数学建模方法总结精选(九篇)

第1篇：数学建模方法总结范文

1 数学思想方法和解决问题策略形成和发展的心理过程

1．1 数学思想方法形成和发展的心理过程

任何数学思想方法的学习，必须经历如下的过程：“解决具体问题――反思和总结――归纳与提炼――应用与发展”，学生不能从“告知”中体会和掌握数学思想方法，只能从体验解决问题过程、反思和总结解决问题过程中产生数学思想方法.也就是说，学生是在研究自己的思考和解决问题的过程中产生数学思想方法，这种心理操作是属于元认知的高级认知活动的范畴，从而是高级心理过程.这种学习活动既具有教育的高价值又具有复杂性,学生对数学思想方法的学习是从内隐的感知到外显的描述再经过练习变成内隐记忆的过程，是在师生的内隐知识与外显知识相互交流和转化中形成的[1]，如方程思想的本质是用不同的含有字母的式子表示同一个量所形成的相等关系，学生必须经历建立方程（组）模型的过程，从中体验建立方程（组）模型时的图示分析法、表格分析法和变量关系分析法，体验方程思想在数学不同领域、其它学科和生活中的应用，在学生具备了建立方程（组）模型的实践经验和初步体验的基础上，归纳建立方程（组）模型的方法―归纳用方差思想解决问题的解题表[2]，再经过进行集中的系列训练来巩固和内化方程思想，最后结合函数模型的研究，把方程模型纳入到函数模型体系中，实现方程思想的发展.

1．2 数学问题解决策略的形成和发展的心理过程

从认知心理学的角度可以把解决问题的策略分为算法和启发式，采用算法策略可以保证问题的解决，但是却需要大量的尝试. 启发法是人根据一定的经验，在问题空间内进行较少的搜索，以达到问题解决的一种方法.启发法不能保证问题解决的成功，但这种方法比较省力.它有以下几种策略：（1）手段――目的分析：就是将需要达到问题的目标状态分成若干子目标，通过实现一系列的子目标最终达到总的目标；（2）逆向搜索：就是从问题的目标状态开始搜索直至找到通往初始状态的通路或方法；（3）爬山法：采用一定的方法逐步降低初始状态和目标状态的距离，以达到问题解决的一种方法.

波利亚在他的《数学的发现》一书中，提出了数学解题思维过程的正方形模型，[3]如图1. 在这个模型中，以问题结构为导向的知识动员与回顾、问题的重新表征、从问题结构中对数学基本原理的应用结构进行模式识别、对解决问题的思路进行合理的预见和进行“问题结构――原理”的选择性联想是促成问题解决的关键性心理操作.因此解决问题的策略来自于对数学问题的结构分析与数学原理性知识的联想.罗增儒教授在对数学问题解决过程进行分析的基础上，提出了解决数学问题的10种策略[4] .

2 对初中数学学业考试专题复习的几点建议

根据数学专题复习对象和复习要求的特殊性，对数学专题复习提出下面建议：

（1）设计合理的问题系列，在寻求问题的方法层次解决的过程中概括数学思想方法并进行应用思想方法解决问题的活动，促进学生进行数学思想方法的内化.如在分类讨论思想的专题复习中，首先用数钱问题引导学生进行方法论层次的问题解决，再进行实证层次上的问题解决：

例1 如果你面对一堆人民币，其中有100元、50元、20元、10元、5元、2元、1元面值，你怎样用最快的速度清点出有多少元钱吗？

这个问题具有难度低、生动形象的特点，是分类讨论的典型问题，能帮助学生理解分类讨论的思想的本质和应用价值.

在学生提出解决问题的方法后，让学生思考分几类，为什么分成这几类，这样可以让学生通过思考发现“类别种数是由于人民币的不同类别面值决定”，理解“问题对象具有不同的类别”是需要进行分类讨论的原因.在进行初步感受的基础上，思考下面两个问题：

例2 如果xa-2，则a=______,如果一个半径为r的圆中有一条长为r的弦,那么这条弦所对的圆周角度数是______.

例3 如图2，坐标平面上ABO的三个顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-1.8，0），O（0，0）；在这个平面上有点A′，使以A′、B、O为顶点的三角形与ABO全等，求A′点的坐标.

这三个例题中,例1是由于对象本身是分类呈现的,因此需要对对象进行分类讨论,例2是由于数学原理本身的分类表述所引起的分类讨论,而例3是由于全等三角形的对应顶点不确定（对象运动）所引起的分类讨论.通过对这三个问题解决过程的反思，抽象出应用分类讨论思想解决问题的解题程序：

在学生完成对分类讨论思想解题程序的概括的基础上，进行具有典型性的系列应用：

例4 邮政部门规定：信函重100g以内（包括100g）每20g贴邮票0.8元，不足20g按20g计算；超过100g的，先贴邮票4元，超过100g的部分每100g加贴邮票2元，不足100g按100g计算.（1）小明寄一封信函贴了6元邮票，问这封信函有多重？

（2）如果要把九封重12g的信件分两个信封寄出，每个信封重4g，请你设计寄信方案，使寄出这九封信件所贴的邮票总金额最少？

例5 如图3所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B的坐标为（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，∠DMC=∠DOB=60°.

（1）求直线CB的函数解析式；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M按顺时针方向旋转α（30°

通过对分类讨论思想应用过程的进一步体验，对应用思想方法的程序与规则进行再总结，使学生较好地把握分类讨论思想.

(2)注意专题复习中解决问题策略、数学思想方法的层次性，合理把握方法与策略抽象的时机.解决问题的策略是对数学思想方法应用的再抽象，而数学思想方法体系内部也具有层次性，如方程思想与函数思想的关系，数学建模过程中需要应用方程思想、函数思想、数形结合思想和转化思想等.要使学生建构起结构良好、联系广泛的数学思想方法与解决问题的策略体系，就需要在专题复习中进行有序的策略与方法抽象，合理把握策略与方法抽象的时机.

数学思想方法来源于问题结构分析和选择合理的数学原理解决问题的过程，数学解决问题的策略来源于问题结构分析与选择合理的思想方法解决问题的过程，这就需要以问题为载体，让学生在解决不同层次的问题中进行数学思想方法和解决问题策略的归纳与抽象.数学抽象需要对象类别，抽象数学思想方法需要在结构一致性问题系列（数学结构相同而表述不同）和结构变异性问题系列（结构与表述不同而所用的思想方法相同）解决中进行抽象，在对解决问题的方法抽象过程中需要对思考过程进行自我解释与自我总结.如在方程思想、函数思想和统计思想专题复习的基础上，安排如下的数学建模思想的专题复习，可以引导学生在建立方程、函数、统计、几何模型的基础上概括数学建模的思想：

（一）创设应用模型解决问题的情境.在解决问题的过程中体验和模型思想.

春节期间，小明和他的同学准备到淡竹原始森林风景区去旅游，下面是他们计划旅游和旅游途中出现的问题，请大家帮助解决.

1. 要去旅游，首先要解决交通问题.从家里出发到风景区有30千米的路程，如果单独乘公共汽车去，每人来往的车费需要20元，如果是包小客车（20座）车来回接送，则每辆车来回接送一次需要300元，请问，小明和他的同学应该选择包车还是乘公共汽车去景点？

（1）引导学生用函数的模型解决本问题.

（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.

（3）引导学生归纳利用函数模型解决实际问题的基本模式(如图4）.

2. 出发哪天，小明数了数人数，发现有24人要去旅游，由于汽车不能超载，小明准备与3个同学一起乘出租汽车去景点，由于临时叫车，在其他同学乘包车出发后，小明等了15分钟，并与乘包车出发的同学约定好同时到达景点，如果出租汽车的平均速度是包车速度的1.5倍，请问：出租汽车的平均速度是多少？

（1）引导学生用方程的模型解决本问题.

（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.

（3）引导学生归纳利用方程模型解决实际问题的基本模式（如图5）.

3. 小明和他的同学进入景区后，在上山的路上发现有两处台阶，这两处台阶都有20级，这两处台阶的每一级的高分别是：

A处台阶：有4级是22cm；有5级是25cm；有24cm和26cm高的台阶各3级；有22cm和27cm高的台阶各2级；还有一级是23cm.

B处台阶：有5级是22cm；有4级是27cm，有21cm和25cm的台阶各3级；有26cm的台阶和23cm的台阶各2级；还有1级是30cm.

你对这两处台阶的平均每级高度和行人行走的舒适性有什么评价？

（1）引导学生用统计的模型解决本问题.

（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.

（3）引导学生归纳利用统计模型解决实际问题的基本模式(如图6）.

4. 如图7，山里的景色的确美不胜收，走着走着，发现一块石笋直插云霄，大家发出了阵阵惊叹，小明灵机一动，提出了一个问题：这石笋有多高？（假设一段时间内石笋在阳光下的影子始终在同一直线上）.

小张思考了一下，说：只要大家在这里休息一小时，我就能大致估计出这石笋的高度，小张接着说，虽然我们走不到石笋的底部，但只要测量出现在石笋在阳光下的影子与一小时后石笋在阳光下的影子的差距，现在和一小时后我们自己的身高与影子的长，就可以计算出石笋的高度，你能根据小张的思路，设计出测量石笋高度的方案吗？

（1）引导学生用函数、相似三角形和方程模型解决本问题.

（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.

（3）引导学生归纳利用函数、相似三角形和方程模型解决实际问题的基本模式（如图8）.

(二)概括数学建模思想.在对上述问题系列解决过程进行总结和自我解释的基础上，归纳利用数学模型思想解决问题的基本方法和基本模式.基本模式如图9.

用数学建模思想解决问题的基本过程：

1.用数学方法（数、式子、图形、表格）描述问题，建立数学模型（如数据模型、方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型等），把问题数学化.

2.用数学方法解决已经建立的数学问题，得到数学问题的解.

3.解释得到的数学问题的解的实际意义，根据问题的具体情境解释结果的合理性.对自己解决问题过程进行总结、评价与反思，提炼数学思想方法.

(三)应用与拓展.（选择应用各种数学模型解决实际问题的变异性样例系列让学生进行单独解决，引导学生在数学建模思想指导下独立解决实际问题.）

在专题复习中，应重视在问题结构分析与表征中进行解题定向与策略选择的活动开展.数学问题结构指的是组成数学问题的要素及其相互关系，这种结构往往包含了解决问题的策略.

例6 设x1，x2，x3，…,x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40=58，求：x21+x22+x23+…+x240的最大值和最小值.

