数学建模鲁棒性分析精选(九篇)

第1篇：数学建模鲁棒性分析范文

（1.中国电子科技集团公司第二十七研究所，河南郑州450047；2.郑州大学西亚斯国际学院，河南郑州450000）

摘要：按照Tornambe型非线性鲁棒控制器设计方法，基于某型无人直升机侧向运动数学模型，设计了该型无人直升机侧向飞行姿态保持分散非线性控制系统，该控制系统包含的积分环节补偿了系统内部各种未知因素及外部扰动，通道间解耦效果良好。仿真结果与PID 控制相比较，具有很强的抗扰动能力。

关键词 ：非线性鲁棒控制；直升机控制系统；鲁棒性；控制器

中图分类号：TN108+.4 ?34 文献标识码：A 文章编号：1004?373X（2015）13?0098?03

收稿日期：2015?01?28

0 引言

直升机作为一个非线性、多变量、强耦合不稳定对象，其控制问题一直以来都受到业内普遍关注。直升机因其固有的复杂气动特性等问题，难以对其精确建模，并且其运行环境复杂多变，飞行模态各异，很大程度上加大了控制器设计的难度。

近年来，各种古典或是现代控制算法在直升机特别是无人直升机飞行控制器中得以有效应用。以目前直升机飞控中研究较多的H∞ 鲁棒控制为例，文献[1]以UH?60A 黑鹰直升机前飞情况下的28 阶线性方程为标称模型，利用H∞ 回路成型技术设计了直升机双回路飞行控制系统，获得了良好的通道间解耦效果。在计算机仿真基础上按照ADS233E 标准对飞行性能进行了评估。文献[2]介绍了直升机定点悬停状态下鲁棒控制器的设计方法，以伺服补偿器和镇定补偿器为重点进行详细叙述，并通过仿真验证了直升机悬停鲁棒控制的有效性。文献[3]将经典控制理论结合H∞ 回路成型法，给出直升机飞控系统内回路工程设计的具体策略。通过仿真验证了设计策略的有效性。文献[4]在Bell205直升机非线性模型基础上进行线性化，然后基于线性化后的数学模型设计H∞ 鲁棒控制器，最后通过仿真及实际飞行测试验证了鲁棒控制器的有效性，满足旋翼机驾驶品质要求ADS233。除H∞ 鲁棒控制算法之外，基于H∞ 鲁棒控制理论并密切结合控制工程实际提出的定量反馈理论，以及非线性控制领域中涉及较多的动态逆等控制算法均在直升机特别是无人直升机飞控中得以应用。

鉴于无人直升机难以精确建模等实际问题，如何寻求一种不依赖被控对象精确数学模型，并且具有较强抗干扰能力的控制算法成为关键。本文将Tornambe型非线性鲁棒控制器引入到无人直升机飞行控制器设计中，Tornambe型非线性鲁棒控制器具有不依赖被控对象精确数学模型，强鲁棒性，并且参数整定方便快捷等优点。仿真结果表明，该Tornambe 型非线性鲁棒控制器可以较好地解决通道间解耦问题，并且在具有较强外部扰动情况下依然具有良好的控制品质。

1 Tornambe 型非线性鲁棒控制器

Tornambe 型非线性鲁棒控制器由意大利学者A.Tornambe首先提出。A.Tornambe在其论文中详细论述了Tornambe 型非线性控制器的设计，并同时对其稳定性进行了证明[5?6]。该控制器不依赖精确的被控对象模型，其内部所包含的积分环节可以补偿系统各种未知因素的干扰，具有很强的鲁棒性。

Tornambe型非线性控制器考虑系统状态变量的不可测、对象模型的不确定性和系统外部扰动等各种未知因素，由输出变量的组合构造出观测器，用观测器观测系统扩张状态变量，并通过观测器包含的积分环节补偿系统的各种未知扰动。

1.1 控制器算法

Tornambe型非线性鲁棒控制器算法简述如下。对于一类单输入单输出仿射非线性系统：

对于高阶系统，其预期动态特性参数的选取依此类推。

对于控制器中参数kr - 1，有kr - 1 = σ(b(z,w)) μ，μ 值的选取决定了控制系统的稳定性。根据李雅普诺夫第二稳定性判据可以证明，存在常数μ* > 0 ，当μ > μ* 时控制器与被控对象构成的闭环系统是渐进稳定的。

1.2 控制器参数整定

从上节中的算法表达式可以看出，Tornambe型非线性鲁棒控制器需要整定的参数有hi 和ki，其中i 由系统相对阶数决定，hi 则由预期动态决定，因此，预期动态一旦选定，可整定的控制器参数就仅剩ki。对于2 阶系统，确定预期动态后，待整定的参数为k0 和k1，为分析k值对控制系统的影响规律，进行被控对象参数摄动情况下的Monte?Carlo试验，试验结果如图1，图2所示。

参数ki 主要影响控制系统的性能鲁棒性，增大其值时，控制系统抗干扰能力增强。k0 影响控制系统阶跃响应时间及超调量，其值增大时，上升时间减小，超调量响应增加。

3 控制器设计及仿真

针对已经给出的直升机侧向通道数学模型，设计相应Tornambe型非线性鲁棒控制器。由数学模型可以看出，被控对象为两个通道，需要分别对每一个通道设计相应的控制器，因此该控制系统为分散控制结构形式。另根据微分几何求取相对阶，两个通道相对阶均为2，从而控制器的基本结构就相应确定下来。按照前文所述算法设计分散控制系统，并进行控制系统性能分析。

为分析Tornambe型非线性鲁棒控制系统抗干扰能力，在直升机输出中加入噪声信号，并同PID 控制器对比分析，仿真试验如图3所示。噪声信号幅值±0.1，与控制指令输入幅值相当，通道角速率输出已经基本淹没，该控制器对速率噪声的抑制要好于PID，航向角与倾斜角输出虽然有较大波动，但仍能较好地跟踪输出。

控制系统控制量输入是考核控制系统性能的一个重要指标，在同样噪声信号输入下，进行Tornambe非线性鲁棒控制器与PID控制量对比分析，如图4所示。可以看出控制性能近似时，Tornambe控制量输出幅度变化明显比PID要小，对执行机构的要求放宽很多。

将状态方程表示的被控对象模型转化为用传递函数表示，给出两个主通道间的传递函数方程，可以看出被控对象为5阶系统。

4 结论

Tornambe型非线性鲁棒控制器结构简单易于实现，并且不依赖被控对象的精确数学模型，有着良好的抗干扰能力，鲁棒性很强。基于某型直升机两通道侧向运动数学模型为例，设计Tornambe 型分散非线性鲁棒控制器，并进行计算机仿真验证，同PID 控制相比较，Tor?nambe型非线性鲁棒控制器抗扰动能力较强，并且从控制量上考虑，该控制器对执行机构的要求较为宽松。

参考文献

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[7] 唐永哲.直升机控制系统设计[M].北京：国防工业出版社，2000.

作者简介：李之果（1983—），男，硕士研究生，工程师。研究方向为无人直升机飞行控制。

第2篇：数学建模鲁棒性分析范文

关键词：跟踪误差；投资组合；鲁棒优化；基金市场

中图分类号：F830.91文献标识码：A文章编号：1008-2670（2015）01-0001-08

收稿日期：2014-09-21

基金项目：国家自然科学基金项目“基于时变参数的学习机制、利率行为与政策效果研究”（71173030）。

作者简介：王志强，男，辽宁大连人，东北财经大学金融学院教授，博士生导师，研究方向：金融工程；赵庆，男，满族，辽宁大连人，东北财经大学金融学院博士研究生，研究方向：金融工程。

一、引言

投资组合通常是指个人或机构所拥有的由股票、债券及衍生金融工具等多种有价证券构成的一个投资集合，投资组合的优化和多元化发展不仅丰富了金融投资决策的方法而且加深了对金融市场的认识。Roll[1]在Markowitz[2]均值-方差模型框架下提出跟踪误差投资组合模型，即投资组合管理者预期给定一个基准投资组合，通过跟踪误差来对投资组合管理者的投资业绩进行评价，基于跟踪误差的投资组合方法在金融界得到广泛运用。Rudolf等[3]给出了最小风险跟踪误差模型的线性模型，方便了跟踪误差模型的实践应用。王秀国和邱菀华[4]基于跟踪误差模型提出了跟踪误差多因素投资组合决策模型，并给出了数值分析。罗金川和房勇[5]提出了分层主成分分析方法，采用完全复制标的指数的投资策略来构建因素投资组合选择模型最小化跟踪误差，在此基础上通过改变分层的数量控制投资组合的跟踪误差。

