数学建模鲁棒性分析精选(九篇)
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第1篇：数学建模鲁棒性分析范文
1概述
在VLSI系统中,锁相环常被用于生成高频时钟。由于系统工作频率在不断的升高,锁相环的输出频率也必须相应的提高,此外随着工艺尺寸的缩小,晶体管集成度在不断增加,PLL需要工作在更嘈杂的噪声环境中,电荷注入和时钟馈通等带来的纹波也增加了锁相环的抖动,所有这些都使得锁相环的低抖动设计面临着更大的挑战。
在文献[1]中,John G. Maneatis提出了一款2阶自偏置锁相环,该系统具有大的工作带宽,优良的低抖动特性和很好的鲁棒性能。但是不足的是该PLL仍然是二阶系统。二阶系统滤波器设计简单,系统稳定性较好,但是对噪声的抑制效果远没有高阶的好,不能满足更高要求的低抖动设计。
高阶锁相环可以有效地衰减高频分量和抑制纹波,具有较好的低抖动性能,但是高阶锁相环存在多个极点,极大的增加了系统稳定性的设计难度。在系统级对PLL进行稳定性分析以及滤波器参数选择也变得更加复杂。本文将基于一款三阶自偏置锁相环进行分析,建立其系统级数学建模,推导出该锁相环的性能参数,并根据此数学模型,得到系统响应的波特图,依此分析了该系统的稳定性,并由此来确定滤波器的参数。利用数学模型可以简洁准确的分析系统特性,并有效的指导电路设计。
本文第2节介绍了三阶自偏置锁相环的结构,第3节建立了其的数学模型并量化分析其系统性能参数,第4节中,利用波特图分析了该系统的稳定性能,第5节给出了系统级和电路级的仿真结果。
2三阶自偏置锁相环的结构
三阶自偏置电荷泵锁相环的结构如图1所示,它由鉴频鉴相器(PFD)、电荷泵(CP)、环路滤波器(LF)、压控振荡器(VCO)、偏置电路(BG)和一个N分频器构成。与传统的锁相环不同的是,这里增加了一个偏置电路(BG)部件,该部件可以自己选择最佳工作偏置点,该偏置点只与工作频率相关[1]。
如图1所示,PFD检测VCO分频后的时钟与参考时钟之间的相位差,其检测结果驱动着电荷泵充电或者放电。环路滤波器将电流转换成控制电压,并滤掉交流电压分量,产生一个稳定的控制电压给偏置电路,偏置电路产生一个对噪声不敏感的VCO控制电压。当锁相环锁定时,VCO就会产生一个N倍于参考时钟振荡频率的稳定时钟。
在现在的VLSI设计中,各种各样的噪声增加了低抖动的设计难度。此外,在PFD检测到相位差时,电荷注入和时钟溃通都引起较大的纹波,增加了抖动。出于低抖动性能的考虑,环路滤波器(LF)用了二阶滤波器代替了常用的一阶滤波器,所以整个锁相环是一个三阶负反馈系统,这样可以有效地抑制温波,减小抖动。接下来的两章,将详细介绍该锁相环的数学建模和稳定性分析。
3数学建模
锁相环可以用一个连续时间负反馈系统来表示,其性能可转移到频域区分析。本章首先将建立频率响应函数,根据响应函数得到详细的性能参数。
3.1 环路滤波器(LF)响应函数
环路滤波器的作用是将电流转换成电压,同时滤除高频噪声,对锁相环的性能起决定性作用。现代锁相环中一般采用结构简单的无源滤波器,这里我们使用了两阶滤波器,如图2所示。
图2是一个二阶无源阻抗型的滤波器,是一个将电流转换到电压的积分电路,其传递函数为:
F■(s)=■ (1)
3.2 PLL系统响应函数
该PLL是一个三阶负反馈系统。我们设定I■为电荷泵的电流,K■为电荷泵的增益,N为分频系数。输出函数P■(s)与P■(s)输入的关系可以写为:
P■(s)=(P■(s)-P■(s)/N)
×■■K■■(2)
由此可以得到PLL系统闭环传输函数Hclose(s)和开环传输函数Hopen(s)分别是:
H■(s)=■
=■(3)
H■(s)=■■(4)
3.3 量化分析
在传统的锁相环中,I■ 和R都是定量,这使得决定系统性能的两个参数ζ(阻尼因子)和 ωN(带宽)也是一个定值。为了减小抖动,要求带宽越大越好,但是为了保证系统的稳定性,带宽需要做到工作频率的十分之一以下[1]。这就导致了稳定性和抖动性能之间的冲突,在设计的时候必须保证最低工作频率下的稳定性,有可能使得在较高频率工作时的抖动性能不理想。而在自偏置锁相环中,IP和R都是变量,带宽与工作频率的比值是一个定值,这样在高工作频率时也能得到很好的抖动性能。三阶以上的高阶锁相环其带宽和阻尼因子的计算相当复杂,但是如果C2是C1的1/5以下时就可以将此三阶系统近似为两阶系统来分析[2]。所以公式(1)可以近似为:
F■(s)=R■+■(5)
那么开环传输函数可以简化为:
P■(s)=(P■(s)-■)・■
・R+■・K■・■(6)
公式6可以变形为:
■=N・■ (7)
其中,
?灼=■・■(8)
ω■=■(9)
在自偏置锁相环中, R与■成反比,■与输出频率成正比[1],所以在锁定的情况下,■与参考时钟也成正比。这样ζ和ω■ /ωREF都是固定的值。所以这个PLL在满足稳定性的同时,在整个工作带宽内都可实现良好的低抖动特性。
4系统稳定性分析
4.1稳定性概念
对于负反馈系统,它的闭环函数可以写为:
■(s)=■ (10)
我们注意到如果NH(s)=-1,上式的增益将趋于无穷大,电路可以将自身的噪声无限放大直到振荡。所以反馈系统稳定必须满足当H(jω)=1 时有下式成立[2]:
∠H(jω)< -180°,当H(jω)=1时(11)
分析系统稳定性的方法有很多,其中较为简单实用的是波特图的方法。可以把公式4变形为:
H■(s)=K■(12)
其中T■=C■R, K=■, T■=■
这个系统有三个极点,ω2=1/T2是其中一个,另外两个都在原点。是ω1=1/T1唯一的零点。ω2>ω1必须恒定成立,以保证系统的稳定性。依据公式(3)和(4),得到系统的波特图如图3所示。
可以看出,该锁相环在原点处有两个极点,幅频特性呈二阶衰减特性下降,相移也达到-180°,然后系统引入的零点ω1使锁相环呈单阶衰减的特性,相位朝着-90°的方向移动,即有了相位裕度,使得锁相环能够稳定成为可能。为了有更好的高频衰减特性,环路滤波器引入的另一个极点ω2,使锁相环再次进入二阶衰减的特性,所以高频噪声得到有效衰减。
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从图中也可以看出稳定性能和抖动性能的折中关系。如果ω2远大于ω1,我们能得到较大的相位裕度,这样系统等稳定性会很好,但是对高频噪声的去除效果并不好。如果ω2离ω1较近,对高频噪声抑制较好,但是稳定性能较差。所以滤波器参数的设计体现了稳定性、抖动性能等参数之间的折中,通常会取相位裕度在55°左右[2]。
为了确定合理的滤波器参数,重要的是要知道在ω1
用s=jw带入公式(4)中可得到
H■(s)=■■ (13)
相位裕度公式为:
φ■=arctg(wC■R)=arctg■+180°(14)
将公式(14)进行求导取最大值,相位裕度函数的最大值处于频率ωopt,它是ω1和ω2的几何平均数,即:
ω■=■(15)
我们希望截止频率具有足够的相位裕度,因此选取截止频率等于ω■是最佳的选择,在实际的高性能PLL设计中,已经证明,选择ω2/ω1比值近似为10较为有利[2],我们既可以获得足够的相位裕度,保证锁相环系统稳定,而且还不至于使三阶极点离中心太远,造成去抖效果不理想。
5仿真结果
基于此数学模型,在采用matlab对PLL系统级进行仿真,其VCO的控制电压曲线的仿真波形如图4所示,可见系统大约在0.7微秒就已经稳定下来,控制电压没有出现宽幅的震荡,说明此系统具有较好的稳定性。
根据此数学模型,在65nm工艺下实现了自偏置锁相环的电路和版图设计。使用hspice对电路进行仿真,控制电压的仿真曲线如图5所示,可以看到PLL的控制电压在0.6微妙左右也稳定下来,工作曲线与数学模型的曲线基本吻合。
图6是该PLL整体版图,其中关键部件只占很少的面积,大部分面积被电容和去耦电容占据。
其输出波形及抖动测量如图7所示,仿真工具为hspice,仿真条件是:电压为1V,温度为75℃,corner为TT。
表1中列出了三个输出频率下的性能参数,仿真条件同上。由于工作条件和初始状态的不同,锁定时间也略有差别,在整个工作频率范围内,抖动都能控制在15ps以内。
此外,为了测试该电路的鲁棒性能,分别对电压和电容有偏差的情况作了仿真,仿真结果显示:压差在15%以内,容差在30%以内时,该电路均可正常工作。
6总结
本文从系统级对三阶自偏置锁相环进行了数学建模,以一种简洁的方法分析了高阶锁相环的性能参数以及稳定性。从仿真结果来看,这种建模分析的方法可以有效的表征系统特性,并指导电路设计。基于此数学模型完成了三阶自偏置锁相环的电路和版图设计,其输出频率范围为400MHz~2GHz,在工作范围内抖动可控制在15ps以内。
本文是从系统级对锁相环进行分析,没有涉及到电路的设计,且对该锁相环自偏置的原理没有过多的说明。这些都是值得研究和探讨的地方,将在后续的工作中继续研究。
参考文献
[1] Roland E. Best, Phase-Locked Loops Design, Simulation, And Applications, McGraw-Hill, 1999
[2] J.Maneatis, Low_Jitter and Process-Independent DLL and PLL Based on self-Biased Techniques ISSCC, 1996
[3] John G. Maneatis and Mark A. Horowitz, Precise Delay Generation Using Coupled Oscillators, IEEE JSSC, Vol. 28. No 12 . Dec 1993
[4] 周润德 等译, 数字集成电路, 电子工业出版社, 2004.
第2篇：数学建模鲁棒性分析范文
关键词：卡里巴水坝 拆除 替代 详细分析 新的水坝系统
中图分类号：TV631 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）04（a）-0095-04
Detailed Analysis of the Acquisition and Optimization of the New Kariba Dam System
Yang Shuhan
（The Dalian university of technology， Dalian Liaoning， 116024， China）
Abstract： The Kariba Dam on the Zambezi River is one of the larger dams in Africa. Its construction was controversial， and a 2015 report by the Institute of Risk Management of South Africa included a warning that the dam is in dire need of maintenance. A number of options are available to the Zambezi River Authority （ZRA） that might address the situation. One of the options is： Removing the Kariba Dam and replacing it with a series of ten to twenty smaller dams along the Zambezi River. This paper provides the detailed analysis of this option. That is under the condition that this new system of dams have the same overall water management capabilities as the existing Kariba Dam while providing the same or greater levels of protection， giving water management options for Lake Kariba that are in place with the existing dam. The analysis includes a strategy for modulating the water flow through the new multiple dam system that provides a reasonable balance between safety and costs. In addition to addressing known or predicted normal water cycles， the strategy should explains and justifies the actions that should be taken to properly handle emergency water flow situations （i.e. flooding and/or prolonged low water conditions）. This paper can provide guidance to the ZRA if they choose this option to solve the problem to some extent.
Key Words： The Kariba Dam； Removing； Replacing； Detailed analysis； New system of dams
在大蔚氖褂闷诩洌故障是不可避免的。而且，有必要强调的是，卡里巴水坝在南非数千人的日常生活中是非常重要的。因此许多组织都非常注意卡里巴大坝的问题。2008年2月6日，BBC报告说，大雨可能会导致水从大坝中被释放出来，这将迫使下游的50 000居民进行疏散。上升的水平线导致了2010年3月闸门的开闸，这需要居住在洪泛区的13万人疏散，并且洪水可能蔓延到附近地区引起了广泛的关注[1]。
为了方案的顺利实施，我们考虑了尽可能多的方面。从新坝的选址到对周围环境的影响，从建设成本到这些小水坝的收益，从新坝建设对当地人民的风险评估到所需动力和水量的最低要求等。下面将通过设置适当的模型并将模型与实际结合给出细节分析，并借用虚拟数据来体现我们在计算机程序中的想法。我们最终目标的关键点是达到合理性和可行性。
1 详细分析过程的概述
首先，有几个解决卡里巴大坝故障问题的相关要点：卡里巴湖的水容量调节能力；居民财产和生命安全；新坝系统的防洪能力；优化新坝的位置；得到的所有方案的比较；变量和一般规律；结果和事实之间的关联程度。
然后，基于这些想法，我们确认了我们工作的顺序。
（1）根据假设找到所需数据。
（2）使用已有数据和我们的想象力建立模型。
（3）验证模型并在要点的基础上改进缺点。
（4）总结所有所得，给出一个或多个解决方案。
2 假设
在建模后，通^调整变量，找出随着资金总数的增加，水库蓄水能力达到最优时所对应的建坝位置、规模、数量之间隐含的变化关系。从所有可行方案中选取成本合适、对水资源调节能力较强的一组，通过查找数据模拟河流以年为周期的水流变化情况，制定合理的调水方案，在保证水库安全的情况下尽量少放水、均匀放水，同时保证人们用水。
3 模型描述
3.1 一级模型
3.1.1 理想河
根据当地部分沿河城市的海拔数据，我们做出了一定范围内河流海拔高度与距离源头距离的拟合曲线，将整条河流模拟成了理想化的形式。
河道为平滑的梯形：为了使河流宽度贴近真实数据，在保证河道宽度的最大值、最小值和平均值的情况下，通过随机数模拟河道宽度；假定在不存在大坝干扰河流水量的情况下，河流单位面积的水流量相同，且水面与河道底部平行。
3.1.2 理想坝
理想坝是一个建在梯形河道上的大坝，其在正常蓄水位下便可以把水完全拦截，不必担心水从河道中溢出。正常蓄水位以下均为水坝可调节库容。
3.2 二级模型
在理想河模型上我们共获得了45个等距的可以建造水坝的点。我们可以在此基础上获取每个可选坝址的信息并通过下面提及的公式与函数大致算出不同大小、不同位置的大坝的性能及成本。随后，我们利用退火算法得到最优的解决方案，即在同一工程造价下收益最多的方案。
3.3 三级模型
在我们找到新坝群合适的位置和规模后，原有水量将根据水库现有水量和规模分配给每个水库。在电脑上模拟径流是通过基于多年最大径流量，最小径流量和平均径流量的随机数法。为计算各坝的月流入量、月流出量和现有存储量并给出适当的分配和运输水的方法，我们为水库设置了最高和最低安全水位。
4 模型建立
4.1 一级模型
根据我们的理解与假设，我们首先要能够得到坝址以解决选址问题。所以我们的初级任务是基于数据模拟河流情况。该模型建立后，探索各变量之间的联系以得到最优解。
根据公式计算库容：
V=BLH/K （1）
式中：V为水库总库容；B为坝址的河道宽；L为回水长度；H为正常蓄水量；K为常数。
根据公式计算回水长度：
L=H/C （2）
式中：C为河道平均坡度。
根据公式计算平均坡度：
C=（d1-d2）/S （3）
式中：d1、d2为海拔高度；S为1和2间的河道长度。
4.2 二级模型
二级模型，见表1。
4.3 三级模型
（1）使用搜索到的信息限制释放水的体积；（2）建立线性规划的数学模型；（3）通过随机数法生成合适的引水方案。
5 模型的检测和敏感性分析
5.1 参数的探讨
一些参数是在讨论和查找信息后合理创造的。通过查找大量的材料我们尽可能多的使用了已有数据，在确实无法获得实际值的情况下才会自己设置参数。我们花费了大量的时间寻找我们建模的数据，因为我们相信更多的实际数据，意味着更准确和符合现实的预测。
5.1.1 理想河的参数
用矩形代替梯形河道的行为鲁棒性较差并且根据自然河道的情况，很容易判断矩形河道是不合理的、无法使用的。
5.1.2 二级模型的参数
正常蓄水量和成本都有着低鲁棒性。这是两个非常重要的参数，因为它们与水坝性能和总成本相关。
5.1.3 三级模型的参数
（1） 对干旱和洪水的标准进行调整；（2）增加随机数的波动范围来影响河流径流量。被增强的水库调节能力达到了足以抵抗洪水的程度，也就是等于拥有了优越的鲁棒性。
5.2 规律
通过对3组不同造价的建造方案在组内进行比较和进行组间比较之后得出以下结论。
（1）随着造价的提升，相应的最大蓄水量前期变化明显，后期上升较为缓慢，在造价约为2.96亿时，性价比较高，且对水的调节能力有显著的提高。
（2）在所讨论的适宜造价范围内，造价相同时，建较多的大坝性价比较低，通过对性价比较高的方案的分析，推荐建坝数量为12～14个。
（3）通过对每个可建坝点的建坝次数的累加，可以优化适合建坝的位置，在理想模型下，考虑到我们需要大蓄水量，因此推荐选择河道较为宽阔的地方建坝，且在这样的位置建立水坝的规模也往往较大。
（4）通过数据发现，大坝如果建得过于密集，其蓄水能力将大打折扣，因此在实际选择建坝位置时，不宜过密。
6 总结
6.1 建模结果
建模结果见图1、图2、表2、表3。
6.2 模型优势
（1）通过线性规划得到解决方案，如果在这个问题中我们可以得到更准确的数据，那么方案将更加准确，这就意味着此算法有改进的空间。
（2）退火算法和线性规划的方法使解决方案更具有普遍性。类似的问题可以通过仅改变少数参数解决。
（3）通过随机数模拟的方法，可以使模型多变，这便能帮助我们找到一般规律，这说明此模型具有较强的解决问题的能力。
（4）所用模型都很易建立。
6.3 模型劣势
（1）尽管模型已得到改进，它仍然与现实不同。
（2）信息的缺乏使一些数据不够准确并会影响最终结果的准确性。
6.4 未来工作的展望
（1）对卡里巴水库大坝的实地考察以获得更多实际数据。
（2）使用新数据优化方案。
（3）更新不准确的数据。
（4）在情况变得更糟糕前尽快执行最佳方案。
7 结语
该文通过数学建模的思想给出了建造大坝随着资金增加的变化倾向于一般规律和调节水量的一般方法。经过讨论、查阅资料合理制定了一些参数，提升预测的准确性。该文给出的方案可以在安全和成本方面为卡里巴新水坝的水流量系统提供合理的策略。解决已知或预测的正常水周期，解释和证明了正确处理应急水流情况应当采取的行动。为日后卡里巴的修缮工程提供一定的帮助。
参考文献
[1] Kariba Dam[EB/OL].https：///wiki/Kariba_Dam#cite_note-21.
