数学之美论文精选(九篇)

第1篇：数学之美论文范文

一、本课题研究的背景和依据

综观当 前的教育形势，举国上下正在全力推进素质教育，培养德智体美劳全面发展，具有创新意识和实践能力的人才已成为教育者关注的焦点。德育已得到高度的重视，教育界高举“德育领先”旗帜；智育在传统教学中有着深厚的根基，重视程度不言而喻；体育本着全民健身的宗旨，活动有声有势；劳动教育或许与生活实践比较密切，也相应受到越来载多的人的关注；然而，美育？……美育没有受到相应的重视！此外，我们在谈论人文精神的时候，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面自由的发展之最高层面上，在讨论艺术美的理论中，也常常谈到“真、善、美”三位一体的问题。怀特海曾经指出，初中数学是真、善、美的辩证统一。一个正确的初中数学理论，反映客观事物的本质和规律，这就是真；初中数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向，这是初中数学的善；初中数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维这就是初中数学的美。而这些观点在初中数学过程中是否得到充分的体现吗？没有！苏霍姆林斯基曾说：“没有审美教育就没有任何教育”。在此，不想夸大美育的作用，但是，作用素质教育的重要组成部分，未能得到充分重视，确是深感遗憾。值得高兴的是，初中数学课程标准（讨论稿）已提出了初中数学教育必须注意培养学生的科学精神和人文精神，特别是“初中数学与文化”这一单元体现了初中数学文化的一个重要功能是在美学方面，这种功能是鼓舞人们对初中数学的追求化为一种对完善的追求。基于此，提出本课题的研究，或许对中学初中数学教学中加强美育提供有益的启示。

二、研究目标和内容

1.初中数学美的表现

美，作为现实事物和现象，物质产品和精神产品，艺术作品等属性总和，具有匀称性、比例性、和谐，色彩变幻。鲜明性和新颖性，作为精神产品的初中数学就具有上述美的特征。我们知道，初中数学的世界，是一个充满了美的世界：数的美、式的美、形的美……，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称，我们可以感受到布局的合理，结构的严谨、关系的和谐以及形式的简洁。

初中数学美的表现形式是多种多样的，从初中数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从初中数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。

经通过对初中数学美表现的研究，我们可以肯定的回答，初中数学中含有美的因素，初中数学发展受美育思想的影响，在此，可以借助古代哲学家、初中数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”

2.初中数学美的功能

审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐，艺术，而且通过自然美、社会美、科学美，得到美的

熏陶，美化精神的境界。美育，对使学生树立正确的审美观，提高学生的审美能力和审美创造能力，塑造学生完善的人格，促进学生的全面发展，有着非常重要和积极的作用。

初中数学美的功能，主要体现在下面几个方面：

（1）初中数学美能够培养人们创造、发明初中数学的激情。

（2）初中数学美能启发人们探求真理的思路。

（3）初中数学美感有检验真理的作用。

（4）寓美于教，能激发学生的学习兴趣。

（5）初中数学美感能达到以美启智，提高学生解决问题的能力。

3.初中数学美之教育途径

在科学美层次上，提高学生的科学素养。科学和艺术一样，都有自己的美学特征，起着陶冶情操，完善思维品质的作用。其中包括：科学发现中的美学感悟，探索科学规律获得的愉悦，科学思维方法的美妙等诸多方面。科学美的发掘，可以通过种种渠道进行，包括视觉上的美，情理之中意料之外的“惊讶美”，证明技巧运用中的“机智美”，解决生活实际问题时的“实用美”，撰写小论文时的感受到的“创造美”。在中学初中数学教学过程中，我们可以从中学初中数学教材内容的美，如概念之美、证明之美、体系之美、无限之美、平衡之美等方面加以探讨，带领学生进入初中数学美的乐园，陶冶精神情操，激发他们的学兴趣，提高学生的审美能力，培养创造性思维能力。

提高学生的审美能力，教师应当作为必要的审美示范，引导学生感知，欣赏初中数学美。另一方面，“从实践中来，到实践中去”，只有将美知识应用于实践，审能教育才有意义，学生的审美能力才能得到进一步提高，因此，初中数学美之教育途径主要有二：一是展示美，二是应用美。其具体探究途径如下：

（1）展示隐含的美。

（2）挖掘初中数学美。

第2篇：数学之美论文范文

关键词 数学美 素质教育

一、本课题研究的背景和依据

综观当前的教育形势，举国上下正在全力推进素质教育，培养德智体美劳全面发展，具有创新意识和实践能力的人才已成为教育者关注的焦点。德育已得到高度的重视，教育界高举“德育领先”旗帜；智育在传统教学中有着深厚的根基，重视程度不言而喻；体育本着全民健身的宗旨，活动有声有势；劳动教育或许与生活实践比较密切，也相应受到越来载多的人的关注；然而，美育？……美育没有受到相应的重视！此外，我们在谈论人文精神的时候，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面自由的发展之最高层面上，在讨论艺术美的理论中，也常常谈到“真、善、美”三位一体的问题。怀特海曾经指出，数学是真、善、美的辩证统一。一个正确的数学理论，反映客观事物的本质和规律，这就是真；数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向，这是数学的善；数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维这就是数学的美。而这些观点在数学过程中是否得到充分的体现吗？没有！苏霍姆林斯基曾说：“没有审美教育就没有任何教育”。在此，不想夸大美育的作用，但是，作用素质教育的重要组成部分，未能得到充分重视，确是深感遗憾。值得高兴的是，高中数学课程标准（讨论稿）已提出了数学教育必须注意培养学生的科学精神和人文精神，特别是“数学与文化”这一单元体现了数学文化的一个重要功能是在美学方面，这种功能是鼓舞人们对数学的追求化为一种对完善的追求。众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。基于此，提出本课题的研究，或许对中学数学教学中加强美育提供有益的启示。

二、研究目标和内容

数学美的表现

美，作为现实事物和现象，物质产品和精神产品，艺术作品等属性总和，具有匀称性、比例性、和谐，色彩变幻。鲜明性和新颖性，作为精神产品的数学就具有上述美的特征。我们知道，数学的世界，是一个充满了美的世界：数的美、式的美、形的美……，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称，我们可以感受到布局的合理，结构的严谨、关系的和谐以及形式的简洁。

数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。

经通过对数学美表现的研究，我们可以肯定的回答，数学中含有美的因素，数学发展受美育思想的影响，在此，可以借助古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”

数学美的功能:

审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐，艺术，而且通过自然美、社会美、科学美，得到美的熏陶，美化精神的境界。美育，对使学生树立正确的审美观，提高学生的审美能力和审美创造能力，塑造学生完善的人格，促进学生的全面发展，有着非常重要和积极的作用。

数学美的功能，主要体现在下面几个方面：

数学美能够培养人们创造、发明数学的激情。

数学美能启发人们探求真理的思路。

数学美感有检验真理的作用。

寓美于教，能激发学生的学习兴趣。

数学美感能达到以美启智，提高学生解决问题的能力。

数学美之教育途径

在科学美层次上，提高学生的科学素养。科学和艺术一样，都有自己的美学特征，起着陶冶情操，完善思维品质的作用。其中包括：科学发现中的美学感悟，探索科学规律获得的愉悦，科学思维方法的美妙等诸多方面。科学美的发掘，可以通过种种渠道进行，包括视觉上的美，情理之中意料之外的“惊讶美”，证明技巧运用中的“机智美”，解决生活实际问题时的“实用美”，撰写小论文时的感受到的“创造美”。在中学数学教学过程中，我们可以从中学数学教材内容的美，如概念之美、证明之美、体系之美、无限之美、平衡之美等方面加以探讨，带领学生进入数学美的乐园，陶冶精神情操，激发他们的学兴趣，提高学生的审美能力，培养创造性思维能力。

提高学生的审美能力，教师应当作为必要的审美示范，引导学生感知，欣赏数学美。另一方面，“从实践中来，到实践中去”，只有将美知识应用于实践，审能教育才有意义，学生的审美能力才能得到进一步提高，因此，数学美之教育途径主要有二：一是展示美，二是应用美。其具体探究途径如下：

展示隐含的美

挖掘数学美

创造数学美

将美学原理应用于解题实践

参考文献

【1】张奠宙著.数学的明天。广西：广西教育出版社 1999.12

【2】欧阳维诚..数学.科学与人文的共同基因.湖南：湖南师范大学出版社 2008.7

【3】马忠林主编.郑毓信著..数学方法论广西：广西教育出版社出版 2007.12

【4】马忠林主编.胡炯涛著..广西：广西教育出版社出版 2009.12

【5】戴汝潜主编.任勇.张芃著.中学数学教学艺术.山东：山东教育出版社 1999.1

第3篇：数学之美论文范文

拙著《模糊美学》、论文联盟《模糊艺术论》出版后，蒙夏之放先生关注，愿撰文评介，并提出商榷。这对贯彻百家争鸣的方针、对活跃美学界的学术空气是有益的。《文艺研究》于1993年第3期发表他的《审美观照本来就有模糊性——评模糊美学》一文。他认为：提出模糊美学是“历史的错位”、“逻辑的错位”；最后强调“美学本来就是模糊的”。这些判断与我的思路，是有分歧的。它牵涉到美学中的一些重大问题。现写在下面，以就教于美学界的朋友们。

一、模糊美学的理论基础

我在《模糊美学》中曾说：“现代自然科学和社会科学综合发展中共同出现的关于物质运动的不平衡学说，为模糊美学理论的提出奠定了坚实的基础。具体地说，现代物理、化学中的耗散结构论，为模糊美学提供了科学的依据；模糊数学中的模糊集合论，为模糊美学提供了数学的依据；哲学中的唯物辩证法，为模糊美学提供了科学的哲学理论基础。”对于这段文字，夏之放先生进行了重点评析。他认为：唯物辩证法是上个世纪提出来的，模糊数学是1965年提出来的，耗散结构论是1977年荣获诺贝尔奖金的，为什么以上述理论为依据的模糊美学却偏偏是二十世纪八十年代出现的呢？这难道不是“一系列明显的历史时代的错位”吗？

笔者认为，唯物辩证法自诞生那天起，就具有强大的生命力，成为揭示客观事物发展规律的科学真理。它不仅空前地促进了当时科学的发展，而且永远地推动着以后全人类科学的发展。因此，晚于唯物辩证法的任何一个世纪产生的科学，虽不与唯物辩证法的产生同步，但却不可能不或多或少地受到它的影响。

就科学产生的具体门类来说，在时空流程上也不都是与唯物辩证法的诞生同步的。如果缺乏形成科学门类的特殊气候与土壤，那么，即使受到唯物辩证法的影响，新的学科也不会马上诞生。只有条件具备，才会瓜熟蒂落。虽然，一百几十年前已经有了唯物辩证法，但由于模糊学的理论还没有今天这样发达，多种科学纵横交叉联系、边缘模糊现象还没有今天这样普遍，因而模糊美学诞生的时机还不够成熟。但在模糊数学、耗散结构论分别于七、八十年代出现后，在一系列模糊理论问题上启发了模糊美学，因而模糊美学便在唯物辩证法的哲学理论基础上脱颖而出，成为一门新兴的科学学科。由此可见，模糊美学正是科学发展的大潮中自然而然地涌现出来的。

具体地说，模糊美学引进了耗散结构论，并加以移植制作，从而促进了本学科体系的独立创造。

首先，耗散结构论中关于不稳定性的学说，对于模糊美学的建构提供了自然科学的依据。耗散结构论的创始人普里戈金（亦译普利高津）认为：宇宙的发展具有“不稳定性”，“在所有层次上，无论在基本粒子领域中，还是在生物学中，抑或在天体物理学中（它研究膨胀着的宇宙以及黑洞的形成），情形都是如此。”(注1)这就启发了模糊美学。模糊美学所研究的自然美，也不例外地具有这种不稳定性，也就是不确定性。它总是处在不稳定的活跃状态中，呈现出交叉、参差、重叠、错综、回旋、纠缠、显隐、明暗等等复杂现象。潮汐的涨落，海浪的滚动，惊雷的轰鸣，山体的凹凸，难道不是大自然中的不稳定性、不确定性的表现吗？难道不显示出流动的模糊美吗？