如果注意到本题中的40个数据的和与数据平方和的特殊结构，联想到数据的和与平均数有联系，而数据的平方和与数据的方差有联系，就可以发现可以用数据的特征数分析的方法解决问题：设x1，x2，x3，…,x40的平均数

我们发现当方差最大或最小时，这40个数据的平方和也同时达到最大值和最小值.而当这40个数据中有39个为1，一个为19时，数据的方差最大，而当所有数据最接近[SX(]58[]40[SX)]时，方差最小，由于数据都是正整数，不可能等于[SX(]58[]40[SX)]，与[SX(]58[]40[SX)]最接近的数是1和2，所以当这些数据中只有1和2时，方差最小，设有k个1，则k+2（40-k）=58，k=22，所以当这些数据中有22个1，18个2时方差最小，从而求得数据平方和的最大值是400，最小值是94.

初中数学问题结构的基本关系的基本类型有结构交叉、结构隐含与结构映射，对于结构交叉的问题，需要在背景中寻找数学原理的基本结构，是条件与结论尽可能地集中到这个基本结构中，对于结构隐含的问题，需要分析问题结构的特殊性，寻找自己熟悉的结构，通过结构的复原（添加辅助元素）寻求解决问题的策略，对于结构影射的问题，则需要把问题改变表征方式，用建模和转化的思想解决问题.

数学专题复习是数学思想和解决问题策略的集中概括与应用阶段，是数学知识的综合运用阶段，在基础复习中渗透数学思想方法和在专题复习中采用合理策略，让学生经历从解题到思想方法再到解决问题策略的概括和应用过程，并对自己的解决问题过程进行反思和总结，这对学生解决问题能力的发展和数学素养的提升无疑是有益的.

参考文献

［1］ 吴增生，周福群，朱明德. 初中数学课堂实践与研究［M］. 北京:北京艺术与科学电子出版社，2007.[ZK)]

第2篇：数学建模方法总结范文

关键词:地基沉降;分层总和法;规范法;弹性半空间模型;切线模量

中图分类号:TU472文献标识码:A文章编号:1009-2374(2009)21-0146-02

基础沉降计算从来就是地基基础工程中三大难题之一,在进行基础设计时,不仅要满足强度要求,还要把基础的沉降和沉降差控制在一定范围内。为此,很多专家、学者都进行了深入的研究,也作出了很大的贡献,但至今还没有完全解决。地基沉降的计算在建筑物的施工和使用阶段都非常重要。目前计算地基沉降的常用方法有:分层总和法、规范法、弹性公式法、切线模量法。本文通过对常用的地基最终沉降计算方法分层总和法、规范法、弹性模量法和切线模量法的对比分析,得出了规范法和切线模量法计算结果与实测值较符合而分层总和法和弹性公式法结果误差很大,并提出对规范法的改进方法和提倡宜采用切线模量法计算方法的建议。

一、地基沉降量计算方法

(一)分层总和法

s=Δsi=Hi=Ccilg()(1)

式中:s――地基最终沉降量,mm;

e1i,e2i――自重应力和自重应力加附加应力对应的孔隙比;

Hi――计算层厚度;

Cci――地基中计算层土的压缩指数;

P0i――计算层的平均自重应力;

Pci――计算层的前期固结压力,正常固结时P0i=Pci。

(二)规范法

规范法是在分层总和法的基础上,引入了沉降计算经验系数对计算结果进行修正的基于有限压缩层模型的地基变形计算方法,也是一种简化了的分层总和法。其计算公式为:

s=ss'=(aizi-ai-1zi-1)(2)

式中:s――地基最终沉降量,mm;

s'――按分层总和法算出的地基沉降量;

s――沉降计算经验系数,根据地区沉降观测资料及经验确定,也可查表确定;

n――地基变形计算深度范围内所划分的土层数;

P0――对应于荷载标准值时的基础底面处的附加压力, kPa;

ESi――基础底面下第i层土的压缩模量,按实际应力范围取值,Mpa;

zi、zi-1――基础底面至第i层和第i-1层底面的距离,m;

ai、ai-1――基础底面计算点至第i层和第i-1层底面范围内平均附加应力系数,可查表确定。

(三)弹性公式法

弹性公式法采用弹性半空间地基模型,使用地基附加应力,按照圣维南原理计算,不考虑基础刚度的影响。

在弹性半空间表面作用着一个竖向集中力P时,半空间内任意点M(x,y,z)处产生的竖向位移w(x,y,z)的解答式为:

w(x,y,z)=[+2(1-)] (3)

其中:P――作用于坐标原点的竖向集中力;

r――M点到坐标原点的距离r=;

E――弹性模量(或土力学中专用的地基变形模量);

――泊松比。

如取M点坐标z=0,则所得到的半空间表面任意点的竖向位移w(x,y,0)就是地基表面的沉降s:

s=w(x,y,z)=(4)

其中:r=。

(四)切线模量法

切线模量法是一种简化的计算方法,主要思想是采用双曲线这一简单函数来表达地基处于弹塑性阶段的非线性变形特性,双曲线方程由土的粘聚力c、内摩擦角所求得的地基临塑强度pc、极限强度pu及土的初始变形模量E50(或弹性模量)来简易确定,则地基的非线性变形可以由基础作用于地基的实际荷载和p所求得的双曲线方程来计算,它与基础的形状有关。

二、工程实例

某商场采用厚度为2m的筏板基础,可近似认为绝对刚性,基础尺寸为b×L=104m×41m,地上4～5层,高24.6m,基础埋深6.80m,回填土深度为3.80m,商场北侧外延6m地下室上无建筑,致使上部结构荷载分布不均匀,能否采用天然地基的关键是建筑物的倾斜值能否满足规范要求。场地各层土物理力学指标见表1。建筑物总荷载为622000kN,基底附加荷载为315470kN,沿长边方向弯矩为416586kN•m;考虑到基坑深度扣除回填土仅为3m左右,故忽略土的再压缩变形。分别用以上四种方法计算其沉降,结果见表2:

由表2可知,从与实测值的误差可看出:分层总和法、规范法和弹性公式法计算值与实测值误差很大,切线模量法计算的沉降与实测值相差最近,但其计算结果相对实测值小。

三、误差分析

1.分层总和法假设了地基土是均质、各向同性的,并且地基土在压缩变形时不允许侧向膨胀,计算时采用完全侧限条件下的压缩性指标,这与实际情况不符,从而造成计算值与实测值有很大的偏差。

2.规范法虽然也采用了分层总和法的假定,但引入了修正系数s对计算结果进行修正,使结果与实际值误差减少;但s的跨度很大,从而导致计算值与实测值有较大的误差。针对这些原因,现对规范法提出修正建议:(1)建筑物的沉降除了地基沉降外还有地基固结沉降,所以建议引入s'――考虑回弹影响的沉降计算经验系数,无经验时取=1.0;(2)针对修正系数s跨度大,可以引入侧限假定调整系数和取土扰动系数以减少s的综合度,计算公式可改写为:

s=(s+s')(aizi-ai-1zi-1) (5)

(3)弹性公式法采用了均质的线性变形半空间假定,而实际上地基土是非均质的,并且变形模量E0随深度定变化而变化,而弹性公式法中E的值没有随深度变化而变化,这些都对计算结果有很大的影响;(4)切线模量法依据原位压板试验曲线确定土的非线性变形参数――原位土的切线或割线模量,然后用于分层总和法,该方法的计算参数通过原位土的压板试验得到,克服了传统室内试验取样扰动的影响,同时,切线模量可考虑荷载水平的影响,这是目前采用变形模量法所不能考虑的。该方法是一个具有较高精度的地基沉降计算方法。

四、结论

通过工程实例分析可得出以下结论:

1.通过实例对比分析:分层总和法和弹性公式法计算结果误差较大,规范法计算的结果误差次之,切线模量法计算较精确。

2.提出对规范法修正意见:引入s'和侧限假定调整系数和取土扰动系数以减少的综合度。

参考文献

[1]陈祥福.深基础沉降计算方法和研究进展[J].土木工程学报,2004,(6).

[2]龚晓南.高等土力学[M].杭州:浙江大学出版社,1996.

[3]黄治,等.基础沉降计算方法的探讨[J].东北农林大学学报,1998,(3).

[4]建筑地基基础设计规范(CB5007-2002)[S].

[5]建筑地基基础设计规范(GBJ7-89)[S].

[6]赵明华.土力学与基础工程[M].武汉理工大学大学出版社,2000.

第3篇：数学建模方法总结范文

关键词：人力资源；需求预测；创新与实践

作者简介：李素萍（1964-），女，江苏沛县人，甘肃省电力公司人力资源部，高级经济师；刘永光（1982-），男，山东德州人，甘肃省电力公司人力资源部，工程师。（甘肃 兰州 730030）

中图分类号：F272.92 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）33-0140-03

一、专业管理的目标描述

1.专业管理的理念或策略

“十二五”时期，随着西部经济的快速发展和电网企业建设“一强三优”现代公司发展战略目标的推进、“三集五大”体系建设的深入贯彻落实、主多分开以及人力资源集约化管理的要求，对电网企业的用工水平提出了更高的要求。因此，打破单一用工数量预测向科学、合理地进行人力资源需求数量、结构和质量预测工作就成为人力资源规划和计划工作的必然趋势。

从具体人力资源业务来看，现有电网企业的人力资源规划虽然能够从战略高度思考和谋划人力资源队伍发展及人力资源管理工作全局，但人力资源规划预测不能与生产经营发展密切结合，形成具体合理的人力资源配置；劳动定员管理作为优化人力资源配置解决结构性问题的有效方式，严格按照电网定员标准执行，但与现有的实际用工不能有效结合，影响人力资源的优化配置；近年新员工招聘更多依据超定员情况进行配置，但不能有效地与超缺员岗位所需素质要求匹配。因此，迫切需要一种科学、合理、全面的人力资源需求预测方法解决人力资源配置问题，而电网企业人力资源需求预测模型设计正是从用工总量、人员结构和员工素质三方面全方位进行人力资源优化配置。

2.专业管理的范围和目标

本项目根据企业战略与经营发展要求，以“控制用工总量、优化员工结构、提升队伍素质”为根本出发点，建立人力资源总量、人员结构和人员素质需求预测模型，从数量、结构和质量三个方面进行人力资源优化配置，并实现控制人工成本、提升效率及效益的管理目标。

以控制用工总量为目标，在分析业务增长对用工需求的基础上，研究用工总量与其影响因素（关键驱动因素）之间的内在联系，同时分析生产效率提升对用工需求的缓解作用，采用数理统计与经营管理策略相结合的方法，建立兼顾业务发展和效率提升的人力资源总量需求预测模型，实现“用工总量需要多少人”的预测目的。