第3篇：数学建模鲁棒性分析范文
本文作者：工作单位：安徽埃夫特智能装备有限公司
从控制系统设计角度来说，可以采用辩证法内外因基本原理来分析影响重载机器人控制品质的因素，首先，如果系统存在动力学耦合、柔性等非线性因素，仅仅采用传统的线性控制很难获得良好的控制品质，底层伺服回路的控制缺陷是影响机器人控制品质的内因。第二，如果运动规划环节处理不当，传输给底层运动控制回路的运动指令不合理，即存在位置不连续，速度不连续，加速度跃变等情况，对系统会产生严重的冲击，即便底层伺服控制设计再优秀，同样也会严重影响系统控制品质，这就是所谓的外因。下面就从内外因角度对目前在机器人运动规划和底层伺服控制方面的相关进展进行综述。机器人运动规划方法运动规划与轨迹规划是指根据一定规则和边界条件产生一些离散的运动指令作为机器人伺服回路的输入指令。运动规划的输入是工作空间中若干预设点或其他运动学和动力学的约束条件；运动规划的输出为一组离散的位置、速度和加速度序列。运动规划算法设计过程中主要需要考虑以下三个问题：（1）规划空间的选取：通常情况下，机器人轨迹规划是在全局操作空间内进行的，因为在全局操作空间内，对运动过程的轨迹规划、避障及几何约束描述更为直观。然而在一些情况下，通过运动学逆解，运动规划会转换到关节空间内完成。在关节空间内进行运动规划优点如下：a.关节空间内规划可以避免机构运动奇异点及自由度冗余所带来种种问题[1-4]；b.机器人系统控制量是各轴电机驱动力矩，用于调节各轴驱动力矩的轴伺服算法设计通常情况也是在关节空间内的，因此更容易将两者结合起来进行统一考虑[5,6]；c.关节空间运动规划可以避免全局操作空间运动规划带来的每一个指令更新周期内进行运动规划和运动学正逆计算带来的计算量，因为如果指令更新周期较短，将会对CPU产生较大的计算负荷。（2）基础函数光滑性保证：至少需要位置指令C2和速度指令C1连续，从而保证加速度信号连续。不充分光滑的运动指令会由于机械系统柔性激起谐振，这点对高速重载工业机器人更为明显。在产生谐振的同时，轨迹跟踪误差会大幅度增加，谐振和冲击也会加速机器人驱动部件的磨损甚至损坏[7]。针对这一问题，相关学者引入高次多项式或以高次多项式为基础的样条函数进行轨迹规划，其中Boryga利用多项式多根的特性，分别采用5次、7次和9次多项式对加速度进行规划，表达式中仅含有一个独立参数，通过运动约束条件，最终确定参数值，并比较了各自性能[8]。Gasparetto采用五次B样条作为规划基础函数，并将整个运动过程中加速度平方的积分作为目标函数进行优化，以确保运动指令足够光滑[9]。刘松国基于B样条曲线，在关节空间内提出了一种考虑运动约束的运动规划算法，将运动学约束转化为样条曲线控制顶点约束，可保证角度、角速度和角加速度连续，起始点和终止点角速度和角加速度可以任意配置[10]。陈伟华则在Cartesian空间内分别采用三次均匀B样条，三次非均匀B样条，三次非均匀有理B样条进行运动规划[11]。（3）运动规划中最优化问题：目前常用的目标函数主要为运行时间、运行能耗和加速度。其中关于运行时间最优的问题，较为经典是Kang和Mckay提出的考虑系统动力学模型以及电机驱动力矩上限的时间最优运动规划算法，然而该算法加速度不连续，因此对于机器人来说力矩指令也是不连续的，即加速度为无穷大，对于真实的电驱伺服系统来说，这是无法实现的，会对系统产生较大冲击，大幅度降低系统的跟踪精度，对机械本体使用寿命也会产生影响[12]。针对上述问题Constantinescu提出了解决方法，在考虑动力学特性的基础上，增加对力矩和加速度的约束，并采用可变容差法对优化问题进行求解[13]。除了以时间为优化目标外，其他指标同样被引入最优运动规划模型中。Martin采用B函数，以能耗最少为优化目标，并将该问题转化为离散参数的优化问题，针对数值病态问题，提出了具有递推格式的计算表达式[14]。Saramago则在考虑能耗最优的同时，将执行时间作为优化目标之一，构成多目标优化函数，最终的优化结果取决于两个目标的权重系数，且优化结果对于权重系数选择较为敏感[15]。Korayem则在考虑机器人负载能力，关节驱动力矩上限和弹性变形基础上，同时以在整个运行过程中的位置波动，速度波动和能耗为目标，给出了一种最优运动规划方法[6]，然而该方法在求解时，收敛域较小，收敛性较差，计算量较大。
考虑部件柔性的机器人控制算法机器人系统刚度是影响动态性能指标重要因素。一般情况下，电气部分的系统刚度要远远大于机械部分。虽然重载工业机器人相对于轻型臂来说，其部件刚度已显著增大，但对整体质量的要求不会像轻型臂那么高，而柔性环节仍然不可忽略，原因有以下两点：（1）在重载情况下，如果要确保机器人具有足够的刚度，必然会增加机器人部件质量。同时要达到高速高加速度要求，对驱动元件功率就会有很高的要求，实际中往往是不可实现（受电机的功率和成本限制）。（2）即使驱动元件功率能够达到要求，机械本体质量加大会导致等效负载与电机惯量比很大，这样就对关节刚度有较高的要求，而机器人关节刚度是有上限的（主要由减速器刚度决定）。因此这种情况下不管是开链串联机构还是闭链机构都会体现出明显的关节柔性[16,17]，在重载搬运机器人中十分明显。针对柔性部件带来的系统控制复杂性问题，传统的线性控制将难以满足控制要求[17-19]，目前主要采用非线性控制方法，可以分成以下几大类：（1）基于奇异摄动理论的模型降阶与复合控制首先针对于柔性关节控制问题，美国伊利诺伊大学香槟分校著名控制论学者MarkW.Spong教授于1987年正式提出和建立柔性关节的模型和奇异摄动降阶方法。对于柔性关节的控制策略绝大多数都是在Spong模型基础上发展起来的。由于模型的阶数高，无法直接用于控制系统设计，针对这个问题，相关学者对系统模型进行了降阶。Spong首先将奇异摄动理论引入了柔性关节控制，将系统分成了慢速系统和边界层系统[20]，该方法为后续的研究奠定了基础。Wilson等人对柔性关节降阶后所得的慢速系统采用了PD控制律，将快速边界层系统近似为二阶系统，对其阻尼进行控制，使其快速稳定[21]。针对慢速系统中的未建模非线性误差，Amjadi采用模糊控制完成了对非线性环节的学习[22]。彭济华在对边界层系统提供足够阻尼的同时，将神经网络引入慢速系统控制，有效的克服了参数未知和不确定性问题。连杆柔性会导致系统动力学方程阶数较高，Siciliano和Book将奇异摄动方法引入柔性连杆动力学方程的降阶，其基本思想与将奇异摄动引入柔性关节系统动力学方程一致，都将柔性变形产生的振动视为暂态的快速系统，将名义刚体运动视为准静态的慢速系统，然后分别对两个系统进行复合控制，并应用于单柔性连杆的控制中[23]。英国Sheffield大学A.S.Morris教授领导的课题组在柔性关节奇异摄动和复合控制方面开展了持续的研究。在2002年利用Lagrange方程和假设模态以及Spong关节模型建立柔性关节和柔性连杆的耦合模型，并对奇异摄动理论降阶后的慢速和快速子系统分别采用计算力矩控制和二次型最优控制[24]。2003年在解决柔性关节机器人轨迹跟踪控制时，针对慢速系统参数不确定问题引入RBF神经网络代替原有的计算力矩控制[25].随后2006年在文献[24]所得算法和子系统模型的基础上，针对整个系统稳定性和鲁棒性要求，在边界层采用Hinf控制，在慢速系统采用神经网络算法，并给出了系统的稳定性分析[26]。随着相关研究的开展，有些学者开始在奇异摄动理论与复合控制的基础上作出相应改进。由于奇异摄动的数学复杂性和计算量问题，Spong和Ghorbel提出用积分流形代替奇异摄动[27]。针对奇异摄动模型需要关节高刚度假设，在关节柔度较大的情况下，刘业超等人提出一种刚度补偿算法，拓展了奇异摄动理论的适用范围[28]。（2）状态反馈和自适应控制在采用奇异摄动理论进行分析时，常常要同时引入自适应控制律来完成对未知或不精确参数的处理，而采用积分流形的方式最大的缺点也在于参数的不确定性，同样需要结合自适应控制律[29,30]。因此在考虑柔性环节的机器人高动态性能控制要求下，自适应控制律的引入具有一定的必要性。目前对于柔性关节机器人自适应控制主要思路如下：首先根据Spong模型，机器人系统阶数为4，然后通过相应的降阶方法获得一个二阶的刚体模型子系统，而目前的大多数柔性关节自适应控制律主要针对的便是二阶的刚体子系统中参数不确定性。Spong等人提出了将自适应控制律引入柔性关节控制，其基于柔性关节动力学奇异摄动方程，对降阶刚体模型采用了自适应控制律，主要采用的是经典的Slotine-Li自适应控制律[31]，并通过与Cambridge大学Daniel之间互相纠正和修改，确立一套较为完善的基于奇异摄动模型的柔性关节自适应控制方法[32-34]。（3）输入整形控制输入整形最原始的思想来自于利用PosicastControl提出的时滞滤波器，其基本思想可以概括为在原有控制系统中引入一个前馈单元,包含一系列不同幅值和时滞的脉冲序列。将期望的系统输入和脉冲序列进行卷积,产生一个整形的输入来驱动系统。最原始的输入整形方法要求系统是线性的，并且方法鲁棒性较差，因此其使用受到限制。直到二十世纪九十年初由MIT的Signer博士大幅度提高该方法鲁棒性，并正式将该方法命名为输入整形法后[35]，才逐渐为人们重视，并在柔性机器人和柔性结构控制方面取得了一系列不错的控制效果[36-39]。输入整形技术在处理柔性机器人控制时，可以统一考虑关节柔性和连杆柔性。对于柔性机器人的点对点控制问题，要求快速消除残余振荡，使机器人快速精确定位。
这类问题对于输入整形控制来说是较容易实现的，但由于机器人柔性环节较多，呈现出多个系统模态，因此必须解决多模态输入整形问题。相关学者对多模态系统的输入整形进行了深入研究。多模态系统的输入整形设计方法一般有:a)级联法：为每个模态设计相应的滤波器，然后将所有模态的时滞滤波器进行级联,组合成一个完整的滤波器，以抑制所有模态的振荡；b)联立方程法:直接根据系统的灵敏度曲线建立一系列的约束方程，通过求解方程组来得到滤波器。这两种方法对系统的两种模态误差均有很好的鲁棒性。级联法设计简单，且对高模态的不敏感性比联立方程法要好；联立方程法比较直接，滤波器包含的脉冲个数少,减少了运行时间。对于多模态输入整形控制Singer博士提出了一种高效的输入整形方法，其基本思想为：首先在灵敏度曲线上选择一些满足残留振荡最大幅值的频段，在这些特定的频带中分别选择一些采样频率，计算其残留振荡；然后将各频率段的残留振荡与期望振荡值的差平方后累加求和，构成目标函数，求取保证目标函数最小的输入整形序列。将频率选择转化为优化问题，对于多模态系统，则在每个模态处分别选择频率采样点和不同的阻尼系数，再按上述方法求解[40]。SungsooRhim和WayneBook在2004年针对多模态振动问题提出了一种新的时延整形滤波器，并以控制对象柔性模态为变量的函数形式给出了要消除残余振动所需最基本条件。同时指出当滤波器项数满足基本条件时，滤波器的时延可以任意设定，消除任何给定范围内的任意多个柔性振动模态产生的残余振动，为输入整形控制器实现自适应提供了理论基础[41]，同时针对原有输入整形所通常处理的点对点控制问题进行了有益补充，M.C.Reynolds和P.H.Meckl等人将输入整形应用于关节空间的轨迹控制，提出了一种时间和输入能量最优的轨迹控制方法[42]。（4）不基于模型的软计算智能控制针对含有柔性关节机器人动力学系统的复杂性和无法精确建模，神经网络等智能计算方法更多地被引入用于对机器人动力学模型进行近似。Ge等人利用高斯径向函数神经网络完成柔性关节机器人系统的反馈线性化，仿真结果表明相比于传统的基于模型的反馈线性化控制，采用该方法系统动态跟踪性能较好，对于参数不确定性和动力学模型的变化鲁棒性较强，但是整个算法所用的神经网络由于所需节点较多，计算量较大，并且需要全状态反馈，状态反馈量获取存在一定困难[43]。孙富春等人对于只具有关节传感器的机器人系统在输出反馈控制的基础上引入神经网络，用于逼近机器人模型，克服无法精确建模的非线性环节带来的影响，从而提高机器人系统的动态跟踪性能[44]。A.S.Morris针对整个柔性机器人动力学模型提出了相应的模糊控制器，并用GA算法对控制器参数进行了优化，之后在模糊控制器的基础上，综合了神经网络的逼近功能对刚柔耦合运动进行了补偿[45]。除采用神经网络外，模糊控制也在柔性机器人控制中得以应用。具有代表性的研究成果有V.G.Moudgal设计了一种具有参数自学习能力的柔性连杆模糊控制器，对系统进行了稳定性分析，并与常规的模糊控制策略进行了实验比较[46]。Lin和F.L.Lewis等人在利用奇异摄动方法基础上引入模糊控制器，对所得的快速子系统和慢速子系统分别进行模糊控制[4748]。快速子系统的模糊控制器采用最优控制方法使柔性系统的振动快速消退，慢速子系统的模糊控制器完成名义轨迹的追踪，并对单柔性梁进行了实验研究。Trabia和Shi提出将关节转角和末端振动变形分别设计模糊控制器进行控制，由于对每个子系统只有一个控制目标，所以模糊规则相对简单，最后将两个控制器的输出进行合成，完成复合控制，其思想与奇异摄动方法下进行复合控制类似[49]。随后又对该算法进行改进，同样采用分布式结构，通过对输出变量重要性进行评估，得出关节和末端点的速度量要比位置量更为重要，因此将模糊控制器分成两部分，分别对速度和位置进行控制，并利用NelderandMeadSimplex搜索方法对隶属度函数进行更新[50]。采用基于软计算的智能控制方法相对于基于模型的控制方法具有很多优势，特别是可以与传统控制方法相结合，完成对传统方法无法精确建模的非线性环节进行逼近，但是目前这些方法的研究绝大部分还处于仿真阶段，或在较简单的机器人（如单自由度或两自由度机器人）进行相关实验研究。其应用和工程实现受限的主要原因在于计算量大，但随着处理器计算能力的提高，这些方法还有广泛的应用前景。
第4篇：数学建模鲁棒性分析范文
关键词:三维人脸建模;人脸检测;特征提取
中图分类号:TP18 文献标识码:A文章编号:1009-3044(2010)17-4755-02
Research on the Thoughts of Design of 3D Face Detection Based on Image
ZHU Jun-jun, CHENG Tao
(College of Computer Science, Sichuan normal University, Chengdu 610101, China)
Abstract: Automatic face detection has long been an active research area because of it's potential for applications such as law enforcement, security access, and man-machine interaction. Most of the extensive recognition methods are based on 2D methods. So, it is not the real 3D methods. This paper focused on the research of the technique of 3D face diction based on image. It means, detect 3D face with two original photos of human's head and other faces. In this paper, I find a method witch is the real 3D method. It is based on the image itself. What we need to do is about three steps to obtain the detection. Three steps: processing, modeling, detecting.