但是由于金融市场波动和金融风险加剧，Black和Litterman[6]指出均值-方差模型框架下关于要求随机变量均匀分布和对期望收益和协方差的敏感性的缺陷。基于此，众多学者进行了鲁棒优化算法的研究。Costa和Paiva[7]提出了基于线性矩阵不等式的跟踪误差投资组合鲁棒优化算法。高莹和黄小原[8]同样基于线性矩阵不等式方法研究了将跟踪误差投资组合鲁棒优化在中国基金市场的运用。

本文基于跟踪误差投资组合鲁棒优化模型利用MATLAB提出新的求解算法，同时提出其衍生模型：单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型、多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型和基于成本单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型，并将其在中国资本市场进行了实证分析。

二、模型描述

（一）跟踪误差投资组合鲁棒优化基本模型

本文基于Costa和Paiva[7]跟踪误差投资组合鲁棒优化模型结合中国资本市场实际情况，提出投资组合收益满足预期收益要求，使得投资组合风险最小化的跟踪误差投资组合鲁棒优化模型：

投资组合中，下标i表示投资组合中资产i；下标k表示第k种情景得到的期望收益和协方差矩阵。外生变量ωB为模型中根据预先设定目标确定的基准投资组合；γk是第k种情景下投资组合预先设定目标收益；rf是投资组合中无风险收益率。随机参数μk是由不同情景得到的期望收益；Ωk则是由相应情景预期收益的协方差矩阵。跟踪误差投资组合鲁棒优化模型中需要确定两个决策变量即内生变量ωi和α。其中ωi是投资组合中各项资产权重，α为引入的偏差波动的上界变量，α=max1ωiσ2P（ωi）=（ω-ωB）TΩk（ω-ωB），其中σ2P（ωi）为跟踪误差投资组合鲁棒优化模型的方差。投资组合的目标函数是求α最小的投资组合权重ωi，数理金融含义是：在市场风险最大的情景下α=max1ωiσ2（ωi），选择投资组合权重ωi使得投资组合收益波动最小，即min1ωiα。式（3）是投资组合关于期望收益约束，I为单位列向量；式（4）是关于投资组合权重约束；式（5）表示根据资本市场实际情景不允许卖空。

（二）跟踪误差投资组合鲁棒优化衍生模型

根据Costa和Paiva[7]，高莹等[8]学者的研究，跟踪误差投资组合鲁棒优化模型在资本市场具有适用性，然而面对资本市场的复杂性，本文在其基础上提出衍生模型。

1.单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型

假定投资组合是根据基本分析方法构建股票集，面对不同的情景集，在既定的单一收益目标约束下γ1=γ2=…=γk=γ选择投资组合具体的投资权重，即单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型，这与Costa和Paiva[7]、高莹等[8]假设相同。

2.多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型

许多投资组合优化模型在假设时都按照单一收益目标约束γ1=γ2=…=γk=γ下选择组合资产权重。然而在实际中，投资组合管理者针对不同市场预期采用相同的目标收益是不科学的，投资组合管理者的目标收益与市场预期是相关的，当投资组合管理者面对较乐观市场预期时会提高目标收益，面对悲观市场预期时会降低目标收益。特别是跟踪误差投资组合鲁棒优化模型在不同情景集下即在不同股票预期收益下，假定单一目标收益显然与实际情景不相符。多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型则是在单一目标收益的基础上，根据不同市场预期制定不同的目标收益，即γk， k=1，2，…，m不全部相等提出的优化模型。

3.基于交易成本单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型

组合优化的目标是在风险与收益之间权衡从而选择投资组合最优权重的过程，传统上这个过程与交易成本是分开考虑的，然而这样得到次优权重经常会导致巨大的交易成本，并且在一些情况下会严重影响经风险调整的组合收益。

基于交易成本单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型是在单一目标收益模型基础上引入交易成本函数：TC（ω）=（TC1（ω1），TC2（ω2），…，TCn（ωn））， i=1，…，n，其中TCi（ωi）代表第i种资产交易成本，ωi代表第i种资产权重。则投资组合净权重为：=ω-TC（ω）=（1，2，…，n）T，i=ωi-TC（ωi）；投资组合基准权重为：B=ωB-TC（ω），Bi=ωBi-TC（ωBi）；投资组合收益为：μp=ωμ=∑n1i=1[μiωi]，其中μ=（μ1，μ2，…，μn）为n种资产预期收益；投资组合净收益为：μPN=∑n1i=1[μ1i]=∑n1i=1[μi（ωi-TC（ωi））]；投资组合风险为：σ2p（）=TΩ，其中Ω为投资组合中资产协方差。则基于交易成本单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型为：

三、跟踪误差投资组合鲁棒优化衍生模型在基金中的应用

（一）单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型转化为Fmincon函数标准形方法及在基金中的应用以光大保德信均衡竞选股票基金（基金代码360010）的交易数据为实证数据，根据MATLAB Fmincon函数提出一种新的求解方法，并将单一目标跟踪误差投资组合鲁棒优化模型的最优解与基准组合、基金实际组合的结果进行比较。

1.实证假设

假设（1）：基金360010在2013年第4季度投资组合构建是根据投资组合中各股票前6个月度收益率进行判断。

假设（2）：根据我国基金管理办法每季度公布股票重仓股组成，同时根据数据可得性，假定基金360010每季度调整一次投资比例，即在持有期内2013年第4季度投资组合中各股票权重比例不变。

2.数据选取

选取光大保德信均衡竞选股票基金（360010）在2013年第4季度投资组合10支重仓股。样本数据为2013年3月至2013年9月的月度收盘价，并且将收盘价依据（Pt-Pt-1）/Pt-1转化为2013年4月至2013年9月月度收益率，数据来源于大智慧软件。

3.计算方法及计算结果

（1）基准组合权重及收益。取基准投资组合权重ωB为10×1矩阵ωB=（1/10，1/10，…，1/10）T，则基准投资组合收益率为10只股票月度收益率均值。

（2）构造情景集及组合收益和协方差。本文考虑2种计算情景集方法，即k=1，2。

情景1，期望收益μ1为10×1矩阵是依据历史数据按算术平均值计算，相应协方差矩阵Ω1为10×10矩阵。

情景2，期望收益率μ2是按由近及远0.3、0.2、0.2、0.1、0.1和0.1权重计算得到，即最近期收益的权重是0.3，以后依次类推，最远期收益率的权重是0.1，原因是距离当前较近时期的收益率对基金经理预期判断影响较大。情景2下期望收益的协方差矩阵Ω2为10×10矩阵。

（3）单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型Fmincon函数标准化过程。

情景1下，单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型Fmincon函数标准化过程。为使得跟踪误差模型转化为fmincon函数标准形式，设x=（α，ω2，ω2，…，ωn）。

综上所述，情景1下，单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型（1）―（5）转化为Fmincon函数标准化形式式（11）―（16）：式（1）转化标准形式（11）为式（17）；式（2）转化标准形式（12）为式（18）；式（3）转化标准形式（14）为式（19）和式（20）；式（4）转化标准形式（15）为式（21）和式（22）；式（5）转化标准形式（16）为式（23）和式（24），其中Fmincon函数标准形式中初始迭代点矩阵为式（25）。

单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型情景2转化为Fmincon函数标准形式计算方法与情景1计算方法相同。由于篇幅所限情景1与情景2具体函数值未给，备索。

利用MATLAB Fmincon函数求解单一目标跟踪误差投资组合鲁棒优化模型情景1和情景2下各资产权重，其中，γ1=γ2=0.05，无风险收益率取工商银行2013年整存整取一年期存款利率，即γf=0.0325，同时为比较投资绩效也给出了基金实际各资产权重，如表1所示。

由表2可见，从收益角度而言，单一目标收益跟踪1表2各模型下投资绩效模型1情景11情景21基金实际1基准组合收益10.0999 10.0946 10.0536 10.0499 风险10.0006 10.0002 10.0031 10.0037 收益/风险1171.9770 1480.6111 117.4492 113.6394 误差投资组合优化模型情景1和情景2收益率均显著高于基金实际情景与基准模型，并且显著高于投资组合目标收益γ=0.05，表明该模型对于提高基金收益是有效的；从风险角度而言，情景1和情景2风险均显著低于基金实际情景与基准模型，表明该模型对于分散风险同样是有效的；故此，单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型情景1和情景2投资绩效显著优于基金实际情景和基准模型，表明单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型可以显著提升基金表现。虽然单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型情景1模型收益率高于情景2模型，但是风险更高，并且投资绩效显著低于情景2模型，从另一个角度而言，也印证了跟单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型最终选择较大情景下各资产的权重的结论。综上所述，单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型对于提高组合收益、分散组合风险是有效的，对于中国资本市场资产配置具有指导意义。