其次，耗散结构论关于不确定性的原理，也启发了模糊美学对于社会、艺术的模糊美的研究。生活和艺术中的真善美与假恶丑，在斗争中相互影响、彼此消长的复杂现象，就存在着模糊性；其中，既有模糊美，也有模糊丑。莎士比亚笔下的李耳王、奥塞罗，曹雪芹笔下的薛宝钗、王熙凤，就是美丑互渗、亦美亦丑、或美多于丑、或丑多于美的典型人物。这就显示出不确定的模糊性。莎士比亚在《马克白斯》中，通过三女巫之口所说的“丑即是美，美即是丑”的哲理，就体现出这种美丑交叉的模糊状态。老子在《道德经》中说：“美之与恶，相去几何？”（二十章）“天下皆知美之为美，斯恶矣；皆知善之为善，斯不善矣。”（二章）这都表明了美丑善恶、相生相克的不确定性。它充实和丰富了哲学中的不确定性原理。但是，由于生产力发展水平的限制，它还处于朴素的辩证法阶段。即使是十八世纪德国辩证法大师黑格尔，虽然对于不确定性原理作出过巨大的贡献，但也没有摆脱绝对理念这一永恒的确定的唯心主义世界观的支配，没有摆脱经典科学永恒性稳定性的理论的束缚，因而在观察事物的运动时，视野还不够宽广，角度还不够新颖，方法还不够灵活，更不可能像普里戈金所说把不确定性原理放在所有科学的一切层面上去分析事物运动的流向、流程、规律、特点。而耗散结构论却为人类指出了一条探索具体科学的方法论的途径。它所创立的“非平衡宇宙”(注2)理论，拓展了模糊美学研究的新视野，把模糊美学对于不确定性原理的开掘，置于无限广阔的飞跃发展的自然科学背景中。

再次，耗散结构论的非线性系统的不确定性学说，促进了模糊美学的开放性系统的形成，沟通了诸学科之间的联系，在纷纭复杂的科学交叉线上引发了模糊美学，使其逐步形成了互渗性的特点。它在多种学科汇合点上安营扎寨；它吸引其它学科关于不确定的学说来丰富自己、转化为自己的营养，变成自己特殊的机制。此外，模糊美学又以本学科的理论，补充、丰富了其它科学的美的内容，为其它学科增添了美的魅力。它那关于模糊性、模糊美的学说，为耗散结构论关于非线性系统的不平衡、不稳定的学说，提供了佐证，并在美学领域反衬出耗散结构论的真理性。模糊美学中的有无相生、虚实结合、悲喜交融、美（优美）高（崇高）互渗、知白守黑、明暗掩映、不似之似等等，不正是说明了模糊美的过渡性与互渗性吗？不正是对耗散结构论中不确定性理论的有力反衬吗？

普里戈金不仅运用不平衡、不确定性理论论述了自然科学问题，而且还列举了庄子的“运转”论、歌德的《浮士德》及其它艺术品来阐明不确定性原理，这就在哲学社会科学上启发了模糊美学研究。他说：“在一些最美的雕像中，……寻求静止与运动之间、捕捉到的时间与流逝的时间之间的接合。”(注3)这里指出了雕塑艺术中的动与静之间的不平衡状态，显示了耗散结构论对艺术创造的影响。这些直接取之于哲学、艺术的例证，对于模糊美学研究，更富于感知性、亲和性与理论的感染力。当然，普里戈金所论述的着重是整个宇宙非线性运动中的不平衡学说，其援引的例证都是为这个总原理服务的。

以上所述，可以证明，耗散结构论引发了模糊美学，模糊美学实证了耗散结构论。其中的理论中介便是非线性运动中的不平衡、不确定性学说。模糊美学与耗散结构论正是在此坚实的理论基础上接轨的，根本不存在“历史的错位”问题。

至于模糊数学能否作为模糊美学的数学理论依据？回答是：能！

夏之放先生认为不能。其理由之一是，自然科学追求定量分析，数学也不例外；哲学社会科学中若干门类是不追求定量分析的，美学便是如此。所以，由于模糊数学的出现而想建立一门模糊美学是困难的。

笔者认为：自然科学有的追求定量分析，如经典数学；有的则热衷于模糊分析，如模糊数学。可见，追求模糊分析的模糊数学与追求定量分析的数学是有区别的，我们焉能把模糊数学纳入定量分析的轨道呢？既然如此，模糊数学便可在“模糊”理论的基础上与模糊美学接轨，因而模糊数学引发模糊美学，也是必然的。

夏先生的另一理由是：只有现实实践活动才是数学赖以建立的基础和依据。如果从数学中寻找建立模糊美学的依据，就可能把数学抽象推到极端而变成荒谬。他为了强化自己的逻辑，还引用了恩格斯论述纯数学的一段话。恩格斯说：纯数学的“一切抽象在推到极端时都变成荒谬或走向自己的反面。”(注4)所以对于“数学的无限”，“只能从现实来说明。”(注5)笔者认为，对于纯数学，恩格斯并不是否定的，例如他在《反杜林论》中，就批评过杜林完全抹煞纯数学的现实的世界内容的唯心主义(注6)；他否定的只是把抽象推到极端时的荒谬的东西。这就表明，恩格斯的分析，是科学的、有针对性的。但是，这同模糊美学从模糊数学中吸取营养却是两码事。模糊美学运用模糊数学的原理（模糊集合论）来支撑自己的理论框架，同“可能把数学抽象推到极端而变成荒谬”，在逻辑上是毫无联系的。

转贴于论文联盟

恩格斯在论述“关于现实世界中数学的无限的原型”时说：“我们的主观的思维和客观的世界服从于同样的规律，因而两者在论文联盟自己的结果中不能互相矛盾，而必须彼此一致，这个事实绝对地统治着我们的整个理论思维。它是我们的理论思维的不自觉的和无条件的前提。”(注7)恩格斯还批评了十八世纪形而上学的唯物主义：“它只限于证明一切思维和知识的内容都应当起源于感性的经验，而且又提出了下面这个命题：凡是感觉中未曾有过的东西，即不存在于理智中。”(注8)至于黑格尔的唯心主义的辩证哲学，虽然颠倒了思维和存在的关系，但“却不能否认：这个哲学在许多情况下和在极不相同的领域中，证明了思维过程同自然过程和历史过程是类似的，反之亦然，而且同样的规律对所有这些过程都是适用的。”(注9)在这里，恩格斯从辩证法的高度，深刻地论证了思维与存在的一致性。科学理论思维虽来源于现实世界，但它又具有巨大的主观能动性，它是指导实践、改造客观世界的强大武器。这就表明，理论思维和现实存在具有辩证的血肉联系，当我们在探索科学学科的生成原因时，决不能把理论与现实割裂开来，只承认特定科学学科产生的现实基础，不承认特定科学学科产生的理论依据；或者只承认特定科学学科产生的理论依据，而不承认特定科学学科产生的现实基础。我们也不能认为：强调了理论依据，就是抹煞了现实基础；或者强调了现实基础，就是取消了理论依据。相反，有的在强调理论依据时，正是以现实基础为根本的；有的在强调现实基础时，正是以科学的理论依据为指导的。当我们强调模糊数学可以作为引发模糊美学的数学理论依据时，并不意味着否定科学来源于现实世界这一命题。恩格斯在《反杜林论》中说：“正如同在其他一切思维领域中一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，……纯数学也正是这样，它在以后被应用于世界，虽然它是从这个世界得出来的”(注10)。模糊数学的基本规律虽然来源于现实世界，但又可作为许多学科的数学理论参照系而被广泛运用。由此可见，模糊数学的基本规律也是可以作为引发模糊美学的数学理论依据的。

列宁在《马克思主义的三个来源和三个组成部分》一文中告诉我们：“马克思的学说是人类在十九世纪所创造的优秀成果——德国的哲学、英国的政治经济学和法国的社会主义的当然继承者。”(注11)这是就马克思主义的思想来源和理论根据而言的。列宁的这一论断为我们探讨学科产生的理论依据提供了科学的方法论。这就是说，列宁在这里是从十九世纪德、英、法意识形态中研究马克思主义的思想来源和理论依据的；因而我们从特定科学学科中去寻找理论依据也是可以的。我们当然也可以把列宁的做法加以推广、运用、去从模糊数学中探讨引发模糊美学的数学理论依据。

夏之放先生说：“如果我们要为哲学社会科学中辩证发展的分支科学寻找相应的数学分支的话，那么首先应该找到研究变数数学的微积分头上。”模糊数学只是变数数学的一个分支，因而不能作为引发模糊美学的数学理论依据。他说：“在我看来，从思维方法的对应来看，所谓‘模糊美学’应该与整个变数数学相匹配。”在这里，他一方面设令模糊美学应从整个变数数学中寻找相应的理论依据，一方面又认为应从变数数学的重要部分——微积分的头上寻找相应的依据。他一方面假设：作为变数数学的分支的微积分，只能与哲学社会科学辩证发展的分支科学相匹配；另一方面又假设：作为变数数学分支的模糊数学不可以作为引发模糊美学的数学理论依据。总之，夏之放先生突出表述的是整个变数数学，而所举的例证则是变数数学的分支（微积分）；当你用变数数学的分支（模糊数学）来论述问题时，他又说要与整个变数数学相匹配。这种逻辑，不是前后?龟趼穑

诚然，作为变数数学的微积分，的确体现了活用的辩证法，因而给哲学社会科学中的辩证法以巨大的启迪。但是，任何哲学社会科学门类的诞生，除了深受前人辩证法的影响外，还有其特殊的现实背景和具体原因。微积分虽然含有辩证法，但并没有提出、也不可能提出模糊集合论和其他一系列模糊数学范畴，因而便不存在引发模糊美学的契机和参照系。撇开模糊数学，去寻找模糊美学诞生的数学理论依据，至多也只能找到某种远因，而不能找到近因，更无法把握引发模糊美学的关节点。如果说：模糊数学与微积分都充满了辩证法，但模糊数学的出现比微积分晚，因而应从微积分那里去寻找引发模糊美学产生的数学理论依据的话，那么，早于微积分又含有辩证法的变数数学解析几何，岂非更可作为引发模糊美学的数学理论依据了吗？

夏先生在经过一番逻辑推理之后得出了这样的结论：“真正能够构成美学的理论基础的，只有唯物辩证法；舍此之外再去寻找什么物理学的、化学的、数学的理论依据，是没有必要的。”我认为，在哲学中承认唯物辩证法是理论依据，在自然科学中又否认具有唯物辩证法的耗散结构论与模糊数学可以作为理论依据，在逻辑上是难以说通的。英国科学家w·c·丹皮尔指出：“哲学现在已不能单独建立在自身的基础上；它再一次同其他的知识联系起来。”(注13)由此可以推知：数理化中的唯物辩证法可以丰富、验证哲学中的唯物辩证法，可以更有具体针对性地引发模糊美学，这正显示了唯物辩证法在其它科学学科中的活的生命力。

模糊数学引发了模糊美学，这是科学史上的事实。

首先，模糊数学的基本原理引发了模糊美学。1965年，美国著名数学家查德（l·a·zadeh）发表了《模糊集合》一文，成功地实现了模糊与数学的结合，标志着模糊数学的诞生。查德说：“元素从属于它到不属于它是一种渐近的过程”，“每一个元素都有一个介于0（不属于）与1（属于）的隶属度”，“只取1和0这两个隶属度的模糊集。”(注12)这就是说，在0与1之间，存在着0．1，0．2，0．3，0．4，0．5，0．6，0．7，0．8，0．9，这些就是隶属度。它们大于0，小于1。这正是模糊数学所热衷的模糊领域。这种模糊领域中许许多多的中间环节，相互渗透，彼此过渡，造成了不确定性、不明晰性，这便是模糊集合的根本特征。它对模糊美学是有启发的。例如，优美与崇高之间，有许多中间环节，存在着既属于又不属于的模糊性。由于隶属度不同，有的靠近崇高，有的靠近优美，有的则兼而有之，难分轩轾。

