数学建模穷举法精选(九篇)

第1篇：数学建模穷举法范文

【关键词】模拟退火算法 信道选择

一、引言

无线通信技术为人们生活带了便利和高效率。作为传统有线网络的一种替代方案和延伸，无线通信技术用无线空口替代网线，把人们固定有线接入解放出来，随时随地方便的获取信息和提供娱乐。随着智能手机和Pad的大规模普及，基于移动智能终端的数据业务爆发式增长，传统运营商采用的2G/3G宏基站网络无法支持移动互联网海量数据流量，移动运营商开始关注利用微基站接入点作为容量吸收层承载数据业务。微基站接入点包括家庭用Femto、WLAN等。在国内，中国电信、中国移动、中国联通自2008年以来都大范围的部署和推广微蜂窝接入点，将其作为现有无线网络的补充，吸收容量。微蜂窝由于数量众多，部署场景千差万别，微蜂窝与宏蜂窝的差别之一就是要能够实现自动的频段规划，否则依靠人工规划部署，巨大的工作量将导致不可能进行实际部署。

二、数学建模和求解

运营商部署WLAN网络面临的一个重要问题就是，如何进行WLAN网络频率资源的规划，频谱规划的好坏关系到网络的性能。简单的说为了网络获取更好的性能，频率规划的原则应该使得相邻微基站尽量使用不同的频点尽量错开，整个网络的平均干扰水平最小。

以WLAN微蜂窝为例，WLAN一般使用20MHz工作带宽，工作在2.4GHz和5GHz频段非授权频谱。在2.4GHz频段WLAN有3个不重叠的20MHz信道，信道之间相互不会干扰。

为了使得问题具有通用性，假设有N个相互不干扰的工作频点，N为确定常数。在一定区域内要部署M个微基站接入点，最终求解是使得M个AP形成的网络性能最好，即干扰最小。在第n个频点工作的PAni对PAnj的干扰为。这个问题就变成求解最小。这是个问题可归结为一个数学上的NP问题。使用穷举求解这个问题，需要的实验次数为M^N，即求解该问题的复杂度O（M^N）。

通过穷举遍历试验可以求得NP问题的最优解，但一般情况下，遍历的复杂度即实验时间往往会是一个天文数字，使得实际中根本无法通过这种方法获得最优解。爬山算法是一种局部最优化解，其复杂度为线性，但往往会导致只搜索到局部最优解。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。1989 年 Johnson 等人通过详尽的实验证实了采用模拟退火算法求解NP问题的优点。爬山法每次都选择一个当前局部最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火在搜索过程引入了随机因素，以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，所以可能会跳出这个局部的最优解，到达全局最优解。模拟退火算法在搜索到局部最优解后，会以一定的概率接受到非局部最优的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会跳出了局部最优向全局最优方向进行搜索。

模拟退火算法基本思想和过程如下：

假设代价函数为J（Y），第i次迭代过程代价函数为J（Y（i））；

若J（ Y（i+1） ）>= J（ Y（i） ），即移动后得到更优解，则总是接受该移动；

若J（ Y（i+1） ）< J（ Y（i） ），即移动后的解比当前解要差，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低，以使得该过程收敛。

这里的“一定的概率”计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P（dE），表示为，P（dE） = exp（ dE/（kT） ）。

其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE

假设在1000平方米区域随机布放200个接入点，有4个可用信道频率。使用穷举法，需要进行200^4=1.6x10^9次试验。

使用模拟退火算法，构建代价函数，

其中，代表工作在第n个频点的PAni对PAnj的干扰。

通过仿真证明，使用模拟退火算法能够以较小的复杂度得到与穷举法几乎一致的最优解。

三、总结

本文分析了WLAN频率规划中的数学问题，归结为NP问题求解，证明了模拟退火算法解决这一类问题的实际可行性。

参考文献：

[1]Optimization by Simulated Annealing： An Experimental Evaluation； Part I， Graph Partitioning， David S. Johnson， Cecilia R. Aragon， Lyle A. McGeoch， Catherine Schevon；

[2]模拟退火算法与遗传算法的结合，王雪梅，王义和， 《计算机学报》1997年04期；

[3]新型遗传模拟退火算法求解物流配送路径问题， 阎庆， 鲍远律， 计算机应用 2004年z1期；

第2篇：数学建模穷举法范文

在现实生活中有些物品其价值随着时间的流逝其价值逐渐减少。我们称这类物品为易逝品。像时装、电子元件等，其时效性很强，一段时间后由于新产品的出现使其价值迅速降低；蔬菜、水果、肉类等，对它们进行保鲜不易而且所需要的成本很高高，存在着时间成本。因此在对易逝品的采购与运输规划的过程中，不但要考虑其采购成本，运输成本，而且还要考虑其时间成本。在很多情况下，时间成本甚至是更具决定意义的一个因素。

韩世莲等定义了客户等待时间的含义及目标规划的原理，对带时间窗的多目标物流配送线路优化问题建立了一个线性规划模型。在模型建立时考虑了运输费用最小、运输时间最短和所有客户的等待时间最短三个相互冲突的目标。

王海丽等以带时间窗的车辆配送规划模型为基础，以制冷成本、车辆固定成本和运输成本之和的总成本为目标函数，建立了一个关于易腐食物品的冷藏配送模型。在求解的算法设计上，构造了一个基于邻域搜索的节约算法。

陈军等研究了由于采购联盟间成员信息的不完全与不对称。各成员均将对方的期望需求作为对方的实际需求进行估计。针对易逝品采购与运输的特点，提出了关于调剂价格的特殊约束条件并建立了一个联盟期望利润模型，最后用数值进行了仿真。

王海军等根据应急物流的特点，将模拟退火算法用于应急物流的车辆调度研究之中并通过实例将模拟退火算法和免疫算法进行了比较，证明了用模拟退火算法来优化车辆行驶路径的可行性和全局最优性。

问题提出

在这里考虑一家企业向I家供应商采购J种物料（这些物料为易逝品）经过K个中转站中的某一个集中将物料运送至企业，每种物料的价值以单位时间aj的速率递减；公司需要确定采购每种物料的供应商以及中转站，以使采购成本、运输成本以及物料价值按时间的损耗成本之和最小。该问题可用穷举法寻找最优方案，需要比较的方案为IJ*K个，其复杂程度与供应商、采购原材料种数呈指数增长，与中转站个数呈倍数增长。

数学建模

在建立该问题的数学模型之前。基于粒子群算法的特征，为方便建模与优化运算，设定参数和决策变量如下：

COij-企业从供应商i处采购的j种物料的单价；

Qj-企业需要采购的第j种物料的数量；

Clijk-从供应商i处采购的j种物料运送至中转站k处的运费单价；

C2jk-从中转k站处将第j种物料运送至企业的运费单价；

Tik-表示从企业i到中转站j的运输时间，各物料所需时间相同；

Tj-表示将第种物料运送至选定的中转所需的时间；

Tk-物料从中转站k运送至企业所需的时间；

aj-单位时间内物料价值损失占物料总价值的百分比；

Sij-表示中物料j是否在供应商处i采购，是则Sij=1否则Sn=0；

Dk-中转站k是否为本次采购方案选定的中转站是则Dk=1否则Dk=0；

其中下标含义为：i为供应商索引号（u=1，2，…，I），j为企业所需原材料索引号（j=1，2，…，J），k为中转站索引号（k=1，2，…，K）。

在定义了上述参数符号之后，可建立该供应物流网络模型的总成本目标函数。该总成本函数由四部分构成：购成本，第一次运输成本，第二次运输成本，运输时间损耗成本。（忽略中转费用和中转时间）：

约束条件为：

算法设计

在本模型中COij、C1ijk、C2jk、Tik、Tk、Qj、aj均为已知变量，Tj为中间变量，只有Sij和Dk为决策变量，而且Sij和Dk均为0，1变量，总共有I*J+K个0，1决策变量，且这些决策变量需要满足，这两个约束条件。也就是说这i*j+k个0，1决策变量中可行解必然是含有J+1个1，而其它决策变量均为O。其中前面J个1分别确定每种原材料的供应商，最后一个1确定所选择的中转站。

粒子群算法最初是用于求解连续性优化问题的，对这种0，1型离散性优化问题有对应的二进制粒子群算法来解决。但考虑到本模型中约束的特点，可对连续型粒子群算法稍做变换然后用来求解该问题将会十分便捷。用连续型粒子群算法来优化该问题的具体步骤可如下：初始化，每个粒子为I*J+K维，均取（0，1）之间的随机值，并把它分成J行I列加1行K列的两个矩阵，按此方法同样对速度进行初始化；计算粒子的适应值。对每个粒子先将其每行最大元素置为1，其他元素值为0，让后按照式（5.1）计算出其适应值；找出每个粒子历史最优与群体最优粒子；更新粒子位置；更新粒子速度；按照步骤2）计算更新后粒子的适应值，更新粒子历史最优与群体最优；判断是否满足终止条件，是则终止计算输出结果，否则转移到第四步。