（二）多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型在基金中应用

多目标收益跟踪误差投资组合优化模型式转化为MATLAB Fmincon函数标准形式中处理式（3）转化为式（14）时，2种情景下取不同目标收益，即γ1≠γ2，则：

如表3所示，在不同目标收益下，各资产权重发生变化，即进一步验证了多目标收益跟踪误差投资组合优化模型相比单一目标收益模型更具有合理性；投资组合实际收益率高于目标收益，表明多目标收益跟踪误差投资组合优化情景1时对于提高组合收益表现具有较好的表现；在目标收益递增的过程中，投资组合实际收益也伴随着目标收益逐步增加，投资组合风险先下降、后上升，在目标收益为0.065时组合风险达到最小-0.00003，投资组合风险总体呈现下降趋势，多目标收益跟踪误差投资组合优化情景1时不仅在提高收益方面表现优异，在分散风险方面同样有效；多目标收益跟踪误差投资组合优化情景1时在目标收益γ1=0.065时、偏差波动的上界变量为α1=0.0031投资组合绩效最高，与表3均高于基金实际和基准模型投资绩效。

表3与表4具有组合收益显著高于目标收益的情况。但是多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒情景2下组合风险与情景1不同，组合风险在随着目标收益的增加而增加，没有出现反转现象。情景2多目标收益跟踪误差投资组合优化模型在目标收益γ1=0.05时、偏差波动的上界变量为α1=0.0016投资组合绩效最高，与表2相比投资绩效同样均高于基金实际权重投资绩效和基准模型投资绩效。

结合表3和表4，根据投资组合绩效分析，多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型在情景1时和情景2时，最终会选择在情景1时，目标收益为γ1=0.065、偏差波动的上界变量为投资组合权重，与表2相比，多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型相比单一目标收益模型在提高收益、降低风险方面表现更为有效。

综上所述，在相同情景下不同目标收益γk会改变投资组合权重，影响投资组合收益与风险走势，从而影响投资组合投资绩效，因此，需要根据不同的市场预期下确定不同投资目标收益，再根据投资绩效分析，从而确定更优的投资组合权重。

（三）基于交易成本单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型实证分析

采用与Zheng和Liang[10]、王春峰等[11]相同的交易成本函数：TCi（ωi）=aiωi+bi，i=1，2，...，n，同样忽略固定交易成本对资产权重的影响，则变为：TCi（ωi）=aiωi，0

基于交易成本单一目标收益跟踪误差投资组合优化模型转化为MATLAB Fmincon函数标准形式方法与上述相同。

利用MATLAB Fmincon函数求解得情景1与情景2资产权重及投资绩效如表5所示：

由表5可见，基于交易成本单一目标跟踪误差投资组合鲁棒优化模型情景1和情景2的收益率均低于与未引入交易成本的单一目标模型的收益率（见表2），再次印证引入交易成本会降低投资组合收益率；根据投资绩效分析，基于交易成本单一目标模型情景1投资效率高于情景2投资效率，这与单一目标模型结果相反，表明引入交易成本后会影响投资决策，也许会产生截然不同的结果。

四、结论

本文研究了跟踪误差投资组合鲁棒优化模型及其衍生模型在中国资本市场的应用：

1.给出了跟踪误差投资组合鲁棒优化模型即单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型以及利用MATLAB Fmincon函数求解的具体算法，并采用光大保德信均衡竞选股票基金数据进行了实证分析，将跟踪误差投资组合鲁棒优化模型与基金实际投资绩效和基准组合投资绩效进行比较，表明单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型在提高投资组合收益、降低风险方面的适用性。

2.基于跟踪误差投资组合鲁棒优化模型提出多目标收益模型和基于交易成本单一目标收益模型及利用MATLAB Fmincon函数求解的具体算法。基于实证分析，依据不同市场预期采用不同目标收益的多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型相比单一目标收益模型、基金实际情况和基准组合投资更有效。同时以光大保德信均衡竞选股票基金数据进行实证分析，给出了基于交易成本单一目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型利用MATLAB Fmincon函数求解的具体算法及结果。

另外，在本文的基础上可以提出依据不同市场预期采用不同目标收益及引入交易成本函数的基于交易成本多目标收益跟踪误差投资组合鲁棒优化模型，具体思想和方法可以参考多目标收益模型和基于交易成本单一目标收益模型。

参考文献：

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[9]康志林.均值―绝对离差投资组合修正模型[J].华侨大学学报（自然科学版），2013，33（2）：83-88.

第3篇：数学建模鲁棒性分析范文

关 键 字：冲压发动机；推力控制系统；模糊PID；MATLAB；鲁棒性

中图分类号：TP27 文献标识码：A

1 引 言

随着航空飞行器的不断发展，其性能要求越来越高，而工作环境越来越复杂，必须设计良好的控制系统满足复杂环境下不断提高的工作性能需求。

国内外对冲压发动机的推力控制均有研究，文献[1]对超燃冲压发动机的推进系统部分进行控制系统研究，文献[2-3]应用鲁棒控制器对推力控制回路部分进行控制，其研究结果都能达到了给定的鲁棒性性能要求。但冲压发动机参数变化范围较大，只能提高有限的性能 [4]，如果系统要求更高的性能，就必须研究更好的控制策略。传统PID控制器[5]的控制算法及结构比较简单，可以满足基本的性能要求[3]，但达不到很好的性能，而采用智能型PID自整定控制器[6]，将传统PID控制和智能控制相结合，可以满足更高的性能。

本文利用模糊PID控制算法[7-9]对推力回路进行控制，并进行各方面性能的测试，其仿真结果表明，根据模糊PID控制设计的推力控制器可以使系统的动态性能得到进一步改善。

2 被控对象数学模型

6 结语

本文通过简化的数学模型，在SIMULINK软件上对冲压发动机推力控制部分设计了模糊PID控制器， 并做出了各种测试信号的响应曲线，与文献[3]中设计的鲁棒控制器及传统的PI控制器的响应曲线做了比较。从结果可以看出，所设计的模糊PID控制器可以很好的保证推力变化的快速性、稳定性、抗干扰性以及不受系统的不确定性的影响，保证系统各种性能优于文献[3]的鲁棒控制器以及传统PI控制器。在将来的研究中，希望根据仿真的基础进行半实物仿真，并考虑更多的不稳定因素对被控对象的影响，使系统在复杂的环境中表现更高的性能。模糊PID控制方法可以运用于性能要求比较高的控制系统，如航空飞行器的控制系统，使其在复杂的工作条件下实现系统的快速性以及稳定性，具有很好的现实意义和应用前景。

参考文献（References）：

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[7] H Ying.An analytical study on structure， stability and design of general nonlinear Takagi-Sugeno fuzzy control systems [J]. Automatica，1998，34（12）：1617-1623.

第4篇：数学建模鲁棒性分析范文

关键词： 鲁棒性压缩感知； 智能视频监控； 编码； 奇偶分裂处理

中图分类号： TN948.64?34； TP391 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）10?0016?04

Abstract： As the robustness compressed sensing reconstruction is required in the video monitoring to reduce the effect of video packet loss， time delay and other factors， a robustness compressed sensing reconstruction technology based on hidden Markov model is proposed， which is applied to the intelligent video monitoring. The hidden Markov model is used to deal with odd?even splitting processing of feature points in frequency domain for sequence of video frames in intelligent video surveillance system， and then the scalar quantization code rate allocation coefficient of the video monitoring encoding is calculated to establish a time?space direction tree for video compressed sensing reconstruction， conduct decoding reconstruction with hidden Markov model， and achieve the robustness compressed sensing reconstruction for video frames. The simulation test results show that the proposed method can effectively reduce the packet loss rate and transmission time delay， and has a good application value in intelligent video surveillance.