Key words: 3D face modeling; face detection; feature extraction
广义的人脸识别实际包括构建人脸识别系统的一系列相关技术,包括人脸图像采集、人脸定位、人脸识别预处理、身份确认以及身份查找等;而狭义的人脸识别特指通过人脸进行身份确认或者身份查找的技术或系统。基于人脸特征进行身份验证是目前比较流行的身份验证技术,它具有、友好、 直接等优秀的特点,能够被广大用户所接受。因此计算机人脸识别技术是生物特征最为活跃最有挑战性的领域之一。它结合了认知科学、图象处理、计算机图形学、机器视觉和模式识别等多个研究领域,研究的成果有着广阔的应用前景。
1 目前人脸识别中存在的问题
到目前为止,人脸识别研究虽然取得很大进步,形成了各种方法理论,但仍然存在着各种各校的局限,比如识别的结果容易受到面部表情、人物姿势、自然光照、天气状况、人物生理特征变化等各方面综合因素的影响。
主要体现在:1) 人脸人为变形(如表情等)的不确定性;2) 人脸外观的复杂性(如发型、斑点、肤色等);3) 图像生成结果过程中的不确定性(如太阳光照的强度、光照来源方向等);4) 人脸的肤色生理复杂性(如妇女生了小孩后脸型发胖、长斑等)。
2 三维人脸识别国内外研究状况
三维人脸识别一起以来有着突飞猛进的发展,自从上个世纪以来,真正标志着三维人脸的识别是1980年开始,国内的三维人脸识别的展开要稍微慢一些,还处于刚起步的状态。在国内要实现三维人脸识别,首先要对三维数据信息的获得,然后已经成功地运用在目前的生产实际应用之中,例如我们国内的大型医院里面用到的采用PHILIPS公司的仪器的CT医学成像,三维激光切割技术,结构光学方法,但是应用不是不够成熟,技术依赖太强。而在国外,三维人脸识别技术已经有了大的进展,特别是在三维数据提取过程中有着非常大的发展,比如在对外界光照情况下如何克服不同光源影响,Pentland等提出采用多视角图像解决姿态变化的人脸识别问题,Georghiade等提出亮度锥方法处理姿态光照变化问题,Blanz等提出3D形变模型方法。国外对于处理三维人脸识别的基本方法是采取数学方面的几何特征对图像自身进取处理,利用深度图象处理技术,分析面貌曲面的曲率等几何特征,对面貌曲面进行凹凸区域的分割、正侧面轮廓边缘的提取。
3 三维人脸建模与识别介绍
三维人脸建模作为计算机视觉和计算机图形学领域中的一个主要基础,它是达到识别的先决条件,而人脸凭借其特有的普遍性和易用性成为众多专家学者进行三维建模的研究对象。从20世纪70年代Parke建立第一个脸部模型开始,许多研究人员致力于三维人脸建模的研究。特别是20世纪90年代以来,计算机视觉和计算机图形学技术的迅猛发展为三维人脸建模提供了技术支持,学多学者开始尝试建立逼真的三维人脸模型,并取得了显著的成绩。
近年来,随着三维感知技术和三维几何学学科了解的逐步深入,人们进行人脸识别也开始受三维人脸建模技术的影响而将眼光转移到关注三维以及二维和三维混合领域上。使用三维人脸模型进行人脸识别研究具有很多优势,首先,基于3D模型的人脸识别将对姿态和光照变化具有更强的鲁棒性。其次,引入3D模型,识别工作就可以在2.5D或者2D深度图像和3D人脸模型之间展开,从而一定程度上提高识别效率和精确度。虽然事实证明3D感知设备如3D深度扫描仪辅助的3D人脸建模方法在3D人脸识别方面具有非常优秀的效果,但其受可用性和感知设备的高昂费用所限,目前单纯利用3D感知设置进行人脸识别的商业应用仍然很少。
4 三维人脸识别过程所需要的基本步骤
综上所述,为了达到一个自动的人脸识别的过程,如图1所示,需要的步骤有:
1) 人脸检测与人脸分割。从自然界给定的场景里面检测出人脸,然后进行定位,最后提取。
2) 人脸的规范化。首先要校正人脸在位置、光照和角度等外界环境因素影响下的变化。
3) 人脸表征。采用某种方法表示出数据库中的已知人脸和检测出的人脸,通常的方法有几何特征、代数特征、特征脸、固定特征模板等。
4) 人脸识别。根据人脸的表征方法,选择适当的匹配策略将得到的人脸与数据库中的已知人脸相比较。
5 三维人脸识别系统的构成
5.1 三维人脸的定位系统构成
人脸定位方法基本上可以分成两类,分别是对于彩色图像的和基于灰度图像的,基于彩色图像的定位方法有:例如基于肤色的定位方法,该方法利用肤色与背景色彩的区别从人脸图像中定位出人脸的大致位置,利用模板匹配从候选区域中检测并提取出人脸;基于灰度图像的方法:基于人脸轮廓的人脸定位方法,该方法利用对人脸的先验知识,在snake曲线提取边缘的算法的基础上,研究了ASM算法,这种算法先对人脸样本进行训练,然后进行曲线检测,对人脸检测定位更具通用性。
5.2 三维人脸的重建的方法介绍
三维重构人脸的方法有基于三维结构光,基于3D形变模型和基于通用模型等3D形变模型是一种参数化的通用模型,本文就是在3D形变模型标准模型的基础上重构特定人脸3D形状。在通用模型上重建出特定的人脸的过程就是参数调整的过程。把表述人脸的特征点分成不同的优先级,利用ASM算法思想,完成人脸中不同优先级的特征点的调整,从而在3D形模型的基础上重构出特定的人脸。
5.3 三维人脸识别系统的方法介绍
1) 主成份分析方法(Principal Component Analysis,PCA):通过正交变换得到从高维降维到低维子空间的变换矩阵,这些正交矩阵基又被称作“特征脸”。该方法是一种简单实用的基于代数特征的人脸识别方法,保留了人脸面部器官之间的拓扑关系,也保留了各器官部件的信息,得到广泛的应用。但它对光照、视角的变化影响比较大,因此对预处理的要求比较高。
2) 线性判别分析方法(Linear Discriminant Analysis, LDA):该方法是模式识别领域里非常有效的降维手段,它利用训练样本集的类别信息,定义了类内扩散矩阵和类间扩散矩阵,策略就是使类内扩散矩阵尽量小,类间扩散矩阵尽量大,以此达到降维、分类的目的。近年来,衍生出许多改进的或扩展的LDA算法,如多类问题LDA方法、Foley-Sammon最佳鉴别矢量集以及UODV算法等。
3) Gabo小波提取特征法:该方法是模式识别领域里应用较为广泛的特征提取方法之一,它充分利用图像中的不同方向和频率上的特征信息,有效提取能够表述图像的细节信息,以此来表征图像,达到分类的目的。线性分析方法在将高维矢量映射为低维矢量时,其变换矩阵是线性的。然而,人脸图像实际上非常复杂,很难用线性模型对其进行完全的刻画和表示,因此,相应的非线性方法得到了很好的研究。常见的非线性方法有:基于核的主成份分析方法(KPCA-Kernel PCA),其主要思想是基于某选定的核函数,构造从输人空间到特征空间的一个非线性映射。
具体的流程图如图2所示。
6 三维人脸检测系统设计的难点与总结
三维人脸识别中面部的关键特征点定位是一个具有相当挑战性并且很复杂的问题,也是计算机视觉和图形学领域的一个最基本问题。目前,自动三维人脸识别系统仍然存在着很多的局限和不足。主要存在的问题有:人脸多种姿态、人脸表情异同、环境光照强弱等。因此特征点的精确定位是解决这些问题的基础。本文知识对人脸特征点定位进行了一些尝试性的研究,但是还是有很多要待下一步的研究。人脸图像上的关键特征点是脸部主要器官轮廓上的点,这些器官轮廓在人脸部区域具有明显的边缘特征。因此,在目标的搜索过程中加入了边缘约束局部灰度模型,使人脸特征点收敛到边缘性强的人脸轮廓上,并且在搜索的过程中引入了多分辨率的搜索策略,提高了人脸特征点定位速度和精度。在本文中,由于使用的IMM标准人脸库,光照比较均匀且库中的人脸图像大多是正面人脸图像,因此目前的算法对光照和人脸的姿态适应能力较弱为了解决光照对算法的影响。在下一步的工作中,首先人脸图像的光照强度进行校正,将其校正到一个标准的光照条件下,其次要建立多姿态人脸的统计模型。在进行人脸特征点定位之前,先对人脸图像的姿态进行判定,然后选用不同的统计模型对人脸图像进行特征点的定位;但是光照的校正和人脸姿态的判定是比较复杂的问题,因此将算法扩展到多姿态的人脸面部的关键特征点的自动定位上,并使之具备良好的光照适应能力将是下一步研究的重点。IMM人脸库中的人脸图像都是无遮挡的,因此在后续的工作中要对部分遮挡人脸进行特征点的定位。本文中的人脸定位点方法在人脸的表情夸张的情况下的定位不是很正确,一方面因为目前所用的人脸训练样本图像不够丰富,另一方面是因为特征点处的局部纹理特征模型不够精细。因此,后续工作主要是丰富人脸训练样本集,使训练所得模型更加具有普遍性。另一方面尝试对人脸关键特征点用较复杂的局部模型进行建模,以便能够得到更精确的关键特征点定位结果。在基于人脸特征点定位的人脸三维重建过程中,为了减少运算量,我们使用的是比较简单的Candide_3模型,且没有进行纹理的映射,在后续的工作中,将采用更加复杂的通用三维模型,从而重构处真实感人脸。在人脸识别中,仅仅使用了特征点集之间的线段Hausdorff进行人脸的识别,在后续的工作中可以加入特征点处的局部Gabon特征来进行人脸的识别。
参考文献:
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[3] Zhuang Lian-sheng, Wang Yong, Li Bin. A robust facial feature points location algorithm under variable illumination[C]//Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics and Automation, Luoyang,2006(1):1227-1231.
[4] 范玉华,马建伟.ASM及其改进的人脸面部特征定位算法[J].计算机辅助设图形学学报,2007,19(11):1411-1415.
第5篇：数学建模鲁棒性分析范文
关键词：稳健性设计；质量控制；田口质量
中图分类号：TH122 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2013）07-
产品设计是决定产品的第一也是最重要的环节。产品设计带来的质量问题如果不及时处理，会引起连锁反应，其解决需要的时间和费用很高。在设计过程中考虑得全面、合理、仔细能够有效地降低成本，减少质量问题发生。通过稳健性设计不仅能够提高质量，还能使产品特性对不可控因素的敏感性降低。
1 稳健性产品设计技术
1.1 稳健性设计的基本原理
产品的质量在其生命周期内会被各种因素影响，这些影响具有不确定性，会导致产品的质量特性波动。直接消除干扰因素，虽然可以解决问题但是实现难度过大、成本过高。可以尽量降低干扰因素，使质量与因素之间关联变弱，对干扰变得不敏感，这就是稳健性设计的原理。
1.2 稳健性设计典型方法
稳健性来源于控制理论中的鲁棒性，是指变量对因素发生微小差变的不敏感性。如何定量地度量设计的稳健性是稳健性设计的基础。可行稳健性是指产品性能质量在印象因素作用下稳定在所允许的范围内的能力；敏感稳健性是指产品性能质量在噪声因素作用下保持稳定的能力。稳健性的指标有质量损失函数、信噪比、质量信息熵等。经过长期研究和应用，稳健性设计的技术取得了很大的进展，出现了多种稳健性设计方法。马义中通过熵和协方差矩阵的关系，建立多元质量特性的信噪比计算公式来度量产品质量特性的整体波动，为了克服质量特性协方差不能直接反映质量特性的波动关系，利用信息熵概念度量稳健设计中多元质量特性的整体波动。比较常用的如下：
1.2.1 田口方法。田口方法以正交试验设计为基础，将产品的设计分为系统设计、参数设计和容差设计三个阶段，最后通过正交试验设计确定参数值可以到达的最佳水平组合。该方法为稳健性设计提供了理论基础，但是必须事先确定方案的大致范围，局限性强，需要进一步研究。
1.2.2 双响应面法。双响应面法可以将噪声因素和设计变量结合，综合考虑其对产品质量的影响。适用于噪声因素非正太分布，求解误差小，但是对试验数据敏感，模型拟合较为困难。
1.2.3 随机模型法。随机模型将设计变量和噪声的随机性作为重点考虑对象，将稳健设计引入到有随机因素的工程中。该方法不要求变量为正太分布，实用价值很高，但是建模和计算较为困难。
1.2.4 灵敏度法。为了保证产品对设计变量和噪声因素的影响达到最小，将设计函数、设计变量和噪声因素的非线性效应作为主要研究对象。该方法可以快速确定需要调节的范围，可以结合其他稳健性设计方法，但是主要应用于质量指标问题。
1.3 稳健性设计特点
1.3.1 稳健性设计可以将噪声因素分为可控与不可控因素，利用模型尽可能地消除干扰因素，提高质量。
1.3.2 产品的平均特性可以由内表可查，稳健性由外表考察，采用先进的方法可以在尽可能少的试验中获取大量信息。
1.3.3 稳健性产品设计与工业各个环节一起考虑，将其中的干扰都计算到数学模型中，所以其抗干扰的能力很强。
1.3.4 稳健性产品设计考虑到系统的非线性特性，可以在有效控制成本的前提下，生产出较高质量的产品。
1.3.5 该技术需要对技术人员进行专业的培训，才能迅速转化为成果。
1.3.6 已经研发出响应的平台及软件，在计算时辅助下大大提升了工作效率。
1.3.7 适用性强，可以应用到各个领域中，不断地提高产品质量。
2 基于田口质量的产品稳健性设计分析
对于定制生成方式，需要将客户的定制转化各种模块化的配合，然后通过选择模块来实现产品的选择。将田口质量法与模块化结合，可以减少产品由于质量波动造成的损失。
2.1 定制产品的多元损失函数
假设产品的质量特性为y，目标值为，合理偏差为。质量特性的类型可以分为望目、望大、望小三种。望目特性：希望特性值存在一个目标值，并希望实际的特性值围绕目标波动，且波动越小越好。望小特性：希望特性和波动越小越好，如零件磨损等。望大特性：希望特性和波动越大越好，如机器效率、零件寿命等。产品质量损失函数为：
（1）
式中：反映了质量波动程度，k为比例常数，k的值与望目、望大、望小三种特性相关。该公式说明当质量特性在合理的偏差范围中波动时，虽然产品合格但是仍然会给用户产生一定程度的损失。
2.2 定制产品的稳健性表达
因为噪声的影响，产品的质量具有一定的随机性，因此稳健性必须考虑。这里根据产品的质量特性引入了信噪比的概念，通过信噪比来度量产品质量特性的稳健性。
其中作为产品稳健性的度量指标，其值越大，产品越趋于稳健，损失就越小。因此根据不同的质量特性可以对赋予不同权重。
2.3 定制产品的稳健选配模型
根据数学模型，模块实例选配的步骤如下：
2.3.1 分析产品质量特点，判断其类型。
2.3.2 根据模块实例的统计数据，计算各种质量特性的信噪比。
2.3.3 计算质量特性权重。
2.3.4 确定各质量特性类型，并计算产品质量特性。
2.3.5 分析产品封闭环，计算配合偏差。
2.3.6 最优化求解，选择最佳方案。
3 实际应用
对于出头弹簧参数设置，可以采用稳健性设计原理。已知数据：F=4N，力臂L=24mm，则力矩M=4×24=96N·mm。满足力矩的参数不是唯一的，不同的弹簧钢丝直径、中径、圈数都会对结果产生不同的作用。这里要选择最佳信噪比、灵敏度的方案，通过分析找出稳定和调整因素。弹簧设计时质量特性的数学模型：Φ，其中d为直径，D为中径，n为有效圈数，Φ为旋转角度，如表1
所示：
所以可以确定最佳参数为：d=1.2mm、D=7.2mm、n=2.9圈、Φ=34°。
田口方法是质量高、可靠性高、效率高的设计方法，随着广泛的应用，效果会越来越好。实践表明稳健性是产品设计和选择的第一准则，田口方法可以很好地实现产品的稳健性。
4 结语
稳健性产品设计可以提高产品的设计质量，是一种快速、经济的获取提高产品质量的可行性解决方案。因此研究稳健性产品设计，并将其各个领域全面推广是非常必要的。
参考文献
[1] 黄自兴，韩寿祖，邵丹雄，等.稳健性产品设计探讨[J].石油商技，2002，（3）：1-5.
[2] 陈立周.稳健设计[M].北京：机械工业出版社，2000.