该方法主要是在计算粒子最优值时做了一些特殊的处理以使每个粒子均满足约束成为可行解。

实例仿真

考虑一家电子厂需要从三个供应商S1、S2、S3中采购三种电子元件A、B、C经过三个中转站D1、D2、D3中的某个中转站中转然后集中将物料运送至工厂E。其中物料随时间损耗比率为aj=0.25%/天其它相关数据如表5-1――表5-4所示：

公司需要制定一个采购方案从这三家供应商处采购三种原材料并选择合适的中转站以使采购成本、运输成本、时间损耗成本之和最小。本文将用粒子群算法计算上述模型并用matlable语言编写程序，最K解决该问题。在该实例中每个粒子的维数为I*J+K=3*3+3=12设定种群规模为20，迭代代数为500代。用三种粒子群算法计算，通过30次实验，获得收敛到最优解的平均迭代次数如表5-5所示，最优方案方案如表5-6，表5-7所示。

从表5-5中可知，三种粒子群算法均能稳定的收敛到全局最优解，而在30次实验中，两种改进的粒子群算法收敛到最优解的平均迭代次数均比标准粒子群算法所需要的平均迭代次数少，说明改进的粒子群算法在求解该实例中的收敛速度要比标准粒子群算法快。

即A物料选择在供应商三处采购；B物料选择在供应商一处采购；c物料在供应商三处采购，选择中转站二为物料中转集中运输中转站。

该方案采购成本为：652.5（万元）

运输成本为：56，25（万元）

物料随时间的损耗成本为：35.8875（万元）

总成本为：747.6375（万元）

第3篇：数学建模穷举法范文

关键词:RSA算法;网络;密码;安全性

中图分类号:TP393文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)27-7660-02

1 RSA 公钥密码算法简介

1978年美国麻省理工学院(MIT)的研究小组成员李维斯特(R.L.Rives)、沙米尔(A.Shamir)和艾德勒曼(L.Adelman)在杂志IEEE上,提出了一种以幂模函数为密码算法的公钥体制,通称RSA公钥密码体制。它是一种比较典型的公开密钥加密算法,也是迄今为止理论上最为成熟和完善的一种公钥密码体制。普遍认为是一个比较理想的公钥体制,到目前为止,仍不失为最有希望的一种公钥密码体制。

1.1 RSA 公钥密码算法的数学基础

同大多数公钥密码体制一样,RSA的安全性主要取决于构造其加密算法的数学函数的求逆的困难性,我们称这样的函数为单向函数。单向函数在密码学中起一个中心作用。它对公钥密码体制的构造是非常重要的。单向函数的研究是公钥密码体制理论中的一个重要课题。但是,虽然很多函数(包括RSA算法的加密函数)被认为或被相信是单向的,但目前还没有一个函数能被证明是单向的。所谓“单向函数”就是极难求得其反函数的函数。单向函数是贯穿整个公钥密码体制的一个核心概念。

RSA的基础是数论的欧拉定理。

欧拉定理:若整数a和n互素,则a?渍(n)1 mod n

其中?准(n)是比n小但与n互素的正整数个数。

推论(Fermat):若p是素数,(a,p)=1,则ap-11 mod p

1.2 RSA加密算法的流程

1) 找到三个数:p, q, d,其中p和q是两个相异的质数,d是与(p-1)(q-1)互质的数。计算出n=pq。

2) 寻找另一个数e,使得ed 1 mod ?准(n)。因为d与?准(n)互质,所以用辗转相除法一定可以找到e。

3) 把{n, e}公开,作为公钥,(n, d)就是私钥;加密时,将待加密信息M看成一个大整数,假设M

1.3 RSA 公钥密码算法的实现

RSA运用两个指数e和d,这里e是公共的而d是私密的。假定P是明文C是密文,发信方运用C=Pe mod n从明文P来创建密文C;收信方运用P=Cd mod n恢复发信方发送的明文。模n是一个非常大的数,是在密钥生成过程中创建的。数对(e,n)称为公钥,是可以对外公布的,(d,n)称为私钥,为解密者所有,不对外公布,此外,公钥和私钥是互逆的,也可以以(d,n)为公钥而(e,n)为私钥。创建公钥和私钥的步骤如下:

1) 随机选取两个不同的大素数p和q,记n=p*q,此处的n即为RSA算法的模。

2) 随机选取e,要求e与(p-1)(q-1)互质,且1

3) 计算满足e × d=1(mod(p-1)(q-1))的d,此处的d即为私钥。公式e × d=1(mod(p-1)(q-1))表示数e和d互为乘法逆,即满足(p-1)(q-1) × z+1=e × d其中z为整数。

4) 加密过程为C=Me mod n,M为明文,C为密文。

5) 解密过程为M=Cd mod n。

2 RSA攻击

2.1 攻击手段

攻击者对 RAS系统攻击有:强行攻击、定时攻击、穷举攻击、统计分析攻击、数学分析攻击。

强行攻击:强行攻击是对所有的密钥都进行尝试。因此(e,)d 的位数越长,算法越安全,但这时密钥生成、加密和解密运算效率也越低。

定时攻击:定时攻击是利用测定RSA解密所进行的模指数运算的时间来估计解密指数d,然后再精确定出d的取值。这种攻击方法可以通过解密运算量与参数d无关来挫败,也可以采用盲化技术来挫败。

穷举攻击:指密码分析者用试遍所有密钥的方法来破译密码,穷举攻击所花费的时间等于尝试次数乘以一次加密(解密)所需的时间。显然可以通过增大密钥量或加大解密(加密)算法的复杂性对抗穷举攻击。

统计分析攻击:指密码分析者通过分析密文和明文的统计规律来破译密码。对抗统计分析攻击的方法是设法使明文的统计特性不带入密文。这样,密文不带有明文的痕迹,从而使统计分析成为不可能。

数学分析攻击:指密码分析者针对加密算法的数学依据通过数学求解和足够复杂的加密算法。为对抗这种数学分析攻击,应选用具有坚实数学基础和足够复杂的加密算法。而这里RSA已经论证很难通过数学分析攻击来找到破绽。

2.2 RSA安全性讨论

RSA算法的体制构造是基于数论的欧拉定理,它的安全性依赖于大数因子分解的困难性。它基于一个非常简单的数论思想,但能抗所有密码攻击。该算法利用了数论领域的一个事实,那就是虽然把两个大质数相乘生成一个合数是件十分容易的事情,但要把一个合数分解为两个质数却十分困难。合数分解问题目前仍然是数学领域尚未解决的一大难题,至今没有任何高效的分解方法。很多专家对这个算法进行了分析和研究。而RSA的安全性是依赖于作为公钥的大数n的位数长度的。目前因子分解速度最快的方法,

假设偷听者乙,获得了甲的公钥N和e以及丙的加密消息c,但无法直接获得甲的密钥d。要获得d,最简单的方法是从c算出n,然后将N分解为p和q,这样她可以计算(p-1)(q-1)并从而由e推算出d。至今为止还没有人找到一个多项式时间的计算方法来分解一个大的整数的因子,但至今为止也还没有人能够证明这种算法不存在。至今为止也没有人能够证明对N进行分解因式是唯一的从c导出n的方法,但今天还没有找到比它更简单的方法。(至少没有公开的方法。)因此今天一般认为只要N足够大,那么黑客就没有办法了。

假如N的长度小于或等于256位,那么用一台个人计算机在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年,数百台计算机合作分解了一个512位长的N。今天对N的要求是它至少要1024位长。

所以RSA 面临的较大威胁主要来自于计算能力的持续提高和因子分解算法的不断改进,其中计算能力的提高包括由于计算机网络的发展所导致的联网众多计算机进行分布式计算能力的大力提高和巨型计算机计算能力的提高。

3 总结

第4篇：数学建模穷举法范文

一、数学开放题的分类

1.按命题要素分类。数学命题一般可根据思维形式分成“假设―推理―判断”三个部分。一个数学开放题，若其未知的要素是假设，则为条件开放题；若其未知的要素是推理，则为策略开放题；若其未知的要素是判断，则为结论开放题。有的问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可称为综合开放题。