其次，模糊数学的一系列概念启发了模糊美学；其时代现实感与创造精神，给模糊美学注入了新的生命力。经典数学追求精确性、明晰性；即使十九世纪末叶，康托在点集论的基础上所创立的“经典集合论”也是如此。它无法解释数学中的模糊现象。然而，查德却在数学领域中引进了模糊的概念，这就打破了经典集合论一统天下的局面，开辟了模糊数学的新纪元，并启发了模糊美学。模糊美学打破了经典美学的封闭性，向经典美学的二值逻辑提出了挑战。经典美学虽然在美学史上立下了汗马功劳，但它却用有限的美的概念去界定无限的美，因而彼时彼地流动的美，便被桎梏在此时此地封闭的定义的框架中。模糊美学却在尊重经典美学历史地位的同时，另立门户，并以模糊数学为借鉴，以辩证法为动力，鼓吹模糊美论。

必须指出，模糊数学虽然引发了模糊美学，但模糊美学并不从属于模糊数学，而具有自己独特的品格。二者是并列关系，存在着明显的区别。模糊数学所研究的是数学中的模糊性，其对象是抽象的、逻辑的、推理的，属于自然科学范畴；模糊美学所研究的是美学中的模糊性，其对象是具象的、生动的、情感的，属于哲学社会科学范畴。前者考察的是真，后者考察的是美。因此，二者各有其特性。模糊数学只是引发了模糊美学，而不能替代模糊美学；模糊美学只是吸取模糊数学的根本原理，而不是机械地搬用模糊数学的一切。转贴于论文联盟

以上，笔者以较长的篇幅阐明了模糊美学提出的理论基础。还在此强调一句：只要世界上存在着模糊美、模糊美感、模糊艺术，就为模糊美学提供了取之不尽的研究对象，因而模糊美学绝不是凭空杜撰出来的，而是有其现实的来源的。关于这一点，笔者在《模糊美学》中已有详细的论述，这里就不重复了，

二、模糊美学的逻辑判断

笔者认为：宇宙空间的美，更富于深邃性、难测性、模糊性。以无限的宇宙而言，美的奥秘的模糊性永远不会完结。夏之放先生说：既然如此，模糊美学就应以宇宙的模糊美为开发的主要对象。然而，在《模糊美学》和《模糊艺术论》两部专著中所论述与验证的资料，都是文学艺术理论与作品。“这就势必造成论述逻辑上的严重错位”。

我认为，这种判断是站不住脚的。第一，我所强调的宇宙空间的美的模糊性和无限性是符合自然辩证法的规律的。恩格斯说：“世界在时间上没有开端，在空间上没有终点”(注13)，又说：“一切存在的基本形式是空间和时间”(注14)。美的奥秘性与模糊性也必然存在于永恒的时间与无尽的空间宇宙中。第二，我所说的是从宏观上就美的宇宙性而言。我在《模糊美学》中说：“就人类开发宇宙的历史进程来看，这不过是刚刚起步，因而对于美的宇宙性的理论归纳，还远远未到时候。”(注15)然而，夏之放先生却撇开这一前提说：“顺理成章，模糊美学应从宇宙间如此深邃难测的模糊美为其开发的主要对象”。请看，我所说的前提与夏先生的推理，距离是多么遥远！焉能把这两条不同的思维轨道连接在一起？第三，我所运用的材料，除了社会生活、文学艺术外，不少是来自自然界的。例如：茫茫的宇宙，浩渺的星空，朦胧的月亮，苍凉的大漠，无边的原野，巍峨的山峦，奔腾的河流，迷?鞯脑坪＃?÷〉睦咨??惭傅纳恋纾黄渌?绶汕葑呤蕖⒒ú菔髂荆?鹊龋???：?姥е谐S玫娜∽宰匀唤绲牟牧稀6源耍?南壬?幢芏?惶浮5谒模?以凇赌：?帐趼邸分兴?擞玫淖柿希??旧鲜俏难б帐醴段?诘摹U馐欠?媳臼榈奶氐阌胍?蟮模?训酪槐韭凼瞿：?帐醯淖ㄖ?荒芑?静捎梦难б帐醴矫娴淖柿下穑康谖澹?难б帐醴矫娴淖柿鲜嵌韵质担ㄗ匀唬?缁幔┑拿杌婊蚋爬ǎ?侨松?墓壅沼胱芙帷Mü???唤隹芍苯踊竦靡帐醯哪：?溃?部杉浣涌?白匀挥肷缁岬哪：?馈R虼耍?诼凼瞿：?朗保?耆?梢砸?谜夥矫娴淖柿稀W苤??由鲜龇治鲋校?梢钥闯觯合南壬??档挠勺柿弦?檬У倍?贾吕砺勐呒?拇砦幌窒螅?遣淮嬖诘摹

夏先生在批评模糊美学时，往往把其中辩证的分析当成了论述上的前后矛盾。

一，《模糊美学》认为，康德是从经典哲学的确定性出发去界定美的概念的；《模糊艺术论》又认为，康德的无目的的合目的性的命题，揭示了无目的与合目的之间的交叉、相参，指出了不确定性。这种分析，正说明了康德美学思想的矛盾。就总体而言，康德是追求确定性的经典美学大师，但在他的具体论述中，又不时地闪耀着不确定性的模糊论的光彩。笔者客观地揭示出康德美学中的这种复杂矛盾，并非逻辑上的错位。夏先生在批评我的论点时，只是摘录了这些话：“康德正是从经典哲学的确定性、永恒性出发去界定美的概念的，因而当他遇到不确定的变动不居的美的现象时，就无法作出回答。”但是，紧接着的论述却只字不提：“如果再赋予新的解释，就必然同他原来所下的美的定义发生矛盾。当然，他也曾提到过模糊性问题，指出过美的不可言传性，但是，当他建构自己庞大的美学体系时，他那理论大厦上空飘动着的几朵模糊论的浮云，便无影无踪；他那经典哲学中确定性原则，便居于支配地位。”(注16)这段话，描述了康德在寻求确定性与不确定性时的矛盾心理与摇摆状态。夏先生却把康德美学思想上的这一矛盾说成是我的论述的前后矛盾，这显然是不符事实的。

二，夏之放先生抓住《模糊美学》中所说的“典型强调的是鲜明的‘这一个！’模糊集合强调的是模糊性”这句话，就断言我把典型论当成了“非模糊理论”；另一方面，说我在分析许多典型性格时，“却又费尽口舌说他们是模糊的”，因而就陷入了“逻辑错位造成的困境”。这些批评，我是不敢苟同的。我在论述典型与模糊集合的区别时，是在比较与相对的意义上强调典型的鲜明性的，但这并非意味着否认它所蕴藏着的模糊性，因而也就得不出把典型论当成了“非模糊理论”的结论。正因为如此，我在分析典型人物时，又认为含有模糊性。在《模糊美学》中，根本没有把典型论当作“非模糊理论”，而是认为：“模糊集合涉足之处未必见到典型，典型涉足之处却有模糊集合。典型论和模糊集合论虽有交叉现象，但可相互补充，相互发明。”(注17)这不是说明了典型与模糊集合的互渗、典型论与模糊集合论的交叉吗？焉能推演出“典型论被当作与模糊集合论相区别相对照的非模糊理论”这一结论呢？至于《模糊艺术论》中所说的“现实主义的模糊性，主要表现在典型环境上”，是强调决定典型性格的典型环境，不仅是指环绕人物、促使人物行动的以人为结节点的社会关系，而且着重是指这种社会关系对人的影响；同时，说明人物与人物之间可以互为环境，并非“抛开典型人物不说”。至于所援引的唐代诗人张大油的《雪诗》，与夏先生的批评更是风马牛不相及的，这里就暂置勿论了。总之，夏先生所说的什么“牵强地以模糊不模糊作为判别前人资料的标准”呀，“作者在总体上考查问题的思维方法，恰恰是自己一再批评的‘二值逻辑’”呀，等等，都是臆测出来的。

此外，夏先生还把恩格斯的一段话镶嵌在自己的逻辑上。恩格斯认为：整个悟性活动，即归纳、演绎以及抽象，对未知对象的分析、综合、实验，是我们和动物所共有的。“从而普通逻辑所承认的一切科学研究手段——对人和高等动物是完全一样的。”(注18)而辩证的思维，对于较高发展阶段的人，才是可能的。夏先生在大段地引了恩格斯的话以后说：“《模糊美学》所批评的‘二值逻辑’的传统美学便是属于‘对人和高等动物是完全一样’的美学，只有‘模糊美学’才可能是人的美学了！这当然是不可思议的结论。”

笔者认为，恩格斯所说，是就人和动物都具有生物学的共同特征而言的。如剖开果核的分析，机灵动作的综合等，但即使是本能，人与动物也是各不相同的。根据巴甫洛夫学说，第一信号系统（生物性的）人与动物都有，第二信号系统（富于语言与思维特征的）只有人才有，因而具有语言和思维特征的普通逻辑也只有人才有。恩格斯所说的“普通逻辑所承认的一切科学研究手段——对人和高等动物是完全一样的”，乃是就普通逻辑所指的那些“初等的方法”(注19)（生物的，本能的，条件反射的）而言的；但是，恩格斯的意思并不是说，人和高等动物都拥有“普通逻辑”；因为“普通逻辑”和普通逻辑所承认的“初等的方法”，不是等号关系。硬说人与高等动物都有普通逻辑，就不符合恩格斯的原意。因而在误解恩格斯原意的基础上所作出的结论也不可能是正确的。

三、模糊美学与美学的模糊

夏之放先生经过一番批评之后，得出了一个结论：“美学本来就是模糊的。完全与模糊无缘的所谓精确的、美丑分明的美学学说（并非指个别观点）实际上并不存在。所谓封闭了两千多年的‘传统美学’本身就是一个虚构。”

夏先生为了证明自己的结论，着重谈了以下理由：

“美学学科至今未能真正确立，……这件事实本身就是美学具有模糊性的首要证据。”这种说法不大符合美学史实际，因而就难以构成“首要证据”。十八世纪德国美学家鲍姆嘉通（1714—1762）就是美学学科的创始人。这是美学界公认的事实。鲍姆嘉通以前的美学家，虽然也探索美，但却没有把美学作为一门独立的科学学科去进行研究，也没有摆脱对其他学科依附的状态。柏拉图的《理想国》只涉及到美，亚里士多德的《形面上学》、《物理学》、《伦理学》、《政治学》也只涉及论文联盟到美。柏拉图的《大希庇阿斯篇》，亚里士多德的《诗学》，虽系研究文艺和美的名著，但并未把美学独立出来作为一门学科去进行研究。真正第一个给美学以特定概念的却是鲍姆嘉通，第一个以美学作为自己专著名称的也是鲍姆嘉通，第一个把美学作为独立的科学门类进行研究的还是鲍姆嘉通。正由于他贡献巨大，故被誉为“美学之父”。比他小五十六岁的黑格尔（1770—1831）说：“美学在沃尔夫学派之中，才开始成为一种新的科学，或则毋宁说，哲学的一个部门。”(注20)沃尔夫是德国理性主义哲学家，鲍姆嘉通是沃尔夫学派的信徒。他所创立的美学学科，就是建立在理性主义的哲学基础之上的。稍后的康德、黑格尔也相继建立了庞大的美学学科体系。

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当然，我们也要看到，美学中还有许多问题至今没有解决或没有完满解决，许多概念尚在探讨之中，但我们却不能以此就断定美学学科尚未真正建立。因为任何一种科学学科的建立，开始并不见得是十全十美的，也不是一成不变的；即使经过了漫长的历史过程以后，也会不断出现新的矛盾，而要求运用新的解决方法。美学学科也是如此。它不是僵化的、凝固的。随着美学对象的不断涌现，原有的美的概念便难以包容，因而便要求建立新概念。