第6篇：数学建模鲁棒性分析范文
关键词:国际贸易;非线性经济学;经济预测;数据分析;评述
国际贸易是世界各国经济、政治、文化交流的重要纽带，通过它可以扩大相互作用，促进相互的经济合作，改善国际环境，为本国的经济发展创造良好的外部条件。
国际贸易是一个复杂时变非线性系统。对国际贸易问题的分析与预测是建立良性经贸环境的前提。国际贸易不仅受到一国(或地区)的经济条件、自然条件、贸易政策等国内因素影响，还受到国际市场需求、全球经济增长等国际因素影响，且各影响因素相互之间存在非线性关系。对进出口贸易数据分析与预测，其实质就是建立适当的数学模型并进行应用。研究表明，各个国家的外贸环境复杂多变，导致在原来数据结构之上建立的简单线性模型失真，这给进出口贸易的分析与预测带来了很多困难。如何建立能很好拟合该数据特征的非线性模型，是一种积极的探讨，近年来日益受到国际贸易领域研究与应用者的重视。改革开放20多年来，我国外经贸事业发生了巨大变化。特别是加入世界贸易组织后，我国对外开放进入了新的阶段，我国已经成为世界第三大贸易国。关于我国外贸的准确分析与预测对于促进经济的平稳、持续增长，制定有效的外贸政策具有重要意义。本文介绍了目前用于国际贸易分析与预测的一些方法，以期供相关学者与实际工作者借鉴。
一、国际贸易的非线性特性分析
奴隶社会国际贸易的发展是与暴力掠夺、海上抢劫、贩卖奴隶密切联系在一起的。受自然经济的制约，国际贸易在奴隶社会经济中的地位并不重要。封建社会的国际贸易虽然较奴隶社会有了进一步发展，但由于占主导地位的仍然是自给自足的自然经济，因而贸易的规模和范围还是很有限的。国际贸易真正获得巨大的发展，出现在资本主义生产形成和发展时期。从16世纪至第一次世界大战，国际贸易发展迅速。全世界经历过一次由国际贸易带动的全球化浪潮，各国之间的经济联系因国际贸易的快速增加而大大加强[1]。许多国家对外交往范围之广、程度之深，如果以出口占GDP的比重来衡量的话，现在仍有一些国家(如日本等国)的国际化程度不能达到当时的水平。第二次世界大战后结束初期到1973年，是国际贸易迅速发展阶段。这一阶段国际贸易增长速度之快在历史上是空前的。这主要是因为:(1)战后发达资本主义国家经济的迅速恢复和发展;(2)国际分工和生产国际化的深入和扩大;(3)跨国公司的发展;(4)国际金融贸易组织的建立和经济一体化;(5)关税与贸易总协定的作用。从1973年到1985年，由于经济危机、能源危机、货币制度危机、农业危机的爆发，导致国际贸易由迅速发展转向缓慢发展，甚至停滞的阶段。20世纪80年代后半期至今，是国际贸易发展速度总体回升的阶段。近几十年涌动着又一波全球化浪潮，呈现出两个新的特征:中间产品贸易的大幅度增长(当然也是国际贸易的大幅度增长)和FDI流动的快速增加。以发达国家为例，过去20年，美国出口占GDP的比重大约翻了一番;OECD国家，即使略去集团内贸易不计，出口占GDP的比重也大致增长了一倍。与GDP相比，国际贸易出现了更快速度的非线性式增长。不管是从国际贸易的发展史，还是从各个国家的发展情况来看，国际贸易从宏观上看，均呈非线性发展的显著特点。
此处着重评述一下在微观上我国学者对非线性特征的认知与分析所做的研究与探讨工作。
黄梦桥和王涛生(2005)[2]结合使用相关维数和最大Lyapunov指数方法，采用我国进出口贸易的月度数据序列作为样本，说明了国际贸易市场具有非线性和低维混沌特征。
湛垦华、张永安和冯宗宪(1997)[3]应用自组织理论与方法，对国际市场演变的非线性机制作了较系统的分析，从新的视角阐述了国际市场演变的一般规律及特点。他们认为从自组织理论看，国际市场作为一个远离平衡的、开放的非线性系统，在国际政治、地缘关系、自然资源、人口分布等构成的国际经贸市场的势场背景下，是以一定的基核为始点，在不断涨落的外界环境影响下，以不同的演化方式，组成有特定功能的系统。
祝宝江(2006)[4]把国际贸易信用系统置于耗散结构状态下进行了研究。说明在耗散结构状态下的国际贸易信用系统不停地与经济社会系统通过实物信用和货币信用在内外环境之间进行着物质、能量、信息的交换与流通。系统耗掉了一定的能量，具有微小涨落和非线性动力过程，从而使多基元、多组分、多层次的国际贸易信用非线性流动，使系统各要素之间产生协调动作和相干效应。
二、国际贸易的非线性模型与方法
关于国际贸易非线性复杂系统的分析预测的模型与方法目前国内外都有诸多探讨，并取得了一定效果。下面按方法分类进行评述。
(一) 神经网络模型
神经网络是目前应用广泛的非线性建模与预测方法，它具有较强的非线性映射功能，具鲁棒性(robust)和容错性，在股市预测、证券预测、GDP预测、财务报警等经济领域内皆有应用。各个领域的研究与应用结果说明，经过恰当的结构设置与模型学习，神经网络预测精度可优于其他传统预测方法。
神经网络模型在国际贸易问题的分析与预测方面也已有一些结果。李小红(2007)[5]将BP神经网络应用于重庆外贸出口额的预测，建立起预测模型并进行实证预测。结果表明，所建立的预测模型具有较高的预测精度，可以作为相关部门制定出口贸易发展目标的参考依据。杨卫和平瑛(2005)[6]利用BP神经网络建立水产品贸易模型，选取1999年至2003年中国主要出口伙伴国的GDP值、我国水产品总量、出口水产品平均价格、进口水产品平均价格，以其作为参数来考察它们与衡量出口的几个主要指标: 出口总量、出口总额、各出口方式所占数量及总额等之间的关系。结果表明，利用BP神经网络预测模型可以比较精确地预测水产品贸易情况，但也有些不足，如收敛不够快，有时会受局部平坦或局部最小的影响。可考虑结合遗传算法或其它一些全局收敛速度快的算法，来进一步提高精确度。
近期更多的研究侧重于考虑采用神经网络和其他方法的结合，通过建立混合模型来提高预测精度。张一、徐山鹰和汪寿阳(2003)[7]分析了协整技术及在此基础上建立的误差校正模型在预测中的应用。结合神经元网络的特点，他们提出了一个基于神经元网络的非线性误差纠正预测模型，选取了出口、外汇储备和外国直接投资数据，建立了两个在不同数据基础上的出口预测模型，并对模型的结果进行比较分析，证实两个模型反映了中国近几年出口的变化，都是比较可信的，并对两个模型的结果取平均值作为2003年全年中国外贸出口最终的预测结果，预测了中国2003年出口贸易的大体情况。傅晓旗和谢雯(2005)[8]运用协整分析方法和误差校正模型及非线性BP神经元算法，采用进口、出口、外汇储备、汇率等数据建立经济计量模型，对2006年我国进出口进行预测。
Lean YU、Shouyang WANG和Kin Keung LAI (2008)[9]提出了一种新颖的非线性集成学习方法，在神经网络基础上建立了基于神经网络的非线性误差纠正预测模型(EC-VAR)，合理地运用计量经济学方法、整合技术和人工智能(AI)方法，对中国的进出口贸易进行预测。
众所周知，目前最常用的BP神经网络模型误差反向传播神经网络中存在诸多有待解决的问题:参数较多，并且部分参数要凭经验主观确定;模型极难建立，需要经过反复多次训练和实验;模型拟合精度与泛化能力矛盾问题，也就是说，可能会对训练样本集“过度匹配”达到较高的拟合效果，而对于新的输入样本却可能产生与目标值差别较大的输出。各个专家都在如何改进这些问题做积极探讨。向剑伟(2007)[10]在相空间重构的非线性思想基础上，采用贝叶斯正则化方法，建立一个时滞BP神经网络模型，提高了BP网络的泛化能力。他将该模型应用于某电子行业进出口贸易非线性时间序列预测中，结果说明改进的模型具有较好的泛化能力，较准确地拟合了进出口贸易发展的历史以及趋势。
(二) 贝叶斯方法
贝叶斯方法源于英国学者贝叶斯于1763年在皇家学会学报上发表的论文《论机会学说中一个问题的求解》(An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances)。20世纪50年代后，随着统计理论及方法的应用范围扩大，贝叶斯理论也受到了欢迎，并迅速发展。贝叶斯基本思想是，将人们的经验知识作为先验信息和采集到的样本信息一起结合到实际模型中，即利用先验信息、样本信息来进行预测。
Bayes方法应用广泛，严格地说并不能归为非线性方法，但鉴于其灵活选择先验分布的技术，对处理复杂经济问题有其独特优势，所以本文也把他作为处理国际贸易问题的工具之一来给于评述与推荐。此处主要给出几个非线性模型的Bayes分析方法。
Jiang Weijin和Xu Yuhui(2006)[11]在相空间重构思想下，提出了一种时滞BP神经网络模型，并通过贝叶斯正规化方法，提高了泛化能力，效果良好。祝树金和赖明勇(2005)[12]针对非线性时间序列预测，根据相空间重构的非线性预报思想，利用G-P算法计算饱和嵌入维，即输入层节点数，同时结合贝叶斯正则化方法确定隐层节点数，并提高网络的泛化能力，建立了一类时滞的BP神经网络预报模型(TDBPNN)。该模型选择了中国1989年1月至2003年6月进出口贸易的月度数据作为训练样本，进行归一化处理，采用多步预测法，不仅能够有效地拟合实际数据，而且可以合理地预测实际序列的发展趋势。前文也提及到向剑伟(2006)[10]采用贝叶斯正则化方法，建立一类新的时滞神经网络(TDBP)预测模型，选取了一电子外贸企业1989年1月至2003年6月进出口贸易月度数据作为学习样本，运用多步预测方法预测了该企业2004年进出口贸易发展趋势。数据结果表明精度较好，能很好地跟踪原时间序列，具有比现有同类方法更快的响应性能，迭代次数减小，具有较强的鲁棒性和泛化能力。
(三) 灰色系统理论
灰色系统是指元素(参数)信息不完全、结构信息不完全、关系信息不完全、运行的行为信息不完全的系统。灰色系统理论即灰色系统所做的预测的一种理论框架，它是由我国著名控制专家邓聚龙教授于20世纪80年代首先提出的。灰色系统理论是一种新的建模方法，它可以克服线性回归模型的不足之处，对数据量的要求比较低，并且计算简单，建模精度高，被广泛应用于各种分析与预测领域。
在国际贸易方面，一些学者运用灰色系统理论，对进出口额进行分析，预测进出口贸易的发展趋势。邹晶和姜志新(2004)[13]建立了基开GM(1，1)的灰色预测模型，选取中国2001年10月份到2003年5月份的外贸出口额作为样本数据进行预测计算。通过对模型进行应用，将预测值与实际的外贸出口数值进行比较，发现误差较小，模型基本符合要求。李苏(2008)[14]采集了我国1990年至2004年的进出口总额，对原始数据经累加生成，经过光滑性、准指数规律性检验后，建立GM(1，1)的灰色预测模型，预测了2010、2015、2020年我国的进出口贸易总额。综合分析，预测结果比较符合我国进出口贸易总额的实际发展趋势。
(四) 支持向量机
支持向量机(Support Vector Machines，SVM)是上世纪90年代中期提出的一种机器学习算法，由于它具有自学习、自调整模型的特点，能对各种混沌系统产生较好的预测效果，使之成为当前机器学习界的研究热点。目前支持向量回归模型已应用在金融时间序列预测、产品需求和销售预测、电力负荷预测和故障诊断等方面，获得较好效果。
有学者运用支持向量机方法，对进出口数据进行了分析。肖智和陈婷婷(2006)[15]针对SVM以重庆市外贸出口信息为例，运用SVM方法对重庆摩托车出口进行了实证研究，建立了时序预测模型对其出口总量和发展趋势做出了较为精确的预测。数据结果显示，SVM方法在外贸进出口信息分析预测中的运用是可行的，而且SVM模型对样本量小、波动性强的外贸出口时序具有较高的预测精度，尤其是对其发展趋势的预测，模型具有较高的拟合度。
(五) 协整分析、向量自回归和误差校正模型
基于协整关系的误差校正(VEC)模型是一个含有协整约束的向量自回归(VAR)模型，被认为是一种精度较高的动态经济预测模型。该模型在宏观经济领域中得到日益广泛的应用，尤其是在货币需求、消费、投资、进出口方面取得了良好的效果。将神经网络等非线性方法与该模型结合，建立一种非线性混合预测模型，应用于进出口贸易，能得到更精确的预测结果。
协整分析方法的系统提出和介绍归功于Engle和Granger(1987)。该方法的基础思想是:如果两个或以上的变量的值呈现非平稳性，但它们的某种线性组合却呈现平稳性，表明变量之间存在某种长期稳定关系，即协整关系。如果非平稳的变量之间存在协整关系，必然可以建立一个误差校正模型。
在国际贸易中，很多学者利用了协整分析方法和误差校正模型，对我国进出口进行预测。徐山鹰和汪寿阳(2006)[8]通过对2005年我国对外贸易形势和2006年国内外宏观经济环境的分析，采用1994年1月份到2005年11月份的月度数据，建立了误差较正模型，并使用BP神经元网络方法进行非线性误差较正，对2006年我国进出口进行预测。程桂云(2007)[16]选取国内生产总值(GDP)、出口额(EX)、进口额(IM)三个变量作为研究对象，选取辽宁省1979-2004年的年度数据作为样本区间，对各变量数据取对数，然后对LNGDP、LNEX、LNIM三个变量进行平稳性检验和协整检验，建立向量误差修正模型(VECM)，最后对各变量进行GRANGER因果性检验，对辽宁省的对外贸易与经济增长之间的长短期关系进行了实证分析的检验。菲和马超群(2008)[17]根据1999年1月到2006年6月的月度出口贸易额数据，建立了一种基于BP神经网络和误差校正向量自回归模型的非线性混合预测模型。〖JP+1〗结果显示，该模型能够反映经济系统中各变量的长期均衡关系，同时非线性的协整变量能够反映出经济系统其他变量的短期波动对预测变量的影响，适合于经济变量的预测。
三、结束语
对国际贸易非线性经济系统的分析、研究与应用，目前已有一些成果，并在不断地完善与发展中。国际贸易的定量分析与预测问题极其复杂，影响因素众多，不可能建立一种完全统一的模型，应该根据不同的目的，不同的数据特征，应用多种分析方法，去选取、建立合适的模型。而且应该及时根据影响国际贸易的因素的变化来检验模型，不断改进和完善模型及方法，提高分析、评估和预测的效果，为我国相关部门提供正确的决策依据。
参考文献
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第7篇：数学建模鲁棒性分析范文
关键字：数据挖掘方法
中图分类号： C37 文献标识码： A
数据挖掘，也可以称为数据库中的知识发现 (Knowledge Discover Database，KDD)，就是从大量的、不完全的、有噪声的、模糊的、随机的实际应用数据中，提取隐含在其中的、人们事先不知道的、但又是潜在有用的信息和知识的过程[16]。实际上这是一个模式提取的过程，主要基于人工智能、机器学习、统计学等技术，高度自动化的分析企业原有的数据，做出归纳行的推理，从中挖掘出潜在的模式，预测客户的行为，帮助企业的决策者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。
1 数据挖掘的分类
数据挖掘就是发现隐藏在数据中的模式。它所发现的模式按功能模型一般可分为两大类:描述型(descriptive)的模式和预测型(predictive)模式[21]。描述型的模式是对当前数据中存在的事实做规范的描述，它所揭示的是当前数据的一般特性；预测型模型则是以时间为关键参数，对于时间序列型数据，根据其历史和当前的值去预测其未来的值。根据模式的特征，预测和描述可以通过下面的任务来完成。
图1 数据挖掘模型
1) 关联规则(Association Rules)
关联模式是数据项之间存在的关联规则，是在同一事件中出现不同项之间的相关性，例如客户在一次购买活动中所购买的不同商品之间的关联性。在数据挖掘领域，对于关联模式的研究开展得比较深入，人们提出了多种关联规则挖掘算法，如Apriori,DHP,Partition,Sampling,FP-Growth等算法。这些算法能够发现数据库中形如“80%的客户在一次购买活动中购买X商品的同时也购买Y商品”之类的知识。
2) 分类分析(Classification)
分类就是构造一个分类模型，把具有某些特征的数据项映射到某个给定的类别上。这个过程分为两步:模型的创建和模型的使用。模型的创建是指通过对训练数据集的学习建立分类模型;模型使用是指使用分类模型对测试数据和新的数据进行分类。其中的训练数据集是带有类标号的，也就是在分类之前，要划分的类别是已经确定的，通常分类模型是以分类规则、决策树或数学表达式的形式给出的。
分类模式往往表现为一棵树，从树根开始搜索，沿着数据满足的分支走。走到树叶时就能确定类别。已有许多数据分类方法，如决策树方法、统计方法及粗糙集方法等。Metha, Agrawal, Rissanen等人开始研究面向数据库的分类方法。J. Han等人在他们开发的知识发现系统DBMiner中采用了基于概括的决策树方法，该方法集成了面向属性的归纳和决策归纳技术。
3) 聚类分析(Clustering)
聚类就是根据数据的属性对一系列未分类数据进行类别划分，把一组个体按照相似性分成若干个类或簇，即“物以类聚”。其目的是使类间的数据差别尽能大，类内的数据差别尽可能小，即“最小化类间的相似性，最大化类内的相似性”原则。与分类模式不同的是聚类中要划分的类别是未知的，它是不依赖于预先定义的类和带类标号的训练数据集的非监督学习(unsupervised learning )，无需背景知识，其中类的数量由系统按照某种性能指标自动确定。聚类分析的方法有很多，其中包括系统聚类法、分解法、加入法、动态聚类法、模糊聚类法、运筹方法等。采用不同的聚类方法，对于相同的记录集合可能有不同划分结果。
4) 回归分析(Regression)
回归模式的函数定义与分类模式相似，主要差别在于分类模式采用离散预测值(例如类标号)，而回归模式则采用连续的预测值。它通过具有己知值的变量来预测其他变量的值。在最简单的情况下，回归采用的是类似于线性回归的标准统计技术。但在大多数现实世界中的问题是不能用简单的线性回归所能预测的。如商品的销售量、股票价格、产品合格率等，很难找到简单有效的方法来预测，因为要完全地描述这些事件的变化需要上百个变量，而且这些变量本身往往都是非线性的。为此学术界提出了很多试图解决这个问题方法，如逻辑回归、决策树和神经网络等。
5) 序列模式分析(Sequential)
序列模式分析和关联规则分析相似，它是描述基于时间或其他序列的经常发生的规律或趋势，并对其进行建模。它能发现数据库中形如“在某一段时间内，75%的顾客购买商品A，接着购买商品B，然后又购买商品C，即序列A-B- C出现的频度较高”之类的知识。序列模式将关联模式和时间序列模式结合起来，重点考虑数据之间在时间维上的关联性。在进行序列模式挖掘时主要有以下几个问题值得注意:首先是序列的持续时间，也就是某个时间序列的有效时间或者是用户选择的一个时间段:其次是时间折叠窗口，即在某一段时间内发生的事件可以被看作是同时发生的;最后是所发现的模式时间间隔。
6) 偏差分析(Deviation)
偏差分析是指对差异或极端特例的描述，如聚类划分外的偏离值。在大多数据挖掘方法中都是将这些偏差信息作为噪声而丢掉，然而在一些实际应用中，这种罕见的数据可能比正常的数据更有价值。比如网络的入侵检测和信用卡的欺诈检测等。我们可在通过这些异常数据的偏差来分析其中的原因，以便对其采用相应的措施。
2 数据挖掘的主要方法
数据挖掘是一门新兴的研究领域，其技术基础是人工智能(Artificial Intelligence )。它借鉴了信息论、数理逻辑、进化计算、神经计算和统计学等理论和算法[22]。在此介绍几种主流的方法。
1) 遗传算法
遗传算法是一种基于生物进化过程的组合优化方法，它是生物学和计算机相结合的产物，由美国密西根大学的D.J Holland教授和他的同事们在1975年首次提出的。根据适者生存的原则模拟自然界的生命进化机制，形成当前群体适合的规则组成新群体，以及这些规则的后代。
基于这些思想，根据遗传算法的最适合模型，并进一步对数据模型进行优化。
由于遗传算法是一种弱算法，具有高效性和灵活性的特点，在数据挖掘中也用于评估其他算法的适应度。
遗传算法擅长于数据聚类，通过事件的类比和空间上的类比，可以把大量繁杂的信息数据进行系统化、条理化，从而找出数据之间的内在关系，得出有用的概念和模式。再建立数据模式时，将遗传算法与神经网络相结合，可以更好地提高模型的适应性。因此遗传算法广泛应用于自动控制、机器学习、模式识别和组合优化等领域。
2) 神经网络
神经网络(neural network )是由多个神经元按照某种方式相互连接形成，靠网络状态对外部输入信息的动态响应来处理信息，网络的信息分布式存储于连接权系数中，使网络具有很强的容错性和鲁棒性。神经网络的核心是结构和算法，例如Hopfield网就是以结构见长，而BP (back propagation)网是以算法见长。
神经网络和基于符号的传统技术相比，具有直观性、并行性和抗噪声性。目前，已出现了许多网络模型和学习算法，主要用于分类、优化、模式识别、预测和控制等领域。在数据挖掘领域，主要采用前向神经网络提取分类规则。
在数据挖掘领域，将神经网络用于数据挖掘，重点要解决好以下两个问题：一是降低训练时间，二是挖掘结果的可理解性
3) 统计分析方法
统计分析方法是利用统计学、概率论的原理对数据库中的各属性进行统计分析，从而找出其中的关系和规律。统计分析方法是最基本的数据挖掘方法之一。常用的统计分析方法有
判别分析法：建立一个或多个判别函数，并确定一个判别标准，然后对未知属性的对象根据观测值将其划分归为已知类别中的一类。
因子分析法：用较少的综合变量来表达多个观察变量。根据相关性大小把变量分组，使得各组内的变量之间相关性较高，不同组变量的相关性较低。
相关分析和回归分析法：相关分析是用相关关系来度量变量间的相关程度。回归分析是用数学方程来表示变量间的数量关系，方法有线性回归和非线性回归。
偏最小二乘回归法：是一种新型的多元统计数据分析方法，它主要研究的是多因变量(结果)对多自变量(原因)的回归建模，特别当各变量内部高度线性相关时，用偏最小二乘回归法更有效。另外，偏最小二乘回归较好地解决了样本个数少于变量个数等问题。
在数据挖掘中，统计分析方法适用于分类挖掘和聚类挖掘。
4) 粗集方法
粗集(rough set)理论的特点是不需要预先给定某些特征或属性的数量描述，而是直接从给定问题出发，通过不可分辨关系和不可分辨类确定问题的近似域，从而找出该问题中的内在规律。粗集理论同模糊集、神经网络、证据理论等其它理论均成为不确定性计算的一个重要分支。
粗集理论是由波兰华沙理工大学的Z.Pawlak教授于1982年提出的一种研究不完整、不确定知识和数据的表达、学习及归纳的理论方法。粗集理论采用了上近似集合、下近似集合和边界来定义粗糙集。
粗糙集合理论可以用于分类，发现不准确数据或噪声数据内在的联系。找出可以描述给定数据集中所有概念的属性子集是个难题。在给定的现实世界数据中，往往有些类不能被可用的属性区分，则可以用粗糙集合来近似地定义这些类。根据目前己有的给定问题的知识，将问题的论域进行划分，然后对划分后的每一个组成部分确定其对某一概念的支持度，即肯定支持此概念或不支持此概念和模糊概念。上述情况分别用3个近似集合来表示。即将知识定义为对事物的分类能力。这种能力分别由上近似集、下近似集、等价关系等概念来体现。
5) 决策树方法
决策树((decision tree)是一个类似于流程图的树型结构，其中树的每一个内部节点代表对一个属性的测试，其分支代表测试的每一个结果：树的每一个叶子节点代表一个类别。决策树通过一系列的规则对数据进行分类。目前许多基于规则进行归纳的商用数据挖掘系统都是采用决策树方法。
决策树分类方法的优点:
1、决策树方法结构简单，便于人们理解;
2、决策树模型效率高，对训练及数据量大的情况较为合适;
3、决策树方法具有较高的分类精确度;
4、决策树可以清晰的显示哪些字段比较重要。
建立一棵决策树可能只要对数据库进行几遍扫描之后就能完成，这也意味着需要计算的资源较少，而且可以很容易的处理包含很多预测变量的情况，因此决策树模型可以建立的很快，并适用于大量的数据处理。常用的算法有CHAID，CART，Quest、C5.0和ID3算法。
建立决策树的过程，即树的生长过程是不断地把数据进行切分的过程，每次切分对应一个问题，也对应一个节点。对每个切分都要求分成的组之间的差异最大。各种决策树算法之间的k要区别就是对这个“差异”衡量方式的区别。
对决策树的批评常见的是，认为其在为一个节点选择怎样进行分割时使用的“贪心”算法。此种算法在决定当前分割时根本不考虑此次选择会对将来的分割产生什么样的影响。换句话说，所有的分割都是顺序完成的，一个节点完成分割之后不可能以后还有机会回头考虑此次分割的合理性，每次分割都是依赖于它前面的分割方法，只要第一次分割有一点点不同，那么由此得到的整个决策树就会完全不同。
除上述方法外，还有把数据与结果转化表达成可视化形式的可视化技术、模型方法和归纳学习等方法。
参考文献
第8篇：数学建模鲁棒性分析范文
随着各行各业对板带材质量要求的不断提高，轧辊偏心成为影响产品质量的不容忽视的重要因素。厚度控制过程中的轧辊偏心控制技术的开发和研究仍然是板带材轧制所面临的共同课题。我国对轧辊偏心控制问题的研究还不深入，本论文的工作就是试图在这方面做些努力。
本文的研究内容是厚度控制过程的轧辊偏心控制技术，着重探索应用重复控制抑制轧辊偏心的控制方法，从频域和离散域两个方面提出厚度控制系统的重复控制器的设计方案，并对方案在稳定性、稳态特性、过渡过程特性和鲁棒性方面进行理论分析，同时对系统进行仿真研究。本文的主要工作如下：
⑴ 给出了冷轧厚度控制的数学模型和轧件硬度波动前馈补偿的控制模型；对轧辊偏心进行了系统、深入的研究，给出获得偏心信号模型的改进快速傅立叶变换的方法；
⑵ 针对单输入单输出PID厚度控制系统，首先提出了单轧辊偏心扰动重复控制频域设计方案，在重复控制环节中引入一种补偿器，有效提高了系统稳态精度。其次提出了多轧辊偏心扰动重复控制频域设计方案，提出了轧辊偏心的并行重复控制器结构。
⑶ 针对多输入多输出厚度、张力控制系统，首先给出了系统控制对象模型，其次提出了单轧辊偏心重复控制频域设计方案，然后扩展到多轧辊偏心控制系统，并给出了单轧辊偏心扰动和多轧辊偏心扰动时重复控制补偿器的设计方法。
⑷ 针对重复控制对偏心扰动的基波及其谐波抑制效果较好，而对基波和谐波附近频率扰动的抑制较差问题，提出了一种鲁棒重复控制结构，这种结构对轧辊偏心扰动信号的周期不确定性有较强的鲁棒性。
⑸ 因工程中普遍采用数字化设计，对于流量AGC、反馈AGC控制结构及流量AGC、反馈AGC、轧件硬度前馈的控制结构分别提出了单轧辊偏心、双轧辊偏心及多轧辊偏心鲁棒数字重复控制器设计方案。这些设计方案能有效地降低补偿器阶次。
理论分析和仿真结果证明上述提出的系统设计方案的有效性。
Application study on roll eccentricity control on cold rolling AGC system based on repetitive control
Abstract
As the tolerance requirement for the thickness of steel plate and strip products getting tighter and tighter, the roll eccentricity is becoming more and more important factor affecting the product quality. To precisely control the flat rolled products in cold rolling, an investigation on roll eccentricity becomes essential and such research is lacked in our country so far. In this thesis, attention is focused on control of gauge of steel plate and strip in the presence of periodic disturbances such as the eccentricity.