2.按答案结构分类。开放题可分为：（1）有限穷举型。这类问题的答案是有限的，可以穷举的。（2）有限混沌型。这类问题的答案从理论上可以断定是有限的，但实际上在解题者的知识水平上不可能把所有的答案一一列举出来，也就是说，答案的结构是混沌不清的。（3）无限离散型。这类问题的答案不但是无穷的，而且是离散的。对这类问题的解答，通常采用如下方法：一种是将其答案作适当的分类，对每类答案列出一种典型的解法；另一种是提供一种构造任意一个答案的方法，即提供一个寻找答案的“算法”，按照这种算法可以举出问题的任意一个答案。（4）无限连续型。这类问题的答案不但是无穷的，而且是连续的。

3.按解题目标分类。可以大致分为找规律或关系、量化设计、分类与整理、举例、数学建模、提问题、情境题、评价、一题多解。

4.按编制方法分类。大致可以分为条件不足的问题，逆的问题、计数问题的弱化、变化与推广等。

二、初中数学开放性试题的特点

1.条件或结论的非完备性。在封闭题中条件完备且结论确定，而在开放题中，要么条件不充分，要么结论被隐去，因而其组成要素是不完备的。

2.解题策略的发散性和创新性。封闭题通常结论唯一确定，而开放题的条件、解题策略、答案呈现多样性，解题没有固定的模式可遵循，在解答过程中，可能引出一些新的问题，必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀。从多角度、多方面寻找答案，因而思维方向和模式呈发散性有利于培养学生的创新意识和创新能力。数学开放题的解决有时没有现成的方法，需要解题者敢于探索、勇于创新。同时开放题的答案也不是唯一确定的，要求学生灵活运用所学知识，摆脱形式上的束缚，进入问题的深层，触及问题的本质。

3.教学的参与性与主动性。由于开放题没有固定的解题模式，在课堂教学中教师会采用“启发式”教学法，能激起多数学生的好奇心，学生主动参与到教学中成为可能。例如，可以用简单的邮递路线问题。在一个正方形区域内有九个村庄。排成3×3形状，邮递员从正方形拐角的邮局出发，走遍九个村庄最后回邮局，可以走哪几条路？在这个例题的教学中，如果教师仍用“灌输式”的方法一个一个介绍几十个答案，则学生必然会觉得厌烦。在解决问题的时候，其实一些学生已用自己的方法找到了教师还来不及讲的，甚至教师也没有想到的答案，这样就形成了以学生主动参与为特征的课堂教学。

三、在教学中设计数学开放性问题的尝试

基于对数学开放性问题的上述认识，笔者认为数学开放性问题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，因此开放性问题应在数学课堂教学中占有一席之地。

1.利用“数学开放性问题”培养学生思维的灵活性和发散性。数学开放性问题在培养思维的灵活性和发散性方面有其独特的作用，可以使学生在解题过程中形成积极探索和创造的心理态势，对数学的本质产生一种新的领悟，进而生动活泼地参与“做数学”的过程，使学生的认知结构得到有效发展。

2.利用“数学开放性问题”因材施教。学生对数学理解的差异及数学学习水平的差异是客观存在的，数学教学要在承认这种差异的基础上进行，并且为每个学生创造可以施展才华的空间。

3.利用“数学开放性问题”进行成功学习数学教育。开放性问题不束缚人们的思路，可以比较充分地把自己的知识和经验用于解决问题之中，通过自己的观察和思考，提出自己的解题思路，不同的人在不同的起点上思考同一个问题，思考的角度、使用的方法和所得的结果可能会有所不同，但他们都能在自己原有基础上有所得、有所获，根据自己的知识和经验建构“新知识”，成功地进行创造性学习活动。通过不断成功可以使学生对数学产生兴趣，培养追求卓越勇于探索的精神。

四、初中数学开放性试题的教学策略

1.教学过程需符合学生的认知特点。好的开放题对学生应有较大的教育价值，还可以让学生有广阔的思维空间，发展学生的数学思维能力，教师在实施教学时要符合学生的认知特点，需要在组织学习活动时为学生提供自主参与的机会。同时，教师还要为学生的主动参与创造条件，为学生一定程度的自由探索提供可能，鼓励学生通过独立思考形成自己的观点，并将自己的思考贡献出来参与集体研讨，以便从更多的视角更充分地理解知识内容，生成知识意义，并体验独立探究和集体研讨带来的成功。这样，学生才能真正喜欢开放性试题。另外，在解决开放性试题的过程中，还要允许学生从多角度分析与思考问题，允许选择不同的方法来解决问题，这样可以使得学生的视野更为广阔。

第5篇：数学建模穷举法范文

【关键词】无穷；极限；微积分；函数

一、无穷小和悖论

古希腊有一个哲学家叫芝诺，他提出了“两段法”来否认人能从一个点到达另一点，理由是正在行走的人从A地出发走到B地，首先他必须通过标有中心的C点，这刚好是AB的中心点.然后，他又得经过路程的34的D点，这是BC的中心点.接着，从D点出发，在到B之前他仍要经过一个中心点，即路程78的E点.从E点出发，他仍然得经过EB的中心点F……由此类推下去，无论距离路程终点B有多么接近，他都得先经过剩下路的中心点.但是，这些中心点是无止境的，哪怕是微乎其微的距x，也总还有一个地方是这段距离的中心点，正因为中心点是走不完的，所以行走的人虽然离终点越来越近，但他始终无法到达终点.

他还提出了“阿里斯基和乌龟赛跑”悖论.阿里斯基是古希腊的半神英雄，是古希腊的第一勇士，以善跑著称.芝诺指出：让阿里斯基和乌龟赛跑，乌龟在阿里斯基前方1000米，假定阿里斯基的速度是乌龟速度的100倍，当比赛开始后，若阿里斯基跑了1000米，用了t时间，此时，乌龟又已经跑了10米，当阿里斯基跑完下一个10米时，用的时间为t100，此时，乌龟仍然领先他0.1米，当阿里斯基跑完下一个0.1米时乌龟仍然领先他，以此类推，阿里斯基只能无限接近而不能追上乌龟.

这本来是荒谬的，但芝诺提出的理由又是那样的正当，以至于长久以来没有人能驳倒他.纵观历史，数学家和哲学家们也一直对无穷这一概念纠缠不清，希腊人也一次一次表现出对无穷及无穷小数的恐惧.特别是在微积分的定义中更是如此.[1]

二、极限与微积分

极限思想是近代数学的一种重要思想，是社会实践的产物.数学分析就是以极限为基础、极限理论为工具来研究函数性质的.在我国古代，数学家刘徽于公元263年建立了“割圆术”，就是借助于在圆内的一串内接正多边形的周长数列来定义圆的周长[2].同样在古代其他国家，很多哲学家和数学家也在实践过程中应用了极限思想.

进入17世纪，数学家对曲线的长度问题、面积问题、几何体的体积问题的解决产生了需求，虽然当时对阿基米德的穷竭法已熟悉，但是对于希腊严格的标准失去耐心，一种粗糙的计算方法开始使用.如开普勒在计算求圆的面积时，把圆看成无数个小三角形，这种情况下圆周上的短弧成了三角形的底，半径是三角形的高，但实际上需要做到这一点时三角形要缩成一条线才可以，所以当时的方法粗糙不严谨.到17世纪中叶，牛顿提出使用时间无穷小瞬为计算基础的流数，从而发现并应用了微积分基本定理，《流数简论》标志着微积分算法的诞生，但是这个无限小增量“瞬”被看成了静止的无穷小量，当略去带0的项时相当于直截了当地令其为零了，这种观点在概念上是含糊的，在逻辑上也是不严谨的.此后，以贝克莱为首的很多人对流数的叙述“模糊不清”进行了指责，最终导致了数学史上的第二次数学危机.[3]

从18世纪开始，法国数学家达朗贝尔就提出把极限理论作为分析的基础，经过了一个多世纪，通过达朗贝尔、拉格朗日、卡诺、泰勒、贝努利家族、欧拉等几代科学家的努力，微积分获得了飞速发展，在18世纪达到了空前灿烂的程度.数学分析与代数、几何并列成为数学的三大学科，18世纪也被称为“分析时代”.

到了19世纪，波尔查诺、柯西和维尔斯特拉斯等数学家在极限基础上建立了严格的数学分析体系，通过澄清极限、函数、连续、导数等概念，彻底排除了在微积分过程中涌现出的各种争议，使分析达到了完美的程度.从此，建立在牢固的极限基础之上的微积分理论使第二次数学危机宣告解决.

三、极限的求解方法

极限思想贯穿了数学分析的整个过程，本文就极限的重要求解方法进行汇总举例.