Keywords： robustness compressed sensing； video monitoring； coding； odd?even splitting processing

0 引 言

智能视频监控系统在安全防卫、交通管理、环境探测等领域具有广泛的应用价值。在视频监控系统中，视频码流通过压缩帧编码进行信息传输，通过多个信道进行视频信息数据流的通信和网络传输，在视频监控的接收端，将视频信息分解为多组信息重构后的视频图像序列，在视频监控系统的接收终端显示出经过压缩编码处理后的重构图像和视频帧序列[1]。智能视频监控系统的丢包和时延是评价视频监控性能好坏的关键因素，需要通过鲁棒性压缩感知重构，重建出视觉上可以接受的视频，降低视频的丢包和实验，获得较好的视频重建和监控输出效果。

1 视频帧序列的信息预处理

1.1 视频帧序的频域特征点奇偶分裂处理

为了实现对视频监控系统中传输视频的鲁棒性压缩感知重构，需要进行视频传输帧序列的信息处理，本文提出一种基于隐马尔科夫模型的鲁棒性压缩感知重构技术并应用在智能视频监控中。利用隐马尔科夫模型对智能视频监控系统中的视频帧序列进行频域特征点奇偶分裂处理。首先假设传输的单帧视频为一组图像序列[2?3]，采用三维小波变换对视频监控系统中传输的图像组进行频域特征分裂，对频域特征点奇偶分裂处理，实现对视频传输序列的奇描述和偶描述；然后分别对原始的YUV格式的视频（分辨率为352×288）进行3D?SPIHT奇偶拆分和编码[4]，在奇偶信道中进行解码和视频恢复处理，得到智能视频监控系统中视频帧序列的信息处理组织框图如图1所示。

在视频监控系统的原始CIF格式视频序列分析中，将视频监控中的图像序列看作三维信号，采用三维小波变换对视频序列进行n级空间分解，得到对视频序列的三维小波变换的测量方程分别为：

式中：[X（k）]表示视频提取离种子点较近的频域特征点分离幅度；[exp（j2πknN）]表示待匹配的视频的连续边缘域特征点分离相位。

根据上述，采用基于边缘耦合性的奇偶拆分进行视频图像序列的水平、垂直和对角方向上的方向指向性奇偶为分裂处理。以N号种子点PN为中心，在最低频的种子点附近进行边缘分裂，得到视频图像序列的奇偶位共用部分，在水平方向上对待匹配的连续边缘的低频HL信息进行连续边缘分解[5]。

1.2 标量量化码率分配系数计算

在上述进行了视频帧序的频域特征点奇偶分裂处理的基础上，通过计算视频监控编码的标量量化码率分配系数[6]，得到视频监控传输帧图像的模板窗，在像素点[（i，j）]的[2n+1×2n+1]窗口内，对边缘相关性约束条件下的视频传输函数进行泰勒技术展开，结果为：

2 监控视频鲁棒性压缩感知重构实现

2.1 视频压缩感知重构的时空方向树计算

在上述进行了视频帧序列的信息预处理的基础上，在视频监控中进行鲁棒性压缩感知重构，降低视频丢包和时延等因素的影响。本文提出一种基于隐马尔科夫模型的鲁棒性压缩感知重构技术，建立视频压缩感知重构的时空方向树，采用隐马尔科夫模型进行解码重建[7]，选择视频压缩感知重构的种子点附近各轮廓的域特征点，采用互相关特征匹配方法，得到候选匹配区域的相对位置为：

式中：[PS1（d）]表示4通道时空方向树的分解结构坐标域；[RS1（d）]为灰度值向量表达式。在对监控视频进行鲁棒性压缩感知重构中，每次编码重构的过程为一个二分叉的过程[8]，通过构建视频重构的二分叉时空方向树，进行视频统计模型的频域分解，得到智能监控视频的编码符号概率分布见表1。

表1 智能监控视频的编码符号概率分布

根据表1所示的编码概率方法，对监控视频进行鲁棒性压缩感知重构。

2.2 视频鲁棒性压缩感知重构的统计模型构建

在建立视频压缩感知重构的时空方向树的基础上，采用隐马尔科夫模型进行解码重建，实现视频帧的鲁棒性压缩感知重构，视频鲁棒性压缩感知重构的隐马尔科夫模型表达式为：

3 实验测试分析

实验中用SUVINIANCE420O控系统的标准监控视频序列SNIG_cif来测试视频重构方案在降低视频传输的丢包和实验方面的性能，仿真实验的硬件环境建立在Intel[?] Lennov[?] CPU E3?1225， 4.2 GHz ， 8 GB内存计算机基础上，采用Matlab编程软件进行算法设计，采用循环帧搜集方法，选取了16个视频样本集进行视频压缩感知重构分析，视频数据包分别取1 024×20，1 024×40，1 024×60等规模。根据上述实验环境和参量设定，采用本文方法和传统方法进行视频重构，得到未使用压缩算法和使用压缩算法的监控视频传输延时如图3所示。

分析图3和图4结果得知，采用本文的压缩感知重构方法，视频监控中传输时延较小；随着测试时间的推移，未采用压缩感知重构方法积累在待发送端的帧数量增大，使得视频帧难以及时到达接收端，产生数据丢包；采用本文方法进行视频感知重构，在发送端的待发帧数量始终维持在较小的数目内，实现视频帧的实时完整性传输，从而避免了视频监控的传输丢包和延时。

4 结 语

为了降低视频丢包和时延等因素的影响，本文提出一种基于隐马尔科夫模型的鲁棒性压缩感知重构技术并应用在智能视频监控中。首先利用隐马尔科夫模型对智能视频监控系统中的视频帧序列进行频域特征点奇偶分裂处理；然后计算视频监控编码的标量量化码率分配系数，建立视频压缩感知重构的时空方向树，采用隐马尔科夫模型进行解码重建，实现视频帧的鲁棒性压缩感知重构。研究结果表明，采用本文方法进行监控视频的压缩感知重构，能有效降低丢包率和传输时延，能较好地应用在智能视频监控中。

参考文献

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第5篇：数学建模鲁棒性分析范文

关键词：起落架；磁流变减震器；控制；鲁棒性

中图分类号：TH137 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）01-0104-04

引言

减震器在当飞机进行着陆撞击、跑道滑行时减缓飞机产生的振动，降低飞机地面载荷，提高乘员舒适性，保障飞机飞行安全等方面发挥着极其重要的作用。随着航空工业的发展，现代飞机对起落架的缓冲系统及其控制系统提出了更高的要求。半主动控制结构简单，能耗低，可靠性高，控制效果接近主动控制。随着磁流变（MR）阻尼器的半主动控制研究蓬勃发展，其在飞机起落架上也很好的应用前景。

本文在Matlab中建立飞机起落架和磁流变减震器的数学模型，基于鲁棒控制理论设计一个控制器，通过改变线圈的电流来调节可控阻尼力，从而来实现对起落架的减震控制。将控制策略与被动、天棚（Skyhook）控制进行对比分析。仿真验证了本文提出的鲁棒控制策略用机起落架减震器上有较好的控制效果。

1 磁流变减震器特点及其模型

磁流变液在磁场作用下，它可在瞬间内（毫秒级）由流动性能良好的牛顿流体变为Bingham半固体，且这种变化连续、可控、可逆。由磁流变液组成的减震器称为磁流变减震器。

磁流变减震器虽然具备良好的阻尼力特性，但动力测试结果表明，该类阻尼器的动力特性[5]表现出强烈的非线性滞回特性。而起落架减震过程的快速性和有效性都对MR减震器的力学模型提出了较高的要求。为了充分发挥MR减震器良好的半主动性能，需要有精确的、简单实用的力学模型，以保证控制算法的实时有效。

选择Bouc-Wen模型[6]模拟磁流变减震器的动态特性。该模型如图1所示，模型表达式为：

式中，c0是弹簧的初始变形，c和分别是相对位移和相支速度。

2 起落架减震半主动控制数学模型

为模拟飞机着陆时的状态，便于分析。建立图2所示的考虑二自由度的起落架运动模型[7]。其中，m1和m2分别为机身质量和机轮质量；k1为磁流变缓冲器的油液压缩弹性系数；k2是轮胎刚度；q为跑道输入激励；x2为轮胎重心位移； x1为机身重心位移。通过受力分析得：

式中，Fa为油液阻尼系数，Fc为由磁场强度决定的可控阻尼力。

根据示意图也可以定义系统的状态变量为，其中x1-x2为悬架动行程，为机身质量绝对速度，x2-q为机轮形变量，为机轮质量绝对速度，则可将方程（3）和（4）写成状态方程的形式：