以优化员工结构为目标，在深入分析各专业用工数量与影响因素之间内在联系的基础上，将预测的用工需求总量向下分解到各专业，以明确各专业的用工需求量；结合人员配置率，将各专业的用工需求预测增量进一步向下配置到各下级单位或各二级单位，建立兼顾业务发展和用工实际需求的人员结构需求预测模型，实现“各专业、各机构需要多少人”的预测目的。

以优化用工策略、提升员工素质为目标，根据业务的核心程度划分对应的用工类型，明确用工总量中长期职工、农电用工、劳务派遣用工的需求数量，并进一步确定可以采取业务委托形式的用工数量，在明确长期职工需求总量的基础上分析各下级单位或各二级单位长期职工的需求数量，并对新进长期职工的学历要求、毕业院校要求和学科专业要求等进行分析，以形成新进长期职工补员的素质需求预测；根据各下级单位、各专业人员配置率、各专业与电网安全生产的关联程度、各专业的专业弹性系数和各单位区域核心地位等四方面因素设计“补员优先级指数”，明确各下级单位新进长期职工补员的优先顺序。最终建立完整的素质结构需求预测模型，实现“需要什么样的人，采取什么样的补员方式”的预测目的。

3.专业管理的指标体系

综合人力资源总量需求预测模型、人员结构需求预测模型和素质结构需求预测模型，建立能够控制用工总量、平衡用工配置、优化员工队伍、规范用工策略的人力资源需求预测模型，三者关系如图1所示。

二、专业管理的主要做法

1.专业管理工作的流程图

2.主要流程说明

（1）流程一：人力资源总量需求预测流程。

第一步：设计电网企业人力资源总量需求预测模型。具体步骤包括：首先，收集并整理数据，包括按照数据收集标准化模板收集数据、修正数据、分类汇总数据、整合数据和统一数据量级等步骤；然后，筛选指标并降维，包括相关性分析和因子分析等步骤；最后，设计模型并进行需求预测，包括设计总量需求预测主体模型和效率提升调整系数、验证模型并进行需求预测等步骤。

第二步：设计集体企业和多经企业人力资源总量需求预测模型。

第三步：合并电网企业、集体企业和多经企业的需求预测结果，形成完整的人力资源总量需求预测结果。

（2）流程二：人员结构需求预测流程。人员结构需求预测模型的设计与预测主要针对电网企业。

第一步：设计人员结构需求预测模型。具体步骤包括：首先，收集并整理数据，包括按照数据收集标准化模板收集数据、修正数据、分类汇总数据、整合数据和统一数据量级等步骤；然后，筛选指标并降维，包括相关性分析和因子分析等步骤；最后，设计模型并进行需求预测，包括设计各类用工（经营类、管理类、技术类、技能类和服务类）和技能类各专业用工需求预测模型、设计调整系数、验证模型并进行需求预测等步骤。

第二步：进行补员配置，将各年度、各专业的补员数量分配至各市州单位及下属各二级单位。

（3）流程三：素质结构需求预测流程。第一步：划分用工类型。梳理和划分企业业务及对应的用工类型，并明确“十二五”期间各年度、各用工类型的占比情况和用工数量。

第二步：结合总量需求预测模型和人员结构需求预测模型的预测结果，分析预测“十二五”期间对长期职工补员的数量要求和素质要求（包括新进人员的学历、毕业院校和专业等要求）。

第三步：分析长期职工新进人员的补员优先级。

3.确保流程正常运行的人力资源保证

一是精心做好前期数据收集整理工作。充分认识模型设计前期数据收集的真实性、完整性，分两次从两个层面（即专业部室和基层单位）对历年生产经营数据、用工数据、分专业用工数据和退休人员数据进行了收集、核实和预测。在数据的整理上，以2012年单位个数为基准年度，向前向后核减核增单位数据，保持连贯性；对历史数据按比例进行加权汇总；统一数据量级，消除不同驱动因素间数据量级差异较大的情况；采用对所有指标数据取自然对数的方式，缩小数据间量级差异。

二是应用SPSS进行指标筛选与降维。为确保关键驱动因素选取的科学性与准确性，应对已收集的大量指标进行筛选，选取与用工总量相关程度较高的指标参与最终建模。同时，对已选取的指标进行降维处理，进一步减少建模过程中自变量的数量。首先借助SPSS软件分析，运用关键因素驱动法、专家研讨法等方法进行相关性分析，从中选取输电线路长度、变压器数量、配电线路长度、营业户数、固定资产等5个关键驱动因素指标进行因子分析，并降维处理，消除自变量间的相互关系，获得公因子方差、解析总方差和成分系数矩阵参与建模。

三是对模型进行曲线估计。通过SPSS软件将提取的公因子与用工总量进行曲线估计，得到各种模型的参数估计值，在定量与定性相结合的情况下，选取拟合度较高的几条线代入公式进行试算，从中选取差异率较小的曲线作为备选曲线，最终从多个曲线中筛选出最合适的曲线作为主体模型。某电网企业确定的曲线模型及主体公式为：

其中 Y：用工数量；f：公因子。

六是对模型设计进行调节系数设计。由于在主体模型设计过程中只考虑了生产经营增长因素对用工总量的影响，未考虑效率提升因素，因此特设计效率提升调整系数对由主体模型预测出的用工总量进行调整。经调整后得到人力资源总量需求预测模型的公式如下：

其中，P：用工总量；f：公因子；k：效率提升调整系数。即：

七是依据结果对用工总量验算和测算。首先模型对企业历史用工总量数据进行验算，以验证模型计算结果。如测算结果与实际用工总量差异较大，则需要重新对模型进行调整。如测算结果与实际用工总量差异较小，即可对目标年度的用工总量进行预测。

八是预测各专业的用工需求并与总量预测吻合。依据总量模型的建模方法建立各专业结构用工需求，运用专业弹性系数对总量和结构之间的差异进行小幅修正，通过调整后得到的人员结构模型的汇总结果与总量模型预测结果一致，做到总量预测与结构预测之和差异为“零”。

4.专业管理考核与控制

一是通过“人员结构需求预测模型”预测得到的各类别、各专业人员用工总量之和与“人力资源需求总量预测模型”的预测结果一致。通过补员配置，人员结构进一步优化，引导基层位员工配置逐步平衡，员工分配更加科学合理。

二是控制管理人员配置，严格按照企业定员标准配置管理人员，确保管理人员不超编。管理人员每年只补退休，不新增；专业管理人员按照技术、技能和服务人员比例配置，技术管理人员按照技能人员比例配置。

三是生产技能人员在模型预测和效率调节基础上，进一步采用专业弹性系数对个别配置率较高的专业进行调控，每年保持较小的、相对均衡的增长幅度。随着农网技术改造的逐步开展，乡镇及农村配电与营业专业用工逐渐实现业务委托。

四是在明确“用工总量需要多少人”、“各专业、各机构需要多少人”后，进一步明确“需要什么样的人、采取什么样的补员方式”，建立员工素质结构需求预测模型。根据业务开展需求，分析各项业务对新进长期职工毕业院校和学科专业的要求，明确新进长期职工的补员优先顺序。

三、评估与改进

1.专业管理评估及结论

本项目主要研究了2009～2015年电网企业人力资源的发展现状及发展趋势，通过对影响人力资源的主要设备因素的统计分析，建立数学模型对目标年人力资源需求总量、结构、素质进行预测，得到主要结论如下：

一是用工总量得到严控，全民工、农电工和劳务派遣用工总量下降。运用SPSS软件，通过对大量备选驱动因素进行分析，选取了输电线路长度、变压器数量、配电线路长度、营业户数、固定资产五个指标作为关键驱动因素，以2009～2011年的数据作为历史数据，选取对数曲线，成功建立电网企业主体预测模型。考虑效率提升因素，设计效率提升调整系数对根据主体模型预测出的用工总量进行调整，运用总量模型预测了2012～2015年的用工总量，通过比对2012年的预测数据和定员数据，有效控制预测误差在1%以内，达到严格控制用工总量的目标，实现了“用工总量需要多少人”的预测目的。

二是人员结构进一步优化，基层单位人员配置趋向合理。根据各专业的业务特点和发展需要，对管理岗位采用定额法，保持经营管理岗位人数不变，专业管理和技术管理岗位采用按照生产服务岗位增幅的一定比例增长；供电企业九大生产岗位采用关键驱动因素法；对于发电生产和送变电施工生产岗位采用趋势外推法，保持历史年度趋势不变。最后，运用专业弹性系数对总量和结构之间的差异进行小幅修正，建立了各个专业的用工结构需求模型，通过调整后得到的人员结构模型的汇总结果与总量模型预测结果一致，使总量预测与结构预测之和差异为“零”，保证了所建立的各个专业用工模型的准确性。并依据各专业的预测增量，结合年度预计退休人数及人员晋升情况，对预测年度各专业按照各专业的配置率将补员人数分配至各市州单位、直属单位乃至各个二级单位，使得供电企业技能岗位整体配置率得到控制，同时保证了关键核心业务配置，人员结构进一步优化，基层单位人员配置趋向合理，实现了“各专业、各机构需要多少人”的预测目的，达到了优化员工结构的目标。

三是新进人员素质要求清晰明确，补员招聘计划科学严谨。采用专家研讨法划分核心与非核心业务，计算出长期职工和非长期职工的需求量，非核心业务上的劳务派遣用工通过业务外包减少数量，实现了“三降一升”，即电网企业长期职工用工数量降低、农电用工数量降低、劳务派遣用工数量降低、劳务派遣转业务委托用工数量上升。运用关键驱动因素法构建素质模型，预测“十二五”期间新进人员学历结构，通过专家研讨法制定毕业院校和学科专业要求。应用SPSS的聚类分析功能分析补员优先级，将各单位新进长期职工按专业划分补员优先级，分为A、B和C三级，表示补员的优先顺序，以确保将有限的新进长期职工优先补充到最关键、最紧缺的单位及专业，建立了完整地素质预测模型，对招聘工作具有较好的指导作用，从而实现了“需要什么样的人，采取什么样的补员方式”的预测目的，达到了优化用工策略，提升员工素质为目标。

四是人力资源需求预测模型设计是在电网企业劳动用工策略发生重大调整的深刻背景下启动的，这项工作取得的成果是对滚动调整“十二五”期间人力资源规划和制定年度用工计划的重要依据。在新《劳动合同法》实施后，企业将积极践行“效率优先”的用工策略，大力推进管理创新，加强优化人力资源优化配置，不断提升企业用工管理水平。