模糊美学的诞生不是偶然的。它决不会在传统的美学中出现。

传统美学（包括经典美学）是以守恒、平衡、稳定为特征的，它孜孜以求的是美的确定性原则，它习惯于运用非此即彼的二值逻辑去界定美的本质，它总是千方百计地把飘忽不定的美牢牢地捆绑在确定的理论框架中，总是命令生机蓬勃、无限多样的美向有限的固定的概念就范。

两千多年来，尽管柏拉图通过苏格拉底之口发出了“美是难的”(注21)慨叹，尽管歌德笑那些追求美的定义的美学家是“自讨苦吃”(注22)，但是，习惯于在二值逻辑轨道上彳于的美的探求者始终执着于运用确定的概念去界定不确定的美。

模糊美学的诞生，标志着美学的一次突破。它冲破传统美学的限阈，把不确定性引进美学领域，使美学成为既确定又不确定、既无序又有序的充满活力的科学。可见，模糊美学不是封闭的，而是开放的。普里戈金说：“所谓开放系统，就是与外界环境互相作用的系统。”(注23)它引进外界系统中有生命力的东西，为创造本系统的机制服务；它还反作用于外界系统，对外界系统产生反冲力，从而实现外界系统对自己的嵌入。这种不同系统之间的相互吸引、相互联系、相互交融，成为开放性的重要特征。模糊美学就属于这样的开放系统。它竭力在多种科学的接壤地带去追踪模糊美的倩影，去包孕美的不确定性，因此，这就必然重视与其他科学的联系，在联系中建构自己的开放机制。

传统美学虽然也重视本学科之间的联系，但却是在稳定的领域内展开的。它热衷于非此即彼的二值逻辑判断，不愿运用不确定性原理来彻底否定自己确定的美学观念，这就决定了传统美学的封闭性。同时，正由于它没有运用亦此亦彼的多值逻辑去建立确定性与不确定性之间的辩证的联系，因而便不可能形成自己美学系统的开放性。

在传统美学中，产生了许许多多的派别，每个派别又拥有各自的系统。由于世代相传，门徒众多，故实力雄厚，影响巨大。尤其是，他们在争鸣中，均以捍卫本派学术观点为自己应尽之天职；对于不利于本派的观点，则必坚决抨击之。他们竭力维护本派美学体系的确定性，排斥异己学派对本派的渗透。这样，他们的视野就必然带有褊狭性，他们的思想方法必然是形而上学的。长期以来，传统美学的思维定势在桎梏着人们的头脑，人们总是习惯于在确定性的轨道上行走，这是形成传统美学封闭性的重要原因，也是美学史上的实际情况，而绝非虚构！

当然，我们也要看到：有些经典美学大师（如康德、黑格尔）的哲学著作中，也闪耀着模糊论的光彩，显隐着不确定性的影子，但这并不能抵消他们美学系统的封闭性。首先，经典美学大师从确定的观点出发，去建构庞大的美学体系；但自然美、社会美和艺术美中所存在的大量模糊现象，是无法回避的。因此，在他们的理论中，也必然夹杂着对模糊现象的评论。但他们的模糊论还处于自发状态，其理论形态尚不完备，而处于受支配的地位，根本不会构成对经典美学的威胁。其次，经典美学大师在自己的美学著作中论述模糊事物时，并不执着于同精确事物的论述有机地相结合，而往往将二者分割开来，孤立地去进行研究，因而模糊论在他们美学体系中不能都起到应有的激活作用；倒是在他们的美学体系之外，模糊论却处于激活状态。具体地说，在他们的自然哲学、逻辑学中，模糊论往往作为其中的一个有机组成部分，在施展着它的机能，运转着它的机制，因而处于生气灌注的状态。例如，黑格尔在谈到确定性时，不可避免地要联系到不确定性；在谈到有限性时，必然要提到无限性，在谈到事物的互渗性时，必然牵涉到亦此亦彼，等等。这些，都作为他那庞大的哲学体系的辩证因素而在发挥作用。当然，我们也要看到，经典美学大师的模糊论毕竟没有成熟，与当代模糊论比，还处于幼稚状态，是一种潜模糊论，因而还没有形成完整的科学体系。

如果我们把传统的经典美学系统过程，表述为“确定性——不确定性——确定性”的话，那就可以看出，它是立足于确定性，以确定性为根基，并从确定性开始，最后则归结为确定性。至于不确定性，不过是其中的一些因子而已，它是从属于确定性的。因而就其基本运动状态而言，它仍然是线性的。与此相反，模糊美学系统过程，则似可表述为“不确定性——确定性——不确定性”。它立足于不确定性，以不确定性为根基，并从不确定性开始，最后则归结为不确定性。至于确定性，不过是其中的一些因子，它是从属于不确定性的。因而就其基本运动状态而言，它却是非线性的。

形成传统美学的封闭性的另一个重要原因，是由于科学发展水平的限制。长期以来，科学技术的进步一直囿于确定的领域；各种学科之间强调独立性，缺乏互渗性，故交叉性的边缘科学不很发达。科技文化中的系统论、控制论、信息论，还没有象现在这样形成一种高度综合化普遍化发展的大趋势，自然科学和社会科学中对于不确定、不平衡的非线性系统的研究，还没有在理论上“拧成一股绳”，没有形成一种科学理论上强大的势不可挡的力，因而还无法对传统美学的封闭系统进行冲击。

但是，二十世纪的今天，情况却完全不同了。各门科学飞速发展，越来越趋于立体化、网络化，科学的触角愈来愈长，并要求突破本身的限阈，伸展到其他学科领域，因而互渗性、过渡性、不确定性越来越突出。在不同学科的相互联系、相互撞击、相互融合中，出现了许许多多交叉性的边缘科学。它们共同追求着亦此亦彼的不确定性。这就为模糊美学的诞生提供了良好的催化剂和土壤，因为模糊美学就是要吸取交叉性的科学中的不确定性的营养来发展自己的。

当今美学研究时有泛化现象。大凡古典文艺理论著作，只要有谈论美或美感者，均可获得“美学”的雅称。其中，固然有系统的美学著作，也有只涉及美或美感而并非系统地从理论上研究美学的著作。因而一律冠之以美学，则美学专著与那些仅仅涉及美和美感的论著之间的区别就会被取消。无往而不美学，看起来重视美学，实际上是扩张了美学的范围。我认为应该把严格意义上的科学的美学论著同只是涉及美与美感的论著区别开来，而不能轻易地给后者冠之以美学名称。古代文化典籍经常谈到美与美感，包括模糊美论与模糊美感论。我们可以说模糊论古已有之，但似乎不好说“美学本来就是模糊的”。

夏先生在论证自己的命题时，是以关系说为依据的。他批评《模糊美学》：“如果否定了‘关系’，否定了以人为中心，也就必然否定了美学的存在。”其实，我对狄德罗的美是关系说，是一分为二的。我认为：“美是关系说，基本上是唯物主义的”(注24)，“美是关系说，运用于特定时间空间，的确发挥过良好作用，为人们寻找美的矿藏开辟了一条通道”(注25)。但是，这个定义也是有局限性的。它无法把一切的美都囊括在关系网内。因为美是无限的，大自然的美，社会生活的美，文化艺术的美，科学技术的美，人们已经发现的美，人们尚未发现的美，都存在于浩瀚的宇宙之中。美，既可存在于关系之内，又可超越于关系之外。如果仅仅认为美是关系，那么，关系之外的美，难道不是美？人们尚未发现的美，难道不是美？即使把美的定义局限在关系以内，也不见得都能概括出美。夫妻关系、父子关系、朋友关系、邻里关系、人际关系等等，其和谐融洽者固然符合美是关系的定义，其矛盾紧张者难道也符合美是关系的定义吗？再如：美化环境、植树造林、保护鸟类，体现了人与环境之间的关系的美，这当然是符合美是关系的定义的。但是，污染环境、乱伐森林、杀害珍禽，却体现了人与自然的紧张关系，它无论如何也不能说是美的。可见，关系有好坏美丑论文联盟之别，把美和关系划等号，显然是不准确的。总之，美是关系说，只能界定部分美，而不能界定全部美。宇航员遨游太空，可以目睹光彩夺目的蓝色水晶体般的地球的美。这种直觉观照，显示了宇航员在太空中与地球之间所建立的审美关系，固然合乎美是关系的定义；然而未到太空的人，并没有和它建立目睹的直觉关系，但它并未失去蓝色水晶体般的灿烂光辉。它的美，是不受关系的约束的。

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诚然，宇航员是人类的代表、宇宙的精华。他们的太空审美活动，拓展了人类的审美视野，给人类以巨大的启示。但是，他们却不可代替未到太空的人的审美活动。我们不能以“人是类存在物”（当然，这话本身是正确的）为理由去否定审美的不可替代的直接性，也不能用人的社会性为理由去取代审美的单个性。这是因为，人除了具有类的群体性、社会性以外，还具有人本身独特的审美心理与机制。英国美学家夏夫兹博里（1671—1731）认为，审美主体具有一种审美的特殊感官即“内在的眼睛”(注26)，也就是后来所说的“第六感官”。它是独特的，不可代替的。康德说：“一切鉴赏判断都是单个的判断。”(注27)黑格尔说：“美却起于个别形象的显现，……美只能在形象中见出，因为只有形象才是外在的显现，使生命的客观唯心主义对于我们变成可观照，可用感官接受的东西。”(注28)又说：“这形象对于我们既是一种客观存在的东西（daseiendes），也是一种显现着的东西（scheinendes），这就是说，有机体各个别部分的只是实在的多方面的性格必须显现于形象的生气灌注的整体里。”(注29)这就告诉我们，审美者作为个体所拥有的特殊感官，乃是审美观照的物质基础；舍此，便无法进行审美。此外，美的形象是客观存在的，是审美感官观照的对象。观照美的形象时，必须通过单个人的审美感官（主要是视觉、听觉、知觉感官）进行，在审美诸感官共同协作、交互影响下所产生的美感愉悦，也是离不开人的个体性的。因此，宇航员目睹太空的地球美始终是通过他们具体的视知觉通道进行的。这样，他们才可亲身体会并享受到美的乐趣。在这个意义上，才说他们与太空地球建立了审美关系。但他们的审美感官却不能移植到未到太空的人的身上；后者的审美感官同太空地球处于远距离隔膜状态，这就不能亲身目睹它的美，因而就谈不上与它建立了审美关系。可见，审美关系不是虚无缥缈、不着边际的，也不是可以互相代替的。它永远是受审美感官的个体性、具体性所制约的；也是受审美对象的形象所制约的，正如夏之放先生所说：在审美中，“对于形象形式的观照占有十分突出的地位，往往成为影响整体判断的关键因素，因而才被称为审美判断”。据此，宇航员目睹太空地球蓝色水晶体般的美，当然是“对于形象形式的观照”的审美判断；而未到太空的人，由于没有观照太空地球形象的形式，因而就无法构成彼此之间这种特定的“审美关系”了。

第4篇：数学之美论文范文

关键词：数学；数学之美；中国数学

在中国，数学源于生活，中国著名数学家陈省身先生曾不止一次地提出：“数学是美的。”数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了，也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。数学的美主要美自以下几个方面：

一、数学的自然美

刘勰《文心雕龙》认为“文章之可贵，在尚自然”。文章是反映生活的一面镜子，脱离生活的文学是空洞的，没有任何用处。数学也是这样。数学存在的意义，在于理性地揭示自然界的一些规律和现象，帮助人们认识自然，改造自然。可以这样说，数学是取之于生活而用之于生活的。数学最早的起源，大概来自古代人们的结绳记事，一个一个的绳扣，把数学的根和生活从一开始就牢牢地系在了一起。后来出现的记数法，是牲畜养殖或商品买卖的需要，古代的几何学产生，是为了丈量土地。中国古代的众多数学著作（如：《九章算术》）中，几乎全是对于某个具体问题的探究和推广。