3 半主动控制器设计

3.1 天棚控制

理想天棚控制[8]是假设机身质量与惯性参考地面之间具有阻尼。天棚阻尼力为：

其中，Csky是天棚阻尼系数，由系统优化参数确定。磁流变减震器的可控阻尼力应该尽量满足下式

即和应该同向。可控阻尼最大输出力为Fcmax和Fcmix最小输出力为，则Fc可以表示为

3.2 鲁棒控制器设计

控制系统的最优化是极小化某些闭环系统频率响应的峰值。一般控制配置如图3所示。

控制[9-11]由图3表述，其中P（s）是一个线性系统，表示如下

w为外部输入向量，u是控制输入向量，e是控制输出向量，y是测量向量。控制设计是由增广对象模型P（s）和控制器K（s）组成，通过给定的和控制信号u（=K（s）y）确保闭环系统内部稳定和抵消w和e的影响，从而最大限度地减少从外部输入w对控制输出（e）的闭环影响。预先设定的衰减水平为γ，则控制问题是设计一个内部稳定的闭环系统控制器并确保：

（13）其中

是从w到e的闭环传递矩阵，是的最大奇异值。

本文是在控制策略的基础上发展的运动方程，用以提高着陆性能。控制器的目标是最大限度地减少机身的垂直加速度。选择轮胎压缩量x2-q的动载荷和悬架行程为评价变量。被控系统的状态方程（5）和输出方程如下

式中，z1和z2分别为垂直加速度和动静载荷比，z=[z1 z2]表示性能输出。

对飞机起落架系统的状态方程（5），设计状态反馈控制器为K期望阻尼力控制输入满足：

使闭环系统（15）从跑道激励输入到减震器垂直加速度的传递函数Gr（s）的范数最小，即：

式（18）中的范数是沿频率轴上的最大值，而现在要使其最小，这个问题的解是遍历所有的w，使所有最大奇异值都达到最小值γ0。控制器K（s）须使闭环系统内部稳定，系统状态满足相应约束条件。如果系统内稳定，则一定存在一个正定矩阵和对应的二次Lyapunov函数满足式子。对于给定的，若存在矩阵，对称矩阵Q，X，Z，使得下述规划问题

则状态反馈控制器K=YQ-1存在。

4 仿真结果分析

为了验证所设计的半主动控制系统的有效性，取飞机各参数如下表1进行仿真分析。将被动控制、天棚控制和控制进行仿真，可得到不同跑道下的状态响应。图4为飞机着陆时的随机跑道激励输入。

图5为机身垂直加速度响应，从图中可以看出天棚比被动控制效果好，采用控制更好的降低机身垂直加速度，保护机身结构和提高乘客的舒适性。

图6说明半主动控制能减少机身的位移，其中控制效果非常明显。从图7可以看出起落架动挠度在控制时比被动控制要减小。图8说明三种方式下的轮胎动载荷基本一致，效果较好。图9给出了不同时刻减震器输出的控制力。减震器最大输出力由其自身结构特性所决定，最小输出力为被动时的油液阻尼力。

5 结语

在本文中，对两个自由度下的飞机起落架进行了天棚和控制的半主动控制方法研究。在鲁棒控制理论基础上设计了一种控制器，并且将其与被动控制和天棚控制进行比较分析。仿真结果表明，在飞机着陆撞击时，使用控制方法的半主动磁流变减震器起落架系统能很好的改善飞机着陆对机身结构冲击和乘客舒适度的影响。

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第6篇：数学建模鲁棒性分析范文

关键词：异构网；移动鲁棒性；移动性参数；切换；无线链路失败

Abstract：In this paper， we run a large number of simulations to find problems with detailed mobility robustness in heterogeneous networks. We also provide solutions to such problems. After comparing mobility robustness in a heterogeneous network with that in a homogeneous network， we found that the mobility parameters in a heterogeneous network should be selected according to different switching targets. By setting different mobility parameters in heterogeneous network simulation， we found that the trade-off between mobility robustness and system overheard should be taken into account.

Key words：heterogeneous network； mobility robustness； mobility parameter； handover； radio link failure

随着通信技术的快速发展，蜂窝移动通信网络也进行了全面的改进，一方面网络性能得到大幅的提升，另一方面网络参数更加复杂，网络结构多层次化，这给网络运营维护带来了挑战[1]。对于网络运营商来说，在使用新技术的同时，如何降低基础设施建设费用以及网络运营费用，是一个巨大的挑战。国际电联在文件中的明确定义[2]，接入网络的高度自配置、自优化和自治愈是IMT-Advanced系统的一个重要设计目标。在这一背景下，下一代移动通信网络（NGMN）组织和第三代合作伙伴计划（3GPP）先后提出了自组织网络（SON）的具体需求，并正在LTE/SAE系统中开展标准化的制订工作。希望通过在网络部署和运营过程中引入自动化调整机制，减少人工干预，从而降低基础建设费用和网络运营费用。

通过网络规划和集中式的覆盖管理，蜂窝移动通信网络能够提供连续的覆盖。但是即使存在连续的覆盖，由于移动终端的移动轨迹、移动速度变化多样，以及小区之间的移动参数配置由于物理环境变化需要经常更新等原因，无线链路失败仍然会发生，而无线链路失败的发生将严重影响用户体验。如何通过动态的小区间移动参数调整，来减少链路失败的发生，保证移动鲁棒性是一个重要的研究问题，已经被列入了SON的工作议题[3]。

随着数据速率需求的日益增长，传统的宏蜂窝覆盖的组网形式已经不能够满足业务要求，在传统的宏蜂窝小区引入低功率节点提供热点覆盖可以有效地解决宏蜂窝覆盖存在的问题，同时能够使得运营商以更低成本提供更高数据速率的业务[4]。LTE-Advanced的工作重点之一就是对室内和热点场景进行优化。

1 移动鲁棒性优化

移动鲁棒性优化（MRO）是LTE标准化研究中的一个功能实体。在现有2G/3G系统中，人工调整切换相关参数设置是一项非常耗时的工作，在很多情况下，初始配置后移动性参数更新的消耗非常大；并且，在单个的无线资源管理中检测移动性问题和调整参数并不能很好地解决问题，需要基站之间相互协调。错误的切换参数设置所导致的乒乓效应，切换失败（HOF）和无线链路失败（RLF）会影响用户体验和消耗网络资源。

切换是移动鲁棒性技术研究中非常重要的通信过程。一般情况下，若无线链路环境在触发时间（TTT）内一直满足A3事件不等式，则触发测量上报过程，源小区根据测量结果做出切换判决，然后开始切换[5]，因此，可以认为A3事件不等式即为如下切换条件：

Mn >Ms +Hysts -CIOs，n

其中，Ms为用户接收到的当前服务小区信号强度；Mn为用户接收到的邻小区信号强度；Hysts为用户当前服务小区迟滞因子；CIOs，n为用户当前服务小区与邻小区之间的小区独立偏置。迟滞因子与邻小区无关，小区独立偏置是指向邻小区的单向切换参数，针对不同的邻小区独立设置。

MRO优化的主要目标是减少与切换相关的无线链路失败，其次是减少不必要的切换次数。具体可以分成4种情况：过晚切换、过早切换、切换到错误小区和不必要切换。

（1）过晚切换

终端从源小区A向邻小区B移动过程中，如果切换参数设置不合理，如CIOA，B设置偏小，则从源小区A向邻小区B切换到条件偏苛刻。在切换之前或切换过程中，源小区A的信号强度已经很低，导致终端发生RLF，之后，终端又重新与邻小区B建立连接[6]。

（2）过早切换

终端从源小区A向邻小区B移动过程中，如果切换参数设置不合理，如CIOA，B设置偏大，则从源小区A向邻小区B切换到条件偏宽松。切换触发时邻小区B的信号强度还很低，在切换到邻小区B后的短时间内用户发生无线链路失败，之后，用户与源小区A重新建立连接，则认为发生过早切换。

（3）切换到错误小区

终端从源小区A向邻小区移动过程中，用户首先切换到邻小区B，由于切换参数设置不合理，因此在切换后很短时间内发生RLF，之后，用户邻小区C重新建立连接，则认为发生错误切换。

（4）不必要切换

对于网络操作来说，切换是一个非常消耗资源的过程，并且，优化的参数设置要想发挥功效，也必须依赖于时刻变化的无线链路环境，这样的协调过程，对人工操作的要求极大。有时，终端的移动性模式和小区覆盖设置会产生频繁的不必要切换，从而浪费网络的资源。反之，错误的切换参数配置可能会遗漏那些应该发生的切换过程，错过最佳的切换时机。