2.专业管理存在的问题

在模型设计过程中发现存在以下问题需待改进与完善：

一是在进行人力资源需求预测模型设计前期历史数据收集中，相关数据的历史延续性很重要，由于各年份统计口径的变化、相关数据报表来源等因素会影响预测的准确性。因此，对历史数据的口径、特殊年份数据调整都需进一步完善。

二是人力资源需求预测模型设计中涉及的预测基本方法与步骤在实际操作与应用过程中，如遇某些特殊情况需要对模型预测方法与结果进行相应调整是必然的，例如2012年多数电网企业进行了“五大”机构调整工作，如不进行调整，其通过历史数据建立模型所形成的各项预测结果就会与实际情况产生较大差异，从而影响未来预测结果的实用性等。

三是当政策性调整仅发生在下级单位间时，需对调整年度和未来预测年度的补员配置及新进人员素质要求的预测结果进行调整。当政策性调整或其他客观影响不仅发生在下级单位间且会对用工总量和各专业用工数量产生影响时，需从总量和结构模型预测结果开始进行全面调整。

四是在基层单位推广应用中，各样本点的采集受各级层单位分布不均衡影响，其预测的数据也会与实际相差较大，会影响人力资源需求预测模型的推广应用。

3.今后的改进方向或对策

人力资源需求预测模型设计是以电网业务发展和经济效益提升为基础，以人力资源集约化发展为导向，建立一套科学、合理、操作性强的预测模型，通过模型分别对“十二五”期间电网企业的人力资源总量、人员结构和素质结构进行分析和预测的方法。如按以下原则进一步改进和完善，可滚动修订各单位“十二五”人力资源规划，并在各单位推广应用，保障用工总量的供给，以保证电网企业的快速发展。

一是以战略导向为原则，充分依据电网企业“十二五”发展规划和人力资源发展规划，按“控制用工总量、优化人员结构、提升素质结构”的规划要求，优化用工策略，降低用工风险。

二是以定量与定性相结合为原则，科学合理地构建人力资源需求预测模型，充分考虑构建模型及应用中的各种限制性条件，采用科学的预测方法，以增强预测结果的准确性，实现预测结果的实用性。

第4篇：数学建模方法总结范文

【摘要】

结合医学院校高等数学教学改革的实际情况，本着提高学员数学素质，着重培养学员应用能力、创新能力的教学理念，探讨了医学院校高等数学教学模式的改革设想和措施。

【关键词】 高等数学； 课程体系； 改革

医学院校的高等数学课程主要面向于有关生物医学工程的专业，它以医学为依托背景，有着和其他工科院校高等数学不同之处。高等数学可以说是当今一切大学生的一门公共必修课。据调查，国内大多数院校高等数学课时数占该学期总学时的25％左右，其基础地位显而易见，并且高等数学大都在一年级开设，对大学课程的特点和其他专业基础课的开展都有着示范和直接的衍射作用。正是这样，高等数学的教改研究是最被关注的也是倾力最多的。对于医学院校的高等数学课程如何有效地开展，如何有效地利用庞大的医学资源，使高等数学教学在相关专业后续的深造中打下坚实的基础，为此我们提出了MEHE模块：Mathematical model， Experiment design， History of mathematics， Exercises course。

1 融入数学建模思想和方法（Mathematical model）

数学建模是利用数学知识来解决实际问题的一种思想方法，是将数学知识与现实世界的问题联系起来的桥梁。我国经过了十几年的实践积累了大量通过数学建模来解决实际问题的例子。我们将其中适当的例子融入高等数学的教学，特别是学员容易理解、感兴趣的医学问题。比如第一章结束后，我们就安排一次初等数学建模课程，介绍一些日常生活中常见的问题，建立一些初等数学模型如：方程模型、函数模型等，目的是让学员初步了解数学建模的思想、基本方法和步骤，培养应用数学方法解决实际问题的意识和兴趣。在其它每章之后，安排一次相关内容的数学模型。简单的模型在课堂上作为例子讲解，较难的模型以专题的形式讲解或留给学有余力的学员去做。如微分方程部分我们选取“房室模型” 这个药物动力学的模型作为课堂中的例子，通过模型的建立与求解，学员不仅掌握了微分方程的解法，更明晰了解决实际问题的步骤思路；再如专门讲解“血液循环中物理量的数学建模”、流行病学中的“催化模型”等。这些模型紧密联系了医学知识，又通过数学知识、数学软件的求解验证了医学的模拟过程，医学数学融会贯通、相辅相成。这样学员在经历解决问题的过程之后，有利于加深他们对基础知识的理解和应用能力、学习兴趣的提高。

2 开展数学实验课（Experiment design）

除了完成基本的高等数学理论课外，我们从医学的角度搜寻数学与医学的结合点，设计一些有关医学的数学实验。具体实施上，我们每两章末安排一次数学实验课，共20学时，主要内容有：MATLAB软件基本知识；函数极限与作图；导数计算与应用；积分计算与应用；空间图形的画法等，并结合数学模型讲授具体的医学方面的数学实验，学员在建立模型的同时利用数学软件求解模型，促进数学模型与数学实验的相互教学。这样可以使学员们从理解—记忆—应用这一简单的中学学习模式，向设计—讨论—验证的现代教育模式逐步转变，培养学员运用计算机研究、学习数学的能力，锻炼学员的动手能力，进而激发学员创造性思维能力。

3 渗透数学史（History of mathematics）

与其他学科相比，数学是一门历史性或累积性很强的科学。数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，数学概念及方法也具有很强的延续性。因此要了解数学科学，就得了解整个数学的概貌，得了解数学理论的来龙去脉，所以穿插讲授一些经典的对应教学内容的数学史料是教学改革的重要措施之一。通过渗透数学史，使学员掌握数学的发展规律、基本思想和基本框架，借鉴解决问题的各种途径和方法，这些不仅对于学员牢固掌握数学理论很有裨益，而且更能开阔视野、发展思维。另一方面，数学史中不乏有趣的奇闻轶事、感人至深的事例，这相对于枯燥的数学理论来说无疑提升了课堂气氛和学习兴趣，调动了学员学习的主动性和创造性，获得顽强学习的信心和勇气。例如在微分和积分部分我们实践过数学史的教学，主要讲授L.Newton的“流数术”和G.W.Leibniz的“求极大与极小值和求切线的新方法”以及最多产的数学家L.Euler献身数学的精神等史实，微积分符号的演进等知识。

4 重视习题课（Exercises course）

关于习题，著名数学家华罗庚先生有着精辟的论述：“习题的目的首先是熟悉和巩固学习了的东西；其二是启发大家灵活运用，独立思考；其三是融会贯通，出些综合性的习题，把不同数学部门的数学沟通起来。”习题课是非常重要的教学环节，是理论教学必不可少的补充，对于学员巩固课堂知识、提高计算能力作用显著。我们通常的做法是将习题课安排在每章末。习题课的内容大致有：该章总结、典型例题、思考题、答疑讨论等。总结要重点突出，简明扼要，督促学员自己做总结；例题要举一反三、查漏补缺，引导学员独立地给出新方法、新见解；思考题灵活多变，解法新颖，促使学员交流探讨，提高能力；答疑部分课内外皆可，针对性强，效果深刻。

诚然，以上各个教学模块不是相互独立的，而是相互包容渗透的，不同的教学内容有着具体的操作方式。总的来说就是：融入数学建模思想方法；开展数学实验课程；渗透数学史介绍；重视习题课，怎样组织各个模块之间的联系搭配在教学当中是值得重视和探讨的。我们当不断总结经验、汲取学员的反馈意见、借鉴兄弟院校的成功经验调整、改善教学模式，努力将高等数学的教学改革研究进一步完善。

【参考文献】

1 李大潜．将数学建模思想融入数学类主干课程．中国大学教学，2006，1：9～11．

第5篇：数学建模方法总结范文

确立研究目标

江苏省电力公司工资总额由基础工资和绩效工资两个部分组成。基础工资由实际职工人数、工资基准水平和工资总额系数共同确定，绩效工资与各单位的业绩考核情况挂钩。课题以工资总额系数的确定和运用为目标进行理论和实证研究。

构建不同类别单位的工资总额分配模型

针对“五大”体系架构下各类别基层单位业务特点和经营业绩，综合多方面因素，寻找激励员工和控制企业人工成本的平衡关系，构建不同类别企业的工资总额分配模型。形成与江苏省电力公司“五大”改革后全新组织架构相吻合的工资总额分配管理机制。

开发设计基于分配模型的应用软件

在工资总额分配模型的基础上，开发设计相应应用软件，使其可随公司发展思路的不断完善、经营业绩的不断提升、组织架构的不断完善进行灵活调整，以及时适应江苏省电力公司发展需要，在大幅提高工作效率的同时，全面提升管理水平。

明确研究思路

在对需求层次论、双因素论、激励需要理论、公平公正理论和公平激励理论等先进工资分配理论进行梳理，对法国电力集团、荷兰壳牌公司、英国石油、中粮集团有限公司、中国移动通信集团公司和中国石油天然气集团公司等成功企业工资总额分配动向进行研究的基础上，公司归纳出“坚持以人为本原则、探索公平激励导向、实施分类管理手段和促成绩效挂钩理念”等四点符合江苏省电力公司实际工资总额分配工作的启示，根据战略导向原则、分类管理原则、相对公平原则、科学性与可操作性相结合原则进行研究内容的具体设计。

首先针对各基层单位的企业性质、业务特点等多方面的差异进行合理归并与分类。

其次，提取对工资总额分配有重要影响的几类因素，形成工资总额分配影响维度。

再次，选取每类影响维度的各项指标，构建工资总额分配指标体系。借助客观赋权和主观赋权相结合的方法，给出各项指标权重。同时，考虑管理和安全责任在不同类型企业的重要性，设计不同类型企业之间的外部关联系数（风险系数），得出各类企业的工资总额分配模型。

最后，结合未来工资分配改革可能的方向，对模型进行拓展、改进。

课题重点在于根据总体的设计思路结合关键领域法（KRA）定位工资总额分配影响维度，以及按照关键绩效指标法（KPI）确定关键指标形成最终的指标体系。在此基础上测度指标权重并进行实证计算。

具体实施方案

按照江苏省电力公司下属单位的性质和工资总额分配模式的相似度，将下属单位分为供电企业、检修公司和其他单位三个类别。

供电企业

供电企业工资总额指标体系划分为三个层次：第一层为供电企业工资总额指标体系；第二层为资产经营状况、人员状况、效率效益状况和地区差异四个维度；第三层是对维度的具体解释和全面的阐释，针对四个维度分别提取相应的指标作为最终影响工资总额系数的指标。权重的确定，采用变异系数法进行客观赋权，但是由于客观赋权法通用性和可参与性较差，通过对既得权重征求专家意见，引入主观赋权对其进行评估和修正，客观赋权和主观赋权相结合确立最终指标权重，见表1。

