数f（x）=sin（2x+）+1，x∈R. （1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值及取得最大值时x的值.

分析：我们设2x+=t，即把2x+=t看作一个整体，转化为求我们非常熟悉的函数y=sint的性质，这个过程我们称之为整体代换．它可以实现将复杂的问题简单化．

解：（1）设2x+=t.

函数y=sint的单调递增区间是[2k-，2k+]，k∈Z即2k－≤t≤2k+，k∈Z（整体代换），

2k-≤2x+≤2k+，k∈Z.

解得k-≤x≤k＋，k∈Z（还原），

故函数y=sin（2x+）+1，x∈R的单调递增区间为[k-，k+]，k∈Z.

注意：整体代换之后要再还原成原函数的性质.

（2）当t=+2k，k∈Z时，函数y=sint取得最大值1.

当2x+=+2k，k∈Z，即x=+k，k∈Z时（还原），函数y=sin（2x+）＋1，x∈R取得最大值+1.

注：整个过程自变量的变化为xtx.

变式：已知函数y=-sin（2x+）+1，x∈R，（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值及取得最大值时x的值.

分析：我们发现这道题目与例1相差仅一个符号，但解题方向刚好与例1相反．这是因为y=-sin（2x+）+1的图像与y=sin（2x+）+1的图像刚好相反，而y=sin（2x+）+1的单调性、最值方向又与y=sint一致，即y=－sin（2x+）+1与y=sint的单调性、最值方向相反．

解：（1）设2x+=t.

函数y=sint的单调递减区间是[2k＋，2k+]，k∈Z，

即2k＋≤t≤2k+，k∈Z（整体代换），

2k+≤2x+≤2k+，k∈Z，

解得k＋≤x≤k+，k∈Z（还原），

故函数y=-sin（2x+）+1，x∈R的单调递增区间为［kx＋，k＋］，k∈Z.

（2）当t=-+2k，k∈Z时，函数y=sint取得最小值-1.

当2x+=-+2k，k∈Z?圯x=-+k，k∈Z时（还原），函数y=-sin（2x+）+1，x∈R取得最大值+1.

二、化简后仍是有关函数y=Asin（x+）的单调性和最值等问题

回顾复习辅助角公式：asinx+bcosx=sin（x+），其中tan=，终点与点（a，b）同象限.

一般涉及三角函数的最小正周期、最大最小值、单调递增递减区间、对称轴、对称中心等，要通过三角恒等变形（采用倍角公式、平方降幂扩角公式或两角和与差的公式）将函数化归为单一的并且次数为一次的函数再进行求解．即通过三角变换化为形如y=asin+bcos型的三角函数来解决，通过引入辅助角化为y=Asin（x+）.

例2：已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R，＞0）的最小正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（Ⅳ）求函数f（x）的对称轴、对称中心；（Ⅴ）求函数f（x）的奇偶性.

解：（Ⅰ）f（x）=2・＋sin2x=sin2x+cos2x+1

=（sin2xcos+cos2xsin）+1

=sin（2x+）+1.

由题设，函数f（x）的最小正周期是，可得=.

=1． f（x）=sin（2x+）+1

（Ⅱ）（Ⅲ） 的解答回归例1.

（Ⅳ）令2x+=k+，k∈Z，有x=+，k∈Z，

函数 f（x）的对称轴为x=+，k∈Z.

令2x+=k，k∈Z，有x=－＋，k∈Z.

函数 f（x）的对称中心为（-＋，0），k∈Z.

（Ⅴ）经学生讨论总结有以下三种解法：

方法1：作出 f（x）的图像可知 f（x）为非奇非偶函数.

方法2：f（-x）＝sin（－2x＋）＋1＝-sin（2x－）＋1，x∈R.

f（-x）≠f（x），f（－x）≠－f（x）.

f（x）为非奇非偶函数.

方法3： f（-）=1，f（）=+1，

f（-）≠f（），f（-）≠f（）.

第8篇：三角函数范文

三角函数与平面向量交汇的试题屡见不鲜，颇为流行，呈现方式可大（解答题）可小（填空题和选择题）. 若是小题，一般难度不大，主要考查基本概念和基本公式，是送分题；若是大题，则对基本公式的理解记忆能力、变形能力、运算能力等提出了一定的要求.

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解答三角函数与平面向量交汇的试题时，一定要熟悉向量的数量积的定义和性质，合理选用向量数量积的运算法则构建相关等式，然后运用与此相关的三角函数知识点进行解题，并要注意方程思想的运用.

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■ 已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，2■・cosωx），设函数f（x）=a・b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈■，1.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若已知y=f（x）的图象经过点■，0，求函数f（x）在区间0，■上的取值范围.