二、数学的简洁美

世事再纷繁，加减乘除皆算尽；宇宙虽广大，点线面体皆包完。这首诗，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义。数学和诗歌一样，有着独特的简洁美。诗歌的简洁，众所周知，寥寥几字，却为读者创造出了广阔的想象空间，这大概正是诗歌的魅力所在。美国著名心理学家布隆菲尔德说：“数学是语言所能达到的最高境界。”如果说，诗歌的简洁，是写意的，是欲言还休的，是中国水墨画中的留白，那么数学语言的微言大义，则是写实的，是简洁精确、抽象规范的，是严谨的科学态度的体现。数学的简洁，不仅使人们更快、更准确地把握理论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。最为典型的例子，莫过于二进制在计算机领域的的应用。试想，任何一个复杂的指令，都被译做明确的01的数字串，这是多么伟大的一个构想。

三、数学的对称美

中国的文学讲究对称，这点可以从历时百年的楹联文化中窥见一斑。而更胜一筹的对称，就是回文了。如“香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长。长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香”。回文诗无论是顺读或倒读，都是情景交融、清新可读的好诗。凭着精巧的构思，给人以奇妙的感受，每每读之，读者都会暗自叫绝。而数学中，也不乏这样的回文现象，如：

12×12=144，21×21=441；

13×13=169，31×31=961；

102×102=10404，201×201=40401；

103×103=10609，301×301=90601；

而数学中更为一般的对称，则体现在函数图象的对称性和几何图形上。前者给我们探求函数的性质提供了方便，后者则运用在建筑、美术领域后给人以无穷的美感。

四、数学的悬念美

文学中的小说以设置悬念见长，在开头先抛出一个引人入胜的画面、出人意表的事件、叫人揪心的矛盾、令人关注的悬念、发人深省的问题，然后一步步去描写、讲述、展开、解答、思考；或者在最后留下一个无结局、无论断、无答案、无终点的结尾，让读者自己去想象、去求证、去追问、去体验。照米兰昆德拉的说法：“小说家的才智就是把一切肯定变成疑问，教读者把世界当成问题来理解。”这种现象，在数学中绝非少见。许多数学问题都是从一个看不出任何端倪的方程式开始，运用各种方法，一步步求解，最终得出一个清楚明白的结论。而数学的乐趣，就在于人们抱着探求事实真相的态度，满怀好奇的求解过程和最终真相大白时的。

五、数学的意象美

诗与数学之间最深刻的关系莫过于数学概念或意象与诗歌的结合，无论是辛弃疾的“七八个星天外，两三点雨山前。”、邵雍的“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”也好，还是纪晓岚的“一帆一桨一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江秋。”、读上面这些诗，每个人都能明显感到，诗的意境全来自那几个数字，无论是数字的单个应用，还是数字的重复引用，抑或是循环使用，看似毫无感染力的数字竟也都能表现出或寂寥、或欣然、或恬淡、或伤感的思想感情。用读者都熟悉的平行线，借助数学丰富的意象，巧妙地向读者准确地传达了自己的意思。

六、数学的逻辑美

第5篇：数学之美论文范文

1、数学美的表现。数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。

经通过对数学美表现的研究，我们可以肯定的回答，数学中含有美的因素，数学发展受美育思想的影响，在此，可以借助古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”

2、数学美的功能：审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐，艺术，而且通过自然美、社会美、科学美，得到美的熏陶，美化精神的境界。美育，对使学生树立正确的审美观，提高学生的审美能力和审美创造能力，塑造学生完善的人格，促进学生的全面发展，有着非常重要和积极的作用。

数学美的功能，主要体现在下面几个方面：

（1）数学美能够培养人们创造、发明数学的激情。

（2）数学美能启发人们探求真理的思路。

（3）数学美感有检验真理的作用。

（4）寓美于教，能激发学生的学习兴趣。

（5）数学美感能达到以美启智，提高学生解决问题的能力。

3、数学美之教育途径。在科学美层次上，提高学生的科学素养。科学和艺术一样，都有自己的美学特征，起着陶冶情操，完善思维品质的作用。其中包括：科学发现中的美学感悟，探索科学规律获得的愉悦，科学思维方法的美妙等诸多方面。科学美的发掘，可以通过种种渠道进行，包括视觉上的美，情理之中意料之外的“惊讶美”，证明技巧运用中的“机智美”，解决生活实际问题时的“实用美”，撰写小论文时的感受到的“创造美”。在中学数学教学过程中，我们可以从中学数学教材内容的美，如概念之美、证明之美、体系之美、无限之美、平衡之美等方面加以探讨，带领学生进入数学美的乐园，陶冶精神情操，激发他们的学兴趣，提高学生的审美能力，培养创造性思维能力。

提高学生的审美能力，教师应当作为必要的审美示范，引导学生感知，欣赏数学美。另一方面，“从实践中来，到实践中去”，只有将美知识应用于实践，审能教育才有意义，学生的审美能力才能得到进一步提高，因此，数学美之教育途径主要有二：一是展示美，二是应用美。其具体探究途径如下：

1. 展示隐含的美

2.挖掘数学美

3.创造数学美

4.将美学原理应用于解题实践

二、探究数学之美

1、数学美。提到数学，很多人都会觉得它非常的枯燥和乏味，并且理解和掌握起来十分困难。打个简单的比喻，站在花园里面的人会说花园非常的漂亮，可是站在花园外面的人，因为没有进去就会说它不漂亮。如果还没有真正地走进数学，了解和掌握数学美，又怎么会学好数学呢？这就像吃葡萄的人说葡萄酸，不吃葡萄的人说葡萄不酸，是一样的道理。所以，并不是数学中没有美，而是曲高和寡，极少有人能走进数学了解和掌握数学的美。

2、数学美的主要特征以及应用。数学美的主要特征可以简单概括为统一性、简洁性、对称性和奇异性等。由于大学高等数学中含有很多抽象化、形象化的概念和理论，这就需要学生充分地认识数学美。如果学生不能掌握数学美，是很难对其内容有深刻的理解。而且，在具体的解题过程中掌握好数学美也可以很好地掌握解题原理。减少解题的难度。因而，数学美对于大学生而言，不仅仅是一种理论，它可以帮助其找到正确的解题方法以及得到正确的结论。

3、统一性。数学知识体系作为人类的一种认识成果，是对其内容做了系统地组织和划分，组成了数学知识结构。希尔伯特曾经说过，“数学科学是一个必可分割的有机整体，它的生命力正是各个部分之间的联系，而数学的有机统一，也正是这门学科固有的特点。”因而，数学的统一性具体体现在各分支之间、分支内部以及分支与整体之间的互相贯通、和谐协调与相互转化上。具体体现在解题上就是利用各个条件，条件内部以及条件与结论之间的关联，探索出具体的解题方法。这是一种从差异中看到统一，在整体上找到数学题内在的联系与规律的解题方式，是合理解决数学问题的有效途径。

4、简洁性。数学学科作为一门科学有其独特的表现形式，如何合理地应用数学的表达形式（数学符号和数学公式）来表达数学内容，是数学家们追求的一种非常重要的数学美，选就是简洁美。

符号和公式是数学学科独有的语言表达形式。如何在解题的过程中简单、巧妙地应用数学语言，把它的解题步骤最简洁地体现出来，是每个数学家以及数学爱好者最关心的问题。简捷的解题方法和明快的思维令人心旷神怡，使人的心情无限的愉悦，体会到数学真正的美。

5、对称性。对称性在数学中是非常显而易见的一种美，具有极其重要的作用。无论是在解题过程中。还是探索数学结论时，对称性都会给人很多启发。对称性，一般只是指外观或者表面的对称，而数学中的对称性却是用变换、运动的不变性来本质地反映这个含义。因此才说数学美是理性、高层次的形式美。例如圆形被认为是最美的图形，原因就是它具有对称性。波纹线也被认为是最美的曲线，也是因为它的曲线本身所包含的数量关系起作用，使曲线弯曲程度适宜，曲率变化比较匀称，在视觉上给人感觉非常舒服。

这是数学中我们用眼睛可以看到的对称美。同时，对称性在探索结论方面也具有非常重要的作用。例如在用抛物线解题的过程中，如果不理解抛物线的对称性，是无法找到正确的解题方式和得到正确的结论。

6、奇异性。在数学中的很多理论与数学公式都是与人的直觉相背离的，让人一下子感觉起来非常地不能理解，尤其是大学高等数学。它有时会使人走入绝境，有时又会给人以无尽的想，令人进入“山穷水复疑无路，柳岸花明又一春”的绝妙境界，从来没有任何一个学科创造过这种“奇异”的境界。可也正是这种奇异性，吸引着无数数学家以及数学爱好者的研究。正好印证了著名数学家徐利治所说的一句话“奇异是一种美，奇异到了极限更是一种绝佳的美”。

三、结语

数学美，无处不在，只要我们留心观察就不难发现它的美。它的出现与应用，不仅激发了学生的学习数学的兴趣，提高了学生的数学水平，同时也开拓了学生的思维逻辑，对学生的学习具有非常重大的帮助效果。同时，也对数学学科、自然科学的整体发展有着非常重要的推动作用。

参考文献：

[1]张奠宙著.数学的明天.广西：广西教育出版社1999.12.

[2]欧阳维诚……数学.科学与人文的共同基因.湖南：湖南师范大学出版社 2000.7.

第6篇：数学之美论文范文

关键词：美术；发展；学科建设

1美术史论与多学科融合

美术学是一门研究和考察美术活动和美术现象的学科，探究其人文规律，是关于美术的知识系统，工作者须将其对美术现象的感知和体察转化为理性认识，确立和整理为一种知识体系。所以，美术学是一门从理论化、知识化的人文学科。既是学科体系，涉及美术风格、艺术家的活动，注重作品和人的精神性、个体化和审美观念，就必定有学科交叉化倾向，关联到与他学科融合问题。

本文中心主题“融”，这里第一个层次是指美术理论研究的多学科的融合，其它人文学科与美术学科的交叉与融合，成为一个新的学科交叉方向，起到丰富美术学科体系之效。美术学与其他相关学科交叉结合的举措在西方早已历史悠久，学术化体系相当成熟。进入20世纪初期，西方的美术史研究就开始向文化史目标拓展，学者们坚持美术史应该利用其他学科领域的研究成果，从而使美术史成为文化史的一部分，他们将目光注视在艺术、文学、学术研究和自然科学等这些被视为“高层次”的文化现象，而不仅仅是美术作品本身。他们的工作是将美术作品置于所产生的时代背景中加以考察，力图分析艺术家与他们所处时代的价值观和信仰的关系。广泛的学术领域得到高度关注，凡与美术史有关的学术资料得以大量收集，这无疑扩宽了学科知识面的广度，其作用就是使美术史研究迈入缪斯的神殿。如美术学与考古学的结合形成美术考古学、美术学与教育学的结合形成美术教育学、美术学与管理学的结合形成美术管理学，还有诸如美术人类学、美术文献学、美术教育学、美术心理学、美术经济学、美术翻译学等，这些新的学科可以属于美术学科之下，也可以属于其它学科之下。国内现有一批博士论文从艺术学角度来研究交叉学科，如孙长初的《中国艺术考古学初探》、董占军的《艺术文献学论纲》等等。这些学科的交叉为美术学提供了多方位的视角，丰富了美术学学科体系建设。

美术作品图像中大量涉及他学科知识内容，如敦煌壁画艺术中存在大量的飞天乐舞形象，相关联有佛教音乐、少数民族舞蹈等，其中包含了乐器种类、演奏样式、仪仗乐队、仪式活动等内容，皆是中华文化的旁支之一，为文化学、音乐学、民俗学和艺术史学研究提供了天方夜谭般的奇妙世界。音乐是一种活性文化现象，诉诸听觉的乐音在时间中有规则地运行是其存在的第一特征。音乐以绘画的形式表现出来就成为凝动的音符，被概括成一类符号形式、从而得以神奇地在历史的长河中保留。舞蹈的情况与其一样。当然，这种停滞式的保存方式能否有益于后世者，就在于后世者的研究方法和角度，能否结合文化史、艺术史等人文学科做出理论研究，挖掘蕴涵其中的文化和人文历史等信息，就能够从固定不动的图像材料中解读出丰富的“画外之音”。