检修公司

检修公司与供电企业都承担着江苏省电力公司应完成的绩效考核责任。检修公司处理好各个分部（工区）的内部关联（内部关联系数）的同时，还应考虑到与其他类别基层单位的外部关联性（风险系数）。

检修公司工资总额系数=内部关联系数×风险系数

（1）内部关联系数。指标选取上，检修分公司从电力企业整体剥离，在各地设立检修分部（工区），与电力企业具有类似的组织结构。出于一致性的考虑，检修公司设立与供电企业一致的维度，指标依据检修公司实际状况而确定，工资总额分配指标体系维度权重设置同供电企业一致，指标权重设定方法采用同供电企业类似的权重确定方法，见表2。

（2）风险系数。将国家电网考核关键指标细化和分解到各基层单位，从经营效益指标、核心业务指标、运营管理指标等考核关键内容，安全生产方面、反腐倡廉、队伍稳定、保密工作、舆论宣传和依法治企等考核减项扣分方面，区分出检修公司与供电企业的外部关联（风险系数）。1）根据国家电网公司企业负责人年度业绩考核关键指标，将检修公司与供电企业所承担的每一考核指标任务程度及关联度分为强相关、中相关、弱相关和不相关，强相关为7分，中相关为5分，弱相关3分，不相关0分。2）按照相关关系所对应每一指标对检修公司和供电公司进行打分，乘上考核分值，加总得出检修公司和供电企业各自承担的任务得分。3）将检修公司和供电企业风险总分相除，得出风险系数。通过计算得到2011年风险系数为1.07。

其他单位

（1）施工监理单位。包括江苏兴源电力建设监理有限公司、江苏省宏源电力建设监理有限公司、江苏兴力工程建设监理有限公司和江苏省送变电公司。

由于施工监理单位多为劳动密集型单位，位于南京市，构建施工监理单位工资总额分配指标体系时，不考虑地区差异。权重确定上，沿袭供电企业工资总额分配体系权重确定的方法，更多考虑劳动密集型企业的效率效益状况，确定施工监理单位工资总额分配体系指标权重，见表3。

（2）技术单位。包括江苏省电力公司电力科学研究院、江苏省电力公司电力经济技术研究院、江苏省电力公司信息通信分公司、江苏省电力公司信息技术有限公司和江苏方天电力技术有限公司。

（3）技术单位为技术密集型单位，指标的选取要更加偏向对技术的支撑方面，同时考虑单位业务的完成情况。为体现技术单位的特点，选取人员状况和技术支撑为工资总额分配考虑维度。在权重确定上，沿袭供电企业工资总额分配体系权重确定的方法，更多考虑技术密集型企业的人员状况，确定技术单位工资总额分配体系指标权重，表4。

模型的特色及预期成效

江苏省电力公司在坚持“战略导向、分类管理、相对公平、科学性与可操作性相结合”原则基础上，工资总额分配模型的构建呈现出五个特色：（1）对不同类别基层单位实施分类管理。根据不同类型的企业按企业性质、业务特点等多方面的差异设计不同的工资分配模式，按照分类管理的思路进行工资总额分配方案的设计。

（2）对同类别基层单位实施跨地区横向关联。对群体效能相同的基层单位，实施跨地区横向关联，解决跨地区单位间工资平衡问题。（3）对工资分配影响因素进行全面考虑。按照总体的设计思路结合KRA和KPI，将工资总额指标体系逐层进行全面梳理，保证体系的全面性、科学性和合理性。（4）对分配模型指标的数据化支撑。通过与SG-ERP系统直接对接，实现各项指标数据的自动采集，保证指标数据客观且可量化。（5）对工资分配模型进行配套软件开发。开发专门的配套软件，实现了公司范围内的全面工资分配计算，保证了计算的正确性、极大的提高了工作效率。

模型构建后预期将取得几方面的成效：（1）提升企业管理水平。通过完善科学合理的工资分配制度，充分调动不同类别、地区和岗位人员的工作积极性，不断地推动企业向前发展。（2）推进“减员增效”理念的实施。在新的工资分配方案中，强调了工资总额向定编执行率和补员率低的单位倾斜，通过政策性倾斜保证减员增效机制的正常运行和有效实施。（3）提供“三集五大”改革的借鉴经验。江苏省电力公司对原有的包干工资分配模式进行优化调整，助力于“五大”体系的建设运行和良性发展，为“五大”试点提供关于工资总额分配的经验成果。（4）提高内部员工对公司的满意度。公司在工资分配体系能否做到公平地对待所有员工，极大地影响着员工的满意度和忠诚度，进而影响员工工作的积极性。

（5）提升人力资源部工作效率。设计合理化的工资分配模型并配合使用专业的批量处理程序，预计全年可有效节省7500工时。

基于标准基数法工资分配模型

根据国网公司的战略定位，随着改革的不断深化，工资分配将最终过渡到标准基数法阶段。标准基数法包括三个步骤。

基于标准基数法的指标选择与预处理

初步确定将资产经营状况、人员状况、效率及效益、地区因素作为工资分配总额的影响因素，就每一影响因素提取出相应的关键指标，同时对关键指标进行了初步的筛选，并获取其数值构建矩阵，进行正则化处理，再对这些指标进行聚类分析。

基于标准基数法的权重确定

在利用主成份分析法和专家调查得出指标客观和主观权重后，利用拉格朗日最小二乘决策模型进行复合赋权。

基于标准基数法的实证分析

以供电企业2011年情况为例进行实证研究：

（1）数据处理。选择64家供电企业总资产规模、售电量、客户数、输电线路长度、人均资产规模、人均售电量、人均客户数、人均输电线路长度、人才总数、人才当量密度、定员定达标率、人事费用率、全员劳动生产率、售电量计划、非私营单位职工平均工资和CPI指数进行预处理，并得出聚类结果。

（2）主客观复合赋权计算结果。聚类得出结果为变电容量、全员劳动生产率和资产总规模指标，为保证指标体系的全面性，结合专家意见，增设人才当量密度、定编执行率、补员率和地区工资差异指标。在聚类结果的基础上赋权占70%，主观赋权30%。

第6篇：数学建模方法总结范文

[关键词]经济数学 数学模型 应用

经济数学，即在经济中应用的数学，是财经类专业核心课程之一，是经济与数学相互交义的一个新的跨学科领域。其中，经济数学模型在经济应用中占有重要的地位，本文就此谈一些较为常用的内容。

一、数学模型的基本内涵

数学模型是对实际问题的一种数学表述，是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。建立数学模型是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是一个几何图形。所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。

数学以纯粹的量的关系和形式作为自己的对象，它完全舍弃了具体现象的实际内容而去研究一般的数量关系，它考虑的是抽象的共性，而不是它们对个别具体现象的应用界限。抽象的绝对化是数学所特有的。相反，包括经济学在内的其他科学感兴趣的首先是自己所抽象的公式数学模型同某个完全确定的现象的对应问题及应用的约束条件。所以，在经济领域的数学运用首要的问题是适用性或说实践性的问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。为简洁而又形象地对事物量化属性和结构特征进行深刻的描述，用字母、数学及其他数学符建立起来的等式或不等式以及图表、图像及框图等对客观事物的数量特征及其内在联系的表达形式，都可称为数学模型。运用数学模型可以研究变量之间的关系，探寻事物的变化规律，用可控变量得出必要的结果，从而概括出理论假说。

二、数学经济建模及其重要性

一般说来，数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题，就必须进行数学经济建模。

数学经济建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化结构的数学刻划。或者说，数学经济建模就是为了经济目的，用字母、数字及其他数学符n5建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统（根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模）与客户进行商业谈判。

三、经济数学模型的特点

1．真实性或现实性。如果一个模型客观地反映了原型或子原型的量与量的关系，则称此模型具有真实性或现实性。

2．一般性或普遍性。如果模型的数学结构能够用于许多其他原型，则称此模型具有一般性或普遍性。

3．简洁性。如果模型能突出原型的主要矛盾和特征，而且忽略、舍弃次要的矛盾和特征，则称模型具有简洁性。

4．精确性。如果模型能够在一定程度上，比较准确地刻画原型数量方面的特征，则称模型具有精确性。

5．有效性。如果模型可以多方面地从不同的角度刻画经济原型或可以派生出较多的信息，而且具有多种功能，则称模型具有有效性。

这些准则并非一定之规，使用时可以权衡利弊，有所取舍。

四、构建经济数学模型的方法

一般来说，对于经济学问题，构建一个合理有效的数学模型主要有以下步骤。

1．深入了解实际问题，以及与问题有关的背景知识。

2．根据研究的目的和任务，对所要研究的现象进行全系统的周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行分组整理。

3．通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因索，并找出主要因索，用数量和参数来表示这此因索。运用数学知识来描述问题中变量参数之间的关系，初步列出数学关系式。

4．对数学关系式进行简化、合并，最终确立数学模型。

5．使用已知数据及观测数据，利用相关数学方法求出所建模型中参数的估计值，从而确定模型。

6．对所确定的模型参数进行偏差分析，把模型的结果与实际观测进行分析比较，以考察模型是否符合实际问题。若偏差较大，模型必须进行调整修改，重复前面的建模过程，直到建立出一个经检验符合实际问题的模型。

数学经济建模还可以用流程那样简明的形式来表示，概括起来，流程是由下面一些步骤组成的。

（1）对现实经济问题的原始背景有深刻的了解和深入细致的观察，并从中抽出最本质特征的东西。即抓住主要因素，暂不考虑次要因素。从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。

（2）根据已经掌握的经济信息直接翻译为数学术语，把理想化的自然模型表示成一个数学研究的题材――数学经济模型。

（3）运用数学知识，得到关于这个模型的一个解。这一步要求对某些数学技巧具有一定的基础知识。为管理类的学生所学习的数学知识，提供了用武之地。

（4）用理想化自然模型的术语对所得的解进行解释和说明。

（5）根据问题的原始背景对所得的解进行解释和说明。

（6）所得结果的有效性要加以验证。如果由模型算出的理论值与实际值比较吻合，则模型是成功的。如果理论值与实际值差别很大，则模型是失败的。如果理论值与实际值部分吻合，则应找原因，发现问题，修改模型。

五、经济数学模型的分类

数学经济模型可以按变量的性质分成两类，即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型，确定型的模型则能基于一定的假设和法则，精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多，加之相互交叉渗透，又派生出许多分支，所以，一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型，既要视问题而行，又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科，充分发挥自己的特长。下举两例供参考。