（一）利用函数极限的运算法则

对于大部分函数的极限，一般情况下首先想到的是，是否可用函数极限的运算法则来计算，法则本身简单易懂，而在使用的时候可以对原函数进行通分、分解、替换等方式进行恒等变换或化简，以使得新函数可以采用极限运算法则进行计算.

在数学分析求导的过程当中，我们主要对幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数依据导数的定义来求导，而这几类函数大部分都是使用这两个重要极限来帮助计算的，尤其在推导三角函数和指数函数的导数过程当中起到了至关重要的作用，利用这些结果可通过函数运算法则、复合函数的求导法则来求出全部初等函数的导数.而积分又是微分的逆运算，依靠这些导数可以推出大量函数的积分.因此，这两个极限是微积分的基础，在整个微积分中起到了桥梁般的作用，所以解题过程中很多函数的极限可以用此方式来求解.

洛必达法则的好处就是在同一算式的计算当中，如果满足洛必达法则的使用条件，则在极限的求解过程中可多次使用，同时在使用过程中要慎重考虑法则条件中导数的存在性.在实际应用当中该法则的使用频率也较高，是函数求极限的重要工具，上文中所讲的两个重要极限的求解也可以由该法则来推导得出.

四、小结

函数的连续、函数的求导、函数的积分等等都与极限的概念不可分割，如果要掌握好高等数学必须要掌握好对极限的理解.本文只是列举出几种常用的方法，在解题过程中还有其他的方法可以使用，在此不再一一列举.而在函数的求解过程当中，解题的方法可能不止一个，我们可以选择适当的方式来处理极限的求解.在学习的过程中我们不能机械地照搬，需要不断地进行总结、分析，不断地完善知识的理论与结构，才能在解题的过程中有所发现，有所创新.

【参考文献】

[1]理查德・曼凯维奇，著.数学的故事[M].冯速，译.海口：海南出版社，2001：196.

第6篇：数学建模穷举法范文

美国也有穷人

去美国访问，从东岸走到西岸，从大都会走到小城市，见识了富足繁华，也遇到不少无家可归者在破毯子烂棉衣的包围下，瑟瑟蜷坐，看了让人万分不忍。

这种景观，是美国社会问题的一个缩影。美国无疑是世界上最富有的国家之一，但用美国2005年划定的贫困标准（单身年收入低于9570美元；两口之家低于12830美元；三口之家低于16090美元；四口之家低于19350美元；五口之家低于22610美元）来衡量，它的穷人仍不算少，达3500万人；其中300万人无家可归。

市场经济国家都会有贫富分化，穷人问题都会是一个不容忽视的社会问题。从这个角度来考察，美国的穷人问题倒也不难理解。何况，美国的穷人问题，不完全是美国社会自身的问题。美国是世界上非法移民最多的国家，80年代美国有过一次大赦，270万非法移民因为此番大赦全部取得了合法身份。但仅仅20年过去，美国的非法移民竟从零起步，猛增到了现在的1200万，是大赦当年的四倍还多。来自世界各地的数量如此巨大的非法移民，几乎全部是穷人。

这就是说，只要市场经济体制不变，只要世界经济发展不平衡的格局不变，美国就不免始终为穷人问题所困扰。

美国的穷人，不是生活质量意义上的穷人。

提到美国穷人，我们通常称他们生活在贫困线以下，这样的表述其实是不准确的。美国人自己所说的穷人，主要以收入为标准，收入低就是穷人。而收入和实际的生活质量，二者未必是正相关，我们却简单地把收入水准和生活质量划了等号。

我在美国遇到几个朋友，都是十多年前从大陆移民美国的高级知识分子，个人年收入都在十万美元以上，开奔驰车，住独立别墅，属于典型的中产阶级。但他们仍然对美国很多牢骚。一个女学者就抱怨说，她每个月能拿到的实际工资，只有名义工资的四分之三，还有四分之一被政府的税收拿走了。拿去干什么了呢？主要拿去救济穷人了。他们认为美国是富人的天堂，也是穷人的天堂；富人的好日子不用讲；穷人虽然收入少，但收入一旦低于贫困线，社会保障就会应有尽有，他们就可以躺在国家身上过日子，生活质量也不会差到哪去。

美国对穷人以及其他弱势群体的照顾，确实比较周到。

我在美国见到的残疾人和老人，大多骑电瓶助动车独来独往，活力十足。这是因为在几乎所有细节上，对残疾人和老人交通上的人性关怀已经十分完备，正常情况下只身一人足以应付局面。所有路口、所有建筑物的出口和入口，都有无障碍通道。公共汽车如果不装置可与路面无缝链接的活动踏板，电梯如果不装置盲人专用按钮，一律不得出厂。诸如此类的人性化措施，为残疾人和老人提供了最大限度的方便，使他们最大限度地享有行动自由，最大限度地接近正常人状态。

这里的无障碍通道，不只具有交通意义，更具有社会学意义。换句话说，它也是欠缺行动能力的那部分特殊人群的生存通道。如果没有这样的通道，生活中的许多扇门无疑将对他们关闭，他们的生存机会、他们的幸福指数将大打折扣。

为不具备相应生存能力的弱者打造相应的生存通道，使他们能够最大限度地融入主流社会，享受正常人的正常生活。美国对老弱病残是如此，对人口数量更为庞大的穷人更是如此。

先说住房。华盛顿唐人街（又称中国城）有座灰红两色建筑，叫“华乐大厦”，纽约黄金地段也有此类建筑，叫“孔子大楼”，都是政府提供的廉租房，住户九成以上是华人。廉租房的照顾对象当然不限于华人。联邦政府规定，只要符合低收入的条件，即两人之家年收入不超过45,350元；三人之家不超过51,050元；四人之家不超过56,700元；五人之家不超过61,250元，均可申请廉租房。申请一旦获准，则不仅房租低于市价，而且只需缴纳不超过家庭收入30%的租金，差额部分可凭住房券向政府兑取现金。

除了对穷人租房颇多关照，如果穷人购房他将享受政府提供的各种购房优惠。比如可申请抵押信贷证书，10年内享受个人所得税的抵免；甚至可以让政府交头款――2003年，布什总统签署了补助无房户买房的法案。根据该法案，凡有能力支付月供款、但没有足够的钱支付头款的美国家庭，均可申请低收入家庭特别资助，政府将为他们交纳头款和办理房屋过户手续的有关费用。这显然是一个需要烧钱的事业。据统计，过去35年中，联邦政府主要用于解决中低收入家庭的住房问题的支出高达1万亿美元，此项费用今后无疑还要节节攀升。

穷人住房补贴已经是一个天文数字，但跟美国的公共医疗开支相比，不过小巫而已。在美国，只要你年满65岁，就可以持有一张“老人证明”；如果你没有职业和足够的财产，还可以持有一张“穷人证明”。持有“老人证明”者，医疗费用可报销80%左右；持有“穷人证明”者，医疗费用可全部报销。1997年，美国又设立了一个儿童保健计划，专门资助低收入家庭的儿童。假若上述三项福利都无缘享有，别急，美国穷人还可以申请其他地方性的免费保险计划。所以，美国的老弱病残穷根本不需要为看病发愁，不管得了什么病，只要还有办法救，无论采用什么医疗手段，医院都会全力抢救，然后帮他们找钱报销。

美国国防费用之高久已为世人诟病。但国防费用其实不是美国最大宗的公共开支。2003年，美国国民医疗总费用达16790亿美元，其中，直接的公共投入就占到46％，共计7723亿美元。这还不包括为医疗保障提供的税收减免。该年度美国国防费用则不过4152亿美元，远低于公共医疗费用。公共医疗虽然耗资甚巨，但美国并无一个全民医疗保障体系，富人和中产阶级很难从中受益，主要是照顾老弱病残穷。

针对老弱病残穷的国内食品援助计划，规模也很浩大。它包括15个子项目，即食品券计划、妇女和婴幼儿营养专项补充计划、农贸市场营养计划、全国学校午餐计划、学校早餐计划、暑假食品服务计划、儿童和成人看护中心食品计划、食用商品补充计划、特别牛奶计划、波多黎各及太平洋诸岛食品援助计划、印地安保留区食品分配计划、营养服务激励计划、营养援助计划、无家可归儿童营养计划，以及紧急食品援助计划、营养教育和培训计划。这些计划总的宗旨，是保证穷人、儿童、母亲、老人获得所需的营养和食品。在布什政府提出的2006年财政预算中，仅食品券计划的预算即高达500亿美元。

此外，还有各种名目的其他福利项目，譬如“残障福利金”，再譬如中小学教育补助、高等教育补助、养老补助、失业补助等等。完善的社会福利制度，覆盖了穷人生活的各个领域。所以，美国的穷人，往往只是收入意义上的穷人，而不是生活质量意义上的穷人。