“融”的第二个层次，是指中西研究者学术研究的融合。在相当长一段时间内，西方研究中国美术史的美术理论家的学术交流只限于中国台湾地区，中国大陆则排除在外。改革开放三十年来，西方学者的著作和研究方法以及流失海外的美术品被逐渐引进到中国大陆，中国美术理论研究逐步迈向中西交融之路。中国美术理论研究的大致归属可以分为三类，其一是西方研究中国美术的学者，从大量的流失海外的中国艺术品入手，从西方学术视角、审视着中国的美术，研究多从具体的美术作品入手，强调人文学科的角度，用西方学术研究方法进行探究。这类研究者在研究方法、深度上都非常到位，但是由于没有中国生活的体验，对中国文化或中国美术创作的研究大多存在隔膜。其二是建国以后在中国大陆本土的美术理论，这类理论研究建立在对本土文化、历史和中国美术创作的基础上，尤以美术考古、历史考据和作品真伪鉴定为主导，第三类是指80年代以后积极学习和引进西方美术理论和研究方法的中国学者，他们在国内受到系统的美术教育，其中很多人后又出国留洋、受到西方学术的影响，这部分学者在知识结构、学术眼光、研究方法上都具有相当的高度，属于中西融合型，他们现在正逐步成为中国美术理论的主导力量，但是关键在于，这些学者在中西融合现状的面前，是否采取全盘西化或是从中国实际出发的两种态度。在中西交流日益频繁的情况下，第一类型和第二类型最好能逐步相互影响和借鉴。

对于西方的学习和借鉴，可以促使中国美术史论由原来的以绘画史为主、以艺术形式、艺术风格研究为主的研究范围，逐步扩展到所有美术门类的史论研究，进行改革式的转变。寄希望于中国现代美术史论能够融会西学，初步建立了学科发展框架，以一种不同于中国传统的方式，在新的框架中逐步建立、充实和发展，并能在继承中创新，在探索中延续。

在美术批评理论方面，亦要求与多学科融合，创立新型的美术批评理论。这一方面要考虑对传统画学的继承的日益重视。中国古代画学自成体系，“六法”精论，万古不移。对于中国古代画学的研究，既是研究本身的需要，也是建立现代中国美术史论体系的需要。然而，在此基础上，史论界还需要开拓出新的活动方式和领域。西方美术理论界也已做出很好的榜样和先例，值得我们学习和借鉴。这是中国史论界适应21世纪美术学科发展新局面最为需要的理论类型。上世纪80年代以来，不少美术批评家承担起独立策展人的角色，运用宏观的思维，从学术的角度，在美术展示方面发挥着史论的力量。

中西文化毕竟分属两个不同的体系。“拿来”的西方美术史论如何能够真正做到融会贯通、为我所用，中国几千年的画学文脉如何传承延续，美术史研究如何和社会学、历史学、心理学甚至音乐学、艺术学等学科相结合，美术批评如何保持本身的独立性云开拓性，史论与创作如何才能更好地互相促进。在探索中建立延续传统画学文脉的中国当代美术史论体系，这是21世纪美术史论界对于中国美术的成就所在，更是一个意犹未尽的课题。

2美术创作与多学科融合

当今的美术创作，已不是纯粹的架上艺术、画家在画布上挥动画笔的行为，而是和当代先进科技高度结合、发展新型视觉艺术的工作。从这一层面而言，美术创作须要多门类、多学科的知识，融合的趋势显而易见。当代的艺术格局呈现多元化趋势，体现出媒介多变、文化多元、观念多样的特征。面对数码媒体及网络艺术的强烈冲击，“架上绘画已经死亡”一论也许并不为过，面临这种时代的新趋向，美术创作应该自动修正自身的状态，如创作观念、制作方式的转变，因循旧路肯定会走向没落。其实，这种艺术没落现象并不只在美术一域，戏剧、舞蹈表演艺术亦是如此。所以，绘画要不死，就要在生态、在理念、在表述方式上推行巨大变革。当今时代，数字技术发展迅速，快速流动的数字化信息系统以数字代码的关系存在，进行着存储、提取、复制和传递，绘画创作也可以向其借鉴和取材，吸收其传达视觉形式的元素。数码媒体的使用，不仅使我们原有的思维方式、价值观念发生了巨变，同时也使视觉艺术远远超出了传统视像（绘画）的具体范畴，充分和视觉艺术门类相结合成为不可或缺，如电影艺术。相对于历史悠久的美术传统，电影是一门年轻的艺术，绘画一直被认为电影艺术的母体艺术，是不同时代和流派的美术作品为电影的视觉造型提供了足资借鉴的养分。彼得・格林纳威曾说：“我从来都深信，几个世纪以前，无数在电影家之前的画家们对绝大部分问题已经提出并解决了，大批载着问题与答案的绘画作品构成了我们集体的记忆，是一笔取之不尽，用之不竭的财富。一切关心画面，渴望制作画面的人都应回过头来挖掘这座不断更新的巨大宝库。”一部电影的视觉风格由构图、色彩、光影、运动等元素构成。优秀的电影导演在影片视觉结构的处理上独具匠心，创造出极富艺术表现力的影像画面，并体现出独特的视觉风格。在电影不断向美术吸取养分的当前情况下，美术应该怎么去回应，如何借用电影学的专业知识来焕发美术这一传统文化形态新的生命呢？这一问题，值得中国美术家认真深思。

当然，另一方面，我们要注意的是，在安享现代物质文明成果的时候，是否思考过它所蕴涵的精神价值？对于当代绘画创作而言，即使数字化技术的发展能将摹本做得与原作酷似，但也使艺术的经典性遭遇了技术的解构。所以，现代科技文明的产物也应该与传统美术一样，向哲学文化、美学文化、艺术美学汲取养分，保持一份弥足珍贵的人文文化精神，去表现科技文明的进步、社会的进程形态、人类的精神世界，还有哲学的深思和历史的悠远，美术家所要做的工作何止千万！艺术创作观念的变革，是否值得我们当下的美术工作者去思量？

3吸收与借鉴：融会中发展的美术学科

当今的美术学科与多学科融合的趋势已然鲜明确立，成为未来发展的主要方向。这一点，无可置疑。在21世纪，经济和信息的全球一体化撩动着人文学科的神经，催进全球哲学、史学、文学艺术的互动，也催生出一个多元文化的平台。那么，培养多元化的人才就需要发展多元化的学科，只有在学科领域上求变、求进，才能在人才和文化建设上领先于国际同行。

可以说，要建立中国新型的美术学科，一要注重吸收传统的文化，立足于自身的传统平台，二要向西方美术学界求取经验。中国美术史学与美术创作一样，都存在与世界先进美术学研究方法接轨问题。美术史学家史学眼光的陈旧、美术家创作观念的落伍是制约中国美术发展的根本因素，而观念的及时转变又是推陈出新的根本动力。回归复兴呼声和向西方学习都在美术创作实践中得到了回应。对于美术创作的新动向，史论界也能否做出积极回应，或冷静反思，或热烈探讨，偏重于美术现状与发展趋势的史论研究值得蓬勃展开。美术史论在美术创作的带动下，美术创作在美术史论的引导和推动下，实现互动中共生，就能够向着多元的格局发展。

第7篇：数学之美论文范文

许多学生把学习数学归结为死记硬背结论与陷在没完没了的计算中。这种对数学的偏见影响了学生学习数学的积极性与自信心。科学史表明，数学美在科学探究中有“以美启真”“以美审真”“以美悦心”“以美辅理”的作用。在数学教学中彰显数学美，可以增强学生的内部学习动机，让学生更本质更快乐地学好数学。在数学教学中挖掘数学美，教师要有一颗易感之心，学生要有一只跳跃思维之胆，师生共同拥有一个美学之念。

关键词：

中学数学；数学美；科学探究；启示

一、问题的提出

学生对数学的认识与学习兴趣，直接或间接影响着学生学习数学的动力，从而也影响数学学习效果。在当前的应试大环境下，诸多因素导致学生普遍对数学没有太好印象。“数学是法则与公式的集合，解数学题只是从一大堆他们学过的公式中，利用各种提示，找出适当的法则代入数字加以应用，最后得出答案。”[1]“数学是数字与图形的组合，以计算为主……是枯燥乏味、不得不学的深奥、神秘、高深的学问……”[2]这种把数学学习归结为只是死记硬背结论，总是陷在枯燥乏味计算中的偏见，极大地影响了学生学习数学的积极性与自信心。事实上，从萌芽状态的原始数学，到当今五彩缤纷的现代数学，数学美作为数学的重要内涵，一直得到所有数学家的公认。数学中存在美，对此没有人持有异议。但在数学中哪些地方存在美，如何去感知数学美，不少学生依然朦胧和模糊。因此在数学教学中彰显数学美，让学生了解数学美在科学探究中的重要作用，可以增强学生的内部学习动机，消除数学给人带来的枯燥乏味的坏印象以及高深莫测的神秘感。然而，正如马克思所说：“对于不懂音乐的耳朵，最美的音乐也没有意义。”并非人人都有欣赏数学美的能力。因为数学与音乐所表现的，都是一种脱离了具体的实物场景的高度抽象的对象，是“人类性灵最富于创造的产物”[3]。高度抽象的结果是大量的“下里巴人”总难领略其神韵，只有具备较高的数学素养与数学领悟力的人，在数学研究中才可能有深入心窍的愉悦体验。才能在数学学习时于枯燥中感新奇，于平凡中见奇崛，才能教学探索时时被数学美所吸引而神与物游。

二、数学美在科学探究中的作用

（一）以美启真

许多物理学家都把“符合数学美”作为他们研究物理规律、建立物理学理论的重要准则，对数学美宗教般狂热推崇，并在科学研究中以数学美导航，最终得以写出划时代的巨著。诺贝尔奖得主狄拉克在哈佛大学演讲时说：“学物理的人用不着对物理方程的意义操心，只要关心物理方程的美就够了。”[4]这正是这位物理学巨匠科学研究中一贯遵循的信条，因为狄拉克恰恰就是在完全不考虑任何物理模型的情况下，直接从理论和数学结构美的制高点出发，得出了一个大大出乎他意料之外的狄拉克方程。同样，科学巨匠牛顿一再声称自己是毕达哥拉斯的忠实信徒。因为毕氏学派以数字7为美，所以牛顿在做三棱镜的色散实验时，虽然开始只注意到5种颜色，他还是在没有任何实验证实情况下主观加上了橙和青两种颜色，为的是将颜色的总数凑足7种。[5]这是牛顿忠实于毕氏数学美观念，“以美启真”的又一个例证。对平行线公理数学美的苛求，是非欧几何创立的直接动因。我们知道，平行线公理的表述比起其它公理显得冗长难懂，数学家认为它不美。因此他们怀疑它不应成为公理而应是定理。但看似简单的一个证明却令“无数英雄竞折腰”。2000多年来，数学家前赴后继地努力但都无功而返。直到19世纪初叶经高斯、波约、罗巴切夫斯基、黎曼等人的努力，问题才得以完满解决，并由此创立了划时代的伟大数学分支——非欧几何。科学史上的事例一再向我们昭示：从追求数学形式美、结构美出发，却常常可以导出科学理论真的结果。随着科学数学化的加剧，数学美愈加成为科学探究中“以美启真”的方法论准则。