1．总成本的数学模型

总成本是指生产者用于生产商品的费用。按性质可分为两类：第一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随商品产量的变化而变化，称为固定成本（厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等）；第二类成本的特点是随商品产量的变化而变化，称为变动成本（通常有能源费用、原材料费用、劳动者的工资等等）。设产量为q，固定成本为C0（非负常数），可变成本为C1，（q）则总成本=固定成本+可变成本，即C= C0+ C1（q），该式称为总成本模型或总成本函数。当产品产量不大时，成本C是产量的线性函数；当产品产量较大时，由于固定成本此时不能再认为是不变的，所以成本C与产量q不再是线性关系，而是非线性关系。

单从总成本无法看出生产者生产水平的高低，还要进一步考察单位商品的成本，这就是平均成本。平均成本=总成本/产量。设产量为q，总成本是C（q），平均成本C（q） = C（q）/q为平均成本模型也称为平均成本函数。

2．利润函数的数学模型

利润就是生产者收入扣除成本后的剩余部分，即收益与成本之差。设产品的销售量为q，价格为P，则收益R=pq（q>0）。故而利润为销售量q的函数，即L（q）= R（q）-C（q）（q>0）称为利润模型或利润函数。

设已知生产某种商品q件时的总成本（单位：万元）为C（q）=10+5q+0.2q2（万元），如果每售出一件商品的收入为9万元，则该商品的收益函数R（q）= 9q（万元），利润函数为L（q）= R（q）-C（q） = 4q- 10- 0.2q2（万元），而单位商品所获得的利润即平均利润函数为L（q） = L（q）/q= 4-10/q-0.2q（万元/件），生产10件该商品的总利润L（10）=10万元，此时平均利润L=1万元/件，而生产20件该商品时的总利润为L（20）=-10万元，从上例可知，利润并不总是随产量的增加而增加的，生产20件此时要亏损10万元。

生产者提供商品的首要目的就是获取利润，决定生产规模也是获得最大的利润。对于生产者来说，成本总是随着产量的增加而增加的，因而生产决策者不能只盲目地追求产量，还需要根据利润的变化情况确定适当的产量指标。

利润函数L（q）=R（q）-C（q）= 0时，此时生产者既不赢利也不亏损，即收支相抵，我们将满足L（q）=0的点q0称为盈亏平衡点（又称为保本点）。盈亏分析常用于企业经营管理中各种定价或生产决策。

六、结论

随着经济学的发展，用数学工具来分析和求解问题已成为对各经济领域进行研究，从而获得最佳解决方案的必要手段。特别是近年来随着计算机技术的快速发展，出现了多种数学应用软件，使得复杂模型的处理求解变得更加容易，也使应用数学模型解决经济问题变得更加准确和可靠。

参考文献：

［1］张丽娟.高等数学在经济分析中的应用.集团经济研究，2007，2.

［2］王宇超.数学在经济生活中的应用.宿州师专学报，2002，3.

第7篇：数学建模方法总结范文

关键词：数学建模 课程改革 实践教学

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（a）-0052-01

数学建模是把数学与客观实际问题联系起来的纽带，通过数学语言来描述和仿真实际问题中的变量关系、空间形式。数学建模在现代科学技术以及社会生活和经济活动中的重要作用日益受到数学界与社会各界的普遍重视。近年来，一些发达国家普遍在大学中开设数学模型课，开展大学生数学建模竞赛。

数学建模课的主要作用不仅是为学生学会应用所学知识解决各专业问题及各种实际问题提供方法，更主要的是让学生学会用数学的思维、数学的观点、数学的语言描述并解决实际问题，该课是联系数学与其他各学科的纽带，是数学知识应用于实际问题的桥梁。通过该课程的学习可以提高学生分析问题解决问题的能力，提高学生应用计算机及相关软件的能力，提高学生科技论文的撰写能力，提高学生的创新能力和团结协作能力。

1 数学建模课程的改革

1.1 改革理念

1.1.1 以“应用型”培养目标作为改革的总体理念

按照我校应用型本科院校的定位，根据学院人才培养目标的定位，有针对的选择数学建模课程教学内容、合理设计教学方法，着重培养学生的实际应用能力。

1.1.2 注重与专业教学相结合的改革理念

在教学过程中，注重数学建模课程内容选择与专业教学相结合，以适应专业的需求和学生今后发展的需要。根据专业特点，选择经典案例。如适合土建类专业的拱形桥梁模型、放射性废物处理模型；适合交通汽车等专业的交通事故勘察模型；适合管理类等专业的人口控制统计模型、广告促销模型、股票收益与风险模型、物流分配等。

1.1.3 坚持“宽口径”的改革理念

“宽口径”指拓宽知识面。数学建模课程面向全校学生，除了结合专业背景，还需注重拓宽知识面，增加覆盖面，扩大学生视野，让学生学会用数学方法、数学思维去解决实际中各种各样的问题，培养适应性强的应用型人才。

1.1.4 坚持理论教学与实践教学相结合的改革理念

数学建模课程不仅强调理论知识，还注重各种数学软件的应用。在教学过程中加强实验教学，让学生能熟练使用各种计算机软件方便解决实际问题，组织学生参加建模竞赛，通过实践训练为学生打通理论与实际联系的桥梁。

1.2 革的几点做法

1.2.1 结合模块化数学教学体系，优化数学建模课程体系

数学建模课成建立在大学数学，包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等的教学基础之上，根据我校应用型本科院校培养目标及数学教学体系的四个模块：土建类、机电类、经管类和文科类，有针对性的选择教学内容，结合工程应用背景，强调理论教学与实践教学相结合，拓宽知识面，构建适合我校学生的数学建模课程。

1.2.2 更新教学内容，建设现代化教学模式

数学建模教学内容是集经典数学理论、现代数学方法、工程实际问题于一体的新型课程。我们在教学过程中将经典内容与现代内容进行结合，用生活中的案例来提高学生对实际问题的感性认识，增进学生对用数学方法、数学思维来解决实际问题的理解。比如在讲微分方程时，我们引入现代非典传染病模型；在讲积分理论时，引入加油站的油罐偏置模型；在讲图论时，引入北京奥运公交路线模型；在讲线性回归、多元回归、人工神经元网络预测时，引入上海世博会影响力评估模型等。跟踪国内国际应用领域的新发展，将经典数学理论与现实社会中的具体实例相结合，促进学生对知识的理解，提高学生实际应用能力。

（1）采用导学式教学力。在教学过程中，鼓励学生自主提出问题，引导学生进行归纳、总结分析，培养学生分析解决问题的能力。

（2）引入了案例教学方式，通过对具体建模案例的分析，丰富教学内容，激发学生学习数学建模的兴趣。

（3）在讲解数学建模的基础知识外，根据近几年建模竞赛赛题的特点，通过专题讲座的形式补充部分内容，如：图论知识、微分方程、多元统计分析等内容，开阔学生视野。

1.2.3 加强实验教学和实践教学

数学建模课程不同于传统的数学课，实验和实践教学是其必不可少的环节。每年给学生培训MATLAB、Mathematic、Lindo/Lingo、SPSS、WINQSB等计算机软件工具。坚持“拓宽知识面，增强适应性”原则，本着专业面宽，适应性强，加大知识覆盖面，加强实验教学和实践教学。

1.2.4 采用多媒体教学与传统教学相结合

在教学方法和手段的改革上，采用了多媒体教学与传统教学相结合的并行模式。许多用传统方法讲授起来枯燥无味、难以理解的东西，可以通过多媒体技术直观易懂地表现出来，使学生在充满趣味性和应用性环境中学习和掌握知识。多媒体教学手段激发了广大学生学习积极性，学习质量有了明显提高。

1.2.5 构建网络教学环境

建立交互性强的数学建模网站，在网站发表建模问题、回答学生提出的问题、接受学生对建模问题的答案，可以进行在线答疑、在线交流、在线自学，具有较强的可操作性。

我校数学建模网站已投入使用。各年的大学生数学建模竞赛试题、院数学建模竞赛试题、各年获奖名单等均已上网，学生可在网上方便查到数学建模的各种资料，为学习自学提供了充分的条件和有利的保证。

1.2.6 组织数学建模竞赛

每年举办校内数学建模竞赛，以竞赛促进学习、开阔学生视野、活跃学习气氛。并逐层选拔学生参加东三省大学生数学建模竞赛、全国大学生数学建模竞赛和全美大学生数学建模竞赛。

2 结论

我院数学建模课程以培养应用型人才为总体目标，结合我校四个模块的数学教学体系和专业培养目标，更新改革教学内容，通过启发式、自学式、学生讲课讨论等教学方法，引入数学软件培训，组织学生参加数学建模竞赛等改革和探索，我们构建了一个比较规范的数学建模课程教学体系，有利于全面提高学生的数学素质，培养学生数学思维，加强学生实践应用能力，使得数学建模课程成为培养工程应用型人才的有力手段。

参考文献

[1] 李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，1（1）：9.