由于未来将会部署大量低功率节点，为了研究同时存在宏小区和微小区的异构网场景中可能出现的移动鲁棒性问题，3GPP提出了异构网场景的仿真建模假设[7-8]，并通过大量的仿真结果来评估异构网场景中移动鲁棒性问题的严重性。

2 仿真建模

2.1 网络拓扑

为了发现大范围异构网络场景中可能存在的移动鲁棒性问题，我们参照文献[7]采用了如图1所示的仿真拓扑图。具体的仿真拓扑配置参数如表1所示。仿真区域为图中虚线范围内，移动终端初始时随机选择移动方向，并沿着此方向匀速直线运动直到到达仿真区域边界，到达仿真区域边界后，移动终端将随机选择一个方向反弹，然后继续匀速直线运动。

为了研究系统在不同的移动性参数的配置下的系统移动鲁棒性性能，文献[7]给出了5种仿真配置。

2.2 移动性模型

为了对异构网场景下的移动性性能进行评估，需要采用RLF的标准和过程来判断切换失败，在建立切换失败模型之前，文献[7]将切换过程分为3个状态：

状态一：满足A3事件之前。

状态二：满足A3事件之后，但是在终端成功接收到切换命令之前。

状态三：终端接收到切换命令之后，但是在终端成功发生切换完成消息之前。

当RLF发生在状态一和状态二时，将被统计为切换失败。当RLF发在状态一，并且有其他的合适小区可供用户选择，则我们可以认为这是由于切换参数不匹配，进而造成的切换失败。

在状态二中，当终端连接在源小区时，如果以下任一条件满足，我们将统计为切换失败：当终端接收切换命令时，T310定时器被触发或者仍然在进行；RLF条件满足。

在状态三中，当终端连接到目标小区之后，如果以下条件满足，我们将统计为切换失败：当切换执行时间结束，目标小区下行宽带信道质量指示（CQI）低于失步门限。

乒乓切换是不必要切换中的主要研究对象。切换之后终端在新建立连接的小区所停留的时间将被作为判断是否是乒乓切换的主要标准，停留时间具体可以从终端成功发送切换完成消息到小区A和到小区B这段时间。如果终端从小区B切换到小区A之后，又从小区A切换回小区B，并且终端连接到小区A的停留时间小于门限值，在文献[7]中，被判断为乒乓切换。

2.3 仿真结果及分析

2.3.1 异构网和同构网移动鲁棒性

指标比较

在表2中的仿真配置3下，我们对同构网和异构网中系统移动鲁棒性性能进行仿真比较。在仿真中，切换失败对系统性能的影响主要看切换和切换失败的发生频率。如果切换很少发生，即使切换失败率很高，切换失败对系统的影响仍然有限。另一方面，如果切换的频率和切换失败的频率较高，那么对系统的影响将会很严重。因此，时间因子应该在仿真性能评估中考虑。如图2和图3所示，我们可以得到系统切换相关指标，单位分别为切换失败次数与总切换次数的比值（HOF/HO）和切换失败次数与终端数的比值（HOF/UE）。

从图2中可以看出，就HOF指标而言，异构网的性能相比同构网要差一些，尤其是异构网中微小区到宏小区的HOF指标相对于同构网来讲要差的更多一些。因此我们有必要针对异构网中微小区到宏小区的切换性能进行深入研究，进一步提高异构网中的切换性能指标。

从图4和图5中可以看到，就乒乓切换相关指标而言，即短暂停留率和短暂停留率与终端数的比值，异构网的性能均比同构网要差。乒乓切换的频繁发生将会大大增加系统不必要切换的次数，进而大量增加系统的信令开销，如何减少异构网中乒乓切换的发生，提高异构网的移动鲁棒性，也是未来需要研究的课题之一。

2.3.2 异构网中不同移动性参数下

移动鲁棒性性能比较

为了研究在不同的移动性参数配置下，异构网的移动鲁棒性性能的变化趋势，我们参照表2的移动性参数配置进行了仿真。

从图6中可以看出，在配置5中，由于移动性参数相对其他配置而言比较宽松，因此切换比较容易发生，切换尝试次数有比较明显地增加。从图7可以看出，由于配置1的移动性参数非常苛刻，切换不容易发生，造成了大量的过晚切换，终端不能及时的在信号强度变差前切换到合适的小区，进而发生了RLF。随着移动性参数的逐渐宽松，配置4的RLF指标为5个配置中最低。在配置5时，由于移动性参数过于宽松，会造成一些终端过早切换，进而切换到不合适的小区。

从图8中可以看出，微小区到微小区的HOF指标最高，这是因为在仿真中低功率节点随机部署，造成了大量的微小区不连续覆盖，使得HOF指标相对升高。可以观察到，从微小区到宏小区的HOF指标也相对较高，主要原因是终端离开微小区时，信号强度衰落比较快，移动性参数配置中的TTT计时相对较长，进而导致终端不能及时从微小区切换到宏小区，造成大量的过晚切换。

3 解决方案

从上面的仿真结果可以观察到，在异构网场景中移动性鲁棒性问题比较严重的主要有4个方面，我们将给出初步的分析和解决思路。

（1）微小区到宏小区的切换失败率较高

由于在仿真中所有小区间都设置相同的移动性参数，而这些参数主要是针对宏小区到宏小区之间切换而设置的，因此在异构网场景中，必须针对不同的切换对象，如微小区到宏小区或者宏小区到微小区设置相匹配的移动性参数，进而降低系统的切换失败率，优化移动鲁棒性性能。

（2）在仿真配置1的条件下，RLF和HOF相关指标很差

由于仿真配置1的移动性参数相对比较苛刻，因此造成大量终端切换时机较晚，如果适当地调节移动性参数，例如调整到仿真配置4，则系统的移动鲁棒性将会得到较大的提升。

（3）在仿真配置5的条件下，切换尝试次数很高

由于仿真配置5的移动性参数相对比较宽松，因此造成大量终端发生过早切换，一些本不该发生切换的终端在此配置下也发生了切换。虽然在此配置下的RLF和HOF相关指标可以接受，但由于系统的切换尝试次数大大增加，导致系统的信令开销非常大。综合来看，应该在优化移动鲁棒性的同时，考虑系统开销的因素。

（4）在RLF相关指标中，状态二（HOF）占的比例非常高

由于大量的切换失败是因为终端不能接收到源基站的切换命令，所以终端将继续进行T310计时，直到发生RLF或者链路质量恢复，从图7可以观察到，发生切换失败后，链路质量恢复的比例非常小，大部分的终端最终发生了RLF，进而进行无线链路重建。而T310计时时长为1 s，也就意味着终端从切换失败到无线链路重建将等待较长时间。我们可以通过设置新的计时器，使得终端尽早进行无线链路的重建，进而提高用户体验。

4 结束语

移动鲁棒性优化已经成为蜂窝移动通信网络中的重要研究课题之一，在未来新的网络场景中，我们要深入研究传统优化方案的有效性，针对新场景的特点，对传统方案进行修正和改进，进而使得新场景中移动鲁棒性性能仍然可以控制在可接受的范围之内，使得终端可以在不影响服务质量和体验的条件下，享受高速度业务带来的无尽快乐。

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收稿日期：2012-11-06

作者简介

金圣，英国肯特大学硕士毕业；中科院上海微系统所助理研究员；从事网络自组织自优化研究；已主持基金项目2项；已3篇，参与编写专著2本，申请发明专利18项，向国内外标准化组织提交提案42篇，其中12篇被通过。

第7篇：数学建模鲁棒性分析范文

关键词：切换广义系统；时变不确定性；鲁棒最优保性能控制；线性矩阵不等式

中图分类号：TP13文献标识码：A

1引言

混杂系统是很多实际系统的抽象，主要用于对复杂大系统的描述、分析及控制。切换系统是由一组子系统和描述它们之间联系的切换规则组成。每个子系统对应着离散变量的一种取值，子系统之间的切换表示离散事件动态。切换系统是从控制科学的角度来研究混杂系统的一类重要模型，是目前混杂系统理论研究的一个国际前沿方向[1-10]。广义系统是一类更一般化，有着较强应用背景的动力系统，它广泛存在于许多实际的系统模型中，如电力电子系统、能源系统、航天工程、化学反应过程、经济系统、社会系统和生物系统等。广义系统是二十世纪七十年代Rosenbrock在研究复杂的电网络系统中首次提出的[11]，进入八十年代后，广义系统研究进入到一个蓬勃发展的阶段，特别是关于广义系统稳定性、能控性、能观性、最优控制、输出调节等问题的研究，取得了许多重要成果[12-17]。