Repetitive control system, known to be effective for periodic disturbance, seems to fit naturally with the eccentricity compensation problem. The roll eccentricity control technologies in cold rolling of flat rolled strip based on repetitive control theory are mainly studied in this dissertation. The key innovations of this paper are summarized as follows:
⑴ The mathematical models of steel plate and strip gauge control are presented. A control scheme of feed forward compensation for material rigidity is put forward. Through theoretical analysis, the characteristics of roll eccentricity are summarized. An modified Fast Fourier Transform algorithm of acquiring roll eccentricity signal is proposed.
⑵ For SISO PID gauge control system, design in the frequency domain based on repetitive controller rejecting single roll eccentricity disturbance is introduced. A compensator is included for the first time in the control scheme. In addition, a control structure of repetitive controllers resisting multi roll eccentricity disturbance is proposed. All the design schemes have been analyzed. Simulations show that proposed schemes are effective.
⑶ For MIMO gauge and tension control system, repetitive control for a single roll eccentricity compensation is first presented.The structure is then extended to the case of multiple roll eccentricity. The design method of compensator of repetitive controllers is introduced. Theoretical analysis and simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the repetitive control structure proposed.
⑷ Repetitive control is useful if periodic disturbances act on a control system. Perfect (asymptotic) disturbance rejection can be achieved if the period is known exactly. For those cases where the roll eccentricity period changes, a robust repetitive controller structure is proposed. It uses a robust repetitive control structure in the feedback configuration, so that small changes of period do not degrade the disturbance rejection properties. The robust repetitive controller shows good result for rejecting eccentricity.
⑸ The digital robust repetitive control schemes compensating single and multiple roll eccentricity are proposed. The design framework can reduce the order of compensator effectively. The gauge adopt the structure of constant volume flow AGC and feedback AGC , avoiding system instability caused by control delay of measurement of height instrument. The material rigidity feedforward is added to the gauge control structure. The theoretical analysis and simulation results on the two gauge control structure show a good performance on the rejection of disturbances such as eccentricity.
目 录
摘 要 1
Abstract 2
1 绪论 1
1.1 问题的提出 1 1.3 重复控制理论研究现状 12
1.4 本文的主要工作及各部分内容安排 14
1.4.1 主要研究内容 14 2 轧辊偏心问题的理论分析和冷轧板板带厚度控制模型 17
2.1 轧辊偏心问题的理论分析 17
2.1.1 辊身和辊径不同轴的情况 17 2.1.3 偏心信号的采集和处理 20
2.1.4 应用MMFFT方法的偏心控制方案 31
2.2 带钢厚度控制模型 35
2.2.1 带钢冷轧过程的基本方程 35
2.2.2 厚度反馈控制模型 38
2.2.3 前馈控制模型 41
2.3 本章小结 44
3 冷轧SISO板厚控制过程中轧辊偏心的重复控制 45
3.1 单轧辊偏心扰动重复控制系统 45
3.1.1 厚度控制系统结构及组成 45 3.1.3 重复控制环节的设计 54
3.1.4 重复控制和鲁棒PID控制混合设计 58
3.2 双轧辊偏心重复控制系统 61
3.2.1 双轧辊偏心重复控制系统的结构及仿真 61
3.2.2 系统稳定性分析 62
3.3 多轧辊偏心重复控制系统 65
3.3.1 多轧辊偏心重复控制系统的结构及仿真 65
3.3.2 系统稳定性分析 66
3.4 本章小结 67
4 MIMO厚度、张力控制系统的轧辊偏心重复控制 69
4.1 厚度和张力控制系统结构和对象模型 69
4.1.1 过程控制模型 69 4.1.3 厚度、张力及速度控制系统的解耦 75
4.1.4 闭环控制系统仿真 78
4.2 单轧辊偏心扰动重复控制系统 80
4.2.1 系统结构 80
4.2.2 系统穩定性分析 80
4.2.3 系统品质分析 83
4.2.4 系统鲁棒性能分析 84
4.2.5 重复控制器设计 84
4.2.6 系统仿真 85
4.3 多轧辊偏心扰动重复控制系统 86
4.3.1 系统结构 86
4.3.2 系统稳定性分析 87
4.3.3 系统性能分析 88
4.3.4 系统鲁棒性分析 89
4.3.5 系统设计及仿真 90
4.4 本章小结 96
5 周期不确定的轧辊偏心鲁棒重复控制系统 97
5.1 周期不确定轧辊偏心扰动的重复控制原理和结构 97
5.1.1 常规重复器的结构及其对周期不确定扰动抑制分析 97 5.2 周期不确定单轧辊偏心扰动的鲁棒重复控制系统 106
5.2.1 系统稳定性分析 107
5.2.2 系统动态性能 108
5.2.3 系统鲁棒性分析 108
5.2.4 系统仿真 109
5.3 多周期偏心扰动的鲁棒重复控制系统 110
5.3.1 系统的结构及稳定性 110
5.3.2 双轧辊偏心扰动的鲁棒重复控制系统仿真 112
5.4 本章小结 113
6 厚度控制过程的轧辊偏心扰动数字鲁棒重复控制 114
6.1 数字重复控制器抑制扰动信号的原理 115
6.2 单周期(基波)扰动的鲁棒数字重复控制系统 116
6.2.1 系统结构 116
6.2.2 单周期扰动鲁棒重复控制系统的稳定性 119
6.2.3 单周期扰动鲁棒重复控制系统约束条件分析 121
6.2.4 单轧辊偏心(基波)扰动数字鲁棒重复控制系统 124
6.3 基波及二次谐波扰动鲁棒数字重复控制系统 126 6.3.2 数字重复控制器的设计 129
6.3.3 单轧辊偏心扰动(基波及二次谐波)鲁棒数字重复控制系统 129
6.4 多周期扰动鲁棒数字控制系统 131
6.4.1 系统的结构及鲁棒稳定性 131
6.4.2 双轧辊偏心扰动鲁棒数字重复控制系统 134
6.5 本章小结 135
7 总结与展望 136
7.1 本文的工作总结 136
7.2 今后研究展望 136
参 考 文 献 138
在学研究成果 145
致 谢 146
绪论
问题的提出 冷轧过程中，影响产品厚度精度的因素很多，但大体可分为两大类[3～5]，即轧件工艺参数的变化和轧机状态的变化。轧件工艺参数的变化，主要包括材料的变形抗力和坯料尺寸以及张力、工艺等轧制工作条件的变化。板带材的化学成分和组织的不均匀、焊接时的焊缝等都会造成材料变形抗力的变化，在冷轧时引起出口厚度的波动。热轧钢卷(来料)带来的扰动主要有热轧带厚不匀，这是由于热轧设定模型及AGC控制不良造成的，来料厚度不均匀将使实际压下量产生波动，导致轧制压力和弹跳的变化，进而影响产品厚度精度；热轧卷硬度不匀(变形阻力)，这是由于热轧终轧及卷取温度控制不良造成的。来料厚差将随着冷轧厚度控制逐架减少。但来料硬度确具有重发性，即硬度较大或较小的该段带钢进入每一机架都将产生厚差。冷轧时带钢前后张力的变化、轧制速度的变化及摩擦系数波动等也是造成轧出厚度波动的原因。带钢轧制过程中的张力变化会改变变形区应力状态，从而造成轧制压力的波动和轧出厚度的不均。轧制速度变化主要是通过摩擦系数、轴承油膜厚度来影响轧制压力和实际辊缝，导致轧出厚度的变化。轧机本身的扰动主要包括不同速度和压力条件下油膜轴承的油膜厚度将不同(特别是加减速时油膜厚度的变化)、轧辊偏心、轧机各部分热膨胀、轧辊磨损等。轧辊偏心是高频扰动，会引起板厚周期性波动，影响产品质量。
此外还有工艺等其它原因造成的厚差，属于这类的有：不同轧制乳液以及不同速度条件下轧辊－轧件间轧制摩擦系数的不同(包括加减速时的摩擦系数的波动)；全连续冷连轧或酸洗－冷连轧联合机组在工艺上需要的动态变规格将产生一个楔形过渡段；酸洗焊缝或轧制焊缝通过轧机时造成的厚差。这一类属于非正常状态厚差，不是冷轧AGC所能解决的，是不可避免的。
根据产生带钢厚度偏差的不同原因，可采取相应的厚度调节方式和措施来消除或减少它。目前，按其调节方式概括为[6,7]：
⑴ 调节压下量即改变辊缝；
⑵ 改变带钢在机架前、后张力或一侧的张力，即改变轧件塑性曲线的陡度；
⑶ 改变轧制速度；
⑷ 同时改变轧辊辊缝与带钢张力。
在上述调节方式中，最常用的是调节压下的厚度控制方法[8～10]。调节压下量即调节辊缝有两种不同方式，即：
① 电动杆涡轮带动压下螺丝转动使工作辊之间的相对辊缝产生变化来实现带钢厚度控制的。由于电机、减速机的惯性很大，电机及传动系统的启动、制动时间长，因此，从厚度控制指令发出到轧出预定的带钢厚度其控制时间更长。另外，因需大的电机、减速压下 它是通过电机、减速机、蜗机等机电设备，故轧机成本高，而且维修也不方便； 为了克服诸多因素对板带材厚度的影响，提高产品的厚度精度，已经开发了和发展了多种厚度控制系统[15～17]，如测厚仪反馈AGC、压力AGC、流量AGC、监控AGC和前馈AGC等。传统AGC在控制精度方面各有其独特的特点，在轧机上得到广泛的应用[18～20]。
⑴ 测厚仪反馈AGC
测厚仪反馈AGC系统是在带钢从轧机轧出后，通过轧机出口测厚仪测出实际轧出厚度值，并将其与给定厚度值比较，得出厚度偏差：
(1.1)
再通过厚度自动控制装置将变换为辊缝调节量的控制信号，输出给压下或推上机构，以消除厚度偏差。用测厚仪信号进行厚度反馈控制时，由于考虑到轧机机构的限制、测厚仪的维护以及为了防止带钢断裂而损坏测厚仪，测厚仪一般装设在离直接产生厚度变化的辊缝有一定距离的地方，这就使检测出的厚度变化量和辊缝控制量不在同一时间发生，所以实际轧出厚度的波动不能得到及时反映。结果整个厚度控制系统的操作都有一定的时间滞后，用下式表示： 式中为滞后时间，为轧制速度，是轧辊中心线到测厚仪的距离。由于存在时间滞后，所以这种测厚仪反馈式厚度自动控制系统很难进行稳定控制。因此目前普遍采用利用弹跳方程对变形区出口厚度进行检测，然后进行反馈控制。这将大大减少滞后，但由于弹跳方程精度不高，虽然加上油膜厚度补偿等措施仍不能保证精度。这正是当前推出流量AGC的原因。安装了激光测速仪后可精确实测前滑，因而流量方程精度大为提高，用变形区入口及变形区出口流量相等法，根据入口测厚仪及机架前后激光测厚仪可准确确定变形区出口处的实际厚度，因而提高反馈控制的精度。根据流量变形区入出口流量相等：
(1.3)
式中： 分为入出口带钢宽度； 分为入出口的速度， 分为入出口带钢的厚度。一般情况下，入出口宽度变化不大，因而有：
(1.4)
从而得到出口厚度：
(1.5)
⑵ 间接测厚反馈AGC
为了避免直接测厚仪产生的时间滞后，常采用压力间接测厚反馈AGC系统。即借助于测量某一时刻的轧制压力和空载辊缝，通过弹跳方程计算出此时刻的轧出厚度，亦即：
(1.6)
式中：为轧出厚度，为轧制压力，为预压靠值，为空载辊缝，为轧机刚度系数。利用此测得的厚差进行厚度自动控制就可以克服前述的传递时间滞后，实现稳定的反馈控制，提高产品厚度精度。然而，在计算带钢出口厚度的算式中，是在轧辊轴承处测出的辊缝值，轧辊偏心对实际辊缝的影响在此反映不出来，这就给控制系统带来了误差。假定在某一时刻，偏心对辊缝的实际影响为，那么此时的实际辊缝值为，实际造成的厚度厚度波动值应为(假设该时刻没有其它因素使变化)
(1.7)
但由于此时辊缝仍为，所以由计算得出的厚度波动为：
(1.8)
因和符号相反，显然。这样，就给以作为反馈量的间接测厚AGC系统引入了误差，造成了间接测厚AGC系统调节质量的降低甚至恶化。即当有偏心存在时，实际板厚减少了，但由于这时轧制力增大，间接测厚AGC系统反而认为板厚增加了，因此控制器就越朝着使板厚减少的方向动作，结果使得比没有压力的AGC系统时的板厚精度更为低劣。
由此可见，间接测厚AGC系统克服了时间延迟，是一种实用、有效的厚度自动控制系统。但是，如前所述，间接测厚AGC系统不但不能对偏心有所抑制，而且还会由于轧辊偏心的存在而导致其控制质量的进一步变差。当产品精度要求较高或轧辊偏心较严重时，间接测厚AGC就不可能达到满意的控制效果。所以，在配置有间接测厚AGC系统的轧机上，常常附加一些抑制偏心影响的措施，如设置死区、带通滤波等。这些措施避免了轧辊偏心对间接测厚AGC系统的恶劣影响，却不能消除轧辊偏心对轧出厚度所产生的直接不良影响。
⑶ 前馈AGC
考虑到来料厚差是冷轧带钢产生厚差的重要原因之一，因此冷连轧机一般在第一机架前设有测厚仪，可直接量测来料厚差用于前馈控制，机架间亦设有测厚仪用于下一机架的前馈控制。前馈AGC的原理是根据来料厚度波动信号，再根据轧制速度作适当延时，在波动部分进入机架的同时调节辊缝，以消除厚度偏差。辊缝调节量为：
(1.9)
式中：为轧件塑性系数。
⑷ 张力AGC
冷轧带钢，特别是后面的机架，带钢愈来愈硬，越来越薄，因此塑性变形越来越困难，亦即其值越来越大，因而使压下效率越来越小。
(1.10)
式中：为压下效率，当远远大于时，为了消除一个很小的厚差需移动一个很大的。
采用液压压下后由于其动作快使这一点得到补偿，但对于较硬的钢种，轧制较薄的产品时精调AGC还是借助于张力AGC。当然张力AGC有一定的限制，当张力过大时需移动液压压下使张力回到极限范围内以免拉窄甚至拉断带钢。
⑸ 监控AGC