第8篇：数学建模方法总结范文

关键词:评价方法实证分析过程分析

自20世纪初杜邦公司运用投资报酬率指标进行绩效评价以来，绩效评价已从单指标评价发展成多指标综合评价。在多指标综合评价中，评价方法的恰当选择对评价结果具有重要影响。本文拟对AHP、模糊综合评价法、灰色关联度分析法、因子分析法及TOPSIS五种方法在上市公司经营绩效评价中进行实证比较，并通过对各种评价方法具体评价过程的差异分析，试图对实证比较结果的差异作出解释，以期为评价方法的选择提供参考。

一、上市公司经营绩效评价指标体系

由于本文重点是探讨评价方法的比较，故对评价指标的选择不作深入探讨。上市公司经营绩效评价指标是在考虑上市公司特点的基础上，参照《国有资本金效绩评价规则》及其细则来构建的，如图1所示。

二、上市公司经营绩效实证分析

本文选取沪市八家高速公路运营公司作分析样本，分别运用上述五种评价方法对其经营绩效进行评价。原始数据来源于“巨潮资讯”（），对原始数据的预处理原则为：（1）对于极小型指标，取其倒数使用转化为极大型指标；（2）对适度型指标（如资产负债率），按公式xij=1/转换，其中k为原始数据xij’的均值，xij为处理后的数据；（3）无量纲化处理的方法是均值化方法。

1．运用AHP进行经营绩效评价

层次分析结构的构建按图1的模式构建，通过咨询专家，在各层元素中进行两两比较，构造判断矩阵，所有的判断矩阵均通过了一致性检验，并运酶扑愕贸龈髦副甑娜ㄖ兀荽巳ㄖ囟愿髦副杲屑尤ㄗ酆希醋酆辖峁园思腋咚俟吩擞镜木ㄐЫ信判颍峁绫?所示：

表2

评价对象皖通高速东北高速中原高速福建高速楚天高速赣粤高速宁沪高速深高速

绩效得分1.32140.06711.46721.47331.31311.51391.06351.1020

排名48325176

2．运用灰色关联度分析进行经营绩效评价

取八家公司各指标的最大值所构成的序列作为最优指标集，计算灰色关联系数时取ξ=0.5，计算加权关联度时，权重取上述AHP法所得到的权重。按计算出的灰色加权关联度，上述八家公司的经营绩效评价结果如表3所示：

表3

评价对象皖通高速东北高速中原高速福建高速楚天高速赣粤高速宁沪高速深高速

绩效得分0.92440.85160.94130.93940.92790.94390.90100.9066

排名58234176

3．运用模糊综合评价法进行经营绩效评价

在这里，评判因素集为图1所示14个指标，即：

U={X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14}

评价集为V={经营绩效高V1，经营绩效中V2，经营绩效低V3}；

评价因素集中的所有指标均为定量指标，故采用梯形隶属度函数建立指标值与评价等级间的隶属关系（如图2所示）。将预处理后的数据带入隶属度函数，可得到三个评价等级的隶属度向量R1，R2，R3，对三个等级取权重（本文取（0.5,0.3,0.2））计算评判矩阵R，故评判矩阵R=0.5R1+0.3R2+0.2R3。本例在建立模糊评价模型时，各评判因素权重A的确定采用上述AHP法所确定的权重，评判模型为：B=A*R，其中合成运算采用普通矩阵乘法。运用模糊综合评价法对上述八家公司经营绩效的评价结果如表4所示：

表4

评价对象皖通高速东北高速中原高速福建高速楚天高速赣粤高速宁沪高速深高速

绩效得分0.46350.24210.59640.50000.59820.51790.35660.3911

排名58241376

4．运用TOPSIS法进行经营绩效评价

运用TOPSIS法时，取八家公司各指标的最大值所构成的序列作为最优向量，最小值所构成的序列作为最劣向量，通过计算各评价对象对最优向量和最劣向量间的欧氏距离，来获得评价对象与最优向量的“拟合”程度，以此作为评价依据。其基本模型为：Ci=(Di-/Di-+Di+)，其中Di-为评价对象到最劣向量间的距离，Di+为评价对象到最优向量间的距离，Ci为评价对象与最优向量的相对接近度，Ci越大则经营绩效越好，加权时的权重仍采用AHP法所得的权重。运用TOPSIS法的评价结果如表5所示：

表5

评价对象皖通高速东北高速中原高速福建高速楚天高速赣粤高速宁沪高速深高速

绩效得分0.65610.08370.72260.72530.65230.74390.53850.5560

排名48325176

5．运用因子分析法进行经营绩效评价

运用SPSS软件可直接得出上述八家公司的因子得分，本例中，通过因子分析，前四个因子的特征值大于1，所解释的方差占总方差的91.35%，为精确起见，本例取前7个因子，该7个因子解释了所有的方差。对各公司经营绩效评价是以其综合得分为依据的，综合得分的计算方法是以各因子的贡献率为权数，将各公司在7个因子上的得分进行线性加权而求得的。运用因子分析法的评价结果如表6所示：

表6

评价对象皖通高速东北高速中原高速福建高速楚天高速赣粤高速宁沪高速深高速

绩效得分0.0185-1.07990.27550.30730.23180.3956-0.15110.0024

排名58324176

三．评价结果的比较分析

上述实证过程的5种排序结果汇总如表7所示：

表7

排序方法皖通高速东北高速中原高速福建高速楚天高速赣粤高速宁沪高速深高速

AHP48325176

灰色58234176

模糊58241376

TOPSIS48325176

因子58324176

序号总和58324176

上文实例中各种评价方法所用的评价指标体系、原始数据及其预处理方法均相同，因此表7所示实证评价结果的差异仅取决于评价方法本身，即各种方法从输入原始数据到输出评价结果这一过程的差异导致评价结果的差异。本文对过程差异分析的前提是，因子分析、关联度系数、欧氏距离等所基于的数学理论均是可靠的，均能真实反映了评价对象间客观存在的差异。

为便于比较，将上述五种方法按评价过程中包含主观因素的程度作如下分类：因子分析法属客观评价法，AHP、灰色评价法和TOPSIS为主观评价方法Ⅰ，模糊综合评价属主观评价法Ⅱ。表8所示为各种评价方法得到的排序结果间的Spearman相关系数,系数越大表明排序结果越接近。

表8

排序方法客观评价法主观评价方法Ⅰ主观评价法Ⅱ

因子AHP灰色TOPSIS模糊

客观评价法因子10.9760.9760.9760.786

主观评价方法ⅠAHP00.97610.95210.69

灰色0.9760.95210.9520.833

TOPSIS0.97610.95210.69

主观评价法Ⅱ模糊0.7860.690.8330.691

1).客观评价法与主观评价法Ⅰ的比较：通过表8的Spearman相关系数可知，因子分析法的排序结果与三种主观评价方法Ⅰ的结果具有相同的相关度，相关系数均为0.976。

因子分析法在构造综合评价值时所涉及到的权重都是从数学变换中伴随生成的，同时因子分析的具体过程在数学上都有严格的逻辑，可以说因子分析法从处理数据开始直至输出综合因子得分的整个过程都具有很强的客观性；而主观评价法Ⅰ与因子分析法相比，其中的AHP法对原始指标加权综合前、灰色关联度法对关联度系数加权综合前、TOPSIS法对欧氏距离加权综合前的过程都是数学运算过程，不同的是在加权权数的确定上主观评价方法Ⅰ是主观确定的；因此从评价结果的输出过程来看，因子分析法与主观评价法Ⅰ的差异取决于加权权数。

2).客观评价法与主观评价法Ⅱ的比较：因子分析法的排序结果与模糊综合评价法的结果相关度较低，相关系数为0.786。

模糊综合评价法从评价集的定义、特别是隶属度函数的构建、合成算子的选取直到权重的选取、输出评价结果全过程均包含主观判断的因素，随意性较大，其评价结果很大程度上取决于参与评价的专家的素质。因此模糊评价与因子分析法评价结果的差异可能产生于评价过程的任一环节，两者的评价结果很容易产生较大差异。

3).主观评价方法Ⅰ与主观评价法Ⅱ比较：两者评价结果的相关度也不高，如上文所述，主观评价方法Ⅰ在加权综合前的过程是数学运算过程，而模糊评价在加权综合前的过程是主观判断，如果两者用于加权综合的权数是通过同样的方法取得的（上文的实例均是采用AHP法得到的权数），则评价结果的差异取决于加权综合前的任何一环节。

4).三种主观评价方法Ⅰ间的比较：AHP与TOPSIS法的排序结果完全相同，两者与灰色关联度法高度相关，相关系数为0.976。

这三种方法都是通过对原始指标值的数学运算，再利用主观确定的权数对数学运算的结果进行加权综合后输出评价结果的，在采用的加权权数相同的情况下，应该输出相同的结果，上文AHP与TOPSIS法的排序完全相同也证实了这一点；但灰色关联度法在加权综合前的数学运算过程中，计算灰色关联度系数时“分辨率ξ”的确定无一个合理的标准（本例取ξ=0.5），这与AHP和TOPSIS法有点区别，也正是这点差别，使灰色关联度法与AHP和TOPSIS法的评价结果产生差异。

上述分析与实证的结果基本一致，但并不能说明评价过程中客观的数学运算和主观判断的优劣，实际上数学运算有时可能扭曲真实情况，主观判断有时能结合评价对象的特点形成更真实的反映。

不过有的学者认为综合各种评价方法的结果可以找到一个最优排序，并提出序号总和理论、众数理论和加权平均理论等，所谓“序号和理论”是指把各种不同的评价方法下的排序序号相加，得到序号总和，按序号总和从小到大的排序即为最优的位序，当序号总和相等而无法排序时，可按众数理论确定其位序，本例按序号总和排序的结果见表7。这里运用spearman相关分析对各种排序与序号总和排序的相关性作了简要分析，结果如表9所示：

表9

排序方法客观评价法主观评价方法Ⅰ主观评价方法Ⅱ

因子分析法AHP灰色关联度TOPSIS模糊评价

Spearman相关系数10.9760.9760.9760.786

由表9可知，客观赋权法即因子分析法与序号总和法的结果完全相同，三种主观评价方法Ⅰ与序号总和法的相关度相同，且高度相关（相关系数均是0.976），模糊评价法与序号总和法相关度最低，相关系数为0.786。

四、结束语

鉴于上述各种评价方法间在评价过程上存在的差异，在选择评价方法时要结合评价对象的特点，充分考虑这些差异可能给评价结果造成的影响。比如当某项决策需突出评价对象某方面的特征时，运用主观性更强的评价方法可能会得到较好的结果；而评价对象的特性不易把握、或评价人员的知识不足以准确把握评价对象的特性时，运用客观性更强的评价方法更恰当。

参考文献：

1)周国强.经济系统综合经济效益评价方法比较.武汉理工大学学报(交通科学与工程版)2002（4）

第9篇：数学建模方法总结范文

关键词:评价方法 实证分析 过程分析

自20世纪初杜邦公司运用投资报酬率指标进行绩效评价以来，绩效评价已从单指标评价发展成多指标综合评价。在多指标综合评价中，评价方法的恰当选择对评价结果具有重要影响。本文拟对AHP、模糊综合评价法、灰色关联度分析法、因子分析法及TOPSIS五种方法在上市公司经营绩效评价中进行实证比较，并通过对各种评价方法具体评价过程的差异分析，试图对实证比较结果的差异作出解释，以期为评价方法的选择提供参考。

一、 上市公司经营绩效评价指标体系

由于本文重点是探讨评价方法的比较，故对评价指标的选择不作深入探讨。上市公司经营绩效评价指标是在考虑上市公司特点的基础上，参照《国有资本金效绩评价规则》及其细则来构建的，如图1所示。

二、 上市公司经营绩效实证分析

本文选取沪市八家高速公路运营公司作分析样本，分别运用上述五种评价方法对其经营绩效进行评价。原始数据来源于“巨潮资讯”（.cn），对原始数据的预处理原则为：（1）对于极小型指标，取其倒数使用转化为极大型指标；（2）对适度型指标（如资产负债率），按公式xij=1/转换，其中k为原始数据xij’的均值，xij为处理后的数据；（3）无量纲化处理的方法是均值化方法。