破解思路 先通过向量数量积的坐标运算，整理、化简成单一三角函数表达式f（x）=2sin2ωx-■+λ. 然后代入对称轴方程x=π，求出ω；再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）+B的周期公式T=■求解第（1）问. 对于第（2）问，代入点■，0求出λ，得到三角函数表达式y=2sin■x-■-■，再根据x的取值范围求出函数f（x）的取值范围.

经典答案 （1）由已知得f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2■sinωx・cosωx+λ=-cos2ωx+■sin2ωx+λ=2sin2ωx-■+λ.

由直线x=π是y=f（x）图象的一条对称轴，可得sin2ωx-■=±1，所以2ωπ-■=kπ+■（k∈Z），即ω=■+■（k∈Z）. 又ω∈■，1，k∈Z，所以k=1，故ω=■. 所以f（x）的最小正周期是■.

（2）由y=f（x）的图象过点■，0，得f■=0，即λ=-2sin■×■-■= -2sin■=-■，即λ=-■. 故f（x）=2sin■x-■-■，由0≤x≤■，有-■≤■x-■≤■，所以 -■≤sin■x-■≤1，得-1-■≤2sin■x-■-■≤2-■，故函数f（x）在0，■上的取值范围为[-1-■，2-■].

■ 在ABC中，已知■・■=3■・■.

（1）求证：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

破解思路 （1）先通过向量数量积的符号运算，将■・■=3■・■化成AB・AC・cosA=3BA・BC・cosB，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.

（2）由cosC=■，可求tanC，由三角形的三角关系，得到tan[π-（A+B）]，从而根据两角和的正切公式和第（1）问的结论即可求得A的值.

经典答案 （1）因为■・■=3■・■，所以AB・AC・cosA=3BA・BC・cosB，即AC・cosA=3BC・cosB. 由正弦定理，得■=■，所以sinB・cosA=3sinA・cosB. 又00，cosB>0. 所以■=3・■，即tanB=3tanA.

（2）因为cosC=■，0

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1. 已知在锐角三角形ABC中，三个内角为A，B，C，两向量p=（2-2sinA，cosA+sinA），q=（sinA-cosA，1+sinA），若p与q是共线向量，则角A的大小为______.

2. 已知向量a=cos■x，sin■x，b=cos■，-sin■，x∈0，■.

第9篇：三角函数范文

        教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接的反映。思维是认知的核心成分，思维的发展水平决定着整个知识系统的结构和功能。因此，开发高中学生的思维潜能，提高思维品质，具有十分重大的意义。

        思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷性、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。在人们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏灵活的思维。所以，思维灵活性的培养显得尤为重要。

        思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于：(1)思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。

        如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学三角函数中作了一些探索：

        1．以“发散思维”的培养提高思维灵活性

        美国心理学家吉尔福特提出的“发散思维”的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出，很可能会发生转换作用。”

        在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。

        1.1引导学生对问题的解法进行发散；在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。 

        

        通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)统一角度；(3)统一运算。一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。

        1.2引导学生对问题的结论进行发散；对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论．让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。 

        

        开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。

        2．以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养

        由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，所以，思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高，下面就思维品质中一些性质谈点感悟。

        2.1思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。

        <例>方程sinx＝lgx的解有（ ）个。（a）1（b）2（c）3（d）4

        学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无措。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组 的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图家交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。

        2.2思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度，二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。

        <例>相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体体积为va（绕a边）和vb（绕b边），则va：vb＝（ ）

        （a）a：b （b）b：a （c）a2：b2  （d）b2：a2

        用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求: 

        

        则va：vb＝b：a，由于要引入两边夹角 来求解，学生常常无法入手。若以特殊的平行四边形（矩形）来处理，则相当简便。

        此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用特殊化思想求解，解题迅速、正确。

       2.3思维的独创性指思维活动的独创程度，具有新颖善于应变的特点。思维的灵活性为思维的独创性提供了肥沃的土壤，为解题“灵感”的闪现提供了燃料。 

        

        2.4思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。在教学中，鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡独立思考能力的培养。 

         

        学生对结论的可靠程度进行怀疑，在独立分析的基础上，灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取值的可能性。

        灵活的构想独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。教学中注重学生解题思路的独特性、新颖性的肯定和提倡，充分给予尝试、探索的机会，以活跃思维、发展个性。

        几年来，所教学生在经过有目的的培养后，思维品质都有了很大的提高。相应的，学生的学习质量也有了很大提高。许多学生进入大学、甚至走上工作岗位后，常常来信谈及虽然数学知识有许多已经遗忘，但老师教的数学思维方式却常令他们在工作、学习、生活中得益不少。随着课程教材改革的推进，突出思维品质的培养已成为广大教师和教育工作者的共识。我将继续探索下去，以求获得更多的教育理论与教育方法。

参考文献：

[1] 《中学生学习心理学》 编写组著  广东高等教育出版社．