机架后测厚仪虽存在大滞后但其根本优点是高精度测出成品厚度，因此一般作为监控。监控是通过对测厚仪信号的积分，以实测带钢厚度与设定值比较求得厚差总的趋势(偏厚还是偏薄)。有正有负的偶然性厚差是通过积分(或累加)将相互抵消而得不到反映。如总的趋势偏厚应对机架液压压下给出一个监控值，对其“系统厚差”进行纠正，使带钢出口厚度平均值更接近设定值。为了克服大滞后，一般调整控制回路的增益以免系统不稳定，或者放慢系统的过渡过程时间使其远远大于纯滞后时间，为此在积分环节的增益中引入出口速度。其后果是控制效果减弱，厚度精度降低。克服大滞后的另一种办法是加大监控控制周期，并使控制周期等于纯滞后时间，亦即每次控制后，等到被控的该段带钢来到测厚仪下测出上一次控制效果后再对剩余厚差继续监控，以免控制过头。这样做的后果亦将减弱监控的效果。为此，有些系统设计了“预测器”，通过模型预测出每一次监控效果，继续监控时首先减去“预测”到的效果，使监控系统控制周期可以加快，并且不必担心控制过头而减少控制增益。
即此偏心将使带钢出口厚度产生的波动，这一严重影响是不容忽视的。不仅如此，如前所述，轧辊偏心还会对压力AGC系统产生不良的影响，使其调节质量恶化。所以，要想轧出高精度带钢，必须考虑补偿轧辊偏心影响的措施。采用厚度外环和压力内环的目的亦是为了抑制偏心的影响。轧辊偏心将明显反映在轧制压力信号和测厚仪信号中。对轧制力来说，实测的轧制力信号实际是由给定轧制力(其中包括来料厚度和来料硬度带来的影响)和偏心信号综合组成[1]，考虑到这两部分信号在控制策略上是相反的，因此在未投入偏心补偿时必须通过信号处理将轧制力信号分解成两个部分。从轧制力信号提取出的偏心信息可以用下式表示：
(1.11)
式中：分是幅值、频率和初相角。频率与转速有关，幅值决定偏心大小，而初相角则决定于信号的初始坐标点，为此需在轧辊上设有单脉冲编码器(多脉冲等于将轧辊转角分成多个等分，并以其中一个坐标点作为初始坐标点)。从正弦特性可知，只有两个幅值相等但反相，频率相等并且初始角相同的两个信号相加才能完全互相抵消。否则，频率不同的正弦信号无法相加；幅值不同则无法完全消除偏心影响；初始角对不准则无法抵消，如果差还可能加剧而不是抵消。由于在实施控制时还要考虑液压执行机构惯性问题，采用这种两个完全相反的正弦波抵消的办法实施起来难度较大。
轧辊偏心控制技术的研究情况
轧辊偏心，一般可归纳为两种类型，一种是由辊身和辊颈不同轴度误差所引起的偏差，另一种是由辊身椭圆度(不圆度)引起的偏差，由于轧辊偏心的干扰，辊缝偏差一般可达0.025～0.05mm。轧辊转一周，其干扰变化一次，故轧辊偏心的干扰发生高频周期变化，从而造成成品带钢厚度的波动。轧辊偏心，主要是指支撑辊偏心，因为工作辊直径小，其偏心量只有几个；而支撑辊直径一般为1500mm左右，轧辊磨床加工精度能保证轧辊椭圆度约为，上下辊叠加。随着用户对产品质量要求日益严格，这种轧辊偏心的干扰越来越不能忽视。为了有效抑制偏心干扰，对系统各个部分的快速性和准确性都要求很高，任何部分的误差和时滞都会影响补偿效果，甚至可能使偏心的不良影响加剧。计算机在工业过程控制中的普遍应用和液压压下(推上)装置在轧机上的应用为解决这个问题提供了硬件上的可能性。由于电动机压下装置惯性大，传输效率低(一般)，对周期性高频变化无能为力，一般只能在控制系统中设置“死区”，以避免压下螺丝周期性频繁动作。而液压压下系统惯性小，压下速度和加速度都显著提高(一般，同时具有设备重量轻、有过负荷保护能力等优点。对于消除由轧辊偏心所造成的这种高频变化的周期波动，必须采用这种液压压下(推上)系统。 第一类解决办法按其信号检测和模型辨识的在线和离线方式，可分为开环控制和闭环控制。按其信号处理手段可分为简单处理法、各种滤波器法和傅立叶级数法。早期的简单处理方法包括用千分尺直接测定支持辊的移动或间接测定轧辊轴承座的移动，并根据这个测定值调整安装在轧辊上的自整角机输出的正弦波的相位和振幅，按照与支撑辊移动相反的方向实施补偿。滤波器方法是一种常用的偏心信号检测方法。各种滤波器方法都程度不同地存在些问题，不可避免地混进偏心以外的频率成分，而又毫无办法地漏掉了偏心信号中的谐波分量。除了滤波器以外，还有解决偏心控制问题的傅立叶分析法。这一方法一般来说要比滤波器方法的信号处理精度高，补偿效果显著。北京科技大学孙一康教授和他的博士研究生刘淑贞在20世纪90年代初以上海第三冷轧带钢厂的高精度四辊可逆冷轧机为试验背景，配以必要的测量仪表和计算机系统，并利用快速傅立叶变换的偏心控制方案，利用相干时间平均方法的偏心控制方案和复合建模偏心控制方案进行大量的现场实验，取得了满意的实验效果[35～37]。
澳大利亚的E.K.Tech等提出的用于冷轧机的改进的带钢厚度控制器和我国原冶金部自动化院陈振宇教授等提出的冷轧机轧辊偏心自校正调节器则应属于第二类。在消除轧辊偏心影响的同时，也抑制了其它干扰因素对带钢厚度均匀性的影响。Tech方案是根据轧制原理，建立一套包括支持轧辊偏心效应、轧机部件的塑性变形过程和弹性变形形变在内的控制设计模型并估计偏心信号周期。反馈控制器对轧制力、滞回、与轧机有关参数和轧制力调整机构的非线形响应进行补偿。此方法在把偏心分量从厚度计法厚度误差估计中分离出来，通过前馈方法补偿偏心干扰效应的同时，也实现了准确的厚度估计，通过反馈回路完成了综合厚度控制。这一方法在澳大利亚公司的冷轧机的初步现场实现表明，它可使轧辊偏心对轧制力和带钢出口厚度的影响减少30％，使总的厚度精度提高40％。但此方法要求对轧机系统各部分的机理和参数都了解得很清楚，而且对测厚仪的安装位置等也有限制，这对有些轧机而言是难以实现的。
国外对偏心诊断、智能和最优控制的研究较深入和富有成果，主要有：Kugi等提出基于稳定传递函数的因数分解逼近和最小均方算法；Aistleitner K等提出采用神经网络进行偏心辨识的方法；Garcia等提出了采用多处理器实时偏心诊断方法和实时模糊偏心诊断方法；Fechner等提出了神经偏心滤波器，该滤波器用于在线偏心控制时对于变化的偏心周期具有较好的适应性，该方法还用到了递归最小二乘学习算法；Choi 等提出了偏心最优控制方法等。
除此之外，欧美日各大公司的工程专家也提出了多种轧辊偏心的补偿方法，这些方法又可以分为下面三类：
⑴ 被动轧辊偏心控制方法。这类方法不是试图补偿轧辊偏心对轧件厚度的影响，其主要目的是使辊缝控制系统对轧辊偏心引起的厚度干扰影响不敏感，而不需要辊缝按照辊缝偏心函数进行校正，这就排除了厚度变化增大的可能；
⑵ 主动轧辊偏心补偿法。这类方法一般包括轧辊偏心分量检测和随后得出的补偿信号送到辊缝调节器中以补偿轧辊偏心，轧辊偏心分量是从反映主要轧制参数(如轧制力、辊缝、轧件出口厚度以及带钢张力等)的信号中测得的，根据检测信号的不同处理方法，这类方法可分为下面两种：
① 分析法 轧辊偏心分量是通过应用数学分析法(例如傅立叶分析法)从检测信号中提取出来；
② 综合法 轧辊偏心分量是通过复制轧辊偏心分量得到，信号复制可采用机械法和电量法；
⑶ 预防轧辊偏心控制法。这类方法是在轧制前创造一些条件以便能减小偏心对厚度的影响，而在轧制中不采用任何校正措施。
国外公司典型的偏心补偿方法有：
⑴ 死区法 死区法是一种被动偏心控制法，此法通常可消除控制信号中的周期分量；
⑵ 轧制力法 轧制力法是一种主动式轧辊偏心方法，把出口厚度的误差信号转换成附加轧制力基准信号；
⑶ 辊缝厚度控制法 辊缝厚度控制法是利用安装在轧机工作辊之间的传感器测出轧制过程中的辊缝偏差，由德国Krupp提出的辊缝控制(IGC)系统就由辊缝传感器组成的，它们被装在机架每侧的工作辊辊颈之间，这样，它们不会受到带钢的损坏；
⑷ 前馈控制法 已经在轧机辊缝控制中得到广泛的应用，它包括以下三个步骤：
① 在上游机架的前几机架的轧制道次中，分段测出带钢厚度波动；
② 当带钢每一段即将进入末尾即机架轧制辊缝中时，确定所需的厚度修正量；
③ 在末尾几机架中对带钢每一段实施厚度修正。应用这种方法能够补偿包括轧辊偏心在内的各种因素在内的厚度偏差。一般在中间使用张力控制系统主要有两种。第一种是通过调节上游机架的速度进行带钢张力控制，第二是调节下游机架的辊缝进行带钢张力控制。成功采用前馈控制系统控制轧辊偏心的关键在于轧机电机能否使速度调节器获得适当的速度响应特性；
⑸ Newmann法 这种方法是由德国穆勒－纽曼公司的Newmann等人提出的，它是利用随支承辊同时旋转的凸轮来模拟轧辊偏心，位移传感器测出凸轮偏心，然后发出电子信号，传送给辊缝调节器。这种方法虽然简单，但没有得到广泛应用。原因是：
① 在机架中安装支承辊之前，显然要仔细测定每一个支承辊偏心幅度和相移；
② 在轧辊偏心测定结束后，每个凸轮和支承辊偏心相移必须一致。由于支承辊偏心明显非正弦变化，所以要把它和凸轮正弦变化对应起来相当困难；
③ 支承辊与凸轮外形的不协调性也是造成轧辊偏心不能得到补偿重要原因；
④ 不能补偿工作辊椭圆度造成的辊缝变化；
⑹ Alsop法 以测厚仪原理为基础进行辊缝控制。假设带钢厚度发生波动，使轧制载荷产生低频波动，而轧辊偏心使载荷产生相当高的频率波动，载荷信号的低频分量在任何通道都不会衰减，它将产生正反馈，正反馈大小为： 式中：为轧机纵向刚度，另一方面载荷信号的高频分量仅能通过一个通道，就这部分来说，载荷回路中产生负反馈信号，增益大小为，这样回路会产生信号，它被送到辊缝调节器以补偿轧辊偏心；
⑺ Smith 法 英国戴维联合仪器公司的Smith提出以测厚仪原理为基础的辊缝控制系统中轧辊偏心补偿法，它的缺点是使用了金属构件类型的整流器，它会产生于控制信号的波幅差不多的噪声信号；
⑻ Howard法 英国戴维联合工程公司的Howard提出利用在轧制过程中两个所测定的参数来测定轧辊偏心，第一个参数是安装在轧机每侧的载荷传感器测出轧制力的波动量，第二个参数为即将进入轧机的轧件厚度波动量；
⑼ Shiozaki(盐崎)、Takahashi(高桥)法 也称为轧辊偏心傅立叶分析法(FARE)，它是日本的石川岛播磨公司(IHI)Shiozaki、Takahashi提出的，该方法应用了轧辊偏心量ec和轧制力变化量之间的关系：
(1.13)
式中：Q为轧件塑性系数，为轧机纵向刚度。因为轧辊波动量与支承辊旋转一周周期一致，于是可得：
(1.14)
式中：A为偏心量幅值，为支承辊角位置与轧辊零偏心位置之间的相位角。由于轧制力波动包含有许多不同频率的分量，对于一级谐波来说，根据简单傅立叶级数，其变化量表达式为：
(1.15)
式中：B、C为常数。在支承辊旋转一周的时间内，通过测量轧制力的变化量就可以获得A、B、C和，按照预设定的时间间隔对测定的轧制力进行采样，其中T是支承辊旋转一周所需时间，为旋转一周的采样个数。可得：
，，， (1.16)
通过FARE法测出偏心信号通过压力控制回路可以调节辊缝，以便减小或增大偏心补偿载荷，偏心补偿载荷信号将持续累积到轧辊偏心载荷分量在轧制载荷信号中完全消失为止。然后，当再也测不出偏心载荷分量时，FARE输出信号就被存储在存贮器中。随着轧制持续运行，FARE信号不断存储于存储器中，并且持续计算；
⑽ Cook法 西屋电气公司的Cook提出的方法是建立在假设轧辊偏心所起的轧制力变化为正弦变化，变化周期等于支承辊旋转周期基础上。假设，轧制力为
(1.17)
式中：为支承辊旋转一周对应的平均轧制力，为轧制力变化的振幅，为支承辊选定零位与平均轧制力对应的支承辊位置之间的夹角，为轧辊角位置。于是得到：
(1.18)
式中：分为上下支承辊对应的补偿信号波幅：
， (1.19)
式中：为轧机纵向刚度。
⑾ Fox法 Cook法的应用局限于双驱动布置的电机，而检测轧辊偏心需花费大量的时间，西屋电气公司的Fox利用上下支承辊之间的差异产生的摇摆现象控制偏心。根据Fox法，在压靠时将轧辊转动但不咬入轧件时测定轧制力，假定轧辊偏心变化量呈正弦变化，此时在一个偏摆周期内，两轧辊轧制力信号分别等于： 式中：分为上下支承辊角位置，分为偏心引起的轧制力波动幅度。
⑿ Ichiryu等人的方法 日本日立公司的Ichiryu等人提出提出连续测定入口带钢厚度和轧制力，然后使用这些测量值获得出口厚度，根据相关函数，利用统计方法就可以测出轧辊偏心造成的干扰量，然后从控制系统中消除；
⒀ Hayama(叶山)方法 该方法已应用在三菱重工研制的自动轧辊偏心控制系统中，这种方法的原理是使用在线和离线方法检测轧辊偏心，然后加权求和。离线法是在压靠条件下利用摇摆现象测定轧辊偏心，在线法是在轧制条件下，通过使一个支承辊相连的脉冲发生器信号和所测的轧制力信号联系起来，进行轧辊偏心检测；
⒁ Yamagui(山口)法 日本日立和新日铁公司的山口提出的轧辊偏心方法是通过出口厚度偏差采样测得的从头前转期间的数据计算出轧辊偏心补偿信号；
⒂ Weihrich和Wohld法 德国西门子公司的Weihrich和Wohld提出的轧辊偏心的方法是基于测厚仪原理，通过求和放大器用辊缝的输出信号和载荷传感器输出信号来计算板带出口厚度，而求和放大器的输出信号也包含有轧辊偏心成分。利用辊缝值和成正比的信号就可以通过信号混合器产生轧辊偏心总的信号，同时也改变入口处板带厚度变化成分和入口处板带稳定成分，利用高通滤波器，从混合器输出信号中去掉稳定成分；
⒃ Gerber法 伯里斯(bliss)公司的Gerber开发了一套自适应数字化偏心补偿(ADEC)系统，该系统利用了声学技术的最新成果，即具有复制信号中的任意选定交变成分的技术；
⒄ Ooi(大井)法 日本住友公司的Ooi利用支承辊平衡液压缸的这些机构来控制偏心。这种方法是使带有电动压下结构的轧机无须进行任何显著的的改进就可以实现系统高精度的快速效应。支承辊偏心通过傅立叶分析就可以确定出上下辊操作及驱动侧位置相关的轧辊偏心成分；
⒅ Ginzburg法 国际轧钢咨询公司及联合工程公司的Ginzburg提出两种轧辊偏心补偿方法，第一种方法是利用差拍现象，尤其是利用上下支承辊向同一方向发生偏心时轧辊偏心最小的事实；第二种方法是在轧制过程中对轧辊偏心进行连续补偿。
总之，随着对该高质量板带材需求的日益提高，轧辊偏心控制问题得到各国轧钢控制界的普遍重视，各种检测和控制方法相继出现。国外大公司一般在这个领域获得专利，我国在这个领域尚有差距，需要促进对轧辊偏心控制技术问题的理论分析和研究，不断使其走向深入和完善。
重复控制理论研究现状 针对周期信号发生器正反馈带来的非平凡问题在如何保证系统稳定问题，Hara等证明，如果对象是正则的且不是严格正则的，系统就能保证稳定[48]。为了克服这种重复控制系统不易稳定的局限性，Hara等1988年提出在重复控制环节中引用低通滤波器来滤掉高频部分，以高频部分牺牲一些特性来实现系统的鲁棒性。因此低通滤波器的选择对于重复控制非常重要，它的引入一方面有利于系统稳定，另一方面，却带来系统的稳态误差，它反映了闭环系统特性和系统鲁棒稳定性间一种折中考虑。1985年和1988年Hara等提出了基于状态空间的设计方法。近来，鲁棒优化控制和结构奇异值方法也用来设计和分析重复控制[49,50]。Peery 和 Ozbay(1993)利用无穷维优化控制原理提出了一种2步法设计优化重复控制器。他们同时提出通过优化重复控制器的滤波器进一步改善系统主要特性的方法。Guvcac(1996)对于连续时间的重复控制系统结构奇异值提出鲁棒稳定和动态特性分析方法，即分别用－1和1代替系统内模的延迟部分估计结构奇异值的下确界和上确界，这样就把原来的无穷维问题化作有穷维问题。可以利用这种结构估计连续时间重复控制系统的稳定性和鲁棒特性。但是，得出结构奇异值的下确界比用1代替时小，上确界又比用－1代替时大。直到延迟足够大这种估计才能得到满意的结果。另外，这种估计还需满足相位要求，因此这种结构不能用来综合。
重复控制器不断被改进，且被数字化[51～54]。为了减小控制器离散化造成的误差，很多研究者关注于用离散化方法直接设计重复控制器。Tomizuka等提出一种针对稳定开环对象的零相位偏差跟踪的重复控制器(Zero Phase Error Tracking Controller)，这种方法特点是滤波器的结构和对象同阶并满足时延。基于相同的补偿器结构，Tsao和Tomizuka(1988，1994)进一步获得使系统鲁棒稳定的内模零相位低通滤波器的方法，给出了和非模型动态的关系，确定了鲁棒稳定的充分条件。这种方法可以用于最小相位和非最小相位系统。Alter 和Tsao推导出基于二维模型匹配算法的重复控制算法，并它应用到线性马达的控制过程。Kim和Tsao(1997)综合前馈、重复和反馈控制方法，实现电液执行器的鲁棒特性控制。Tsao 等把重复控制利用到凸轮机械的非圆旋转。在极点配置方法中，Ledwich 和Bolton提出了LQ(Linear Quadratic)设计方法。Hillerstrom和Sternby(1994)提出了基于标准Bezout辨识的极点配置方法。Bamich 和 Pearson(1991)提出了采样数据提升技术(lifting technology)并将其用于设计最优采样数据重复控制系统。Langari 和Francis(1996)提出基于结构奇异值的采样数据鲁棒控制系统的鲁棒分析方法。