在工程实际控制问题中往往存在很多不确定性。为了达到满意的控制效果，不仅要使控制系统具有好的稳态性能，同时也要使控制系统的动态性能满足一定的要求。不确定系统保性能控制的目的是对不确定系统设计一个控制器，使得其闭环系统不仅是稳定的，而且相应的性能指标不超过某个确定的上界[18-19]。由于广义系统的切换问题普遍存在于供电网络以及经济系统中，故研究切换线性广义系统的动态行为及控制器设计也具有非常重要的理论和实际意义。但由于切换广义系统存在正则性、脉冲模去除、切换时刻状态相容等问题，故它比正常状态切换系统的研究要复杂。因此，最近，虽然在对切换广义系统控制研究方面获得了一些基本成果，但关于切换广义系统的保性能控制方面的研究尚不多见[20-26]。文献[23]对离散切换广义系统的有限时间稳定性问题进行了研究。文献[24]利用多Lyapunov 函数研究了一类带有时滞的不确定切换广义系统的稳定性问题，但结论中含有等式约束，不便于应用。文献[25]利用Lyapunov稳定性理论研究了一类切换广义系统的保性能控制问题。文献[26]利用Lyapunov函数方法和凸组合技术，研究了一类切换时滞广义系统的最优保成本控制问题。但文献[25，26]都没有考虑不确定性。

本文针对一类时变参数不确定切换广义系统，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式方法，研究了其鲁棒最优保性能控制问题。给出了系统鲁棒最优保性能控制器存在的充分条件，并建立了一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，通过求解该凸优化问题得到了鲁棒最优保性能控制律及闭环性能指标上界。

2问题描述

考虑由以下状态方程描述的一类时变参数不确定切换广义系统：

不等式（9）是关于变量ε、Wi和X的一个线性矩阵不等式，因此可以应用LMI工具箱中的求解器feasp来判断该矩阵不等式的可行性问题，进而得到该线性矩阵不等式的可行解。式（10）用线性矩阵不等式（9）的可行解给出了保性能控制律的一个参数化表示。式（11）给出的系统性能指标上界依赖于线性矩阵不等式（10）的可行解和初始条件x10，不同的可行解导出性能指标上界，但系统的最小性能指标上界是刻画系统性能的一个有意义的指标。

以下的定理3给出了闭环系统最小性能指标上界和鲁棒最优保性能控制问题的解。

第8篇：数学建模鲁棒性分析范文

关键词： 人脸识别； HMAX模型； 鲁棒性； 支持向量机（SVM）； 字典学习优化

中图分类号： TN911.73?34； TP391.4 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2016）15?0053?05

Abstract： Since the variation of attitude and illumination in face recognition may affect on the recognition performance， a face recognition method combining dictionary learning optimization with HMAX model is proposed. In the method， the combination of sample image and affine package model got from the sample image is used to express an image； after that the HMAX model is used to extract the C2 features， and the eigenmatrix is optimized with dictionary learning； and then the C2 features of visual attention model and original model are combined， and classified with support vector machine （SVM）. The results of experiment relied on Caltech and AR face database show that， in comparison with other advanced face recognition methods， the proposed method has better recognition performance， and has the robustness for the variation of facial expressions and illumination.

Keywords： face recognition； HMAX model； robustness； support vector machine； dictionary learning optimization

0 引 言

人类视觉系统可识别人脸，尽管光照、大小、位置、表情和视角有变化[1]。最近几年，人脸识别及其在生物特征识别、模式识别和计算机视觉上的应用成为研究的热点[2]。基于人脸识别发展的需求，最近关于人类视觉系统和视觉注意的大脑机制引起了很多关注[3]。

视觉系统划分为两个主要处理流[4]：背侧流（从主视觉皮层到顶叶皮层），其用于控制眼睛运动和视觉注意；腹侧流（从主视觉皮层朝颞叶，包括V1，V2，V4，后颞（PIT）和前颞（AIT）），其处理目标和人脸的细节。背侧和腹侧流并不完全独立，且在更高区域，例如前额叶皮层（PFC）和V4，通过相互影响连接交互[5]。

腹侧流皮层的部分比喻已经用于典型计算机视觉中的许多计算模型中，但是，大部分模型仅模仿腹侧流，而不考虑视觉注意和腹侧流区域之间的连接。因此，改进必须集成视觉注意模型和分层腹侧流模型[6]。这些模型中，基于特征组合的物体识别框架（HMAX）[7]是一种强大的计算模型，其建模视觉皮层中人类腹侧视觉流的目标识别机制。文献[8]中提出了具有学习能力的HMAX模型，增强了模型的性能。腹侧流HMAX模型的C2特征用于人脸识别和手写识别。近几年，开发出了各种腹侧流HMAX模型以增强该模型的效率，所有这些模型中，已有许多特征选择方法[9?11]。文献[9]提出了稀疏局部特征模型（SLF），是HMAX模型的扩展版本，该模型相比HMAX模型具有更好的性能，更加依赖视觉皮层。文献[10]提出了视觉注意的基本计算模型，是大部分新模型的基础模型，文献[11]提出了基于HMAX模型和频谱剩余方法的混合C2特征，增强了目标识别系统中HMAX模型的性能。上述方法在一定程度上改善了识别性能，然而，当姿态、光照、表情变化较大时，识别率却严重下降，且很难同时对姿态、光照、表情等具有鲁棒性[12]。

基于上述分析，本文提出了字典学习优化结合HMAX模型的人脸识别方法，创新点为：将HMAX模型提取的特征与原始C2特征进行组合，以通过视觉注意模型访问人脸图像显著点的关键位置，从这些区域提取有效C2特征进行鲁棒性人脸识别；提出的方法利用字典学习优化，可对HMAX模型提取的特征进行最优化，保留更多的有用信息。

1 人脸表示

使用样本图像和从样本获得的仿射包模型联合表示一幅图像，因为同时包括样本和结构信息，所以该联合表示更具鲁棒性。令[Xc=[x1，x2，…，xnc]]表示第[c]个图像集，其中，[xi]是第[i]幅图像的特征向量，类的仿射包估计为：

2 人脸学习

2.1 利用HMAX模型提取特征

C1特征模拟皮层的V1&V2区域中的复杂细胞，具有相同特征类型（方向）作为S1，这些特征集中附近的S1特征（具有相同方向），以实现较大局部区域上位置和尺度不变，其结果也可子采样S1，以减少特征数。C1特征的值是（方向）落在最大滤波器内的最大S1特征的值[8]。S1特征模拟视觉区域V4和后路推断时间（PIT）皮层，包含调整目标?部分的类RBF单元并计算输入C1块和存储的原型之间的距离函数。S2特征从随机位置具有各种[n×n]（[n×n]=4[×]4，8[×]8，12[×]12和16[×]16）大小和四个方向的[K（P=1，2，…，K）]个块的训练集学习（因此，大小为[n×n]的块[P]包含[n×n][×]4个元素）。然后，S2特征扮演高斯RBF单元，计算输入模式[X]和存储的原型[P]之间的相似度分数（即欧氏距离）：[f（X）=exp-X-P2（2σ2），]选择的[σ]与块大小成比例。C2特征模拟颞皮层（IT）并在整个视野执行最大运算，提供刺激的中间编码。因此，对于每幅人脸图像，计算C2的特征向量并用于人脸识别。这些特征具有鲁棒性，C2特征的长度等于从图像中提取的随机块数，平滑且具有尺度不变性。

2.2 非约束字典学习优化

得到最优[X∈RK×N]后，利用单独的优化程序对[D]的每个原子项进行优化，令[dj∈Rm]为[D]的第[j]原子项，定义[xj?∈R1×N]的行向量为[X]的第[j]行，将[X]和所有原子项固定，改写式（6），构建优化问题：

3 分 类

为了建模人脸识别系统，将HMAX提取的特征与原始模型C2特征合并，以增强用于人脸识别的C2特征，并使用支持向量机（SVM） [14]分类，完成人脸识别。本文提出的人脸识别方法框架，如图1所示。