（二）以美审真

实践是检验真理的标准，这无疑是马克思主义的基本观点，也是大多数科学家的信条。但科学的数学化，已使得许多理论像现代数学那样朝着越来越抽象化的方向发展，其研究对象和结果在现实中往往找不到它的对应物，无法回到实践中去检验。故在科学认识系统中，把实践作为选择、评价、检验科学理论及其真理的唯一标准是不可能的，也是远远不够的。狄拉克认为，有时候数学形式美要比理论与实验相符合更重要，因为数学美与普遍的自然规律有关，而理论与实验的符合则常常与一些具体的细节有关。[6]例如在爱因斯坦的广义相对论中，大概没有比时空弯曲更能挑战公众的想象力了，但不管他的理论多么让人难以置信，爱因斯坦却认为肯定可以由日食时观测证实。有人问：“如果观测与您的理论不相符合，怎么办？”爱因斯坦回答：“那我为上帝感到遗憾。”其言外之意是，上帝怎能如此愚蠢，居然违背具有如此对称美的理论来设计宇宙？[7]爱因斯坦仅仅凭借数学对称美，就敢于大胆预测物理结果真。在这里我们看到了爱因斯坦“以美审真”的研究风格及数学美给予爱因斯坦的超强霸气。科学发展史表明，“以美审真”是科学家们共享的一条科学研究原则。

（三）以美悦心

匈牙利数学家雷尼说：“如果我感到忧伤，我会做数学变得快乐。如果我正快乐，我会做数学保持这种快乐。”[8]陈省身曾为少年儿童题词“数学好玩”。的确，许多数学家终身痴迷于数学，与其说是功利心的驱使，毋宁说是因为数学美对他们的深深吸引力。彭加勒曾指出，科学家研究自然，并不是囿于有用性的动因，而是为比较深奥的理性美引起的乐悦所驱使，科学家之所以投身于长期而艰巨的劳动，也许为此缘故甚于为人类未来的福利。[9]同时，许多数学理论往往要超越当前现实数百年，才能在其它学科或数学学科中派上用场。例如古希腊人公元前4世纪就开始研究椭圆的性质，他们不可能预感到2000年后会在开普勒的行星运行及牛顿的万有引力中起作用。埃列•嘉当1912年考虑了一个分析与几何变换群，当时除了它的非凡美感外，根本没有想到它会在15年以后，用来解释关于电子的若干现象。事实表明，纯粹是思维的乐趣与美的召唤，才是支撑众多数学家持之以恒钻研数学的最深层动因。另外，数学的严谨性与高度抽象性，日积月累在看不到成功前景的黑暗中摸索，朝夕面对缺乏生命原色的材料，长期繁重的脑力负担使得数学家常与正常生活产生疏离，这一切容易导致数学家精神生活的单调与贫乏，甚至造成心理痼疾。[10]而数学美则可以丰富他们的精神生活，缓解逻缉思维所致的情绪紧张，审美愉悦会使数学家产生一种类似游戏的体验，使其身心趋向于一种更悠闲的境界。故数学美对他们可起到“以美悦心”的作用。

（四）以美辅理

科学发展史上彻底突破旧观念的新思想，通常不是沿袭传统的逻辑模式，对经验材料进行概括、演绎与推理而得。彭加勒对此深有体会：“逻辑用于证明，直觉用于发明。”[11]例如，卢瑟福通过直觉想象力把原子世界看成巨大太空世界的摹制品，建立了原子的行星模型说；威尔逊受到大自然美景的触发，直觉地构建了威尔逊云室，这些理论的创立都得益于想象而非逻辑。再如非欧几何的创立，在漫长的2000年时光中，无数数学家试图用逻辑推理的方法去证明第五公设，结果都是徒劳。直到19世纪，一批思想敏锐的数学家意识到需要换一种思路。罗巴切夫斯基摆脱了逻辑思维的束缚，凭借自己的超凡想象力，构建了一种全新的几何体系——非欧几何，它的创立不仅是数学史上的一座丰碑，而且引起了人类时空观的一次重大变革。综上可见，直觉力、想象力等形象思维在科学发明发现中占有重要地位，而数学美恰恰能在促进人的形象思维方面发挥重大作用，逻辑则常常只是事后的补充完善。

三、数学美对数学教学的启示意义

在数学学习之旅中，学生若能时常有美的感受与体验，数学美在学生的学习中就同样可起到“以美启真”的作用，有效开发解题智慧；起到“以美审真”的作用，准确筛选出思维路径；起到“以美辅理”的作用，化抽象为直观形象；起到“以美悦心”的作用,消除学生的焦虑与疲乏，快乐有趣地学习数学。教学中教师要大力挖掘数学美，渗透数学美，培养学生初步感知数学美，鉴赏数学美的能力。为此，笔者认为数学教学需从如下几方面努力。

（一）教师要有一颗易感之心

教学中渗透数学美，首先要求教师有一颗易感之心。要能感受教材中无处不在的数学美，比如实数与数轴，复数与平面，平面上的点与有序实数对等，形与数的对称美，三角诱导公式推导中的对称美，奇偶函数图像与性质的对称美，大量数学符号与其深刻寓意体现出的简洁美，椭圆、双曲线、抛物线用第二定义及用极坐标公式表现出来的统一美等。其次要有文、史、哲等方面的初步修养，对教材内容除能用演绎方式阐述外，还能从文学与艺术的视角来帮助学生展开诗人般的想象，因为只有教师自己对数学的形式美、结构美、思维美深有感触，才能将这种感发的力量传递给学生。再比如，教师恰当地运用诗歌，可将数学的抽象语言化为鲜明生动的形象化语言，让学生的思维文理合流，培养其形象思维力。例如在得出正弦函数y=sinx的图象后，来一句感叹：这可真是“风乍起，吹皱一池春水”啊！讲完y=sinx的图象，引用杜甫的“天地一沙鸥”抒发其图象之美……通过数学与文学的交相辉映，数学课不再是枯燥乏味的演算与记忆，而将散发出诗歌形象美与数学内涵美的独特魅力，达到“以美悦心”的教学效果。再如，对一些司空见惯的教学内容，要能用数学美的眼光予以揭示。例如，推导椭圆的标准方程时，教师可以提出下列问题串。（1）不去根号是不是椭圆方程？（2）为什么要去根号？（3）为什么要把一个根号移到等号另一边？（4）为什么要令a2-c2=b2。这些问题，其实无它，都是源于简洁美与对称美的追求。再比如对已知条件的删繁就简，对例题解法的不断改进（追求思维与过程的简洁美），对形异质同题目的归纳与本质揭示（追求抽象与统一美）等。当教师习惯于对教材上的诸多细节向学生刨根问底，学生就能发现“以美启真”“以美审真”在数学研究中的普适有效，就会悟出先前诸多莫名其妙的规定，原来都是源于对数学美的追求。就会感叹原来数学并非深奥、神秘，而是讲推理更讲道理的。

（二）学生要有一只跳跃思维之胆

形象思维与创新思维关系密切，故不仅要培养学生的逻辑思维能力，也要让学生经历先猜后证的数学，类比的、归纳的数学。例如对于杨辉三角形的直观观察，可以推出许多组合恒等式。教师教学时可以多留出时间，让学生独立分析与思考，学生就会琢磨出先观察（a+b）n在n=2，3，4，5展开式的每一项特征，再归纳概括，猜想出若干恒等式，然后让学生先猜后证。再如，设xyz∈R+且试求xy+2yz+3zx的值[12]若按常规方法计算xy+2yz+3zx的值，繁琐单调。让学生观察三个式子充分发挥想象，由②式不难联想到勾股定理，由①，③联想到余弦定理，我们就可巧妙地构造ABC，其中一点P满足∠APC=120°，∠BPC=150°，∠APB=90°，且PC=x，PA=z，PB=，由条件易得AB=3，AC=4，教学探索BC=5，从而SABC=SAPB+SAPC+SBPC=（xy+2yz+3zx）=6，故xy+2yz+3yz=24心中没有对数学美的执念，本题便只能按部就班地陷入繁琐计算中,是“以美启真”与“以美审真”的观念诱发了我们的解题灵感，从而促使我们寻觅到这一漂亮解法。

（三）师生要共同拥有一个美学之念

一方面数学是一门科学，另一方面数学也是一门艺术。这门“高尚的艺术”表现为一种“至高无上”“冷而严肃”的美，是“潜藏在感性美之后的理性美”。它的花朵只开放在抽象思维领域，它的形式是由逻辑的彩带编织而成。数学给人的感觉是一种冰冷的美丽。要把数学冰冷的美丽化为师生火热的思考，教师需在长期的教学中，持之以恒、坚持不懈地挖掘强化数学美。通过追问、反思等行为，揭示数学美是一些技能行为背后的真正动因。同时学生在学习中，尤其在思维的岔路口要用“以美启真”“以美审真”支配自己的思维活动，养成在问题解决过程中用数学美的眼光作一番定夺取舍的习惯。日积月累下来，解题能力、思维水平的提升就会不求而至、不为而成。数学美在科学探究中的作用已充分说明了这一点。数学教育如果没有美育，只剩下技巧、分数，学生就只有题海之苦，没有探秘寻幽之乐，这样的学生就只能是做题的机器，永远不能成为大师。

参考文献：

[1]黄毅英，林智中．中国内地中学教师的数学观[J].课程•教材•教法,2002(1).

[2]刘次律，张维忠．高中学生“心目中的数学”调查及启示[J].学科教育,2003(6).

[3]陈朋红，丁蓓英.论数学美的价值和意义[J].华东理工大学学报,1999(4).

[4]杨建邺.物理学之美[M].北京:北京大学出版社,2011:2.42.122.

[5]杨忠泰.数学美在科学探索中的功能[J].宝鸡师范学院学报（自然科学版）,1992(1).

[6]王青建，李铁安.数学娱乐的理论与实践[J].数学教育学报,2010(4).

[7]何池友.试论科学审美之于科学的发展[J].安徽师范大学学报（人文社会科学版）,2002(9).

[8]郭思乐，喻纬.数学思维教育论[M].上海:上海教育出版社，1998:39.

第8篇：数学之美论文范文

丘成桐

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丘成桐教授应北京大学邀请，出席北大百周年校庆，并于一九九八年五月五日，与另外三位杰出华人科学家，杨振宁教授、李远哲教授和朱棣文教授在北京大学举行学术讲座，上千名北大师生反应热烈，三小时的讲座，座无虚席。

今天要讲的是数学的内容、方法和意义，这原是苏联人写的一本书的书名，和今天的演讲内容借过来作为演讲的名称。

今天是北大百周年校庆，五四运动便是北大学生发动的。作为演讲的引子，让我们先简略地回顾一下“五四”前后中西文化之争。十九世纪中业以后，中国对西文科技的认识，是“船竖炮利”，在屡次战争失利后，张之洞提出了“中学为体、西学为用”的主张，即以传统儒家精神为主，加入西方的技术。到了五四运动前后便有了科玄论战。以梁漱溟为主的一派以东方精神文明为上，捍卫儒学，以为西方文明强调用理性和知识去征服自然，缺乏生命之道，人变成机械的奴隶；而中国文化自适自足，行其中道，必能发扬光大。其时正值第一次世界大战结束，西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝，也主张向东方学习。另一派以胡适为首者则持相反意见，他们以为在知识领域内科学万能，人生观由科学方法统驭，未经批判及逻辑研究的，皆不能成为知识。

科玄论战最终不了了之，并无定论。两派对近代基本科学皆无深究，也不收集数据，理论无法严格推导，最后变得空泛。其实这便是中国传统文化之一特点。一方面极抽象，有质而无量，儒道皆云天人合一，禅宗又云不立文字，直指心性。另一方面则极实际，庄子说“蔽于天而不知人”。古代的科学讲求实用，一切为人服务，四大发明之一指南针、造纸、印刷术、火药莫不如此。要知道西方技术之基础在科学，实际和抽象的桥梁乃是基本科学，而基本科学的工具和语言就是数学。

历代不少科学家对数学都有极高的评价。我们引一些物理学家的话作为例子。R.Feyman在「物理定律的特性一书中说我们所有的定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述，为什么？我一点也不知道。E.Wigner说数学在自然科学中有不合常理的威力。F.Dyson说：在物理科学史历劫不变的一项因此,就是由数学想像力得来的关键贡献，基本物理既然由高深的数学来表示。应用物理，流体等大自然界的一切现象，只要能得到成熟的了解时，都可以用数学来描述。写过「湖滨散记的哲人梭罗也说有关真理最明晰，最美丽的陈述，最终必以数学形式展现。