Srinivasan和Shaw提出了频域设计方法[55,56]，并提出了被称作重构谱的频率函数[57,58]，利用它来判定重复控制系统的相对稳定性。如果在没有重复控制环节时闭环系统稳定，则对于频率，是系统稳定的充分条件。设计重复控制的离散时间重构谱的改进方法由Srinivasan和Shaw于1993年提出。基于谐波频率处对象频率响应的系统稳定改进方法在1995年由Sadegh提出。 Hanson(1996年)提出一种序贯重复控制系统。首先利用最优控制设计能增加闭环动态硬度的内环控制器，然后基于零相位偏差跟踪控制设计外环重复控制器以保证跟踪或抑制周期输入。由于这是两步设计(两个控制器分别设计)，所设计的控制器阶次必然高。内环最优控制器的特性将在最大峰值2处被外环重复器降低。Guo提出利用替代基于重复控制零相位跟踪控制中的。选择和做为灵敏度函数进行频率调整，以抑制磁盘驱动伺服控制的二次谐波干扰的抑制。众所周知，基于重复控制的零相位偏差跟踪控制需要是低通滤波器，且频带尽可能宽。因为的选择必须兼顾重复控制特性和稳定鲁棒性，因此灵敏度函数的频率调整受这种因素限制。Li和Tsao成功应用鲁棒重复控制于磁盘伺服控制。
本文的主要工作及各部分内容安排
主要研究内容
由于重复控制对周期性信号具有很好的自学习能力，因此对周期性扰动具有很好的抑制作用。重复控制只需知道扰动信号的周期，对信号的初始状态，如初相角和幅值等没有要求，这样大大简化信号的检测，同时降低了控制难度。重复控制的难点在于对系统稳定性要求较高。国内外将重复控制应用于轧辊偏心控制的文献不多。围绕研究带钢高精度厚度控制的目的，本文以获得厚度精度控制为目标，重点研究厚度控制过程中应用重复控制抑制轧辊偏心扰动。本文主要做两方面的工作。首先针对厚度控制过程中轧辊偏心补偿问题的特点，将先进的的重复控制理论和自动控制理论有机结合应用到这个问题中来，提出控制方案；其次从稳态精度、稳定性和鲁棒性三个方面进行理论分析，对控制方案进行计算机仿真研究。
⑴ 首先提出了单轧辊偏心扰动重复控制抑制的单输入单输出(SISO)厚度控制系统频域设计方案，方案中为了弥补重复控制延迟环节前引入滤波器带来的控制精度问题，提出一种补偿器，给出了补偿器的设计方法。厚度控制采用测厚仪测厚的反馈AGC控制方案，用Smith预估器补偿被控对象滞后，补偿后的广义对象采用常规PID控制。同时还给出了一种将鲁棒PID控制器和重复控制设计结合在一起的混合设计方法。其次提出了多轧辊偏心扰动重复控制补偿的SISO厚度控制系统频域设计方案。对系统的稳定性、鲁棒性和系统动态品质进行了分析，同时对控制方案进行了仿真研究；
⑵ 针对多输入多输出厚度、张力控制系统，首先提出了单轧辊偏心重复控制频域设计方案，然后扩展到多轧辊偏心控制系统。采用逆奈奎斯特方法对被控对象进行解耦。对控制方案进行了理论分析和仿真研究，证明重复控制抑制单周期和多周期偏心扰动的有效性；
⑶ 针对重复控制对偏心扰动的基波及其谐波抑制效果较好，而对基波和谐波附近频率信号扰动的抑制较差，同时轧制过程中因各种原因造成轧辊偏心信号的周期可能波动或者偏心扰动信号不能准确测量或辨识情况，提出了一种鲁棒重复控制结构，从理论上证明了这种鲁棒重复控制较常规重复控制性能优越，对扰动信号的周期波动不敏感，具有很强的鲁棒性。将这种结构用于厚度控制系统，仿真结果证明了这种结构对周期不确定轧辊偏心信号具有很强的抑制能力。
⑷ 因工程中普遍采用数字化设计，分别提出了单轧辊偏心、双轧辊偏心及多轧辊偏心鲁棒数字重复控制器设计方案.这种设计能有效地降低补偿器阶次。厚度控制采用流量AGC和反馈AGC结合的控制结构，避开因测厚仪测厚滞后造成的系统不易稳定的弊端。所有方案都进行了理论分析，同时对所提出的硬度前馈和厚度反馈的控制结构在偏心扰动和硬度扰动下进行了仿真，结果证明这些方案的有效性。
各部分内容安排
全文共分7个部分，每部分的具体内容安排如下：
第一章首先阐述了冷轧板带厚度控制方法和研究现状，指出了抑制轧辊偏心扰动在高精度厚度控制过程中的重要性；其次，综述了国内外轧辊偏心的研究成果及现状。
接着全面介绍了重复控制概念的基本内涵、应用的对象和重复控制理论的研究成果；最后给出了本文的主要研究内容。
第二章首先全面而系统的归纳了轧辊偏心的的特点和性质，在此基础上，给出了获取偏心信号的改进傅立叶方法；其次给出了几种厚度控制模型，提出了硬度波动前馈控制模型。
第三章首先给出了单轧辊偏心扰动重复控制抑制的单输入单输出(SISO)厚度控制系统频域设计方案；其次提出了多轧辊偏心扰动重复控制补偿的SISO厚度控制系统频域设计方案。对系统的稳定性、鲁棒性和系统动态品质进行了分析，同时对控制方案进行了仿真研究。
第四章针对多输入多输出厚度、张力控制系统，首先提出了单轧辊偏心重复控制频域设计方案，然后扩展到多轧辊偏心控制系统。对控制方案进行了理论分析和仿真研究。
第五章针对周期不确定轧辊偏心信号，提出了一种鲁棒重复控制结构，从理论上证明了这种鲁棒重复控制较常规重复控制性能优越，并对其抑制周期不确定轧辊偏心信号进行了仿真。
第六章分别提出了单轧辊偏心、双轧辊偏心及多轧辊偏心鲁棒数字重复控制器设计方案，给出降低补偿器阶次的方法。对所有方案都进行了理论分析和计算机仿真。
第七章对全文工作进行了总结，提出了下一步工作设想。
轧辊偏心问题的理论分析和冷轧板板带厚度控制模型
轧辊偏心问题的理论分析
广义上说，轧辊和轧辊轴承形状的不规则引起辊缝周期性变化称为轧辊偏心。轧辊偏心会导致轧件厚度周期变化，轧辊的偏心可以归纳为两种基本类型。一种是由辊身和辊径的不同轴度引起的偏差所引起的；另一种是由轧辊本身所具有的椭圆度所产生的。而实际情况可能是两者共同作用的结果。
辊身和辊径不同轴的情况
图2.1 辊身和辊径不同轴的情况
如图2.1所示，为辊径的轴心，为辊身的轴心，为辊身的半径，X为与之间的距离。偏心运动轨迹相当于辊身表面可移动点A绕辊径轴线转动，即偏心波形为的轨迹。设支承辊转动的角速度为，，在三角形中， 由余弦定理可知：
(2.1)
设t=0时，＝0，=，。由正弦定理得：
(2.2)
从而有：
(2.3)
因而有轧辊偏心运动轨迹的参数方程为：
(2.4)
根据以上参数方程，得轧辊偏心波形如图2.2所示。
图2.2 轧辊偏心波形
图2.3 辊身为椭圆时的示意图
轧辊具有椭圆度的情况
如图2.3 所示，o是轧辊的轴心，是理想辊身的半径，a 和b 分别是实际椭圆截面的长轴和短轴。实际情况可能不是椭圆。偏心波形为椭圆周上可移动点A与理想圆周的径向距离的轨迹，r为A到轧辊轴心线的距离。设辊身转动的角速度为，t=0时，，则有:
(2.5)
又由椭圆方程 得 ：
即
从而
因此有
(2.6)
因而得到轧辊偏心曲线方程为
(2.7)
得到的偏心波形类似于图2.2。
如果两个辊的角速度相同，那么合成的偏心信号仍然是同频率的周波。这是因为周期信号可以分解为一系列的正弦波之和。而两个同频率的正弦波之和仍是正弦波。设和为两个角频率为的正弦波，其中
(2.8)
则合成的波形为
(2.9)
式中：
(2.10)
(2.11)
合成波形的振幅发生变化，相位发生偏移，频率保持不变。轧辊偏心波形一般不是纯粹的正弦曲线，而是包括多次谐波的复杂的周期波。它有以下特点：⑴ 周期性 轧辊每转动一周，偏心信号重复出现一次；⑵ 频率和幅值不是固定不变的。当轧制速度变化时，其频率也随之成比例变化。在轧制过程中，由于轧辊的热膨胀和磨损，偏心信号的幅值也会发生缓慢变化；⑶ 偏心信号不仅含有多次谐波，而且还含有各种各样的随机干扰。
偏心信号的采集和处理
轧辊偏心对厚度的影响可以用出口厚度变化的频谱分析来评估，斯太尔克利用快速傅立叶变换(FFT)，从出口厚度数字化信号中分离所有周期分量，并依据所有轧辊转速和尺寸，能够辨别出大部分频谱峰值，通过对频谱选择过滤同时结合反变换FFT技术，每个轧辊对出口厚度变化的影响都能测量出来。从上面分析中，我们知道轧辊偏心信号是包括多次谐波的高频周期波，偏心信号的频率与轧制速度成正比。在生产过程中，由于随机噪声、缓慢变化量等的存在，采集的偏心信号会出现突变、漂移等无规则变化，但总的偏心信息不会突变。轧辊更换以后，它的偏心量就基本上确定了。，并在短时间内不会突变。根据这一特点，在每次换辊以后，在正常轧制状态下，对轧制压力信号进行采集，从中提取偏心成分，建立偏心模型。进而对轧辊的偏心进行补偿。
将采集到的轧制力信号进行A/D转换，然后进行去均值(去掉直流分量)和相干时间平均处理，使噪声干扰得以减弱或消除，提高信噪比；对预处理后的信号进行快速傅立叶变换(FFT)，建立轧辊偏心参数模型。在轧辊上安装一个光码盘，以产生两列脉冲。一列相对轧辊某一固定点，每转一周发出一个脉冲，此脉冲作为采样和控制的初始定位信号；另一列是轧辊每转一周，光码盘发出128个脉冲数列以进行FFT，建立模型。相干时间平均方法适应于周期信号或重复信号，它将各个周期信号和噪声信号同时叠加后加以平均，如果噪声是随机的，则在叠加过程中会相互抵消，而信号是有规律的，叠加平均后幅值不变。必要条件是噪声应具有一定随机性，而信号则具有重复性，且两者互不相干。
设混有噪声的信号为，信号反映系统的某种基本特征。在相同的条件下，具有重复性。噪声为均值为零，方差为的平稳随机信号，且、互不相关。对第i个样本采样M次，然后做相干平均得：
(2.12)
傅立叶变换是在以时间为自变量的信号与以频率为自变量的频谱函数之间的变换关系。傅立叶变换可以辨别出或区分出组成任意波形的一些不同频率的正弦波。快速付立叶变换是建立在离散时间概念上的，它不单纯是对离散时间付立叶变换的近似，而是从离散付立叶变换出发，有一整套自成体系的、 离散时间域中的严格的基本定理和数学关系。离散付立叶变换能把一个有限长度序列映射成另一个有限长度序列，因而很适合于数字计算机计算。利用离散付立叶变换的一些代数结构，可以实现高速算法，快速付立叶变换能使离散付立叶变换的计算时间成数量级的缩短。快速付立叶变换的出现使付立叶变换已不仅仅是一种理论概念，而且成为一种技术手段。
⑴ 离散付立叶变换[65 ,66]
当用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而计算机输出所得的频谱值，自然也是离散的。因此，必须针对各种不同形式信号的具体情况，或者在时域和频域上同时取样，或者在时域上取样，或者在频域上取样。信号在时域上取样导致频域的周期函数，而在频域上取样导致时域的周期函数，最后将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数。
从严格的数学意义上讲，离散周期序列的付立叶变换是不存在的。但是，如果利用周期函数可能展开为付立叶级数的指数形式并使用冲激序列，则可以把付立叶级数逐项作积分变换，从而在形式上得到付立叶变换对。
设为一周期连续信号，如果以抽样间隔为的抽样率进行抽样，抽样结果为，则可表示为：
(2.13)
设一个周期内的抽样点数为，即到，则
可写成：
于是有：
(2.14)
对进行抽样等于先将它的一个周期抽样成，然后把这一个周期进行延拓。所以有：
(2.15)
式中上的符号表示周期重复，它是离散时间周期冲激序列，是的一个周期内抽样所得的数值；为抽样序号，；为抽样间隔；为的周期；为任意整数。
令，并将展开成付立叶级数
(2.16)
式中：，的单位为，系数可表示为：
(2.17) (2.18)
对式（2.18）进行付立叶变换得：
(2.19)
定义
(2.20)
由于
所以。这里是的个周期，。也就是说的周期为，在每个周期内，。于是，式(2.20)可写成：
(2.21)
上式说明，周期离散时间序列经付立叶变换后在频域中是离散频率的周期序列，这种形式的变换也称为离散付立叶级数变换。在数学上，离散周期序列的付立叶级数变换可简明表示为：
(2.22)
(2.23)
为了方便，令，则式(2.22)和式(2.23)可表示为：
(2.24)
(2.25)
离散付立叶级数变换是周期序列，仍不便于计算机计算，但离散付立叶级数每个周期序列却只有(一个周期内取点个数)个独立的复值，只要知道它的一个周期的内容，其它的内容也就知道了。同时限制式(2.24)中的和式(2.25)中的都只在区间内取值，就得到了一个周期的和一个周期的之间的对应的关系：
(2.26)
(2.27)
这就是有限长序的离散付立叶变换对。
上两式所示的离散付立叶变换对可以看成是连续函数在时域、频域取样所构成的变换，可以看作是连续付立叶变换的近似，是一种很有用的变换方法。然而，当数据有较长的长度时，这种变换的计算量是很大的。分析式(2.26) 和式(2.27)可知，当用直接方法计算DFT时，总运算量及总运算时间近似地比例于，这在很大时，所需的运算量及总算时间近似地比例于，这在很大时，所需的运算量非常可观，要想用DFT方法对信号作实量处理一般是有困难的。
⑵ 快速付立叶变换(FFT)
快速付立叶变换是为减少DFT计算次数的一种快速有效的算法。它使DFT的运算大为简化，运算时间一般可缩短一至二个数量级，其突出的优点在于能够快速高效地和比较精确地完成DFT的计算。
FFT改善DFT运算效率的基本途径是利用DFT中的权函数所固有的两个特性，一个是的对称性，即，另一个是的周期性，即。利用的对称性，可根据正弦和余弦函数的对称性来归并DFT中的某些项，结果可使乘法次数约减少一半。假定是一个高复合数，可利用权系数的周期性，把点DFT进行一系列分解和组合，使整个DFT的计算过程变成一个系列迭代运算过程。因为迭代运算的计算量要比直接计算的计算量少很多，尤其是当很大时，可能成百位甚至成千倍地减少。快速付立叶变换算法正是基于这一基本思想而发展起来的。权系数的周期性是导出FFT算法的一个关键因素，高复合性则是实现FFT算法的一个重要条件。根据不同的分解方法，可以导出多种FFT算法，如按时间抽取的FFT算法，按频率抽取的FFT算法，的高复合性则是实现FFT算法的一个重要条件。根据不同的分解方法，可以导出多种FFT算法，如按时间抽取的FFT算法，按频率抽取的FFT算法，为复合数的FFT算法等。时域抽点算法的迭代过程是基本在每级把输入时间序列分解为两个更短的子序列，频域抽点算法的迭代过程则基于在每级把输出频率序列分解成两个更短的子序列。
以2为基时域抽点FFT算法是最基本最常用的算法，基2算法要求采样点数为2的整数次幂。设有一个点序列，而，首先将按序号之奇偶分解为两个点的子序列，因而得：
(2.28)
如采用下列变量替换：(当为偶数时)，(当为奇数时)，则上式可变为：
(2.29)
又因
所以上式又可改写为：
(2.30)
由于对于均有定义，而及只对有定义，因此，有必要就情况下对2.30作出说明。根据DFT的周期性可得：
(2.31)
考虑到：
则上式可改写为：
(2.32)
经整理后得：
(2.33)
式中：和可分别写成序列和的点DFT。
式(2.33)表明，一个点DFT可分解成两个点DFT，而这两个点DFT又可组合成为一个点DFT，效果是相同的，但是运算量却大不相同。很明显，如果以一次复乘和一次复加称为一次运算，那么，计算两个点DFT约共需运算，此外再加上按式(2.33)组合需要次运算，所以按先分解后组合的方式计算一个点DFT总共约需次运算。当较大(即)时，它的运算量比直接运算点的DFT约可减少一半。
因为是2的幂，所以可进一步将每个点子序列按奇偶号分解为两个点子序列，再令每两个点子序列组合成一个点DFT……。上述分解过程还可继续进行，直到第次分解，每个子序列都只有两点。这样，就把点DFT的运算转化为级组合运算，M级组合就是M级迭代过程。每次迭代要求N/2次复乘和N次复加，M级迭代约需次复乘和次复加。每次迭代要求次复乘和点DFT的迭代运算过程是基于在每级把输入时间序列分解成两个更短的子序列，因此称为时域抽点算法。图2.4 说明了此迭代运算过程。
图 2.4 N点基2 FFT的M级迭代过程
经过FFT变换结果，就可以计算出各次谐波的振幅和相角，从而建立轧辊的偏心模型，其振幅A＝，相角，频率随轧辊速度变化而变化。
偏心模型还必须转换为与采集脉冲对应的离散点的模型，即将带有三个参数的正弦波偏心模型转换成128个脉冲对应的离散点模型。轧辊偏心控制对检测和控制系统的准确性和快速性要求很高，定位定点采样保证了通过数据处理获得的偏心模型的唯一性和准确性。把正弦波的一个周期分成N段，列成表格，用步长DELTA扫过这个表，用序号作为角度参数，查表求出序列的值。假设每两个采样点之间的时间间隔维t，则正弦频率为。当步长不是整数时，采用点可能落在两表值之间，可以采用线性内插法加以修正。
⑶ 基2时域FFT算法的改进(MMFFT)
针对轧辊偏心信号本身及其控制问题的特点，对传统的基2时域FFT算法进行改进(MMFFT)。改进分两部，第一步改进的是取消传统FFT方法对采样持续时间的限制，使快速付立叶变换算法适用于处理轧辊偏心波动这类周期未知或变动的周期信号，同时又能抑制FFT固有的泄漏效应。第二步改进是就偏心控制问题而言，将周期信号中各次正弦波的绝对频率转换为相对频率，从而提高算法在偏心控制中应用的可靠性和实用性。
① 第一步改进(Modlified FFT)
人们对DFT感兴趣主要是因为它是连续付立叶变换的一个近似。近似的准确程度严格说来是被分析波形的一个函数，两个变换之间的差异是因DFT需要对连续时间信号取样和截断而产生的。因而在应用DFT解决实际问题时，常常遇到混叠效应、栅栏效应和泄漏效应等问题。
对一个连续信号x(t)进行数字处理时，要在计算机上进行计算，而计算机的输入只允许是数字信号，所以必须对连续信号x(t)进行抽样，即
(2.34)
式中：为对x(t)抽样所形成的序列。T为抽样间隔，为抽样率，。如果抽样率选得过高，即抽样间隔过小，则一定的时间里抽样点数过多，造成对计算机存贮量的需要过大和计算时间太长。但如果抽样率过低，则在DFT运算中将在频域出现混叠现象，形成频谱失真，使之不能反映原理的信号。这样将使进一步的数字处理失去依据，而且也不能从这个失真的频谱中恢复出信号来。因此，对连续信号的抽样率需大于奈奎斯特频率，即抽样率至少应等于或大于信号所含有的最高频率的两倍，即。