提出的人脸识别方法的过程如下：

（1） 从数据库读取人脸图像并预处理；

（2） 对于每幅人脸图像，用式（8）整合颜色显著点、强度显著点和方向显著点，并选择[N]个注意点；

（3） 从每幅人脸图像创建S1和C1特征；

（4） 利用字典学习优化，获取最优特征矩阵；

4 实验评估

所有实验均在64位Matlab 2012实验环境下完成，计算机系统的配置为：英特尔酷睿2双核处理器，2.66 GHz主频和4 GB RAM。

4.1 人脸数据集

Caltech人脸数据集[15]包含450张人脸图像具有不同光照和表情的27个对象。实验使用18个人每人20幅图像（Caltech人脸数据集的360张人脸图像），随机选择每个人5张（90张人脸图像）作为训练样本，剩下的用于测试（270张人脸图像）。预处理方法中，图像裁剪为228×228的尺寸，然后全部调整为140×140尺寸的图像。图2所示为Caltech人脸库中某人的20种不同光照和表情下的人脸图像示例。

4.2 参数变化分析

首先对参数[γ]和[λ]对识别率的影响进行分析，维度设为220，原子项数设为7，[λ]分别取1，0.1，0.01，0.001，[γ]分别取1，2，3，4，5，结果如图4所示。

从图4可以看出，在[γ]和[λ]变化幅度很大的情况下，提出的方法可以一直保持较高的识别率，表明提出的方法识别率受参数变化影响很小，即提出的方法对人脸表情和光照变化具有鲁棒性。

4.3 识别结果比较

4.3.1 识别率比较

将提出的方法与文献[7]，文献[10]，文献[11]方法进行比较，原子项设为7，记录不同维度下各个方法的识别率，如图5所示。

从图6可以看出，随着原子项总数的变化，提出的方法可以保持最高的识别率，表明提出的方法建立的字典既具有代表性，又具有局部保持性。

4.3.2 执行时间比较

为了评估本文方法的效率，对其执行时间进行评估。以全部样本都用于训练时的执行时间为基准，在执行时间、速度提升倍数方面将提出的方法与其他几种方法进行对比，执行时间为字典学习和训练数据投影的时间之和，如表1所示。

5 结 论

本文提出了字典学习优化结合HMAX模型的人脸识别方法，利用字典学习优化，可对HMAX模型提取的特征进行最优化，可保留更多的有用信息。将HMAX模型提取的特征与原始C2特征进行组合，通过视觉注意模型访问人脸图像显著点的关键位置，从这些区域提取有效C2特征进行鲁棒性人脸识别。参数分析表明本文方法对光照和表情变化具有鲁棒性，不同原子项和不同维度下的识别结果表明，本文方法的识别率高于其他几种较新的人脸识别方法。此外，本文方法的执行时间也明显低于其他的方法，相比基准执行速度，最高可提升6.2倍。

未来会将本文方法应用于复杂和多样背景下的人脸识别。此外，本文方法只使用SVM分类器，未来会利用其他的分类器，如人工神经网络、模糊分类等，通过实验进一步改善识别性能。

参考文献

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第9篇：数学建模鲁棒性分析范文

关键词：机械手 自适应控制 不确定项 RBF神经网络

中图分类号：TP183 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0097-03

从机械手控制系统角度来看，机械手各关节的控制环相互间存在着耦合，这种耦合关系使得机械手呈现出严重的非线性特征。因此，对其有效的智能控制策略一直是机器人控制领域研究的热点[1]。

基于模型的控制方法是在已知机器人精确数学模型情况下实现控制的，而在实际工程中，由于存在很多不确定性因素，使得该方法的轨迹跟踪误差很难收敛于零。PID控制方法简单，无需建模，但难保证机器人具有良好的静态和动态品质，同时要求控制能量比较大[2]。人工智能神经网络控制具有高度的非线性逼近映射能力，其发展为解决机器人的控制开辟了新途径。因此，基于神经网络的智能控制已被广泛用于不确定机器人系统的精确控制中[3～9]。

作为现代控制理论的自适应控制在参数不确定性严重的情况下，能够实现较好的跟踪性能。因此，本文提出了基于RBF网络逼近机器人中不确定项的自适应控制策略。该方法采用Lyapunov稳定性理论给出了RBF网络权值自适应学习率。利用MATLAB软件对该方法在机器人中的应用进行了仿真，仿真结果表明该控制策略能够克服扰动和摩擦力等不确定性因素，实现较准确的轨迹跟踪。

1 问题的提出

对在平面内运动的机械手，考虑重力及外部扰动的情况下，n关节机械手的动力学方程可表示为[2]：

（1）

其中，为n×n阶正定惯性矩阵，为n×1阶向心力与科氏力矢量，为n×1惯性向量，为摩擦力，为未知外加干扰，为n×1阶关节输入力或力矩矢量，分别代表关节位移、速度和加速度矢量。

从公式（1）可看出机器人系统具有非线性、强耦合及时变的特性。其跟踪误差为：

其中，为期望关节位移。

定义误差函数为：

（2）

其中，，将（2）式代入（1）式得：

则

（3）

将式（3）两边同时乘以正定惯性矩阵得：

（4）

令，则式（4）变为：

在实际工业机器人中，由于模型物理参数的测量误差及关节摩擦力等未知扰动的存在，使得为模型不确定项。因此为了得到比较准确轨迹跟踪，就需要不确定项进行逼近。

2 RBF网络的逼近

实际机械手中存在时变不可测的不确定项，为了使其控制系统实现准确的轨迹跟踪，同时具有对未知扰动的鲁棒性，应该对不确定项进行辨识。

RBF（Radial Basis Function，径向基函数）是具有单隐层的三层前馈网络，其模拟人脑局部调整和感受野的神经网络结构。RBF由输入到输出的映射是非线性的，同时是局部逼近的神经网络，因而采用RBF网络可加大学习速度并可避免局部极小的问题，适合用于实时控制。采用基于RBF网络的控制方案，可有效提高系统的精度、鲁棒性和自适应性。因此，采用RBF网络对不确定项进行逼近。

RBF网络的基函数采用Gauss函数，理想RBF的算法为：

其中，为神经网络输入向量，为神经网络权值的权值，为节点i中心向量，节点i的基宽度，为神经网络逼近误差。

3 基于RBF的自适应控制器设计

3.1 控制器设计

采用RBF网络对不确定项进行逼近，根据的表达式，网络输入取：

则RBF网络的输出为：

（5）

其中，为RBF对的估计值。

取：

设计控制律为：

（6）

其中为用于克服神经网络逼近误差的鲁棒项。

将鲁棒项设计为：

（7）

令，，则被控对象中的项可写为：

针对中的各项分别进行神经网络逼近：

则：

自适应律取：

（8）

（9）

（10）

（11）

其中，，，。

3.2 稳定性分析

定义Lyapunov函数为：

则：

考虑机器人特性，并将神经网络自适应律式（8）～（11）代入上式，得：

由于：

考虑鲁棒项（7），则

由于：

要使，需要

4 仿真实例

以平面双臂转动关节机械手跟踪为例，其动力学模型如式（1），具体的表达如下：

取：

按网络输入值的范围取值，取，网络初始权值取零，网络输入取：

系统的初始状态为[0.090-0.090]，控制参数取，，；在鲁棒项中取，，。

采用RBF分块逼近不确定项方法，并与RBF总体逼近不确定项方法进行比较，仿真结果见图1～图4。

由图1、2可看出，采用RBF总体逼近不确定项方法使得关节1、2的输入力矩出现了震荡，直到5 s左右时才趋于稳定，由此造成了轨迹跟踪时关节1、2的超调量大，调节时间长（如图3，4所示）；而采用RBF分块逼近不确定项方法输入力矩在0.5 s时就趋于稳定，无震荡，关节1、2的轨迹跟踪超调量小，调节时间短，准确地实现了机械手的轨迹跟踪，提高了系统的自适应性。从图中可看出RBF分块逼近不确定项方法具有适合控制系统输入的数值品质，保证了控制器设计的实用性。

5 结论

在实际应用中由于干扰和摩擦力等因素的影响，在机械手中存在不确定项。本文在计算力矩方法的基础上，利用RBF神经网络分块逼近不确定项，并由Lyapunov稳定性理论建立了RBF神经网络权值的自适应学习律。该方法保证了逼近误差的收敛，有效地消除了模型不确定性的影响，准确地实现了轨迹跟踪，同时提高了控制系统的全局稳定性和自适应性。

参考文献

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