穷仍能分享经济发展和社会发展的红利，穷仍能得其所哉，所以美国的穷人一般没有强烈的生存压力，没有强烈的尤其是反精英情绪。当然也有一些的暴力事件，但都属于零星个案，不具有普遍意义。美国社会当然为此付出了代价，据统计，社会福利支出已占到联邦政府将近一半的非利息支出，相当于美国GDP的9%。

美国为什么能照顾穷人

社会政策必须以一定的社会条件为前提。美国对穷人的照顾能够实现，无疑是因为美国社会已经具备了相应的社会条件。

“民主能当饭吃吗？”这是一个我们经常遭遇到的质疑。其实历史经验早就告诉我们，对于穷人来说，民主确实能当饭吃，没有民主确实很可能就没有饭吃。

民主的一个重要标竿是选举。选举的主要功能不是选谁当总统，主要是选公共政策。谁的公共政策最大限度地接近最大多数的民意，谁就能赢得选举的最后胜利。

竞争是公共政策进化的主要动力。通过公共政策的竞争，通过不同利益主体的博弈，通过博弈所展现的社会合力，来修正公共政策可能的失当，使公共政策最大限度地趋于客观、平衡和理性。选举则是公共政策展开竞争的一个最成熟的平台。对于穷人来说，选举尤为不可或缺。任何明显剥夺穷人的公共政策，都不仅要失去穷人的选票，而且因为违反道德良知，而要引发强烈的社会义愤，招致来自其他阶级尤其是中产阶级的广泛抵制，选战中大面积地丢城失地就是必然的报应了。

在一个正常的社会中，国民财富的分配大致有三个层次，第一次分配通过市场自由竞争实现。第二次分配主要通过税收实现，政府以税收为基础实现转移支付，使无力从市场中获得起码生存资源的弱者，能从政府提供的转移支付中获益，维持基本生存。第三次分配则是在社会自组织高度发育的基础上，通过志愿者和千姿百态的NGO，实现社会的自我救助。第一次分配主要是实现效率。第二、第三次分配则主要是实现社会公正。现在一个普遍的趋势是，文明水准愈高的国家，第二次分配继续保持其重要性的同时，第三次分配对社会公正的贡献愈来愈大，对穷人的生存状况愈来愈具有决定性意义。

美国的非营利组织，可能是全世界最活跃、最发达的。美国总共三亿人口，各类非营利组织就有160万个，平均不足两百人就有一个。其所支配的国民财富，更是天文数字――年度总费用占美国GDP的9%，几与联邦政府的社会福利开支持平。

美国非营利组织的功能多种多样，救助穷人及其他弱势群体，则是其主要功能。

针对老人的志愿者组织，在美国是五花八门。譬如“轮子上的饭菜”，主要任务是骑着自行车给独居老人送饭。还有一些志愿者组织定期或不定期地探望老人，既掌握他们的健康状况，还可以满足他们的交流需要。服务于盲人和其他残疾人的、服务于囚犯子女的、服务于失业者的、服务于无家可归者的特定的志愿者组织，亦是层出不穷。总的规律是，但凡穷人和其他弱势群体有什么新的需求，很快就会自发产生一个相应的民间组织，为之提供定向服务。

即便在最严格的市场秩序规范下产生的财富分化，也并非天然合理。再严格的规范也不可能绝对公平，自由竞争的胜出者不能把胜出的功劳完全归于一己，而应怀着谦卑之心，怀着对社会、对天地万物的感恩之心，回馈社会，与社会尤其与弱势群体分享财富。穷人必须受到照顾，这早已是发达国家的共识。正是以这样的共识为基础，生长出发达国家一整套的慈善文化、公益文化。而美国的独特性在于，高度发达的第三部门保障了公民社会对慈善事业、公益事业的主导权。即便是公共服务，能社会提供的尽可能让社会来提供，能不让政府做的尽可能不让政府做。也就是说，不仅市场不容政府插手，即便在属于政府天职的公共服务领域，公民也有不选择政府的自由。政府的权力同样是有边界的，这可以说是美国慈善文化、公益文化最大的特色。

第7篇：数学建模穷举法范文

所以查韦斯算得上是当下的一个奇迹。在他治下的委内瑞拉，石油等经济命脉彻底国有化，社会财富几乎完全平均分配，他可以规定玉米必须降价三成因为“要让所有人都吃得开心”，也可以一夜之间查封国内最大的高尔夫球场，因为“这里应该分给穷人耕地”，委内瑞拉的富人们在密谋暗杀他，而那里的穷人们的一句口号是，“查韦斯是代表穷人来统治的总统”。

查韦斯到底何德何能？

国家改革的暴风骤雨

查韦斯政治生涯的第一桶金，是靠赚来的。在前总统佩雷斯治下，委内瑞拉经济低迷，民众反对声浪高涨。查韦斯在1992年2月4日带领5个营的武装部队攻击首都加拉加斯。迅速失败，查韦斯也被判刑，然而经此一役，他成为众多委内瑞拉人眼中“反抗贪腐、心系穷人”的英雄。

因此，当他出狱后组新党参加大选时，普通民众的支持如排山倒海，将他拱上了总统大位。也因此，当选总统后，他有了足够的底气，掀起国家改革的暴风骤雨。

查韦斯的诸多政策超越常理范畴。比如他以行政命令的方式要求建立平价市场，以平均低于市场30%的价格出售食品及日用品；比如他认为入学考试制度导致部分年青学生丧失接受高等教育的机会，不仅命令取消高校入学考试，甚至还取消了学生在高校学习期间的所有考试。

类似的政策在世界上出现，或许还要追溯到1960年代的中国，然而，查韦斯的这些政策，是在民主的政体框架内实现的，民粹的力量究竟能在一国内做成多少匪夷所思的事情，由此可见一斑。

1999年上台之初，他即推出《反贫穷法案》，简而言之，其实质就是要通过国家机器强制下的再分配，将国内富人的财产均分给穷人。这遭到反对派议员的全力阻挠，而查韦斯的反击是：在自己就任总统仅一个月后就再次举行大选，并同时就他个人意志主导下的新宪法举行全民公投。

根据新宪法，总统可以连选连任，还有权解散“国民议会”，甚至国名，也按照查韦斯的意志，被改为“委内瑞拉玻利瓦尔共和国”。穷人对查韦斯的支持再次展现了决定性力量。新选举中，查韦斯领导的联盟政党赢得了国民议会131个议席中的120个，72%的公民投票支持新宪法。

在民众的欢呼中，查韦斯开始了对自己国家的更大规模改造。他在一条查韦斯特色的道路上如鱼得水：将贫民的支持转化为推行政策的核心助力，在政策推行的同时，进一步满足贫民所需，从而进一步紧密两者的同盟关系。比如此前对他的最大的反对力量之一是司法系统，他就通过国民议会建立了一个“紧急司法委员会”，该委员会无须与任何其他机构协商，即可免除法官职位。三个月时间里，超过190名法官被停职。广大贫民对此纷纷叫好，因为法官们被指控的罪名是“贪污”。

“玻利瓦尔主义联盟”的核心

2010年4月，查韦斯公布了他的Twitter帐号，3个月内收到28.8万条求助信息。他责成一个政府机构小组专责处理这些求助。

这是他整体政策的重要组成部分，让众多极端贫困的穷人相信，委内瑞拉式的腐败资本主义就是导致他们受苦受累的罪魁祸首，而查韦斯“意味着解放，意味着希望”，甚至有评论说，“查韦斯正在报复那个以前从来不关心穷人的资本主义社会”。

某种程度上说，“不关心穷人”恰恰是整个拉美政治进程的核心驱动力。

1980年代末东欧剧变、苏联解体使世界社会主义运动转入低潮，新自由主义在拉美地区大行其道，对拉美摆脱1980年代严重的经济危机起了不可低估的作用。然而，在缺乏稳固的社会分配机制下强调市场经济、在缺乏有效制衡机制下强调民主制度，其副作用之一，就是政治和经济的极端自由化。

新自由主义运动开展10年后，拉美成为了世界上贫富差距最大、社会最不公正的地区之一。据统计，1980年-1990年，拉美地区经济年均增长率仅为1.2%，被称为“失去的10年”；1991年-2000年也只有3.2%，不及1950年-1980年年均增长率的60%。1990年，拉美贫困人口占总人口的比重达到创历史纪录的48.3%，基尼系数大大超出0.4的国际标准“警戒线”。