如果x(t)是一个周期信号，它只具有离散频谱，那么，x(t)抽样后进行FFT运算得出的频谱就是它的离散频谱。但是如果x(t)是个非周期函数，它的频谱是连续的，把x(t)的抽样进行DFT运算得到的结果就只能是连续频谱上的若干点。因为这就好象是从栅栏的一边通过缝隙观看另一边的景象一样，所以称这种效应为栅栏效应。如果不附加任何特殊处理，则在两个离散的变换线之间若有一特别大的频谱分量，将无法检测出来。减少栅栏效应的一个方法就是在原记录末端填加一些零值变动时间周期内的点数，并保持记录不变。这实质上是人为地改变了周期，从而在保持原有线连续形式不变的情况下，变更了谱线的位置。这样，原来看不到的频谱分量就能够移动到可见的位置上。
泄漏效应是由于在时域中对信号进行截断而引起的。实际问题中，所遇到的离散时间序列x(nT)可能是非时限的，而处理这个序时时，需要将其限制为有限的N点，即将它截断。这就相当于将序列乘以一个矩形窗口，如果对有限带宽的周期函数抽样后的截断长度并不正好是其周期的整数倍，就会导致离散付立叶变换和连续付立叶变换之间出现显著的差异。这是因为，根据频域卷积定理，时域中的，则频域中与进行卷积。这里，和分别是的付立叶变换，这样将使截断后的频谱不同于它加窗以前的频谱。泄漏效应的产生是由于矩形窗函数的付立叶变换中具有旁瓣亦有一定带宽而引起的。如图2.5所示。为了减少泄漏，应尽量寻找频谱中窗函数，即旁瓣小、主瓣窄的窗函数。或者通过限制采样的持续时间来抑制泄漏效应。
图2.5 矩形窗口的时域与频域图形
第9篇：数学建模鲁棒性分析范文
摘 要 本文提出了一种标准粒子滤波器的改进算法——高斯混合采样粒子滤波算法（gmsppf）。仿真结果表明，新算法在大幅降低计算复杂度的前提下，具有比标准粒子滤波算法(sir-ppf)更好估计性能. 关键词 卡尔曼滤波；粒子滤波；序列蒙特卡洛；贝叶斯滤波；高斯混合采样 1 引言 贝叶斯方法为动态系统的估计问题提供了一类严谨的解决框架。它利用已知的信息建立系统的概率密度函数可以得到对系统状态估计的最优解。对于线性高斯的估计问题，期望的概率密度函数仍是高斯分布，它的分布特性可用均值和方差来描述。卡尔曼滤波器很好地解决了这类估计问题[1]。对于非线性系统的估计问题，最经典并得到广泛应用的方法以扩展的卡尔曼滤波为代表，这类方法需要对模型进行线性化，同时要求期望的概率密度函数满足高斯分布，然而在对实际系统建模时，模型往往是非线性非高斯的。此时，最优估计很难实现。 粒子（particle）滤波器——序列重要性采样粒子滤波器，是一种适用于强非线性、无高斯约束的基于模拟的统计滤波器[2]。它利用一定数量的粒子来表示随机变量的后验概率分布，从而可以近似得到任意函数的数学期望，并且能应用于任意非线性随机系统。本文介绍一种估计性能更好的粒子滤波算法——高斯混合采样粒子滤波器(gmsppf)，相比通常意义上的粒子滤波算法（sir-pf），gmsppf粒子滤波器具有更小的系统状态估计的均方误差和均值。 2 贝叶斯滤波问题 贝叶斯滤波用概率统计的方法从已观察到的数据中获得动态状态空间（dss）模型参数。在dss模型中，包含状态和观测两个方程[3][4]。其中状态转移方程（state equation）通常写作 （1） 这里，是已知，且是白噪声独立的随机序列，而且分布是已知的。观测方程表达式写为 （2） 这里：是白噪声序列，独立且分布已知。并且满足。 图1描述了dss模型中状态转移和似然函数的关系。假设初始时刻系统的状态分布已知，k时刻的已知信息序列表示。 图1 动态状态空间模型（dssm） 这样，贝叶斯估计的问题理解为：利用观测到的信息yk，求解系统状态的概率分布。若系统状态的变化是隐马尔柯夫过程，即当前系统的状态信息只与上一个时刻的状态有关，可以通过预测和更新的途径求解。 （3） 这里： （4） 假设xk，wk是相互独立的随机变量，满足 。于是，参考（1）式可以把（4）式写为 （5） 其中，是采样函数。当是已知时，xk可以通过确定性方程（1）得到。 依据贝叶斯准则，系统状态估计量 （6） 其中， （7） 另外，在给定 xk，vk，分布的条件下， yk的条件概率依据测量方程（2）可以表示为如下形式 （8） 由（6）式可以看出，后验概率密度包含3个部分。先验概率似然函数和证据。如何获得这三项的近似是贝叶斯滤波的核心问题。更新方程（5）中观测值 用来对 的先验预测值修正，从而获得状态 的后验概率。方程（3）和（6）的递归关系构成了求解贝叶斯估计问题的两个步骤：预测与更新。如果(1)，(2)中的hk，fk是线性的，且噪声wk，vk满足高斯白噪声，可以把贝叶斯估计问题简化为卡尔曼分析解。但这类问题仅仅是实际问题中很小的一个部分。对于更多的问题，很难得到分析解。只有通过对问题的近似线性处理(扩展卡尔曼滤波)或其它途径（蒙特卡洛方法）实现非线性、非高斯问题的解。依据后面分析问题需要，这里重点对蒙特卡洛方法积分进行说明。 3 蒙特卡洛方法 在过去的二十多年，蒙特卡洛方法得到了很大的发展。其优点就是用系列满足条件的采样点及其权重来表示后验概率密度。蒙特卡洛方法采用统计抽样和估计对数学问题进行求解。按照其用途，可以把蒙特卡洛方法分为三类[5]：蒙特卡洛抽样、计算、优化。其中，蒙特卡洛抽样是寻找有效的、方差很小的、用于估计的抽样方法。蒙特卡洛计算则是设计产生满足特定要求随机数的随机发生器的问题。而蒙特卡洛优化是采用蒙特卡洛思想对实际中的非凸非差分函数优化求解。对于，可以由概率空间p(x)中抽取n个样本，用近似值作为的解。大数定理证明：收敛于，并且满足条件。这里，是的方差。不同于确定性的数字计算，蒙特卡洛近似的一个重要特点就是估计的精度独立于状态空间的维数。而且，积分估计的方差与采样点的个数成反比。显然，蒙特卡洛近似方法的关键点有两个：首先如何由一个样本空间中抽取n个采样点，用来表征后验概率密度。其次就是计算。 重要性抽样（important sampling）解决了如何借助于已知分布来对实现有效采样的问题，由marshall 1965年提出。当数据空间十分巨大时，重要性抽样只对其中“重要”区域进行采样，节省了计算量。对于高维采样空间模型，如统计物理学、贝叶斯统计量，这一点尤为重要。重要性抽样的中心思想是选择一个覆盖真实分布p（x）的建议分布q（x）[8]。这样， (9) 对q（x）作蒙特卡洛抽样，假设粒子数目为n，有 (10) 其中，称为重要性权重，再作归一处理， (11) 是归一化权重。为了减小估计的方差，选择的建议性分布q（x）与p（x）尽可能匹配。通常，建议分布q（x）需要一个长的拖尾，这样可以解决区间之外的干扰。确切的说，匹配的q（x）必须与p（x）f（x）成正比[9]。当q（x）与p（x）不匹配时，w（x(i)）是不均匀分布的，在整个递归迭代的过程中，存在大量的权值极小的样本，而这些样本对估计的贡献很小。事实上，权值较大的少数样本决定蒙特卡洛采样的估计精度。大量时间损耗在这些“无关紧要”的粒子计算上，即所谓的粒子退化现象（degeneracy problem）。目前，标准的粒子滤波器选择先验概率（prior）作为建议分布。 对于粒子退化现象，采样—重要性重采样方法给出了很好的解决途径。其基本思想就是通过在两次重要性采样之间增加重采样步骤，消除权值较小的样本，并对权值较大的样本复制，降低了计算的复杂度。在o(n)时间复杂度范围内可以已排序的均匀分布序列作重采样处理。 对重采样（resampling）处理，新的采样结果放在数组，具体的算法用伪码语言写为如下的形式： 步骤1：令这里必须注意是随机变量的累计概率密度序列。 步骤2：初始假设，当， 产生一组序列分布。对一个固定的j，分别用逐一比较，一旦，就可以得到一组新的样本集合。如此循环直到。需要说明的是，重采样方法在消除粒子退化问题的 同时，也带来了其它两个问题：首先，降低了粒子运算并行执行的可能性；其次，由于权值较大的粒子多次被选择，粒子的多样性减少。这种情况尤其在小过程噪声条件下表现更为明显[11]。 图2 sir-pf重要性采样与重采样示意图 4 gmsppf滤波算法 如前所述，利用序列重要性采样和重采样的方法，粒子滤波可以有效的递归更新后验概率的分布。但是，由于对粒子未加假设，大量的粒子在处理非线性、非高斯问题时出现了计算的高复杂性问题。另外，由于少数权值较大的粒子反复被选择，粒子坍塌明显。文献[4]提出了在重要性采样步骤的建议分布的生成阶段“搬运”粒子到似然较高区域，可以缓解坍塌，同时提高估计的性能。但是不可避免的是对每一个粒子的后验概率处理，使得计算的复杂性进一步加剧。鉴于此种情况，这里介绍一种新颖的高斯混合采样粒子滤波器（gaussian mixture sigma point particle filter，gmsppf）。gmsppf算法利用有限高斯混合模型表征后验概率分布情况，可以通过基于重要性采样的加权的后验粒子，借助于加权的期望最大化算法（weighted expection maximization）替换标准重采样步骤，降低粒子坍塌效应。
4.1 基于高斯混合近似的采样卡尔曼滤波器 根据最优滤波理论，一个概率密度p(x)都可以写作高斯混合模型（gaussian mixture model）。即，这里，g是高斯分量的个数，是高斯分量的权重，是以向量为均值，以p(g)为协方差矩阵的随机向量x的高斯分布。 考虑dss状态转移方程和观测方程，假设先验概率及噪声密度服从高斯混合模型（gmm）。这样，预测的先验概率密度满足，更新后。 这里，。在此基础之上，预测的先验概率和后验概率对应的均值和方差可以通过采样卡尔曼滤波器（sigma point kf）计算。 4.2 基于观测更新的重要性采样（important sampling） 前已叙及重要性抽样是一种蒙特卡洛方法，即用一组带有权值的样本数据来表征随机变量的概率密度。利用dss模型的一阶马尔柯夫本质和给定状态的观测值依赖性，可以推导递归的权值更新方程，这里仅对于给定的粒子而言。在gmsppf算法中，用gmm近似来。作为建议分布。由于包含了最新的样本数据，使得粒子聚集在高似然区域，一定程度减少了粒子坍塌效应。另外，使用预测的先验概率平滑权值更新方程中的，这是因为gmsppf算法用gmm表示后验概率，本次后验同时又是下一个时间步的先验概率，gmm模型中高斯核对后验概率做了平滑处理。基于观测更新步骤的重要性采样方法中对粒子不作任何假设，对非线性、非高斯问题具有很强的鲁棒性。 4.3 采用加权的em算法做重采样和gmm还原 基于观测更新步骤的重要性采样输出是一组加权的粒子，在标准的粒子滤波器中，这些粒子必须作重采样处理丢弃小权值粒子，同时对权值较大的粒子做放大处理。通过这种处理，可以有效的防止粒子集合的方差增加太快。不幸的是，重采样步骤只对当观测似然微弱、大量粒子聚集极少数粒子副本情况有效。在gmsppf算法中，采用加权的期望最大（weighted expection maximization）直接得到gmm模型，实现对加权粒子的最大似然拟合，这就相当于对粒子的后验概率做了平滑，避免了粒子坍塌问题，同时，gmm模型中的高斯核的个数减少到g，防止其呈指数级增长，降低了算法复杂度。 为了比较算法的性能，系统状态估计的条件均值，均方误差（error convariane）可以通过两个方法计算，即在加权的em算法平滑之前，用下面公式
求解，描述了系统的均值与均方误差性能。 5 算法性能分析与结论 这里，给定系统状态估计问题的算法评估模型 (12) 是噪声，。另外，非平稳观测模型 (13) ，其中，观测噪声服从高斯分布。如果给定含噪的系统状态观测值yk，采用两种不同的算法：标准的粒子滤波算法sir-pf以及gmsppf算法对系统的状态xk估计。每次实验共做150次，每次的观察样本重新产生，sir-pf算法中粒子的个数是250个。gmsppf算法中采用两种方案：第一种方案用5个高斯核拟合状态后验概率。状态噪声vk，观测噪声nk各用一个高斯核拟合。第二种方案则用3个高斯核拟合gamma(3，2)分布的拖尾状态噪声，这里拟合方法采用em算法。图3、图4描述了系统的隐状态和观测值及sir-pf，gmsppf算法系统状态的估计值。 图3 sir-pf粒子滤波器状态估计 图4 gmsppf粒子滤波器状态估计 采用4.3部分的均方误差和均值计算公式对不同算法对系统状态估计性能作了比对。图3、图4曲线表明，在系统的观测噪声nk均方误差很小，而过程噪声服从具有长的拖尾 分布时，采用转移概率作为建议分布的标准粒子滤波器性能很差。这是因为观测方程中峰值似然函数和系统状态急剧的跳跃变化产生的结果。尽管可以通过采样卡尔曼(sigma-point)滤波器将粒子向似然峰值区域搬动解决这一问题，但是也使得计算量加大。gmsppf算法两种不同方案都具有比sir-pf更好的系统状态估计性能，均方误差比后者数量级降低了1/103-1/104。与1个高斯核拟合过程噪声的gmsppf算法比较，3个高斯核拟合算法性能更好，但时间复杂度同样有所提高。 由于gmsppf算法在大幅度降低了算法的计算复杂度同时，可以获得精确的系统估计性能。所以说，gmsppf算法为粒子滤波理论实时应用，如目标定位（单目标与多目标）、时变信道估计、图像增强、机器故障诊断以及语音信号处理等提供了一个新的方案。 参考文献 [1] y.c.ho and r.c.k.lee，”a bayesian approach to problems in stochastic estimation and control”ieee trans.automat.contr. vol .ac-9.pp.333-339 [2]a.doucet，n.freitas，n.gordon. sequential monte carlo methods in practice [m].springer [3]b.d.o. anderson and j.b.moore .optimal filtering . [m]prentice hall englowcod cliffo，nj. 1979 [4]n.j.gordon，d.j.salmond，a.f.m.smith，novel approach to nonlinear/non-gaussian bayesian state estimation，iee proceedings vol140，no2，april 1993 [5]muller，“monte carlo integration in general dynamic models“ contemp .math.1991，115，pp，145-163 [6]fredric gustafsson，niclas bergman，”particle filters for position，navigation and tracking “，final version for ieee transactions on signal processing special issue on monte carlo methods for statistical signal [7]arnaud doucet，simon godsill，”on sequential monte carlo sampling method for bayesian filtering “statistics and computing(2000)，10，197-208，recived july 1998 and accepted august 1999 [8] jayesh h.kotecha and petar m.djurric，”gaussian particle filtering ”in proc. workshop statistical signal process.singapore，aug.2001 [9]j.s.liu&r.chen.”sequential monte carlo methods for dynamical systems”.journal of the amerian statisticalassociation，1998，volume 93.pp.1032-1044 [10] zhe chen，”bayesian filtering：from kalman filter to particle filters，and beyond” manuscript in 2003，april [11] jayesh h.kotecha and petar m.djurric，”gaussian sum particle filtering ” ieee transactions on signal processing，2003，vol.51.no.10.october [12]m.sanjeev arulampalam，simon maskell，neil gordon，and tim clapp，”a tutorial on particle filteolinear/non- gaussian bayesian tracking”，ieee transaction on signal processing，vol，50，no 2february 2002