1．运用AHP进行经营绩效评价

层次分析结构的构建按图1的模式构建，通过咨询专家，在各层元素中进行两两比较，构造判断矩阵，所有的判断矩阵均通过了一致性检验，并运酶??扑愕贸龈髦副甑娜ㄖ兀?荽巳ㄖ囟愿髦副杲?屑尤ㄗ酆希?醋酆辖峁?园思腋咚俟?吩擞??镜木??ㄐЫ?信判颍?峁?绫?所示：

表2

评价对象 皖通高速 东北高速 中原高速 福建高速 楚天高速 赣粤高速 宁沪高速 深高速

绩效得分 1.3214 0.0671 1.4672 1.4733 1.3131 1.5139 1.0635 1.1020

排名 4 8 3 2 5 1 7 6

2．运用灰色关联度分析进行经营绩效评价

取八家公司各指标的最大值所构成的序列作为最优指标集，计算灰色关联系数时取ξ=0.5，计算加权关联度时，权重取上述AHP法所得到的权重。按计算出的灰色加权关联度，上述八家公司的经营绩效评价结果如表3所示：

表3

评价对象 皖通高速 东北高速 中原高速 福建高速 楚天高速 赣粤高速 宁沪高速 深高速

绩效得分 0.9244 0.8516 0.9413 0.9394 0.9279 0.9439 0.9010 0.9066

排名 5 8 2 3 4 1 7 6

3． 运用模糊综合评价法进行经营绩效评价

在这里，评判因素集为图1所示14个指标，即：

U={X1 ,X2,X3 ,X4,X5, X6, X7, X8,X9, X10,X11, X12,X13, X14}

评价集为V={经营绩效高V1，经营绩效中V2，经营绩效低V3}；

评价因素集中的所有指标均为定量指标，故采用梯形隶属度函数建立指标值与评价等级间的隶属关系（如图2所示）。将预处理后的数据带入隶属度函数，可得到三个评价等级的隶属度向量R1，R2，R3，对三个等级取权重（本文取（0.5,0.3,0.2））计算评判矩阵R，故评判矩阵R=0.5R1+0.3R2+0.2R3。本例在建立模糊评价模型时，各评判因素权重A的确定采用上述AHP法所确定的权重，评判模型为：B=A*R，其中合成运算采用普通矩阵乘法。运用模糊综合评价法对上述八家公司经营绩效的评价结果如表4所示：

表4

评价对象 皖通高速 东北高速 中原高速 福建高速 楚天高速 赣粤高速 宁沪高速 深高速

绩效得分 0.4635 0.2421 0.5964 0.5000 0.5982 0.5179 0.3566 0.3911

排名 5 8 2 4 1 3 7 6

4． 运用TOPSIS法进行经营绩效评价

运用TOPSIS法时，取八家公司各指标的最大值所构成的序列作为最优向量，最小值所构成的序列作为最劣向量，通过计算各评价对象对最优向量和最劣向量间的欧氏距离，来获得评价对象与最优向量的“拟合”程度，以此作为评价依据。其基本模型为：Ci = (Di-/ Di-+ Di+)，其中Di-为评价对象到最劣向量间的距离，Di+为评价对象到最优向量间的距离，Ci为评价对象与最优向量的相对接近度，Ci越大则经营绩效越好，加权时的权重仍采用AHP法所得的权重。运用TOPSIS法的评价结果如表5所示：

表5

评价对象 皖通高速 东北高速 中原高速 福建高速 楚天高速 赣粤高速 宁沪高速 深高速

绩效得分 0.6561 0.0837 0.7226 0.7253 0.6523 0.7439 0.5385 0.5560

排名 4 8 3 2 5 1 7 6

5． 运用因子分析法进行经营绩效评价

运用SPSS软件可直接得出上述八家公司的因子得分，本例中，通过因子分析，前四个因子的特征值大于1，所解释的方差占总方差的91.35%，为精确起见，本例取前7个因子，该7个因子解释了所有的方差。对各公司经营绩效评价是以其综合得分为依据的，综合得分的计算方法是以各因子的贡献率为权数，将各公司在7个因子上的得分进行线性加权而求得的。运用因子分析法的评价结果如表6所示：

表6

评价对象 皖通高速 东北高速 中原高速 福建高速 楚天高速 赣粤高速 宁沪高速 深高速

绩效得分 0.0185 -1.0799 0.2755 0.3073 0.2318 0.3956 -0.1511 0.0024

排名 5 8 3 2 4 1 7 6

三．评价结果的比较分析

上述实证过程的5种排序结果汇总如表7所示：

表7

排序方法 皖通高速 东北高速 中原高速 福建高速 楚天高速 赣粤高速 宁沪高速 深高速

AHP 4 8 3 2 5 1 7 6

灰色 5 8 2 3 4 1 7 6

模糊 5 8 2 4 1 3 7 6

TOPSIS 4 8 3 2 5 1 7 6

因子 5 8 3 2 4 1 7 6

序号总和 5 8 3 2 4 1 7 6

上文实例中各种评价方法所用的评价指标体系、原始数据及其预处理方法均相同，因此表7所示实证评价结果的差异仅取决于评价方法本身，即各种方法从输入原始数据到输出评价结果这一过程的差异导致评价结果的差异。本文对过程差异分析的前提是，因子分析、关联度系数、欧氏距离等所基于的数学理论均是可靠的，均能真实反映了评价对象间客观存在的差异。

为便于比较，将上述五种方法按评价过程中包含主观因素的程度作如下分类：因子分析法属客观评价法，AHP、灰色评价法和TOPSIS为主观评价方法Ⅰ，模糊综合评价属主观评价法Ⅱ。表8所示为各种评价方法得到的排序结果间的Spearman相关系数,系数越大表明排序结果越接近。

表8

排序方法 客观评价法 主观评价方法Ⅰ 主观评价法Ⅱ

因子 AHP 灰色 TOPSIS 模糊

客观评价法 因子 1 0.976 0.976 0.976 0.786

主观评价方法Ⅰ AHP 00.976 1 0.952 1 0.69

灰色 0.976 0.952 1 0.952 0.833

TOPSIS 0.976 1 0.952 1 0.69

主观评价法Ⅱ 模糊 0.786 0.69 0.833 0.69 1

1). 客观评价法与主观评价法Ⅰ的比较：通过表8的Spearman相关系数可知，因子分析法的排序结果与三种主观评价方法Ⅰ的结果具有相同的相关度，相关系数均为0.976。

因子分析法在构造综合评价值时所涉及到的权重都是从数学变换中伴随生成的，同时因子分析的具体过程在数学上都有严格的逻辑，可以说因子分析法从处理数据开始直至输出综合因子得分的整个过程都具有很强的客观性；而主观评价法Ⅰ与因子分析法相比，其中的AHP法对原始指标加权综合前、灰色关联度法对关联度系数加权综合前、TOPSIS法对欧氏距离加权综合前的过程都是数学运算过程，不同的是在加权权数的确定上主观评价方法Ⅰ是主观确定的；因此从评价结果的输出过程来看，因子分析法与主观评价法Ⅰ的差异取决于加权权数。

2).客观评价法与主观评价法Ⅱ的比较：因子分析法的排序结果与模糊综合评价法的结果相关度较低，相关系数为0.786。

模糊综合评价法从评价集的定义、特别是隶属度函数的构建、合成算子的选取直到权重的选取、输出评价结果全过程均包含主观判断的因素，随意性较大，其评价结果很大程度上取决于参与评价的专家的素质。因此模糊评价与因子分析法评价结果的差异可能产生于评价过程的任一环节，两者的评价结果很容易产生较大差异。

3). 主观评价方法Ⅰ与主观评价法Ⅱ比较：两者评价结果的相关度也不高，如上文所述，主观评价方法Ⅰ在加权综合前的过程是数学运算过程，而模糊评价在加权综合前的过程是主观判断，如果两者用于加权综合的权数是通过同样的方法取得的（上文的实例均是采用AHP法得到的权数），则评价结果的差异取决于加权综合前的任何一环节。

4). 三种主观评价方法Ⅰ间的比较：AHP与TOPSIS法的排序结果完全相同，两者与灰色关联度法高度相关，相关系数为0.976。

这三种方法都是通过对原始指标值的数学运算，再利用主观确定的权数对数学运算的结果进行加权综合后输出评价结果的，在采用的加权权数相同的情况下，应该输出相同的结果，上文AHP与TOPSIS法的排序完全相同也证实了这一点；但灰色关联度法在加权综合前的数学运算过程中，计算灰色关联度系数时“分辨率ξ”的确定无一个合理的标准（本例取ξ=0.5），这与AHP和TOPSIS法有点区别，也正是这点差别，使灰色关联度法与AHP和TOPSIS法的评价结果产生差异。

上述分析与实证的结果基本一致，但并不能说明评价过程中客观的数学运算和主观判断的优劣，实际上数学运算有时可能扭曲真实情况，主观判断有时能结合评价对象的特点形成更真实的反映。

不过有的学者认为综合各种评价方法的结果可以找到一个最优排序，并提出序号总和理论、众数理论和加权平均理论等，所谓“序号和理论”是指把各种不同的评价方法下的排序序号相加，得到序号总和，按序号总和从小到大的排序即为最优的位序，当序号总和相等而无法排序时，可按众数理论确定其位序，本例按序号总和排序的结果见表7。这里运用spearman相关分析对各种排序与序号总和排序的相关性作了简要分析，结果如表9所示：

表9

排序方法 客观评价法 主观评价方法Ⅰ 主观评价方法Ⅱ

因子分析法 AHP 灰色关联度 TOPSIS 模糊评价

Spearman相关系数 1 0.976 0.976 0.976 0.786

由表9可知，客观赋权法即因子分析法与序号总和法的结果完全相同，三种主观评价方法Ⅰ与序号总和法的相关度相同，且高度相关（相关系数均是0.976），模糊评价法与序号总和法相关度最低，相关系数为0.786。

四、结束语

鉴于上述各种评价方法间在评价过程上存在的差异，在选择评价方法时要结合评价对象的特点，充分考虑这些差异可能给评价结果造成的影响。比如当某项决策需突出评价对象某方面的特征时，运用主观性更强的评价方法可能会得到较好的结果；而评价对象的特性不易把握、或评价人员的知识不足以准确把握评价对象的特性时，运用客观性更强的评价方法更恰当。

参考文献：

1) 周国强.经济系统综合经济效益评价方法比较.武汉理工大学学报(交通科学与工程版)2002（4）