这样的情形下，社会矛盾激化，下层要求改变现状、争取自身权益的呼声不断增强，进而导致政治取向激进化。而这些，恰恰构成了拉美左翼或中左翼政党最坚实的选民基础。

历史总是充满各种有趣的因果。1970年代之前，拉美国家同样存在左、右轮替。但彼时，左翼政党一旦当政，由美国支持的右翼军人就会通过将其。然而经过1980年代的新自由主义运动后，民主制度初步在拉美得以确立，以至于当左翼再次依靠底层民众一人一票的支持而当政、并大张旗鼓地推行社会改造工程时，其国内右翼力量发现，自己已经没有反制的手段了。

还在大学读书时，尽管没能顺利毕业，但查韦斯和几名伙伴构思了一种左翼民族主义理论，称之为“玻利瓦尔主义”，灵感是来自19世纪的委内瑞拉革命家西蒙·玻利瓦尔。在他当政10年后，包括古巴领导人卡斯特罗、巴西总统卢拉、玻利维亚的古柯农组织领袖莫拉莱斯、尼加拉瓜桑蒂诺民族解放阵线的奥尔特加等人在内，拉美国家的左翼力量已经形成广泛联盟，而查韦斯本人，更是成为了这个“玻利瓦尔主义联盟”的核心。

“21世纪社会主义”

查韦斯给他的施政纲领起了一个响亮的名字：21世纪社会主义。要判别他的各种出格举动哪些出于本性，哪些是政治表演，并不容易。

从自由市场经济已经建立起的繁荣中，他无所顾忌地摘取成果。在执政五年之内，他单方面终止了与世界上主要石油跨国企业的合作，将油田和炼油厂收归国有。他手中有国家的经济命脉，有对军队的绝对掌控，这使他能推行准社会主义的收入重新分配和社会福利计划。而这些，反过来又让他进一步得到民众的拥戴，在名为民主实为民粹的政体下，这已经足以让他立于不败之地。

查韦斯的社会改造是宏大的。2003年7月，他展开了“鲁宾逊计划”，为超过150万名委内瑞拉成年文盲扫盲。2003年底展开“苏克雷计划”，为200万名没有完成基本教育的成年人提供免费高等教育。接下来的几年中，大型农场被收归国有，重新分配闲置土地给穷人，实行“集体所有制”。他在2007年下令所有企业职工每周至少上4小时马克思主义理论课。

社会上层精英中的大多数人选择了远走他乡。据英国《泰晤士报》报道，每天凌晨，在美国、澳大利亚、西班牙和葡萄牙驻委内瑞拉使领馆的门前，都能见到申请签证的长队。

第8篇：数学建模穷举法范文

关键词：c语言；编程规范；零缺陷；测试

c语言简单、易用，是许多编程爱好者的首选语言。但由于c语言的语法不是很严格，许多程序设计者在编程过程中会遇到许多错误，在程序设计方法上，国外有许多学者对程序零缺陷程序设计提出了自已的观点和方法。如美国管理学家philipb。croby的“零缺陷”思想引进来，用以提高编程的质量，增大软件中的验证力度。ibm公司70年代末和80年代初提出的“净室软件工程”（clean room software engineering），“净室”一词源于精密半导体器件中的无尘生产车间，它强调在生产过程中就消除问题，而不是在产品生产以后，才依靠检测来挑选有问题的产品。传统的软件工程建模、形式化方法、程序验证(正确性证明)、以及统计sqa的集成使用已经组合成一种可以导致极高质量软件的技术。净室软件工程(cleanroom software engineering)是一种在软件开发过程中强调在软件中建立正确性的需要的方法。本文通过建立良好的c语言的编程风格，避免出现常见的错误，并通过净室过程的方法来提高c语言编程的效率。

1 良好的编程风格

良好的编程风格可以在许多方面帮助开发人员。如果你阅读过 linux 内核源代码的话，可能会对程序的优美编排所倾倒。良好的编程风格可以增加代码的可读性，并帮助你理清头绪。如果程序非常杂乱，大概看一眼就该让你晕头转向了。编程风格最能体现一个程序员的综合素质。

许多人可能对 windows 所推崇的匈牙利命名法很熟悉。这种方法定义了非常复杂的函 数、变量、类型等的命名方法，典型的命名方法是采用大小写混写的方式，对于变量名称，则采用添加前缀的办法来表示其类型，例如:

char szbuffer[20];

int ncount;

利用 sz 和 n 分别代表字符串和整数。为了表示一个变量名称，采用如下的变量名称是可能的：

int ithisisaverylongvariable;

在 linux 中，我们经常看到的是定义非常简单的函数接口和变量名称。在 linux 内核的源代码中，可以看到 linux 内核源代码的编码风格说明。unix 系统的一个特点是设计精巧，并遵守积木式原则。c 语言最初来自 unix操作系统，与 unix 的设计原则一样， c 语言被广泛认可和使用的一个重要原因是它的灵活性以及简洁性。因此，在利用 c 语言编写程序时，始终应当符合其简洁的设计原则，而不应当使用非常复杂的变量命名方法。c 语言编程代码格式要点如下：

缩进时，使用长度为 8 个字符宽的 tab 键。如果程序的缩进超过 3 级，则应考虑重新设计程序。

大括号的位置。除函数的定义体外，应当将左大括号放在行尾，而将右大括号放在行首 。函数的定义体应将左右大括号放在行首。对变量名，不赞成使用大小写混写的形式，但鼓励使用描述性的名称；尽可能不使用全局变量；不采用匈牙利命名法表示变量的类型；采用短小精悍的名称表示局部变量；保持函数短小，从而避免使用过多的局部变量。保持函数短小精悍。不应过分强调注释的作用，应尽量采用好的编码风格而不是添加过多的注释。函数函数应该短小而迷人，而且它只作一件事情，并且只作一件事情，而且将它做好。一个函数的最大长度和函数的复杂程度以及缩进大小成反比。于是，如果你已经写了简单但长度较长的的函数，而且你已经对不同的情况做了很多很小的事情，写一个更长一点的函数也是无所谓的。然而，假如你要写一个很复杂的函数，而且你已经估计到假如一般人读这个函数，他可能都不知道这个函数在说些什么，这个时候，使用具有描述性名字的有帮助的函数。另外一个需要考虑的是局部变量的数量。他们不应该超过5-10个，否则你有可能会出错。重新考虑这个函数，将他们分割成更小的函数。

注释是一件很好的事情，但是过多的注释也是危险的，不要试图区解释你的代码是注释如何如何的好，你应该将代码写得更好，而不是花费大量的时间去解释那些糟糕的代码。

2 c语言中容易出现的问题

c语言由于语法检查不是很严格，所以程序的编写过程中它会出现一些你意想不到的问题。下面举一些简单的例子来说明这一点。

2.1 赋值语句与比较语句容易出现混淆

我们举一个简单的例子：

如果x等于y，则打印。我们有时候会写成

(x=y) printf();

这实际上把比较语句和赋值语句混淆起来了，真正的语句应该写成这样

(x==y) printf();

2.2 逻辑与（&&）和二进制与（&）运算之间的区别

逻辑运算，就是“布尔代数”意义上的运算。运算结果只有两种情况，0和非0，即false与true。从中可以建立起一种判断逻辑表达式是否为“真”的语句。而按位运算，则是二进制意义上的运算。

如(11)十进制=(1011)二进制

(5)十进制=(0101)二进制

则11 & 5为

1011

&0101

=(0001)二进制=(1)十进制

逻辑或（||）和二进制或（|）运算与上述相同。

2.3 自加或自减

简单的来说，++i 和 i++，在单独使用时，就是 i=i+1。

而 a = ++i，相当于 i=i+1; a = i;

而 a = i++，相当于 a = i; i=i+1;

i++ 是先赋值后加减，++i 是先加减后赋值。所以我们在使用自加或自减进行赋值时，一定要注意变量使用的先后次序。

c语言编程时的注意事项还有很多，这里由于篇幅的原因就不再一一列举了。

3 “净室”化的程序设计方法

净室(cleanroom，无尘室或洁净室)是指一个具有低污染水平的环境，这里所指的污染来源有灰尘、空气传播的微生物、悬浮颗粒和化学挥发性气体。更准确地讲，一个净室具有一个受控的污染级别，污染级别可用每立方米的颗粒数，或者用最大颗粒大小来厘定的。净室被广泛地应用在对环境污染特别敏感的行业，例如半导体生产、生化技术、生物技术等。我们这里为了提高软件编程的水平引入了净室软件工程的方法，总体说来是采用传统的软件工程建模、形式化方法、程序验证(正确性证明)以及统计sqa的集成使用已经组合成一种可以导致极高质量软件的技术。净室软件工程(cleanroom software engineering)是一种在软件开发过程中强调在软件中建立正确性的需要的方法用来代替传统的分析、设计、编码、测试和调试周期。净室软件工程的哲学是：通过在第一次正确地书写代码增量并在测试前验证它们的正确性来避免对成本很高的错误消除过程的依赖。它的过程模型是在代码增量积聚到系统的过程的同时进行代码增量的统计质量验证。净室方法在很多方面将软件工程提升到另一个层次。