其实数学家不只从自然界吸收养分，也从社会科学和工程中得到启示。人类心灵中由现象界启示而呈现美的概论，只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象。数学和其他科学不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰一切，数学和文学不同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出。数学正式成为系统性的科学始于古希腊的欧机里德，他的「几何原本是不朽名作。明末利玛窦和徐光启把它译成中文，并指出“十三卷中五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可后，一后不可先，累累交承 渐次积累，终竟乃发奥微之义”。复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导，至此真与美得到确定的意义，水乳交融，再难分开。值得指出，欧机里德式的数学思维，直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿距著「自然哲学的数学原理与「几何原本一脉相承。从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用同一种原理来解释宇宙间的一切力场。

数学的真与美，数学家的体会深刻。Sylvester说“它们揭露或阐明的概念世界，它们导致的对至美与秩序的沉思，它各部分的和谐关联，都是人类眼中数学最坚实的根基”。数学史家M.Kline说“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗”。当数学家吸收了自然科学的精华，就用美和逻辑来引导，将想像力发挥的淋漓尽致，创造出连作者也惊叹不已的命题。大数学家往往有宏伟的构思，由美作引导，例如Weil猜想促成了重整算数机何的庞大计划，将拓扑和代数几何融入整数方程论中。由A.Grothendieck和P.Deligne完成的Weil猜想，可说是抽象方法的伟大胜利。回顾数学的历史，能够将几个不同的重要观念自然融合而得出的结果，都成为数学发展的里程碑。爱因斯坦将时间和空间的观念融合，成为近百年来物理学的基石；三年前A.Wiles对自守型式和Fermat最后定理的研究，更是扣人心魄。数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就，令人惊异，这是因为数字和空间本身就是大自然的一部分，它们的结构也是宇宙结构的一部分。然而，我们必须紧记，大自然的奥秘深不可测，不仅仅在数字和空间而已，它的完美无处不在，数学家不能也不应该抗拒这种美。

本世纪物理学两个最主要的发现：相对论和量子力学对数学造成极大的冲击。广义相对论使微分几何学“言之有物”，黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵。量子场论从一开始就让数学家迷惑不已，它在数学上作用仿如魔术。例如Dirac方程在几何上的应用使人难以捉摸，然而它又这么强而有力地影响着几何的发展。超对称是最近二十年物理学家发展出来的观念，无论在实验或理论上都颇为诡秘，但借着超弦理论的帮助，数学家竟能解决了百多年来悬而未决的难题。超弦理论在数学上的真实性是无可置疑的，除非造化弄人，它在物理上终会占一席位。

上世纪末数学公理化运动使数学的严格性坚如盘石，数学家便以为工具已备，以后工作将无往而不利。本世纪初Hilbert便以为任何数学都能用一套完整的公理推导出所有的命题。但好景不常，Godel在931年发表了著名的论文“「数学原理中的形式上不可断定的命题及有关系统I”。证明了包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不能确立的。这表示Hilbert的想法并非是全面的，也表示科学不可能是万能的。然而由自然界产生的问题，我们还是相信Hilbert的想法是基本正确的。

数学家因其品禀各异，大致可分为下列三种：

(一)创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。

从芸芸现象中窥见共性。从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。一个明显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称后，便创造出有关微分方程的连续变换群论。李群已成为现代数学的基本概念。

把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间，将微积分用到曲面而得到连络理论等便是。当Ricci,Christofel等几何学家在曲面上研究与座标的选取无关的连络理论时，他们很难想像到它在数十年后的Yang-Mills场论中的重要性。

用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如：Weil比较整数方程和代数几何而发展算数几何：三十年前Langlands结合群表示论和自守形式而提出“Langlands纲领”，将可以交换的领域理论推广到不可交换的领域去。

为解释新的数学现象而发展理论。例如：Gauss发现了曲面的曲率是内蕴（即仅与其第一基本形式有关）之后，Riemann便由此创造了以他为名的几何学，成就了近百年来的几何的发展；H.Whitney发现了在纤维丛上示性类的不变性后，Pontryagin和陈省身便将之推广到更一般的情况，陈示性类在今日已成为拓扑和代数几何中最基本的不变量。

为解决重要问题而发展理论。例如J.Nash为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发展的隐函数定理，日后自成学科，在微分方程中用处很大。而S.Smale用h-协边理论解决了五维或以上的Poincare猜想后，此理论成为微分拓扑的最重要工具。

新的定理证明后，需要建立更深入的理论。如Atiyah-Singer指标定理，Donaldson理论等提出后，都有许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。

在研究对象上赋予新的结构。Kahler在研究复流形时引入了后来以他为名的尺度；近年Thurston在研究三维流形时，也引进了“几何化”的概念。一般而言，引进新的结构使广泛的概念得到有意义的研究方向。有时结构之上还要再加限制，如Kahler流形上我们要集中精神考虑Kahler-Einstein尺度，这样研究才富有成果。

（二）从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象中发掘值得研究的问题，凭着经验把其中精要抽出来，作有意义的猜测。如Gauss检视过大量质数后，提出了质数在整数中分布的定律；Pascal和Fermat关于中赔率的书信，为现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起，Black和Scholes便提出了期权定价的方程，随即广泛地应用于交易上。Scholes亦因此而于去年获得诺贝尔的经济学奖。这类的例子还有很多，不胜枚举。

话说回来，要作有意义的猜测并非易事，必须对面对的现象有充分的了解。以红楼梦为例，只要看了前面六七十回，就可以凭想像猜测后面大致如何。但如果我们对其中的诗词不大了解，则不能明白它的真义。也无从得到有意义的猜测。

（三）解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这理论便是空虚无价值的。理论的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的重要性在于由它引出的理论是否丰富。单是一个漂亮的证明并不是数学的真谛，比如四色问题是著名的难题，但它被解决后我们得益不多，反观一些难题则如中流砥柱，你必须将它击破，然后才能登堂入室。比如一日不能解决Poincare猜测，一日就不能说我们了解三维空间！我当年解决Calabi猜测，所遇到的情况也类似。

数学家要承先启后，解掉难题是“承先”，再进一步发展理论，找寻新的问题则是“启后”。没有新的问题数学便会死去，故此“启后”是我们数学家共同的使命。我们最终目标是用数学为基础，将整个自然科学，社会科学和工程学融合起来。

自从A Wiles在1994年解决了Fermat大定理后，很多人都问这有什么用。大家都觉得Fermat大定理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达350年的问题，还使我们对有理数域上的椭圆曲线有了极深的了解；它是融合两个数论的主流——自守式和椭圆曲线——而迸发出来的火花。值得一提的是，近十多年来椭圆曲线在编码理论中发展迅速，而编码理论将会在电脑贸易中大派用场，其潜力无可估计。

最后我们谈谈物理学家和数学家的差异。总的来说，在物理学的范畴内并没有永恒的真理，物理学家不断努力探索，希望能找出最后大统一的基本定律，从而达到征服大自然的目的。而在数学的王国里，每一条定理都可以从公理系统中严格推导，故此它是颠扑不破的真理。数学家以美作为主要评选标准，好的定理使我们从心灵中感受大自然的真与美，达到“天地与我并生，万物与我为一”的悠然境界，跟物理学家要征服大自然完全不一样。

第9篇：数学之美论文范文

数学是美的。 论文联盟

学过数学的人,往往会感到数学具有某种魅力,能吸引人,常常会出现越学越爱学,对题目越做越想做的情境,这正是由于数学自身存在着“美”,惹人喜爱,令人神往的缘故。对初中学生而言,已经有一部分学生出现了“数学好玩”“能使人动脑子”“数学有无穷的奥秘”等反映,这足以说明他们已初步感受到数学美,但一般都是无意识的,并非知道有数学美的存在。但也有一部分学生反映:“数学难学,枯燥无味。”“因为不会,所以不学了。”“学数学不好玩,不如音乐好听,不如美术好看,也没有优美的文章来欣赏。”等等。

数学家华罗庚说过:“认为数学枯燥无味,没有艺术性,这看法是不正确的,就像人站在花园外面,说花园里枯燥乏味一样。”因此,教师需要利用各种方式与途径带领学生走进这个“数学百花园”,让学生能积极地感受数学美,尽情地领略数学美,从而激发学生的学习动机和学习兴趣,增长他们的创造能力。

一、奇妙魔幻的“花”——数的世界

许多初中同学说,数实在是枯燥无味,计算起来不仅繁琐杂乱,还最是无聊至极。但事实上,数是在“数学百花园”中最奇妙魔幻的花。

132=169,312=961;1132=12769,3112=96721;11132=1238769,31112=9678321……同样的数还有一串,如122=144,212=441,1122=12544,2112=44521……这类对称、谐和的数叫做镜反数,至今谁也不知道有多少这样的数。

还有一种数自身存在着对称,叫做回文数。99×19=1881,999×19=18981,9999×19=189981,99999×19=1899981;99×91=9009,99×28=2772,99×82=8118……

有一种数叫雷霆数,是数学家在坐火车时发现路边的里程碑上的数3025,被雷劈成两半30和25,数学家计算30+25=55,552=3025,从而命名这种数叫做雷霆数。

古希腊毕达哥拉斯学派主张:万物最基本的元素是数,数的和谐就是美。数通过运算让我们感受到简单、整齐、对称、和谐的组合美,令人神往。

除此以外,教师还应鼓励学生用审美的眼光继续去发现那些许许多多奇妙魔幻的数。

二、绚丽多姿的“花”——几何图形

难以想象的是,看来严谨到近乎刻板的数学公式,竟然会与优美的几何图形相映成趣,组成“数学百花园”中一朵朵绚丽多姿的“花”。

勾股定理:a2+b2=c2用图表示出来,这是多么绚丽的一幅图。不仅如此,勾股定理的发现到证明都具有传奇色彩,教师在讲授此课时,应带领学生一同探讨。

比例与对称的数量关系,以其天造地设的美感令人叹为观止,把长为c的线段分为a(较长),b(较短)两段,使之符合a:b=c:a得到a:c=0.618,这正是最美、最巧妙的比例,人们尊之谓“黄金分割”。“黄金分割”数值的计算要应用一元二次方程的知识点,所以在九年级上册学完一元二次方程以后插入这个内容作为数学欣赏内容。法国的巴黎圣母院、中国故宫的构图,米洛的维纳斯雕塑、舞台上报幕员的最佳位置中都融入了“黄金分割”的匠心。许多植物的枝叶,绕主茎螺旋式地向上生长时,相邻叶枝转过去的角度总是137.5度。这个角度就是一个圆周角的0.618倍处的度数。有人算了算,在自然界中,植物、动物、建筑、音乐等领域出现0.618的地方逾千种。

三、精美绝伦的“花”——数学名题

《数学课程标准》中指出在对数学内容的学习过程中,应包含一些数学名题作为欣赏内容,使学生感受

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其中的数学思想方法,领略数学命题和数学方法的美学价值。

四、神秘个性的“花”——数理逻辑

严谨、壮美的逻辑结构是“数学百花园”里最神秘、最个性的“花”。

“先有鸡,还是先有蛋?”这是一个流论文联盟传很广的古老问题,人们常把它当作一个无法回答的问题。但是要用数学思想来回答这个问题,这就不是一个难题。其关键在于我们只要把鸡蛋的定义弄清楚了,问题便很好解决了。就是说,全体鸡蛋组成的集合,究竟包括哪些元素?要是规定:鸡生的蛋才叫“鸡蛋”,那么答案一定是先有鸡;要是规定:能孵出鸡的蛋就算是“鸡蛋”,那么答案一定是先有鸡蛋。2000多年前,我国有一位善于辩论的人叫公孙龙,他有一句有名的怪论叫做:“白马非马”。其言,要是白马是马,那么,黑马也是马;马又是白马,马又是黑马,那么黑马就是白马,黑就是白,岂不荒谬,所以白马不是马。像这样明明是毫无道理,却又振振有词的观点,一下子难以驳倒,这种话叫诡论。德国的哲学家黑格尔也说过类似的诡论。诡论从头至尾都张扬着“我的地盘我做主”的个性。