净室过程强调在规约和设计上的严格性，以及使用基于数学的正确性证明来对结果设计模型的每个元素进行形式化验证。作为对形式化方法中采用的方法的扩展，净室方法还强调统计质量控制技术，包括基于客户对软件预期的使用的测试。当现实世界中软件失败时，则充满了立即的和长期的危险。这些危险可能和人的安全、经济损失、或业务和社会基础设施的有效运作相关。净室软件工程是一个过程模型，它在可能产生严重的危险前消除错误。

净室方法使用增量软件模型的一个专门版本。一个“软件增量的流水线”被若干小的、独立的软件工程小组开发，一旦每个增量被认证通过，它将被集成为一个整体。因此，系统的功能随时间增加。开发一个采用增量策略的项目计划，建立每个增量的功能、它的项目大小、以及净室开发进度表。必须特别小心以保证通过认证的增量将被定时集成。使用一个运用盒结构的规约方法来描述功能规约。盒结构“在每一个精化级别上分离和分开行为、数据及过程的创造性定义”。使用盒结构方法，净室设计是规约的自然的无缝的扩展。

4 严密的测试方法

净室过程的测试方法描述通过箱式结构和统计质量验证（statistical quality certification）箱式结构来完成的。它是通过形式化方法来保证证软件是完美无缺陷的。它是将程序的初始状态、运行状态和结果以状态图的形式表出，它能够很严格发现程序运行中出现的问题。在程序完成后进行测试，其主要是测试质量，次要目的是发现那些在验证中没有被发现的缺陷。这种程序验证由程序员本人完成是不够的，应该由小组成员在验证回顾会议上进行验证。合理的验证小组成员3-8人，特别是新程序员要参加讨论，主持者最重要的任务是使团队的每一个成员都理解验证每一步并同意其正确性。

验证的主要目的是：

a 是否程序做了不合理的假设；

b 是忘记了编程语言中的某些细节；

c 是否忽略了某些程序逻辑中的可疑部分。

通过这种方式用全新的眼光来看待工作，他们常常会提出自己发现不了的问题。

验证的方式上可以采用“黑盒”、“ 白盒”或“灰盒”的检查模式。

黑盒测试也称功能测试或数据驱动测试，它是在已知产品所应具有的功能，通过测试来检测每个功能是否都能正常使用，在测试时，把程序看作一个不能打开的黑盆子，在完全不考虑程序内部结构和内部特性的情况下，测试者在程序接口进行测试，它只检查程序功能是否按照需求规格说明书的规定正常使用，程序是否能适当地接收输入数锯而产生正确的输出信息，并且保持外部信息（如数据库或文件）的完整性。

黑盒测试方法主要有等价类划分、边值分析、因—果图、错误推测等，主要用于软件确认测试。“黑盒”法着眼于程序外部结构、不考虑内部逻辑结构、针对软件界面和软件功能进行测试。“黑盒”法是穷举输入测试，只有把所有可能的输入都作为测试情况使用，才能以这种方法查出程序中所有的错误。实际上测试情况有无穷多个，人们不仅要测试所有合法的输入，而且还要对那些不合法但是可能的输入进行测试。

白盒测试也称结构测试或逻辑驱动测试，它是知道产品内部工作过程，可通过测试来检测产品内部动作是否按照规格说明书的规定正常进行，按照程序内部的结构测试程序，检验程序中的每条通路是否都有能按预定要求正确工作，而不顾它的功能，白盒测试的主要方法有逻辑驱动、基路测试等，主要用于软件验证。 “白盒”法全面了解程序内部逻辑结构、对所有逻辑路径进行测试。“白盒”法是穷举路径测试。在使用这一方案时，测试者必须检查程序的内部结构，从检查程序的逻辑着手，得出测试数据。贯穿程序的独立路径数是天文数字。但即使每条路径都测试了仍然可能有错误。第一，穷举路径测试决不能查出程序违反了设计规范，即程序本身是个错误的程序。第二，穷举路径测试不可能查出程序中因遗漏路径而出错。第三，穷举路径测试可能发现不了一些与数据相关的错误。

灰盒测试，是介于二者之间的。灰盒测试关注输出对于输入的正确性，同时也关注内部表现，但这种关注不象白盒那样详细、完整，只是通过一些表征性的现象、事件、标志来判断内部的运行状态，有时候输出是正确的，但内部其实已经错误了，这种情况非常多，如果每次都通过白盒测试来操作，效率会很低，因此需要采取这样的一种灰盒的方法。灰盒测试结合了白盒测试盒黑盒测试的要素。它考虑了用户端、特定的系统知识和操作环境。它在系统组件的协同性环境中评价应用软件的设计。灰盒测试由方法和工具组成，这些方法和工具取材于应用程序的内部知识盒与之交互的环境，能够用于黑盒测试以增强测试效率、错误发现和错误分析的效率。

在程序测试阶段可根据实际情况选择不同的具体的测试方法。

5 总结

本文通过c语言编程中的编程规范、易出错的地方和用净室的方法来提高c语言的编程质量，提高软件开发的效率。净室方法是一种理论性强的编程方法，严格按照此方法进行编程是很多程序员难以达到的，本文将这种方法用以提高c语言编程质量是一种尝试，供广大编程爱好者借鉴。

参考文献

[1]斯蒂夫里.零缺陷程序设计[m].夏昕,王尧,译.北京：机械工业出版社，2003.

[2]佩腾.软件测试[m].张小松,等译.北京：机械工业出版社，2006.

第9篇：数学建模穷举法范文

启发式教学是一种影响广泛且历久弥新的教育理念．针对高等几何教学过程中存在的问题，初步探讨了如何在高等几何教学中的备课、课堂教学及课后等各个环节合理有效地应用启发式教学．

关键词：

启发式教学；高等几何；射影几何；二次曲线

启发式教学是教师在教学中根据学生学习过程的客观规律，以启发学生的思维为核心，有效地调动学生学习的主动性与积极性，促使他们学习的一种教学指导思想．它是一种古老的教学思想．我国的大教育家、思想家孔子早在春秋战国时期就提出了“不愤不启，不悱不发．举一隅不以三隅反，则不复也”，言简意赅地揭示了启发式教学的观点．而思想家苏格拉底在古希腊时期创立的“产婆术”开启了西方启发式教学的先河．随着现代科学技术的进步和教学经验的积累，启发式教学也不断地丰富和发展，在当前的教学领域中仍具有极强的优越性．这种教学模式的好处是［1］：（1）有利于激发学生的学习兴趣．兴趣是最好的老师，当教师在教学中采用启发式教学法时，可有意寻找一些既能结合所学知识又使学生感兴趣的问题来启发和引导学生，从而促使学生主动学习，积极思考．（2）有利于培养学生解决问题的能力．启发式教学作为一种教学思想，其目的是通过引导、启发学生的思维，让他们独立运用所学的知识与方法去解决学习过程中遇到的问题，逐步培养与提高学生分析问题和解决问题的能力．（3）有利于形成融洽的师生沟通氛围．与传统的“灌输式”教学方法不同，启发式教学法可以根据教学内容和学生的实际情况，在教学过程中进行类比联想、比喻联想和研究争论，教师和学生还可以进行互相启发、互相影响的良性互动．高等几何是初等几何的进一步深化，被各大综合高校，尤其是师范院校的数学专业列为重要的基础课之一．但该课程涉及的知识面较广，内容庞杂且难懂，因此其“难说难教”之说由来已久．启发式教学能培养学生对高等几何的学习兴趣，建立抽象思维模式，提高学生学习的主动性与积极性，进而提高学生的学习能力，这样能使该课程易学易懂．基于此，本文将从高等几何目前教学中所存在的问题出发，初步探讨在高等几何教学中的备课、课堂教学及课后等各个环节如何合理有效地应用启发式教学．

1高等几何教学中存在的一些问题

几何是对空间进行描述的一种有效工具，是数学中最为直观、具体且与现实生活最为贴近的一门学科．高等几何课程中蕴含着丰富的数学知识、思想与方法，是几何发展过程中最富特色的部分，主要组成内容是欧氏几何理论、仿射几何理论、射影几何理论以及非欧几何理论，且变换群观点和公理化思想纵横贯穿其中，在我国师范院校数学专业课程中处于基础地位［2］．掌握好高等几何的内容对培养学生的几何空间想象能力，提高学生的数学创新思维能力起着重要的作用．但由于高等几何不同于传统的欧氏几何，具有自身的抽象性，因此不易理解．此外，由于近年来的课程改革减少了教学课时，再加上教师和学生方面的主客观原因等让高等几何的教学面临很多问题［3］．

1．1根深蒂固的欧氏几何思维

欧氏几何是直观的，而高等几何主要研究的射影几何理论引入了理想元素（或称无穷远元素）与复元素，使射影几何从直观进入到抽象．如在射影几何里两条平行线相交于无穷远处（称为无穷远点），而无穷远点的轨迹是一条无穷远直线，且在射影变换下不保持线段的长度与角度的大小等度量性质，这些与传统的欧氏几何理论是非常不同的．这对于从小学到高中都在学习欧氏几何知识，形成了较为固定的欧氏几何思维模式的学生来说一时难以适应．

1．2教学进度快、

“授之以鱼”教学法及知识结构不完整高等几何课程内容丰富、抽象，在有限的课时限制下，多数教师为完成教学任务只有采用“满堂灌”教学法，“授之以鱼”，很少让学生在课堂上进行讨论，这样导致师生间缺少交流，学生少有时间主动思考，只能被动接受，导致教学分离．此外，由于课时较少，教学进度很快，许多蕴含启发性思想的定理也往往一带而过，如帕斯卡定理与其对偶定理———布利安桑定理的特殊情形，它们虽易于理解却不易证明，这些特殊情形的证明不仅蕴含着射影几何的核心思想，而且有利于学生更清楚地理解二次曲线理论．最为困扰的是高等几何中有些核心内容讲不完，甚至完全没时间讲，这使得学生对高等几何的认识理解不全面，导致知识结构不完整，这不利于学生奠定基础，形成完善的数学知识系统与建构数学思想．

1．3忽视与中学几何的联系

高等几何与中学几何联系非常密切．中学几何学习的内容是欧氏几何，研究的问题往往比较直观，但其是所有几何的基础．中学几何中的概念与处理问题的技巧对高等几何的学习影响深远．高等几何虽然比较抽象，但内容和方法往往可以从中学几何中找到根源，是中学几何的深化，如无中学几何，高等几何就是空中楼阁，无从谈起．然而，教师在授课过程中很少由中学几何一步步引申到高等几何，以及将高等几何中的某些结论在特殊情形下导出中学几何中的经典结论．这种只专注高等几何知识的系统性、严谨性，而忽视与中学几何联系的教学方法使得高等几何成为无水之源，无木之本，不利于学生建构数学知识体系，尤其为师范专业的学生在以后的教学过程中犯绝对化的错误埋下了隐患．

1．4重知识，轻思想

传统的教学模式仅按照“公理、定义、定理、证明”的步骤去推理演绎，而对于概念的形成、定理的发现、公式的美妙之处以及理论的艰难发展过程往往只字不提，对课程中蕴涵的数学思想最多仅是一带而过，更不会采用启发式的方法教学，这使得课堂往往枯燥乏味，学生难于理解，只能死记硬背，慢慢地可能对这门课丧失兴趣，甚至厌恶．同时也不利于教师在教学过程中渗透数学思想，建构有效课堂．

2具体教学策略

针对当前高等几何教学过程中出现的问题，我们以启发式教学理念为指导，从以下教学环节提出一些改进策略，尝试以此来提高教学质量．

2．1备课中体现启发式教学

能够有效利用启发式教学的前提之一是在备课中体现启发式教学．故备课中不仅要求教师非常熟悉教学内容，而且还要较好地了解学生的特点．因为每节课的教学内容是确定的，而学生基础有好坏之异，接受能力有快慢之别．教师应掌握这些具体情况，准确预料到在授课过程中哪些知识点是学生不易理解的，才能围绕教学目的做到恰到好处地对学生激发疑问、启发诱导、促其深思，这样才能在教学过程中完美地利用启发式教学．在此过程中学生也将感受到不同程度的学有所获，并体会到学习的乐趣

2．2课堂中体现启发式教学

实施启发式教学成败的关键在于课堂教学，而启发式教学成功的关键是想方设法让学生积极主动地思考学习．启发式提问是最富有成效的方法之一，它要求教师根据学生的知识贮备精心设计难度适宜的有启发性的问题，进行由浅入深、由易到难的提问．以达到让学生“乐学、会学”的目的．同时还可渗入故事启发、直观启发、类比启发等不同的启发方式进行教学．在此笔者以在高等几何教学过程中的实例来具体阐述如何在课堂中应用启发式教学方法．（I）为了消除学生对高等几何这门课枯燥乏味与难教难学的根深蒂固的误解，教师在课堂教学中可以多介绍一些这门学科的有趣发展历史及美之所在．如射影几何如何为绘画艺术提供理论支撑，及把对射影几何发展做出突出贡献的笛沙格、帕斯卡、彭赛列、蒙日等人物的传奇故事串讲在课堂中，这会使得课堂更加生动有趣，激发学生的学习兴趣．（II）一般情况下，教师在讲射影几何中著名的帕斯卡定理与其对偶定理———布利安桑定理［4］时，先给出定理，再画出图形，然后开始证明定理，少让学生参与其中．但如果让学生自己画一些特殊的图形感受一下这两个定理的奥妙，不但让学生印象深刻，而且教学过程也会事半功倍．（III）二次曲线理论是高等几何中研究的重点，是中学圆锥曲线的深化．按照代数中根的判定定理容易判断非退化的二次曲线与无穷远直线有3种位置关系，分别称为椭圆、抛物线与双曲线，其几何图形依次分别为图1中的c1，c2（与无穷远直线l∞相切）与c3（与无穷远直线l∞有两个不同交点）［5］．但这种方法虽然易于解释，却不易理解图形为何如此，笔者发现众多学生仍不明白为何抛物线与双曲线会形如图1中的c2与c3，这是因长期以来受中学几何中欧氏圆锥曲线图形的束缚，我们这里仅给出双曲线的几何解释．图2中的（a）为我们熟知的双曲线标准图形，设直线l1与l2为该双曲线的两条渐近线，在拓广平面中，双曲线与其渐近线相交于无穷远点，如图2中的（b）所示，设双曲线的左上支与l1相交于无穷远点P∞，而双曲线的右下支与l1也相交于无穷远点，又因一条直线只有一个无穷远点，故以上两无穷远点实为一点，即l1的无穷远点P∞．这说明双曲线的左上支与右下支通过无穷远点连在一起，可以进一步形象地理解为双曲线的左上支一直向上走会碰到无穷远点P∞，通过P∞继续向前走即为双曲线的右下支．同理，双曲线的左下支也与右上支通过无穷远点Q∞连在一起．这时就可理解为何双曲线是形如图1中c3的封闭曲线了．（IV）此外，教师还可以积极利用现代化的教学手段进行启发式教学，如利用多媒体课件给学生展示具体的图示、模型、动画演示等直感性很强的示例，给学生强烈的感官冲击，以此对学生进行直观性启发，以便让学生能更好地理解学习材料，进而让学生感受射影几何的神奇与美妙．

2．3课后体现启发式教学

启发式教学要求教师应该在课后精挑细选一些具有启发性的习题让学生巩固所学内容，避免对知识点机械重复．教师在批改作业时也要对学生进行正确的启发引导，借此进一步培养学生独立分析问题与解决问题的能力，最大程度地调动学生学习的积极性与主动性．

3总结

高等几何课程不仅仅让学生系统地学习完整的几何公理体系及处理相关问题的技巧，更为重要的是培养学生的数学思维方式及空间想象能力，逐步形成良好的数学素养．启发式教学能有效地激发学生学习的兴趣，充分调动学生的主动性与积极性，逐步提高分析问题与解决问题的能力，同时提高教学质量与效果．故启发式教学是一种非常值得尝试的教学方法．

参考文献：

［1］韩龙淑，王新兵．数学启发式教学的基本特征［J］．数学教育学报，2009，18（6）：6－9．

［2］王继顺，周明旺．基于建构主义理论的高等几何教学研究［J］．中国科教创新导刊，2008（3）：104－105．

［3］李雪珊．基于建构主义理论的教学策略初探———以《高等数学》课程教学为例［J］．西南师范大学学报（自然科学版），2014，39（2）：152－155．

［4］梅向明，刘增贤，王汇淳，等．高等几何［M］．2版．北京：高等教育出版社，2000．